2009届（课改区）各省期末考试最新数学试题集锦（48套）
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2009届（课改区）各省期末考试最新数学试题集锦（48套）,课改区,各省,期末考试,最新,数学试题,集锦,48
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用心 爱 心 专 心 2009 年福建省普通高中毕 业 班质量检查 数学 (文 科 ) 试题 本试卷分第 I 卷 (选择题 )和第 卷 (非选择题 )，共 8 页，全卷满分 150 分，考试时间120 分钟 参考公式： 如果事件 A、 B 互斥，那么 P(A+B)=P(A)+P(B) 如果事件 A、 B 相互独立，那么 P(AB)=P(A)P(B) 如果事件 A 在一次试验 中 发生的概率 是 p，那么 n 次独立重复试验中恰好发 生 k 次的概率 Pn(k)= p(1 球的表面积公式 S=4中 R 表示球的半径 球的体积公式 V=34 中 R 表示球的半径 第 选择题 共 60分 ) 一、选择题：本大题共 12小题。每小题 5分，共 60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。请把正确答案填在题目后面的括号内 1 已知集合 A=x|0,1， 2， B=2， 3，则 A B 为 ( ) A 2 B 2， 3 C 0,1， 2 D 0,1， 2， 3 2 不等式 032 ) A () B (2， +) C (-， (2， +) D (-， (3, +) 3 双曲线 4 的渐近线方程是 ( ) A 4xy=0 B x4 y=0 C x2 y=0 D 2xy=0 4已知函数),x( ),x(x)x(f x 02 03 则 f( f(的 值为 ( ) A B41C 2 D 4 5已知 A、 B 为球面上的两点， O 为球心， 且 ， 20，则球的体积为 ( ) A29B 34 C 36 D 332 6已知二次函数 y= 在区间 (2， 3)内是单调函数，则实数 a 的取值范围是 ( ) A a2 或 a3 B 2a3 C a a D -3a已知条件 p: k= 3 ，条件 q：直线 y= 与圆 x2+ 相切，则 p 是 q 的 ( ) A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充分必要条件 D既不充分也不必要条件 用心 爱 心 专 心 8已知数列 前 n 项和为 的等差中项，则 ) A 1 B C (-1)n D (-1)若 m、 n 为两条不同的直线， 、 为两个不同的平面，则以下命题正确的是 ( ) A 若 m ， m ， =n，则 m n B 若 m ， n ，则 m n C若 m ， n ，则 m n D若 =m， m n，则 n 10函数 y=x+)图象的一部分如图所示，则此函数的解析 式可以写 成 ( ) A y =x +8) B y =x +8) C y =x +4) D y =11 某小组有 12 名学生，其中男生 8 名，女生 4 名，从中随机抽取 3 名学生组成一兴趣小组，则这 3 名学生恰好是按性别分层抽样得到的概率为 ( ) A3122418 B3121428 C3121428 D312142812若函数 f(x)为奇函数，且在 (0， +)内是增函数，又 f(2)=0，则x )x(f)x(f 0 的解集为 ( ) A () (0,2) B (-， (0,2) C (-， (2， +) D () (2， +) 第 卷 (非选择题 共 90 分 ) 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 4 分。共 16 分请把正确答案填在题目后面的横线上 13二项式 (21)6的展开式中，常数项为 _. 14椭圆的焦点及其短轴端点都在以原点为圆心的同一个圆上，则此椭圆的离心率为 _ 15已知向量 a=(1， 1)， b=( x (0， )，若 a b ，则 x 的值是 _ 16阅读下面材料，并回答问题： 设 D 和 D在区域 D 内任取一点 M，记 “点 M 落在区域 为事件 A，则事件 A 发生的概率 P(A)=的面积的面积已知 区域 E=(x， y)|0x3， 0y2， F=(x， y)|0x3， 0y2， xy，若向区域 爱 心 专 心 内随机投掷一点，则该点落入区域 F 内的概率为 _ 三、解答题：本大题共 6小题，共 74分解答应写出文字说明。证明 过程或演算步骤 17 (本小题满分 12分 ) 已知函数 f(x)=x R) (I)求 f(83)的值； ( )求 f(x)的单调递增区间 18 (本小题满分 12分 ) 在数列 ， ， =an+c (c 为常数， n N*)，且 的等比数列 ( ) 求 c 的值； ( ) 设 1求 数列 前 n 项和 19 (本小题满分 12分 ) 如图，在棱长为 2 的正方体 E、 F 分别为 (I)求证： 平面 ( )求异面直线 成的角； ( ) 设点 P 在棱 ，且 6求 二面角大小 20 (本小题满分 12分 ) 国际上钻石的重量计量单位为克拉已知某种钻石的价值 (美元 )与其重量 (克拉 )的平方成正比，且一颗重为 3 克拉的该种钻石的价值为 54000 美元 (I)写出 关于 的函数关系式； ( )若把一颗钻石切割成重量比为 1 3 的两颗钻石，求价值损失的百分率； ( )把一颗钻石切割成两颗钻石 ，若两颗钻石的重量分别为 m 克拉和 n 克拉，试用你所学的数学知识证明：当 m=n 时 ，价值损失的百分率最大 (注：价值损失的百分率 =原有价值 现有价值原有价值 100；在切割过程中的重量损耗忽略不计 ) 21 (本小题满分 12分 ) 用心 爱 心 专 心 已知函数 f(x)=x R， a、 b 是常数， a0)，且当 x=1 和 x=2 时，函数 f(x)取得极值 (I)求 函数 f(x)的解析式 ； ( )若 曲线 y=f(x)与 g(x)= m(-2x0)有两个不同的 交点 ，求实数 m 的取值范围 . 22 (本小题满分 14分 ) 已知定点 A(a， O)( a 0)， 直线 y= y 轴于点 B，记过点 A 且与直线 (I)求动点 C 的轨迹 E 的方程； ( )设倾斜角为 的直线 ，交轨迹 E 于两点 P、 Q，交直线 (1)若 ，且 面积为 2 ，求 a 的值 ； (2)若 6，4，求 |最小值 用心 爱 心 专 心 2009 年福建省普通高中毕业班质量检查 数学 (文科 )试题参考答案及评分标准 说明： 一、本解答指出了每题要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制定相应的评分细则 二、对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的 解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应给分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分 三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数 四、只给整数分数选择题和填空题不给中间分 一、选择题：本题考查基础知识和基本运算，每小题 5 分，满分 60 分 1 D 2 C 3 D 4 C 5 B 6 A 7 A 8 D 9 A 10 C 11 B 12 A 二、填空题：本题考查基础知识和基本运算， 每小题 4 分，满分 16 分 13 15； 14 22； 15 34； 16 23三、解答题：本大题共 6 小题，共 74 分。解答应写出文字说明。证明过程或演算步骤 17本小题主要考查三角函数的倍角公式、和角公式，三角函数的图象与 查理解能力和运算能力满分 12 分 . 解： 1 c o s 2 1( ) s i n 222xf x x (4 分 ) 2 2 2 1( s i n 2 c o s 2 )2 2 2 221s i n ( 2 )2 4 2 (6 分 ) 3 2 1 1( I ) ( ) s i 2 2f (8 分 ) ( I I ) 2 2 22 4 2k x k 令 (10 分 ) 32 2 244k x k 即 3 ()88k x k k Z 时， f(x)单调递增 . 用心 爱 心 专 心 f(x)单调递增区间为 38k ， 38k ()(12 分 ) 18本小题主要考查等差数列、等比数列、数列求和等基础知识；考查化归与转化的思想方法：考查推理与运算能力满分 12 分 解： ( ) =an+c,c 为常数 , +(c.(2 分 ) +c,+4c. 又 a1,a2, (1+c)2=1+4c,解得 c=0 或 c=2(4 分 ) 当 c=0,=舍去 . c=2.(6 分 ) ( )由 ( )知 , 11 1 1 1 1()( 2 1 ) ( 2 1 ) 2 2 1 2 1n a a n n n n ， (10 分 ) Sn=b1+ 1 1 1 1 1 1 ( 1 ) ( ) ( ) 2 3 3 5 2 1 2 1 = 11(1 )2 2 1n = 21(12 分 ) 19本小题主要考查直线与直线、直线与平面的位置关系、二面角的概念等基础知识；考查空间想象能力，逻辑思维能力和探索问题、解决问题的能力满分 12 分 解法一：如图，分别以 x 轴、 y 轴、 z 轴建立空间直角坐标系 已知得 D(0,0,0)、 A(2,0,0)、 B(2,2, 0)、 C(0,2,0)、 ,2,2)、 ,0,2)、 E(1,0,2)、F(0,2,1) (2 分 ) ( )易知平面 B =(2,2,2) (4 分 ) 又 (, 由 1， 1 平面 平面 (6 分 ) ( ) (0,2， 0)， 用心 爱 心 专 心 463| | | | 2 6E F A A B 异面直线 成的角为 (8 分 ). ( ) 6， P(2， 2，36). 设 n =(x， y， z)是平面 一个法向量，则 0,P (0， 2，36), (2， 0)， 2 2 0 ,62 0 ,3 取 (1,1, 6 )n . 易知1 (0, 0, 2)是平面 一个法向量， 12 6 32| | | | 1 1 6 2n B B (10 分 ) 二面角 大小为 30. (12 分 ) 解法二： ( )同解法一知 ( )同解法一知 (， ，1， 2)， (， 0)， 1 1 又 平面 平面(4 分 ) ( )、 ( )同解法一 解法三： ( )取 ，连结 ， 2 2 用心 爱 心 专 心 四 边形 平行四边形， 平面 平面 平面 (4 分 ) ( )由 ( )知 是异面直线 成的角 (或补角 ) 连 平面 平面 ， ， 2 ， 22， 异面直线 成的角为 2 (8 分 ) ( )连结 O，连 四边形 正方形， 而 平面 的射影， 由三垂线定理得 二面角 P 的平面角 (10 分 ) 在 ， 二面角 大小为 30 (12分 ) 解法四： ( )取 ，连结 E 为 而 又 F 为 交， 交， 平面 平面 平面 平面 (4 分 ) ( )、 ( )同解法三 20本小题主要考查函数与不等式等基础知识；考查运用数学知识分析问题和解决问题的能力满分 12 分 解： ( )依题意设 v=(2 分 ) 又当 =3 时， v=54000， k=6000， (3 分 ) 故 v =60002 (4 分 ) ( )设这颗钻石的重量为 a 克拉， 由 ( )可知，按重量比为 l 3 切割后的价值为 6000(14a)2+6000(34a)2 (6 分 ) 用心 爱 心 专 心 价值损失为 60006000(14a)2+6000(34a)2 (7 分 ) 价值损失的百分率为 2 2 22136 0 0 0 6 0 0 0 ( ) 6 0 0 0 ( ) 44 0 . 3 7 5 3 7 . 5 %6000a a 答：价值损失的百分率为 (8 分 ) ( )证明：价值损失的百分率应为 22 2 22 2 22 ( )6 0 0 0 ( ) ( 6 0 0 0 6 0 0 0 ) 2 126 0 0 0 ( ) ( ) ( ) 2n m n m nm n m n m n ， 等号当且仅当 m=n 时成立 . 即把一颗钻石切割成两颗钻石，当两颗钻石的重量相等时，价值损失的百分率达到最大 (12 分 ) 21本小题主要考查导数、函数的极值、方程与不等式等基础知识；考查化归及数形结合的思想方法；考查分析问题、解决问题的能力满分 12 分 解： ( ) ()=31， (2 分 ) 依题意， (1)f = (2)f =0，即 3 2 1 0 ,1 2 4 1 0 解得 a= 16， b=34，经检验 a= 16， b=34符合题意 . 3213( ) 2 064f x x x x m .(4 分 ) ( )曲线 y=f(x)与 g(x)=m(-2x0)有两个不同的交 点， 即 3213 2064x x x m 在 0 有两个不同的实数解 .(5 分 ) 设 (x)= 213( ) 0 222x x x ，则 213( ) 222x x x ， (7 分 ) 由 ( ) 0x ，得 x= 4 或 x= x 0， 当 x(1)时， ( ) 0x ，于是 (x)在 1上递增； 当 x()时， ( ) 0x ，于是 (x)在 上递减 . (9 分 ) 用心 爱 心 专 心 依题意有323213( 2 ) ( 2 ) ( 2 ) 2 ( 2 ) 0 ,6413( 1 ) ( 1 ) ( 1 ) 2 ( 1 ) 0 ,64( 0 ) 0 , (11 分 ) 解得 0 a =12(9 分 ) (2) 因为直线 斜率 kO，易得点 R 的坐标为 ( 2(10 分 ) | （ y1+a） （ y2+a） =（ +（ a）（ 2a） =(1+x1 2 x1+ 2244心 爱 心 专 心 = +4 22444a2(1k )+8 1k 2，当且仅当 时取到等号 (12 分 ) 又 6,4,k 33,1, 上述不等式中等号能取到 (13 分 ) 从而 | 最小值为 16(14 分 ) 解法二： (I)同解法一 ( )设直线 y=kx+a， 把直线方程与抛物线方程联立消去 y 得 . (6 分 ) 记 P( Q(则 x1+4 a=12.(9 分 ) (2) | 21 k | 21 k |=(1+( 下同解法一 用心 爱 心 专 心 2009 年福建省普通高中毕 业 班质量检查 数学 (理科 ) 试题 本试卷分第 I 卷 (选择题 )和第 卷 (非选择题 )，共 8 页，全卷满分 150 分，考试时间120 分钟 参考公式： 如果事件 A、 B 互斥，那么 P(A+B)=P(A)+P(B) 如果事件 A、 B 相互独立，那么 P(AB)=P(A)P(B) 如果事件 A 在一次试验 中 发生的概率 是 p，那么 n 次独立重复试验中恰好发 生 k 次的概率 Pn(k)= p(1 球的表面积公式 S=4中 R 表示球的半径 球的体积公式 V=34 中 R 表示球的半径 第 选择题 共 60分 ) 一、选择题：本大题共 12小题。每小题 5分，共 60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。请把正确答案填在题目后面的括号内 1复数 i(1 一 i)等于 ( ) A 1+i B 1 一 i C一 1+i D一 1 一 i 2设全集为 R， A=x|1 x 1， B= x| x0，则 B)等于 ( ) A x|0x 1 B x| x0 C x|x D x|x 3已知某一随机变量 的概率分布列如下，且 a 的值为 ( ) 4 a 9 P .1 b A 5 B 6 C 7 D 8 4已知 A、 B 为球面上的两点， O 为球心， 且 ， 20，则球的体积为 ( ) A29B 34 C 36 D 332 5已知条件 p: k= 3 ，条件 q：直线 y= 与圆 x2+ 相切，则 p 是 q 的 ( ) A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充分必要条件 D既不充分也不必要条件 6已知数列 前 n 项和为 1 的等差中项， 则 ) A 1 B C (-1)n D (-1)若 m、 n 为两条不同的直线， 、 为两个不同的平面，则以下命题正确的是 ( ) A若 m ， n ，则 m n B若 m ， m ， =n，则 m n C若 m ， n ，则 m n D若 =m， m n，则 n 用心 爱 心 专 心 8函数 y=x+)的周期为 2，其图象的一部分如图所示，则此函数的解析 式可以写成 ( ) A )x(f =2x) B )x(f =x 一 2) C )x(f =x 一 1) D )x(f = 一 x) 9已知函数 y=f(x+1)的图象关于点 (0)成中心对称，则函数 y=f(x)一定是 ( ) A奇函数 B偶函数 C既是奇函数又是偶函数 D既不是奇函数也不是偶函数 知),x(x()x(f 则方程 f(x)=2 的实数根的个数是 ( ) A 0 B 1 C 2 D 3 11某学校开设 10 门选修课程，其中 3 门是技能类课程， 2 门是理论类课程学校规定每位学生应选修 4 门，且技能类课程和理论类课程每类至多选修 1 门，则不同的选修方法种数是 ( ) A 50 B 100 C 11O D 115 12若函数 f(x)为奇函数，且在 (0， +)内是增函数，又 f(2)=0，则x )x(f)x(f 0 的解集为 ( ) A () (0,2) B (-， (0,2) C (-， (2， +) D () (2， +) 第 卷 (非选择题 共 90 分 ) 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 4 分。共 16 分请把正确答案填在题目后面的横线上 13二项式 (21)6的展开式中，常数项为 _. 14椭圆的焦点及其短轴端点都在以原点为圆心的同一个圆上，则此椭圆的离心率为 _ 15已知向量 a=(1， 1)， b=( x (0， )，若 a b ，则 x 的值是 _ 16阅读下面材料，并回答问题： 设 D 和 D在区域 D 内任取一点 M，记 点 M 落在区域 为事件 A，则事件 A 发生的概率 P(A)=的面积的面积已知有序实数对 (a， b)满足 a O， 3， b 0， 2，则关于 x 的一元二次方程ax+ 有实数根的概率是 _ 用心 爱 心 专 心 三、解答题：本大题共 6小题，共 74分解答应写出文字说明。证明过程或演算步骤 17 (本小题满分 12分 ) 已知函数 f(x)=x R) (I)求 f(83)的值； ( )求 f(x)的单调递增区间 18 (本小题满分 12分 ) 在数列 ， ， =1 a(c 为常数， n N*)，且 公比不等于 1 的等比数列 (I)求证：数列等差数列 ； ( )求 c 的值； ( )设 bn=， 数列 前 n 项和为 19 (本小题满分 12分 ) 如图，在棱长为 2 的正方体 E、 F 分别为 (I)求证： 平面 ( )求异面直线 成的角； ( )在棱 ，使得二面角 大小为 30?若存在，求出 长；若不存在，请说明理由 20 (本小题满分 12分 ) 国际上钻石的重量计量单位为克拉已知某种钻石的价值 (美元 )与其重量 (克拉 )的平方成正比，且一颗重为 3 克拉的该种钻石的价值为 54000 美元 (I)写出 关于 的函数关系式； ( )若把一颗钻石切割成重量比为 1 3 的两颗钻石，求价值损失 的百分率； ( )试用你所学的数学知识证明：把一颗钻石切割成两颗钻石时，按重量比为 1： 1 切割，价值损失的百分率最大 (注：价值损失的百分率 =原有价值 现有价值原有价值 100；在切割过程中的重量损耗用心 爱 心 专 心 忽略不计 ) 21 (本小题满分 12分 ) 已知定点 A(a， O)( a 0)， B 为 x 轴负半轴上的动点以 边作菱形 其两对角线的交点恰好落在 y 轴上 (I)求动点 D 的轨迹 E 的方程； ( )过点 A 作直线 l 与轨迹 E 交于 P、 Q 两点，设点R (- a， 0)，问当 l 绕点 A 转动 时， 否可以为钝角 ?请给出结论，并加以证明 22 (本小题满分 14分 ) 已知函数 f(x)=ln(x+a) x = 0 处取得极值 (I)求实数 a 的值； ( )若关于 x 的方程， f(x)= 25在区 间 O， 2上恰有两个不同的实数根，求实数b 的取值范围； ( )证明：对任意的正整数 n，不等式 11 都成立 用心 爱 心 专 心 2009 年福建省普通高中毕业班质量检查 数学 (理科 )试题参考答案及评分标准 说明： 一、本解答指出了每题要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制定相应的评分细则 二、对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应给分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分 三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数 四、只给整数分 数选择题和填空题不给中间分 一、选择题：本题考查基础知识和基本运算，每小题 5 分，满分 60 分 1 A 2 C 3 C 4 B 5 A 6 D 7 B 8 D 9 A 10 D 11 D 12 A 二、填空题：本题考查基础知识和基本运算。每小题 4 分。满分 16 分 13 15； 1422； 1543； 1632三、解答题：本大题共 6 小题，共 74 分。 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 17本小题主要考查三角函数的倍角公式、和角公式，三角函数的图象与性质等基础知识；考查理解能力和运算能力满分 12 分 解： 1 c o s 2 1( ) s i n 222xf x x(4 分 ) 2 2 2 1( s i n 2 c o s 2 )2 2 2 221s i n ( 2 )2 4 2 (6 分 ) 3 2 1 1( I ) ( ) s i 2 2f (8 分 ) ( I I ) 2 2 22 4 2k x k 令 (10 分 ) 32 2 244k x k 即 3 ()88k x k k Z 时， f(x)单调递增 . 用心 爱 心 专 心 f(x)单调递增区间为 38k ， 38k ()(12 分 ) 18本小题主要考查等差数列、等比数列、数列求和等基础知识考查化归与转化的思想方 法；考查推理与运算能力满分 12 分 解法一： (I) 1 1nn ，且 ，显然 111 1 1nn n n ca a a a ，又 c 为常数， 数列 1是等差数列 . (4 分 ) ( )由 ( )知，111 ( 1 ) 1 ( 1 )nn c n (5 分 ) 1 2 5111 , , 4a a 又 211()1 1 4，解得 c=0 或 c=2. (7 分 ) 当 c=0 时， =合题意，舍去 . c=2. (8 分 ) ( )由 ( )知 c=2， 1 n (9 分 ) 11 1 1 1( ) .( 2 1 ) ( 2 1 ) 2 2 1 2 1n n nb a a n n n n (10 分 ) 1 1 1 1 1 1 ( 1 ) ( ) ( ) 2 3 3 5 2 1 2 1nS 11(1 ) 1n (11 分 ) 12.(12 分 ) 解法二： ( ) 1 1nn ，且 ，显然 1111nn n ca a a ， (2 分 ) 用心 爱 心 专 心 111，又 c 为常数， 数列 1是等差数列 (4 分 ) ( )、 ( )解法同解法一 . 19本小题主要考查直线与直线、直线与平面的位置关系、二面角的概念等基础知识；考查空间想象能力。逻辑思维能力和探索问题、解决问题的能力满分 12 分 解法一：如图分别以 x 轴、 y 轴、 z 轴建立空间直角坐标系 已知 得 D(0， 0， 0)、 A(2， 0， 0)、 B(2， 2， 0)、 C(0， 2， 0)、 ， 2， 2)、 ， 0， 2)、 E(1， 0， 2 )、 F(0， 2， 1) (2 分 ) ( )易知平面 12， 2， 2). (4 分 ) 又 (， 由 1， 1 平面 平面 (6 分 ) ( ) (0,2， 0)， 463| | | | 2 6E F A A B 异面直线 成的角为 (8 分 ). ( )设点 P(2， 2， t)(0=30或 =150， |24|32422(10 分 ) 即224 3 4( 2 )4，解得 6 (0, 23 ， 在棱 ，当 长为 63时， 二面角 大小为 30. (12 分 ) 解法二： ( )同解法一知 (， ，1， 2)， (， 0)， 1 1 又 平面 平面 (4 分 ) ( )、 ( )同解法一 解法三： ( )取 ，连结 ， 2 2 四边形 平行四边形， 平面 平面 平面 (4 分 ) ( )由 ( )知 是异面直线 成的角 (或补角 ) 连 平面 平面 ， ， 2 ， 22， 用心 爱 心 专 心 异面直线 成的角为 2 (8 分 ) ( )假设存在点 P，使得二面角 P 的大小为 30连结 O 点，连结 正方形， 平面 的射影，由三垂线定理得 二面角 P 的平面角， 0， 则 36233 6 (0, 23 在棱 ，当 长为 63时， 二面角 大小为 30. (12 分 ) 解法四： ( )取 ，连结 E 为 而 又 F 为 交， 交， 平面 平面 平面 平面 (4 分 ) ( )、 ( )同解法三 20本小题主要考查函数与不等式等基础知识；考查运用数学知识分析问题和解决问题的能力满分 12 分 解法一： ( )依题意设 v=(2 分 ) 又当 =3 时， v=54000， k=6000， (3 分 ) 故 0002 (4 分 ) ( )设这颗钻石的重量为 a 克拉， 由 ( )可知，按重量比为 l 3 切割后的价值为 6000(14a)2+6000(34a)2 (6 分 ) 价值损失为 60006000(14a)2+6000(34a)2 (7 分 ) 价值损失的百分率为 2 2 22136 0 0 0 6 0 0 0 ( ) 6 0 0 0 ( ) 44 0 . 3 7 5 3 7 . 5 %6000a a 答：价值损失的百分率为 (8 分 ) 用心 爱 心 专 心 ( )若把一颗钻石按重量比为 m n 切割成两颗，价值损失的百分率应为 22 221 ( ) ( ) ()m n m nm n m n m n ， (10 分 ) 又 2222 ( )212( ) ( ) 2n m n， (11 分 ) 等号当且仅当 m=n 时成立 . 即重量比为 1 1 时，价值损失的百分率达到最大 (12 分 ) 解法二： ( )、 ( )同解法一 ( )设一颗钻石切割成两颗，其重量比为 1 x， 则价值损失的百分率为 222121 ( ) ( ) 1 1 2 1x x x ,(10 分 ) 又 x0， 2x， 故22 2 12 1 2 2 2x x x 等号当且仅当 x=1 时成立 (11 分 ) 故当重量比为 1 1 时，价值损失的百分率达到最大 (12 分 ) 21本小题主要考查抛物线的几何性质、直线与抛物线的位置关系等基础知识；考查解析几何的基本思想方法；考查分析问题、解决问题的能九满分 12 分 解法一： ( )设 D(x， y)， A(a， 0)，由 菱形 且 交点在 y 轴上， B、 C 两点坐标为 (0)、 (y) 由 （ 2x， y） (2a， 4 ， 即 4(4 分 ) 注意到 菱形， x0 故轨迹 E 的方程为 4x0） . (5 分 ) ( ) 可能为钝角，即 0 (6 分 ) 证明如下： (1)当 x 轴时， P、 Q 点的坐标为 (a， 2 a)，又 R(一 a， 0)， 此时 0，结论成立； (7 分 ) (2)当 x 轴不垂直时，设直线 方程为 y=k(x 一 a)， 用心 爱 心 专 心 由 2 4,( ),y a xy k x a 得 - (2a)x + 0 记 P（ Q（ 则 x1+ 2a+24 x1 x2=（ x1+a）（ x2+a） +（ x1+a）（ x2+a） +a）（ a） =(1+x1 a - x1+a2+(1+(a - 2a+24+a2+40 (10 分 ) 即 为锐角， (11 分 ) 综上 (1)、 (2)知 0成立 (12 分 ) 解法二： ( )设 D(x， y)，由 菱形且 交点在 y 轴上， C 点坐标为 (y)， A(a， 0)，由 | 2 2 2 2( ) ( 0 ) ( ) ( )x a y x a y y ， 化简得 (4 分 ) 注意到 菱形， xO， 故轨迹 E 的方程为 ax(xO) (5 分 ) ( ) 可能为钝角，即 0.(6 分 ) 证明如下： 设 P（ Q（ ，同证法一易知，则 x1 x2= 2 x1+a ，因为 2+ 2- 2（ x1+a） 2+ x2+a） 2+x1+a)2 =2 1222ax 4(9 分 ) 从而 2 2 2| | | | | |2 | | | |P R Q R P Q R0， (11 分 ) 即 0(12 分 ) 解法三： ( )因为 菱形，且 交点在 y 轴上， 所以点 C 的横坐标为 即点 C 在直线 x = ，从而 D 到 C 的距离等于 D 到直线 x = 距 离又 菱形，所以点 D 到点 A 的距离与点 D 到直线 x = 距离 相等，即轨迹 E 为抛物线，方程为 (4 分 ) 注意到 菱形， xO， 用心 爱 心 专 心 故轨迹 E 的方程为 ax(xO) (5 分 ) ( ) 可能为钝角，即 0.(6 分 ) 证明如下： 如图，过 P、 Q 向 x 轴及准线 x = 垂线，记垂足为 M、 N、 C、 H， 则 |所以 5， (10 分 ) 同理可证 5，从而 0.(12 分 ) 解法四： ( )同解法一 ( ) 可能为钝角，即 0.(6 分 ) 证明如下： 设 P（ 则 | 114= 114 (8 分 ) x1+a21 ， 5， (10 分 ) 同理可证 5，即 0.(12 分 ) 22本小题主要考查函数的导数、单调性、极值和不等式等基础知识；考查化归及数形结合的思想方法；考查分析问题、解决问题的能九满分 14 分 解： ( ) () = 1 21(2 分 ) x=0 时， f(x)取得极值， (0)f =0， (3 分 ) 故 1 2010 a =0，解得 a=a=1 符合题意 . (4 分 ) ( )由 a=1 知 f(x)=ln(x+1) x，由 f(x)= 52x+b, 得 ln(x+1)32， 令 (x)= ln(x+1)32 则 f(x)= 52x+b 在 0， 2上恰有两个不同的实数根等价于 (x)=0 在 0， 2 恰有两个不同实数根 (5 分 ) 1 3 ( 4 5 ) ( 1 )( ) 21 2 2 ( 1 ) ， (8 分 ) 当 x (O， 1)时， ()x O，于是 (x)在 (O， 1)上单调递增； 当 x (1， 2)时， ()x (10 分 ) 由 ( )知 ( 2 3 )()( 1 )x ， (11 分 ) 令 ()=0 得， x=0 或 x= 去 )， 当 f(x)单调递增； 当 x0 时， ()0 得， n+1) 1n+21n ，故 1)21. (14 分 ) 用心 爱心 专心 安徽省合肥市 2009 年高三第一次教学质量检测 数学（理科）试题 （考试时间： 120 分钟，满分 150 分） 一 选择题：（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的，） 1 不等式 2 1x 的解集为 A | 1 1 B | 1 C | 1 D | 1 1x x x 或 2 复数 21 iz i 的共轭复数 z A 1i B 1 i C 1 i D 1i 3 曲线 22 4 2 1 1 0x y x y 上到直线 3 4 5 0 距离等于 1 的点的个数为 A 1 B 2 C 3 D 4 4 已知 ，则 2x A 65B 95C 43D 535 已知n 项和，10 0S 并且11 0S ，若 恒成立，则正整数 k 构成集合为 A 5 B 6 C 5,6 D 7 6 将 A B C D 排成一列，要求 A B C 在排列中顺序为 “A B C”或 “C B A”（可以不相邻），这样的排列数有（ ）种。 A 12 B 20 C 40 D 60 7 已知命题： “若120k a k b则120”是真命题，则下面对 , A a 与 b 一定 共线 B a 与 b 一定不共线 C a 与 b 一定垂直 D a 与 b 中至少有一个为 8 一个空间几何体的三视图及部分数据如图所示，则这个几何体的体积是 A 3 B 52C 2 D 32正视图 侧视图 俯视图 3 3 1 用心 爱心 专心 9 平面上有一组平行线 ， 且相邻平行线间的距离为 一枚半径为 硬币任意平掷在这个平面，则硬币不与任何一条平行线相碰的概率是 A 14B 13C 12D 2310 曲线 1直线 14、 及 x 轴所围成的区域的面积是 A 34B C 2 D 11 如图，该程序运行后输出的结果为 A 14 B 16 C 18 D 64 12 函数 221 , 0()( 1 ) , 0x e x 在 ( , ) 上单调，则 a 的取值范围是 A ( , 2 (1 , 2 B 2 , 1 ) 2 , ) C (1, 2 D 2, ) 二 填空题：（本大题共 4 个小题，每小题 4 分，共 16 分 ，把答案填在题中的横线上 ） 131851()开式中的常数项为 _. 14 写出命题： “对任意实数 m，关于 x 的方程 x2+x+m = 0 有实根 ”的否定为：_ 15 以等腰直角 两个 顶点为焦点，并且经过另一顶点的椭圆的离心率为 _. 16 观察下表的第一列，填空 等差数列 正项等比数列 2 5a a a a 3 4 2 5b b b b 1 ( 1)na a n d 11 b q 前 n 项和 1()2 nn n a 前 n 项积 _ 开始 A=10 ，S=0 S=S+2 A=束 输出S A 2？ 是 否 第 11 题图 用心 爱心 专心 三解答题（本大题共 6 个小题，共 74 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17 （本小题满分 12 分） 已知函数 ( ) 2 s i n c o s ( ) 3 s i n ( ) c o s s i n ( ) c o x x x x x x x （ 1） 求函数 ()y f x 的最小正周期和最值； （ 2） ()y f x 图像与其上点 P 经平移后分别得到函数 ()y g x 图像与点 Q，并且()y g x 函数是奇函数，当 |最小值时，求 及 ()y g x 18 （本小题满分 12 分） 已知数列 n 项和是足 21（ 1） 求数列 n 项和 （ 2） 求证：21l o g (1 ) 4n kk 用心 爱心 专心 19 （本小题满分 12 分） 某考生参加一所大学自主招生考试，面试时从一道数学题，一道自然科学类题，两道社科类题中任选两道回答，该生答对每一道数学 自然科学 （ 1） 求该考生恰好抽到两道社科类试题并都答对的概率； （ 2） 求该考生在这次面试中答对试题个数 的数学期望。 20 （本小题满分 12 分） 如图， O 是半径为 2 的球的球心，点 A B C 在球面上， 两垂直， E B 与 中点。 （ 1） 求证： 面 （ 2） 求多面体 体积； （ 3） 建立适当的空间直角坐标系，求 ,E 的坐标， 并求异面直线 夹角的余弦值。 A O C B E F 第 20 题图 用心 爱心 专心 21 （本小题满分 12 分） 已知函数 ( ) (x e e x R 且 e 为自然对数的底数）。 （ 1） 求 ()判断函数 () （ 2） 是否存在实数 t，使不等式 33( ) ( ) 0f x t f t x 对一切 ( ,1x 都成立，若存在，求出 t；若不存在，请说明理由。 22 （本小题满分 14 分） 设 A B 为椭圆上 22143的两个动点。 （ 1） 若 A B 满足 0B，其中 O 为坐标原点，求证：2211| | | |B 为定值； （ 2） 若过 A B 的椭圆的两条切线的交点在直线 x+2y=5 上，求证直线 过一个定点。 用心 爱心 专心 参考答案 一 选择题： 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 A D C B C C B D B C B A 二 填空题： 13 816 14 存在实数 m，关于 x 的方程 x2+x+m = 0 没有实根 15 22或 21 16 21() 解答题： 17 解：（ 1） ()y f x 最小正周期 T ()y f x 的最大值为 35122 ，最小值为 31122 6 分 （ 2）设 ( ) ( )g x f x h k ，所以 ( , )PQ h k ， 由题意知： 3( ) s i n ( 2 2 )26y f x h k k x h 是奇函数 3 02 k且 2 , ( )6h m m Z 22, ( ) 9 ( 6 1 )1 2 2 | | , ( )3 4 1 4 42mh m m 当 m=0 时， |最小值，此时 3| | ( , ) , ( ) s i n 21 2 2P Q g x x 12 分 18 （ 1）当 1
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