数学运算解题关键——隐藏条件

公考数学运算-行程问题（二） 4行程问题的相关例题 例1 商场的自动扶梯以匀速由下往上行驶，两个孩子嫌扶梯走得太慢，于是在行驶的 扶梯上，男孩每秒钟向上走2个梯级，女孩每2秒向上走3个梯级。结果男孩用40秒钟到达， 女孩用50秒钟到达。则当该扶梯静止时，可看到的扶梯级有： A80级 B100级 C120级 D140级 （2005年中央真题） 解析；这是一个典型的行程问题的变型，总路程为“扶梯静止时可看到的扶梯级” ，速 度为“男孩或女孩每个单位向上运动的级数” ，如果设电梯匀速时的速度为 X，则可列方程 如下， （X+2）40=（X+3/2）50 解得 X=0.5 也即扶梯静止时可看到的扶梯级数=（2+0.5）40=100 所以，答案为 B。 例2 甲、乙、丙三人沿着400米环形跑道进行800米跑比赛，当甲跑1圈时，乙比甲多 跑 圈。丙比甲少跑 圈。如果他们各自跑步的速度始终不变，那么，当乙到达终点时，甲 在丙前面： A85米 B90米 C100米 D105米 （2005年中央真题） 解析：此题的解题关键是要跳出微观，在宏观上进行解题。依据行程问题的公式，在 时间相同的情况下，路程比等速度比，所以可知乙、甲、丙的速度比为8/7圈：1圈：6/7圈 =8：7：6，所以当乙跑了2圈（800米）时，甲跑了700米，丙跑了600米。 所以，正确答案为 C。 例3 某船第一次顺流航行21千米又逆流航行4千米，第二天在同一河道中顺流航行12 千米，逆流航行7千米，结果两次所用的时间相等，假设船本身速度及水流速度保持不变， 则顺水船速与逆水船速之比是： A2.5：1 B3：1 C3.5：1 D4：1 （2005年中央真题） 解析：典型流水问题。如果设逆水速度为 V，设顺水速度是逆水速度的 K 倍，则可列 如下方程： 21/KV+4/V=12/KV+7/V 将 V 约掉，解得 K=3 所以，正确答案为 B。 例4 姐弟俩出游，弟弟先走一步，每分钟走40米，走了80米后姐姐去追他。姐姐每分 钟走60米，姐姐带的小狗每分钟跑150米。小狗追上了弟弟又转去找姐姐，碰上了姐姐又转 去追弟弟，这样跑来跑去，直到姐弟相遇小狗才停下来。问小狗共跑了多少米? A600米 B800米 C1200米 D1600米 （2003年中央 A 类） 解析：此题将追及问题和一般路程问题结合起来，是一道经典习题。 首先求姐姐多少时间可以追上弟弟，速度差=60米/分-40米/=20米/分，追击距离=80米，所 以，姐姐只要80米20米/分=4分种即可追上弟弟，在这4种内，小狗一直处于运动状态， 所以小狗跑的路程=150米/分4分=600米。 所以，正确答案为 A。 例5 某校下午2点整派车去某厂接劳模作报告，往返需1小时。该劳模在下午1点整就 离厂步行向学校走来，途中遇到接他的车，便坐上车去学校，于下午2点30分到达。问汽车 的速度是劳模的步行速度的几倍? A5倍 B6倍 C7倍 D8倍 （2003年中央 B 类） 解析， 如果接劳模往返需1小时，而实际上汽车2点出发，30分钟便回来，这说明遇到 劳模的地点在中点，也即劳模以步行速度（时间从1点到2点15分）走的距离和汽车所行的 距离（2点到2点15分）相等。设劳模的步行速度为 A/小时，汽车的速度是劳模的步行速度 的 X 倍，则可列方程 5/4A=1/4AX 解得 X=5 所以，正确答案为 A。 例6 一辆汽车油箱中的汽油可供它在高速公路上行驶462公里或者在城市道路上行驶 336公里，每公升汽油在城市道路上比在高速公路上少行驶6公里，问每公升汽油可供该汽 车在城市道路上行驶多少公里? A16 B21 C22 D27 （2003年中央 B 类） 解析：基本路程问题，采用方程法，设每公升汽油可供该汽车在城市道路上行驶 X 公 里，则可列如下方程 462X=336（X-6） 解得 X=22 所以，正确答案为 C。 注：此题亦可用速度差和路程差的关系来求解，速度将更快，详解过程本书略。 例7 甲、乙两人从400米的环形跑道的一点 A 背向同时出发，8分钟后两人第三次相遇。 已知甲每秒钟比乙每秒钟多行01米，那么，两人第三次相遇的地点与 A 点沿跑道上的最 短距离是 A166米 B176米 C224米 D234米 （2000年中央真题） 解析，此题为典型的速度和问题，为方便理解可设甲的速度为 X 米/分，乙的速度为 Y 河北站：/ 承德站： / 石家庄：/ 邯郸站： / 保定站：/ 沧州站： / 唐山站：/ 秦皇岛： / 河北政法干警考试网：/ 保定政法干警考试网：/ 米/分，则依题意可列方程 8X+8Y=4003 X-Y=6 （速度差0.1米/秒=6米/分） 从而解得 X=78 Y=72 由 Y=72，可知，8分钟乙跑了576米，显然此题距起点的最短距离为176米。 例8 列火车相向而行，甲车每小时行36千米，乙车每小时行54千米。两车错车时，甲 车上一乘客发现：从乙车车头经过他的车窗时开始到乙车车尾经过他的车窗共用了14秒， 求乙车的车长。 解析：首先应统一单位：甲车的速度是每秒钟36000360010（米） ，乙车的速度是 每秒钟54000360015（米） 。本题中，甲车的运动实际上可以看作是甲车乘客以每秒钟 10米的速度在运动，乙车的运动则可以看作是乙车车头的运动，因此，我们只需研究下面 这样一个运动过程即可：从乙车车头经过甲车乘客的车窗这一时刻起，乙车车头和甲车乘 客开始作反向运动14秒，每一秒钟，乙车车头与甲车乘客之间的距离都增大（10+15）米， 因此，14秒结束时，车头与乘客之间的距离为（10+15）14350（米） 。又因为甲车乘客 最后看到的是乙车车尾，所以，乙车车头与甲车乘客在这段时间内所走的路程之和应恰等 于乙车车身的长度，即：乙车车长就等于甲、乙两车在14秒内所走的路程之和。 解：（10+15）14 350（米） 最后得，乙车的车长为350米。 例9 甲、乙二人从相距100千米的 A、B 两地同时出发相向而行，甲骑车，乙步行，在 行走过程中，甲的车发生故障，修车用了1小时。在出发4小时后，甲、乙二人相遇，又已 知甲的速度为乙的2倍，且相遇时甲的车已修好，那么，甲、乙二人的速度各是多少? 解析：设乙的速度为 X，则甲的速度为2X，并可列如下方程 32X+4X=100 解得 X=10 所以，甲的速度为20千米/小时，乙的速度为10千米/小时。 例10 某列车通过250米长的隧道用25秒，通过210米长的隧道用23秒，若该列车比另一 列长150米。时速为72千米的列车相遇，错车而过需要几秒钟? 解析：首先应明确几个概念：列车通过隧道指的是从车头进入隧道算起到车尾离开隧 道为止。因此，这个过程中列车所走的路程等于车长加隧道长；两车相遇，错车而过指的 是从两个列车的车头相遇算起到他们的车尾分开为止，这个过程实际上是一个以车头的相 遇点为起点的相背运动问题，这两个列车在