2011届高三数学一轮复习 第六章 精品课件(打包5套) 新人教A版必修5
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2011届高三数学一轮复习 第六章 精品课件(打包5套) 新人教A版必修5,高三,数学,一轮,复习,温习,第六,精品,课件,打包,新人,必修
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第 4课时 数列求和 求数列的前 1公式法 (1)等差数列的前 . 基础知识梳理 n ( a 1 a n )2 n ( n 1 )2 d (2)等比数列前 当 q 1时， 基础知识梳理 当 q 1 时 ， S n a 1 ( 1 qa 1 a n q. 2分组转化法 把数列的每一项分成两项，使其转化为几个等差、等比数列，再求解 3裂项相消法 把数列的通项拆成两项之差求和，正负相消剩下首尾若干项 基础知识梳理 4倒序相加法 把数列正着写和倒着写再相加 (即等差数列求和公式的推导过程的推广 ) 5错位相减法 主要用于一个等差数列与一个等比数列对应项相乘所得的数列的求和，即等比数列求和公式的推导过程的推广 基础知识梳理 答案： B 三基能力强化 1 数列 a n 的前 n 项和为 S n ， 若a n 1n ( n 1 )， 则 S 5 等于 ( ) A 1 13 B 10 C 9 D 6 答案： D 三基能力强化 2 已知数列 a n 的通项公式是 a n2 n 12 n， 其前 n 项和 S n 32164， 则项数n 等于 ( ) 3数列 ( 1)nn的前 2010项的和 ) A 2010 B 1005 C 2010 D 1005 答案： D 三基能力强化 三基能力强化 4 ( 教材习题改编 ) 已知 a n n13 n， 则数列 a n 的前 n 项和 S n _ _ _ _ _ _ _ _ . 答案： 12 ( n 2 n 1 13 n ) 5在数列 ， 1， ，且 2 1 ( 1)n(n N*)，则 _. 答案： 2600 三基能力强化 分组转化求和就是从通项入手，若无通项，则先求通项，然后通过对通项变形，转化为等差或等比或可求数列前 课堂互动讲练 考点一 分组转化求和 课堂互动讲练 例 1 已知数列 前几项是 3 21,6 22 1,9 23 1,12 24 1，写出数列 通项并求其前 n. 【 思路点拨 】 课堂互动讲练 先求通项 转化为几个易求和数列形式 分别求和 得结论 【 解 】 由已知得，数列 通项公式为 3n 2n 1 3n 12n， (2 5 3n 1) (2 22 2n) 课堂互动讲练 n ( 2 3 n 1 )22 ( 1 2 n )1 212n (3 n 1) 2 n 1 2. 【 规律小结 】 分组转化求和常见类型及方法 (1)b，利用等差数列前 (2)a1，利用等比数列前 (3)列 等比数列或等差数列，采用分组求和法求前 提醒 ：应用等比数列前 注意公比 课堂互动讲练 课堂互动讲练 互动探究 例 1 中如果已知数列的通项公式a n 1a n 1 3 n 2 ， 求其前 n 项和 S n . 解： 前 n 项和为 S n (1 1) (1a4) (1 7) (1 1 3 n 2) (11a1 1 1 ) 1 4 7 (3 n 2) ， 课堂互动讲练 设 S 1 1 1a1 1 1 ， 当 a 1 时， S 1 n ；当 a 1 时，S 1 1 1 ， S 2 1 4 7 (3 n 2) ( 3 n 1 ) 课堂互动讲练 当 a 1 时， S n S 1 S 2 n ( 3 n 1 ) 3 n 1 ) 当 a 1 时， S n S 1 S 2 1 1 ( 3 n 1 ) 1利用裂项相消法求和时，应注意抵消后并不一定只剩下第一项和最后一项，也有可能前面剩两项，后面也剩两项，再就是将通项公式裂项后，有时候需要调整前面的系数，使裂开的两项之差和系数之积与原通项公式相等 课堂互动讲练 考点二 裂项相消求和 课堂互动讲练 2 一般情况如下 ， 若 a n 是等差数列 ， 则1a n a n 11d(1a n1a n 1) ，1a n a n 212 d(1a n1a n 2) 此外根式在分母上时可考虑利用有理化因式相消求和 课堂互动讲练 例 2 已知等差数列 首项 ，前 n，且 2比数列 足(1)求证：数列 的每一项都是数列 的项； ( 2 ) 若 a 1 2 ，设 c n 2l o g 2 b n l o g 2 b n 1，求数列 c n 的前 n 项和 T n . (3)在 (2)的条件下，若有 f(n) f(1) f(2) f(n)的和 【 思路点拨 】 (1)由已知条件寻找 (2)表示出 【 解 】 (1)证明：设等差数列公差为 d， 由 2 46d d 66d， d， 则 (n 1)d 24 课堂互动讲练 课堂互动讲练 等比数列 b n 的公比 q b 2b 1 2 ， 则 b n 2 a 1 2n 1 2na 1 ， 2n N*， b n 中的每一项都是 a n 中的项 课堂互动讲练 ( 2 ) 当 2 时， 2n 1， ( n 1 ) ( n 2 ) 2(1n 11n 2) 则 2(12131314 1n 11n 2) 2(121n 2) 2. 课堂互动讲练 ( 3 ) f ( n ) l o l o 2. f ( 1 ) f ( 2 ) f ( n ) l o l o l o 2 l o 324 2) l o n 1 ) ( n 2 ). 课堂互动讲练 【规律总结】 常见的拆项公式有： ( 1 )1n ( n 1 )1n1n 1； ( 2 )1n ( n k )1k(1n1n k) ； ( 3 )1( 2 n 1 ) ( 2 n 1 )12(12 n 112 n 1) ； 课堂互动讲练 ( 4 )1n ( n 1 ) ( n 2 )121n ( n 1 )1( n 1 ) ( n 2 ) ； ( 5 )1n n 1 n 1 n ； ( 6 )1n n k1k( n k n ) 1如果数列 等差数列，等比数列，求数列 an前 采用错位相减法 2用乘公比错位相减法求和时，应注意 课堂互动讲练 考点三 错位相减法求和 (1)要善于识别题目类型，特别是等比数列公比为负数的情形； (2)在写出 “ “表达式时应特别注意将两式 “错项对齐 ”以便下一步准确写出 “表达式 课堂互动讲练 课堂互动讲练 例 3 (2009年高考山东卷 )等比数列 前 n，已知对任意的n N*，点 (n， 在函数 y bxr(b0且 b1， b， 的图象上 (1)求 ( 2 ) 当 b 2 时 ， 记 n 14 a n( n N * ) ， 求数列 b n 的前 n 项和 T n . 【 思路点拨 】 (1)表示出 用等比数列的定义求得 r； (2)采用错位相减法求和 【 解 】 (1)由题意， r， 当 n2时， 1 1 r. 所以 1 1(b 1) 由于 b0且 b1， 所以 n2时， 以 又 b r， b(b 1)， 课堂互动讲练 课堂互动讲练 b ，即b ( b 1 )b r b ，解得 r 1. ( 2 ) 由 ( 1 ) 知， n N*， ( b 1) 1 2n 1， 所以 bnn 14 2n 1n 12n 1. 22 323 424 n 12n 1， 课堂互动讲练 1223 324 1n 12n 2， 两式相减得1222 123 124 12n 1n 12n 212123 ( 1 12n 1)1 12n 12n 23412n 1n 12n 2， 故 212nn 12n 132n 32n 1. 【 误区警示 】 利用错位相减法求和时，转化为等比数列求和若公比是个参数 (字母 )，则应先对参数加以讨论，一般情况下分等于 1和不等于 1两种情况分别求和 课堂互动讲练 对于由递推关系给出的数列，常借助于 1 1转换为 1的关系式或 n 1的关系式，进而求出 课堂互动讲练 考点四 数列求和的综合应用 课堂互动讲练 例 4 (解题示范 )(本题满分 12分 ) 设数列 足 a， 1 1 c， n N*，其中 a， . (1)求数列 通项公式； ( 2 ) 设 a 12， c 12， b n n (1 a n ) ，n N * ， 求数列 b n 的前 n 项和 S n . 【 思路点拨 】 (1)通过已知条件递推变形，构造等比数列或用迭代法求解 (2)利用错位相减法求 课堂互动讲练 【 解 】 (1)法一： 1 1 c()， 当 a1时， 1是首项为 a 1，公比为 1 (a 1)1， 即 (a 1)1 1. 当 a 1时， 1仍满足上式 . 3分 数列 通项公式为 (a 1)1 1(n N*). 4分 课堂互动讲练 法二：由题设得： n2时， 1 c(1 1) c2(2 1) 1(1) (a 1)1. (a 1)1 n 1时， 通项公式为 (a 1)1 1(n N*). 4分 课堂互动讲练 课堂互动讲练 ( 2 ) 由 ( 1 ) 得 n (1 a ) 1 n (12)n， 2 2(12)2 n (12)n， 6 分 12(12)2 2(12)3 ( n 1 ) (12)nn (12)n 1， 课堂互动讲练 122 (12)2 (12)n n (12)n 1， 1 12 (12)2 (12)n 1n (12)n 2 1 (12)n n (12)n. 2 (2 n )(12)n. 12 分 【 名师点评 】 数列综合问题、数列通项、数列求和从近几年高考看考查力度非常大，常以解答题形式出现，同时数列与三角函数、解析几何以及不等式证明问题相结合更是高考考查的重点本例既考查了数列通项，又考查了数列求和，同时也考查了不等式的证明，解题时注意分类讨论思想的应用 课堂互动讲练 (本题满分 12分 )已知数列 足 1 2n 2(n2)， 2. (1)求 成等差数列，若存在，求出 的值；若不存在，请说明理由； (3)求数列 前 n. 课堂互动讲练 高考检阅 ( 2 ) 是否存在一个实数 ， 使得数列 a n 2 n 解： (1)4 4 2 10， 20 8 2 30， 60 16 2 78. 3分 课堂互动讲练 ( 2 ) 假设存在一个实数 ，使得数列a n 2n 成等差数列， 则a n 2n a n 1 2n 1 2 a n 1 2n 2 2 a n 1 2 2n 课堂互动讲练 1 2 2n 恒为常数， 5 分 2 0 即 2 ， 此时22 2 ，222 22 1. 当 2 时数列 2n 是首项为2 、公差为 1 的等差数列 . 7 分 2 2 3 22 4 23 (n 1)2n 2n 22 22 3 23 4 24 (n 1)2n 1 4n 两式相减得： 课堂互动讲练 ( 3 ) 由 ( 2 ) 得a n 22 na 1 22 ( n 1) n 1 a n ( n 1 ) 2 n 2 9 分 2 2 22 23 2n (n 1)2n 1 2n n 2n 1 2n n 2n 1 2n. 12分 课堂互动讲练 1求数列通项的方法技巧： (1)通过对数列前若干项的观察、分析，找出项与项数之间的统一对应关系，猜想通项公式； (2)理解数列的项与前1(n2)的关系，并能灵活运用它解决有关数列问题 规律方法总结 2数列求和，如果是等差、等比数列的求和，可直接用求和公式求解，公式要做到灵活运用 3非等差、等比数列的一般数列求和，主要有两种思路： (1)转化的思想，即将一般数列设法转化为等差或等比数列，这一思想方法往往通过通项分解或错位相消来完成； 规律方法总结 (2)不能转化为等差或等比的特殊数列，往往通过裂项相消法、错位相减法、倒序相加法等来求和，要将例题中的几类一般数列的求和方法记牢 规律方法总结 随堂即时巩固 点击进入 课时活页训练 点击进入 第 5课时 数列的综合应用 1解答数列应用题的步骤 (1)审题 仔细阅读材料，认真理解题意 (2) 将已知条件翻译成数学(数列 )语言，将实际问题转化成数学问题，弄清该数列的特征、要求是什么 (3)求解 求出该问题的数学解 (4) 将所求结果还原到原实际问题中 基础知识梳理 还原 建模 2数列应用题常见模型 (1)等差模型：如果增加 (或减少 )的量是一个固定量时，该模型是等差模型，增加 (或减少 )的量就是公差 (2)等比模型：如果后一个量与前一个量的比是一个固定的数时，该模型是等比模型，这个固定的数就是公比 基础知识梳理 银行储蓄单利公式及复利公式是什么模型？ 【 思考 提示 】 单利公式 设本金为 期利率为 r，存期为n，则本利和 a(1 属于等差模型复利公式 设本金为 期利率为 r，存期为 n，则本利和 a(1 r)n，属于等比模型 基础知识梳理 (3)递推数列模型：如果题目中给出的前后两项之间的关系不固定，随项的变化而变化时，应考虑是 的递推关系，还是前 n 1之间的递推关系 基础知识梳理 1一套共 7册的书计划每两年出一册，若出完全部各册书公元年代之和为 14028，则出齐这套书的年份是( ) A 2004 B 2006 C 2008 D 2010 三基能力强化 解析 ： 选 x，则有 三基能力强化 7 x 7 62 2 1 4 0 2 8 ， 解得 x 2 0 1 0 . 2有一种细菌和一种病毒，每个细菌在每秒钟末能在杀死一个病毒的同时将自身分裂为 2个，现在有一个这样的细菌和 100个这样的病毒，问细菌将病毒全部杀死至少需要 ( ) A 6秒钟 B 7秒钟 C 8秒钟 D 9秒钟 答案 ： B 三基能力强化 A 10 B 11 C 12 D 13 答案 ： B 三基能力强化 3 已知函数 f ( x ) 32 x 11， 其对称中心是 (112， 0) ， 若 a n 32 n 11( n N*) ，记数列 a n 的前 n 项和为 S n ， 则使 S n 0的 n 的最小值为 ( ) 4已知三个数 a、 b、 函数 f(x) _ 答案 ： 0 三基能力强化 5某种产品三次调价，单价由原来的每克 512元降到 216元，则这种产品平均每次降价的百分率为_ 答案 ： 25% 三基能力强化 解等差数列应用题，首先要认真审题，深刻理解问题的实际背景，理清蕴含在语言中的数学关系，把应用问题抽象为数学中的等差数列问题，使关系明朗化、标准化然后用等差数列知识求解这其中体现了把实际问题数学化的能力，也就是所谓的数学建模能力 课堂互动讲练 考点一 等差数列模型的应用 课堂互动讲练 例 1 气象学院用 3 . 2 万元买了一台天文观测仪 ， 已知这台观测仪从启用的第一天起连续使用 ， 第 n 天的维修保养费为n 4910元( n N*) ， 使用它直至报废最合算 ( 所谓报废最合算是指使用的这台仪器的平均耗资最少 )为止 ， 一共使用了多少天 ？ 【 思路点拨 】 课堂互动讲练 列出平均耗资 转化为可利用基本不等式的形式 利用基本不等式求解 得出结论 元 (n N*)，可以得出观测仪的整个耗资费用，由平均费用最少而求得最小值成立时相应 设一共使用了 使用 课堂互动讲练 【解】 由第 n 天的维修保养费为 n 4910 课堂互动讲练 3 . 2 104( 5 n 4910) . 2 104n4 . 9 5 ， 当且仅当3 . 2 104n得最小值，此时 n 800. 即一共使用了 800 天 【 名师点评 】 解等差数列应用题的关键是建模，建模的思路是： 从实际出发，通过抽象概括建立数列模型，通过对模型的解析，再返回实际中去，其思路框图为： 课堂互动讲练 有许多问题以等比数列为模型，此类问题往往从应用问题给出的初始条件入手，推出若干项，逐步探索数列通项或前 前后两项的递推关系，从而建立等比数列模型，要注意题目给出的一些量的结果，合理应用 课堂互动讲练 考点二 等比数列模型的应用 课堂互动讲练 例 2 用分期付款的方式购买一批总价为 2300万元的住房，购买当天首付 300万元，以后每月的这一天都交 100万元，并加付此前欠款的利息，设月利率为 1%00万元之后的第一个月开始算分期付款的第一个月，问分期付款的第 10个月应付多少万元？全部贷款付清后，买这批房实际支付多少万元？ 【 思路点拨 】 应根据题意，计算出前几次还款的数额，探寻规律，判断每次还款数额构成的是等差数列还是等比数列，用相应数列知识解决问题 课堂互动讲练 【 解 】 购买时付款 300万元，则欠款2000万元，依题意分 20次付清，则每次交付欠款的数额顺次构成数列 故 00 2000 120(万元 )， 100(2000 100) 119(万元 )， 100(2000 100 2) 118(万元 )， 00 (2000 100 3) 117(万元 )， ， 100 2000 100(n1) 120 (n 1) 121 n(万元 )(1n20， n N*) 课堂互动讲练 因此 首项为 120，公差为 1的等差数列，故 121 10 111(万元 ) 121 20 101(万元 )课堂互动讲练 和为 S 20 ( a 1 a 20 ) 202( 120 1 0 1 ) 202 2 2 1 0 ( 万元 ) 实际要付 3 0 0 2 2 1 0 2510( 万元 ) 【 规律总结 】 处理分期付款问题 (1)准确计算出在贷款全部付清时，各期所付款额及利息 (注：最后一次付款没有利息 ) (2)明确各期所付的数额连同到最后一次付款时所生的利息之和，等于商品售价及从购买到最后一次付款时的利息之和，只有掌握了这一点，才可顺利建立等量关系 课堂互动讲练 1等差数列与等比数列相结合的综合问题是高考考查的重点，特别是等差、等比数列的通项公式，前 比中项问题是历年命题的热点 2利用等比数列前 时对两种数列的性质，要熟悉它们的推导过程，利用好性质，可降低题目的难度，解题时有时还需利用条件联立方程求解 课堂互动讲练 考点三 等差、等比数列的综合问题 课堂互动讲练 例 3 设 公比大于 1的等比数列，前 知 ，且 3,34构成等差数列 (1)求数列 通项； (2)令 1， n 1,2， ，求数列 前 n. 【 思路点拨 】 (1)利用条件联立方程求 后再求 (2)可知 等差数列，利用求和公式可解 课堂互动讲练 课堂互动讲练 【解】 ( 1 ) 由已知，得 7( 3 ) ( 4 )2 3 得 2. 设数列 的公比为 q ，由 2 ， 可得 q， 2 q ， 课堂互动讲练 又 S 3 7 ，可知2q 2 2 q 7 ， 即 2 5 q 2 0 ，解得 q 1 2 ，q 2 12. 由题意知 q 1 ， q 2 ， a 1 1. 故数列 a n 的通项为 a n 2n 1. (2)由于 1， n 1,2， ， 由 (1)得 1 23n， 又 1 3 等差数列 课堂互动讲练 T n b 1 b 2 b n n ( b 1 b n )2n ( 3 l n 2 3 n l n 2 )23 n ( n 1 )2l n 2 . 故 T n 3 n ( n 1 )2l n 2 . 【 思维总结 】 根据题目信息推断出 课堂互动讲练 例 3中若条件改为若数列 前 n 21， n N*. (1)求数列 通项； (2)令 1， n1,2， ，求数列 前 n. 课堂互动讲练 互动探究 解 ： (1)当 n 1时， 21，1， 当 n2时， 1 (21) (211)， 21， 数列 首项为 1，公比为 2的等比数列， 数列 通项公式是 2n 1. 课堂互动讲练 (2)由于 1， n 1,2， 由 (1)可得 1 23n， 3n， 等差数列， 堂互动讲练 n ( b 1 b n )2n ( 3 3 n )23 n ( n 1 )2. 数列的渗透力很强，它和函数、方程、三角、不等式等知识相互联系，优化组合，无形中加大了综合力度所以，解决此类题目仅靠掌握一点单科知识点，无异于杯水车薪，必须对蕴藏在数列概念和方法中的数学思想有所了解，深刻领悟它在解题中的重要作用，常用的数学思想方法主要有： “函数与方程 ”、 “数形结合 ”、“分类讨论 ”、 “等价转化 ”等 课堂互动讲练 考点四 数列与其他知识的综合问题 课堂互动讲练 例 4 (解题示范 )(本题满分 12分 ) 已知曲线 C： y x2(x0)，过 ,1)作曲线 1，再过点于点 过点 的切线 2，再过点 于点 ，依次作下去，记点 an(n N*) (1)求数列 通项公式； (2)设数列 前 n，求证：； ( 3 ) 求证 ： i 1iS i4 n 13 . 【 思路点拨 】 (1)利用 n 1的横坐标相同均为 1即可得 1的关系式，从而求得 (2)构建函数关系求最值即可证明 课堂互动讲练 【 解 】 (1) 曲线 n(an，的切线 切线 y 2an(x 2分 由于点 n 1的横坐标 1， 课堂互动讲练 课堂互动讲练 令 y 0 ，得 a n 1 12a n ， 4 分 数列 a n 是首项为 1 ，公比为12的等比数列， a n 12n 1 . 6 分 课堂互动讲练 ( 2 ) 证明： 1212 2 ( 1 12n) ， 4 12n(1 12n) ， 8 分 令 t12n，则 0 t12， 4 t (1 t ) 4( t 12)2 1 ， 当 t12，即 n 1 时， 4( t12)2 1 有最大值 1 ， 即 1. 12 分 课堂互动讲练 ( 3 ) 证明： S k a k ， k N*， a k S k a 1a k S k1a 1 0 分 数列 1a 是首项为 1 ，公比为 4 的等比数列， i 1i S i i 11 4 44n 13. 12 分 【 名师点评 】 数列、解析几何、不等式是高考的重点内容，将三者综合在一起，强强联合命制大型综合题是历年高考的热点和重点数列是特殊的函数，以数列为背景的不等式证明问题及以函数作为背景的数列的综合问题体现了在知识交汇点上命题的特点，该类综合题的知识综合性强，能很好地考查逻辑推理能力和运算求解能力，而一直成为高考命题者的首选 课堂互动讲练 课堂互动讲练 高考检阅 ( 本题满分 12 分 ) 已知数列 a n 中 ，a 1 12， 且当 x 12时 ， 函数 f ( x ) 12a n x2a n 1 x 取得极值 ( 1 ) 求数列 a n 的通项 ； ( 2 ) 数列 b n 满足 b 1 2 ， b n 1 2 b n 1a n 1， 求 b n 的通项及前 n 项和 S n . 课堂互动讲练 解： ( 1 ) f ( x ) 1， 由题意 f (12) 0 得 112 4 分 又 2 0 ，所以数列 是公比为12的等比数列， 2n . 6 分 课堂互动讲练 ( 2 ) 由 ( 1 ) 知 a n 1 12n 1 ， b n 1 2 b n 2n 1， 两边同除以 2n 1得：b n 12n 1 b 1 ， b b 121 ( n 1) n ， n2 n， 9分 2 222 n2 n 222 223 (n 1)2nn2 n 1 两式相减得 2 22 2n n2 n 1 (1 n)2n 1 2， (n 1)2n 1 2. 12分 课堂互动讲练 数列的综合应用通常有三种类型 1数列知识范围内的综合应用 (1)等差、等比数列以及递推公式之间的综合问题 (2)解此类题型时，要紧扣等差、等比数列的定义和性质，做出合理的分析，灵巧地选择公式或性质，找出解题的切入点和思路 规律方法总结 2数列的实际应用问题 (1)现实生活中涉及到的利率 (复利 )、产品利润、平均增长率、信贷、保险、环保、人口增长等问题，常常利用数列知识建立数学模型加以解决 (2)用数列建模的思路和步骤 审题：明确哪些量能组成等差数列、等比数列或哪些量给出的是递推关系式 规律方法总结 抓住数量关系，精心联想，将文字语言转译成数学 (符号 )语言若是等差 (比 )数列则应明确 n，d(q)， 知哪几个，需求哪几个；若是递推公式，则应明确已知的是 哪些量，以及落实初始条件 将实际问题转化成数学问题，列出符合题意的数学关系式 规律方法总结 3数列与其他分支的知识的综合应用 (1)主要为数列与函数、方程、不等式、三角、极限等知识的综合 (2)解此类综合题，首先要认真审题，弄清题意，分析出涉及哪些数学分支内容，在每个分支中各是什么问题；其次，要精心分解，把整个大题分解成若干个小题或 “步骤 ”，使它们成为在各自分支中的基本问题；最后，分别求解这些小题或步骤，从而得到整个问题的结论 规律方法总结 随堂即时巩固 点击进入 课时活页训练 点击进入 第六章 数列（必修 5） 2011高考导航 考纲解读 (1)了解数列的概念和几种简单的表示方法 (列表、图象、通项公式 ) (2)了解数列是自变量为正整数的一类函数 2011高考导航 考纲解读 2等差数列、等比数列 (1)理解等差数列、等比数列的概念 (2)掌握等差数列、等比数列的通项公式与前 (3)能在具体的问题情境中识别数列的等差关系或等比关系，并能用有关知识解决相应的问题 (4)了解等差数列与一次函数、等比数列与指数函数的关系 . 2011高考导航 命题探究 列部分的内容约占 8% 10%，试题有如下特点：一般试题类型为一道选择题或填空题和一道解答题考查的重点是等差数列、等比数列的通项公式与前 别是等差数列、等比数列的性质，这一部分题多是中、低难 2011高考导航 命题探究 度题，但解题方法灵活多样掌握一定的技巧，可以又快又准地完成它，有利于区分不同层次的考生数列中 为这类题目既能考查数列的有关概念和性质，又能考查学生建模能力和抽象概括能力与此同时，函数思想、方程思想、分类讨论等数学思想方法在解决数列问题时的应用也会常常涉及 2011高考导航 命题探究 2预计在 2011年高考试卷中，对数列知识的考查，总的趋势是 “稳中有变 ”由于探索性问题是近几年的考查热点，这类问题在数列中出现的可能性较大 第 1课时 数列的概念与 简单表示法 1数列的定义 按照 排列着的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项 基础知识梳理 一定顺序 2数列的分类 基础知识梳理 分类原则 类型 满足条件 按项数分类 有穷数列 项数 无穷数列 项数 按项与项间的大小关系分类 递增数列 1中n N* 递减数列 1 数列 1 其他标准分类 有界数列 存在正数 M，使| M 摆动数列 1， 1,1，1， 有限 无限 0， ，有 n 252 . 【 规律总结 】 (1)由 求 n2时 判定 (2)求数列前 般是由求和式利用函数思想求解，其次是判定数列项的正负分界 课堂互动讲练 数列的前 n与 1是在 n2的条件下成立的，若将 n 1代入该式所得的值与 通项公式就可用统一的形式来表示，否则就写成上述分段数列的形式 课堂互动讲练 考点三 数列的通项 n a n S 1 ， n 1 ，S n S n 1 ， n 2 ， 务必注意 a n 课堂互动讲练 例 3 已知数列 前 通项公式 (1)23n； (2)3n b. 【 思路点拨 】 利用数列的通项 课堂互动讲练 n 项和 S n 的关系 a n S 1 ( n 1 ) ，S n S n 1 ( n 2 ) .【 解 】 (1)当 n 1时， 1， 当 n2时， 1 4n 5. 又 1，适合 4n 5， 4n 5. (2)当 n 1时， 3 b， n2时， 1 23n 1， 当 b 1时， 2适合 23n 1. 23n 1. 当 b 1时， 3 23n 1， 课堂互动讲练 课堂互动讲练 a n 3 b ( n 1 ) ，2 3n 1( n 2 ) b 1 时， a n 2 3n 1； 当 b 1 时， a n 3 b ( n 1 ) ，2 3n 1( n 2 ) .【 易错警示 】 在解答过程中易出现忽视 n 1时， 1，求 致此种错误的原因是：没有熟练掌握数列前 课堂互动讲练 若 (1)中 23n k，求通项公式 解 ：当 n2时， 1 23n k 2(n 1)2 3(n 1) k 4n 5； 课堂互动讲练 互动探究 当 n 1时， 1 k； 当 k 0时， 1适合 4n 5， 4n 5； 当 k0时， 1 4n 5， 课堂互动讲练 a n 1 k ( n 1 )4 n 5 ( n 2 ). 综上可得，当 k 0 时， a n 4 n 5 ； 当 k 0 时， a n 1 k ( n 1 )4 n 5 ( n 2 )由递推公式求数列通项公式 已知数列的递推公式求通项，可把每相邻两项的关系列出来，抓住它们的特点进行适当处理，有时借助拆分或取倒数等方法构造等差数列或等比数列，转化为等差数列或等比数列的通项问题 课堂互动讲练 考点四 由递推公式求数列通项公式 课堂互动讲练 例 4 (解题示范 )(本题满分 12分 ) 求下列数列 通项公式 (1)0， 1 (2n1)(n N*)； ( 2 ) a 1 1 ， a n 1 a n 1 ( n 2 ，n N * ) 【 思路点拨 】 (1)可利用累加法求解 (2)可转化后利用累乘法求解 【 解 】 (1)由 1 2n 1，得 1 2n 1， 当 n2时， 2 1 1， 2 2 1， 2 3 1， 课堂互动讲练 1 2 (n 1) 1. 3分 将 n 1个式子左右两边分别相加，得 2 1 2 3 (n 1) (n 2n 1 2n 1， 又 n 1时， 0适合上式， 2n 1(n N*). 6分 课堂互动讲练 1) 2 n ( n 1 )2 n 1 2 n 1 ， 4 分 课堂互动讲练 ( 2 ) 由 a n 1a n 1 ( n 2) ，得a na n 1 1， 8 分 当 n 2 时，a 2a 121，a 3a 232，a 4a 343， ，a na n 1 1， 将 n 1个式子两边分别相乘，得 nn. 10分 又 n 1时， 1适合上式， n(n N*). 12分 课堂互动讲练 a 21 32 43 1 n ， 【 规律总结 】 对于形如 1f(n)的递推公式求通项公式，只要f(n)可求和，便可利用累加的方法； 课堂互动讲练 对于形如a n 1a n g ( n ) 的递推公式求通项公式，只要 g ( n ) 可求积，便可利用累积的方法或迭代的方法 (本题满分 12分 )已知数列 足： 1,2n 11(n N*， n2) (1)求数列 通项公式； (2)这个数列从第几项开始及其以后各 课堂互动讲练 高考检阅 项均小于 11000 ？ 课堂互动讲练 解： ( 1 ) 当 n 2 时， a n a na n 1a n 1a n 2 a 3a 2a 2a 1a 1 (12)n 1(12)n 2 (12)2(12)1 (12)1 2 ( n 1) (12)( n 1 ) 4 分 课堂互动讲练 又 当 n 1 时， a 1 1 适合 a n (12)n ( n 1 )2， a n (12)n ( n 1 )2. 6 分 课堂互动讲练 ( 2 ) 当 n 4 时，( n 1 ) 6 ， (12)( n 1 ) 64， 8 分 当 n 5 时，( n 1 ) 10 ， (12)( n 1 ) 1024. 11 分 所以，从第 5 项开始各项均小于11000. 12 分 1数列的概念及简单表示 数列中的数是有序的，要注意辨析数列的项和数集中元素的异同；数列的简单表示要类比函数的表示方法来理解数列 以看作是一个定义域为正整数集或它的子集1,2,3， ， n的一列函数值 规律方法总结 2由数列的前几项归纳出其通项公式 据所给数列的前几项求其通项公式时，需仔细观察分析，抓住其几方面的特征： (1)分式中分子、分母的特征； (2)相邻项的变化特征； (3)拆项后的特征； (4)各项符号特征和绝对值特征，并对此进行归纳、化归、联想 规律方法总结 3由递推公式求数列的项或通项 递推公式是给出数列的一种方式由递推公式求通项常见类型有叠加法、叠乘法、构造法 (构造等差或等比数列 )，若由上述方法不能求解，需看数列是否具有周期性，或者由归纳法求通项 (解答题中应用数学归纳法进行证明 ) 规律方法总结 随堂即时巩固 点击进入 课时活页训练 点击进入 第 2课时 等差数列 1等差数列的定义 如果一个数列从第 2项起，每一项与它的前一项的差都等于 ，那么这个数列就叫做等差数列这个常数叫做等差数列的 ，通常用 表示，其符号语言为： (n2， 基础知识梳理 同一个常数 1 d 公差 d 2等差数列的通项公式 若等差数列 首项为 差是 d，则其通项公式为 . 基础知识梳理 (n 1)d 已知等差数列 第 差为 d，则其第 n项 【 思考 提示 】 能， (n m)d. 基础知识梳理 3等差中项 如果三个数 a， A， ，则 a和 有 A . 基础知识梳理 等差数列 a 4等差数列的前 . 基础知识梳理 n ( a 1 a n )2 n ( n 1 )2 d 答案： B 三基能力强化 1 ( 2 0 0 9 年高考辽宁卷改编 ) a n 为等差数列 ， 且 a 7 2 a 4 1 ， d 12， 则 a 3 ( ) A 2 B 0 1 2 首项 1，公差 d 3的等差数列，若 292，则序号 ) A 98 B 99 C 100 D 101 答案： A 三基能力强化 3在等差数列 ， ，则其前 23项的和为 ( ) A 10 B 12 C 46 D 52 答案： C 三基能力强化 三基能力强化 4 ( 2 0 0 9 年高考全国卷 ) 设等差数列 a n 的前 n 项和为 S n ， 若 a 5 5 a 3 ， 则S 9S 5 _ _ _ _ _ _ _ _ . 解析 ：设等差数列的公差为 d，首项为 三基能力强化 则由 a 5 5 a 3 知 a 1 32d . S 9S 59 ( a 1 4 d )5 ( a 1 2 d ) 9. 答案： 9 三基能力强化 5 (教材习题改编 )已知 等差数列， 22， 7，则 _. 答案： 15 证明一个数列 等差数列的基本方法有两种：一是利用等差数列的定义法，即证明 1 and(n N*)，二是利用等差中项法，即证明： 2 21(n N*)在 课堂互动讲练 考点一 等差数列的判定 选择方法时，要根据题目条件的特点，如果能够求出数列的通项公式，则可以利用定义法，否则，可以利用等差中项法 课堂互动讲练 课堂互动讲练 例 1 已知数列 通项公式 qn(p、 q R且 p、 (1)当 p和 列等差数列； (2)求证：对任意实数 p和 q，数列1 等差数列 【 思路点拨 】 由等差数列的定义知等差数列的充要条件是 1 【 解 】 (1)1 p(n 1)2 q(n 1) ( 2p q. 要使 等差数列，则 2p 只有 2p 0，即p 0. 故当 p 0时，数列 等差数列 课堂互动讲练 (2)证明： 1 2p q， 2 1 2p(n 1) p q. 而 (2 1) (1 2 1 等差数列 【 误区警示 】 在 (2)中，要证明 (2 1) (1 一个与 不是证 1 课堂互动讲练 课堂互动讲练 考点二 等差数列的基本运算 1 等差数列的通项公式 a n a 1 ( n 1) d 及前 n 项和公式 S n n ( a 1 a n )2 n ( n 1 )2d ， 共涉及五个量 a 1 ， a n ，d ， n ， S n ， 知其中三个就能求另外两个 ，体现了用方程的思想解决问题 2数列的通项公式和前 它们表示已知和未知是常用方法 课堂互动讲练 课堂互动讲练 例 2 已知等差数列 ， 33，217，试探究 153是不是这个数列的项，如果是，是第几项？若不是，说明理由 【 思路点拨 】 求出通项公式，将 153代入判断 【 解 】 设等差数列 首项为 差为 d， 则 (n 1)d. 课堂互动讲练 23 (n 1) 4 4n 27. 令 153，即 4n 27 153， n 45. 153是等差数列的项，是第 45项 课堂互动讲练 由已知a 1 ( 15 1 ) d 33a 1 ( 61 1 ) d 217， a 1 23d 4. 【 名师点评 】 在等差数列的五个基本量 d， “知三求二 ”是一种基本运算，一般方法是利用通项公式和前 过列方程组求解判断是否是数列中的项的问题，一般有两种解法：一是对所要判断的式子进行变形，看其是否与通项公式一致；二是假设其是数列的项，列出等式解出 n，看所解出的 课堂互动讲练 若题目条件不变，设 p， q N*ap的项，并说明理由 解 ：因 4n 27. (4p 27)(4q 27) 1608(p q) 272 4427(p q) 189 27， 427(p q) 189 N*， ap的项 课堂互动讲练 互动探究 已知数列 等差数列， (1)若 m n p q，则 若 m n 2p，则 2(2)k， 2k， 3k， 仍是等差数列，公差为 课堂互动讲练 考点三 等差数列的性质 (3)数列 2m， 也是等差数列 (4)1 (2n 1)若 中间项 ) (6)数列 c c 是等差数列，其中 c、 p、 等差数列 课堂互动讲练 ( 5 ) 若 n 为偶数 ， 则 S 偶 S 奇 n2 d . 课堂互动讲练 例 3 (1)设等差数列 前 n，已知前 6项和为 36， 324，最后 6项的和为 180(n 6)，求数列的项数 n及 a9 (2)等差数列 前 为 S n 、 T n ， 且 S 3 n 12 n 3 ， 求 a 8 【
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