《随机信号分析》赵淑清郑薇哈尔滨工业大学出版社课后答案

第一次作业：练习一之1、2、3题 1.1 离散随机变量 X 由 0，1，2 ，3 四个样本组成， 相当于四元通信中的四个电平， 四 个样本的取值概率顺序为 1/2 ，1/4 ，1/8 ，和 1/8 。求随机变量的数学期望和方差。 解： 875 . 0 8 7 8 1 3 8 1 2 4 1 1 2 1 0 ) ( 4 1 = = + + + = = = = i i i x X P x X E 8 1 ) 8 7 3 ( 8 1 ) 8 7 2 ( 4 1 ) 8 7 1 ( 2 1 ) 8 7 0 ( ) ( 2 2 2 4 1 2 2 + + + = = = i i i P X E x X D 109 . 1 64 71 = = 1.2 设连续随机变量 X 的概率分布函数为 = a a x u x u a x x F （4 ） 0 ) ( ) ( ) ( = a a x u a x a x u a x x F 课后答案网 解： （1 ） 0 时，对于 ，有 ， 是单调非减函数； 1 2 x x ) ( ) ( 1 2 x F x F ) (x F 欲使 1 ) ( 0 x F 和 成立，必须使 A=1 。 ) ( ) ( x F x F = + 所以，在 A=1 时， 是连续随机变量的概率分布函数。 ) (x F 同理， = = 0 0 0 1 2 ) ( ) ( x x Ax dx x dF x f 欲满足 ，也必须使 A=1 。 1 ) ( = dx x f 所以， = 0 0 0 1 2 ) ( x x x x f （3 ） 0 ) ( ) ( ) ( = a a x u x u a x x F 上式可改写为 0 0 0 ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( 1 2 x F x F 所以， 不是连续随机变量的概率分布函数。 ) (x F （4 ） 0 ) ( ) ( ) ( = a a x u a x a x u a x x F 0 ) ( ) ( ) ( + = a a x u a x u x u a x 0 1 2 0 1 0 0 = a x a x a a x x a x 当 x a 时，不满足 1 ) ( 0 x F ，所以 不是连续随机变量的概率分布函数。 ) (x F 课后答案网 第二次作业：练习一之4、5、6、7题 1.4 随机变量 X在 ， 上均匀分布，求它的数学期望和方差。 解：因 X在 ，上均匀分布 = 其他 下 0 1 ) (x f + = = = 2 d d ) ( E - x x x x xf X ) 2 ( 3 1 d d ) ( E 2 2 2 - 2 2 + + = = = x x x x f x X 2 2 2 - 2 ) ( 12 1 ) X E ( X E d ) ( ) X E ( D = = = x x f x X 1.5 设随机变量 X 的概率密度为 ，求 Y=5X+1 的概率密度函 数。 = 其他 0 1 0 1 ) ( x x f X 解：反函数 X = h(y) = (Y-1)/5 h(y) = 1/5 1 y 6 f Y (y) = f X (h(y)h (y)= 1 1/5 = 1/5 于是有 = 其他 0 6 1 5 / 1 ) ( y y f Y 1.6 设随机变量 上均匀分布，且互相独立。若 ,求 b , a , , , 2 1 在 n X X X = = n 1 i i X Y （1）n=2时，随机变量 Y的概率密度。 （2）n=3时，随机变量 Y的概率密度。 解： n i b x a a b x f i i , , 2 , 1 0 1 ) ( = = 其它 n=2时， ) ( ) ( ) ( 2 1 y f y f y f X X Y = 1 1 1 ) ( ) ( ) ( 2 1 dx x y f x f y f X X Y = = b a dx a b a b 1 1 1 a b = 1 课后答案网 同理，n=3时， ) (y f Y a b = 1 1.7 设随机变量 X的数学期望和方差分别为 m和 ， 求随机变量 的数学期 望、方差及 X和 Y 的相关矩。 2 3 = X Y 解：数学期望： 2 3 = m Y E 方差： = = 9 0 ) 3 ( 2 Y D 2 3 ) 2 3 ( 2 X X E X X E XY E R XY = = = 2 2 2 ) ( m X E X D X E + = + = 相关矩： m m R XY 2 3 3 2 = 课后答案网 第三次作业：练习一之9、10、11题 1.9 随机变量 X 和 Y 分别在0,a 和0, 2 上均匀分布，且互相独立。对于 ，证明： a b a b Y b x P 2 ) cos ( = 证：rv. X 和 Y 分别在0,a 和0, 2 上均匀分布 有 = 其它 0 0 1 ) ( a x a X f 和 = 其它 0 2 0 2 ) ( y Y f 2 0 cos 0 cos cos y y b x a b y b Y b x Y b x cos ) 2 0 , cos 0 ( ) cos ( = y y b x p y b x p = 2 / 0 cos 0 ) , ( y b dxdy y x f dy = 2 / 0 cos 0 ) ( ) ( y b dxdy y f x f dy 因为 rv. X 和 Y 相互独立 = 2 / 0 cos 0 2 1 y b dxdy a dy = 2 / 0 cos 2 ydy a b a b 2 = 命题得证 1.10 已知二维随机变量 （ ） 的联合概率密度为 ， 随机变量 （ ） 与随机变量（ ）的关系由下式唯一确定 2 1 , X X ) , ( 2 1 2 1 x x f X X 2 1 , X X 2 1 ,Y Y + = + = 2 1 1 1 2 2 1 1 1 1 Y d Y c X Y b Y a X + = + = 2 1 2 2 1 1 dX cX Y bX aX Y 证明： （ ）的联合概率密度为 2 1 ,Y Y ) , ( 1 ) , ( 2 1 1 1 2 1 1 1 2 1 2 1 2 1 y d y c y b y a f bc ad y y f X X Y Y + + = 课后答案网 证：做由 到 的二维变换 ) , ( 2 1 2 1 y y f Y Y ) , ( 2 1 2 1 x x f X X ) , ( 2 1 2 1 x x f X X = J ) , ( 2 1 2 1 y y f Y Y ) , ( 2 1 2 1 y y f Y Y = J 1 ) , ( 2 1 2 1 x x f X X bc ad d c b a x y x y x y x y J = = = 2 2 1 2 2 1 1 1 ) , ( 1 ) , ( 2 1 1 1 2 1 1 1 2 1 2 1 2 1 y d y c y b y a f bc ad y y f X X Y Y + + = 1.11 随机变量 X,Y 的联合概率密度为 2 , 0 ) sin( ) , ( + = y x y x A y x f XY 求： （1 ）系数 A ； （2 ）X,Y 的数学期望； （3 ）X,Y 的方差； （4 ）X,Y 的相关矩及相关 系数。 解： （1 ） + = + = 2 0 2 0 2 0 2 0 2 0 2 0 sin cos cos sin ) sin( ) , ( ydy xdx A ydy xdx A dxdy y x A dxdy y x f XY 1 2 = = A 2 1 = A （2 ） ydy x ydy x dy y x dy y x f x f XY X sin cos 2 1 cos sin 2 1 ) sin( 2 1 ) , ( ) ( 2 0 2 0 2 0 + = + = = ) cos (sin 2 1 x x + = 同理 ) cos (sin 2 1 ) ( y y x f Y + = + = + = + = = 2 0 2 0 2 0 2 0 2 0 sin 2 1 cos 2 1 cos 2 1 sin 2 1 ) cos (sin 2 1 y yd y yd ydy y ydy y dy y y y m m Y X + + = 2 0 2 0 sin 2 1 0 2 sin 2 1 cos 2 1 0 2 cos 2 1 ydy y y ydy y y 4 = （3 ） + = + = = 2 0 2 0 2 2 ) 4 cos( ) 4 ( 2 2 ) cos (sin 2 1 ) 4 ( y d y dy y y y Y D X D 课后答案网 dy y y y y + + + = 2 0 2 ) 4 cos( ) 4 ( 2 2 2 0 2 ) 4 cos( ) 4 ( 2 2 + + = 2 0 2 ) 4 sin( ) 4 ( 2 16 y d y y d y y y + + + = 2 0 2 ) 4 sin( 2 0 2 ) 4 sin( ) 4 ( 2 16 2 2 16 2 + = （4 ）相关矩 = + = = = 2 0 2 0 2 0 2 0 1 2 ) sin( 2 1 ) , ( dxdy y x xy dxdy y x xyf XY E R XY XY 协方差 1 16 2 2 = = Y E X E R C XY XY 相关系数 32 8 16 8 2 2 + + = = Y X XY XY C r 课后答案网 第四次作业：练习一之12、13、14、15题 1.12 求随机变量 X的特征函数，已知随机变量 X的概率密度 0 2 ) ( = x e x f x X 解： = dx e x f x j X X ) ( ) ( = dx e e t u x j x ) ( 2 利用傅氏变换： j e t u t + 1 ) ( j X = 2 )( 1.13 已知随机变量 X服从柯西分布 2 2 1 ) ( x x f X + = ，求他的特征函数。 解： = dx e x f x j X X ) ( ) ( + = dx e x x j 2 2 2 2 1 利用傅氏变换： + e x 2 2 2 = e X ) ( 1.14 求概率密度为 x X e x f = 2 1 ) ( 的随机变量 X的特征函数。 解： = dx e x f x j X X ) ( ) ( = dx e e x j x 2 1 利用傅氏变换： x e + 2 2 2 2 1 1 ) ( + = X 1.15 已知相互独立的随机变量X 1 ，X 2 ，X 3 ，X n 的特征函数，求X 1 ，X 2 ，X 3 ， X n 线性组合 的特征函数。a = + = n i i i c X a Y 1 i 和c是常数。 解：互相独立随机变量之和的特征函数等于各随机变量特征函数之积。 ) ( exp ) ( 1 1 = = = + = n i X a j c j n i i i Y i i e E e c X a j E 课后答案网 第五次作业：练习二之1、2、3、4、5题 2.1 随机过程 t B t A t X sin cos ) ( + = ，其中 为常数，A、B 是两个相互独立的高斯变量，并且 ， 。求X(t)的数学期望和自相关函数。 0 = = B E A E 2 2 2 = = B E A E 解： sin cos sin cos ) ( t B E t A E t B t A E t X E + = + = t B E t A E sin cos + = 0 = （ 0 = = B E A E ） ) sin cos )( sin cos ( ) ( ) ( ) , ( 2 2 1 1 2 1 2 1 t B t A t B t A E t X t X E t t R X + + = = sin sin cos sin sin cos cos cos 2 1 2 2 1 2 1 2 1 2 t t B t t AB t t AB t t A E + + + = 2 1 2 2 1 2 1 2 1 2 sin sin cos sin sin cos cos cos t t B E t t B E A E t t B E A E t t A E + + + = 2 1 2 2 1 2 sin sin cos cos t t B E t t A E + = （ ） 2 2 ) ( X E X D X E + = ) ( cos 1 2 2 t t = ) ( cos 2 = （ 1 2 t t = ） 2.2 若随机过程X(t)在均方意义下连续，证明它的数学期望也必然连续。 证： 由均方连续的定义 0 ) ( ) ( lim 2 0 = + t X t t X E t ， 展开左式为： ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( lim 2 2 0 t X t X t t X t X t t X t t X E t + + + + = 0 ) ( ) ( )( ( ) ( ) ( )( ( lim 0 = + + + t X t t X t X E t X t t X t t X E t 固有 ，证得数学期望连续。 0 ) ( ) ( lim 0 = + t X E t t X E t 2.3 证明随机过程存在均方导数的充分条件是：自相关函数在他的自变量相等时存在二阶偏导数 2 1 2 1 2 1 2 ) , ( t t t t t t R = 。 证： 1 2 1 2 1 1 0 1 2 1 2 1 1 0 1 2 1 ) ( ) ( ) ( ) ( lim ) , ( ) , ( lim ) , ( 1 1 t t X t X E t X t t X E t t t R t t t R t t t R t X t + = + = 1 1 1 1 2 0 1 2 1 2 1 1 0 ) ( ) ( ) ( lim ) ( ) ( ) ( ) ( lim 1 1 t t X t t X t X E t t X t X t X t t X E t t + = + = 2 1 1 1 1 2 1 1 1 2 2 0 , 0 2 1 2 1 2 ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( lim ) , ( 2 1 t t t X t t X t X E t X t t X t t X E t t t t R t t + + + = ) ( ) ( ) ( ) ( lim 2 1 1 1 1 2 2 2 0 , 0 2 1 t t t X t t X t X t t X E t t + + = 在 2 1 t t = 时存在， 也就是 ) ( ) ( lim 2 0 t t X t t X E t + 存在。 2.4 判断随机过程 ) cos( ) ( t A t X + = 是否平稳？其中 为常数，A、 分别为均匀分布和瑞利分 布的随机变量，且相互独立。 2 0 2 1 ) ( = a e a a f a A 课后答案网 解： 0 2 1 ) cos( ) cos( 2 0 = + = + d t t E 0 ) cos( ) cos( ) ( = + = + = t E A E t A E t X E cos ) 2 2 cos( 2 1 ) ( cos ) cos( ) , ( 2 2 + + + = + + + = + t E A E t t A E t t R X cos 2 1 2 A E = 与时间的起点无关，且 ) ( 2 t X E 因此，是广义平稳的随机过程。 2.5 证明由不相关的两个任意分布的随机变量A、B构成的随机过程 t B t A t X 0 0 sin cos ) ( + = 是宽平稳而不一定是严平稳的。其中 t 0 为常数，A、B的数学期望为零，方差 相同。 2 证： 0 sin cos ) ( 0 0 = + = t B E t A E t X E ) ( sin ) ( cos )( sin cos ( ) , ( 0 0 0 0 + + + + = + t B t A t B t A E t t R X ) ( sin sin ) ( cos sin ) ( sin cos ) ( cos cos 0 0 2 0 0 0 0 0 0 2 + + + + + + + = t t B t t AB t t AB t t A E 2 0 0 2 0 0 0 0 0 0 2 ) ( sin sin ) ( cos sin ) ( sin cos ) ( cos cos + + + + + + + = t t B E t t B E A E t t B E A E t t A E ) ( sin sin ) ( cos cos 0 0 2 0 0 2 + + + = t t B E t t A E （ ） 2 2 ) ( X E X D X E + = 0 2 cos = ) ( 2 t X E 因此，是广义平稳的随机过程。 ) sin cos )( sin cos )( sin cos ( ) , , ( 3 0 3 0 2 0 2 0 1 0 1 0 3 2 1 t B t A t B t A t B t A E t t t R X + + + = ) sin cos )( sin sin cos sin sin cos cos cos ( 3 0 3 0 2 0 1 0 2 2 0 1 0 2 0 1 0 2 0 1 0 2 t B t A t t B t t AB t t AB t t A E + + + + = sin ) sin sin cos sin sin cos cos cos ( cos ) sin sin cos sin sin cos cos cos ( 3 0 2 0 1 0 3 2 0 1 0 2 2 0 1 0 2 2 0 1 0 2 3 0 2 0 1 0 2 2 0 1 0 2 2 0 1 0 2 2 0 1 0 3 t t t B t t AB t t AB t t B A E t t t AB t t B A t t B A t t A E + + + + + + + = sin sin sin cos cos cos 3 0 2 0 1 0 3 3 0 2 0 1 0 3 t t t B E t t t A E + = 可见，该随机过程构不成三阶平稳，因此不符合严平稳过程的要求。 课后答案网 第六次作业：练习二之6、7、8、9、10题 2.6 有三个样本函数 t t x t t x t x sin 3 ) ( , cos 2 ) ( , 2 ) ( 3 2 1 = = = 组成的随机过程 ，每个样 本函数发生的概率相等，是否满足严平稳或宽平稳的条件？ ) (t X 解： sin 3 , cos 2 , 2 ) ( ), ( ), ( ) ( 3 2 1 t t t x t x t x t X = = 3 1 3 2 1 = = = P P P = + + = = 3 1 ) sin 3 cos 2 2 ( 3 1 ) ( ) ( i i i t t P t x t X E 由于数学期望与时间相关，不为常数，因此不满足一阶平稳，也就不满足严平稳 或宽平稳的条件。 2.7 已知随机过程 ) cos( ) ( t A t X + = ， 为在 2 , 0 内均匀分布的随机变量， A可能 是常数、时间函数或随机变量。A满足什么条件时， 是各态历经过程？ ) (t X 解： （1）考查 为平稳过程的条件 ) (t X 在 A为常数或与 不相关的随机变量时，满足 ) ( cos ) cos( ) ( ) ( ) , ( 0 ) ( 2 t t A E t X t X E t t R t X E X + + + = + = + = cos ) 2 2 cos( 2 1 2 E t E A E + + + = cos 2 1 2 A E = ) ( X R = （2）考查 为各态历经过程的条件 ) (t X 在 A为常数或与 不相关的随机变量时，满足 ) ( cos lim ) cos( 2 1 lim ) ( 2 1 lim ) ( t X E 0 T sin T A dt t A T dt t X T t X T T T T T T T = = = + = = 而 + + + = + = + T T T T T T dt t t A T dt t X t X T t X t X ) ( cos ) cos( 2 1 lim ) ( ) ( 2 1 lim ) ( ) ( 2 + + + = T T T dt t A T cos ) 2 2 cos( 2 2 1 lim 2 cos 2 2 A = 只有在 A为常数时，满足 = + ) ( ) ( t X t X ) ( X R 。 欲使 是各态历经过程，A必为常数。 ) (t X 2.8 设 和 是相互独立的平稳随机过程，他们的乘积是否平稳？ ) (t X ) (t Y 解：令 ) ( ) ( ) ( t Y t X t Z = Y X m m t Y E t X E t Y t X E t Z E = = = ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) , ( Z Y X Z R R R t Y t Y E t X t X E t Y t X t Y t X E t t R = = + + = + + = + 又 = ) ( ) ( ) ( 2 2 2 t Y t X E t Z E 课后答案网 ) (t X 和 的乘积是平稳的。 ) (t Y 2.9 求用 自相关函数及功率谱密度表示的 ) (t X ) cos( ) ( ) ( 0 t t X t Y + = 的自相关函数及 功率谱密度。其中， 为在 2 , 0 内均匀分布的随机变量， 是与 相互独立的随 机过程。 ) (t X 解： ) ( cos ) ( ) cos( ) ( ) ( ) ( ) , ( 0 0 t t X t t X E t Y t Y E t t R Y + + + + = + = + ) ( cos ) cos( ) ( ) ( 0 0 t t E t X t X E + + + + = 0 cos ) ( 2 1 X R = ) ( Y R = ) ( ) ( 4 1 ) ( 4 1 ) ( 4 1 cos ) ( 2 1 ) ( ) ( 0 0 ) ( ) ( 0 0 0 0 0 + + = + = + = = = + X X j j X j j j X j X j Y Y S S d e e R d e e e R d e R d e R S 2.10 平稳高斯过程 的自相关函数为 ) (t X = e R X 2 1 ) ( ，求 的一维和二维概率密 度。 ) (t X 解： 0 2 1 lim ) ( lim ) ( 2 = = = = e R R m X X X 0 = X m 2 1 ) ( ) 0 ( 2 = = X X X R R （1） 的一维概率密度： ) (t X 2 2 1 2 1 2 1 ) , ( 2 1 2 x x X e e t x f = = （2）平稳高斯过程 n维概率密度等于 n个以为概率密度的乘积。 2 2 2 1 2 1 1 ) , ; , ( x X e t t x x f = 课后答案网 第七次作业：练习二之11、12、13、14、15题 2.11 对于两个零均值联合平稳随机过程 和 ，已知 ，说明下列 函数是否可能为他们的自相关函数，并说明原因。 ) (t X ) (t Y 10 , 5 2 2 = = Y X 3 3 ) ( 5 ) ( ) 5 ( 4 6 ) ( ) 3 ( ) 6 cos( ) ( ) 1 ( 2 = + = = e u R e R e R X Y Y = = = e R R R X X Y 5 ) ( ) 6 ( ) 5 sin( 5 ) ( ) 4 ( 3 ) 3 sin( 5 ) ( ) 2 ( 2 解： （a）自相关函数是偶函数，仅有(1)、(2)、(3)、(6)满足； （b） ) ( ) 0 ( X X R R ， （a）中仅有(2)、(3)、(6)满足； （c）对于非周期平稳过程有 ， （b）中仅有(6)满足。 ) ( ) 0 ( 2 = X X X R R 因此，(6)是自相关函数。 2.12 求随机相位正弦信号 ) cos( ) ( 0 t t X + = 的功率谱密度， 为在 2 , 0 内均匀分布 的随机变量， 0 是常数。 解： 0 0 0 cos 2 1 ) ( cos ) cos( ) ( ) ( ) , ( = + + + = + = + t t E t X t X E t t R X ) ( ) ( 2 cos 2 1 ) ( ) ( 0 0 0 + + = = = d e d e R S j j X X 2.13 已知随机过程 ，式中 是常数， 是平稳过程，并且相互之 间是正交的，若 = = n i i i t X a t X 1 ) ( ) ( i a ) (t X i ) ( Xi S 表示 的功率普密度，证明 功率谱密度为 ) (t X i ) (t X ) ( ) ( 1 2 Xi n i i X S a S = = 证：因 是平稳过程，并且相互之间是正交的， ) (t X i j i R ij = , 0 ) ( 。 ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( 1 1 = = + = + = n i i i n i i i X t X a t X a E t X t X E R ) ( ) ( ) ( 1 2 1 2 Xi n i i i i n i i R a t X t X E a = = = + = ) ( ) ( ) ( ) ( 1 2 1 2 Xi n i i j Xi n i i j X X S a d e R a d e R S = = = = = 2.14 由 和 联合平稳过程定义了一个随机过程 ) (t X ) (t Y t t Y t t X t V 0 0 sin ) ( cos ) ( ) ( + = （1） 和 的数学期望和自相关函数满足那些条件可使 是平稳过程。 ) (t X ) (t Y ) (t V （2）将（ 1）的结果用到 ，求 以 和 的功率谱密度和互谱密度表示的 的 功率谱密度。 ) (t V ) (t X ) (t Y ) (t V （3）如果 和 不相关，那么 的功率谱密度是什么？ ) (t X ) (t Y ) (t V 课后答案网 解： （1） t t Y E t t X E t t Y t t X E t V E 0 0 0 0 sin ) ( cos ) ( sin ) ( cos ) ( ) ( + = + = 欲使 与时间无关，不随时间函数 ) ( t V E t 0 cos 、 0 sin t 变化， 和 的数学 期望必须是 ) (t X ) (t Y 0 ) ( , 0 ) ( = = t Y E t X E ； ) ( sin sin ) ( ) ( cos sin ) ( ) ( sin cos ) ( ) ( cos cos ) ( ) ( sin sin ) ( ) ( ) ( cos sin ) ( ) ( ) ( sin cos ) ( ) ( ) ( cos cos ) ( ) ( ) ( sin ) ( ) ( cos ) ( sin ) ( cos ) ( ) ( ) ( ) , ( 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 + + + + + + + = + + + + + + + + + + + = + + + + + + = + = + t t R t t R t t R t t R t t t Y t Y E t t t X t Y E t t t Y t X E t t t X t X E t t Y t t X t t Y t t X E t V t V E t t R Y YX XY X V 在 ) ( ) ( ), ( ) ( YX XY Y X R R R R = = 时，上式可写作与时间起点无关的表达式： 0 0 sin ) ( cos ) ( ) ( XY X V R R R + = 因此，当 0 ) ( , 0 ) ( = = t Y E t X E ， ) ( ) ( ), ( ) ( YX XY Y X R R R R = = 时， 是平稳 过程。 ) (t V （2）对 0 0 sin ) ( cos ) ( ) ( XY X V R R R + = 两边同时作傅氏变换： ) ( ) ( 2 1 ) ( ) ( 2 1 sin ) ( cos ) ( ) ( ) ( 0 0 0 0 0 0 + + + + + = + = = XY XY X X j XY X j V V S S S S d e R R d e R S （3） 和 不相关， 的互功率谱密度为零。 ) (t X ) (t Y ) (t V ) ( ) ( 2 1 ) ( 0 0 + + = X X V S S S 2.15 设两个随机过程 和 各是平稳的，且联合平稳 ) (t X ) (t Y ) sin( ) ( ) cos( ) ( 0 0 t t Y t t X + = + = 式中， 为在 2 , 0 内均匀分布的随机变量， 0 是常数。他们是否不相关、正交、统 计独立。 解： 0 ) ( ) ( = = t Y E t X E 0 cos 2 1 ) ( ) ( = = Y X R R 0 0 0 sin 2 1 sin( cos( ) ( ) ( ) ( = + + = + = ) t ) t E t Y t X E R XY 0 sin 2 1 ) ( ) ( ) ( ) ( 0 = = t Y E t X E R C XY XY ) (t X 和 是相关的，不是统计独立的； ) (t Y 又 0 ) ( XY R ， 和 是非正交的。 ) (t X ) (t Y 课后答案网 第八次作业：练习三之1、2、3、4、5题 3.1 RC 积分电路的输入电压为 ) cos( ) ( 0 0 + + = t X t X ，其中 和 分别是在0，1 和0， 0 X 2 上均匀分布的随机变量，且相互独立。求输出电压Y(t)的自相关函数。 解： ) cos( ) cos( ) ( ) ( ) ( 0 0 0 0 0 + + + + + = + = t X t X E t X t X E R X ) cos( ) cos( ) cos( ) cos( 0 0 0 0 0 0 0 0 2 0 + + + + + + + + + = t t t X t X X E ) sin( ) sin( ) cos( ) cos( ) cos( ) cos( 0 0 0 0 0 0 0 0 2 0 + + + + + + + = t t t t E X E ) sin( 0 sin ) ( 2 sin 2 1 ) cos( 0 cos ) ( 2 cos 2 1 0 0 0 0 2 0 + + + + + = t E t E X E 0 cos 2 1 3 1 + = RC积分电路的 RC j H 1 , ) ( = + = d e R S j X X = ) ( ) ( = ) ( ) ( 2 1 ) ( 3 2 0 0 + + + ) ( ) ( 2 1 ) ( 3 2 ) ( ) ( ) ( 0 0 2 2 2 2 + + + + = = X Y S H S d e S R j Y Y = ) ( 2 1 ) ( 0 0 2 0 2 2 2 0 2 2 4 1 4 1 3 1 j j e e + + + + = 0 2 0 2 2 cos 2 1 3 1 + + = 3.2 若图示系统的输入X(t)为平稳随机过程，求输出的功率谱密度。 解： ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( + + + + = + = T t X t X T t X t X E t Y t Y E R Y ) ( ) ( ) ( 2 T R T R R X X X + + + = d e T R T R R d e R S j X X X j Y Y + + + = = ) ( ) ( ) ( 2 ) ( ) ( T j X T j X X e S e S S ) ( ) ( ) ( 2 + + = ) ( ) cos 1 ( 2 X S T + = 3.3 冲激响应为 和 的两个系统并联，求 、 和X(t)的自相关函数表示 的 和 的互相关函数。 ) ( 1 t h ) ( 2 t h ) ( 1 t h ) ( 2 t h ) ( 1 t Y ) ( 2 t Y 解：设X(t)为平稳过程， 和 为线性时不变系统，有 ) ( 1 t h ) ( 2 t h ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) , ( 2 1 2 2 2 1 1 1 2 1 2 1 d d h t X h t X E t Y t Y E t t R Y Y + = + = + 2 1 2 2 1 1 2 1 ) ( ) ( ) ( d d h h R X + = 课后答案网 ) ( ) ( ) ( 2 1 h h R X = 3.4 随机过程 X(t)作用到脉冲响应为 和 的串联系统。求 、 和 X(t)的 自相关函数表示的 和 的互相关函数。 ) ( 1 t h ) ( 2 t h ) ( 1 t h ) ( 2 t h ) ( 1 t Y ) ( 2 t Y 解：设X(t)为平稳过程， 和 为线性时不变系统，有 ) ( 1 t h ) ( 2 t h ) ( ) ( ) ( ) ( 1 1 1 h h R R X Y = ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( 2 1 1 2 1 2 1 h h h R h R R X Y Y Y = = 3.5 功率谱密度为 的白噪声作用到 2 / 0 N 2 ) 0 ( = H 的低通网络，它的等效噪声带宽为 2MHz。若在 1欧姆电阻上噪声输出平均功率是