2008-2009学年北京十区第一学期期末考试高三数学试题文理全套
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学年
北京
10
第一
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2008-2009学年北京十区第一学期期末考试高三数学试题文理全套,学年,北京,10,第一,学期,期末考试,高三,数学试题,文理,全套
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用心 爱心 专心 北京市 海淀区 2009 届 高三年级第一学期期末练习 学科网 数学 （文科） 一、 选择题：本大题共 8 小题 ， 每小题 5 分 ， 共 40 分 选出符合题目要求的一项 . 学科网 （ 1） 若角 的终边经过点 P(1， 2 )， 则 值为 （ ） 学科网 （ A） 12（ B） 12（） 2 （） 2 学科网 （ 2）已知 向量 a =(1， 0)与向量 b =( 1, 3 )，则向量 a 与 b 的夹角是 （ ） 学科网 （ A）6（ B） 3（ C） 23（ D） 56学科网 （ 3）和直线 3 4 5 0 = 关于 x 轴对称的直线方程为 （ ） 学科网 （ A） 3 4 5 0 （ B） 3 4 5 0 学科网 （ C） 3 4 5 0 - = (D) 3 4 5 0 + =学科网 （ 4）若抛物线 C ： 2 4上一点 P 到定点 (0,1)A 的距离为 2，则点 P 到 x 轴的距离为 （ ）学科网 （ A） 0 （ B） 1 （ C） 2 （ D） 4学科网 （ 5） ,是不重合的平面，下列命题是真命题的是 （ ） 学科网 (A) 若 m ， m n ，则 n (B) 若 , 则 n m 学科网 (C) 若 ,m m ， 则 (D) 若 ， ,m 则 m 学科网 （ 6） 函数2图象按向量 a 平移后可以得到函数2l o g ( 2 ) 3 的图象，则 （ ）学科网 （ A） 2,3a （ B） 2,3a （ C） 2, 3a （ D） 2, 3 （ 7） 5 个人 分 4 张同样的足球票，每人至多分 1 张，而且票必须分完，那么不同分法的种数是（ ）学科网 （ A） 45 （ B） 54 （ C） 5 4 3 2 （ D） 5 4 3 24! 学科网 （ 8） 如果直线 0x y m 与圆 222交于相异两点 A 、 B ， O 是坐标原点，| | | |O A O B O A O B+ -，那么实数 m 的取值范围是 （ ） 学科网 用心 爱心 专心 （ A） 2, 2 （ B） 2,2 （ C） 2 , 2 2 , 2 （ D） 2,2学科网 学科网 学科 网 二、填空题 :本大题共 6小题 ， 每小题 5分 ， 共 30分 学科网 （ 9）若实数 , 1,5,1, 则 2z x y=+的最大值是 （ 10）已知正四棱锥的底面边长是 4侧棱长是 23此四棱锥的高为 学科网 （ 11） 已知 ,312则 （ 12） 已知 正方体 1111 的内切球的体积为34，则这个正方体的边长为_， 这个正方体的外接球的表面积为 （ 13） 在 中，角 A 、 B 、 C 所对的边分别为 a 、 b 、 c ，且满足 21 ，s i n s i n 2 s i C，则 c =_；若 C =3，则 的面积 S=学科网 （ 14） 若 等差数列，公差为 d 且不为 d 0，1,它的前 n 项和记为集合2 2( ) 1 , x , y y x , y ， ( , ) , , *Q y x a y 学科网 给出 下列命题： 学科网 1集合 Q 表示的图形是一条直线 学科网 2 学科网 3 科网 4 科网 5 学科网 其中正确的 命 题 序 号是 .（注：把你认为是正确命题的序号都填上） 学科网 学科网 学科网 学科网 学科网 学科网 学科网 学科网 用心 爱心 专心 学科网 学科网 学科网 学科网 三、解答题 : 本大题共 6小题 ， 共 80分 演算步骤或证明过程 (15)（本小题共 12 分） 学科网 已知函数 2( ) 2 s i n c o s 3 ( 2 c o s 1 )f x x x x . 学科网 （ I） 将函数 为 ( 0,2 )的形式，填写下表，并画出函数)(区间 15,66轾犏学科网 x 0 2 322 ()科网 学科网 （ 函数 单调减区间； 学科网 学科网 学科网 12- 6学科网 用心 爱心 专心 学科网 学科网 学科网 学科网 学科网 （ 16）（本小题共 14 分） 学科网 直三棱柱 111 中， ， D 为 点， 1 31 3学科网 （ I）求证： /1面 学科网 （ 二面角1A A C 小。 学科网 学科网 学科网 学科网 学科网 学科网 学科网 学科网 （ 17）（本小题共 14 分） 学科网 已知 0,3A ， 0,3B ，动点 P 满足 学科网 （ I）若点 P 的轨迹为曲线 C ，求此曲线的方程； 学科网 （ 点 Q 在直线 03:1 ，直线 2l 经过点 Q 且与曲线 C 只有一个公共点 M ，求最小值，并求此时 直线 2l 的 方程 学科网 学科网 学科网 学科网 学科网 学科网 （ 18）（本小题共 14 分） 学科网 某种家用电器的销售利润与该 电器的无故障使用时间有关 . 每台这种家用电器若无故障使用时间不超过一年，则销售利润为 0 元，若无故障使用时间超过一年不超过三年，则销售利润为 100 元，若无故障使用时间超过三年，则销售利润为 200 元 . 学科网 已知 每台这种家用电器无故障使用时间不超过一年 的概率为51， 无故障使用时间超过一年不超过三年 的概率为52. （ ） 求销售两台这种家用电器的销售利润总和为 400 元的概率； （ ）求销售三台这种家用电器的销售利润总和为 300 元的概率 . B 1C 1爱心 专心 （ 19）（本小题共 14 分） 已知椭圆 012222 1A 、 2A 、 B 是椭圆的顶点（如图），直线 l 与椭圆交于异于椭圆顶点的 P 、 Q 两点，且 l 2 5 I）求此椭圆的方程 ; （ 直线1Q 的倾斜角分别为 、 ，试判断 是否为定值？若是，求出此定值；若不是，请说明理由 . （ 20）（本小题共 14 分） 已知数列 01 a ， 11 0q， ， ,3,2,1n . （ I）求证数列等差数列 ; （ 比较312b 的大小 ; （ 正整数 k ，使得对于任意的正整数 n ，1 B 2 用心 爱心 专心 海淀区高三年级第一学期期末练习 答案 数学 （ 文科 ） 6 分 又 D 为 点 1 3 分 用心 爱心 专心 又 面 1面 用心 爱心 专心 31( , , 0 )22，1 ( 3 , 0 , 3 )， 31 0,223 3 0 则 ， 9分 取 1x ，得 平面1n 1, 3 , 1 . 10 分 m = 0,1, 0为平面 11一个法向量 . 11分 1 5,515 12 分 由图可知， 二面角1A A C 大小为 15 1 4 分 （ 17）（本小题共 14 分） 2l 的方程是 1x 或 4y 1 4 分 用心 爱心 专心 （ 18）（本小题共 13 分） 用心 爱心 专心 22 1412x yy x m 7 分 0222 22 222 482244 0，即 2 m 2 8 分 22222121 9 分 P 、 Q 两点不是椭圆的顶点 2、2111t a n 2AP yk x ，22 1ta n Q 10 分 又因为 11 21， 22 21 2 1 1 21 2 2 1 1 2 2 11 2 1 2 1 2211 2 2t a n t a 2x y x yy y x y x y y xx x x x x x 21122112222122121 022222212221212212121 xx 0t a nt a n1 t a nt a nt a n ，又 , (0, ) (0, 2 ) = 是定值 14 分 （ 20）（本小题共 13 分） 解： （ I） 11 0q 11111 又 01 即数列以 0 为首项， 1 为公差的等差数列 3 分 且 1 nn （ 1, 2, 3n ） 用心 爱心 专心 （ 12 4 分 21 b ， 422 82 33 5 分 1641688224 3243223122 0428484 2222234 3122 8 分 用心 爱心 专心 北京市 海淀区高三年级第一学期期末练习 数学 （理科） 07 一、 选择题：本大题共 8小题 ,每小题 5分 ,共 40分 选出符合题目要求的一项 . （ 1）已知全集 U ， ，那么下列结论中可能不成立的是（ ） （ A） A B A （ B） A B B （ C） U （ D） U （ 2） 抛物线 22的准线方程为 （ ） （ A） 18y（ B） 14y（ C） 12y（ D） 1y （ 3）将函数 的图象按向量 ( ,1)4a =平移后得到函数 ()么（ ） （ A） ( ) s i n 2 1f x x= - + （ B） ( ) s 1f x x=+ （ C） ( ) s i n 2 1f x x= - - （ D） ( ) s 1f x x=- （ 4） 在 中，角 A 、 B 、 C 所对的边分别为 a 、 b 、 c ， 如果 ， 30B=?，那么角 C 等于（ ） （ A） 120 （ B） 105 （ C） 90 （ D） 75 （ 5）位于北纬 x 度的 A 、 B 两地经度相差 90 ，且 A 、 B 两地间的球面距离为3R（ R 为地球半径），那么 x 等于 （ ） （ A） 30 （ B） 45 （ C） 60 （ D） 75 （ 6） 已知定义域为 R 的函数 ()任意的 有 1( 1 ) ( ) 22f x f x+ = - +恒成立 ，且1( ) 12f = ，则 (62)f 等于 （ ） （ A） 1 （ B） 62 （ C） 64 （ D） 83 （ 7） 已知 , 1, 2 , 3 , 4 , 5 ，那么使得 s in c o s 0? 的数对 ( ), 共有（ ） (A) 9 个 (B) 11 个 (C) 12 个 (D) 13 个 （ 8） 如果对于空间任意 ( )2条直线总存在一个平面 ，使得这 n 条直线与平面 所成的角均相等，那么这样的 n （ ） （ A）最大 值为 3 （ B）最大值为 4 （ C）最大值为 5 （ D）不存在最大值 用心 爱心 专心 二、填空题 :本大题共 6小题 ,每小题 5分 ,共 30分 （ 9）22 4 6 2l i + + += . （ 10）如果 ( ) 1 , 10 , 1= ，那么 ( )2臌 ；不等式 ( ) 1212解集是 . （ 11） 已知点1F、2 P 为该双曲线上一点，若12等腰直角三角形，则 该 双曲线的离心率为 _. （ 12 ） 若 实 数 x 、 y 满足 2 0,x b 且 2z x y=+的 最 小 值 为 3 ， 则 实 数 b 的值为 . （ 13 ） 已知直线 0 圆 222交于不同的两点 A 、 B ， O 是坐标原点，| | | |O A O B A B+?，那么实数 m 的取值范围是 . （ 14） 已知：对于给定的 *q 映射 *:, B B 若集合 且 C 中所有元素对应的象之和大于或等于 q ，则称 C 为 集合 A 的 好 子 集 对于 2q ， ,A a b c= ， 映射 : 1,f x x A， 那么集合 A 的所有好 子 集 的个数为 ； 对于给 定的 q ， 1, 2 , 3 , 4 , 5 , 6 ,A = ， 映射 :f A B 的对应关系如下表： x 1 2 3 4 5 6 () 1 1 1 1 y z 若 当且仅当 C 中 含有 和 至少 A 中 2 个 整 数或 者 C 中 至少含有 A 中 5 个 整 数时， C 为集合 A 的好 子 集 写出所有 满足条件的数组 ( ),q y z ： 用心 爱心 专心 三、解答题 : 本大题共 6小题 ,共 80分 演算步骤或证明过程 . (15)（本小题共 12 分） 已知函数 22( ) s i n 2 3 s i n ( ) c o s ( ) c o s 344f x x x x x .（ ） 求函数 )(最小正周期和单调递减区间； （ ） 求函数 )( 25,12 36 轾犏 x 的值 . （ 16）（本小题共 12 分） 已知函数 )( 2( ) ( 0 )f x x x=的反函数，点 ),(00 ),(00 ( )(象上的点，1l、2( )(图象在 两点处的切线，且1l2l （ ） 求 M 、 N 两点的坐标； （ ） 求经过 原 点 O 及 M 、 N 的圆的方程 用心 爱心 专心 （ 17）（本小题共 14 分） 已知正三棱柱 111 中，点 D 是棱 中点，11, 3B C A A=. （ ）求证： /1面 （ ）求1 （ ）求二面角1D A C （ 18）（本小题共 14 分） 某种家用电器每台的销售利润与该电器的无 故障使用时间 T （单位：年）有关 . 若 1T ，则销售利润为 0 元；若 31 T ，则销售利润 为 100 元；若 3T ，则销售利润为 200 元 . 设 每台该种电器的无故障使用时间 1T ， 31 T 及 3T 这三种情况发生的概率分别为321 , 又 知 21,方程 01525 2 两个根，且32 . （）求321 , （） 记 表示销售两台这种家用电器的销售利润总和，求 的分布列； （）求销售两台这种家用电器的销售利润总和的平均值 . D A 1爱心 专心 （ 19）（本小题共 14 分） 已知点 ( )0,1A 、 ( )0, 1B - ， P 是一个 动点 ，且 直线 斜率之积为 12-. （ ）求动点 P 的轨迹 C 的方程； （ ） 设 ( )2,0Q ，过点 ( )1,0- 的直线 l 交 C 于 M 、 N 两点， 的面积记为 S ，若对 满足条件的 任意直线 l ，不等式 ta Q N 恒成立，求 的最小值 . 用心 爱心 专心 （ 20）（本小题共 14 分） 如果正数数列 任意的正数 M，都存在正整数0n，使得0则称数列 （ ）若 3 2 s ) 1, 2 , 3 ,na n n ， 1 , 1 , 3 , 5 , ,1 , 2 , 4 , 6 , ,2n 分别判断数列 说明理由； （ ）若 2，是否存在正整数 k ，使得对于一切 ，有122 3 112na a a 成立； （ ）若数列 证：存在正整数 m ，使得122 3 12009a a 用心 爱心 专心 海淀区高三年级第一学期期末练习 数学 （理科） 参考答案及评分标准 、 选择题（ 本大题共 8小题 ,每小题 5分 ,共 40分 ） 、填空题（本大题共 6 小题，每小题 5 分 一空 3 分，第二空 2 分，共 30 分） （ 9） 1 （ 10） 1， 0,1 （ 11） 21 （ 12） 94（ 13） ( 2 , 2 2 , 2 ) （ 14） 4 ， (5,1,3) 三、解答题 （ 本大题共 6小题 ,共 80分 ） (15)（本小题共 12 分） 解： （ ） 22( ) s i n 2 3 s i n ( ) c o s ( ) c o s 344f x x x x x 22 3 s i n ( ) c o s 2 34 3 s i n 2 c o s 2 2 s 2 )6x =- 4 分 所以 22T =. 5 分 由 ( )32 2 22 6 2 Zk x k k + ? ? ?得 ( )536 Zk x k k+ +? 所以函数 )(最小正周期为 ，单调递减区间为 5 , 36+()kZ. 7 分 （ ） 由 （ ） 有 ( ) 2 s i n ( 2 )6f x x =-. 因为 25,1 2 3 6x 轾犏? 犏臌， 所以 112,6 3 9x 轾犏-?犏臌. 因为 4 1 1s i n ( ) s i n s i 9 - = ，所以 ( ) ( 0 )g x x x=. 从而 ,2)( 1()2gx x =. 3 分 所以切线 21,斜率分别为 ,2)(001 002 21)(. 又 20 0 0( 0 )y x x=，所以2 012k x= . 4 分 因为两切线 21,行，所以 21 . 5 分 从而 20(2 ) 1x =. 因为0 0x ， 所以0 12x =. 所以 两点的坐标分别为 )21,41(),41,21(. 7 分 （ ）设过 O 、 M 、 N 三点的圆的方程为： 22 0x y D x E y F . 因为圆过原点，所以 0F 、 N 关于直线 对称，所以圆心在直线 上 . 所以 . 又因为 11( , )24 所以 512 . 所以过 O 、 M 、 N 三点的圆的方程为： 22 55 01 2 1 2x y x y . 12 分 （ 17）（本小题共 14 分） （ ）证明：连结1 ，连结 在 正三棱柱 111 中，四边形11是 平行四边形， 1C. B ， 1B 1A 1爱心 专心 1 2 分 平面1面1 1平面1 4 分 解法一：（ ）连结11h . 四边形11是平行 四边形 ， 1 1 1A C A A C . 1 1 1D A C A D A C . 11 11138D A C A A A C D A C S A A ， 1118C A . 6 分 在等边三角形 ， D 为 中点， 3 ,2C D C D A B=. 1的射影， 1 D. 8 分 11 3928A D C D C D . 1113 3913C A D . 9 分 （ ）过点 D 作 C 交 E ，过点 D 作1 C交1 ，连结 平面 平面11， 平面 平面 面11A C C A A C， 平面11. 平面11内的射影 . 1B 1A 1爱心 专心 1C. 二面角1D A C 12 分 在直角三角形 ， 34A D D C=. 同理可求 ： 11398A D D =. 2 1 3s i E . 0,2D F E 骣 形 桫， 2 1 3a r c s i E?. 14 分 解法二：过点 A 作 C 交 O ，过点 O 作C 交 11 E 平面 11所以 ,E 在的直线为x 轴， y 轴， z 轴建立 空间直角坐标系，如图所示 3B C A A=， 是等边三角形，所以 O 为 则 0,0,0O ， 30, 0,2A， 1 , 0, 02C ，130 , 3 ,2A， 13( , 0, )44D，11 , 3 , 02C . 6 分 （）设平面1 ,n x y z ，则 10, C 33( , 0 , )44，113( , 3 , )22 ， 1B 1A 1爱心 专心 33 0,44133 0 y z 取 3x ，得 平面1 3 ,1, 3n . 8 分 1： 1 3913C C . 10 分 ( )解：同（） 可求 平面1 1 3 , 0 , 1n . 12 分 设 二面角1D A C ，则16 3 1 3c o s c o s ,131 3 2 . 0, ， 3 1 3a r c c o . 14 分 （ 18）（本小题共 14 分） 解：（）由已知得 1321 32 , 12 21 21,方程 01525 2 两个根 , 5321 511 p,5232 3 分 （） 的可能取值为 0， 100， 200， 300， 400. 4 分 0P = 2515151 , 100P = 25452512 , 200P = 258525252512 , 300P = 25852522 , 用心 爱心 专心 400P = 2545252 . 9 分 随机变量 的分布列为： 0 100 200 300 400 P 251254258258254 11 分 （）销售利润总和的平均值为 E = 2544002583002582002541002510 =240. 销售 两台这种家用电器的 利润总和的平均值为 240 元 . 14 分 注 ：只求出 E ， 没有说明平均值为 240 元， 扣 1 分 . （ 19）（本小 题共 14 分） 解：（ ）设动点 P 的坐标为 ( ),则直线 ,斜率分别是 11, 由条件得 1 1 12-. 即 ( )2 2 102x = ?. 所以动点 P 的轨迹 C 的方程为 ( )2 2 102x = ?. 5 分 注：无 0x 扣 1 分 . （ ）设点 , ) ( )1 1 2 2, , ,x y x y. 当直线 l 垂直于 x 轴时， 21 2 1 2 1 11 , , 2x x y y y= = - = - =. 所以 ( ) ( ) ( )1 1 2 2 1 12 , , 2 , 2 ,Q M x y Q N x y x y= - = - = - -. 所以 ( ) 2 211 172 2Q M Q N x y? - - =. 7 分 当 直线 l 不垂直于 x 轴时，设直线 l 的方程为 ( )1y k x=+, 用心 爱心 专心 由 2 2 1,2( 1)x yy k = =+得 ( )2 2 2 21 2 4 2 2 0k x k x k+ + + - =. 所以 21 22, 21 4 22212221 . 9 分 所以 ( ) ( ) ( )1 2 1 2 1 2 1 2 1
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