数学在各方面的应用

附录三关于数学在理科中应用的调查报告 我们对理科中物理、化学、计算机基础中数学知识的应用进行了相关的调查。调查过 程中翻阅了大量的相关资料，并询问了不少相关的专家，现将结果公布如下： 一、物理学中的数学知识 数学是物理学的基础和工具。离开了数学，物理学几乎寸步难行。现行大学物理系的 数学教材几乎囊括了所有高等数学的基础知识。理论物理和实验物理都必需具备相当高深 的数学知识。 理论物理中所应用的数学知识有：空间及其拓朴、映射、实分析、群论、线性代数、 方阵代数、微分流形和张量、黎曼流行、李导数、李群、矢量分析、积分变换（包括傅里 叶变换和拉普拉斯变换） 、偏微分方程、复变函数、球函数、柱函数、函数、格林函数、贝 塞尔函数、勒让德多项式等。 实验物理中所应用的数学知识呈主要集中在概率统计学中。包括一维、多维随机变量 及其分布、概率分布、大数定律、中心极限定理、参数估计、极大似然法等。其中概率分 布包括伯努力分布、泊松分布、伽马分布、分布、t 分布、F 分布等。 从上可以看出，上述数学知识对物理专业来讲，必需了解，且有的需要深入了解。比 如群论、空间及拓朴、积分变换、偏微分方程、概率分布、参数估计等。工科和理科、师 范类和非师范类、物理专业和非物理专业、其物理学习中所应用的数学知识也有范围和程 度上的变化。工科就没有理科要求高，物理专业中所涉及的数学知识也比非物理专业所学 物理课本上的数学知识丰富的多。 二、化学中的数学知识 初等化学只是简单介绍物质的组成、结构、性质、变化及合成。除了相应的计算外， 与数学的联系没有物理学那么紧密。高等化学需要更深入的研究物质，因此需要相应的高 等数学知识为基础。下面我们就化学理论和化学实验两种课程来讨论。 化学理论中所应用的数学知识有：级数及其应用、幂级数与 Taylor 展开式、Fourier 级 数、Forbemus 方法、Bessel 方程、Euler-Maclaurh 加法公式、String 公式、有限差分、矩阵、 一阶偏微分方程、二阶偏微分方程、常微分方程（包括一阶、二阶、线性、联立） 、特殊函 数（包括贝尔函数和勒让德多项式）积分变换、初步群论等。 化学实验中所应用的数学知识有：随机事件及其概率、随机变量的数字特征、随机分 量及其分布、大数定理、中心极限定理、参数估计等。 从上面可以看出，化学中的数学知识主要应用于计算，因此大部分是一些数学公式和 方程，并没有更深一步理论推导及逻辑思维、形象思维的要求。所以，化学专业中数学知 识的要求不高，只限于了解并会套公式而已。 三、计算机基础中的数学知识 计算机基础与数学联系十分紧密。当今更为火爆的网络软件开发等信息界的精英，大 部分是数学出身，数学在计算机中的应用是不言而喻的。 大部分高校的计算机系所开设的数学课程几乎和数学系不相上下，无论广度，深度都 达到相当水准。从事计算机软件、硬件开发不仅需要高深的数学知识为基础，而且需要很 强的逻辑思维能力、形象思维能力和空间想象能力，这些离开数学是不可能的。 计算机基础中所应用的数学知识主要有：数理逻辑、图论、数据处理、线性代数、概 率分布、参数估计、群论、积分变换、微分方程、拓朴等。 计算机系学生学习更重要的是培养逻辑思维能力，因为这在软件开发，程序设计上必 不可少。笔者在调查过程中还发现许多计算机系学生辅修或自学产业数学课本，由此可见 数学的重要性。 四、分析总结 由于物理、化学、计算机基础与数学的联系十分紧密，所涉及的数学知识也十分广博， 其需要的基本数学知识、基本技能都应在高中课本中出现，如：逻辑量词、矩阵的代数运 算、行列式、初等积分等，为大学奠定基础的高中数学课本还应重视学生数学思想方法和 思维能力的培养。我们在调查中也了解到许多非数学专业学习的高等数学即使是数学专业 的学生在学习时都有一定的难度。这主要是高等数学的思维方式与思维方法与初等数学有 很大的不同，因此，在高中数学教学内容中适当涉及现行高等数学中的一些基本概念，并 穿插相应的数学思想方法是十分必要的。 另外，数学知识也分为理论型和应用型，理论型的数学学习着重培养思维能力和思考 方法。所涉及的数学知识较深，实用型的数学学习着重培养形象思维、空间想象及联想。 所涉及的数学知识较浅。理论型的数学知识在其它学科中应用的较为广泛。高中数学内容 也可适当加入相关内容。 附：三门学科及相应数学知识的比较图表 微分 积分 群论 线性 代数 拓朴 概率 分布 参数 估计 数理 逻辑 物理 A A B A B A A A 化学 A A B A C A A B 计算机 A A B A C B B A A:必须掌握 B:一般掌握 C：了解 附录四数学知识在工科中的应用的调查报告 数学作为一种不可或缺的工具，已经渗透到了各种门类的科学中，并且发挥着极为重 要的作用。下面，我们将数学知识在工科中应用的调查情况综述如下，由于工科中的门类 极为复杂繁多，我们将挑选极具代表性的几个分支进行分析。 首先看“工程数学” ，工程数学将纯粹的数学知识与工程应用有机地结合起来，是学习 工科的基础，它覆盖了大部分的数学知识，如微分方程，复变函数论基础，微积分运算， 线性代数基础，线性规划基础，初等概率论以及计算方法等等，这些内容都是与实际需要 紧密联系的，再看“人体工程学”，这是一门研究人体工效的科学，通过改善机器和工作环 境使其适合人体的要求，从而提高工作效率，它与计算技术、控制论等有很大关系，并且 涉及到很多函数的知识。接着看“工程力学”，它由理论力学和材料力学组成，前者与解析 几何，方程等联系密切，并且经常用到坐标、向量的知识，后者需要积分法，叠加法及平 面图形的性质。 在“工程制图” 中，关于几何的知识是必不可少的。在“工程热力学”中，需要大量的微 积分和数理统计的知识。 在“材料学” 中，解析几何中的空间点阵，立体图形以及概率论和极限论的知识都有所 涉及。在“计量学” 中，广泛使用了关于计算和数据处理以及概率统计和微积分的知识。在 “石油化工”中，统计学的知识所起的作用不可替代；而在“金属工业”中，统计学，解析地 处理问题以及计算方法也极为重要。在“金属学”中则用到了许多空间点阵，解析几何以及 微积分的知识，它们在分析金属结构等方面均发挥着巨大的作用。 下面是关于机械类的，在“机械制图”中，空间几何中的平面、立体、三视图以及投影 和交线的知识需要经常用到。在“机械制造科学”中的“ 热加工 ”灯，模糊数学和关于统计的 知识常需用到。在“工业磨擦学”中，概率统计和关于估算的知识起着极为重要的作用，接 着要说的是“机电一体化技术”，它是以应用力学、机械设计、制造工程和控制系统技术为 四大支柱，将机械工程学与电子学相结合的一门重要科学，要想深入探讨关于它的问题， 关于概率统、微积分以及许多计算方法的知识是必不可少的。 “电工科学” 是一门研究电磁现象极其应用的科学，由它的理论和方法为基础而形成的 工程技术称为“电工技术” ，它又分为电子技术和电力技术，这门科学常需用到关于微积分， 统计以及组合、数理逻辑的知识。 “电路理论”作为通信，无线电技术、自动控制以及电子计 算机等专业的共同的基础课，其重要性也就不言而喻了，没有一定的数学基础很难深入地 研究问题，它广泛地用到了关于微积分，统计以及数学作图的知识。 “电机学”是一门研究直 流机、变压器、异步机、同步机和其它特殊电机及变压器的科学，它需要许多关于作图和 计算方法的知识。在“电子技术基础”中，数学作图和计算方法同样等持着极为重要的作用。 在“无线电技术基础” 中，由于需要研究关于回路、双口网络、滤波器、传输线、无线电信 号的基本组成和原理等问题，所以广泛地用到了数学作图、数列、数理逻辑、微积分，分 析和计算方法，以及参数方程和微分方程等数学知识。 “半导体技术” 是一门新兴的学科，它又包括了诸如晶体管理，可控砖应用技术，半导 体电子学，半导体器件原理等小的分类，它需要用到许多空间几何作图，微积分，函数论， 统计学，概率论的知识， “集成电路的设计与应用”常需广泛的数理逻辑和线性代数（如矩阵、 行列式）的知识。在“脉冲技术”中，统计，函数，积分论，极限都会被用到。在关于“现代 通信原理“的科学中，用到的数学知识涉及到了各个方面，如函数论（实、复变） ，线性代 数，统计，概率，微积分以及极限论等等。在自动化领域中的“模糊应用技术”，如果模糊 推理，模糊控制，模糊线性规划，模糊决策以及模糊模式识别等等，都需要扎实的模糊数 学基础，另外关于概率统计和线性代数的知识也是必不可少的。 上面我们只是列举了数学知识在部分分工科科学中的应用，我们知道，工科的分类形 形色色，内容极为丰富，因此很难一一列举，但是我们是很容易由个别到一般地从已列举 的这些学科中看到数学知识在工科中的广泛应用的。数学基础的扎实与否会直接影响到对 工科知识的学习和应用，这已经是毋庸置疑的了，有针对性地打好数学基础是大有裨益的， 也只有这样，才有可能深入地钻研工科中的问题。从上面也可以看出，高中数学中数理逻 辑、概率统计、矩阵、几何作图、视图、计算方法、微积分等内容应当加强。 附录五关于数学在人文科学中应用的调查报告 作为人类精神，智慧与理性的最高代表之一，数学不仅是文化的重要组成部分，还且 在人类文化发展中占据着举足轻重的地位。数学具有自己独一无二的语言系统数学语 言，数学具有独特的价值判断标准独特的数学认识论。数学观，这就使得数学文化不 仅与文学，艺术有很大的区别，而且与自然科学、社会科学也有着本质的不同。数学还具 有独特的发展模式，正是由于具有这些与一般人类文化不同的特殊性，产生了独特的数学 精神，并进而对人类文化的精神创造领域产生了独特的影响。 表面看来，数学与人文科学，社会科学联系并不是很紧密，毕竟一位作家没有必要绞 尽脑汁去证明哥德巴赫猜想，一位画家不需要懂得微积分的知识 L，实际上，人文科学也 是不能脱离数学的，作为理性基础和代表的数学思想方法，数学精神被人们注入文学、艺 术、政治、经济、伦理、宗教等众多领域。 数学对社会科学、人文科学的作用，影响主要不是很直观的公式、定理，而是抽象的 数学方法和数学思想，其中最突出的莫过于演绎方法，亦即演绎推理，演绎证明，就是从 已认可的事实推导出新命题，承认这些做为前提的事实就必须接受推导出的新命题。哲学 上，研究一些永恒的话题，诸如生与死等，这些课题是无法用简单归纳（反复试验法） ，类 比推理来研究的，只能求助于数学方法演绎推理。类似的例子还有很多，数学在一定 程度上影响了众多哲学思想的方向和内容，从古希腊的毕达可拉斯学派哲学到近代的唯理 论，经验论直到现代的逻辑证实主义，分析哲学等，都可以证明这一点。 数学还对音乐，绘画，语言学研究，文学批评理论产生了一定的影响。 在音乐方面，自从乐器的弦长和音调之间存在密切关系的事实被发现后，这项研究就 从来没有中止过，美学上对黄金分割的研究也是一个不可或缺的话题。 文艺复兴以前，绘画被看作同作坊工人一样低贱的职业，文艺复兴开始以后，画家们 开始用数学原理如平面几何、三视图、平面直角坐标系等指导绘画艺术，达芬奇的透视论 就是一个突出的例子（借助平面几何知识，达到绘画上所追求的视觉效果远物变近， 小物变大） ，从此，绘画步入了人类艺术的殿堂。 从实际应用来看，许多社会科学，人文科学也离不开数学。 在研究历史，政治时，用到最多的方法就是统计，统计学在问世之初就被称作政治数 学，可见其地位之尊宠。 历史学的一大分支考古学更是离不开数学，如三角计算、指数函数、对数函数等。考 古离不开物理，化学方法，但这两门学科缺少了作为工具的数学，将一无是处。 总之，社会科学、人文科学也离不开数学，尤其是统计概率论，平面几何学，微积分 以及各种数学思想方法。 附录六数学理论在现代经济领域中应用的调查报告 上个世纪五十年代以来，随着应用数学和计算机科学的发展，数学，已更深入、更广 泛地渗入到世界经济、国际金融、国际贸易、国际经济合作等各个经济领域当中。 在我们的调查中发现，很多高中数学知识，如集合、映射、加法原理、乘法原理等在 日常的工作和生活学习中“经常被用到”，而如概率分析、函数的极值与导数问题虽然在人 们的日常生活中并不那么普遍，但却在现代经济发展中起着举足轻重的作用。 例如概率分析，也是应用数学的一门基础学科，它能通过研究各种不确定因素发生不 同幅度变动的概率分布及其对方案的经济效果的影响，对方案的净现金流量及经济效果指 标作出某种概率描述，从而能够对方案的风险情况作出比较准确的判断。因此，在实际工 作中，如果能通过统计分析给出在方案寿命期内影响方案现金流量的不确定因素可能出现 的各种状态及其发生概率，就可能过对各种因素的不同状态进行组合，求出所有可能出现 的方案净现金流量序列及其发生概率，就可计算出方案的净现值、期望值与方差。 而数学模型在经济学中的应用同样是深刻而广泛的。举个具体例子来说，局部市场均 衡可建立一个线性模型，线性模型中，矩阵运算占有非常重要的地位。局部市场均衡还可 建立非线性模型，该模型主要用到二次方程与二次函数的知识。而简单均衡模型用克莱姆 法则或矩阵求逆的方法很容易求解。 中学数学中的指数函数与对数函数在经济学中应用更广，比如复利的计算中就常常用 到指数、指数函数“ ”。最优时间安排等问题就是一个指数函数与对数函数的简单应用。 成本利润、收入需求、价格等经济量是经济问题中必需考虑的因素。为了达到利润最 大、成本最小、价格最合理，就要把握最佳产量，最佳销售量，而这常用到求函数的最大、 最小值问题，线性规划、非线性规划问题等经济学中最常见的最优化问题，其实质就是求 能够使目标函数达到极值的选择变量的值。经济学中，还经常用平均边际等概念分析一个 变量 y 关于另一个变量 x 的变化情况，它反映了 y 的平均变化率。边际是当 x 在某一给定 值的附近发生微小变化时 y 的变化情况。它反映了 y 的瞬间变化，而刻画这种瞬间的微小 变化的工具就是导数。并且导数在求增长率，点弹性方面也有着广泛的应用。 在经济应用数学中，高中数学时的函数思想得到了加强和拓展。它在延续高中朴素的 函数思想的同时，着重的讲述了经济中常用的几种函数。如构造“成本函数” 、 “收益函数” 、 “需求函数”和“供应函数”等“线性函数” 。在这里，又把中学的“二次函数”和“分式 函数”扩展为“多项式函数”和“有理函数” ，并用它们构造了总成本函数、平均成本函数、 收益函数、利润函数、库存总数函数等。而指数函数，对数函数在金融计算中的利率及翻 番等问题中经常用到。总之，中学数学中的函数思想在大学的应用数学和现代经济中得到 了进一步的发展和利用，并且与经济中的各种常用函数联系，集中体现了函数思想在经济 规划中的作用。 随着科学不断的发展，数学理论也在不断的发展完善之中，并且深远地影响着社会经 济的发展。除上以外，偏导、极值、拓朴等等都在经济中广泛而深入的发挥着它们的作用。 而且我们相信它的影响将会更加广泛而有力。 从上面也可以看出，为了适用经济高速发展的需要，高中数学中应加强函数内容的教 学，增加概率统计、线性规划、数学模型等内容。 附录七关于数学在农、林、渔、地、医等学科中应用的调查报告 下面是我们对数学在农、林、渔、地、医等学科中应用所做的一些调查： 从总体上来看，数学中的概率，统计学，数值分析与计算以及利用数学图表研究问题 的方法在农、林、渔、地、医等学科具有普遍应用性，原因在于这些学科实践操作性强， 在实践过程中会遇到大量数据，如果不对数据进行搜集，整理和分析的话，就无法得到其 规律性，也就不能很好地学习这些学科。简单地举个例子：研究蔬菜亩产量与每亩土地平 均使用的氮肥之间的关系，首先你必然多次实验，把每次实验的结果记录下来，整理，然 后分析这些数据，就会发现在一定限度内，每亩多施氮肥，可以增加蔬菜的亩产量。但肥 料是农作物增产的重要因素，而不是唯一的因素，仅仅根据氮肥的施加量还不能精确地计 算出蔬菜的产量。这时我们就要研究氮肥的施加量与蔬菜的亩产量之间的相关关系，或称 为回归关系，利用数学上相关关系的研究成果我们可以用来指导实际蔬菜生产。诸如此类 的例子举不胜举。接下来我们把各个学科具体用到的数学知识作个小结，在下面的小结中 有些只列出了数学公式，未指明数学符号所表示的具体含意。 一、农业 在生态农业系统的评价方法用到较多的数学方法：如综合评价法中综合指标值的计算： ，其中 为第 I 个指标值（分数或指数） ， 为第 I 个指标的权重：又如模型 评价法中用到数学模型的知识；另外方程式的应用也占很大一部分，如评价农场生态经济 的方程式： 。 在农业生态工程中能量流，物质流，价值流及生态效率的分析计算中用到的数学知识 有百分率的计算、级数、函数、对数、多元方程组、矩阵等。 数学模型的建立，对于农业生态工程的建设研究是十分重要的。农业生态工程的数学 模型严格讲是农业生态工程这一人工生态系统的经济发展模型，其任务在于提供对于系统 现状及其结构，功能的认识，并可以用此去预测系统即将发生的行为，进一步采取某种措 施即改变输量的数值及条件，或调节子系统之间的交换速率等等，对系统实施控制，以达 到它的“最优化” 。 百分率计算、方程等在农业的其它许多方面都有应用，如土壤含水率的计算，作物根 系对水分的吸收量遵循方程式 等。 二、林业 对于林业，特别要提到的是林学的一个年轻分支林业遥感，它用了较多的数学方法， 建立了遥感定量估测中应用了圆锥曲线、级数、函数、线性代数（特别是向量，特征向量） 的大量