2010届高三数学高考二轮复习资料（精品打包11套）苏教版
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十一
苏教版
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2010届高三数学高考二轮复习资料（精品打包11套）苏教版,高三,数学,高考,二轮,复习资料,精品,打包,11,十一,苏教版
- 内容简介：
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1 三角函数 例 1。若角 的终边经过点 )2,1( P ，则 2 。 【思路 分析 】由任意三角函数定义先求出 然后由二倍角正切公式可得。 解： 角 的终边经过点 )2,1( P ，所以 2ta n 21 ，3441 4t a n1 t a a n 2 。 【 解后反思 】 本题是考查任意角三角函数和二倍角公式，求解 时 要 能 正确 地 理解 任意角的 三角函数定义，熟记三角公式。 练习：已知角 的终边经过点 )12,5(P ，则 2 。 解答：1691191c 3512)5(5c 22 。 例 2。已知 ,51c 且432 ，则 2 。 【思路 分析 】 由条件可先求得 2然后据同角三角函数公式求得 2 解：由 ,51c 得251c o ss ，从而25242。又432 ，所以232 ，所以2572s o s 2 。 【 解后反思 】 本题是检测二倍 角的正弦及同角三角函数关系式，注意角的范围以便正确确定三角函数值的符号。 练习： 已知 x 0,1. (1)求 值 ； （ 2）求2 的值 . 解 （ 1）方法一 联立方程： 由 得 1其代入 ，整理得 25. x 0, 54 所以 57. 2 方法二 1, (= 251, 即 1+251, 22524. (=1+2524=2549 又 x 0, 0,0, 0 由 可知： 57. (2)由已知条件及（ 1）可知 57解得54 43. 又 xx 22222 s s co ss s 1 = =72543114322 . 例 (0, )2，53)2 , 1s )22 ，则2 的值等于 。 【思路 分析 】 本题我们首先应注意到条件角与结论角 之间的关系： )2()2(2 ，从而可先由条件利用同角三角函数关系求得条件角的余弦，再用两角和的余弦公式求得2 。 3 由 , (0, )2，则2 4 2 （ ， ），2 2 4 （ ， ），又 53)2 ， 1s i n ( )22 ，所以54)2 ，23)2co s( 。 )2s i n()2s i n()2c )2c )2()2c (2c 10 334)21(532 354 。 解答：10 334 。 【 解后反思 】 对知值求值问题，在求解中要善于用条件中的角来表示结论中的角。 练 习 ： 已 知 , ,43 ， )= ,53 13124 则 4 =_. 解： 33, , , s i n ,45 12s )4 1 3 ， 3( , 2 )2 ， 3( , )4 2 4 ， 4c o s ( ) 5， 5c o s ( )4 1 3 ， 则 )4 c o s ( ) ( ) 4 = c o s ( ) c o s ( ) s i n ( ) s i n ( )44 = 4 5 3 1 2 5 6( ) ( )5 1 3 5 1 3 6 5 例 40c o 0s c o n 0 的值。 【思路 分析 】注意到式中的角和三角函数名称多样性，可考虑从统一角和名称入手，化异为同，达到求解的目的。 解： 40c o 0s c o n 0 = 40c o 0s c o o 4 0 0 0000 0 0 0 0000 0 0 00c o s 2 0 ( c o s 1 0 3 s i n 1 0 )2 c o s 4 0s i n 2 02 c o s 2 0 ( c o s 1 0 s i n 3 0 s i n 1 0 c o s 3 0 )2 c o s 4 0s i n 2 02 c o s 2 0 s i n 4 0 2 s i n 2 0 c o s 4 0s i n 2 02【解后反思】本题 考查三角公式的记忆及熟练运用三角公式计算求值。方法不拘泥 ,要注意灵活运用 ,在求三角的问题中 ,要注意这样的口决 “三看 ”即 (1)看角 ,把角尽量向特殊角或可计算角转化， (2)看名称 ,把一道等式尽量化成同一名称或相近的名称，例如把所有的切都转化为相应的弦，或把所有的弦转化为相应的切， (3)看式子 ,看式子是否满足三角函数的公式 如果不满足转化一下角或转换一下名称 ,就可以使用 . 练习： 求 )10ta 0s 的值 。 解 ： 110c o i o i o o i o s)1060c o s (50s i o i o i o i o i n)10c o i 0s i n)10t 0s i 例 34 ， 23 t a n 1 0 t a n 3 0 （ ）求 的值； （ ）求225 s i n 8 s i n c o s 1 1 c o s 82 2 2 22 s i n 2 的值。 【思路 分析 】 第一问直接求解方程，但要注意角的范围。对于第二个问题，我们应设法在恒等变形中构造出 来。 解： ( )由 23 t a n 1 0 t a n 3 0 得，即 1t a n 3 t a 或，又 34 ， 5 所以 1为所求。 （ ）225 s i n 8 s i n c o s 1 1 c o s 82 2 2 22 s i n 2 = 1 - c o s 1 + c o s i n 1 1 8222 c o s = 5 5 c o s 8 s i n 1 1 1 1 c o s 1 62 2 c o s = 8 s i n 6 c o s 8 t a n 62 2 c o s 2 2 = 526。 【 解后反思 】 这一类问题在求解中要注意 ：在做恒等变形时尽量构造出条件中的三角函数，然后 代换。 练习：已知 40 , s i （ ）求 22s in s c o s c o s 2 的值； （ ）求 5)4 的值。 解： ( )由 40 , s i ，得 3，所以 22s in s c o s c o s 2 22s i n 2 s i n c o s 203 c o s 1 。 （ ） s i n 4t a nc o s 3 ， 5 t a n 1 1t a n ( )4 1 t a n 7 。 例 6。将函数 s i n ( 0 )的图象向左平移6后的图象如图所示，则平移后的图象所对应函数的解析式是 。 【思路 分析 】将函数 s i n ( 0 )的图象向左平移6，平移后的图象所对应的解析式为 s )6，由图象知， 73()1 2 6 2 ，所以 2 ，因此 s 2 )3。 解答： s 2 )3。 【 解后反思 】 根据图象求 ) 解析式，一般做法是先求周期 T ，然后得到 ；利用最高点与最低点的纵坐标得到 A ；图象在 y 轴左边与 x 轴第一个交点的横坐标 6 0 。 练函数 ) 像的一部分如右图所示它的解析式是 。 解答： )32 解析：先据图象知： )6(124 T，周期为 T 1A ，从而 2 ，又6 。 例 7。为了得到函数 ),63 的图像，只需把函数 ,图像上所有的点 。 【思路 分析 】 利用三角函数图象变换规律：先平移后伸缩。 将 ,图象向左平移6个单位长度，得到函数 2 s i n ( ) ,6y x x R 的图象，再把所得图象上各点的横坐标伸长到原来的 3 倍（纵坐标不变）得到函数 ),63s 2 的图像。 解： 将 ,图象向左平移6个单位长度，再把所得图象上各点的横坐标伸长到原来的 3 倍（纵坐标不变）。 【解后反思】本题主要考三角函数的图象变换，这是一道平时训练的比较多的一种类型。 由函数 s y x x R的图象经过变换得到函数 s i n ( ) ,y A x x R （ 1） y=xR(A0 且 A1)的图象可以看作把正弦曲线上的所有点的纵坐标伸长 (A1)或缩短 (00且 1)的图象，可看作把正弦曲线上所有点的横坐标缩短 (1)或伸长 (01)到原来的1倍（纵坐标不变） （ 3）函数 y x )， x R(其中 0)的图象，可以看作把正 弦曲线上所有点向左 (当 0 时 )或向右 (当 0 时平行移动 个单位长度而得到 奎屯王新敞 新疆 (用平移法注意讲清方向：“加左 ”“减右 ”)，可以先平移变换后伸缩变换，也可以先伸缩变换后平移变换，但注意：先伸缩时，平移的单位把 x 前面的系数提取出来。 练习： 已知函数 f(x)=3 x R. 函数 f(x)的图象可以由函数 y=x R)的图象经过怎样的变换得到？ 解析： 1 c o s 2 3( ) s i n 2 (1 c o s 2 )22xf x x x 23 = )6s 2co 先把 图象上所有点向左平移12个单位长度，得到 s 2 )6的图象。 7 例 8 已知函数 o s)4c o s ()4s i n(32s i n)( 22 （ I）求函数 )(最小正周期和单调递减区间； （ 函数 )( 32,12 上的最大值和最小值并指出此时相应的 x 的值。 【思路 分析 】 先对函数表达式利用二倍角公式，诱导公式或两角和与差的正余弦公式进行恒等变形，把它化成仅含一个三角函数，然后对照正弦函数相应的性质处理。 解：（ I） 3c o s)4c o s ()4s i n(32s i n)( 22 32c o s)4(s co )62 22(2326222 得 )(653 所以函数 )(最小正周期为 )(65,3, 单调递减区间为（ （ I）有 )2)( ,32,12 67,362 12s 167s 3)3s 所以当 )(,3;3)(,12 数时当取得最小值函数时 取得最大值 2 【 解后反思 】 此类问题在处理过程中，把函数式化为仅含一个三角函数是关键。 练习、已知函数 ( ) s i n 2 s i n 2 c o s 2 (66f x x x x a a R a ，为常数） （ 1）求函数 的最小正周期； （ 2）求函数的单调递增区间； 8 若 02x ，时， () 2 ，求 a 的值 (1) ( ) 2 s i n 2 c o s c o s 2 3 s i n 2 c o s 2 2 s i n 266f x x x a x x a x a ()2T (2) 当 2 2 22 6 2k x k 即 2 ()36k x k k Z 时，函数 ()调递增，故所求区间为 ()36k k k Z ，(3) 02x ，时， 726 6 6x ，2x 时， () s i n ( 2 ) 2 126 例 9如图，位于 A 处的信息中心获悉：在其正东方向相距 40 海里的 B 处有一艘渔船遇险，在原地等待营救 30 、相距 20 海里的 C 处的乙船，现乙船朝北偏东 的方向沿直线 往 B 处救援，求 值 【思路 分析 】 本题是一道实际应用题，首先应考虑如何转化为数学问题。从文字描述中不难看出它与解三角形有关。在 中利用正弦定理和余弦 定理即可解决。 【解】 如题图所示，在 中， 120,20,40 B A 由余弦定理知 2800120c o 720 由正弦定理721s i ns i ns i ns i n B A 由 120则 为锐角，7 72co s 由 30， 则14 2130s i ns i s)30co s (co s A C B【 解后反思 】 有关求解三角形中的计算问题一般要善于利用正弦定理和余弦定理，选择好定理是求解的关键，同时要防止增解的情况。 练习：某观测站 城的南偏西 020 的方向 城出发的一条公路，走向是南偏东 040 ，在 处有一人距 1千米正沿公路向 了 20千米后到达 时 的距离为 21 千米，问 这人还要走多少千米才能到达 解 设 ， . 在 余弦定理得 = 2222 =21202 312120222 = 则 =734, 而 = )= =73421+2371=1435, 在 正弦定理得60 60=23143521 =15(千米 ). 答 这个人再走 15千米就可到达 例 10 在 中， a、 b、 c 分别是三个内角 A、 B、 C 的对边，且 a、 b、 c 互不相等，设a=4， c=3， 2. （ ）求 值； （ ）求 b 的值 . 【思路 分析 】 从所给条件来看：告诉三角形两边及其对角，因此要先用正弦 定理求出 再用余弦定理求出 b。 （ ）解：在 中，由正弦定理s i n s i n s i na b C=，得 43 10 因为 2，所以 43 即 432 s i n c o s s i C=， 解得 2； （ ）解：在 中，由余弦定理 2 2 2 2 c o sc a b a b C= + - ， 得328169 2 得 73,3或. 因为 a、 b、 c 互不相等， 所以 73b=. 【 解后反思 】 解三角形的问题求解时关键是正确地选择正弦定理和余弦定理。 练习： , , , , , ,A B C a b c A B C在 中 分 别 是 的 对 边 且 满 足 ( 2 ) c o s c o sa c B b C (I)求角 B 的大小； ( 7 , 4 ,b a c A B C 求 的 面 积 解： (I) , 中 由 正 弦 定 理 得： 2 s i n , 2 s i n , 2 s i A b R B c R C 代入 ( 2 ) c o s c o sa c B b C整理得： 2 s i n c o s s i n c o s s i n c o B C C B. 即： 2 s i n c o s s i n ( ) s i B C A ，在三角形中， A ， 2B ， 是三角形的内角， B=60. (, 中 由 余 弦 定 理 得： 2 2 2 2 c o sb a c a c B 2( ) 2 2 c o sa c a c a c B 7 , 4b a c 将 代 入 整 理 得3 故 1 3 3 3s i n s i n 6 02 2 4a c B 1 不等式专题 一、知识回顾 不等式是刻画现实世界中不等关系的数学模型，是解决许多实际问题的重要工具，在高考中属主体内容 多数情况是在函数、数列、几何、实际应用题等综合型试题中考查，在考试说明中考查要求也比较高 内 容 要 求 A B C 不 等 式 基本不等式 一元二次不等式 线性规划 因此，在复习中应注意： 1解某些不等式要与函数的定义域、值域、单调性联系起来，含参数的不等式可分类讨论 2利用基本不等 式时要注意不等式运用的条件 3要强化不等式的应用意识，同时要注意到不等式与函数和方程的对比与联系，充分利用函数 方程思想、数形结合的思想处理问题 4利用线性规划解决问题时应力求画图准确 二、例题精讲 例 1 设 0, 若 3 是 3a 与 3b 的等比中项，则 11最小值为 _. 解析 : 因为 333 所以 1， 1 1 1 1( ) ( ) 2 2 2 4b a b b a b a b a b ，当且仅当 12时“ =”成立 ,故最小值为 4 . 练习 0 ( 0 , 0 )a x b y a b 经过圆 22 8 2 1 0x y x y 的圆心 ,则11的最小 值为 _. 例 2 已知关于 x 的不等式 2 20ax x c 的解集为 11( , )32,则 2 20cx x a 的解集为 _. 解析 ： 由 2 20ax x c 的解集为 11( , )32知 0a , 11,32为方程 2 20ax x c 的两个根 ,由韦达定理得 1 1 2 1 1,3 2 3 2 ,解得 12, 2 , 2 20cx x a 即 22 2 1 2 0 ,其解集为 ( 2,3) . 练习 0ax bx c 的解集为 |0 ,试用 ,表示不等 2 式 2 0cx bx a 的解集 . 例 3 已知 13 且 24 ，则 23的取值范围为_. 解析：设 2 3 ( ) ( ) ( ) ( )a b x a b y a b x y a x y b ， 23 ,解得5212 5 5 1 5 1( ) , 2 ( ) 12 2 2 2a b a b 9 5 1 1 3( ) ( )2 2 2 2a b a b ， 即 9 32322 . 错解：解此题常见错误是： 1 a+b 3， 2 a b 4. +得 1 2a 7. 由得 4 b a 2. +得 5 2b 1，215 3b23. +得213 2a+3b217. 另 :本题也可用线性规划来解 . 练习 3. 函数 2()f x ax 满足： 1 ( 1 ) 2 , 2 ( 1 ) 4剟，求 ( 2)f 的取值范围 为 _ 例 4 某种饮料分两次提价，提价方案有三种，方案甲是：第一次提价 %p ，第二次提价 %q ；方案乙是：第一次提价 %q ，第二次提价 %p ；方案丙是：每次提价 %2如果 0 ,那么提价最多的是方案 解 析 ： 设原价为 1，两次提价后的价格为 y 则： (1 % ) (1 % )y p q 甲= 1 + % ) (1 % )y q p乙 （ 21 ( ) % 2丙 易证： y y y乙丙 甲 ，方案丙提价最多 . 3 练习 4.（ 1）甲、乙两人两次在同一个粮店购买粮食（设两次单价不同），甲每次购买粮食 100乙每次用 100 元购买粮食 谁两次购粮的平均单价低 ,谁的购粮方式就合算 ,则两人购粮方式更合算的是 _. （ 2） b 克盐水中，有 a 克盐（ 0，若再添加 m 克盐（ 0m ）则盐水就变咸了，试根据这一事实提炼一个不等式 _. 例 5 （ 1）设 ,正实数，满足 230x y z ，则 2_. （ 2）如果正数 ,ab a b ，那么 取值范围是 _. 解析： （ 1） 230x y z 322 2 2( 3 ) ( 2 3 ) 344y x z x zx z x z x z ,即 2 . （ 2）由题设， 3 011 . 又 23 ( 1 ) 5 ( 1 ) 4 4( 1 ) 51 1 1b b ba b b bb b b 10b ， 44( 1 ) 2 ( 1 ) 411 9. 或解 : 3 2 3a b a b a b 2( ) 2 3 0a b a b 3 9 练习 5.（ 1） 已知 , , ,a b x y R （ , 10 ， 1，若 的最小值为 18，求 , （ 2） 若 , , ,a b x yR , 且 222, 228, 则 ax 的最大值是_. 例 6解关于 x 的不等式： 04)1(22 解析： 0)2)(2( 当 0a 2x 4 当 0a 2( ) ( 2 ) 0 2|2x x 或当 0a 2( ) ( 2 ) 0 2 2 ( 1 )2 当210 当 1 当 21 22| . 解关于 x 的一元二次不等式 2 ( 3 ) 3 0x a x a . 例 7 已知函数 2( ) , 1 , )x a x af x ， （ 1）当 4a 时，求函数 () （ 2）若对任意 1, )x ， ( ) 0恒成立，求实数 a 的 取 值范围 . 解析：（ 1）当 4a 时， 2 4 4 4( ) 4 4 4 0x . （ 2）由题意， 1, )x 时， ( ) 0恒成立，即 2 0x ax 恒成立， 1, )x ，即 2 40x 恒成立， 若 1x 4a，若 1x ，则 21xa x 恒成立，故 2m 1xa x ， 而 2 11 2 411x ，当且仅当 2x 时取等号，故 2m ) 41 ， 所以， 4a 练习 7. 三个同学对问题“关于 x 的不等式 2 3 22 5 5x x x a x 在 1,12 上恒成 5 立，求实数 a 的取值范围”提出各自的解题思路 甲说：“只须不等式左边的最小值不小于右边的最大值” 乙说：“把不等式变形为左边含变量 x 的函数，右边仅含常数，求函数的最值” 丙说：“把不等式两边看成关于 x 的函数，作出函数图像” 参考上述解题思路，你认为他们所讨论的问题的正确结论，即 a 的取值范 围 是 例 8数列 11 10 , ( ) , ( )2a x x n ,当 2n 时，求证：（ 1）（ 2）1解析：（ 1）由1110 , ( )2nn a x x x ，知 *0 , ( )nx n N，当 2n 时， 11111 ()2n n x x （ 2）112 , , ( )2n n n x a x x x 当 时厖， 211 ( ) 022 nn n n x x ，所以，当 2n 时， 1 练习 56 , 1 6 2，设n 项和，证明：2211 . 例 9 已知函数 321( ) ( 2 ) 13f x a x b x b x 在1取得极大值，在2取得极小值，且120 1 2 ，若设 2z a b ，求实数 z 的取值范围 解析： /2( ) 2 2f x a x b x b ,又1取得极大值，在2取得极小值 故在12( , ) ( ) 0，在12( , ) ( , ) 上有 / ( ) 0 0,a方程 / ( ) 0即 2 2 2 0a x b x b 的两根 12,0,1),(1, 2) 内 6 /( 0 ) 2 0(1 ) 3 2 0( 2 ) 4 5 2 0a bf a b 23 2 04 5 2 0 又 2z a b ，由线性规划 知识易知，当过两点 46( , ), (2, 2)77时 z 取得最大和最小值， z 的范围为 16( ,6)7. 练习 9. 已知关于 x 的不等式 222 ( 3 7 ) ( 3 2 ) 0x a x a a 的解集中的一个元素是 0 ，求实数 a 的取值范围，并用 a 表示该不等式的解集 . 例 10 已知二次函数 ()0) 1f ， ( 1 ) ( ) 2f x f x x （ 1） 求二次函数 () （ 2） 若不等式 ( ) 2f x x m在 1,1 上恒成立，求实数 m 的取值范围。 解析 (1)设 2( ) ( 0 )f x a x b x c a 0) 1f 得 1c ,故 2( ) 1f x a x b x . ( 1 ) ( ) 2f x f x x 22( 1 ) ( 1 ) 1 ( 1 ) 2a x b x a x b x x 即 22ax a b x ,所以 2 2 , 0a a b ,解得 1, 1 2( ) 1f x x x (2)由 (1)知 2 12x x x m 在 1,1 恒成立 ,即 2 31m x x 在 1,1 恒成立 . 令 2235( ) 3 1 ( )24g x x x x ,则 () 1,1 上单调递减 ) 1,1 上 的最大值为 (1) 1g m 的取值范围是 ( , 1) . 练习 10. 3( ) 3 1f x a x x 对于 1,1x 总有 ( ) 0成立，求 a 的值 . 练习题 及 答案 练习 0 ( 0 , 0 )a x b y a b 经过圆 22 8 2 1 0x y x y 的圆心 ,则11的最小值为 _. 解析 : 由 22 8 2 1 0x y x y ,得 22( 4 ) ( 1 ) 1 6 , 圆心为 ( 4, 1) 又直线过圆心 ,得 41 1 1 1 1 4 4( 4 ) ( ) 5 5 2 9b a b b a b a b a b ,当且仅当 4即 16a， 13b 时 “=”成立，故最小值为 9 . 7 练习 0ax bx c 的解集为 |0 ,试用 ,表示不等式 2 0cx bx a 的解集 . 解析 :由题设 ,原不等式与 ( ) ( ) 0 同解 ,即 2 ( ) 0 与不等式 2 0ax bx c 同解 ,比较系数得 0a ,且 1 ( )a b c ,所以 () , , 代入 2 0c x b x a , 得2 ( ) 0a x a x a , 20 , ( ) 1 0a x x ,即 ( 1 ) ( 1 ) 0 又 11 ,所以不等式解集为 11( , ).练习 3. 函数 2()f x ax 满足： 1 ( 1 ) 2 , 2 ( 1 ) 4剟，求 ( 2)f 的取值范围 为 _ 解 析 ：由 2()f x ax 得 ( 1 ) , ( 1 ) , ( 2 ) 4 2f a b f a b f a b 11 ( 1 ) ( 1 ) , ( 1 ) ( 1 ) 22a f f b f f 则 ( 2 ) 2 ( 1 ) ( 1 ) ( 1 ) ( 1 ) 3 ( 1 ) ( 1 )f f f f f f f 由条件 1 ( 1 ) 2 , 2 ( 1 ) 4剟 可得 5 3 ( 1 ) (1 ) 1 0剟 ,所以 ( 2)f 的取值范围是 5,10. 练习 4.（ 1）甲、乙两人两次在同一个粮店购买粮 食（设两次单价不同），甲每次购买粮食 100乙每次用 100 元购买粮食 谁两次购粮的平均单价低 ,谁的购粮方式就合算 ,则两人购粮方式更合算的是 _. （ 2） b 克盐水中，有 a 克盐（ 0，若再添加 m 克盐（ 0m ）则盐水就变咸了，试根据这一事实提炼一个不等式 _. 解析：（ 1）设两次单价分别为 ,则甲两次购粮 200花费 100( )元，两次购粮平均单价为2 8 乙两次花费 200 元，共购粮 100 100ab次购粮平均单价为 211、 0 , 0 ,a b a b ， 2ab ，而 2211 12 ， 所以， 2112，即甲的购粮方式更合算 . （ 2） 由盐的浓度变大 ,得mb . 练习 5. （ 1） 已知 , , ,a b x y R （ , 10 ， 1，若 的最小值为 18，求 , （ 2） 若 , , ,a b x yR , 且 222, 228, 则 ax 的最大值是 _. 解析 ： (1) , , ,a b x y 为正数， ( ) ( ) 2a b a y b xx y x y a b a b a bx y x y 22 ( ) 1 8()10 28或 82 （ 2） 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2( ) 2a x b y a x b y a x b y a x b y a y b x 2 2 2 2( ) ( ) 1 6a b x y ， 4ax ，即 ax 的最大值为 4 . 或解：设 2 c o s , 2 s i n , 2 2 c o s , 2 2 s i na b x y 则 4 c o s c o s 4 s i n s i n 4 c o s ( )a x b y ，最大值为 4 。 本题也可用柯西不等式来求 . 易见错误 : 2 2 2 2,22a x b ya x b y剟,相加 ,得 5ax ,原因是等号取不到 . 练习 6. 解关于 x 的一元二次不等式 2 ( 3 ) 3 0x a x a 解析： 2 ( 3 ) 3 0x a x a ， 30x x a （ 1）当 3 , 3a x a x 时 或 ，不等式解集为 3x x a x或 ； 9 （ 2）当 3a 时，不等式为 230x ，解集为 3x x R x且 ； （ 3）当 3 , 3a x x a 时 或 ，不等式解集为 3x x x a或 练习 7. 三个同学对问题“关于 x 的不等式 2 3 22 5 5x x x a x 在 1,12 上恒成立，求实数 a 的取值范围”提出各自的解题思路 甲说：“只须不等式左边的最小值不小于右边的最大值” 乙说：“把不等式变形为左边含变量 x 的函数，右边仅含常数，求函数的最值” 丙说：“把不等式两边看成关于 x 的函数，作出函数图像” 参考上述解题思路，你认为他们所讨 论的问题的正确结论，即 a 的取值范围 是 解析 : 由 2 3 22 5 5x x x a x ， 2251 1 2 5a x x 剟 ?而 2 5 2 52 1 0 ，等号当且仅当 5 1,12x 时成立；且 2 50 ，等号当且仅当 5 1,12x 时成立；所以，2m i 1 0a x x ， 等号当且仅当 5 1,12x 时成立；故 ( ,10a . 练习 56 , 1 6 2，设n 项和，证明：2211 . 解析： :设等比数列 q ,则 21 14516 2162 3a a q aa a q q 数列 通项公式为 123 ,得 2 (1 3 ) 3113n 2 2 2 2 2 222 2 2 1 2 2 113 ( 3 3 ) 1 3 2 3 3 1 13 2 3 1 3 2 3 1n n n n n n n , 即2211 . 本题用分析法证明也很方便 练习 9.x 的不等式 222 ( 3 7 ) ( 3 2 ) 0x a x a a 的解集中的一个元素是 0 ，求实数 a 的取值范围，并用 a 表示该不等式的解集 . 解析：原不等式即 ( 2 1 ) ( 2 3 ) 0x a x a ，由 0x 适合不等式， 10 得 ( 1 ) ( 2 3 ) 0 ，所以， 1a 或 32a. 当 1a 时， 152 3 ( 1 ) 5 022 ， 不等式解集为 1( , 3 2 )2a a 当 32a时， 1 5 52 3 ( 1 ) 02 2 4 ， 不等式解集为 1(3 2 , )2练习 10. 3( ) 3 1f x a x x 对于 1,1x 总有 ( ) 0成立，求 a 的值 . 解析 :要使 ( ) 0恒成立，只要) 0在 1,1x 上恒成立 . 22( ) 3 3 3 ( 1 )f x a x a x 01 当 0a 时， ( ) 3 1f x x ，所以m ) 2 0 ，不符合题意，舍去。 02 当 0a 时 22( ) 3 3 3 ( 1 ) 0f x a x a x ，即 () 调 递 减 ，m i n( ) (1 ) 2 0 2f x f a a ，舍去 . 03 当 0a 时 1( ) 0f x 若 1 11 时 ()1,a和 1,1a上单调递增， 在 11,上单调递减。 所以m i ) m i n ( 1 ) , ( )f x f ( 1 ) 4 00411( ) 1 2 0 当 1 11 时 () 1,1x 上单调递减， m i n( ) (1 ) 2 0 2f x f a a ，不符合题意，舍去 a . 1 二次函数 问题 一、知识回顾 二次函数是中学代数的基本内容之一，它既简单又具有丰富的内涵和外延 作为最基本的初等函数，可以以它为素材来研究函数的解析式、定义域、值域、单调性、奇偶性等性质，还可建立起函数、方程、不等式之间的有机联系；这些纵横联系，使得围绕二次函数可以编制出层出不穷、灵活多变的数学问题 同时，有关二次函数的内容又与近、现代数学发展紧密联系，是学生进入高校继续深造的重要知识基础因此，从这个意义上说，有关二次函数的问题在高考中频繁出现，也就不足为奇了 学习二次函数，可以从两个方面入手：一 是解析式，二是图像特征 从解析式出发，可以进行纯粹的代数推理，这种代数推理、论证的能力反映出一个人的基本数学素养；从图像特征出发，可以实现数与形的自然结合，这正是中学数学中一种非常重要的思想方法 如：二次函数解析式的三种形式 一般式： 02 顶点式： 2( ) 0f x a x h k a 零点式： 02 在零点 21, 则有 12( ) ( ) 0f x a x x x x a 二、例 题精讲 例 ( ) 2 4f x x a x a 是偶函数，则函数 () 解：二次函数是偶函数，其图像关于 y 轴对称 0a 函数 () 练习 1. 若二次函数 22( ) ( 1 ) ( 1 ) 4f x a x a x 的图像的对称轴是 y 轴，则实数 a 的值是 解：由已知21 0,1 解得 1a 例 2. 已知函数 () 上满足 2( ) 2 ( 2 ) 8 8f x f x x x ，则曲线 ()y f x 在点 (1, (1)f 处的切线方程是 . 解：由 2( ) 2 ( 2 ) 8 8f x f x x x 得 2( 2 ) 2 ( ) ( 2 ) 8 ( 2 ) 8f x f x x x ， 即 22 ( ) ( 2 ) 4 4f x f x x x ， 2()f x x ( ) 2f x x ，切线方程为 1 2 ( 1) ，即 2 1 练习 ( ) ( )f x g x x，曲线 ()y g x 在点 (1, (1)g 处的切线方程为 21，则曲线 2 ()y f x 在点 (1, (1)f 处切线的斜率为 解：由已知 (1) 2g ，而 ( ) ( ) 2f x g x x， (1 ) (1 ) 2 1 4 例 ( ) l n ( 2 1 )f x a x a x 的定义域为一切实数，则 实数 a 的取值范围是 解：由已知 2 2 1 0ax 对一切实数 x 恒成 立 （ 1）当 0a 时，满足题意；（ 2）当 0a 时，只须20,4 4 0 解得 01a 由（ 1）、（ 2）得 01a 练习 21x a x 的定义域为一切实数，则 实数 a 的取值范围是 解：由已知 2 2 1 0ax 对一切实数 x 恒成立 （ 1）当 0a 时，满足题意；（ 2）当 0a 时，只须 24 4 0 解得 10a 由（ 1）、（ 2）得 10a 例 4. 已知二次函数 1)( 2 函数1)( 2 ， （ 1）若 )(偶函数，试判断 )(奇偶性； （ 2） 若 方程 ()g x x 有两个不等的实根 ，求 证 ： 函数 )( ( 1,1) 上是单调函数 . 解：（ 1） )(偶函数 , , ( ) ( )f x f x ， 即 20, 0b . 21()gx . () , 0 ) ( 0 , ) , 且 2211) ) ()( a x a xg x g x , 函数 () （ 2）由212bx xa x b ,得 22 10a x ， 由 04 22 且 0a , 得 12 1122 或 函数 )( ( 1,1) 上是单调函数 . 练习 )( )y f x x R的图像过点 (0, 3) ，且 ( ) 0得解集为 (1,3) 3 （ 1） 若 ( ) ( )F x f x m x在区间 (0,1) 上单调递增，求实数 m 的取值范围； （ 2） 求函数 ( ) (s G x f x 在 0,2x 上的最值 解：由已知设二次函数 ( ) ( 1 ) ( 3 )f x a x x ，其中 0a 将点 (0, 3) 带入，解得 1a 2( ) 4 3f x x x （ 1） 2( ) ( ) ( 4 ) 3F x f x m x x m x ，要使 ()0,1) 上单调递增， 只须 4 12 ( 1)m，解得 2m ； （ 2） 由 2( ) s i n 4 s i n 3G x x x ，得 2( ) ( s i n 2 ) 1G x x 0,2x ， ,1x 3 ( ) 0 函数 ( ) (s G x f x 在 0,2x 上的最大值为 0，最小值为 3 例 5. 设 a 为实数 ,记 函数 21( ) ( 2 , 2 )2f x a x x a x 的 最大值为 ()求 () 解 : (1) 若 0a ,则 ( ) ( 2 , 2 )f x x x , ( ) 2. (2) 若 0a ,则 21 1 1( ) ( ) ( 2 , 2 )22f x a x a , 当 0a 时， 由 1 0 知 () 2, 2x 上单调递增， )(2)f 2a ； 当 0a 时， 若 1a (0, 2)， 即 22a， 则 )( 2 ) 2f， 若 1a 2,2， 即 2122a ， 则 )(1()2 ， 若 1a ),2( ， 即 1 02 a ， 则 )(2)f 2a . 综上所述 ： )(12 , ,21 2 1,2 2 222 , . 思考： 设 a 为实数，记函数 2( ) 1 1 1f x a x x x 的最大值为 () 求 () 分析 : 令 11 ， 则 222 2 1 ， 1211 22 函数 () 1,1) , 2,2t . 21( ( 1 )2) )( m t af 221， 2,2t . 4 由题意知 )(为函数 )(tm 221， 2,2t 的最大值， 化归为例 2 求解 . 或由 函数 ()
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