天津市部分区2017届高三质量调查理科数学试题(一)含答案

天津市部分区 2017 年高三量调查试卷（一） 数学（理工类） 第卷 一、选择题（本大题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1、已知集合 2 | 0 3 , , | 9 A x x x N B x y x ，则 () B A 1,2 B 1,2,3 C 0,1,2 D (0,1) 2、若变量 , 3 0302 3 0 ，则 z x y 的最大值为 A B 0 C 1 D 2 3、阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，则输出 i 的值为 A 4 B 6 C 8 D 10 4、在 中， ,对边分别为 , , 6 , s i n 2 s i n 03B b A C ，则 a A 3 B 23 C 43 D 12 5、已知 22 1: 4 3 0 , : xp x x q f 存在最大值和最小值，则 p 是 q 的 A 充分不必要条件 B 充要条件 C 必要而不充分条件 D 既不充分也不必要条件 6、已知抛物线 2 20的焦点 F 恰好为双曲线 22 1 ( 0 , 0 )xy 的一个焦点，且点 F 到双曲线的渐近线的距离是 4，则双曲线的方程为 A 22141 16B 22121 4C 22134D 2219 167、在 中， 02 2 , 1 2 0 ,A C A B B A C O 是 中点， M 是 一点，且3O ，则 C 的值是 A 56B 76C 73D 538、已知函数 22 , ( , 0 2 1 , ( 0 , )x a x x ，若函数 2g x f x x a 有三个零点， 则实数 a 的取值范围是 A (0, ) B ( , 1) C ( , 3) D ( 3,0) 第卷 二、填空题：本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分，把答案填在答题卷的横线上 . 9、已知 ,a b R i 是虚数单位，若复数 21 bi ，则 10、 72()展开式中， 1x 的系数是 （用数字填写答案） 11、某三棱锥的三视图如图所示，则该几何体的体积为 12、直线 4与曲线 24在第一象限围成的封闭图形 的图形的面积为 13、在直线坐标系 ，直线 l 的参数方程为 3 (1为参数， ），曲线 C 的参数方程为 2 2 c o s (2 s i 为参数）设直线 l 与曲线 C 交于 A、 B 两点，当弦长 短时，直线 l 的普通方程为 14、已知 上的偶函数，且在区间 0, ) 上单调递增，若实数 x 满足12( l o g 1 ) ( 1 )f x f ，则 x 的取值是 三、解答题：本大题共 6 小题，满分 70 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15、（本小题满分 12 分） 已知函数 s i n ( ) c o s 16f x x x . （ 1）求函数 （ 2）当 , 12 2x 时，求函数 16、（本小题满分 13 分） 某校高三年级准备矩形一次座谈会，其中三个班被邀请的学生数如下表所示： （ 1）若从这 10 名学生中随机选出 2 名学生发言，求这 2 名学生不属于同一班级的概率； （ 2）若从这 10 名学生中随机选出 3 名学生发言，设 X 为来自高三（ 1）班的学生人数，求随机变量 X 的分布列和数学期望 . 17、（本小题满分 13 分） 如图，五面体 ， 平面 ,直角梯形， 1,22B C D P D B C C D A D A P P D . （ 1）若 E 为 中点，求证： /面 （ 2）求二面角 P 的余弦值； （ 3）若点 Q 在线段 ，且 平面 成的角为6，求 长 . 18、（本小题满分 13 分） 已知正项数列 111 1 1 14 2 ( 2 , )n n nn n n na a a n n Na a a a ，且6 11a ，前 9 项和为 81. （ 1）求数列 （ 2）若数列 n 项和为 1)n ，记12，求数列 n 项和21、（本小题满分 14 分） 已知椭圆 22: 1 ( 0 )a ，且椭圆上的点到一个焦点的最短距离为 33b. （ 1）求椭圆 C 的离心率； （ 2）若点 3( 3, )2 上，不过原点的直线 l 与椭圆 C 相交于 A、 B 两点，与直线较于点 N，且 N 是线段 中点，求 面积的最大值 . 20、（本小题满分 14 分） 已知函数 21 l n ( )2f x x a x x a R . （ 1）当 1a 时，求曲线 y f x 在点 (1, (1)f 处的切线方程； （ 2）求函数 （ 3）若函数 1 2, ( )x x x x，求证：124 ( ) 2 ( ) 1 3 l n 2f x f x . 天津市部分区 2017 年高三质量调查试卷（一） 数 学（理工类 ） 一、选择题： （ 1） -（ 4） （ 5） -（ 8） 、填空题： （ 9） 4 （ 10） 280 （ 11） 2 （ 12） 1 （ 13） 4=0（ 14） )1,21()23,3( 三、解答题 : （ 15）（本小题满分 13 分） 解： （ ） ( ) s i n ( ) c o s 1 = ( s i n c o s c o s s i n ) c o s 16 6 6 f x x x x x x ， . 23 1 3 1 3s i n c o s c o s 1 = s i n 2 c o s 22 2 4 4 4 x x x x x， 1 3 1 3= ( c o s s i n 2 s i n c o s 2 ) = s i n ( 2 )2 6 6 4 2 6 4 x x x . 所以周期 22T . . （ ） 由 ( )知 13( ) s i n ( 2 )2 6 4 f x x ， 因为 2,12 x，所以 52 0 , 66x ， . 所以 s i n ( 2 ) 0 ,1 6x ， . 故当3数 ()最大值为45；当12数 ()最小值为43. . （ 16）（本小题满分 13 分） 解：（ ）从 10名学生随机选出 2 名的方法数为 210C，选出 2 人中不属 于同一班级的方法数为 1 1 1 14 3 3 32 C C C C 4 分 设 2 名学生不属于同一班级的事件为 A 所以 1 1 1 14 3 3 32102 C C C C 11()C 1 5 . 6 分 （ ） X 可能的取值为 0,1,2,3 37310C 7 6 5 7( 0 )C 1 0 9 8 2 4 ； 2173310 7 6 3 2 1( 1 )C 2 1 0 9 8 4 0 ； 1273310 7 3 7( 2 )C 1 0 9 8 4 0 ； 33310C 61( 3 )C 1 0 9 8 1 2 0 . 10 分 所以 X 的分布列为 X 0 1 2 3 P 724 2140 740 1120 所以 7 2 1 7 1 9( ) 0 1 2 32 4 4 0 4 0 1 2 0 1 0 13 分 (17)（本小题满分 13 分） （ ） 证明：取 中点 F ，连接 分别是 中点， 且 1 分 ， 且 ； 3 分 又 面 面 /面 4 分 （ ） （方法一） 以 P 为坐标原点， 所在直线分别为 x 轴和 y 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，不妨设 1，则 ( 0 , 0 , 0 ) , ( 0 , 3 , 0 ) , (1 , 0 , 0 )P A D, 13(1 , 0 , 1 ) , ( , , 1 ) ,2213( 0 , 3 , 0 ) , ( , , 1 ) , (1 , 3 , 0 )22P A A B A D . 6 分 设平面 一个法向量为 ( , , )x y ，则0,0, 0 ,13 y z 令 2x ，得(2, 0, 1)n= . 7 分 同理可求平面 3, 3 , 0 )m= . 8 分 6 1 5c o s ,55 1 2 平面 所以 二面角 的余弦值为 155 10 分 （方法二） 以 D 为坐标原点， 所在直线分别为 x 轴和 z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 不妨设 1，则 13( , , 0 ) , ( 2 , 0 , 0 ) , ( 0 , 0 , 0 )22P A D, ( 0 , 0 , 1 ) , (1, 0 , 1 ) ,3( , , 0 ) , ( 1 , 0 , 1 ) ,22P A A B 6 分 设平面 一个法向量为 ( , , )x y ，则 00330220 ，令3y ，得 1，即 (1, 3,1)n= . 7 分 易求平面 0,1, 0)m= . 8 分 3 1 5c o s ,55 所以 二面角 的余弦值为 155 10 分 （ ） （方法一）建系同 (方法一），设(0, ,0), (平面 , 3 , 0 )m= ，13( , , 1 )22B Q x ； 11 分 若 平面 成的角为6，则233s i n 6532 3 ( )42B Q x x，所以 3(0, , 0),3Q 3( 1 , , 1 ) ,3 213 13 分 （方法二）建系同 (方法二），设 33( , , 0 )22A Q A P , 则 33(1 , , 1 ) ,22B Q B A A Q 33( 2 , , 1 ) ,22C Q C A A Q 由 (平面 0,1, 0)m= .11 分 若 平面 成的角为6，则2232s i 31 ( ) 122 ）. 解得 23，则 3(1 , , 1)3，从而 2 2 23 2 1| | 1 ( ) ( 1 )33 13 分 （ 18）（本小题满分 13 分） 解：（ ）由 241121111 aa 得 1122121 24 整理得11 ，所以 2分 由 116 a，前 9 项和为 81，得 12 4分 当 1n 时， 3 b ，即 31b ； 当 2n 时， )12 n ， )1221 n ， 得 21l g l g ( 2 1 ) l g ( 2 1 ) l nb n n n ， 所以12 12 n2） 31b 满足 所以 12 12 7分 （ ）11 2122nn 8分 2 3 4 13 5 7 2 12 2 2 2 ， 又1 2 33 5 7 2 12 2 2 2 2 ， 9分 以上两式作差，得2 3 13 2 2 2 2 12 2 2 2 2 . 所以2 1 1 1113 1 1 1 2 1 3 2 122()12 2 2 2 2 2 212nn n n , 因此，15 2 522 . 13分 （ 19）（本小题满分 13 分） 解： （ ） 由题意 ,得 ， 1 分 则221()3a c b，结合 2 2 2b a c，得2 2 21( ) ( )3a c a c ， 即 222 3 0c ac a ， 2 分 亦即 22 3 1 0 ，结合 01e，解得 12e. 所以椭圆 C 的离心率为 12. 4 分 （ ） 由 ( )得 2，则 223. 将 3( 3, )22+143解得 1c . 所以椭圆方程为 22+143 6 分 易得直线 方程为 12 当直线 l 的斜率不存在时， 中点不在直线 12，故直线 l 的斜率存在 . 设直线 l 的方程为 ( 0 )y kx m m ，与 22+143立消 y 得 2 2 2( 3 4 ) 8 4 1 2 0k x k m x m , 所以 2 2 2 2 2 26 4 4 ( 3 4 ) ( 4 1 2 ) 4 8 ( 3 4 ) 0k m k m k m . 设1 1 2 2( , ) , ( , )A x y B x y,则12 2834k , 212 24 1 234k . 8 分 由1 2 1 2 26( ) 2 34 my y k x x m k ，得 中点2243( , )3 4 3 4k m mN , 因为 N 在直线 12，所以224323 4 3 4k m ，解得 32k . 10 分 所以 24 8 (1 2 ) 0m ，得 1 2 1 2m ,且 0m ， 221 2 1 2 1 23 1 31 ( ) ( ) 422A B x x x x x x 21 3 1 2 4 1 2 3 9( ) 4 1 22 3 9 3 9 6mm m . 又原点 O 到直线 l 的距离 213 ， 12 分 所以 2 2 223 9 31 2 ( 112 2)66 13m m m 223 1 2 362 . 当且仅当 221 2 , 6m m m 时等号成立，符合 1 2 1 2m ,且 0m . 所以 面积的最大值为 3 . 1 4 分 （ 20）（本小题满分 14 分） 解：（ ）当 1a 时， 21( ) l x x x x ， 1( ) 1f x ， 则 1(1)2f ， (1) 1f ， 所以所求切线方程为 1 ( 1)2 ，即 2 2 3 0 . （ ）由 21( ) l x x a x x ，得 211() x a xf x x . 令 2( ) 1g x x ，则 ()() . 当 2 40a ，即 22a 时， ( ) 0恒成立，则 ()( ) 0 ， 所以 ()0, ) 上是减函数 . 当 2 40a ，即 2a 时， 22( ) 2 1 ( 1 ) 0g x x x x ，则 ()( ) 0 ， 所以 ()0, ) 上是减函数 . 当 2 40a ，即 2a 或 2a . (i)当 2a 时， 2( ) 1g x x 是开口向上且过点 0,1 的抛物线，对称轴方程为( 1)22 ，则 ( ) 0恒成立，从而 ()( ) 0x ， 所以 ()0, ) 上是减函数 . ( 2a 时， 2( ) 1g x x 是开口向上且过点 0,1 的抛物线，对称轴方程为( 1)22，则函数 ()21 2 1 244, ( )a a a ax x x x 显 然，列表如下： x 1(0, )x 1x 12( , )2x 2( , )x () 0 0 ()减函数 极小值 增函数 极