【导与练】2015届高考数学一轮复习 第3篇课件（打包3套）文 新人教版
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【导与练】2015届高考数学一轮复习 第3篇课件（打包3套）文 新人教版,高考,数学,一轮,复习,温习,课件,打包,新人
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第四篇 平面向量 ( 必修 4) 第 1 节 平面向量的概念及线性 运算 基础梳理 考点突破 知识整合 1. 向量的有关概念 (1) 定义 既有 大小 又有 方向 的量叫做向量 . (2) 表示方法 用字母表示 : 如 a , b , c 等 ; 用有向线段表示 : 有向线段的长度表示向量的 大小 , 箭头所指的方向表示向量的 方向 . 如 (3) 模 向量的 大小 叫做向量的模 , 记作 | a |,| b | 或 | ,| 基础梳理 抓主干 固双基 2. 特殊向量 名称 定义 备注 零向量 长度为 零 的向量 记作 0 , 0 的方向是任意的 单位 向量 长度等于 1 个单位 的向量 非零向量 a 的同向单位向量为( 共线 ) 向量 方向相同或 相反 的非零向量 0 与任一向量平行 ( 或共线 ) 相等 向量 长度 相等 且方向 相同的向量 两个向量只有相等或不相等 , 不能比较大小 相反 向量 长度 相等 且方向 相反的向量 0 的相反向量为 0 3. 向量的线性运算 见附表 4. 共线向量定理 向量 a ( a 0 ) 与 b 共线 , 当且仅当有唯一一个实数 ,使得 b = a . 质疑探究 : 当 a b , b c 时 , 一定有 a c 吗 ? 提示 : 不一定 . 当 b 0 时 , 有 a c . 当 b = 0 时 , a , c 可以是任意向量 , 不一定共线 . 双基自测 1. 若 O,E , F 是不共线的任意三点 , 则以下各式中成立的是 ( B ) (A)F+)E(D) 由向量减法的三角形法则 , 易知选 B. 2. 如图 , e 1 , e 2 为互相垂直的单位向量 , 则向量 a - C ) (A)3 e 2 - e 1 (B) - 2 e 1 - 4 e 2 (C) e 1 - 3 e 2 (D)3 e 1 - e 2 解析 : 由题图可知 a = - 4 e 2 , b = - e 1 - e 2 , 则 a - b = e 1 - 3 e 2 . 3. 给出下列命题 : 向量 方向相反 ; A= 0 ; 两个相等向量的起点相同 , 则其终点必相同 ; 则 A 、 B 、 C 、 D 四点共线 . 其中不正确的命题的个数是 ( A ) (A)2 (B)3 (C)4 (D)5 解析 : 正确 ; 中A= 0 , 而不等于 0 ; 正确 ;中 综上可知不正确 . 故选 A. 4. 设 a , b 是两个不共线的向量 , 且向量 a + b 与 2 a - 则 = . 解析 : 由题意存在实数 , 使 a + b = (2 a - b ), 即 a + b = 2 a - b . 则2 1 ,解得1,21,2答案 : 剖典例 知规律 考点一 平面向量的基本概念 【例 1 】 给出下列命题 : 若 | a |=| b |, 则 a = b ; 若 A,B,C,D 是不共线的四点 , 则平行四边形的充要条件 ; 若 a = b , b = c , 则 a = c ; a = b 的充要条件是 | a |=| b | 且 a b . 其中正确命题的序号是 ( ) (A) (B) (C) (D) 解析 : 不正确 . 两个向量的长度相等 , 但它们的方向不一定相同 . 正确 . C, |且C, 又 A,B,C,D 是不共线的四点 , 四边形 平行四边形 ; 反之 , 若四边形 平行四边形 , 则| 因此 ,C. 正确 , a = b , a , b 的长度相等且方向相同 , 又 b = c , b , c 的长度相等且方向相同 , a , c 的长度相等且 方向相同 , 故 a = c . 不正确 . 当 a b 且 | a |=| b |, 不一定 a = b 也可以是 a = - b . 故 | a |=| b | 且 a b 不是 a = b 的充要条件 , 而是必要不充分条件 . 综上所述 , 正确命题的序号是 . 故选 A. 反思归纳 (1) 准确理解向量的基本概念是解决该类问题的关键 , 特别是对相等向量、零向量等概念的理解要到位 , 充分利用反例进行否定也是行之有效的方法 . (2) 几个重要结论 向量相等具有传递性 , 非零向量的平行具有传递性 ; 向量可以平移 , 平移后的向量与原向量是相等向量 . 即时突破 1 给出下列命题 : 若两个单位向量的起点相同 , 则终点也相同 . 若 a 与 b 同向 , 且 | a | b |, 则 a b ; , 为实数 , 若 a = b , 则 a 与 b 共线 ; 0 a = 0 , 其中错误命题的序号为 . 解析 : 不正确 . 单位向量的起点相同时 , 终点在以起点为圆心的单位圆上 ; 不正确 , 两向量不能比较大小 ;不正确 . 当 = =0 时 , a 与 b 可能不共线 ; 正确 . 答案 : 考点二 平面向量的线性运算 【例 2 】 A ,的高为 若a ,b , a b = 0 ,| a |=1,| b |=2, 试用 a , b 表示 思维导引 : 先求出 再用 解 : a b =0. a b . 又 | a |=1,| b |=2, |5, |125=255, | = 222525 =455. 455555( a - b )=45a 反思归纳 (1) 向量线性运算的解题策略 : 常用的法则是平行四边形法则和三角形法则 , 一般共起点的向量求和用平行四边形法则 , 求差用三角形法则 , 求首尾相连向量的和用三角形法则 . 找出图形中的相等向量、共线向量 , 将所求向量与已知向量转化到同一个平行四边形或三角形中求解 . (2) 两个结论 P 为线段 中点 2(B). G 为 重心 B+0 . 即时突破 2 (1) 在 ,c ,b , 若点 D 满足则 ) (A)23b +13c (B)53c (C)23b (D)13b +23c (2) 若 A,B , C,D 是平面内任意不同的四点 , 给出下列等式 : D=D; D=D; C+ 其中正确等式的序号为 . 解析 : (1) 如图所示 , C+C+13C+13(2333b +13c . 故选 A. (2)D) =D+B=A+ 即不正确 ; D)=B+A=A= 0 , 即正确 ; B)=D+A= 0 , 即正确 . 答案 : (1)A (2) 考点三 共线向量定理的应用 【例 3 】 设两个非零向量 a 与 b 不共线 , (1) 若a + b , a +8 b ,( a - b ), 求证 : A 、 B 、 D 三点共线 ; (2) 试确定实数 k, 使 k a + b 和 a +k b 共线 . 思维导引 : (1) 证明 可得三点共线 .(2) 根据共线向量定理 , 建立方程求参数 k. (1) 证明 : a + b , a +8 b ,( a - b ), C+ a +8 b +3( a - b )= 2 a +8 b +3 a - 3 b =5( a + b )=5 又它们有公共点 B, A 、 B 、 D 三点共线 . (2) 解 : k a + b 与 a +k b 共线 , 存在实数 , 使 k a + b = ( a +k b ), 即 k a + b = a + k b . (k - ) a =( k - 1) b . a 、 b 是不共线的两个非零向量 , k - = k - 1= 0 , = 0 . k= 1. 反思归纳 (1) 共线向量定理及其应用 : 可以利用共线向量定理证明向量共线 , 也可以由向量共线求参数的值 ; 若 a , b 不共线 , 则 a + b =0 的充要条件是 = =0, 这一结论是解决求参数问题的重要依据 . (2) 若则 A 、 B 、 C 三点共线 . (3) 若则 A 、 B 、 C 三点共线的充要条件是 + =1. 即时突破 3 (2013 太原模拟 ) 已知向量 a , b , c 中任意两个都不共线 , 并且 a + b 与 c 共线 , b + c 与 a 共线 , 那么 a + b + ) (A) a (B) b (C) c (D) 0 解析 : 设 a + b = c , b + c = a , 则 a - c = c - a , 所以 (1+ ) a =(1+ ) c , 因为 a , c 不共线 , 所以 = = - 1, 所以 a + b + c = 0 . 故选 D. 备选例题 【例题】 在平面直角坐标系中 ,O 为坐标原点 , 已知A(2, - 1),B( - 1,3 ), 若点 C 满足其中 0 , 1, 且 + =1, 求点 C 的轨迹方程 . 解 : 由 + =1, 则 =1 - , 又1 - ) ( A 、 B 、 C 三点共线 , 又 0 1, 点 C 在线段 运动 . 故点 C 的轨迹方程为线段 x+3y - 5=0( - 1 x 2). 易错研讨 概念理解不清致误 【典例】 下列四个命题 : 若 | a |= 0 , 则 a = 0 ; 若 | a |=| b |,则 a = b 或 a = - b ; 若 a b , 则 a 与 b 同向或反向 ; 若 a = 0 ,则 - a = 0 . 其中正确命题的序号为 . 正解 : 若 | a |=0, 则 a = 0 , 故错误 ;| a |= | b | 只说明 a 与 b 的模相等 , 它们的方向不能确定 , 故错误 ; 若 a b 且 a , b 为非零向量时 , a 与 b 的方向相同或相反 , 当其中一个向量为零向量时 , 另一个向量的方向任意 . 故错误 ; 正确 . 所以正确命题的序号为 . 答案 : 易错提醒 (1) 易忽略 0 与 0 的区别 , 把零向量 0 误写成 0 而致误 . (2) 易将向量与数量混淆而致误 , 如 | a | =| b | 误推出a = b 等 . (3) 忽视向量为零向量的特殊情况而致误 . 即时突破 下列命题正确的是 ( ) (A) 单位向量都相等 (B) 在 ,C+0 (C) a b , b c , 则 a c (D)| a |=| b | 是 a = b 的必要不充分条件 解析 : 单位向量的方向不一定相同 , 故选项 A 不正确 ; 在 ,C+0 , 故选项 B 不正确 ; 若 b = 0 , a b , b c 时 , a 与 c 不一定平行 , 故选项 C 不正确 ; 由相等向量的概念知选项 D 正确 . 故选 D. 第 2 节 平面向量基本定理及其坐标表示 基础梳理 考点突破 知识整合 1. 平面向量基本定理 如果 e 1 , e 2 是一平面内的两个 不共线 向量 , 那么对于这个平面内任意向量 a , 有且只有一对实数 1 、 2 ,使 a = 1 e 1 + 2 e 2 . 其中 , 不共线的向量 e 1 , e 2 叫做表示这一平面内所有向量的一组基底 . 基础梳理 抓主干 固双基 质疑探究 1 : 已知两个不共线的向量 e 1 , e 2 为平面内所有向量的一组基底 , 可以表示出平面向量 a , b , 那么一定能用 a , b 作为平面内所有向量的一组基底吗 ?为什么 ? 提示 : 不一定 , 用不共线向量 e 1 , e 2 表示的向量 a , 也可能不共线 , 当 a 与 b 共线时不能 , 如a = e 1 +32e 2 , b = 2 e 1 + 3 e 2 . 2. 平面向量的正交分解 把一个向量分解为两个 互相垂直 的向量 , 叫做把向量正交分解 . 3. 平面向量的坐标表示 (1) 在平面直角坐标系中 , 分别取与 x 轴、 y 轴方向相同的两个 单位向量 i 、 j 作为基底 , 对于平面内的一个向量 a , 由平面向量基本定理知 , 有且只有一对实数 x 、 y, 使得 a =y j,这样 , 平面内的任一向量 a 都可由 x 、 y 唯一确定 , 因此把(x,y) 叫做向量 a 的坐标 , 记作 a =(x,y) , 其中 x 叫做 a 在 y 叫做 a 在 y 轴上的坐标 . (2) 若 A(x 1 ,y 1 ),B(x 2 ,y 2 ), 则x 2 - x 1 ,y 2 - y 1 ). 4. 平面向量的坐标运算 (1) 若 a =(x 1 ,y 1 ), b = (x 2 ,y 2 ), 则 a b = (x 1 x 2 ,y 1 y 2 ) ; (2) 若 a =(x,y), 则 a =( x, y). 质疑探究 2: 相等向量的坐标一定相同吗 ? 相等向量起点和终点坐标可以不同吗 ? 提示 : 相等向量的坐标一定相同 . 相等向量的起点和终点坐标可以不同 . 例如 A(3,5) ,B(6,8),3,3); C( - 5,3),D( - 2,6 ),3,3), 显然D, 但 A 、 B 、 C 、 5. 向量共线的充要条件的坐标表示 若 a =(x 1 ,y 1 ), b =(x 2 ,y 2 ), 则 a b x 1 y 2 - x 2 y 1 = 0 . 双基自测 1. 若向量2,3),4,7), 则 A ) (A)( - 2, - 4) (B)(2,4) (C)(6,10) (D)( - 6, - 10) 解析 :A+( - 2 , - 4 ) . 故选 A . 2 . ( 2013 年高考陕西卷 ) 已知向量a =(1,m), b =(m ,2 ), 若 a b , 则实数 m 等于 ( C ) (A) )2(C) )0 解析 : 由 a b , 得 = 0 , 解得 m= 2. 故选 C . 3. 已知 a =(5, - 2), b =( - 4, - 3) , 若 a - 2 b +3 c = 0 , 则 c 等于 ( D ) (A) ( 1,83) (B) ( 3) (C) (133,43) (D) ( 解析 : 设 c =(x,y ), 则由题意得 (5, - 2) - 2( - 4, - 3) +3(x,y)= 0 , 即 (3x+13,3y+ 4)= 0 , 3 1 3 0 ,3 4 0 ,13, c = ( . 故选 D. 4 . ( 2013 广东六校联考 ) 已知 O 为坐标原点 , 点 C 是线段一点 , 且 A(1 ,1 ),C (2, 3), |2| 则向量 . 解析 : 由点 C 是线段 一点 , 且 A ( 1 , 1 ), C ( 2 , 3 ), | 2 |, 得- 2设点 B ( x , y ), 则 ( 2 - x , 3 - y ) = - 2 ( 1 , 2 ), 即2 2 ,3 4 , 解得4,7所以向量 4 , 7 ) 答案 : (4,7) 考点突破 剖典例 知规律 考点一 平面向量基本定理及其应用 【例 1 】 (1)(2 013 哈师大附中模拟 ) 在平行四边形 E 和 F 分别是边 中点 , 若中 m,n R , 则 m+n = . (2) 如图所示 , 在四边形 , 交于点 O, 设a ,b , 若则 ( 用向量 a 和 b 表示 ). 思维导引 : (1) 用与AC= 可 得 m,n. (2) 由 得 关系 , 先将 再用 解析 : (1) 因为D+12F=2 所以F=32(D)=32 所以33所以 m+n=43. (2) , 3 又D+D+12 333a +13b . 答案 : (1)43(2)23a +13b 反思归纳 用平面向量基本定理解决问题的一般思路是 : 先选择一组基底 , 再用该基底表示向量 , 其实质就是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加减运算和数乘 运算 . 即时突破 1 (2013 昆明模拟 ) 如图所示 , 向量a ,b ,c ,A,B,C 在一条直线上 , 且- 3 ( ) (A) c = 32b (B) c =32a (C) c = - a +2 b (D) c = a +2 b 解析 : - 32 A+A+32A+32( = 2 即 c = 32b . 故选 A. 考点二 平面向量的坐标运算 【例 2 】 (2013 年高考北京卷 ) 向量 a , b , c 在正方形网格中的位置如图所示 . 若 c = a + b ( , R ),则= . 解析 : 建立如图所示的坐标系 . 则 a = ( - 1 , 1 ), b = ( 6 , 2 ), c = ( - 1 , - 3 ) . 由 c = a + b = ( - 1 , 1 ) + ( 6 , 2 ) = ( - + 6 , + 2 ) . 得6 1 ,2 3 , 解得2,= 4 . 答案 : 4 反思归纳 两向量 a = (x 1 ,y 1 ), b =( x 2 ,y 2 ) 相等的充要条件是它们的对应坐标分别相等 , 即1212, 利用向量相等可列出方程组 , 求其中的未知量 , 从而解决求参数、求点的坐标及向量的坐标等问题 . 即时突破 2 ( 2013 潮州二模 ) 已知向量 a =(1,3), b =( - 1,0), 则 | a +2 b | 等于 ( ) (A)1 (B) 2 (C)2 (D)4 解析 :a +2 b =( 1,3)+( - 2,0)=( - 1,3), | a + 2 b |= 3213= 2 . 故选 C . 考点三 平面向量共线的坐标表示 【例 3 】 已知 a = (1, 0 ), b =( 2,1 ). (1) 当 k 为何值时 ,k a - b 与 a +2 b 共线 ; (2) 若 a +3 b ,a +m b , 且 A 、 B 、 C 三点共线 ,求 m 的值 . 思维导引 : (1) 将各向量用坐标表示 , 利用向量共线的充要条件列方程求解 . (2) 将 A 、 B 、 C 三点共线转化为 解 : (1) a =( 1,0), b =(2 ,1), k a - b =k(1,0 ) - (2,1)=(k - 2, - 1), a +2 b =(1,0)+2(2 ,1)=(5,2) , k a - b 与 a +2 b 共线 , 2(k - 2) - ( - 1) 5=0, k= (2)(1,0)+3(2 ,1)=(8,3) , 1,0)+m(2,1)= (2m+1,m). A 、 B 、 C 三点共线 , C, 8m - 3(2m+1) =0, m=32. 反思归纳 向量共线充要条件的两种形式 : (1) a b a = b ( b 0) , (2) a b x 1 y 2 - x 2 y 1 =0( 其中 a =(x 1 ,y 1 ), b =(x 2 ,y 2 ). 当涉及向量或点的坐标问题一般利用 (2) 比较方便 . 即时突破 3 (2 0 13 山西大同市诊断性考试 ) 已知向量 a =(3,1), b =( 0 , - 1 ), c =(k,3). 若 a - 2 b 与 则 k= . 解析 : a - 2 b =(3,1) - 2(0, - 1)=( 3,3). 由题意得33- 3k=0, 解得 k=1. 答案 : 1 备选例题 【例 1 】 (2013 南昌二模 ) 已知向量a =(1,1), b =(1, - 1), c =(2c ,2 )( R ),实数 m,n 满足 m a +n b = c , 则 (m - 3)2+ . 解析 : 由 m a +n b = c , 得2 c o s ,2 s i n , 故 (m+n)2+(m - n)2=2, 即 m2+1, (m - 3)2+n2=m2+ - 6m=1 0 - 6m. 又 - 1 m 1, 当 m= - 1 时 ,( m - 3 )2+6 . 答案 : 16 【例 2 】 已知点 O 为坐标原点 ,A( 0,2 ),B (4, 6 ), OM=t 1OA+t 2 (1) 求点 M 在第二或第三象限的充要条件 ; (2) 求证 : 当 t 1 =1 时 , 不论 t 2 为何实数 ,A 、 B 、 M 三点都共线 ; (3) 若 t 1 = 求当面积为 12 时 a 的值 . ( 1 ) 解 : OM=t 1OA+t 2AB=t 1 ( 0 , 2 ) +t 2 ( 4 , 4 ) = ( 4 t 2 , 2 t 1 + 4 t 2 ) . 当点 M 在第二或第三象限时 , 有2124 0 ,2 4 0 ,故所求的充要条件为 t 2 0 且 t 1 + 2 t 2 0 . ( 2 ) 证明 : 当 t 1 = 1 时 , 由 ( 1 ) 知( 4 t 2 , 4 t 2 + 2 ) . ( 4 , 4 ), ( 4 t 2 , 4 t 2 ) = t 2 ( 4 , 4 ) =t 2 当 t 1 = 1 时 , 不论 t 2 为何实数 , A 、 B 、 M 三点都共线 . (3) 解 : 当 t 1 =4t 2 ,4t 2 +2 又4,4),B, 4t 2 4+(4 t 2 +2 4=0, t 2 = 故 - a2, 又 |42, 点 M 到直线 AB:x - y+2=0 的距离 d=2222 =2|1 - S A B N = 12, 12| d=12 422|1 - 1 2, 解得 a= 2, 故所求 a 的值为 2. 思想方法 转化化归思想在有关向量线性运算综合问题中的应用 【典例】 (2013 年高考北京卷 ) 已知点A(1, - 1),B(3, 0 ) ,C( 2,1 ). 若平面区域 D 由所有满足 2, 0 1) 的点 P 组成 , 则 D 的面积为 . 分析 : 用点 P 的坐标 x,y 表示 , , 代入1 2 ,0 1 ,可确定平面区域 D. 解析 : 设点 P(x ,y) , 由 得 (x - 1,y+1)= (2,1)+ (1,2), 1 2 ,1 2 , 得23,323,3 由 1 2,0 1 得 , 231 2 ,3230 1 ,3 即3 2 3 6 ,3 2 3 0 , 作出不等式组约束条件下的可行域如图阴影部分所示 , 点 B(3,0) 到直线 x - 2y=0 的距离 d=314=355, 点 B,M 之间的距离 |5, 故阴影部分的面积为 |B M| d=5355=3. 答案 : 3 方法点睛 本题利用向量的运算建立了点 x,y 与参数 , 之间的关系 , 将 , 的条件转化为关于 x,y 的不等式组 , 从而确定了平面区域 D, 使问题得以解决 . 即时突破 (2013 年高考湖南卷 ) 已知 a , b 是单位向量 , a b = 0 . 若向量 c 满足 | c - a - b |=1, 则 | c | 的最大值为 ( ) (A)2- 1 (B)2(C)2+1 (D)2+2 解析 : 因为 a , b 是单位向量 , 且 a b =0, 可令 a =(1,0), b =( 0,1), 设向量 c =(x,y) , 则 c - a - b =(x,y) - (1 ,0) - (0,1) =(x - 1,y - 1) , | c - a - b |= 2211 , 又 | c - a - b |=1, 所以 (x - 1)2+(y - 1)2=1, 圆心 A 为 (1,1), 半径为 1. 如图 ,| c | 的最大值表示原点到圆上动点的最大值 , |2211 =2, | c | 的最大值为2+1. 故选 C. 第 3 节 平面向量的数量积及平面向量的应用 基础梳理 考点突破 知识整合 1. 向量的夹角 (1) 定义 已知两个非零向量 a 和 b , 作a ,b , 如图所示 , 则 = 叫做向量 a 与 b 的夹角 , 也可记作= . 基础梳理 抓主干 固双基 (2) 范围 向量夹角 的范围是 0 , , a 与 b 同向时 , 夹角 = 0 ; a 与 b 反向时 , 夹角 = . (3) 垂直关系 如果非零向量 a 与 b 的夹角是 9 0 , 我们说 a 与 b 垂直 , 记作 a b . 2. 平面向量的数量积 (1) 数量积的定义 已知两个非零向量 a 和 b , 它们的夹角为 , 则向量 a与 b 的数量积是数量 | a | b | c , 记作 a b , 即a b = | a | b | c . (2) 向量的投影 设 为 a 与 b 的夹角 , 则向量 a 在 b 方向上的投影是| a | c ; 向量 b 在 a 方向上的投影是 | b | c . (3) 数量积的几何意义 数量积 a b 等于 a 的长度 | a | 与 b 在 a 的方向上的投影 | b | c 的乘积 . 3. 平面向量数量积的性质及其坐标表示 已知非零向量 a =(x 1 ,y 1 ), b =(x 2 ,y 2 ), 为向量 a 、 b 的夹角 . 向量表示 坐标表示 数量积 a b =| a | b | c a b =x 1 x 2 +y 1 y 2 模 | a |= a |=2211夹角 c =c = 1 2 1 22 2 2 21 1 2 2x x y yx y x y a b 的 充要条件 a b = 0 x 1 x 2 +y 1 y 2 = 0 |a b| 与 |a|b| 的 关系 | a b | | a | b | ( 当且仅当 a b 时等号成立 ) |x 1 x 2 +y 1 y 2 | 221122224. 平面向量数量积的运算律 已知向量 a 、 b 、 c 和实数 , 则 : (1) 交换律 : a b = b a ; (2) 结合律 :( a ) b = ( a b )= a ( b ) ; (3) 分配律 :( a + b ) c = a c + b c . 质疑探究 : 对于非零向量 a 、 b 、 c . (1) 若 a c = b c , 则 a = b 吗 ? (2)( a b ) c = a ( b c ) 恒成立吗 ? 提示 : ( 1) 不一定有 a = b , 因为 a c = b c c ( a - b )=0, 即 c 与 a - b 垂直 , 但不一定有 a = b (2) 因为 ( a b ) c 与向量 c 共线 ,( b c ) a 与向量 a 共线 . 所以 ( a b ) c 与 a ( b c ) 不一定相等 , 即向量的数量积不满足结合律 . 5. 向量在平面几何中的应用 平面向量在平面几何中的应用主要是用向量的线性运算及数量积解决平面几何中的平行、垂直、全等、相似、长度、夹角等问题 . 6. 平面向量在物理中的应用 (1) 由于物理学中的力、速度、位移都是矢量 , 它们的分解与合成与向量的 加法和减法 相似 , 可以用向量的知识来解决 . (2) 物理学中的功是一个标量 , 这是力 F 与位移 s 的数量积 . 即 W= F s=| F | s | c ( 为 F 与 s 的夹角 ). 双基自测 1.(2013 年高考辽宁卷 ) 已知点 A( 1,3 ),B (4, - 1), 则与向量 A ) (A) （35, (B) （45, (C) （ 5） (D) （ 5） 解析 :3, - 4), 则与5(3, - 4)= （35, . 故选 A. 2. 已知 | a |=4 ,| b |=3, a 与 b 的夹角为 12 0 , 则 b在 a 方向上的投影为 ( D ) (A)2 (B)32(C) - 2 (D) b 在 a 方向上的投影为 | b | c 20 = . 3.(2012 年高考陕西卷 ) 设向量 a = (1, c ) 与b =( - 1,2 c ) 垂直 , 则 c 等于 ( C ) (A)22(B)12(C) 0 (D) - 1 解析 : a b , 1 ( - 1)+ c o s 2 c =0, 即 2 c 1=0. c =2 c 1=0. 故选 C. 4.(2013 东阳中学月考 ) 已知一物体在共点力F 1 =(l g 2,l g 2 ) , F 2 = (5,l g 2) 的作用下产生位移 s=(2,1) , 则共点力对物体做的功 . 解析 : F 1 + F 2 =( 1,2 ), W=( F 1 + F 2 ) s= 25+ 22=2 . 答案 : 2 考点一 平面向量数量积的运算 【例 1 】 (1) (2 013 年高考新课标全国卷 ) 已知正方形边长为 2,E 为 中点 , 则 . (2)(2013 年高考新课标全国卷 ) 已知两个单位向量 a , 0 , c =t a +( 1 - t) b , 若 b c = 0 , 则 t= . 考点突破 剖典例 知规律 思维导引 : (1) 建立坐标系 , 写出相关向量的坐标再运算或选 表示出 (2) 通过数量积的运算 , 把 b c =0 转化为关于 t 的方程求解 . 解 析 : (1)D= (2 ( 2B+12C=2222=2. (2) 由 b c =0 知 , b c =t a +(1 - t) b b =t a b +(1 - t) b2=t 1 1 c 0 +(1 - t)=0. 即 1 , t=2. 答案 : (1)2 (2)2 反思归纳 (1) 平面向量数量积的计算方法 已知向量 a , b 的模及夹角 , 利用公式a b =| a | b | c 求解 ; 已知向量 a , b 的坐标 , 利用数量积的坐标形式求解 . (2) 对于向量数量积与线性运算的综合运算问题 ,可先利用数量积的运算律化简 , 再进行运算 . 即时突破 1 ( 2013 佛山市质检 ( 一 ) 已知a =(1,2), b =(0 ,1 ), c =(k, - 2 ), 若 ( a +2 b ) c , 则 ) (A)2 (B)8 (C) - 2 (D) - 8 解析 : a + 2 b = ( 1 , 4 ), 由题意得 k - 8 = 0 , k= 8 , 故选 B . 考点二 向量的夹角与向量的模 【例 2 】 已知 | a |=4,| b |=3,(2 a - 3 b ) (2 a + b )=61, (1) 求 a 与 b 的夹角 ; (2) 求 | a + b |; (3) 若 (k a + b ) b , 求 k 的值 . 解 : (1) (2 a - 3 b ) (2 a + b )=61, 4 a b - 3 1. | a |=4,| b |= 3, 6, , 4 16 - 4 a b - 3 9=61, a b = - 6, c =643= 又 0 , =2 3. (2)| a + b |2=( a + b )2= a b + 6+2 ( - 6)+ 9 =13. | a + b |=13. (3) 由 (k a + b ) b 得 (k a + b ) b =0, 即 k a b + , - 6k+9=0,k=32. 反思归纳 利用向量夹角公式、模公式及向量垂直的充要条件 , 可将有关角度问题、线段长问题及垂直问题转化为向量的数量积来 解决 . 即时突破 2 (1)(2013 年高考山东卷 ) 在平面直角坐标系 , 已知 - 1,t),2,2), 若 0 , 则实数 t 的值为 . (2) 已知向量 a , b 夹角为 45 , 且 | a |=1,|2 a - b |=10,则 | b |= . 解析 : (1) 若 9 0 , 即O, 因为 - 3,t - 2), - 2, - 2 ), 所以O=( - 3,t - 2) ( - 2, - 2)=6 - 2t+4=0, 解得 t=5. (2) 把 |2 a - b
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