【导与练】2015届高考数学一轮复习 第8篇课件（打包7套）文 新人教版
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【导与练】2015届高考数学一轮复习 第8篇课件（打包7套）文 新人教版,高考,数学,一轮,复习,温习,课件,打包,新人
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第八篇 平面解析几何 ( 必修 2 、选修 1 - 1) 第 1 节 直线与方程 基础梳理 考点突破 知识整合 1. 直线的倾斜角与斜率 (1) 直线的倾斜角 定义 . 当直线 l 与 x 轴相交时 , 我们取 x 轴作为基准 ,x 轴正向 与直线 l 向上 方向之间所成的角 叫做直线 l 的倾斜角 . 当直线 l 与 x 轴平行或重合时 , 规定它的倾斜角为 0 . 范围 : 倾斜角 的范围为 0 ,180 ) . 基础梳理 抓主干 固双基 (2) 直线的斜率 定义 . 一条直线的倾斜角 的 正切值 叫做这条直线的斜率 , 斜率常用小写字母 k 表示 , 即 k= , 倾斜角是90 的直线没有斜率 . 过两点的直线的斜率公式 . 经过两点 P 1 (x 1 ,y 1 ), P 2 (x 2 ,y 2 )( x 1 x 2 ) 的直线的斜率公式为 k=2121. 质疑探究 1: 直线的倾斜角越大 , 斜率 k 就越大 , 这种说法正确吗 ? 提示 : 这种说法不正确 . 由 k= ( 2) 知 (1) 当 0,2) 时 ,k 0, 越大 , 斜率就越大 ; (2) 当 (2, ) 时 ,k0, 越大 , 斜率也越大 . 牢记“斜率变化分两段 ,90 是分界线 , 遇到斜率要谨记 , 存在与否需讨论” . 2. 直线方程的五种形式 名称 已知条件 方程 适用范围 点斜式 斜率 k 与点(x 0 ,y 0 ) 00y y k x x 不含直线0截式 斜率 k 与截距 b y=kx+b 不含垂直于 x 轴的直线 两点式 两点 (x 1 ,y 1 ) 、(x 2 ,y 2 ) ( 其中 x 1 x 2 、y 1 y 2 ) 112 1 2 1y y x xy y x x不含直线 x=x 1 (x 1 =x 2 ) 和直线 y=y 1 (y 1 =y 2 ) 截距式 截距 a 与 b 1不含垂直于坐标轴和过原点的直线 一般式 A x + B y + C = 0 (A 、 B 不同时为 0) 平面直角坐标系内的直线都适用 质疑探究 2: 截距是距离吗 ? 提示 : 不是 . 截距是直线与 x 轴、 y 轴交点的横、纵坐标 , 它是一个实数 , 可正、可负 , 也可为 0,而距离一定是非负实数 . 3. 线段的中点坐标公式 若点 P 1 ,P 2 的坐标分别为 (x 1 ,y 1 ),(x 2 ,y 2 ), 且线段 P 1 P 2的中点 M 的坐标为 (x,y), 则121222，此公式为线段 P 1 P 2 的中点坐标公式 . 4. 两条直线位置关系的判定 斜截式 一般式 直线 方程 y=k 1 x + b 1 y=k 2 x + b 2 A 1 x+B 1 y + C 1 =0 A 2 x+B 2 y + C 2 =0 相交 k 1 k 2 1 2 2 1 0A B A B垂直 12 11 2 1 2 0A A B B平行 k 1 =k 2 且 b 1 b 2 1 2 2 12 1 1 200A B A B C 或1 2 2 11 2 2 100A B A A C 重合 k 1 =k 2 且 b 1 =b 2 1 2 2 12 1 1 200A B A B C或1 2 2 11 2 2 100A B A A C5. 两条直线的交点 设直线 l 1 :A 1 x+B 1 y+C 1 =0,l 2 :A 2 x+B 2 y+C 2 = 0, 将这两条直线的方程联立 , 得方程组1 1 12 2 20,0,A x B y CA x B y C (1) 若方程组有唯一解 , 则 l 1 与 l 2 相交 , 此解就是 l 1 、 l 2交点的坐标 ; (2) 若方程组无解 , 则 l 1 与 l 2 平行 ; (3) 若方程组有无数组解 , 则 l 1 与 l 2 重合 . 6. 三种距离 (1) 两点距离 两点 P 1 (x 1 ,y 1 ) 、 P 2 (x 2 ,y 2 ) 之间的距离 |P 1 P 2 |= 222 1 2 1x x y y . (2) 点线距离 点 P 0 (x 0 ,y 0 ) 到直线 l:A x+ C=0 (A 、 B 不同时为 0) 的距离 d=0022A x B y . (3) 线线距离 两平行直线 A x+B y+C 1 =0 与 y+C 2 =0 间的距离d=1222. 双基自测 1. 直线 y= - x+1 的倾斜角等于 ( D ) (A)0 (B)30 (C)45 (D)135 解析 : 直线 y= - x+1 的斜率为 - 1, 其倾斜角等于135 . 故选 D. 2. 直线 l 过点 ( - 1,2 ) 且与直线 2x - 3y+4=0 垂直 , 则 l 的方程是 ( A ) (A)3x+2y - 1=0 (B)3x+2y+7=0 (C)2x - 3y+5=0 (D)2x - 3y+8=0 解析 : 因为直线 l 与直线 2x - 3y+4=0 垂直 , 由 2x - 3y+4=0 得 y=23x+43, 即斜率为23, 所以直线 l 的斜率为 又直线 l 过点 ( - 1 ,2) , 所以方程为 y - 2= x+1), 整理得 3x+2y - 1 =0. 故选 A. 3. 原点到直线 x+2y - 5=0 的距离为 ( D ) (A)1 (B)3(C)2 (D)5解析 : 所求距离 d=220 2 0 512 =5. 故选 D. 4. 若三条直线 y=2 x,x+y=3,m x+2y+5=0 相交于同一点 , 则 m 的值为 . 解析 : 由2 , 3,得1 , 2,点 (1,2) 满足方程 2y+5=0, 即m+2 2+5=0, m= - 9. 答案 : - 9 考点突破 剖典例 知规律 考点一 直线的倾斜角与斜率 【例 1 】 已知 A( - 2,3),B(3 ,2), 过点 P(0 , - 2) 的直线 l 与线段有公共点 , 则直线 l 的斜率的取值范围是 . 思维导引 : 在平面直角坐标系内画出线段与直线 , 计算 再考查 l 与 公共点时的斜率取值 . 解析 : 如图所示 , 由斜率公式得 k 2302= k 2203=43, 当直线 l 绕 P 点从 时针旋转到与 合时的所有直线 l 与线段 有交点 , 此时斜率 k 满足 k k 43,所以直线 l 与线段 交点的 k 满足 k43. 答案 :54,23反思归纳 (1) 斜率的求法 定义法 :k= ( 90 ); 公式法 : 若已知直线上两点 A(x 1 ,y 1 ) ,B( x 2 ,y 2 ), 根据斜率公式k=2121(x 1 x 2 ). (2) 倾斜角与斜率 k 的部分对应值如下表所示 : 0 6432 33 45 60,2, 2k 0 331 33- 1 330,+ ) ( - ,0) 即时突破 1 直线 - y+1=0 的倾斜角的变化范围是 ( ) (A)0,2(B)(0, ) (C) ,44(D)0,43 , 4解析 : 由 - y+1=0 得 y=x si n +1. 设直线的倾斜角为 , 则 = , - 1 1, - 1 1. 又 0 , 0 4或3 4 , 倾斜角的变化范围为0,43 , 4, 故选 D. 考点二 直线的方程 【例 2 】 已知 A( 1, - 2), B(5 ,6) , 直线 l 经过 中点M, 且在两坐标轴上的截距相等 , 求直线 l 的方程 . 思维导引 : 法一 (1) 求中点 M.(2) 设截距 a. 分 a=0 与 a 0 两种情况求解 . 法二 (1) 求中点 M.(2) 由题斜率存在 , 设出直线的点斜式方程、找出截距 , 利用截距相等求解 . 解 : 法一 设直线 l 在 x 轴、 y 轴上的截距均为 a, 由题意得 M(3 , 2). 若 a=0, 即 l 过点 (0, 0) 和 (3, 2 ), 直线 l 的方程为 y=23x, 即 2x - 3y=0. 若 a 0, 设直线 l 的方程为xa+, 直线 l 过点 M(3,2), 3a+2a=1, a=5, 此时直线 l 的方程为5x+5y=1, 即 x+y - 5=0. 综上所述 , 直线 l 的方程为 2x - 3y=0 或 x+y - 5= 0. 法二 易知 M(3,2), 由题意知所求直线 l 的斜率 k 存在且不为 0, 则直线 l 的方程为 y - 2=k(x - 3), 令 y=0 得 x=3 令 x=0 得 y=2 - 3k. 直线 l 在两坐标轴上的截距相等 , 3 - 3k, 解得 k= - 1 或 k=23. 直线 l 的方程为 y - 2= - (x - 3) 或 y - 2=23(x - 3). 即 x+y - 5=0 或 2x - 3y=0. 反思归纳 (1) 求直线方程的常用方法有 : 直接法 : 直接求出方程中系数 , 写出直线方程 . 待定系数法 : 先根据已知条件设出直线方程 , 再根据已知条件构造关于待定系数的方程 ( 组 ) 求系数 , 最后代入求出直线方程 . (2) 选择直线方程时 , 应注意分类讨论思想方法的应用 , 如果选用点斜式或斜截式 , 则要首先分类讨论直线的斜率存在性 ; 如果选用截距式 , 则首先分类讨论在两坐标轴上的截距是否为 0. (3) 求直线方程时 , 如果没有特别要求 , 则求出的直线方程应化为一般式 C=0 , 且 A 0. 即时突破 2 已知直线 l 与两坐标轴围成的三角形的面积为 3, 分别求满足下列条件的直线 l 的方程 . (1) 过定点 A( - 3 ,4) ; (2) 斜率为16. 解 : (1) 设直线 l 的方程为 y=k (x+ 3)+ 4, 它在 x 轴、 y 轴上的截距分别是 ,3k+4, 由已知得 (3k+4)43k= 6, 解得 k= k= 故直线 l 的方程为 2 x+3 y - 6=0 或 8x+ 3y +12 =0. (2) 设直线 l 在 y 轴上的截距为 b, 则直线 l 的方程为 y=16x+b, 它在 x 轴上的截距为 - 6b , 由已知得 | - 6b b| =6, b= 1. 直线 l 的方程为 x - 6y+6=0 或 x - 6y - 6 =0. 考点三 两条直线的平行与垂直 【例 3 】 (1) 已知两直线 l 1 : x+6= 0, l 2 :(m - 2)x+ 3+2m=0, 若 l 1 l 2 , 求实数 m 的值 ; (2) 已知两直线 l 1 : 2y+ 6=0 和 l 2 :x+(a - 1) y+( )=0,若 l 1 l 2 , 求实数 a 的值 . 思维导引 : 将直线方程转化为斜截式 , 利用平行和垂直时的斜率关系求解 , 也可直接使用一般式时平行和垂直的系数特征求解 . 解 :(1) 法一 当 m=0 时 ,l 1 :x +6=0,l 2 :x=0,l 1 l 2 ; 当 m 0 时 ,l 1 :y= 26m, l 2 :y=23mmx 由 3 得 m= - 1. 故所求实数 m 的值为 0 或 - 1. 法二 由题意得 1 3m - (m - 2) =0 且1 2m - 6 (m - 2) 0m(m - 3)=0 且 m 3m=0或 m= - 1. 故所求实数 m 的值为 0 或 - 1. (2) 法一 由直线 l 1 的方程知其斜率为 当 a=1 时 , 直线 l 2 的斜率不存在 ,l 1 与 l 2 不垂直 ; 当 a 1 时 , 直线 l 2 的斜率为 . 由 1a= - 1a=23. 故所求实数 a 的值为23. 法二 由已知条件得 a 1 +2 (a - 1 )=0a=23. 故所求实数 a 的值为23. 反思归纳 (1) 斜率都存在且不重合的两条直线 l 1 和 l 2 ,l 1 l 2 k 1 =k 2 ,l 1 l 2 k 1 k 2 = - 1. (2) 设 l 1 :A 1 x+B 1 y+C 1 =0,l 2 :A 2 x+ B 2 y+C 2 =0, 则 l 1 l 2 A 1 A 2 +B 1 B 2 =0. 即时突破 3 (1)(2012 年高考浙江卷 ) 设 a R , 则“ a =1 ”是“直线 l 1 :y - 1=0 与直线 l 2 :x+ (a+ 1 )y+ 4=0 平行” 的 ( ) (A) 充分不必要条件 (B) 必要不充分条件 (C) 充分必要条件 (D) 既不充分也不必要条件 (2)(2013 广东惠州模拟 ) 已知直线 l 与直线 x - y - 1= 0 垂直 ,则直线 l 的倾斜角 等于 ( ) (A)4(B)3 4(C)2(D) 不存在 解析 : (1) 若直线 l 1 与 l 2 平行 , 则 a(a+1) - 2 1=0 , 即 a= - 2 或 a=1, a=1 是直线 l 1 与 l 2 平行的充分不必要条件 , 故选 A. (2) 由题意得 t = - 1, 又 0, ), 所以 =3 4. 故选 B. 考点四 距离问题 【例 4 】 已知点 P(2, - 1). (1) 求过 P 点且与原点距离为 2 的直线 l 的方程 ; (2) 求过 P 点且与原点距离最大的直线 l 的方程 ,最大距离是多少 ? 思维导引 : (1) 对直线 l 分斜率存在和不存在两种情况 , 由点斜式和距离公式求参数 k 的数值 ;(2 ) 先找出符合题意的位置 , 确定出斜率后写方程 . 解 : (1) 当 l 的斜率 k 不存在时显然满足要求 , l 的方程为 x=2 ; 当 l 的斜率 k 存在时 , 设 l 的方程为 y+1=k(x - 2), 即 y - 2k - 1=0. 由点到直线距离公式得2211=2, k=34, l 的方程为 3x - 4y - 10=0. 故所求 l 的方程为 x =2 或 3x - 4y - 10=0. (2) 易知过 P 点与原点 O 距离最大的直线是过 P 点且与 直的直线 , 由 l k l k - 1, 所以 k l = . 由直线方程的点斜式得 y+ 1=2 (x - 2), 即 2x - y - 5=0. 即直线 2x - y - 5=0 是过 P 点且与原点 O 距离最大的直线 , 最大距离为55=5. 即时突破 4 (1)(2014 长沙模拟 ) 已知点 A(0 ,2 ), B(2,0), 若点 C 在函数 y= 则使得 的点 C 的个数为 ( ) (A)1 (B)2 (C)3 (D)4 (2) 已知直线 l 1 :y+n =0 与 l 2 :2x + 1=0 互相平行 , 且 l 1 ,l 2 之间的距离为5, 则直线 l 1 的方程为 . 解析 : (1) 设点 C(t, 直线 方程是 x+y - 2 =0, |22. 由于 面积为 2, 则这个三角形中 h 满足12 22h=2, 即 h=2. 由点到直线的距离公式得2=222, 即 |t2+t - 2|=2, 即 t2+t - 2=2或 t2+t - 2= - 2. 因为这两个方程各有两个不相等的实数根 , 故这样的点 C 有 4 个 . 故选 D. (2) l 1 l 2 , 2m=8m1n, 4,2或4,2 . 当 m=4 时 , 直线 l 1 的方程为 4x+ 8 y+n =0, 把 l 2的方程写成 4 x+8 y - 2=0, 21 6 6 4n =5, 解得 n= - 22 或 n=18. 所求直线的方程为 2x+4y - 11=0 或 2x+ 4 y+9 =0. 当 m= - 4 时 , 直线 l 1 的方程为 4x - 8y - n=0,l 2 的方程为4x - 8y - 2=0, 21 6 6 4n=5, 解得 n= - 18 或 n=22. 所求直线的方程为 2x - 4y+9=0 或 2x - 4y - 11=0. 答案 : (1)D (2)2x+4y - 11=0 或 2x+ 4y +9= 0 或 2x - 4y+9=0 或 2x - 4y - 11=0 备选例题 【例 1 】 已知直线 l:2x - 3y+1=0, 点 A( - 1, - 2). 求 : (1) 点 A 关于直线 l 的对称点 A 的坐标 ; (2) 直线 m:3x - 2y - 6=0 关于直线 l 的对称直线 m 的方程 . 解 : (1) 设 A(x,y) , 由已知 + 2 2=113122 3 1 0 ,22 ， 解得33,134. 13 A3 3 4,1 3 1 3. (2) 在直线 m 上取一点 , 如 M(2,0), 则 M(2,0) 关于直线 l 的对称点 M 必在直线 m 上 . 设 M(a,b), 则 202 3 1 0 , 解得 M6 3 0,1 3 1 3. 设直线 m 与直线 l 的交点为 N, 则由2 3 1 0 ,3 2 6 0 得 N(4,3). 又 m 经过点 N( 4,3), 由两点式得直线 m 的方程为 9x - 46y+102=0. 【例 2 】 光线沿直线 l1:x - 2y+5=0 射入 , 遇直线 l: 3x - 2y+7=0 后反射 , 求反射光线所在的直线方程 . 解 : 法一 由2 5 0 , 3 2 7 0 得1 , 2 . 反射点 M 的坐标为 ( - 1,2). 又取直线 x - 2y+ 5=0 上一点 P( - 5,0), 设 P 关于直线 l 的对称点 P(x0, 由 l 可知 , 05. 而 的中点 Q 的坐标为005,22, 由题意点 Q 在 l 上 , 3 052x - 2 02y+7= 0. 由 00002, 5335 7 0 ,2 得 0017,1332. 13根据直线的两点式方程可得所求反射光线所在的直线方程为 29x - 2y+33=0. 法二 设直线 x - 2y+5=0 上任意一点 P(x0,关于直线 l 的对称点为 P(x,y), 则00= 又 的中点 2x x y y在 l 上 , 3 02 2 027= 0, 由 00002, 33 7 02 可得 1 2 4 213 , 2 5 2 813代入方程 x - 2y+ 5=0 中 , 化简得 29x - 2y +33 =0, 所求反射光线所在的直线方程为29x - 2y+ 33= 0. 易错研讨 忽视斜率不存在导致错误 【典例】 已知直线 l 经过直线 2x+y - 5=0 与 x - 2y =0的交点 , 点 A(5 ,0) 到 l 的距离为 3, 求 l 的方程 . 分析 : 先求出交点为 (2,1 ), 显然直线 l 的斜率不存在时也符合题意 , 这条直线易被忽视而漏解 . 正解 : 解方程组2 5 0 ,2 0 , 得交点为 (2,1), 若 l 的斜率不存在 , 则 x=2, 符合题意 . 若 l 的斜率存在 , 则可设 l 的方程为 y - 1=k(x - 2), 即 y+1 - 2 k=0 , 点 A(5,0) 到 l 的距离为 3, 25 1 21=3, 解得 k=43. l 的方程为 y - 1=43(x - 2), 即 4x - 3y - 5= 0. 易错提醒 在处理斜率问题时 , 要讨论直线的斜率不存在的情况 , 这是直线方程中很重要的一点 ,特别是使用直线的点斜式方程时 , 由于其前提条件就是直线必须存在斜率 , 所以忽略斜率不存在的直线是这类问题出现错误的最重要原因 . 即时突破 求过点 P( - 1,2) 且与点 A(2,3) 和 B( - 4,5)的距离相等的直线 l 的方程 . 解 : 当直线 l 的斜率不存在时 , 直线方程为 x= - 1, 符合题意 . 当直线 l 的斜率存在时 , 设直线 l 的方程为 y - 2=k(x+1), 即 y+k+2 =0. 由题意知 22 3 21 =24 5 21 即 |3k - 1|=| - 3k - 3|, k= 直线 l 的方程为 y - 2= x+1), 即 x+3y - 5 = 0 . 综上所述 , 直线 l 的方程为 x= - 1 或 x+3y - 5=0. 第 2 节 圆与方程 基础梳理 考点突破 知识整合 1. 圆的定义与方程 (1) 圆的定义 在平面内 , 到定点的距离等于定长的点的轨迹叫做圆 . 基础梳理 抓主干 固双基 (2) 圆的方程 标准 方程 (x - a)2+ ( y - b)2= a , b ) , 半径 r 一般 方程 x2+D x + E y + F = 0 (2- 4 F 0 ) 圆心,22半径22142D E F质疑探究 1: 二元二次方程x+=0 表示圆的条件是什么 ? 提示 :220 , 0 , 4 0 A F 2. 点 A(x 0 ,y 0 ) 与 C 的位置关系 (1) 几何法 |AC|r 点 A 在圆外 . (2) 代数法 (a)2+( b)2点 A 在圆外 . 3. 直线与圆的位置关系 把直线的方程与圆的方程组成的方程组转化为一元二次方程 , 其判别式为 , 设圆心到直线的距离为 d, 圆的半径为 r. 位置关系列表如下 : 相离 相切 相交 图形 代数 观点 0 量 化 几何 观点 dr d=r d=12r 1 - r 2 | 1 (C) m 0 ,解得 m1 或 则圆心与直线的距离 d=2213 ) ,则两圆的位置关系是 ( D ) (A) 相交 (B) 内切 (C) 外切 (D) 相离 解析 : 将两圆方程分别化为标准形式 . 圆 x - m)2+, 圆 x+1)2+(y - m)2=9, 则 | 2 21=22 2 122 3 2 3 1 =5=2+3, 两圆相离 , 故选 D. 4.(2012 年高考北京卷 ) 直线 y=x 被圆 y - 2)2=4截得的弦长为 . 解析 : 法一 几何法 . 圆心到直线的距离为d=022=2, 圆的半径为 r=2, 所以弦长为 l=2 22=2 42=22; 法二 代数法 . 联立直线和圆的方程22, ( 2 ) 4 . 消去 y 可得 x= 0, 所以直线和圆的两个交点坐标分别为 (2 ,2 ), (0 ,0 ), 弦长为 22 2 0=22. 答案 : 22考点突破 剖典例 知规律 考点一 确定圆的方程 【例 1 】 求经过点 A(5,2) 、 B(3, - 2), 且圆心在直线2x - y - 3=0 上的圆的方程 . 思维导引 : 圆心是直线 直平分线与已知直线的交点 , 可先求圆心再求半径 , 若设出标准方程或一般方程 ,可将题中条件转化为系数的关系式求解 . 解 : 法一 圆过 A (5,2) 、 B(3, - 2) 两点 , 圆心一定在线段 垂直平分线上 . 线段 垂直平分线的方程为 y= x - 4). 设所求圆的圆心坐标为 C(a,b), 则有 2 3 0 , 1( 4 ) , 2 解得2, C(2,1),r =| 2 25 2 ( 2 1 ) =10. 所求圆的方程为 (x - 2)2+(y - 1)2=10. 法二 设所求圆的方程为 x2+x+=0(2- 4F0), 则2 5 4 5 2 0 , 9 4 3 2 0 , 2 3 0 . 22D E 解得 D= - 4,E= - 2,F= - 5. 所求圆的方程为 x2+x - 2y - 5=0. 反思归纳 (1) 求圆的方程 , 一般采用待定系数法 . 若已知条件与圆的圆心和半径有关 , 可设圆的标准 方程 . 若已知条件没有明确给出圆的圆心和半径 , 可选择设圆的一般方程 . (2) 在求圆的方程时 , 常用到圆的以下几个性质 : 圆心在过切点且与切线垂直的直线上 ; 圆心在任一弦的垂直平分线上 ; 两圆内切或外切时 , 切点与两圆圆心三点共线 . 即时突破 1 (1) 圆心在 x 轴上 , 半径为5的圆 M 位于y 轴左侧 , 且与直线 x+2y=0 相切 , 则圆 M 的方程是 ( ) (A)(x + (B)(x+5)2+ (C)(x - 5)2+ (D)(x+5 )2+ (2)(2013 年高考江西卷 ) 若圆 C 经过坐标原点和点(4,0), 且与直线 y=1 相切 , 则圆 C 的方程是 . 解析 : (1) 设圆心 M(a,0)(a 0 ) 的公共弦的长为23, 则 a= . 解析 : (1) 因为两圆的圆心距为22( 2 2 ) ( 1 0 ) =17, 又因为 3 - 20, 结合图象 , 再利用半径、弦长的一半及弦心距所构成的直角三角形 , 可知1a= 2223 =1 a=1. 答案 : (1)B ( 2)1 备选例题 【例 1 】 在平面直角坐标系 , 曲线y=x+1 与坐标轴的交点都在圆 C 上 . (1) 求圆 C 的方程 ; (2) 若圆 C 与直线 x - y+a=0 交于 A,B 两点 , 且 求 a 的值 . 解 : (1) 曲线 y= x+1 与 y 轴的交点为 (0,1),与 x 轴的交点为 (3 +22,0),(3 - 22,0). 故可设圆 C 的圆心为 (3,t), 则有 32+(t - 1)2=(22)2+ 解得 t=1. 则圆 C 的半径为 2231 t=3 . 所以圆 C 的方程为 (x - 3)2+(y - 1)2=9. (2) 设 A(x1,B(x2, 其坐标满足方程组 : 220 , ( 3 ) ( 1 ) 9 ,x y 消去 y, 得到方程 22a - 8)x+a+1=0. 由已知可得 , 判别式 =56 - 16a - 4. 又 x1+ - a ,212. 由 可得B=0, 即 . 又 y 1 =x 1 +a,y 2 =x 2 +a, 所以 2x 1 x 2 +a( x 1 +x 2 )+. 由 , 得 a= - 1, 满足 0, 故 a= - 1. 【例 2 】 已知点 P(0,5) 及圆 C:x2+x - 12y+24=0. (1) 若直线 l 过点 P 且被圆 C 截得的线段长为 43,求 l 的方程 ; (2) 求过 P 点的圆 C 的弦的中点的轨迹方程 . 解 :(1) 法一 圆 C 的标准方程为 (x+2)2+(y - 6)2=16, 圆心 C( - 2,6 ) , 半径 r=4. 如图所示 ,|A B| =43,|4, 设 D 是线段 中点 , 则 |=23, 在 , 可得 |2. 当直线 l 的斜率存在时 , 设所求 直线 l 的斜率为 k, 则直线 l 的方程为 y - 5= 即 y+5 =0 , 由点到直线的距离公式得 : 22 6 51 =2 得 k=43, 此时直线 l 的方程为 3x - 4y+20=0. 又直线 l 的斜率不存在时 , 也满足题意 , 此时方程为 x=0. 所求直线 l 的方程为 3x - 4y+20=0 或 x=0. 法二 当直线 l 的斜率存在时 , 设斜率为 k, 则直线 l 的方程为 y - 5= 即 y=. 由225 , 4 1 2 2 4 0 ,y k xx y x y 消去 y 得 (1+k2)4 - 2k)x - 11=0. 设方程的两根为 x 1 ,x 2 , 则 12 212 224, 由弦长公式得22222 4 1 11411 =43, 解得 k=34, 此时直线方程为 3x - 4y+20=0. 又斜率不存在时也满足题意 , 此时直线方程为 x= 0. 所求直线的方程为 x=0 或 3x - 4y+20=0. (2) 设过 P 点的圆 C 的弦的中点为 E(x,y), 则 E= 0, (x+2,y - 6) (x,y - 5)=0, 化简得所求轨迹方程为 x2+x - 11y+30=0. 思想方法 利用方程思想解圆的问题 【典例】 已知圆 x2+y2+x - 6y+m=0 和直线 x+2y - 3=0交于 P 、 Q 两点 , 且 为坐标原点 ), 求该圆的圆心坐标及半径 . 分析 : 要求圆的圆心坐标及半径 , 关键是求出 m 的值 ,这需要利用直线和圆的方程联立消元 , 再由 m 的方程 , 也可由圆的性质构建关于 m 的方程求解 . 解 : 将 x=3 - 2y , 代入方程 x2+y2+x - 6y+m=0, 得 50y +1 2+m =0. 设 P(x1, Q(x2, 则 y1+,25m. 0. 而 - 2y1, - 2 - 6 ( y1+4 7 45m. 故2 7 45m+125m=0, 解得 m=3, 此时 0, 圆心坐标为1,32, 半径 r=52. 方法点睛 (1) 在解决与圆有关的问题中 , 借助于圆的几何性质 , 往往会使得思路简洁明了 , 简化思路 , 简便运算 . (2) 本题中解法都是用方程思想求 m 值 , 即围绕“列出 m 的方程”求 m 值 . (3) 本题的易错点 : 不能正确构建关于 m 的方程 , 找不到解决问题的突破口 , 或计算错误 . 即时突破 已知圆 C:x2+x+4y - 4=0. 问在圆 C 上是否存在两点 A 、 B 关于直线 y= 1 对称 , 且以 直径的圆经过原点 ? 若存在 , 写出直线 方程 ; 若不存在 , 说明理由 . 解 : 存在 . 圆 C 的方程可化为 (x - 1)2+(y+2)2=9, 圆心为 C(1, - 2 ). 假设在圆 C 上存在两点 A 、 B 满足条件 , 则圆心 C(1, - 2) 在直线 y= 1 上 , 即 k= - 1. 于是可知 , . 设 y=x+b , 代入圆 C 的方程 , 整理得2(b+1) x+b - 4=0, 则 =4(b+1)2- 8(b - 4)0, 即 b - 90, 即直线 方程为 x - y - 4=0 或 x - y+1=0. 第 3 节 椭 圆 基础梳理 考点突破 知识整合 1. 椭圆的定义 平面内与两个定点 F 1 、 F 2 的距离之 和 等于常数 ( 大于 |F 1 F 2 |)的点的轨迹叫做椭圆 . 这两个定点叫做椭圆的焦点 , 两焦点间的距离叫做椭圆的 焦距 . 质疑探究 1: 在椭圆的定义中 , 若 2a=|F 1 F 2 | 或 2是“方程 表示椭圆”的 ( B ) (A) 充分不必要条件 (B) 必要不充分条件 (C) 充分必要条件 (D) 既不充分也不必要条件 解析 : 若方程表示椭圆时 , 显然 ; 但当 0 时 ,如 方程 表示椭圆的必要不充分条件 . 故选 B. 4. 已知椭圆中心在原点 , 焦点在 x 轴上 , 离心率为55,且过点 P( - 5,4) , 则椭圆的方程为 . 解析 : 由题意可设椭圆方程为222, 则222251,52 5 1 61,解方程组得224 5 ,即椭圆方程为245x+236y=1. 答案 :245x+236y=1 考点突破 剖典例 知规律 考点一 椭圆的定义及标准方程 【例 1 】 (2013 石家庄模拟 ) 在 , 点 B( - 12,0), C(12,0) ,且 B 边上的中线长之和等于 39 , 则 A 重心的轨迹方程为 . 思维导引 : 将重心 G 到 B,C 的距离之和转化为 上的中线长之和 , 与椭圆定义相联系 . 解析 : 设 重心为 G, 上的中线分别为 E, 则由重心的性质 ,|23| |23| |23(|)=23 39=26, G 点到 B,C 两个定点的距离之和为 26, 这显然满足椭圆的定义 , 即 G 点在以 B, C 为焦点 , 长轴长为26 的椭圆上 , 于是 a=13,c=12, b=5, 考虑到组成三角形 , 要去掉椭圆与 x 轴的两个交点 , 所以 重心的轨迹方程为 2169x+225y=1(y 0). 答案 :2169x+ 225y=1(y 0) 反思归纳 求椭圆方程常有两种方法 : 一是定义法 , 使用椭圆定义确定 a,c,b; 二是待定系数法 , 判断焦点位置后设方程 , 由已知条件建立关于 a,b,c 的方程组 , 求解得椭圆方程 . 即 时突破 1 (1) 已知 ,A 、 B 的坐标分别为 ( 2,0 ) 和( - 2,0), 若三角形的周长为 10 , 则顶点 C 的轨迹方程是 ( ) (A)29x+25y=1(y 0) (B)25x+29y=1(x 0) (C)236x+220y=1(y 0) (D)232x+236y=1(x 0) (2)(2013 苏州一模 ) 已知椭圆的中心在原点 , 焦点在 y 轴上 , 若其离心率为12, 焦距为 8, 则该椭圆的方程是 . 解析 : (1) 点 C 到两个定点 A 、 B 的距离之和为 6,6 4,故所求点 C 的轨迹是以 A 、 B 为焦点的椭圆 , 其中2a=6,2c=4, 则 . 所以顶点 C 的轨迹方程为29x+25y=1, 又 A 、 B 、 C 三点不共线 , 即 y 0, 故选 A. (2) 椭圆的焦距为 8, 离心率为12, c=4,a=8, b2=4 - 16= 4 8. 又椭圆的焦点在 y 轴上 , 其方程为264y+248x=1. 答案 : (1)A (2)264y+248x=1 考点二 椭圆的几何性质 【例 2 】 (1) 已知 P 在椭圆24x+ 上 ,A (0, 4), 则 |最大值为 ( ) (A)2183(B)763(C)5 (D)25(2)(2012 年
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