2019年高考仿真模拟理科数学试题及答案

理科数学试题 第 1 页（共 8 页） 2019 年高考仿真模拟试题 新课标 卷 理科数学 试题( 一) 注意 事项 ： 1 本 试卷适用于使用全国卷一、卷 二及卷 三的考 生。 2 本 试卷共8 页，考试时间 120 分钟，满分150 分。 一、 选 择题 ： 本大 题 共 12 小题 ， 每小 题 5 分， 共 60 分 。 在每 小 题给 出 的四 个 选项 中 ， 只 有一 项 是 符合 题 目要 求 的 。 1. 设复数 1 2 1 i zi i ，则 z _ A 0 B 1 C 2 D 3 2. 已知集合 2 | 4 0 A x x x ， 1 | 3 27 81 x Bx ， | 2 , C x x n n N ，则() A B C _ A 2, 4 B 2, 0 C 0 2, 4 ， D | 2 , x x n n N 3. 若定义在 R 上的偶函数 () fx满足 ( 2) ( ) f x f x 且 1 0 x ， 时 ， () f x x ， 则方程 3 ( ) log | | f x x 的零点个数是_ A 2 个 B 3 个 C 4 个 D 6 个 4. 计算 sin133 cos197 cos 47 cos73 的结果为_ A 1 2 B 1 2 C 2 2 D 3 2 5. 已知 A 、 B 、 P 是双曲线 22 22 1 xy ab 上不 同的 三点 ， 且 A 、 B 连线 经过 坐标 原 点， 若 直线 PA 、 PB 的斜率乘积 为 3 ，则 该双 曲 线的 离 心率 为_ A 2 B 3 C 2 D 3 6. 某单位为了落实 “ 绿水 青山 就 是金 山 银山 ” 理念 ，制 定节 能减 排 的目 标 ，先 调查 了 用 电 量 y （单位 ： 千瓦 时 ） 与气 温 x （单位 ： ） 之间 的 关系 ， 随机 选取 了 4 天的 用电 量 与 当 天 气 温 ， 并制作了以下对照表 ： x （ 单位 ： ） 17 14 10 1 y （单位 ： 千瓦 时 ） 24 34 38 64 理科数学试题 第 2 页（共 8 页） 由表中数据得线性回归方 程 ： 2 y x a ， 则由 此 估计 当 某天 气 温为 2 时， 当天 用 电 量 约 为 ：_ A 56 千瓦 时 B 62 千瓦 时 C 64 千瓦 时 D 68 千瓦 时 7. 某空间儿何体的三视图如 图所示 ，则该 几 何体 的外 接 球的 体 积为_ A 500 3 B 1000 2 3 C 125 3 D 125 2 3 8. 已知平面向 量a ， b 满足 ( ) 3 a a b ，且 2 a ， 1 b ，则 向 量a 与b 夹角 的 正弦 值 为_ A 1 2 B 3 2 C 1 2 D 3 2 9. 设 , a b R ，则 “ 2 ( ) 0 a b a ” 是“ab ” 的 ：_ A 充分而必要条件 B 必要酣不充分条件 C 充要条件 D 既不充分也不必要条件 10. 我国数学家 陈景润在 哥 德巴赫 猜 想的 研究 中 取得 了世 界领 先 的成 果 德巴赫 猜 想是 “ 每个 大于 2 的偶数可以表示为 两个秦 数的和 ” ，如 30 = 7 + 23 在不超过 30 的 素数 屮 ， 随机选 取两个不同的数其和等于 30 的概率是_ A 1 12 B 1 14 C 1 15 D 1 18 11. 过抛物线 4 yx 焦点的直线l 与抛 物线 交 于 A 、 B 两 点， 与 圆 2 2 2 1) (x y r 交于 C 、 D 两 点，若有三条直线满足 AC BD ，则 r 的 取值 范 围为_ A 3 () 2 ， B (2 ) ， C 3 (1 ) 2 ， D 3 ( 2) 2 ， 12. 设函数 ( ) ( 1) x f x e x ，函数 ( ) ( 1) g x m x ， （ 0 m ） ， 若 对任 意的 1 2 2 x ， ，总存在 4 3 5 正视图 侧视图 俯视图 理科数学试题 第 3 页（共 8 页） 2 2 2 x ， ，使得 12 ( ) ( ) f x g x ，则实数 m 的取 值范 围 是_ A 2 1 3, 3 e B 2 1 , 3 e C 1 + 3 ， D 2 e ， 二、 填空题 ：本 题共 4 小题 ， 每小题 5 分， 共 20 分 。 13. 设 x ， y 满足约束条件 33 1 0 xy xy y ，则 y z x 的 最大 值 为_ 14. 聊 斋志 异 中有 这样 一首 诗 ： “ 挑水 砍柴 不 堪苦 ， 请归 但求 穿 墙术 。 得诀 自诩 无 所 阻 ， 额 上坟起终不悟。” 在这 里， 我们 称形 如 以下 形式 的等 式具 有 “ 穿墙 术 ” ： 22 22 33 ， 33 33 88 ， 44 44 15 15 ， 55 55 24 24 ， 则按照以上规律， 若 88 88 nn 具有 “ 穿墙 术” ，则n _ 15. 已知 n S 是等比数列 n a 的前n 项和 ，若 存 在 * mN ，满足 2 9 m m S S ， 2 51 1 m m a m am ，则数列 n a 的公比为_ 16. 如图，在边长为 e （ e 为自 然对 数 的底 数 ）的 正 方形 中 ，阴 影 部分 的 面积 为_ 三、 解 答题 ：共 70 分 。 解答 应 写出 文 字说 明 、 证明 过程 或 演算 步 骤 。 第 1721 题 为必 考 题 ， 每 个 试题 考 生都 必 需作 答 ， 第 22 、23 题为 选考 题 ，考 生 根据 要 求作 答 。 （一） 必 考 题： 共 60 分 。 17 （本 小题 满 分 12 分 ） 在 ABC 中，角 A 、 B 、 C 的对边分别是 a 、 b 、 c ，且 3 cos (2 3 )cos a C b c A （1 ）求角 A 的大小； （2 ） 若 a = 2 ，求 ABC 面积的最大值 x y O 1 1 e e 理科数学试题 第 4 页（共 8 页） 18 （本 小题 满 分 12 分） 如 图 ， 在四 棱锥 P A B C D 中， PA 底面 A B C D ， AD AB ， AB / DC ， 2 AD DC AP ， AB = 1 ，点 E 为棱 PC 的中点 （1 ）证明 BE P D ； （2 ） 若 F 为棱 PC 上一点，满足 BF AC ，求 二 面角 F AB D 的余 弦 值 A B C D E P 理科数学试题 第 5 页（共 8 页） 19 （本 小题 满 分 12 分） 某家电公司销售部门共有 200 名销 售 员 ， 每年 部门 对每 名 销 售员 都有 1400 万元 的 年 度 销售任务 已知这 200 名销 售员 去 年完 成 的销 售 额 都 在 区间2 ，22 （ 单位 ：百 万元 ） 内 ， 现 将其 分成 5 组 ， 第 1 组、第 2 组、第 3 组、第 4 组 、第 5 组 对应 的 区间分 别为2 6) ， ，6 10) ， ，10 14) ， ，14 18) ， ，18 22) ， ， 并绘制 出如下的频率分布直方图 （1 ） 求 a 的值 ，并 计 算完 成 年度 任 务的 人 数 ； （2 ） 用分 层抽 样的 方 法从 这 200 名 销售 员 中抽 取 容 量 为 25 的样本 ， 求这 5 组分 别 应抽 取 的人 数 ； （3 ） 现从 （2 ） 中完 成 年度 任 务的 销 售员 中 随机 选 取 2 名 奖励海南三亚 三日 游 ，求 获得 此 奖励 的 2 名 销 售 员 在 同一 组 的概 率 0.02 0.08 0.09 a 2 6 10 14 18 22 频 率 组 距 销售额/ 百万元 理科数学试题 第 6 页（共 8 页） 20 （本 小题 满 分 12 分） 已知椭圆 22 1 22 : 1( 0) xy C a b ab 的左 右顶 点是 双 曲线 2 2 2 :1 3 x Cy 的 顶点 ， 且 椭 圆 1 C 的 上 顶 点到双曲线 2 C 的渐 近线 的距 离 为 3 2 （1 ）求椭圆 1 C 的方程； （2 ） 若直线l 与 1 C 相交于 1 M ， 2 M 两点 ， 与 2 C 相 交于 1 Q ， 2 Q 两点 ， 且 12 5 OQ OQ ， 求 12 MM 的取值范围 理科数学试题 第 7 页（共 8 页） 21 （本小 题满分 12 分） 已知函数 ln ( ) 1 mx f x m R x x ， ， （1 ）讨论 () fx 的单 调区 间 ； （2 ）若 () f x mx 恒成立，求 m 的取 值范 围 理科数学试题 第 8 页（共 8 页） （二） 选 考题 ： 共 10 分 。 请考 生 在 22、23 题中 任选 一 题作 答 。 如 果多 做 ， 则 按所 做 的第 一 题 计分 。 22 选修 4 4 ：坐 标系 与 参数 方 程 （本小 题 满分 10 分 ） 在平面直角坐标系 x Oy 中 ，直 线l 的参 数 方程 为 1 2 xt y a t （其中 t 为参 数 ） 在以 坐 标 原 点为极点， x 轴的 正半 轴 为极 轴 的极 坐 标系 中 ，圆 C 的极 坐标 方 程为 4cos （1 ）分别写出直线l 的 普通 方 程和 圆 C 的直 角坐 标方 程 ； （2 ）若直线l 与圆 C 相 切， 求实 数 a 的值 23 选修 4 5 ：不 等式 选 讲 （本 小题 满分 10 分） 设函数 () f x x a x a （1 ） 当 1 a 时，解不等式 ( ) 4 fx ； （2 ） 若 ( ) 6 fx 在xR 上恒 成立 ， 求 a 的 取值 范 围 理科数学 参考答 案 第 1 页（共 4 页） 2019 年高考仿真模拟试题新课标卷 理科 数 学试题 （一） 参考答案 一 、 选择 题 1 5 D C C B C 6 10A D D A C 11 12 B D 二 、 填空 题 13 1 3 14 63 15 2 16 2 2 e 三 、 解答 题 17 解： （1 ）由正弦定理可得 ： 3 sin cos 2sin cos 3 sin cos A C B A C A 从而可得 3 sin( + ) 2sin cos A C B A ， 即 3 sin 2sin cos B B A （4 分 ） B 为三角形内角 ，所以 sin 0 B ，于是 3 cos 2 A ， 又 A 为三 角形 内角 ， 所以 6 A （6 分 ） （2 ） 由余弦定理 ： 2 2 2 2 cos a c b bc A 得 ： 22 3 4 2 2 3 2 c b bc bc bc ， 所以 4(2+ 3) bc 所以 1 sin 2 3 2 ABC S bc A ， ABC 面积 的最 大值 为23 （12 分 ） 18 解： 依题意 ， 以点 A 为原点 ， 以 A B 、 AD 、 AP 为轴 建 立 空 间 直 角坐 标系 如 图 ，可得 (1,0,0) B ， (2,2,0) C ， (0,2,0) D ， (0,0,2) P ， 由 E 为棱 PC 的中点 ， 得 (1,1,1) E （1 ） 向 量 (0,1,1) BE ， (0,2, 2) PD ， 故 0 BE PD ， BE PD （4 分） （2 ） (1,2,0) BC ， ( 2, 2,2) CP ， (2,2,0) AC ， (1,1,0) AB ，由 点 F 在棱 PC 上 ， 设CF CP ，01 ， 故 (1 2 ,2 2 ,2 ) BF BC CF BC CP A B C D E P x y z 理科数学 参考答 案 第 2 页（共 4 页） 由BF AC ， 0 BF AC 因此， 3 2(1 2 ) 2(2 2 ) 0 4 ， ，即 1 1 3 ( , , ) 222 BF ， 设 1 ( , , ) n x y z 为 平面 F A B 的法向量，则 1 1 0 0 n AB n BF ，即 0 1 1 3 0 2 2 2 x x y z ， 不妨令 1 z ， 可得 1 (0,3, 1) n 为平面 F A B 的 一 个 法 向量 ， 取 平面 A B D 的 法向 量 2 (0,0, 1) n ，则 12 12 12 1 10 cos , 10 10 nn nn nn ， 所以 二 面角 F AB D 的余弦值 为 10 10 . （12 分 ） 19 解： （1 ） 因为(0.02 + 0.08 + 0.09 + 2 a) 4 =1 ， a = 0.03 ， （2 分 ） 完成 年度 任务 的 人 数 为 2 a 4 200 = 480 （4 分 ） （2 ）第 1 组应 抽取 的 人数 为 0.02 4 25 = 2 第 2 组应抽取的人 数 为 0.08 4 25 = 8 ， 第 3 组应抽取的人 数 为 0.09 4 25 = 9 ， 第 4 组应抽取的人 数 为 0.03 4 25 = 3 ， 第 5 组应 抽取 的 人数 为 0.03 4 25 = 3 （8 分 ） （3 ） 在（2 ） 中如 需 word 原版 及选 择 填空 详 细答 案 请咨 询 维新 renzheng0117 完成年度 任务的 销售员中 第 4 组有 3 人， 记这 3 人分 别 为 1 A ， 2 A ， 3 A ； 第 3 组有 3 人记这 3 人分 别 为 1 B ， 2 B ， 3 B ；从这 6 人中 随 机选 取 2 名 ， 所有 的 基 本 事 件 共有 2 1 1 3 3 3 2 15 C C C 个基本事件 ， 获得 此奖 励 的 2 名 销售 员 在同 一组 的 基本 事 件 有 2 3 26 C 个 ， 故所 求概 率 为 62 = 15 3 （12 分 ） 20 解： （1 ）由 题意可知 ： 2 3 a , 又 椭圆 1 C 的上 顶点为 (0, ) b ， 双曲 线 2 C 的渐 近线 为 ： 3 3 3 y x x y ， 由点到直线的距离公式有 3 3 =1 22 b b ， 所以 椭圆 1 C 的方程 为 2 2 1 3 x y （3 分 ） 理科数学 参考答 案 第 3 页（共 4 页） （2 ） 易知直线l 的斜 率存 在 ， 设直线l 的方 程 为 ：y kx m ， 代入 2 2 1 3 x y 消去 y 并整 理 得 ： 2 2 2 (1 3 ) 6 3 3 0 k x kmx m ， 要与 2 C 相交于两点 ，则 应 有： 2 2 2 2 2 (1 3 ) 0 36 4(1 3 )( 3 3) 0 k k m k m ， 即 ： 2 22 1 3 0 +1 3 k mk 设 1 1 1 ( , ) Q x y ， 2 2 2 ( , ) Q x y 则有 12 2 6 13 km xx k ， 2 12 2 33 13 m xx k 22 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 ( )( ) (1 ) ( ) 5 OQ OQ xx kx m kx m k xx km x x m 即 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 (1 )( 3 3) 6 (1 3 ) 5 1 9 13 k m k m m k m k k 将y kx m 代入 2 2 1 3 x y ， 消去 y 并整 理 得 ： 2 2 2 (1 3 ) 6 3 3 0 k x kmx m ， 要有两交 点， 则 2 2 2 2 2 2 36 4(1 3 )(3 3) 0 1 3 k m k m k m ， 由 有 2 1 0 9 k （6 分） 设 1 3 3 ( , ) M x y ， 2 4 4 ( , ) M x y ， 则有 34 2 6 1+3 km xx k ， 2 34 2 33 1+3 m xx k 2 2 2 2 2 2 22 12 2 2 2 2 36 4(3 3)(1+3 ) 4(3 3 9 ) 11 (1+3 ) (1+3 ) k m m k m k M M k k kk （8 分 ） 将 22 19 mk 代入有 ： 2 2 2 22 12 2 2 2 2 2 12 144 (1 ) 1 1 12 (1 3 ) 1 3 (1 3 ) k k k k M M k k k k k ， （10 分 ） 令 2 tk ，则 1 0 9 t ； 令 2 (1 ) () (1 3 ) tt ft t ， 2 1 ( ) 0 (1 3 ) t ft t ，故函 数 () ft 在 1 (0, 9 内单 调 递增 ；所以 12 5 ( ) 0, (0, 10) 72 f t M M （12 分 ） 21 解： （1 ） 2 1 ln ( ) , 1, mx f x x x 当10 m 时， 即 1 m 时， 2 1 ln ( ) 0 mx fx x 在1, ) 上恒 成立 ， 所以 () fx 的单 调 减 区间是1, ) ， 无单 调 增区 间 ； （3 分） 理科数学 参考答 案 第 4 页（共 4 页） 当10 m 时，即 1 m 时，由 ( ) 0 fx 得 1 (1, ) m xe ， 由 ( ) 0 fx 得 1 ( , ) m xe ， 所以 () fx 的单 调减 区 间是 1 ( , ) m e ，单 调增 区间 是 1 (1, ) m e （6 分 ） （2 ）由题意， 2 ln ( 1), 1 x m x x 恒 成立 ，