数学建模 猎狗追兔子问题

数学建模论文 数学建模(2014 春)课程期末论文 题 目 猎狗追兔子问题 题 号 A 成 员 姓 名 学 号 班 级 学 院 联系电话 学生 1 学生 2 摘要 （一） 对于问题一：自然科学中存在许多变量，也有许多常量，而我们要善于 通过建立合适的模型找到这些变量之中的不变量。 猎狗追赶兔子的问题是我们在生活中常见的实例，而题目把我们生活中的普通的 例子抽象成为高等数学中微分方程的例子，通过对高阶微分方程的分析，建立微分方 程模型，并用数学软件编写程序求解，得出结论，解决生活中常见的实际问题。 （2） 对于问题二：学习使用 matlab 进行数学模型的求解，掌握常用计算机软 件的使用方法。 关键词 微分方程 导数的几何意义 猎狗追兔子 数学建模 数学软件 数学建模 （公选课，2014 春）课程论文 1 一、问题重述 如图 1 所示，有一只猎狗在 B 点位置，发现了一只兔子在正东北方距离它 250m 的地方 O 处， 此时兔子开始以 8m/s 的速度正向正西北方向，距离为 150m 的洞口 A 全速跑去. 假设猎狗在追赶兔 子的时候，始终朝着兔子的方向全速奔跑。 请回答下面的问题： 猎狗能追上兔子的最小速度是多少？ 在猎狗能追上兔子的情况下，猎狗跑过的路程 是少？ 假设猎狗在追赶过程中，当猎狗与兔子之间的 距离为30m时，兔子由于害怕导致奔跑速度每秒减半， 而狗却由于兴奋奔跑速度每秒增加 0.1 倍，在这种情 况下回答前面两个问题。 二、问题分析与假设 在猎狗追赶兔子的时候猎狗一直朝着兔子的方向追赶，所以可以建立平面直角坐标 系，通过导数联立起猎狗运动位移，速度和兔子的运动状态。 1.假设兔子的运动是匀速的。 2.假设猎狗的运动轨迹是一条光滑并且一阶导数存在的曲线。 3.猎狗的运动时匀速或者匀变速的。 4.猎狗运动时总是朝向兔子。 三、模型的建立及求解 3.1 符号规定 1.（x，y）：猎狗或者兔子所在位置的坐标。 2. t：从开始到问题结束经过的时间。 3. a:猎狗奔跑的路程。 4. v:猎狗的奔跑速度。 3.2 模型一的建立与求解 猎狗能够抓到兔子的必要条件：猎狗的运动轨 迹在OA要有交点 以OA为y轴，以OB为x轴建立坐标系，则由图有 O(0，0)，A(0,150),B(250，0)，兔子的初始位置0 点,而猎狗初始位置是B点，t（s）后猎狗到达了 C（x，y） ，而兔子到达了D（0，8t） ，则有CD的连线 是猎狗运动轨迹的一条切线，由导数的几何意义有： B A N OW S E B A N OW S E 8dytxxdavt22daxdy 三式联立消去t，得到; 2 281()dydyxvx 设： 8qv 若猎狗可以追上兔子则有当兔子在OA,猎狗在OB之间运动时此方程有解，设：dypx 2dydpxx 得到： 21ddqxp (250)p 得到： 21()50qp 2()qx 数学建模 （公选课，2014 春）课程论文 3 两式联立相加得到： 1250()()2qqdyxxx(50)y 1.如果 q=1 即 v=8 m/s 得到 2150ln()250xxy0, 所以此情况无交点，所以 v=8m/s 猎狗无法追上兔子； 2.如果 q8m/s 得到 122511250()()250qqxyqx0,1x 此情况有交点，所以有可能能够追上兔子，如果要追上兔子需要 y1 利用上式得到 0,xy，所以这种情况不能追上兔子。 综上讨论，猎狗可以追上兔子的最小速度为 485 。 3.3 模型二的建立与求解 如果猎狗可以追上兔子那么猎狗的轨迹和兔子的轨迹必相交与一点，此时兔子的路 程 2 51qy ，所用放的时间 258(1)yqt ，那么猎狗的的路程a=tv; 带入数值解得a= 90615 。 3.4 模型三的建立与求解 模型三利用matlab试验，得到代码如下： a=8; dogxa=; dogya=; rabbitxa=; rabbitya=; d=1; dogx=250; dogy=0; rabbitx=0; rabbity=0; t=0; dt=0.001; for b=0:100 dogx=250; dogy=0; rabbitx=0; rabbity=0; t=0; c=b; a=8; while(sqrt(dogx-rabbitx)2+(dogy-rabbity)2)d if(sqrt(dogx-rabbitx)2+(dogy-rabbity)2)d dx=dx-v*dt*dx/sqrt(dx2+(a*t-dy)2); dy=dy+v*dt*(a*t-dy)/sqrt(dx2+(a*t-dy)2); ry=a*t; plot(dx,dy,rx,ry,y*) end 五、模型的评价 5.1 模型的优缺点 模型的优点。 （1)模型的使用范围比较广泛，可以类推到其他许多模型中。 （2）模型具有很高的使用价值。 （3）模型对题目中的问题解决合适，模型使用得当。 这里写模型的缺点。 （4）题目中增加了一些理想化的假设，致使模型的波动比较大。 （5）不同兔子和猎狗的情况会有差异。 5.2 模型的改进 可使用仿生学原理，建立我们更加准确的模型。 六、参考文献 1 赵书来，MATLAB 编程与最优化问题，北京：电子工业出版社，2013。 2 邬学军，周凯，宋军全，数学建模竞赛辅导教程，杭州，浙江大学出版社，2009。 3 李志林，欧宜贵，数学建模及其典型案例分析，北京，化学工业出版社，200