上海市松江区2017届高三4月教学质量(二模)数学试题含答案

松江区 2016高 三数学 （满分 150分，完卷时间 120分钟） 填空题（本大题满分 54分）本大题共有 12题，考生必须在答题纸相应编号的空格内直接填写结果， 第 1 6 题 每个空格填对得 4分， 第 7 12题 每个空格填对得 5分，否则一律得零分 1已知 ( ) 2 1，则 1(3)f 2已知集合 1 1 , 1 , 0 , 1 ,M x x N 则 3若复数122 , 2z a i z i （ i 是虚数单位） ， 且12则实数 a = 4直线 2232 （ t 为参数）对 应的普通方程是 5 若 1( 2 ) , 3n n nx x a x b x c n n N，且 4，则 a 的值为 6某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的侧面积是 7 若函数 ( ) 2 ( ) 1xf x x a 在区间 0,1 上有零点，则实数 a 的取值范围是 8 在约束条件 1 2 3 下，目标函数 2z x y 的 最大值为 9某学生在上学的路上要经过 2 个路口，假设在各路口是否遇到红灯是相互独立的，遇到红灯的概率都是 13，则这名学生在上学路上到第二个路口时第一次遇到红灯的概率是 10 已知椭圆 222 1 0 1 的左、右焦点分别为12记122FF c 若此椭圆上存在点 P ， 使 P 到直线 1距离是1则 b 的最大值为 11 如图 同心圆中 ， 大、小圆的半径 分别 为 2和 1， 点 P 在 大圆上， 小圆相切于点 A ， Q 为小圆上的点，则 Q 的 取 值范围是 12已知递增数列 017 项 ，且各项均不为零，2017 1a ， 如果从 任取两项 , 时 ，是数列 项，则数列 二、选择题 (本大题满分 20 分 )本大题共有 4题，每题有 且只有一个正确答案，考生必须在答题纸相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得 5分，否则一律得零分 . 13设 分别是两条异面直线12方向向量，向量 夹角的取值范围为 A ，12成角的取值范围为 B ，则 “ A ” 是 “ B ” 的 (A) 充要条件 (B) 充分不必要条件 (C) 必要不充分条件 (D) 既不充分也不必要条件 14 将函数 s i 图像上的点 ,4向左平移 ( 0)个单位 ， 得到点 P ，若 P 位于函数 的图像上，则 (A) 12t， s 的最小值为6(B) 32t， s 的最小值为6(C) 12t， s 的最小值为12(D) 32t， s 的最小值为1215 某条公共汽车线路收支差额 y 与乘客量 x 的函数关系如图所示（收支差额 车票收入 支出费用），由于目前本条线路亏损，公司有关人员提出了两条建议：建议 ( )不改变车票价格，减少支出费用；建议 ( )不改变支出费用，提高车票价格，下面给出的四个图形中，实线和虚线分别表示目前和建议后的函数关系，则 (A) 反映了建议（），反映了建议（） (B) 反映了建议（），反映了建议（） (C) 反映了建议（），反映了建议（） (D) 反映了建议（），反映了建议（） 16 设函数 ()y f x 的定义域是 R ，对于以下四个命题： (1) 若 ()y f x 是奇函数，则 ( ( )y f f x 也是奇函数； (2) 若 ()y f x 是周期函数，则 ( ( )y f f x 也是周期函数； (3) 若 ()y f x 是单调递减函数，则 ( ( )y f f x 也是单调递减函数； (4) 若函数 ()y f x 存在反函数 1()y f x ，且函数 1( ) ( )y f x f x 有零点，则函数 ()y f x x也有零点 其中正确的命题共有 (A) 1个 (B) 2个 (C) 3个 (D) 4个 三解答题（本大题 满分 76分）本大题共有 5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤 17（本题满分 14分；第 1小题 6分，第 2小题 8分） 直三棱柱 111 中，底面 等腰直角三角形 ， ，2 41 M 是侧棱 1一点 ， 设 (1) 若 ，求 h 的值； (2) 若 2h ，求 直线1成的角 18（本题满分 14分；第 1小题 6分，第 2小题 8分） 设函数 ( ) 2，函数 ()y 轴对称 (1)若 ( ) 4 ( ) 3f x g x，求 x 的值； (2)若存在 0,4x ，使不等式 3)2()( 立，求实数 a 的取值范围 19（本 题满分 14分；第 1小题 6分，第 2小题 8分） 如图所示， 是某海湾旅游区的一角，其中 120为了营造更加优美的旅游环境，旅游区管委会决定在直线海岸 分别修建观光长廊 中 宽长廊，造价是 80 元 /米， 窄长廊，造价是 40 元 /米，两段长廊的总造价为 120 万元，同时在线段 靠近点 B 的三等分点 D 处建一个观光平台，并建水上直线通道 平台大小忽略不计），水上通道的造价是 1000元 /米 (1) 若规划在三角形 域内开发水上游乐项目，要求 的面积最大，那么 长度分别为多少米？ (2) 在 (1)的条件下，建直线通道 需要多少钱？ 20（本题满分 16分；第 1小题 4分，第 2小题 6分，第 3小题 6分） 设直线 l 与抛物线 2 4相交于 不同 两点 A 、 B ，与圆 )0()5( 222 相切于点 M ，且 M 为线段 点 (1) 若 是正三角形（ O 是坐标原点），求此三角形的边长； (2) 若 4r ，求直线 l 的方程 ； (3) 试 对 0,r 进行 讨论， 请你 写出符合条件的直线 l 的 条 数 （直接写出结论） 21（本题满分 18分；第 1小题 4分，第 2小题 6分，第 3小题 8分） 对于数列 义1 2 2 3 1n n nT a a a a a a ， * (1) 若是否存在 *，使得 2017？请说明理由； (2) 若1 3a， 61，求数列 通项公式； (3) 令 21*11212 2 ,n n n T n n N ，求证： “ 的充要条件是 “ 项为等差数列 ， 且 松江区二模考试数学试卷题（印刷稿） （参考答案） 填空题（ 本大题 共 54分） 第 1 6题 每个空格填对得 4分， 第 7 5题 每个空格填对得5分 1 2 2 1,0 3 1 4 10 5 16 6 4 10 7 1 ,128 9 9 29 10 32 11 3 3 , 3 3 12 1009 二、选择题 （每小题 5分，共 20 分） 13 C 14 A 15. B 16 B 三解答题（共 78分） 17（ 1）以 A 为坐标原点，以射线 1别为 x 、 y 、 z 轴建立空间直角坐标系，如图所示， 则 )0,0,2(B , )4,0,0(1A ， )0,2,0(C ， ),2,0( 2分 ),2,2( ， )4,2,0(1 4分 由 得 01 即 0422 h 解得 1h 6分 (2) 解法一：此时 (0, 2, 2)M 12 , 0 , 0 , 0 , 2 , 2 , 2 , 0 , 4A B A M B A 8分 设 平面 一个法向量为 ( , , )n x y z 由 00n M 得 00所以 (0,1, 1)n 10分 设 直线1成的角 为 则 114 1 0s i 0n B A 12 分 所以 直线1成的角 为 10 14分 解法二：联结11A M 1,A B A C A B A A， 平面11 8分 1 M1平面 所以1 直线1成的角 ； 10分 在1A ，112 2 , 2 1 0A M A B所以 1112 2 1 0s i 0 12 分 所以110a r c s i n 5A B M 所以 直线1成的角 为 10 14分 18 （ 1）由 ( ) 4 ( ) 3f x g x得 2 4 2 3 2分 22 3 2 4 0 所以 21x （舍）或 24x ， 4分 所以 2x 6分 （ 2）由 ( ) ( 2 ) 3f a x g x 得 22 2 3a x x 8分 22 2 3a x x 2 2 3 2a x x 10分 而 2 3 2 2 3 ，当且仅当 42 3 2 , l o g 3 0 , 4xx x 即时取等号 12 分 所以 2 2 3a ，所以211 lo g 32a 14分 19 （ 1）设 为 x 米， 为 y 米，依题意得 8 0 0 4 0 0 1 2 0 0 0 0 0， 即 2 3000 ， 2分 1 s i n 1 2 02x y 43 4分 283 22283 281250 3 2m 当且仅当 ，即 7 5 0 , 1 5 0 0时等号成立， 所以当 的面积最大时， 50米和 1500米 6分 （ 2）在 (1)的条件下，因为 7 5 0 , 1 5 0 0A B m A C m 由 2133A D A B A C 8分 得 22 2133A D A B A C22 919494 10分 224 4 1 17 5 0 7 5 0 1 5 0 0 ( ) 1 5 0 09 9 2 9 250000 | | 500， 12 分 1 0 0 0 5 0 0 5 0 0 0 0 0 元 所以，建水上通道 需要 50 万元 14分 解法二：在 中， 120c o 227 5 0 1 5 0 0 2 7 5 0 1 5 0 0 c o s 1 2 0 7750 8分 在 中， 2c o 775075021500)7750(750 222 772 10分 在 中， c o 772)7250(7502)7250(750 22 =50 12分 1 0 0 0 5 0 0 5 0 0 0 0 0 元 所以，建水上通道 需要 50 万元 14 分 解法三：以 x 轴建立平面直角坐标系，则 )0,0(A ， )0,750(B )1 2 0s 0 0,1 2 0c o 0 0( C ,即 )3750,750(C ，设 ),( 00 8分 由 2B ，求得325025000 所以 2 5 0 , 2 5 0 3D 10分 所以， 22 )03250()0250(| 00 12 分 1 0 0 0 5 0 0 5 0 0 0 0 0 元 所以，建水上通道 需要 50 万元 14 分 20 (1)设 的边长为 a ，则 A 的坐标为 31( , )22 2分 所以 2134,22 所以 83a 此三角形的边长为 83 4分 (2)设直线 :l x ky b 当 0k 时 ， 1, 9符合题意 6分 当 0k 时， 22 4 4 04x k y b y k y 8分 2 2 21 2 1 21 6 ( ) 0 , 4 , 4 2 ( 2 , 2 )k b y y k x x k b M k b k 11,A B C M A Bk k k k 22 2 3225CM kk k b 2 2 21 6 ( ) 1 6 ( 3 ) 0 0 3k b k k 2254 2 11 2 3 0 , 3k ， 舍去 综上所述，直线 l 的方程为： 1, 9 10 分 (3) 0 , 2 4 , 5r 时，共 2条； 12分 2,4r 时，共 4条； 14分 5,r 时，共 1条 16分 21 ：（ 1）由 0，可知数列 2 分 计算得17 1 9 3 8 2 0 1 7T ，18 2 2 8 0 2 0 1 7T ， 所以不存在 *，使得 2017； 4分 （ 2）由 61，可以得到当 *2,n n N时， 1111 ( 6 1 ) ( 6 1 ) 5 6n n nn n n na a T T ， 6分 又因为1 2 1 5a a T， 所以 1*1 5 6 ,a n N ， 进而得到 *12 5 6 ,a n N ， 两式相除得*2 6, ， 所以数列21，2的等比数列， 8分 由1 3a，得2 53a ， 所以1*22*23 6 2 1 ,5 6 2 ,3k k k k N ； 10 分 （ 3）证明：由题意 1 2 1 2 3 1 22b T T a a a a ， 当 *2,n n N时，1 1 1 2 12n n n n n n n T T a a a a ， 因此，对任意 *，都有1 2 1n n n n nb a a a a 12分 必要性 ( )：若 妨设na bn c，其中 , 显然2 1 3 2 4 3a a a a a a ， 由于1 2 1n n n n nb a a a a = 2212( ) 2 2 2n n na a a b n b b c ， 所以对于 *， 21 2b b 为常数， 故 14 分 充分性 ( )：由于 项为等差数列，不妨设公差为 d 当 3 ( 1)n k k 时，有4 1 3 1 2 13 , 2 ,a a d a a d a a d 成立。 15 分 假设 *3 ( 1 , )n k k k N 时 即3 2 13 , 2 ,k k k k k ka a d a a d