【导与练】2015届高考数学一轮复习 第3篇课件（打包7套）文 新人教版
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【导与练】2015届高考数学一轮复习 第3篇课件（打包7套）文 新人教版,高考,数学,一轮,复习,温习,课件,打包,新人
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第三篇 三角函数、解三角形 ( 必修 4 、必修 5) 第 1 节 任意角的三角函数 基础梳理 考点突破 知识整合 1. 角的有关概念 (1) 角的形成 角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置 旋转 到另一个位置所成的 图形 . 基础梳理 抓主干 固双基 (3) 所有与角 终边相同的角连同角 在内 , 可构成一个集合 :S= | = +k 360 ,k Z 或 | = +2k ,k Z . 质疑探究 1: (1 ) 第二象限角一定是钝角吗 ?(2) 终边相同的角一定相等吗 ? 提示 : ( 1) 钝角是第二象限角 , 但第二 象限角不一定是钝角 ;(2) 终边相同的角不一定相等 . 2. 弧度制 (1) 定义 长度等于 半径长 的弧所对的圆心角叫做 1 弧度的角 . 弧度记作 (2) 公式 角的弧度数公式 | |=弧长用 l 表示 ) 角度与弧度的换算 1 =180 1 r a d =180弧长公式 弧长 l= | |r 扇形面积公式 S=12l r=12| | ) 规定 正角的弧度数是一个 正数 , 负角的弧度数是一个 负数 , 零角的弧度数是 0. 3. 任意角的三角函数 (1) 定义 设角 终边与单位圆交于 P(x,y), 则 si n = y , = x , =yx(x 0). (2) 三角函数值在各象限内符号为正的口诀 一全正 , 二正弦 , 三正切 , 四余弦 . (3) 几何表示 三角函数线可以看作是三角函数的几何表示 . 正弦线的起点都在 余弦线的起点都是原点 , 正切线的起点都是 (1,0). 如图中有向线段 别叫做角 的 正弦线 、余弦线、 正切线 . 质疑探究 2: 若角终边上任意一点 P(x,y)( 原点除外 ),你能用 x 、 y 表示角的正弦、余弦、正切吗 ? 提示 : 能 ,s =22, =22, =( 0 ) ,不 存 在 （ =0） 1. - 870 角的终边在第几象限 ( C ) (A) 一 (B) 二 (C) 三 (D) 四 解析 : - 8 70 = - 36 0 3+ 210 , - 870 与 210 角终边相同 . 又 210 角的终边在第三象限 , - 870 角的终边在第三象限 . 故选 C. 2. 若 0, 则 是 ( C ) (A) 第一象限角 (B) 第二象限角 (C) 第三象限角 (D) 第四象限角 解析 : 由 0 知的终边在第一或第三象限 , 故是第三象限角 . 3. 角 的终边过点 P( - 1,2), 则 等于 ( B ) (A)55(B)255(C) ) 依题意 r=5, 所以 =5=255. 故选 B . 4. 弧长为 3 , 圆心角为 135 的扇形半径为 , 面积为 . 解析 : 弧长 l=3 , 圆心角 =34 , 由弧长公式 l =| | r, 得 r=l=3 34=4, 面积 S=12 . 答案 : 4 6 考点一 象限角及终边相同的角 【例 1 】 (1) 设集合 M=1 8 0 4 5 x k , N =1 8 0 4 5 x k , 判断两集合的关系 ( ) (A)M= N (B)M N (C) N M (D)M N =(2) 已知角 是第一象限角 , 试确定 2 ,2终边的位置 ; (3) 在 - 720 0 范围内找出所有与 45 角的终边相同的角 . 考点突破 剖典例 知规律 解 : (1) 法一 由于 M=1 8 0 4 5 x k = , - 45 , 45 ,135 ,225 , , N=1 8 0 4 5 x k = , - 45 ,0 ,45 , 90 ,135 , 180 ,22 5 , , 显然有 M N. 法二 由于 M 中 ,x=2k 180 +45 =k 90 +45 =45 (2k + 1), 2k+ 1 是奇数 ; 而 N 中 ,x=4k 180 + 45 = k 45 +45 =(k+1) 45 , k+1 是整数 , 因此必有 M N. 故选 B. (2) 2k | 所以 s +c 1 . 设单位圆与 x 轴正半轴、 y 轴正半轴分别交于点 A 、 B, 连接 又因为 S P O A =12|12y=12 , S P O B =12x=12 , S 扇形 O A B =14 12=4. 且四边形 扇形所覆盖 , 所以 S O A P +S O P B 即 , 又 S 扇形 A O B , 所以 , 连结 显然 , 综上知 , . 方法点睛 本题直接求解不易进行 , 借助三角函数线用有向线段将三角函数值直观表示出来 ,使问题具体化、简单化 , 另外利用三角函数线还可以证明求解某些简单的三角不等式 . 即时突破 函数 y=1c o 的定义域为 . 解析 : x 0 , x 作直线 x= 于 C 、 D 两点 , 连 如图 , 阴影部分为角 x 终边的范围 , 故满足条件的 x 的集合为 24 2 2 ,k x k k . 答案 : 24 2 2 ,k x k k 第 2 节 同角三角函数的基本关系与诱导公式 基础梳理 考点突破 知识整合 1. 同角三角函数的基本关系式 (1) 平方关系 1 ; (2) 商数关系 =s i nc o s. 基础梳理 抓主干 固双基 2. 诱导公式 组序 一 二 三 四 五 六 角 2k + (k Z ) + - - 2- 2+ 正弦 - - 余弦 - - - 正切 - - 口诀 函数名不变 符号看象限 函数名改变 符号看象限 记忆 规律 奇变偶不变 , 符号看象限 双基自测 1.(2013 年高考大纲全国卷 ) 已知 是第二象限角 , =513, 则 等于 ( A ) (A) ) )513(D)1213解析 : 因是第二象限角 , 所以 0, 当 m=0 时 ,x= x=45, 此时 x= 当 m=8 时 ,x=513,x= 舍去 ), 综上 ,x= 答案 : (1)1 (2) (1) 利用 1 可以实现角的正弦、余弦的互化 , 利用s i nc o s=可以实现角的弦切 互化 . (2) 应用公式时注意方程思想的应用 : 对于 + , , - 这三个式子 , 利用 ( c )2=1 2 c , 可以知一求二 . (3) 巧用“ 1 ”的变换 :1= si 等 . 即时突破 1 ( 1 ) ( 2013 广东六校联考 ) 若角 的终 边落在第三象限 , 则2c o s1 s i n+22 s i n1 c o s的值 为 ( ) (A)3 (B) - 3 (C)1 (D) - 1 (2) 若 +co s =15, (0, ), 则 - 的值为 . 解析 : ( 1 ) 角的终边落在第三象限 , 0 , 0 , - c = 2s i n c o s=1 2 s i n c o s=75. 法二 ( 0 , ), 由221s i n c o s ,5s i n c o s 1得4s i n , 53c o s - c =45=75. 答案 : (1)B (2)75考点二 诱导公式 【例 2 】 (1 )(2 013 哈师大附中模拟 ) 设 + )= 2, 则 s i n c o s s i n + c o s 等于 ( ) (A)3 (B)13(C)1 (D) - 1 (2) 已知 2 , - 7 )= 求 + ) 的值 . 思维导引 : 先利用诱导公式化简 , 再由同角三角函数基本关系计算 . 解析 : (1) 由 + ) =2, 得 =2, 故 s i n c o s s i n + c o s = s i n c o ss i n c o s =s i n c o ss i n c o s=t a n 1t a n 1=3. 故选 A. (2) - 7 )=c o s(7 - )= - ) = - = =35. + ) ta = + ) 7t a n 2 = t = s i o = c o ss i n= =35. 即时突破 2 3 t a n c o s 2 s i o s s i n = . 解析 : 原式 = t a n c o s s i o s + s i n + = t a n c o s c o sc o s s i n = t a n c o ss i n= - 1. 答案 : - 1 考点三 诱导公式在三角形中的应用 【例 3 】 在 , 若 2 - A)= - B ), 3= - B), 求 三个内角 . 思维导引 : (1) 由已知的两个等式能得到 与 , 与 的什么关系 ?(=2, 3=2) (2) 由 A 与 B,c 与 B 的关系如何消去 ?( 可用平方关系消去 B, 得 3co 2 ) (3) 消去 B 后如何求得 A?( 求出 A 的某个三角函数值即可求得 A 的大小 ) 解 : 由已知得s i n 2 s i n 3 c o s 2 c o s 2+ 2得 3 , 1 - , 21, 即 =22或 = 当 =22时 ,=32, 又 A 、 B 是三角形的内角 , A=4,B=6, C= - (A+ B )=712 . 当 = = 又 A 、 B 是三角形的内角 , A=34 ,B=56 , 不合题意 . 综上可知 ,A=4,B=6,C=712 . 反思归纳 (1) 诱导公式在三角形中经常使用 ,常用的角的变形有 :A+B= - C,2 A+ 2B= 2 - 2 C, 2A+2B+2C=2等 , 于是可得 (A +B) =si n C , = (2) 求角时 , 通常是先求出该角的某一个三角函数值 , 再结合其范围 , 确定该角的大小 . 即时突破 3 在三角形 A , 求证 : . 证明 : 在 ,A+B= - C, 22 2= . 备选例题 【例 1 】 求证 : (1+ )+11t a n =1s i n +1c o s . 证明 : 左边 =s i o s+c o i n= +2s i nc o s+ +2c o ss i n=2c o ss i ns i n+2s i nc o sc o s=22s i n c o ss i n+22c o s s i nc o s=1s i n +1c o s = 右边 . 【例 2 】 (2013 黄冈模拟 ) 已知函数 f(x)= x+ )+ x+ ), 且 f (4) =3, 求f(2013) 的值 . 解 : f(4 )=a 4 + )+b 4 + ) = +bc o s =3, f(2013)=as 013 + )+b c 201 3 + ) = + )+ + ) = - - bc = - ( +b ) = - 3, 即 f(2013)= - 3. 思想方法 转化思想在三角函数化简求值中的应用 【典例】 (2013 年高考浙江卷 ) 已知 R , +2=102, 则 等于 ( ) (A)43(B)34(C) ) 两边平方将条件转化为关于 si n ,co s 的齐次方程 ,方程两边同除以 的方程再求解 . 解析 : 因为 +2c o s =102, 所以 4 +452, 所以 34 =32, 所以 34 =32(, 所以 3+4 =32(1), 即 3 8 - 3=0, =38( 1), 所以 =22 t a n1 t a n= 故选 C. 方法点睛 本题在求解中运用到了转化思想 ,借助同角关系 =s i nc o s, 将关于弦的关系式转化为关于切的关系式 , 若给出的是关于正、余弦的二次整式 , 常借助平方关系“ 1=c 化为分式形式再求解 . 即时突破 (2012 年高考江西卷 ) 若s i n c o ss i n c o s=12,则 等于 ( ) (A) )34(C) )43解析 : s i n c o ss i n c o s=t a n 1t a n 1=12, = - 3, =22 t a n1 t a n=34. 故选 B. 第 3 节 三角函数的图象与性质 基础梳理 考点突破 知识整合 正弦函数、余弦函数、正切函数的图象和性质 见附表 基础梳理 抓主干 固双基 双基自测 1. 下列说法正确的是 ( C ) (A) 函数 y=x 在第一象限内是减函数 (B) 函数 y=x 在定义域内是增函数 (C) 函数 y=xc os x 是 R 上的奇函数 (D) 所有周期函数都有最小正周期 解析 : 角 =3, =13 6都是第一象限角 , 且 , 故选项 B 错 ; 常数函数 f(x ) =c 是周期为任意非零实数的周期函数 ,它没有最小正周期 , 故选项 D 错 ; 设 f(x)=x c os x, 因为 f( - x)=- x) - x) = - x= - f(x), 所以 f(x)=x x 是 R 上的奇函数 . 故选 C. 2.(2012 年高考福建卷 ) 函数 f(x )= 的图象的一条对称轴是 ( C ) (A)x=4(B)x=2(C)x= )x= f( x)= 的图象的对称轴是 x k +2(k Z ), 即 x=k +34 (k Z ), 令 k= - 1, 则 x= 故选 C. 3.(2013 年高考天津卷 ) 函数 f(x )= 2x 在区间 0,2上的最小值为 ( B ) (A) - 1 (B) )22(D)0 解析 : 由 x ( 0,2) 得 2x 4 , 所以 2x . 即函数 f(x) 在 0,2 上的最小值为 故选 B. 4. 函数 y= - +2 的定义域是 . 解析 : 由 2x+62+k ,k Z , 得 x 6+12k ,k Z . 答案 : x x 12k +6,k Z 考点一 三角函数的定义域和值域 【例 1 】 (1) 函数 y=s i n c o 定义域为 . (2) 当 x 7 ,66时 , 函数 y=3 - x - 2最小值是 ,最大值是 . 解析 : (1) 要使函数有意义 , 必须有 x - x 0, 即 x x, 同一坐标系中作出 y=x,y=x,x 0, 2 的图象 如图所示 . 考点突破 剖典例 知规律 结合图象及正、余弦函数的周期是 2 知 , 函数的定义域为 52 +2 ,k x k k . (2) x 7 ,66, x 1,12. 又 y=3 - x - 2=3 - x - 2(1 - s =221s i +78. 当 x=14时 ,y m i n =78, 当 x= x=1 时 ,y m a x =2 . 答案 : (1) x 2k +4 x 2k +54 ,k Z (2) 782 反思归纳 (1) 求三角函数的定义域实际上是解简单的三角不等式 , 常借助三角函数线或三角函数图象来求解 . (2) 求解三角函数的值域 ( 最值 ) 常见到以下几种类型的题目 : 形如 y=x+bc os x+c 的三角函数化为 y= x+)+k 的形式 , 再求最值 ( 值域 ); 形如 y=x+c 的三角函数 , 可先设 s in x=t , 化为关于 t 的二次函数求值域 ( 最值 ); 形如 y=s x+b(x x)+c 的三角函数 , 可先设 t=x x, 化为关于 t 的二次函数求值域 ( 最值 ). 即时突破 1 (1) 函数 y=3s i 的定义域为 . (2)(2013 浙江杭州模拟 ) 定义运算 a b 为 a b= ,.a a bb a b如 1 2 =1, 则函数 f(x )=s x . 解析 : (1) 由题意得 x 32, 由 y=x 的图象可知 , 使 x 32成立的 x 的取值区间为 2k +3,2k +32 (k Z ). (2)f(x)=x x= s i n s i n c o s ,c o s s i n c o s ,x x xx x x由 y=x 与 y=x 的图象 ( 图略 ) 知 函数值域为 - 1,22 . 答案 : (1) 2k +3,2k +2 3 (k Z ) (2) - 1,22 考点二 三角函数的单调性 【例 2 】 已知 f( x)= x+ ,x 0, , 求 f(x )的单调递增区间 . 思维导引 : 先将函数化为 f (x) =As x+) 的形式 , 再求函数的单调区间 . 解 : f(x)=x+=x+x=2. 由 k x+42+2k ,k Z , 得 4+2k x 4+2k ,k Z , 又 x 0, , f(x) 的单调递增区间为0,4. 反思归纳 形如 y= x+) 的函数的单调区间的求法 (1) 代换法 若 A0, 0, 把 x+看作是一个整体 , 由 k x+2+2k (k Z ) 求得函数的增区间 , 由2+2k x+3 2+2k (k Z ) 求得函数的减区间 . 若 A0, 0 ), 若存在 x 1 ,x 2 ( 0,4) ,使得 f(x 1 )= g(x 2 ) 成立 , 求实数 m 的取值范围 . 解 : f(x)=x+233=x+3(x+1) -3=x+3c x =2 2x+3) 0 x 1 4, 3 2x 1 +35 6. 1 f(x 1 ) 2. 又 2x 2 3, 12 2x 2 1, g(x 2 ) - m+3. 又存在 x 1 ,x 2 0,4 , 使得 f(x 1 )=g(x 2 ), 1 2 或 1 - m+3 2, 23 m 43或 1 m 2, 23 m 2. 思想方法 分类讨论思想在三角函数中的应用 【典例】 已知函数 f(x)=2as 2x +b 的定义域为 0,2 , 函数的最大值为 1, 最小值为 - 5, 求 a 和 b 的值 . 分析 : 由定义域求出 2x 进而求出 2x 的范围 , 根据 a0 或 则2 1 ,3 5 , 解得1 2 6 3 ,2 3 1 2 3 , 若 , 则当 x=1 时 y m a x = - 1 +2a . 综合、得 当 - 1 a 1 时最大值为 当 函数的最大值为 - 1+2a. 第 4 节 函数 y= x+)的图象及应用 基础梳理 考点突破 知识整合 1. 用“五点法”作函数 y= x+)(A0, 0)的图象 “五点法”作图的五点是在一个周期内的最高点、最低点及与 x 轴相交的三个交点 , 作图时的一般步骤为 : (1) 定点 先确定五点 . 即令 x+分别等于 0,2, ,3 2,2 , 基础梳理 抓主干 固双基 得对应的五点为 :,0,2A, ,0,3 ,2A,2 ,0. (2) 作图 在坐标系中描出这五个关键点 , 用平滑的曲线顺次连接得到 y=A si n( x+) 在一个周期内的图象 . (3) 扩展 将所得图象 , 按周期向两侧扩展可得y= x+) 在 R 上的图象 . 2. 由函数 y=x 的图象变换得到 y=x+)(A0, 0) 的图象的步骤 法一 画出 y=x 的图象 得到 y=x+) 的图象 法二 画出 y=x 的图象 得到 y= x 的图象 得到 y= x+) 的图象 得到 y= x+) 的图象 得到 y= x+) 的图象 得到 y= x+) 的图象 质疑探究 : 如果将函数 y=A si n x 的图象向左平移 m 或向右平移 m(m 0), 得函数 y= x+m)或 y= x - m) 的图象吗 ? 提示 : 不是 , 常说的“左加右减”指的是向左平移 x 加上 m, 向右平移 m 个单位时 ,x 减去 m,而不是 x 加上或减去 m, 即由 y=A s x 向左平移 m 个单位得 y= (x+m), 由 y= x 向右平移 m 个单位得 y =As (x - m). 3. 简谐运动的有关概念 当函数 y= x+)(A0, 0,x 0,+ )表示一个简谐振动量时 , 则 A 叫做 振幅 , T=2 叫做周期 ,f=1x 叫做相位 ,x=0 时的相位叫做初相 . 双基自测 的振幅、频率和初相分别为( A ) (A)2,1, )2,12 , )2,1, )2, 12 , 函数 y=2 的 振幅为 2, 周期 T=2 2= , 频率为1, 初相为 故选 A. 2.(2013 年高考四川卷 ) 函数 f(x )= 2si n( x+)（ 0, 0) 的图象及其变换 【例 1 】 已知函数 y=2 s 2x+3) , (1) 求它的振幅、周期、初相 ; (2) 用“五点法”作出它在一个周期内的图象 ; (3) 说明 y=2 2 x+3) 的图象可由 y= x 的图象经过怎样的变换而得到 . 考点突破 剖典例 知规律 解 : (1)y=2 2x+3) 的振幅 A=2, 周期 T=2 2= , 初相=3. (2) 列表 , 并描点画出图象 : x 125 62x+30 2 3 22 2 2 x +3) 0 2 0 - 2 0 (3) 把 y=x 的图象上所有的点向左平移3个单位长度 ,得到 y= x+3) 的图象 , 再把 y= x+3) 图象上的点的横坐标缩短到原来的12( 纵坐标不变 ), 得到 y= 2x+3) 的图象 , 最后把 y= 2x +3) 上所有点的纵坐标伸长到原来的2 倍 ( 横坐标不变 ), 即可得到 y= 2si n ( 2x+3) 的图象 . 反思归纳 (1) 用“五点法”作 y= x+) 的简图 ,主要是通过列表 , 计算得出五点坐标 , 描点后得到 . (2) 函数图象变换要注意是“先平移后伸缩”还是“先伸缩后平移” , 对于后者可利用 x+= ( x+) 来确定平移的单位长度 . 即时突破 1 ( 2013 广州市综合测试 ) 已知函数 f(x ) =2x,为了得到函数 g(x )=s i n 2 x+c x 的图象 , 只要将 y=f (x) 的图 象 ( ) (A) 向右平移4个单位长度 (B) 向左平移4个单位长度 (C) 向右平移8个单位长度 (D) 向左平移8个单位长度 解析 : 因为 g ( x ) = 2 x+ 2 x =2 2x+4) =2 2 ( x+8) 所以只要将 f ( x ) 的图象向左平移8个单位长度即可 . 故选 D . 考点二 求函数 y=A si n( x+)+ b 的解析式 【例 2 】 (1) 已知函数 y =As x+)+m 的最大值为 4, 最小值为 0, 两条对称轴间的最短距离为2, 直线 x=6是其图象的一条对称轴 , 则符合条件的解析式可能是 ( ) (A)y=4( B)y= - 2+2 (C)y= - 2+2(D)y=2+2 (2)(2011 年高考江苏卷 ) 函数 f(x ) =As x+) (A, , 为常数 ,A0, 0) 的部分图象如图所示 ,则 f(0) 的值是 . 解析 : (1) 函数的最大值为 4, 最小值为 0, |A|=402=2,m=402=2, 又两对称轴间的最短距离为2, 2T=2, T= , =2. f(x)=22x+)+2 或 f(x)= - 2x+)+2. 又 x=6是其图象的一条对称轴 , =4 或 =0. 代入验证可知选项 B 符合 . 故选 B. (2) 由题图知 A=2, 4T=7 124, T= , 2 = , =2, f (x) =2x+), 将点 (7 12, 代入得 , 2 7 12+) = 6+) , 6+) =1, 6+=2k +2(k Z ), =3+2k (k Z ), f(x)=2 2x+3+2k ) =2 2x+3) , f(0)=23=62. 答案 : (1)B (2)62反思归纳 确定 y=A x+) +b ( A 0 , 0 ) 的步骤及方法 : ( 1 ) 由函数的最大值 M 和最小值 m 确定A , b , A=2, b=2. ( 2 ) 由周期 T 确定 , =2 T. ( 3 ) 求( 此时 A 、 b 已知 ) 的值常用代入法 . 函数图象上升时与 x 轴的交点代入得 x+= 2 k , k Z ; 最高点代入得 x+=2+ 2 k , k Z ; 函数图象下降时与 x 轴的交点代入得 x+= + 2 k , k Z ; 最低点代入得 x+=3 2+ 2 k , k Z , 再由的范围求解 . 即时突破 2 ( 2013 揭阳学业水平考试 ) 已知函数 f(x)= x+) ( 其中 A 0, 0, 0 2时 , h=M+= . 当 0 2时 , 上式也成立 . h 与间的函数关系式为 h= 4. 8si n ( . (2) 点 A 在圆上转动的角速度是30弧度 / 秒 , t 秒转过的弧度数为30t, h=30t ,t 0,+ ). 首次到达最高点时 ,h=10 , 即 30t =1,30t 2, 即 t=30 秒时 , 该缆车首次到达最高点 . 反思归纳 三角函数模型在实际中的应用体现在两个方面 , 一是已知函数模型 , 利用三角函数的有关性质解决问题 , 其关键是准确理解自变量的意义及自变量与函数之间的对应法则 , 二是把实际问题抽象转化成数学问题 , 建立三角函数模型 , 再利用三角函数的有关知识解决问题 , 其关键是建模 . 即时突破 3 如图所示 , 某地夏天从 8 14 时用电量变化曲线近似满足函数 y= x+)+b, (0, ). (1) 写出这段曲线的函数解析式 ; (2) 求当地 10 时的用电量 . 解 : (1) 观察题图 , 可知从 8 14 时的图象是 y= n( x+)+ A=12 (50 - 30)=10,b=12 (50 +30 ) =40 . 2T=14 - 8=122 , =6, y=106x+) +40. 将 x=8,y=30 代入上式 , 解得=6, 所求解析式为 y=1 0si n (6x+6) +40,x 8, 14. (2) 由 (1) 得当 x =10 时 ,y= 10s i 6+40=35( 万度 ). 即当地 10 时的用电量为 35 万度 . 备选例题 【例 1 】 (2013 年高考大纲全国卷 ) 若函数 y=s x+) ( 0) 的部分图象如图 , 则 等于 ( B ) (A)5 (B)4(C)3 (D)2 解析 : 由图象知2T= ( x 0 +4) - x 0 =4,T=2. 由2 =2得 =4 . 故选 B. 【例 2 】 (2013 安徽望江中学高三模拟 ) 如图是函数f(x)= x+) ( A0, 0,02) 的部分图象 ,M 、 N 是它与 x 轴的两个交点 ,D,C 分别为它的最高点和最低点 , 点 F(0,1) 是线段 中点 ,N=218. (1) 求函数 f(x) 的解析式 ; (2) 求函数 f(x) 的单调递增区间 . 解 : (1) 由已知 F(0,1) 是线段 中点 , 可知 A=2, N= T2T=218(T 为f(x) 的最小正周期 ), T=2 3, =3, f(x )=2 s 3x+), 设 D 点的坐标为 (x D ,2 ), 则由已知得点 M 的坐标为 ( - x D ,0), x D - ( - x D )=14T=142 3, 则 x D =12, 则点 M 的坐标为 ( ) , 3 ( +=2k ,k Z , 02, =4, 函数 f(x) 的解析式为 f(x)=2 3x+4) . (2) 由 2k 3x+4 2k +2(k Z ), 得 2k 4 3x 2k +4(k Z ), 得2 3x 2 3k+12(k Z ), 函数 f(x) 的单调递增区间为 2 3 3k+12 (k Z ). 易错研讨 对平移规律理解不透致误 【典例】 函数 y=s i 图象上各点的横坐标伸长到原来的 2 倍 ( 纵坐标不变 ), 再将图象向左平移3个单位得到新函数的解析式为 ( ) (A)y=(B)y=)y=(D)2x+6) 分析 : 依据三角函数平移规律求解 . 正解 : 函数平移后所得新函数的解析式为y= 12( x+3) +3 = 12x+2) = 故选 B . 易错提醒 本题考查三角函数的伸缩变换和平移变换 , 容易出现以下错误 : ( 1 ) 伸缩变换对 x 系数的影响不清楚 , 误认为函数y= 图象上各点的横坐标伸长到原来的 2 倍得到解析式为 y= . ( 2 ) 对左右平移量是对 x 而言理解 不到位 , 误得到y= 12x+3+3) = 2x+2 3) 的错误结论 . ( 3 ) 平移方向弄反导致错解 . 第 5 节 三角恒等变换 基础梳理 考点突破 知识整合 1. 两角和与差的正弦、余弦、正切公式 (1) 两角和与差的余弦公式 + )= c - s , - )= c +s . (2) 两角和与差的正弦公式 + )= c +c , - )= c - c . 基础梳理 抓主干 固双基 (3) 两角和与差的正切公式 + )=t a n t a n , ,Z1 t a n t a n 2 , - )=t a n t a n , ,Z1 t a n t a n 2 . 2. 二倍角的正弦、余弦和正切公式 (1) 二倍角的正弦公式 = 2si n . (2) 二倍角的余弦公式 = 2 1=1 - 2si (3) 二倍角的正切公式 =22 t a n1 t a n. 3. 公式的常见变式 (1) = )(1 t ) . (2)1 c o s 22; 1 c o s 22; co s =1s i n 22. (3)1+ =22 c o 1 - =22 s i 1+ =2s i n c o ; 1 - =2s i n c o . 4. 形如 x+x 的式子的化简 x+2abx+) ( 其中 =22=22 . 双基自测 1. 化简 15 45 - 75 4 5 的值为 ( A ) (A)12(B)32(C) ) 5 5 - 7 5 4 5 = 5 45 - 15 45 = 5 +45 )=c 0 =12. 故选 A. 2.(2013 年高考江西卷 ) 若 =33,则 等于 ( C ) (A) ) )13(D)23解析 : =1 - 213. 故选 C. 3.(2013 太原五中模拟 ) 已知函数 f(x)=22x, 为了得到函数 g(x )=s i n 2 x+c x 的图象 , 只需要将 y =f( x) 的图象( D ) (A) 向右平移4个单位长度 (B) 向左平移4个单位长度 (C) 向右平移8个单位长度 (D) 向左平移8个单位长度 解析 : f(x)=22x, g (x) =2 2x+4) =22 ( x+8) , 为了得到 g(x) 的图象 , 只需将 f(x) 的图象向左平移8个单位长度 . 故选 D. 4 . ( 2013 惠州二调 ) 已知向量 a =(c , - 2) , b =( ,1),且 a b , 则 等于 . 解析 : 由 a b 知 + 2 = 0 . 由 0 , 则 t = =t a n 11 t a n= - 3 . 答案 : - 3 考点一 三角函数式的化简、求值 【例 1 】 (1) (2 013 年高考重庆卷 ) 40 - 4 0 等于 ( ) (A)2(B)232(C)3(D)22- 1 (2) 若 是第二象限角 ,s - )=1010. 则222 s i n 8 s i n c o s 8 c o s 52 2 2 22 s i = . 考点突破 剖典例 知规律 思维导引 : (1) 根据已知角将其化为同角三角函数 , 并将切化为弦 .(2)对分子进行降幂 , 对分母展开 , 然后由已知条件求出 t 的值代入计算 . 解析 : (1) 4co s 5 0 - t 0 =40 -s i n 4 0c o s 4 0=4 s i n 4 0 c o s 4 0 s i n 4 0c o s 4 0=2 s i n 8 0 s i n 4 0c o s 4 0= 2 c o s 1 0 s i n 3 0 1 0c o s 4 0=33c o s 1 0 s i n 1 022c o s 4 0= 3 c o s 3 0 c o s 1 0 s i n 3 0 s i n 1 0c o s 4 0=3 c o s 4 0c o s 4 0=3. 故选 C. (2) 由 - )=1010得 =1010, 又是第二象限角 , = 010, = 222 s i n 8 s i n c o s 8 c o s 52 2 2 22 s i =2 2 22 s i n 8 s i n c o s 2 c o s 6 c o s 52 2 2 2 2 2 s i n c o s c o s s i =22 4 s i n 6 c o s 52s i n c o s =1 c o s4 s i n 6 32s i n c o s =4 s i n 3 c o ss i n c o s=4 t a n 3t a n 1=433113= 答案 : (1)C (2) 三角函数式的化简常用方法 : (1) 善于发现角之间的差别与联系 , 合理对角拆分 , 恰当选择三角公式 , 能求值的求出值 , 减少角的个数 . (2) 统一函数名称 , 利用诱导公式切弦互化、二倍角公式等实现名称的统一 . (3) 利用公式 , 消去或约去一些非特殊角的三角函数 . 即时突破 1 (2012 年高考重庆卷 ) s i n 4 7 s i n 1 7 c o s 3 0c o s 1 7等于 ( ) (A) ) )12(D)32解析 : 原式 = s i n 1 7 3 0 s i n 1 7 c o s 3 0c o s 1 7=s i n 1 7 c o s 3 0 c o s 1 7 s i n 3 0 s i n 1 7 c o s 3 0c o s 1 7=0 =12. 故选 C. 考点二 三角函数的给值求值问题 【例 2 】 已知 00), 且 y=f (x ) 图象的一个对称中心到最近的对称轴的距离为4. (1) 求 的值 ; (2) 求 f(x) 在区间 ,3 2 上的最大值和最小值 . 解 : ( 1 ) f ( x ) =32x - x x =32 c o s 22x2 x =322 x 2 x= - 2 x . 因为图象的一个对称中心到最近的对称轴的距离为4, 又 0 , 所以2 2 = 4 4, 因此 = 1 . ( 2 ) 由 ( 1 ) 知 f ( x ) = - 2 x . 当 x 3 2时 ,5 3 2 x 3, 所以 2 x 1 . 因此 - 1 f ( x ) 32. 故 f ( x ) 在区间 ,3 2 上的最大值和最小值分别为32, - 1 . 【例 2 】 已知 0 4,0 4, 且 3 =si n(2 + ), 41 - 证明 : + =4. 证明 : 3s =si n(2 + ), 即 3 + - )= + + ), 3 + ) - 3 + )si n = + ) + + )si n , 2 + ) =4 + )si n , + )=2 . 又 41 - =22 t a t a =12. + )=2 =1. + ( 0,2) , + =4. 命题探究 三角恒等变换与三角函数的同角关系式的综合 【典例】 ( 2013 年高 考广东卷 ) 已知函数 f(x ) = 2 x ,x R . (1) 求 的值 ; (2) 若 =35, 3 ,2 2, 求 . 分析 : 利用三角函数的同角关系及两角差的余弦公式 求解 . 解 : ( 1 ) =23 1 2=222= 1 . ( 2 ) =35, 3 ,2 2, 0 , = c o s = 故 =26 1 2=2= 2 c o s c o s s i n s i =222c o s s i = + =35 命题意图 从近几年高考题看利用三角公式求值是高考必考点 , 该类题目主要考查三角 函数的同角关系式、诱导公式、二倍角公式、两角和差的正、余弦公式等三角公式的灵活熟练应用 , 有时还可能将三角公式与三角函数图象性质综合命题 , 试题难度不大 , 只要细心求解一般都能拿满分 . 第 6 节 正弦定理和余弦定理及其应用 基础梳理 考点突破 知识整合 1. 正、余弦定 见附表 质疑探究 1 : 在三角形 , “ AB ”是“ As ”的什么条件 ? “ A B ”是“ 是“ As i n B ”的充要条件 , “ AB ”是“ A “ 锐角三角形”的什么条件 ? 提示 : “ a2+“ 锐角三角形”的必要不充分条件 . 2. 三角形常用面积公式 (1)S=12a h a (h a 表示边 a 上的高 ); (2)S=12=1s i n 2b c A=12; (3)S=12r(a+b+c)(r 为三角形内切圆半径 ). 3. 解三角形在测量中的常见题型 (1) 利用正弦定理和余弦定理解三角形的常见题型有 : 测量距离问题、测量高度问题、测量角度问题、计算面积问题、航海问题、物理问题等 . (2) 有关测量中的几个术语 仰角和俯角 : 与目标视线同在一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角 , 目标视线在水平视线上方时叫 仰角 , 目标视线在水平视线下方时叫 俯角 .( 如图 (1) 所示 ) 方位角 : 一般指从正北方向顺时针到目标方向线的水平角 , 如方位角 45 , 是指北偏东 45 , 即东北方向 . 坡角 : 坡面与水平面的夹角 .( 如图 ( 2) 所示 ) 坡比 : 坡面的铅直高度与水平宽度之比 , 即i=hl= (i 为坡比 , 为坡角 ). 双基自测 1.(2013 年高考北京卷 ) 在 A ,a=3,b=5 ,=13,则 等于 ( B ) (A)15(B)59(C)53(D)1 解析 : 由正弦定理得s i s i =1533=59. 故选 B. 2.(2013 年高考陕西卷 ) 设 A 内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c, 若 s C+c B=a A, 则 形状为 ( B ) (A) 锐角三角形 (B) 直角三角形 (C) 钝角三角形 (D) 不确定 解析 : 由 s C +cc =a s , 得 +=s 所以 +C)=si 在 ,B+ C =18 0 - A, 得 =1, 则 A=2. 因此 直角三角形 . 故选 B. 3.(20 13 广东肇庆高三一模 ) 在 , B=60 ,则 面积等于 . 解析 : 设角 A 、 B 、 C 的对边分别为 a 、 b 、 c, 由余弦定理 ,co s B =2 2 22a c =12, 即2474=12, c - 3=0, c=3 或 c= - 1( 舍去 ). S A B C =12=332. 答案 :3324. 如图所示 , 一艘船上午 9:30 在 A 处测得灯塔 S 在它的北偏东30 处 , 之后它继续沿正北方向匀速航行 , 上午 10:00 到达 B 处 ,此时又测得灯塔 S 在它的北偏东 75 处 , 且与它相距 82n 此船的航速是 n m h. 解析 : 设航行速度为 v n h. 在 ,2v,2, 5 , 由正弦定理得 ,82s i n 3 0=12s i n 4 5v, v=32. 答案 : 32 考点一 利用正、余弦定理解三角形 【例 1 】 (2013 年高考新课标全国卷 ) 如图 , 在 A , 0 , ,P 为 内一点 , 0 . (1) 若 2, 求 (2) 若 150 , 求 ta n 考点突破 剖典例 知规律 思维导引 : ( 1) 在 B 求出 从而求出 然后在 利用余弦定理求解即可 .(2) 设 , 表示出 表示出 然后在 由正弦定理求解即可 . 解 : (1) 由已知得 0 , 所以 30 . 在 , 由余弦定理得 +14- 2 3120 =74, 故 2. (2) 设 , 则 0 - , , 于是 ,si n . 在 , 由正弦定理得3s i n 1 5 0= s i ns i n 3 0, 化简得3 =4s . 所以 =34, 即 4. 反思归纳 利用正、余弦定理解三角形关键是根据已知条件及所求结论确定三角形及所需应用的定理 ,
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