贵州省黔西南州龙广一中20142015学年高一上学期期末数学试卷含解析

贵州省黔西南州龙广一中2 0 1 4 -2 0 1 5学年高一上学 期期末数学试卷 一、选择题（共1 0小题，每小题5分，满分5 0分） 1（5分）设集合A=x |3 x 0 ，B=x |1 x 3 ，则AB=（）A B C D 2（5分）下列图象表示函数图象的是（） A B C D 3（5分）函数 的定义域为（）A （5，+） B B C D 6（5分）已知点A（1，2），B（3，1），则线段AB的垂直平分线的 方程是（）A 4 x +2 y =5 B 4 x2 y =5 C x +2 y =5 D x2 y =5 7（5分）两个平面平行的条件是（） A 一个平面内一条直线平行于另一个平面B 一个平面内两条直线平行于另一个平面 C 一个平面内的无数条直线平行于另一个平面D 一个平面内的任意一条直线平行于另一个平面 8（5分）如图，在RtABC中，ABC=9 0 ，P为ABC所在平面外 一点，PA平面ABC，则四面体PABC中共有（）个直角三角形 A 4 B 3 C 2 D 1 9（5分）如果轴截面为正方形的圆柱的侧面积是4 ，那么圆柱的体积等于（） A B 2 C 4 D 8 1 0（5分）在圆x 2 +y 2 =4上，与直线4 x +3 y1 2 =0的距离最小的点的坐标是（） A （） B （ C （） D 二、填空题（共4小题，每小题5分，满分2 0分）1 1（5分）设A（3，3，1），B（1，0，5），C（0，1，0），则AB 的中点M到点C的距离为 1 2（5分）如果一个几何体的三视图如图所示（单位长度：cm），则 此几何体的表面积是 1 3（5分）设函数f（x）=（2 a1）x +b是R上的减函数，则a的范围 为 1 4（5分）已知点A（a，2）到直线l：xy +3 =0距离为 ，则a= 三、解答题：本大题共6小题，满分8 0分解答须写出文字说明、证明 过程和演算步骤1 5（1 0分）求经过两条直线2 xy3 =0和4 x3 y5 =0的交点，并且 与直线2 x +3 y +5 =0垂直的直线方程 1 6（1 4分）如图，已知PA矩形ABCD所在平面，M、N分别为AB、PC的中点； （）求证：MN平面PAD；（）求证：MNCD 1 7（1 4分）已知函数 （a0且a1）（1）f（x）的定义域； （2）判断f（x）的奇偶性并证明 1 8（1 4分）当x 0，函数f（x）=ax 2 +2，经过（2，6），当x0时f（x）=ax +b，且过（2，2）， （1）求f（x）的解析式；（2）求f（5）； （3）作出f（x）的图象，标出零点 1 9（1 4分）已知圆：x 2 +y 24 x6 y +1 2 =0（1）求过点A（3，5）的圆的切线方程； （2）点P（x，y）为圆上任意一点，求 的最值 2 0（1 4分）某商店经营的消费品进价每件1 4元，月销售量Q（百件）与销售价格P（元）的关系如图，每月各种开支2 0 0 0元， （1）写出月销售量Q（百件）与销售价格P（元）的函数关系（2）该店为了保证职工最低生活费开支3 6 0 0元，问：商品价格应控制 在什么范围？（3）当商品价格每件为多少元时，月利润并扣除职工最低生活费的余 额最大？并求出最大值 贵州省黔西南州龙广一中2 0 1 4 -2 0 1 5学年高一上学 期期末数学试卷 参考答案与试题解析 一、选择题（共1 0小题，每小题5分，满分5 0分）1（5分）设集合A=x |3 x 0 ，B=x |1 x 3 ，则AB=（） A B C D 考点： 交集及其运算专题： 集合 分析： 根据A与B，求出两集合的交集即可解答： 解：A=，B=， AB=故选：A 点评： 此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键 2（5分）下列图象表示函数图象的是（） A B C D 考点： 函数的概念及其构成要素；函数的图象专题： 数形结合 分析： 根据函数的定义可知：对于x的任何值y都有唯一的值与之相对应紧扣概念，分析图象 解答： 解：根据函数的定义，对任意的一个x都存在唯一的y与之对应而A、B、D都是一对多，只有C是多对一 故选C点评： 本题主要考查了函数图象的读图能力要能根据函数图象的性 质和图象上的数据分析得出函数的类型和所需要的条件，结合实际意义得到正确的结论函数的意义反映在图象上简单的判断方法是：做垂直 x轴的直线在左右平移的过程中与函数图象只会有一个交点 3（5分）函数 的定义域为（）A （5，+） B 4（5分）已知ab0，则3 a，3 b，4 a的大小关系是（） A 3 a3 b4 a B 3 b4 a3 a C 3 b3 a 4 a D 3 a4 a3 b 考点： 指数函数的单调性与特殊点专题： 计算题 分析： 不妨假设 a=2，b =1，则由3 a=9，3 b =3，4 a=1 6，可得结论 解答： 解：ab0，不妨假设 a=2，b =1，则由3 a=9，3 b =3， 4 a=1 6，可得 3 b3 a4 a，故A、B、D 不正确，C正确，故选C 点评： 本题主要考查指数函数的单调性和特殊点，通过给变量取特殊值，举反例来说明某个命题不正确，是一种简单有效的方法，属于基础 题本题也可用指数函数与幂函数的单调性来比较大小 5（5分）函数f（x）=x 3 +x3的零点落在的区间是（） A B C D 考点： 函数零点的判定定理专题： 函数的性质及应用 分析： 把区间端点函数值代入验证即可 解答： 解：f（x）=x 3 +x3单调递增，f（0）=30 f（1）=1 +13 =10f（2）=8 +23 =70 f（x）=x 3 +x3在区间（1，2）有一个零点，故选：B 点评： 考查方程的根和函数零点之间的关系，即函数零点的判定定理，体现了转化的思想方法，属基础题 6（5分）已知点A（1，2），B（3，1），则线段AB的垂直平分线的 方程是（）A 4 x +2 y =5 B 4 x2 y =5 C x +2 y =5 D x2 y =5 考点： 直线的点斜式方程；两条直线垂直与倾斜角、斜率的关系；中 点坐标公式专题： 计算题 分析： 先求出中点的坐标，再求出垂直平分线的斜率，点斜式写出线段AB的垂直平分线的方程，再化为一般式 解答： 解：线段AB的中点为 ，k AB= = ，垂直平分线的斜率 k = =2， 线段AB的垂直平分线的方程是 y =2（x2）4 x2 y5 =0，故选B 点评： 本题考查两直线垂直的性质，线段的中点坐标公式，以及用直线方程的点斜式求直线方程的求法 7（5分）两个平面平行的条件是（） A 一个平面内一条直线平行于另一个平面B 一个平面内两条直线平行于另一个平面 C 一个平面内的无数条直线平行于另一个平面D 一个平面内的任意一条直线平行于另一个平面 考点： 平面与平面垂直的判定 专题： 阅读型分析： 排除法，逐一检验答案，可通过特例说明是错误的 说明两个平面无公共点，是正确的解答： 解：如图 l，l ，但，却相交错如图 l，l ，m，m 但，却相交 错 类似于在内有无数与l平行的直线，它们均与平行，但，却相 交，错可知，两个平面无公共点，它们平行对 故选D点评： 本题考查平面与平面平行的判定与性质，考查学生严密的思维 能力和空间想象能力 8（5分）如图，在RtABC中，ABC=9 0 ，P为ABC所在平面外一点，PA平面ABC，则四面体PABC中共有（）个直角三角形 A 4 B 3 C 2 D 1 考点： 直线与平面垂直的性质专题： 计算题；空间位置关系与距离 分析： 由在RtABC中，ABC=9 0 ，P为ABC所在平面外一点，PA平面ABC，能推导出BC平面PAB由此能求出四面体PABC 中有多少个直角三角形解答： 解：在RtABC中，ABC=9 0 ， P为ABC所在平面外一点，PA平面ABC，BCPA，BCAB， PAAB=A，BC平面PAB 四面体PABC中直角三角形有PAC，PAB，ABC，PBC故选A 点评： 本题考查直线与平面垂直的性质的应用，是基础题解题时要认真审题，仔细解答，注意等价转化思想的灵活运用 9（5分）如果轴截面为正方形的圆柱的侧面积是4 ，那么圆柱的体积 等于（）A B 2 C 4 D 8 考点： 旋转体（圆柱、圆锥、圆台） 专题： 计算题分析： 设出圆柱的高，通过侧面积，求出圆柱的高与底面直径，然后 求出圆柱的体积解答： 解：设圆柱的高为：h，轴截面为正方形的圆柱的底面直径 为：h，因为圆柱的侧面积是4 ， 所以h 2 =4 ，h =2，所以圆柱的底面半径为：1， 圆柱的体积：1 2 2 =2 故选B点评： 本题考查圆柱的侧面积与体积的计算，考查计算能力，基础 题 1 0（5分）在圆x 2 +y 2 =4上，与直线4 x +3 y1 2 =0的距离最小的点的坐标是（） A （） B （ C （） D 考点： 点到直线的距离公式；直线与圆的位置关系 分析： 在圆x 2 +y 2 =4上，与直线4 x +3 y1 2 =0的距离最小的点，必在过圆心与直线4 x +3 y1 2 =0垂直的直线上，求此线与圆的交点，根据图 象可以判断坐标解答： 解：圆的圆心（0，0），过圆心与直线4 x +3 y1 2 =0垂直的直 线方程：3 x4 y =0， 它与x 2 +y 2 =4的交点坐标是（ ）， 又圆与直线4 x +3 y1 2 =0的距离最小，所以所求的点的坐标（ ）图中P点为所求；故选A 点评： 本题考查点到直线的距离公式，直线与圆的位置关系，直线的截距等知识，是中档题 二、填空题（共4小题，每小题5分，满分2 0分） 1 1（5分）设A（3，3，1），B（1，0，5），C（0，1，0），则AB的中点M到点C的距离为 考点： 空间两点间的距离公式 专题： 计算题分析： 设出点M的坐标，利用A，B的坐标，求得M的坐标，最后利用 两点间的距离求得答案解答： 解：M为AB的中点设为（x，y，z）， x = =2，y = ，z= =3，M（2， ，3），C（0，1，0）， MC= = ，故答案为： 点评： 本题主要考查了空间两点间的距离公式的应用考查了学生对 基础知识的熟练记忆属基础题 1 2（5分）如果一个几何体的三视图如图所示（单位长度：cm），则此几何体的表面积是1 4 + + 考点： 由三视图求面积、体积 专题： 计算题；空间位置关系与距离分析： 由三视图知几何体的上部是四棱锥，下部是长方体，且长方体 的长、宽、高分别为1、2、2；四棱锥的高为1，底面长方形的边长分别为2、1，求得四棱锥的侧面斜高分别为 与，代入表面积公式计算可得答案 解答： 解：由三视图知几何体的上部是四棱锥，下部是长方体，且长方体的长、宽、高分别为1、2、2；四棱锥的高为1，底面长方形的 边长分别为2、1，利用勾股定理求得四棱锥的两组相对侧面的斜高是 = 和 = 几何体的表面积S=2 1 +2 （1 +2）2 +2 2 +2 1 =2 +1 2 + + =1 4 + + 故答案是1 4 + + 点评： 本题考查了由三视图求几何体的表面积，解题的关键是判断几何体的形状及数据所对应的几何量 1 3（5分）设函数f（x）=（2 a1）x +b是R上的减函数，则a的范围为 考点： 一次函数的性质与图象专题： 计算题 分析： 根据一次函数的单调性知，当一次项的系数2 a10时在R上是减函数，求出a的范围 解答： 解：f（x）=（2 a1）x +b是R上的减函数，2 a10，解得 故答案为： 点评： 本题考查了一次函数的单调性，即一次项的系数大于零时是增 函数，一次项的系数小于零时是减函数 1 4（5分）已知点A（a，2）到直线l：xy +3 =0距离为 ，则a=1或3 考点： 点到直线的距离公式 专题： 直线与圆分析： 利用点到直线的距离公式即可得出 解答： 解：点A（a，2）到直线l：xy +3 =0距离为 ， ，化为|a+1 |=2，a+1 =2解得a=1或3 故答案为：1或3点评： 本题考查了点到直线的距离公式，属于基础题 三、解答题：本大题共6小题，满分8 0分解答须写出文字说明、证明 过程和演算步骤1 5（1 0分）求经过两条直线2 xy3 =0和4 x3 y5 =0的交点，并且 与直线2 x +3 y +5 =0垂直的直线方程 考点： 直线的一般式方程与直线的垂直关系；直线的一般式方程专题： 计算题；直线与圆 分析： 可求得两条直线2 xy3 =0和4 x3 y5 =0的交点坐标与所求直线的斜率，利用直线的点斜式即可求得答案 解答： 解：由已知得： ，解得两直线交点为（2，1），直线2 x +3 y +5 =0的斜率为 ，所求直线的斜率为 ；故所求直线的方程为y1 = （x2），即3 x2 y4 =0点评： 本题考查直线的一般式方程与直线的垂直关系，考查运算能 力，属于基础题 1 6（1 4分）如图，已知PA矩形ABCD所在平面，M、N分别为AB、PC的中点； （）求证：MN平面PAD；（）求证：MNCD 考点： 直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的性质 专题： 证明题；空间位置关系与距离分析： （）取的PD中点为E，并连接NE，AE，根据中位线可知 NECD且 ，AMCD且 ，则AMNE且AM=NE，从而四边形AMNE为平行四边形，所以AEMN，又因AE在平面PAD，MN在平面PAD，根据线面平行的 判定定理MN平面PAD（）根据PA矩形ABCD则PACD，又因四边形ABCD为矩形则 ADCD，从而CD平面PAD，又因AE在平面PAD，根据线面垂直的性质可知CDAE，根据AEMN，可知MNCD 解答： 证明：（）取的PD中点为E，并连接NEAE，M、N分别为AB、PC的中点 NECD且 ，AMCD且 ，AMNE且AM=NE 四边形AMNE为平行四边形，AEMN又AE平面PAD，MN平面PAD， MN平面PAD（4分） （）证明：PA矩形ABCDPACD又四边形ABCD为矩形ADCD CD平面PAD又AE在平面PADCDAE 再AEMNMNCD 点评： 本小题主要考查直线与平面平行，以及空间两直线的位置关系等基础知识，考查空间想象能力，运算能力和推理论证能力 1 7（1 4分）已知函数 （a0且a1）（1）f（x）的定义域； （2）判断f（x）的奇偶性并证明 考点： 对数函数的定义域；函数奇偶性的判断专题： 综合题 分析： （1）由 能够得到原函数的定义域（2）求出f（x）和f（x）进行比较，二者互为相反数，所以F（x） 是奇函数解答： 解：（1） ，解得1x1，原函数的定义域是：（1，1）（2）f（x）是其定义域上的奇函数 证明： ，f（x）是其定义域上的奇函数 点评： 本题考查对数函数的性质和应用，解题时要注意对数函数的不等式 1 8（1 4分）当x 0，函数f（x）=ax 2 +2，经过（2，6），当x0时 f（x）=ax +b，且过（2，2），（1）求f（x）的解析式； （2）求f（5）；（3）作出f（x）的图象，标出零点 考点： 函数图象的作法；函数解析式的求解及常用方法；函数的值 专题： 计算题；作图题；函数的性质及应用分析： （1）由题意，f（2）=4 a+2 =6，从而求a，再代入（2， 2）求b；从而写出解析式f（x）= ；（2）将5代入第一个式子得f（5）=2 7； （3）作出f（x）的图象，从而写出零点解答： 解：（1）由题意，f（2）=4 a+2 =6， 故a=1；则f（x）=x 2 +2，x 0；则当x0时，f（2）=2 +b =2； 故b =0；则f（x）= ；（2）f（5）=2 7； （3）作出f（x）的图象如右图， 没有零点点评： 本题考查了函数的性质与图象的应用，属于基础题 1 9（1 4分）已知圆：x 2 +y 24 x6 y +1 2 =0（1）求过点A（3，5）的圆的切线方程； （2）点P（x， y）为圆上任意一点，求 的最值 考点： 圆的切线方程；圆方程的综合应用专题： 计算题；转化思想 分析： （1）先化成圆的标准方程求出圆心和半径，然后对过点A分斜率存在和不存在两种情况进行讨论当斜率存在时根据圆心到直线的 距离等于半径求出k的值，进而可得到切线方程（2）设 =k得到y =k x，然后转化为求满足条件的直线斜率的最值问题，又有当直线与圆相切时可取得最大与最小值，从而可得到答案 解答： 解：（1）由x 2 +y 24 x6 y +1 2 =0可得到（x2）2 +（y 3）2 =1，故圆心坐标为（2，3）过点A（3，5）且斜率不存在的方程为x =3 圆心到x =3的距离等于d =1 =r 故x =3是圆x 2 +y 24 x6 y +1 2 =0的一条切线；过点A且斜率存在时的直线为：y5 =k（x3），即：yk x +3 k 5 =0，根据圆心到切线的距离为半径，可得到：r=1 = 化简可得到： （k2）2 =1 +k 2k = 所以切线方程为：4 y3 x1 1 =0 过点A（3，5）的圆的切线方程为：4 y3 x1 1 =0，x =3（2）由题意知点P（x，y）为圆上任意一点，故可设 =k，即要求k的最大值与最小值即y =k x中的k的最大值与最小值 易知当直线y =k x与圆相切时可取得最大与最小值，此时d =1 = ，整理可得到：3 k 21 2 k +8 =0得到k = 或 的最大值为 ，最小值为点评： 本题主要考查圆的切线方程、定点到圆的距离的最值问题考 查基础知识的综合运用和计算能力 2 0（1 4分）某商店经营的消费品进价每件1 4元，月销售量Q（百件）与销售价格P（元）的关系如图，每月各种开支2 0 0 0元， （1）写出月销售量Q（百件）与销售价格P（元）的函数关系（2）该店为了保证职工最低生活费开支3 6 0 0元，问：商品价格应控制 在什么范围？（3）当商品价格每件为多少元时，月利润并扣除职工最低生活费的余 额最大？并求出最大值 考点： 分段函数的应用；一元二次不等式的应用 专题： 应用题分析： （1）根据函数图象为分段函的图象，所以应求1 4 P2 0，与2 0 x 2 8两部分的解析式，由图象上的点分别代入Q=aP+b，求出即可；（2）如果使该店刚好能够维持职工生活，那么该店经营的