数学运算专题(全)[2]

公务员行测考前大冲刺之数学运算专题行程问题 行程问题 我们把研究路程、速度、时间以及这三者之间关系的一类问题，总称为行程问题 在对小学数学的学习中，我们已经接触过一些简单的行程应用题，并且已经了解到：上 述三个量之间存在这样的基本关系：路程速度时间。 例 1 两列火车相向而行，甲车每小时行 36 千米，乙车每小时行 54 千米。两车错车时， 甲车上一乘客发现：从乙车车头经过他的车窗时开始到乙车车尾经过他的车窗共用了 14 秒， 求乙车的车长。 分析 首先应统一单位：甲车的速度是每秒钟 36000360010（米），乙车的速度是每 秒钟 54000360015（米）。本题中，甲车的运动实际上可以看作是甲车乘客以每秒钟 10 米的速度在运动，乙车的运动则可以看作是乙车车头的运动，因此，我们只需研究下面这样 一个运动过程即可：从乙车车头经过甲车乘客的车窗这一时刻起，乙车车头和甲车乘客开始 作反向运动 14 秒，每一秒钟，乙车车头与甲车乘客之间的距离都增大（10+15）米，因此， 14 秒结束时，车头与乘客之间的距离为（ 10+15）14350（米）。又因为甲车乘客最后看 到的是乙车车尾，所以，乙车车头与甲车乘客在这段时间内所走的路程之和应恰等于乙车车 身的长度，即：乙车车长就等于甲、乙两车在 14 秒内所走的路程之和。 解：（10+15）14 350（米） 答：乙车的车长为 350 米。 例 2 小刚和小强租一条小船，向上游划去，不慎把水壶掉进江中，当他们发现并调过船 头时，水壶与船已经相距 2 千米，假定小船的速度是每小时 4 千米，水流速度是每小时 2 千 米，那么他们追上水壶需要多少时间? 分析 此题是水中追及问题，已知路程差是 2 千米，船在 顺水中的速度是船速+ 水 速水壶飘流的速度只等于水速。 解：路程差船速= 追及时间 24=05（小时） 答：他们二人追回水壶需用 05 小时。 例 3 商场的自动扶梯以匀速由下往上行驶，两个孩子嫌扶梯走得太慢，于是在行驶的扶 梯上，男孩每秒钟向上走 2 个梯级，女孩每 2 秒向上走 3 个梯级。结果男孩用 40 秒钟到达， 女孩用 50 秒钟到达。则当该扶梯静止时，可看到的扶梯级有： A80 级 B100 级 C120 级 D140 级 （2005 年中央真题） 解析：这是一个典型的行程问题的变型，总路程为“扶梯静止时可看到的扶梯级” ，速度为 “男孩或女孩每个单位向上运动的级数”，如果设电梯匀速时的速度为 X，则可列方程如下， （X+2 ）40=（X+3/2）50 解得 X=0.5 也即扶梯静止时可看到的扶梯级数 =（2+0.5）40=100 所以，答案为 B。 例 4 某船第一次顺流航行 21 千米又逆流航行 4 千米，第二天在同一河道中顺流航行 12 千米，逆流航行 7 千米，结果两次所用的时间相等，假设船本身速度及水流速度保持不变， 则顺水船速与逆水船速之比是： A2.5 ：1 B3 ：1 C3.5：1 D4：1 （2005 年中央真题） 解析：典型流水问题。如果设逆水速度为 V，设顺水速度是逆水速度的 K 倍，则可列如下 方程： 21/KV+4/V=12/KV+7/V 将 V 约掉，解得 K=3 所以，正确答案为 B。 学校田径场的环形跑道周长为 400 米，甲、乙两人同时从跑道上的 A 点出发背向跑步，两人 第一次相遇后，继续往前跑，甲在跑 26 又 2/3 秒第一次回到 A 点，乙再跑 1 分钟也第一次 回到 A 点，求甲乙两人的速度。 设甲乙二人相遇的时间是 X 由题意得知，乙开始 X 秒所行的距离甲行了： 26 又 2/3 秒 那么甲乙的速度比是：X：80/3=3X ：80 甲开始 X 秒所行的距离乙行了 60 秒， 即甲乙的速度比也是：60：X 所以有：3X：80=60：X X=40 秒 那么甲乙的速度比是：60：40=3：2 又甲乙的速度和是：400/40=10 米/秒 所以甲的速度是：10*3/3+2=6 米/ 秒，乙的速度是：10*2/5=4 米/秒。 年龄问题解决应用题，关键在于掌握题目中的数量关系，从已知条件寻找它们之间的内在联 系，注意各种量之间的转换，然后统一到所求量上来。年龄问题特点是：大小年龄差是个不 变的量，而年龄的倍数却年年不同。我们可以抓住差不变这个特点，再根据大小年龄之间的 倍数关系与年龄之和等条件，解答这类应用题。解答年龄问题的一般方法是： 几年后年龄 大小年龄差倍数差一小年龄，几年前年龄小年龄一大小年龄差倍数差。 例 1 父亲现年 50 岁，女儿现年 14 岁。问：几年前父亲年龄是女儿的 5 倍?分析 父 女年龄差是 501436（岁）。不论是几年前还是几年后，这个差是不变的。当父亲的年龄 恰好是女儿年龄的 5 倍时，父亲仍比女儿大 36 岁。这 36 岁是父亲比女儿多的 514（倍） 所对应的年龄。解法 1 （5014）（51）9（岁）当时女儿 9 岁，1495（年）， 也就是 5 年前。答：5 年前，父亲年龄是女儿的 5 倍。 解法 2 设 年前父亲的年龄是女儿年龄的 5 倍，是可列方程为：50 =（14 ） 5， =5。例 2 甲对乙说：当我的岁数是你现在岁数时，你才 4 岁。乙对甲说：当我的岁数 到你现在的岁数时，你将有 67 岁，甲乙现在各有： A45 岁，26 岁 B46 岁，25 岁 C47 岁 24 岁 D48 岁，23 岁材 （2005 年中央 真题） 解析：此题应直接选用代入法。 如果采用方程法，则甲的年龄为 X，乙的年龄为 Y，则可列方程 Y-（X-Y）=4 X+（X-Y）=67 解得 X=46，Y=25 所以，正确答案为 B。 例 3 今年父亲年龄是儿子年龄的 10 倍，6 年后父亲年龄是儿子年龄的 4 倍，则今年 父亲、儿子的年龄分别是（ ）。 （2000 年中央真题） A60 岁，6 岁 B50 岁，5 岁 C40 岁，4 岁 D30 岁，3 岁 解析：依据“年龄差不变”这个关键和核心，今年父亲年龄是儿子年龄的 10 倍，也 即父子年龄差是 9 倍儿子的年龄。6 年后父亲年龄是儿子年龄的 4 倍，也即父子年龄差是 3 倍儿子的年龄（6 年后的年龄）。依据年龄差不变，我们可知 9 倍儿子现在的年龄3 倍儿子 6 年后的年龄 即 9 倍儿子现在的年龄3（儿子现在的年龄+6 岁） 即 6 倍儿子现在的年龄36 岁 儿子现在的年龄3 岁 父现在的年龄30 岁 注：此种类型题在真考时非常适合使用代入法，只要将四个选项都加上 6，看看是否成 4 倍 关系，只有 D 选项符合，用时不超过 10 秒，从而成为最优的方法，代入法是公务员考试最 2 常使用的方法，请广大考生借鉴此法。 中公网考前大冲刺之数学运算专题容斥原理 容斥原理 容斥原理是近年中央国家公务员考试的一个难点，很多考生都觉得无从下手，这一 节我们举几个这方面的例题讲解一下，另外在练习及真考的过程中，请借助图例将更有助于 解题。 例题 1：2004 年中央 A 类真题 某大学某班学生总数为 32 人，在第一次考试中有 26 人及格，在第二次考试中有 24 人及格，若两次考试中，都没有及格的有 4 人，那么两次考试都及格的人数是( )。 A22 B18 C28 D26 解析：设 A第一次考试中及格的人（26），B第二次考试中及格的人（24） 显然，AB262450；AB32428， 则根据公式 ABABAB502822 所以，答案为 A。 例题 2：2004 年山东真题 某单位有青年员工 85 人，其中 68 人会骑自行车，62 人会游泳，既不会骑车又不会 游泳的有 12 人，则既会骑车又会游泳的有（ ）人 A.57 B.73 C.130 D.69 解析：设 A会骑自行车的人（68），B会游泳的人（62） 显然，AB6862130；AB851273， 则根据公式 ABABAB1307357 所以，答案为 A。 例题 3：电视台向 100 人调查前一天收看电视的情况，有 62 人看过 2 频道，34 人看 过 8 频道，11 人两个频道都看过。两个频道都没看过的有多少人？ 解析：设 A看过 2 频道的人（62），B看过 8 频道的人（34） 显然，AB623496；AB两个频道都看过的人（11） 则根据公式 ABABAB961185 所以，两个频道都没有看过的人数1008515 所以，答案为 15。 例题 4：2005 年中央 A 类真题 对某单位的 100 名员工进行调查，结果发现他们喜欢看球赛和电影、戏剧。其中 58 人喜欢看球赛，38 人喜欢看戏剧，52 人喜欢看电影，既喜欢看球赛又喜欢看戏剧的有 18 人， 既喜欢看电影又喜欢看戏剧的有 16 人，三种都喜欢看的有 12 人，则只喜欢看电影的有： A22 人 B28 人 C30 人 D36 人 解析：设 A喜欢看球赛的人（58），B喜欢看戏剧的人（38），C喜欢看电影的 人（52） AB既喜欢看球赛的人又喜欢看戏剧的人（18） BC既喜欢看电影又喜欢看戏剧的人（16） ABC三种都喜欢看的人（12） ABC看球赛和电影、戏剧至少喜欢一种（100） 根据公式：ABCABCABBCCAABC CAABC（ABCABBCABC） 148（100181612）26 所以，只喜欢看电影的人CBCCAABC 5216261222 中公网考前大冲刺之数学运算专题方阵问题 数学运算在近年来的考试中已经成为一个非常重要的考试内容，说它重要主要是因 为它的难度越来越大，考生极易失分，所以应考者必须充分地进行备考复习。这一节我们谈 一下数学运算中的方阵问题。 方阵问题 学生排队，士兵列队，横着排叫做行，竖着排叫做列如果 行数与列数都相等，则 正好排成一个正方形，这种图形就叫方队，也叫做方阵（亦叫乘方问题） 方阵的基本特点是： 方阵不论在哪一层，每边上的人（或物）数量都相同每向里一层，每边上的人 数就少 2， 每边人（或物）数和四周人（或物）数的关系： 四周人（或物）数=每边人（或物）数一 14； 每边人（或物）数=四周人（或物）数4+1 中实方阵总人（或物）数=每边人（或物）数每边人（或物）数 例 1 有陆、海、空三兵种士兵组成的仪仗队，每兵种队伍 400 人，都分成 8 竖行并 列行进。陆军队前后每人间隔 1 米，海军队前后每人间隔 2 米，空军队前后每人间隔 3 米。 每兵种队伍之间相隔 4 米，三兵种士兵每分都走 80 米，三兵种队伍的仪仗队通过 98 米的检 阅台需要多少分? 3 分析与解答 这道例题仍是植树问题的逆解题，相当于已知树数、每两株相邻树间的 距离，求树列的全长。由于三兵种队伍的仪仗队要通过检阅台，除了三兵种队伍的仪仗队的 长度，还必须加上检阅台的长度。知道总长度和士兵步行的速度，就可以求出通过检阅台的 时间。 （1）三兵种队伍每竖行的人数是：4008=50（人） （2）陆军队伍的长度是：1（501）=49（米） （3）海军队伍的长度是：2（501）=98（米） （4）空军队伍的长度是：3（501）=147（米） （5）三兵种队伍的间隔距离是：4（31）=8（米） （6）三兵种队伍的全长是：49+98+147+8=302米） （7）队伍全长与检阅台的总长度是： 302+98=400（米） （8）通过检阅台所需的时间是： 40080=5（分） 请你试一试，看看怎样列综合算式?列式后你会应用简便方法进行计算吗? 综合列式计算： 1（40081）+2（40081）+3（40081）+4（31）+9880 =49（1+2+3）+8+9880 =40080=5（分） 答：通过检阅台需要 5 分。 例 2 参加中学生运动会团体操比赛的运动员排成了一个正方形队列。如果要使这个 正方形队列减少一行和一列，则要减少 33 人。问参加团体操表演的运动员有多少人？ 分析 图 77 表示的是一个五行五列的正方形队列。从图中可以看出正方形的每行、 每列人数相等；不管是减去哪一行、哪一列，只要是同时横竖各减少一排，那么必然有 1 人 而且只有 1 人是同时属于被减去的一行和一列，也就是，去掉横竖各排时，去掉的总人数 是： 原每行人数21 或者是： 减少后每行人数2+1 根据图 24 的启示我们可得到此题的解。 图 24 解法一 先利用去掉横竖各一排时，去掉的总人数为：原每行人数21。求出团体 操队列每行有多少人，再求参加团体操运动员的人数。 （33+1）2=17（人） 1717=289（人） 解法二 利用去掉横竖各排时，去掉的总人数为：减少后的每行人数2+1，求出 减少人数后的团体操队列的每行人数，再求参加团体撮的运动员人数。 （331）2=16（人） 1616+33=289（人） 答：参加团体操表演的有 289 人。 数 学 运 算 解 题 技 巧 时 钟 问 题 时 钟 问 题 的 关 键 点 ： 时 针 每 小 时 走 30 度 分 针 每 分 钟 走 6 度 分 针 走 一 分 钟 （ 转 6 度 ） 时 ， 时 针 走 0 5 度 ， 分 针 与 时 针 的 速 度 差 为 度 。 请 看 例 题 ： 【 例 题 1】 从 时 到 时 ， 钟 的 时 针 与 分 针 可 成 直 角 的 机 会 有 ： 次 次 次 次 【 解 析 】 时 针 与 分 针 成 直 角 ， 即 时 针 与 分 针 的 角 度 差 为 90 度 或 者 为 270 度 ， 理 论 上 讲 应 为 次 ， 还 要 验 证 ： 根 据 角 度 差 /速 度 差 =分 钟 数 ， 可 得 90/5 5= 16 又 4/11 60， 表 示 经 过 16 又 4/11 分 钟 ， 时 针 与 分 针 第 一 次 垂 直 ； 同 理 ， 270/5 5 = 49 又 1/11 60， 表 示 经 过 49 又 1/11 分 钟 ， 时 针 与 分 针 第 二 次 垂 直 。 经 验 证 ， 选 B 可 以 。 【 例 题 2】 在 某 时 刻 ， 某 钟 表 时 针 在 10 点 到 11 点 之 间 ， 此 时 刻 再 过 6 分 钟 后 的 分 针 和 此 时 刻 3 分 钟 前 的 时 针 正 好 方 向 相 反 且 在 一 条 直 线 上 ， 则 此 时 刻 为 A 10 点 15 分 B 10 点 19 分 C 10 点 20 分 D 10 点 25 分 【 解 法 1】 时 针 1011 点 之 间 的 刻 度 应 和 分 针 2025 分 钟 的 刻 度 相 对 ， 所 以 要 想 时 针 与 分 针 成 一 条 直 线 ， 则 分 针 必 在 这 一 范 围 ， 而 选 项 中 加 上 6 分 钟 后 在 这 一 范 围 的 只 有 10 点 15 分 ， 所 以 答 案 为 A。 【 解 法 2】 常 规 方 法 设 此 时 刻 为 X 分 钟 。 则 6 分 钟 后 分 针 转 的 角 度 为 6（ X+6） 度 ， 则 此 时 刻 3 分 钟 前 的 时 针 转 的 角 度 为 5（ ） 度 ， 以 0 点 为 起 始 来 算 此 时 时 针 的 角 度 为 5（ ） +1030 度 。 所 谓 “时 针 与 分 针 4 成 一 条 直 线 ”即 5（ ） +10306（ +6） =180 度 ， 解 得 =15 分 钟 。 例题：甲乙两个水管同时给一水池注水,当注满水时,甲乙两管注水量的比是 2:3,已知甲管单独 注满水池要 20 小时,乙管每小时可注水 6 立方米,它们同时注满全池,甲管比乙管少注多少立方 米? 答案正确， 由乙管每小时可注水 6 立方米和当注满水时,甲乙两管注水量的比是 2:3，可求出 甲管每小时可注水 4 立方米，从而求出水池的容积 42080 立方米。805（32）16 立 方米 例题：有甲、乙两根水管，分别同时给两个大小相同的水池 A 和 B 注水，在相同的时间内甲、 乙两管注水之比为 7：5。经过 2 又 1/3 小时，A、B 两池中已经注入水之和恰好是一池水。 此后，甲管的注水速度提高 25，乙管的注水速度降低 30。当甲管注满 A 池时，乙管还 需多长时间注满 B 池？ 不妨先设 A,B 的容积都是 1.甲乙两管每小时注水量分别为 X 和 Y 则:(7/3)*(X+Y)=1,且 5X=7Y 解之得:X=1/4,Y=5/28 之后:X=5/16,Y=1/8 易知:A 池还需:1-(7/3)*(1/4)/(5/16)=4/3 小时注满. B 池还需:1-(7/3)*(5/28)/(1/8)=14/3 小时注满. 所以 A 满后还需 10/3 小时 例题：由三个容量相同的水池,由甲.乙.丙三台注水机各专门注满一个,若甲.丙机同时放水 1 小 时 40 分后乙机放水,则甲乙同时注满水池,然后乙机立即协助丙机注水,又注了 24 吨,才与丙机 吧水池注满,已知甲机的注水速度是 20 吨,乙机的注水速度是丙机的 1.5 倍,且甲.乙.丙三台注水 机的每小时租用费分别是 12 元.13 元.10 元.求(1)乙丙两台注水机分别注满水池那个费用少?(2) 乙台注水机每小时的注水速度和每个水池的容量 . 由三个容量相同的水池,由甲.乙.丙三台注水机各专门注满一个,若甲.丙机同时放水 1 小时 40 分后乙机放水,则甲乙同时注满水池,然后乙机立即协助丙机注水,又注了 24 吨,才与丙机 吧水池注满,已知甲机的注水速度是 20 吨,乙机的注水速度是丙机的 1.5 倍,且甲.乙.丙三台 注水机的每小时租用费分别是 12 元.13 元.10 元.求(1)乙丙两台注水机分别注满水池那个费 用少?(2)乙台注水机每小时的注水速度和每个水池的容量. 解: 设丙的速度 x,则乙 1.5x,水 池容量 y y/1.5x+(1+40/60)=y/20 y=y/(1.5x)*x+24/(1.5x)*x+24 求出 x,y 速度和容量求出 后,算出几个小时,费用可以求出. 如何应对测验 用长远的目光来看待你的课程,投入极大的兴趣,付出艰辛,用自己行动来证明自己.胜利将 向你挥手,成功之门为你而开. 答题方略 1，把握考试时间 2，答题的顺序 3，严守考场纪律 4，保持心理稳定 5，学会放弃 数字敏感度训练 1、现在有 10 颗树，以怎样的栽植方式，能保证每行每列都是 4 颗？（画出种植图） 化学与数学的结合题型 2、水光潋影晴方好，山色空蒙雨亦奇。 欲把西湖比西子，淡妆浓抹总相宜。 宋 苏轼 饮湖上初晴后雨 后人追随意境，写了对联： 山山水水，处处明明秀秀。 晴晴雨雨，时时好好奇奇。 在 以下两式的左边添加适当的数学符号，使其变成正确的等式： 1122334455=10000 6677889900=10000 我们首先应该掌握的数列及平方数 自然数列：1，2，3。 。 。 。 。 奇数数列：1，3，5。 。 。 。 偶数数列：2，4，6。 。 。 。 素数数列（质数数列）：1，3，5，7，11，13。 。 。 。 自然数平方数列：1*，2*，3*。 。 。 。*=2 自然数立方数列：1*，2*，3*。 。 。*=3 等差数列：1，6，11，16，21，26 等比数列：1，3，9，27，81，243 无理式数列：。 。 。 。 。 。等 平方数应该掌握 20 以下的，立方数应该掌握 10 以下的；特殊平方数的规律也的掌握： 如，15，25， 。 。的平方心算法。 数量关系 数量关系测验主要是测验考生对数量关系的理解与计算的能力，体现了一个人抽象思维 的发展水平。 数量关系测验含有速度与难度的双重性质。解答数量关系测验题不仅要求考生具有数字 的直觉能力，还需要具有判断、分析、推理、运算等能力 . 知识程度的要求：大多数为小学知识，初中高中知识也只占极少部分。 一、数字推理 1.2000 年2003 年国家公务员考试数字推理的题量为 5 道题，2004 年国家公务员考试取 消了对数字推理这一题型的考查，2005 年又恢复了对该题型的考查，但题量增加为 10 道题， 从试卷结构分析来看，2006 年这一题型的题量为 5 道题左右。2007 年可能会增加至 10 道题。 2.题型考查重点将由二级数列转向三级数列 3.将由以前重点研究两个数字之间的关系到现在重点研究三个数字之间的关系 4.由以前顺序研究两个数字的关系，到跳跃研究数字之间的关系 5.平方数列将出现新的变化 6.数字与汉字的结合,会成为考试的一个难点 数字推理的题型分析 一、 等差数列及其变式 二、 等比数列及其变式 三、等差与等比混合式 四、求和相加式与求差相减式 五、 求积相乘式与求商相除式 六、 求平方数及其变式 七、求立方数及其变式 八、 双重数列 九、简单有理化式 十、汉字与数字结合的推理题型 十一、纯数字排列题目 二级等差数列的变式 1、相减后构成自然数列即新的等差数列 25，33， （） ，52，63 2、相减后的数列为等比数列 9，13，21， （） ，69 3、相减后构成平方数列 111，107，98， （） ，57 4、相减后构成立方数列 1，28，92， （） ，433 5、平方数列的隐藏状态 5 10，18，33， （） ，92 二级等比数列的变式 1、相比后构成自然数列（或等差数列） 6，6，12，36，144， （） 2、与交替规律的结合（相比后构成循环数列） 6，9，18，27（） 8，8，12，24，60， （） 3、常数的参与（采用+，-，*，/） 11，23，48，99， （） 3，8，25，74， （） 也可称做+1，-1 法则 其他例题我会尽快编出,供大家参考. 数字推理常见的排列规律 (1)奇偶数规律：各个数都是奇数(单数) 或偶数( 双数)； 自然数列，质数数列等 (2)等差：相邻数之间的差值相等，整个数字序列依次递增或递减。 (3)等比：相邻数之间的比值相等，整个数字序列依次递增或递减； (4)二级等差：相邻数之间的差或比构成了一个等差数列； (5)二级等比数列：相邻数之间的差或比构成一个等比数理； (6)加法规律：前两个数之和等于第三个数； (7)减法规律：前两个数之差等于第三个数； (8)乘法 (除法)规律：前两个数之乘积(或相除)等于第三个数； (9)完全平方数：数列中蕴含着一个完全平方数序列，或明显、或隐含； 2.数学运算 数学运算题主要考查解决四则运算等基本数字问题的能力。 数学运算的试题一般比较简短，其知识内容和原理多限于小学数中的加、减、乘、除四 则运算 解决实际问题的基本步骤： 实际问题（数字应用题）- 数学模型 推理 演算 实际问题的解- 还原说明-数学模型的解 1.数学计算的题量将继续保持在 15 道题左右 2000 年2004 年国家公务员考试数学计算的题量为 10 道题，2005 年国家公务员考试这 一题型的题量增加为 15 道题，从试卷结构分析来看，2006、2007 年这一题型的题量将继续 保持在 15 道题左右。 2.和日常生活结合起来考查专项知识 3.容斥原理重点考查三个集合的容斥关系 4.时钟问题将成为新考点 5.极为复杂的讨论题将成为考试的最难点 时钟问题 时针的速度是分针速度的 1/12，所以分针每分钟比时针多走 11/12 格。 例 1:现在是 3 点，什么时候时针与分针第一次重合？ 分析 3 点时分针与时针相差 15 格，要使分针与时针重合，即要分针比时针多走 15 格，才 能追上时针。而分针每分钟比时针多走 11/12 格，所以 15/（11/12）=16 又 4/11（分） . 例 7:在 10 点与 11 点之间，钟面上时针与分针在什么时刻垂直？ 分析 .（1） 、第一种情况：10 点时分针与时针相差 10 格，要使分针与时针垂直，分针要比 时针相差 15 格才行，所以分针要多走 5 格后才能与时针垂直。 .5/（11/12）=5 又 5/11(分） .（2） 、第二种情况：第二次垂直，分针要比时针多走 50-15=35 格，所以 .35/(11/12)=38 又 2/11(分） . 例 8:在 9 点与 10 点之间的什么时刻，分针与时针在一条直线上？ 分析 .分针与时针成 180 度角时，分针与时针相差 30 格，而 9 点时分针与时针相差 15 格， 所以要分针多走 15 格。 .15/（11/12）=16 又 4/11（分） 集合与容斥原理 集合是一种基本数学语言、一种基本数学工具。 19 世纪末，德国数学家康托 有限集元素的个数(容斥原理) 解题公式： (1) card(AB)card(A)card(B)card(AB)； (2) card(AB C) =card(A)+card(B)+card(C) -card(AB)-card(AC)- card(BC)+card(ABC) 例题： 开运动会时，高一某班共有 28 名同学参加比赛，有 15 人参加游泳比赛，有 8 人参加田 径比赛，有 14 人参加球类比赛，同时参加游泳比赛和田径比赛的有 3 人，同时参加游泳比赛 和球类比赛的有 3 人，没有人同时参加三项比赛，问同时参加田径比赛和球类比赛的有多少 人？只参加游泳一项比赛的有多少人？ 设 A参加游泳比赛的同学 ，B参加田径比赛的同学，C 参加球类比赛的同学 则 card(A)=15，card(B)=8，card(C)=14，card(A B C)=28 且 card(AB)=3，card(AC)=3，card(ABC)=0 由公式得 281581433card(BC)+0 即 card(BC)=3 所以同时参加田径和球类比赛的共有 3 人，而只参加游泳比赛的人有 15339(人) 数学计算的题型分析 1.四则运算、平方、开方基本计算题型 .大小判断 .典型问题 （）比例问题（）盈亏问题（）工程问题（）行程问题（）栽树问题（） 方阵问题（） “动物同笼 ”思维模型（）年龄问题（）利润问题（）面积问题 （）爬绳计算又称跳井问题（）台阶问题 （）余数计算（）日月计算 （）溶液问题（）和差倍问题（）排列组合问题（）计算预资问题 （）归一问题(20) 抽屉原理 (21)其他问题 数字计算的解题方法 .加强训练 提高对数字的敏感度 .掌握一些数学计算的解题方法及技巧 .认真审题 把握题意 .寻找捷径 多用简便方法 .利用排除法提高做题数字计算的规律方法概括 .基本计算方法 （）尾数估算法 （）尾数确定法 （）凑整法 是简便运算中最常用的方法，即根据交换律、结合律把可以凑成 10、20、30、50、100。 。 。的数放在一起运算，从而提高运算速度。基本的凑整算式： 25*8=200 等。 （）补数法 a、直接利用补数法巧算 b、间接利用补数法巧算又称凑整去补法 （）基准数法 当遇到两个以上的数相加且这些数相互接近时，取一个数做基准数，然 后再加上每个加数与基准数的差，从而求和。 （6）数学公式求解法 6 如：完全平方差、完全平方和公式的运用考查。 （7）科学计数法的巧用 .工程问题的数量关系 工作量工作效率 x 工作时间 工作效率工作量 /工作时间 总工作量各分工作量之和 此类题：一般设总的工作量为 1； 3.行程问题 （1）相遇问题 甲从 a 地到 b 地，乙从 b 地到 a 地，然后两人在途中相遇，实质上是甲乙一起走了 ab 之 间这段路程，如果两人同时出发，那么：ab 之间的路程 =甲走的路程+乙走的路程=甲的速度* 相遇时间+乙的速度*相遇时间=甲乙速度和*相遇时间 相遇问题的核心是速度和时间的问题 （2）追及问题 追及路程=甲走的路程乙走的路程=甲乙速度差*追及时间 追及问题的核心是速度差问题 （3）流水问题 顺水速度=船速+水速 逆水速度=船速水速 因此 船速=（顺水速度+逆水速度）/2 水速= （顺水速度逆水速度）/2 4.植树问题 （1）不封闭路线 (a)两端植树，则颗树比段数多 1； 颗树=全长/段数+1 （b）一端植树，则颗数与段数相等； 颗数=全长/段数 （c）两端不植树，则颗数比段数少 1。 颗数=全长/段数-1 (2)封闭路线 植树的颗数=全长/段数 6，跳井问题或称爬绳问题 完成任务的次数=井深或绳长-每次所爬米数+1 7，年龄问题 方法 1：几年后的年龄=大小年龄差/倍数差-小年龄 几年前的年龄=小年龄-大小年龄差/倍数差 方法 2：一元一次方程解法 方法 3：结果代入法，此乃最优方法 甲对乙说：当我的岁数是你现在岁数时，你才 4 岁。乙对甲说：当我的岁数到你现在岁 数时，你将有 67 岁。甲乙现在各有（ ） 。 A45 岁，26 岁 B46 岁，25 岁 C47 岁，24 岁 D48 岁，23 岁 甲-4=甲- 乙，67-甲= 甲-乙 8，鸡兔同笼问题 1， 孙子算经解法：设头数为 a,足数是 b。则 b/2-a 是兔数，a-(b/2-a)是鸡数。 2， 丁巨算法解法：鸡数=（4*头总数-总足数）/2 兔数=总数- 鸡数 兔数=（总足数-2*头总数）/2 鸡数=总数-兔数 著名古典小说镜花缘中的米兰芬算灯用的也是鸡兔同笼问题的解法。 9，溶液问题 溶液=溶质+溶剂 浓度=溶质/溶液=溶质的质量分数 此类题涉及的考查类型： （1）稀释后，求溶质的质量分数； （2）饱和溶液的计算问题； 注意：一种溶剂可以同时和几种溶质互溶。有关溶液混合的计算公式是： m(浓)c ( 浓)+m( 稀)c(稀)= m(混)c (混) 由于 m(混)=m(浓)+m(稀)，上式也可以写成： m(浓)c ( 浓)+m( 稀)c(稀) = m(浓 )+m(稀)c(混) 此式经整理可得： m(浓)c(浓)-c (混) =m(稀)c(混)-c (稀) 10、利润问题 利润销售价（卖出价）成本 利润率利润成本（销售价成本）成本销售价成本 销售价成本（利润率） 成本销售价（利润率） 利润总额 =营业利润+投资收益(减投资损失） +补贴收入+营业外收入- 营业外支出 营业利润=主营业务利润+其他业务利润-营业费用 -管理费用-财务费用 主营业务利润=主营业务收入-主营业务成本- 主营业务税金及附加 其他业利润=其他业务 收入-其他业务支出 1、资本金利润率 是衡量投资者投入企业资本的获利能力的指标。其计算公式为： 资本金利润率=利润总额/资本金总额 X100% 企业资本金利润率越高，说明企业资本的获利能力越强。 2、销售收入利润率 是衡 量企业销售收入的收益水平的指标，其计算公式是： 销售收入利润率=利润总额/销售收入净额 X100% 销售收入利润率是反映企业获利能力的重要指标，这项指标越高，说明企业销售收入获 取利润的能力越强。 3、成本费用利润率 是反映企业成本费用与利润的关系的指标。其 计算公式为： 成本费用利润率=利润总额/成本费用总额 X100% 、预资问题 对预资问题的分析，我们会发现此类问题与比例问题是相通的。按照比例问题的解法对 预资问题同样适用。 、面积问题 解决面积问题的核心是“割、补” 思维，既当我们看到一个关于求解面积的问题，不要立 刻套用公式去求解，这样解会进如误区。 对于此类问题的通常解法是“辅助线法” ，即通过引入新的辅助线将图形分割或者补全为 很容易求得面积的规则图形，从而快速求的面积。 、和、差、倍问题 求大小两个数的值 () 、 （和差）较大数 () 、 （和差）较小数 和差问题的基本解题方法是： () 、 （和差）较大数 较大数差较小数 （和差）较小数 较小数差较大数 () 、一元一次方程解法 1、南京长江大桥共分两层，上层是公路桥，下层是铁路桥。铁路桥和公路桥共长 11270 米，铁路桥比公路桥长 2270 米，问南京长江大桥的公路和铁路桥各长多少米？ 2、三个小组共有 180 人，一、二两个小组人数之和比第三小组多 20 人，第一小组比第 二小组少 2 人，求第一小组的人数 3、甲、乙两筐苹果，甲筐比乙筐多 19 千克，从甲筐取出多少千克放入乙筐，就可以使 乙筐中的苹果比甲筐的多 3 千克？ 4、在一个减法算式里，被减数、减数与差的和等于 120，而减数是差的 3 倍，那么差等 7 于多少？ 1 分析：和差基本问题，和 1127 米，差 2270 米，大数=（和+差）/2，小数=（和-差） /2。 解：铁路桥长=（11270+2270）/2=6770 米，公路桥长=（11270-2270 ）/2=4500 米。 2 分析：先将一、二两个小组作为一个整体，这样就可以利用基本和差问题公式得出第 一、二两个小组的人数和，然后对第一、二两个组再作一次和差基本问题计算，就可以得出 第一小组的人数。 3 分析：从甲筐取出放入乙筐，总数不变。甲筐原来比乙筐多 19 千克，后来比乙筐少 3 千克，也即对 19 千克进行重分配，甲筐得到的比乙筐少 3 千克。于是，问题就变成最基本的 和差问题：和 19 千克，差 3 千克。 4 分析：被减数=减数+差，所以，被减数和减数与差的和就各自等于被减数、减数与差 的和的一半，即： 被减数=减数+差=（被减数+减数+差）/2。因此，减数与差的和= 120/2=60。这样就是基本的和倍问题了。小数=和/（倍数+1） 解：减数与差的和=120/2=60， 差=60/（3+1）=15 、排列、组合问题 例 1书架上放有 3 本不同的数学书，5 本不同的语文书，6 本不同的英语书。 （1）若从这些书中任取一本，有多少种不同的取法？ （2）若从这些书中取数学书、语 文书、英语书各一本，有多少种不同的取法？ （3）若从这些书中取不同的科目的书两 本，有多少种不同的取法。 解：（1）由于从书架上任取一本书，就可以完成这件事， 故应分类，由于有 3 种书，则分为 3 类然后依据加法原理，得到的取法种数是：3+5+6=14 种。 （2）由于从书架上任取数学书、语文书、英语书各 1 本，需要分成 3 个步骤完成，据 乘法原理，得到不同的取法种数是：356=90（种） 。 （3）由于从书架上任取不同科 目的书两本，可以有 3 类情况（数语各 1 本，数英各 1 本，语英各 1 本）而在每一类情况中 又需分 2 个步骤才能完成。故应依据加法与乘法两个原理计算出共得到的不同的取法种数是： 35+36+56=63（种） 。 例 2 、 5 位高中毕业生，准备报考 3 所高等院校，每人报且只报一所，不同的报名方法 共有多少种? 解： 5 个学生中每人都可以在 3 所高等院校中任选一所报名，因而每个学生都有 3 种不 同的 报名方法，根据乘法原理，得到不同报名方法总共有 33333=35(种) 15、盈亏问题 把一定数量（未知）平分成一定份数（未知） ，根据两次试分的盈（或亏）数量与每次试 分的每份数量，求总数量和份数的公式是 份数=两次盈（或亏）的相差数量两次每份数量差， 总数量=每份数量份数+盈（或亏） 1、用绳测井深，把绳三折，井外余 2 米，把绳四折，还差 1 米不到井口，那么井深多少 米？绳长多少米？ 典型盈亏问题。盈亏总数=3*2+4*1=10 米。 解答：井深=（3*2+4*1）/（4-3）=10 米， 绳长=（10+2）*3=36 米。 2、有一个班的同学去划船。他们算了一下，如果增加 1 条船，正好每条船坐 6 人；如果 减少 1 条船，正好每条船坐 9 个人。问：这个班共有多少名同学？ 分析：增加一条和减少一条，前后相差 2 条，也就是说，每条船坐 6 人正好，每条船坐 9 人则空出两条船。这样就是一个盈亏问题的标准形式了。 解答：增加一条船后的船数 =9*2/（9-6 ）=6 条，这个班共有 6*6=36 名同学。 固定算法 某些数学应用的固定算法 1 四个连续自然数的积为 1680，它们的和为（ ） A 、26 B、52 C、20 D、28 解析：四个连续自然数，为两个积数和两个偶数，它们的和可以被 2 整除，但是不能被 4 整 除，选项中只有 26 符合。 2、有 300 张多米诺骨牌，从 1300 编号，每次抽取奇数牌，问最后剩下的一张牌是多少 号？ 答案是 256 号。 解析：总结出的公式是：小于等于总数的 2 的 N 次方的最大值就是最后剩下的序号。 3、 一本 300 页的书中含“1” 的有多少页？ 答案是 160 页 解析：关于含“1”的页数问题，总结出的公式就是：总页数的 1/10 乘以 2，再加上 100。 4 有一个数，除以 3 余 2，除以 4 余 1，问这个数除以 12 余数是几？ A、4 B、5 C、6 D、7 解析：设这个数除以 12，余数是 A，那么 A 除以 3 余数是 2；A 除以 4，余数是 1。而在 1、2.11 中，符合这样条件的 A 只有 5。 5、 中午 12 点，时针与分针完全重合，那么到下次 12 点，时针与分针重合多少次？ 答案：11 次 解析：关于钟表指针重合的问题，有一个固定的公式：61T=S（S 为题目中最小的单位在题目 所要求的时间内所走的格书，确定 S 后算出 T 的最大值就知道相遇多少次。 ） 6、一个边长为 8 的正立方体，由若干个边长为 1 的正立方体组成，现在要将大立方体表面涂 漆，问一共有多少小立方体被涂上了颜色？ 答案：296 解析：公式：（大正方形的边长的 3 次方）（大正方形的边长2）的 3 次方。 利润率利润/成本 增长率增长额/第一年 平均效率总量/总时间 在抽水问题中：动机效率（台数虚拟单位效率 1）渗水率时间 是一个恒定量。 六所学校派代表开会，选所有路程最短的学校，应重点考虑派代表最多的学校。 P 除以 10 余 9，除以 9 余 8，除以 8 余 7， 100P1000, 可知 P1 则是 10、9、8 的公倍数 为 2549360， 9810720，则 P359、719 300 张牌，总是拿掉奇数牌。最后剩下的是 2 的 n 次方300，n 的最大值。 总是拿掉偶数牌， 最后剩下的是第一张牌 N 个人俩俩握手，则总握手数 s（n 1）a1a(n1)/2=（n1）1 1+(n-2)/2=n2 n/2 集合问题的三个圆圈相交： S1S2+S3S （总人数）2j（三块共有） j1（两块共用）j2（两块共用）j3（两块 共用） 剩余价值与可变资本的比例关系称为剩余价值率 利润率利润/成本 增长率增长额/第一年 利率总额年数年利率 平均效率总量/总时间 在抽水问题中：动机效率（台数虚拟单位效率 1）渗水率时间 是一个恒定量。 球体积4PIr 的立方/3 球表面积4PIr 的平方 等差：AnA1（n1）d Sn=n(A1+An)/2 等比：An=A1q 的 n-1 次方 Sn=A1(1-q 的 n 次方)/1-q 观察法：末数求值：23437343 的最后两位 即：4343 的末数为 49 1 海里1.852 千米 8 过多少天是星期几，关键看多少天能否被 7 整除，余几天。 六所学校派代表开会，选所有路程最短的学校，应重点考虑派代表最多的学校。 甲除以 13 余 9 甲13m9 （m 为正整数） Ab 与 ba 的差是 s 的 4 倍，则有 4sa10b（b10a） 经常用于祖孙三代年龄问题 多位数相加时：abcddcba 应用观察法，首数乘乘 ab，尾数乘乘 da。 3 条纸带首尾相接，有 2 个 1 厘米的重合点，则比不重合相接牺牲了 2 厘米。 （可推而广之， 如果是 n 条纸带呢？） 很多时候，8 个以内的穷举法是最笨却最实际的办法。 P 除以 10 余 9，除以 9 余 8，除以 8 余 7， 100P1000, 可知 P1 则是 10、9、8 的公倍数 为 2549360， 9810720，则 P359、719 300 张牌，总是拿掉奇数牌。最后剩下的是 2 的 n 次方300，n 的最大值。 总是拿掉偶数牌， 最后剩下的是第一张牌 N 个人彼此握手，则总握手数 s（n 1）a1a(n1)/2=（n1）1 1+(n-2)/2=n2 n/2 三个圆圈集合相交：S1S2+S3S（三圆总和）2j（三块共有）j1j2j3 几个圆相交最多把平面分割成 N2N+2 n 条线最多能画成多少个不重叠的三角形 F(n)F(n1) F(n2) 如 f（11）19 边长为 N 的立方体由边长为 1 的小立方体组成，一共有 N3 个小立方体，露在外面的小立方 体共有 N3（N2）3 已知四个连续自然数的积。四个连续自然数为两个积数和两个偶数，它们的和可以被 2 整除， 但是不能被 4 整除 A 除以 B 商是 5 余 5，A 除以 C 商是 6 余 6，A 除以 D 商是 7 余 7,则 A 是 5、6、7 的倍数 100*99*98*1 的结果后有多少个连续的零，则为 1000/5200 1000/25=40 1000/125=8 1000/625=1.235 则有 249 个零 去程速度 a 来程速度 b，平均速度为 v2ab/ （ ab） 关于含“1”的页数问题，总结出的公式就是：总页数的 1/5，再加上 100。 ll22nnn（n1）（2n1）6 钟表重合公式，公式为： x/5=(x+a)/60 a 为时钟前面的格数。 追击休息问题，起始的路程差/(速度差)追击时间 若有休息，则加上休息时间即可 用求包裹立方体的纸的大小，要求 1.纸的面积大于立方体表面积 2.要求纸的长宽要大 于立方体的展开