2011届高三数学一轮复习 第十四-十六章 精品课件(打包6套) 新人教A版
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2011届高三数学一轮复习 第十四-十六章 精品课件(打包6套) 新人教A版,高三,数学,一轮,复习,温习,第十四,十六,精品,课件,打包,新人
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第 2课时 基本算法语句、 算法案例 1三种语句的一般格式和功能 基础知识梳理 语句 一般格式 功能 输入语句 输入信息 输出语句 ； 赋值语句 示内容 ” 表达式 输出信息 将表达式所代表的值 赋给变量 变量表达式 提示内容 ” ； 变量 (1)定义：算法中的 由条件语句来表达 (2)条件语句的格式及框图 基础知识梳理 条件结构 基础知识梳理 基础知识梳理 3循环语句 (1)算法中的 是由循环语句来实现的 (2)循环语句的格式及框图 基础知识梳理 循环结构 基础知识梳理 基础知识梳理 4算法案例 (1)辗转相除法 辗转相除法是用于 的一种方法，这种算法是由欧几里得在公元前 300年左右首先提出的因此又叫 基础知识梳理 求两个正整数 的最大公约数 欧几里得算法 (2)更相减损术的定义 任给两个正整数 (若是偶函数，先用 2约数 )， ，接着把所得的差与较小的数比较，并以大数减小数，直到所得的数 ，则这个数 (等数 )(或这个数与约简的数的乘积 )就是所求的最大公约数 基础知识梳理 以较大的数减较小的数 相等为止 (3)秦九韶算法 秦九韶算法是我国南宋数学家秦九韶在他的代表作 中提出的一种用于计算 的方法 (4)进位制 进位制是人们为了计数和运算方便而约定的记数系统 “满几进一 ”就是几进制，几进制的 就是几 基础知识梳理 数书九章 一元 基数 1下列赋值能使 的是 ( ) 答案： D 三基能力强化 2执行下面程序段后，输出的结果是 ( ) a 1 b 3 a a b b a b a， b A 1,3 B 4,1 C 0,0 D 6,0 答案： B 三基能力强化 3读程序回答问题 甲 乙 三基能力强化 对甲、乙两程序和输出结果判断正确的是 ( ) A程序不同，结果不同 B程序不同，结果相同 C程序相同，结果不同 D程序相同，结果相同 答案： B 三基能力强化 4下面的程序： 该程序运行的结果为 _ 答案： 6 三基能力强化 5 (教材习题改编 )两个整数 490和 910的最大公约数是 _ 答案： 70 三基能力强化 输入语句，输出语句，赋值语句是任何一个算法中必不可少的语句，在赋值语句中，变量的值始终等于最近一次赋给它的值，先前的值将被替换，要注意这一特点， “ ”是一个赋值号，左边只能是变量，不能是常数或表达式，变量赋值后其原来的值被改变，初始值不被记忆 课堂互动讲练 考点一 输入、输出和赋值语句 课堂互动讲练 例 1 画出程序框图并编写一个程序，求用长度为 求输入 出正方形和圆的面积 (取 【 思路点拨 】 设围成的正方形的边长 课堂互动讲练 为 a ，依题意 4 a l， a 以正方形的面积为 (理若设围成的圆的半径为 R ，则 2 R l， R 以圆的面积为 (用 I N P U T 语句输入 l 的值，利用赋值语句得到面积，最后输出两个面积 【 解 】 程序框图： 程序如下： 课堂互动讲练 【 误区警示 】 注意程序语言中运算符号的书写格式，如：乘号为“*”，平方为 “ 2”，除号为 “/”，这与平时运算符号有所区别，其运算规则为先乘除，后加减，幂优于乘除，同级运算先左后右，括号内最优先 课堂互动讲练 (1)要区别好条件语句的两种格式： F 解它们的区别与联系，以及在实际编写程序中各自的特点 课堂互动讲练 考点二 条件语句 (2)条件语句一般用在需要对条件进行判断的算法设计中，如判断一个数的正负，确定两个数的大小等问题要用到条件语句 课堂互动讲练 课堂互动讲练 例 2 国庆期间，某超市对顾客实行购物优惠活动，规定一次购物付款总额： 若不超过 200元，则不予优惠； 若超过 200元，但不超过 500元，则按标价价格给予 9折优惠； 如果超过 500元， 500元的部分按 条优惠，超过 500元的部分给予 7折优惠，编写一个收款程序 【 思路点拨 】 先根据题意，确定分段函数，再利用条件语句写出程序 【 解 】 依题意，付款总额 单位为元 ) 课堂互动讲练 y x ( x 2 0 0 ) ，0 . 9 x ( 2 0 0 5 0 0 ) 第一步，输入 第二步，判断，如果 x200，则输出 x，否则执行第三步 第三步：判断，如果 x500成立，则计算 y x，并输出 y，否则执行第四步 第四步，计算 y 500(x 500)，并输出 y. 程序框图： 课堂互动讲练 课堂互动讲练 程序： 课堂互动讲练 课堂互动讲练 【 名师点评 】 条件语句必须以 个 其对条件语句的嵌套编程时，往往漏掉 F. 课堂互动讲练 循环语句主要用来处理算法中的循环结构，在处理一些有规律地重复计算问题，如累加求和、累乘求积及其他问题时常常用到循环语句编写程序 课堂互动讲练 考点三 循环语句 课堂互动讲练 例 3 (解题示范 )(本题满分 12分 ) 2008年 9月发生了 “三鹿奶粉污染 ”事件，主要是在一些企业生产的奶制品中检测出含三聚氰胺，三聚氰胺是一种有毒的化工原料，俗称 “假蛋白”蛋白质主要由氨基酸组成，蛋白质平均含氮量 16%左右，而三聚氰胺的含氮量为 66%左右，不法分子往往在奶制品中加三聚氰胺主要是因为它能冒充蛋白质 月 16日国家质检总 局公布了 22家企业生产的婴幼儿配方奶粉中含有三聚氰胺，其中最高含量为 2563 mg/低含量为 mg/0 mg/写出程序 课堂互动讲练 【 思路点拨 】 (1)由于涉及到 22家企业，因此使用循环结构来控制企业数； (2)用条件结构来判断含量是否高于 20，同时统计高于 20 mg/ 【 解 】 程序框图： 课堂互动讲练 课堂互动讲练 程序： 课堂互动讲练 【 误区警示 】 在解答过程中易出现把表示企业数的累计变量和表示含量高于 20 mg/ 课堂互动讲练 (本题满分 12分 )高一 (2)班共有 54名同学参加数学竞赛，现已有这 54名同学的竞赛分数，请设计一个将竞赛成绩优秀同学的平均分输出的算法(规定 90分以上为优秀 )，画出程序框图，并设计程序 课堂互动讲练 高考检阅 解： 程序框图如下： 程序为 课堂互动讲练 课堂互动讲练 1编程的一般步骤： (1)算法分析：根据提供的问题，利用数学及相关学科的知识，设计出解决问题的算法； (2)画出程序框图：依据算法分析，画出对应的程序框图； (3)写出程序：根据程序框图中的算法步骤，逐步把算法用相应程序语句表达出来 规律方法总结 2互换两个变量的值需要利用赋值语句，方法是引进第三个变量，用三个赋值语句完成 3在写算法语句时，特别注意运算符号的书写形式，不要写错，如 a*b(a b)， 4在写循环语句时，当型循环语句易 和条件语句混淆，要特别留心 规律方法总结 a / b ( ， a b ( ， S x )( x ) ， ，( 不等于 ) 等 随堂即时巩固 点击进入 课时活页训练 点击进入 第十六章 复数（选修 2 2011高考导航 考纲解读 (1)理解复数的基本概念 (2)理解复数相等的充要条件 (3)了解复数的代数表示法及其几何意义 2011高考导航 考纲解读 2复数的四则运算 (1)会进行复数代数形式的四则运算 (2)了解复数代数形式的加、减运算的几何意义 . 2011高考导航 命题探究 从历年高考试题看，复数部分的考查重点是复数的有关概念和复数的代数形式运算及运算的几何意义 1复数的概念的考查，高考命题仍以考查基本概念为主，题型以选择题、填空题为主，难度不大 2011高考导航 命题探究 2对复数运算的考查，高考命题主要以考查复数的加、减、乘、除运算为主，题目多为选择题，难度与课本习题相当 1复数的概念 形如 a bi(a、 b R)的数叫做复数，其中 ，满足 ， ， (1)纯虚数：对于复数 z a 时，叫做纯虚数 (2)两个复数相等： a c di(a、 b、c、 d R)相等的充要条件是 . 基础知识梳理 虚数单位 复数 的实部 复数的虚部 1 a 0 且 b0 a c且 b d (3)复平面：建立直角坐标系来表示 的平面叫做复平面，横轴为 ，竖轴除去原点为 基础知识梳理 复数 实轴 虚轴 ( 4 ) 复数的模：复数 z a b i 可以用复平面内的点 Z ( a 、 b ) 表示，向量 模叫做复数 z a b i 的模，表示为： | z | | a b i| a 2 b 2 (5)共轭复数：两个复数的实部 ，虚部 时，这两个复数叫做共轭复数 基础知识梳理 相等 互为相反数 2复数的四则运算 (1)加减运算： (a (c . (2)乘法运算： (a (c . 基础知识梳理 (a c) (b d)i ( (bc)i (3)除法运算： (a (c (c ) (4) ， 1 i， 2 ， 3 .(n Z) 基础知识梳理 d 2 d 2 i 1 1 i 基础知识梳理 任意两复数能比较大小吗？ 【 思考 提示 】 不一定，只有这两个复数全是实数时才能比较大小 1下列命题正确的是 ( ) ( i)2 1； i； 若ab，则 a ib i； 若 z C，则 . A B C D 答案： A 三基能力强化 2已知复数 a 2i， 2 i，且 | |则实数 ) A 1 B 1 C 1或 1 D 1或 0 答案： C 三基能力强化 三基能力强化 3 ( 2 0 0 9 年高考陕西卷改编 ) 已知 z 是纯虚数 ，z 21 那么 z 等于 ( ) A 2i B i C i D 2i 答案： A 三基能力强化 答案： 1 3i 4 已知 i 2 i ， 则复数 z _ _ _ _ _ _ _ _ . 答案： 3 0 三基能力强化 5 定义运算 ：a d 若复数 z x y i( x ， y R ) 满足z 11 1 2 ， 则 x _ _ _ _ _ _ _ _ ，y _ _ _ _ _ _ _ _ . 复数 z a z R，则 b0；若 b0；若 a 0且 b分别令实部、虚部为 0，求出字母系数，然后再据相关条件确定所要的结果 课堂互动讲练 考点一 集合的基本概念 课堂互动讲练 例 1 已知 m R ， 复数 z 2 1 ( 2 m 3 ) i ， 当 m 为何值时 ，( 1 ) z R ， ( 2 ) z 是虚数 【 思路点拨 】 根据复数的定义及 数、纯虚数的条件可求得结果 课堂互动讲练 令 2m 3 0得， m 3，或 m 1. (1)若 z R，由 及 m 10知， m 3. (2)若 由 知， m 3，且 m1. 课堂互动讲练 【解】 令m 2 2 1 0 得， m 2 ，或 m 0. 【 名师点评 】 对 数、纯虚数的条件考虑不完备而失误 课堂互动讲练 本例条件不变，若 解： 由 知， m 2或 m 0. 课堂互动讲练 互动探究 2利用复数相等可实现复数问题向实数问题的转化解题时要把等号两边的复数化为标准的代数形式 课堂互动讲练 考点二 复数相等 1 a b i c d i a d( a ， b ， c ， d R ) 课堂互动讲练 例 2 设存在复数 1)复数 ( 2 ) z z 2i z 8 a i( a R) 试求a 的取值范围 【 思路点拨 】 课堂互动讲练 课堂互动讲练 【解】 设 z x y i( x ， y R ) ，则 z x y i. 由 ( 1 ) 知 x 0 . 又 z z 2i z 8 a i( a R ) ， 故 ( x y i ) ( x y i) 2 i ( x y i) 8 a i ， 即 ( 2 y ) 2 x i 8 a i ， 课堂互动讲练 2 y 8 ，2 x a ，即 4( y 1)2 36 y 0 ， 4( y 1)2 0 ， 36 0 ，即 36 ， 6 a 6 ， 又 2 x a ，而 x 0 ， a 0 ， 6 a 0 ， a 的取值范围为 6 , 0) 【 思维总结 】 复数问题实数化是解决复数问题的最基本也是最重要的思想方法，其转化的依据就是复数相等的充要条件基本思路是：设出复数的代数形式 z x yi(x， y R)，由复数相等可以得到两个实数等式所组成的方程组，从而可以确定两个独立的基本量 课堂互动讲练 复数的四则运算类似于多项式的四则运算，此时含有虚数单位 含 别合并即可，但要注意把 运算过程中，要熟悉 课堂互动讲练 考点三 复数的四则运算 课堂互动讲练 例 3 计算 ： ( 1 )( 2 2i )4( 1 3 i )5 ； ( 2 ) 2 3 2 3 i (21 i)2010； ( 3 ) (1 i)62 3 2 i. 【 思路点拨 】 主要是应用复数的加、减、乘、除的运算法则及其运算技巧 课堂互动讲练 课堂互动讲练 【解】 ( 1 ) 原式16 ( 1 i )4( 1 3 i )4( 1 3 i )16 ( 2i )2( 2 2 3 i )2( 1 3 i ) 644 ( 1 3 i )2( 1 3 i ) 16( 1 3 i ) 4 41 3 i 1 3 i. 课堂互动讲练 ( 2 ) 原式i ( 1 2 3 i )1 2 3 i (21 i)21005 i (2 2i)1005 i i 251 1 i i 2 i . 课堂互动讲练 ( 3 ) 法一： 原式 ( 1 i )226( 2 3 i ) ( 3 2 i )( 3 )2 ( 2 )2 2i 3i 65 1 i. 法二： ( 技巧解法 ) 原式 ( 1 i )226( 2 3 i ) i( 3 2 i ) i 2 3 i ) 3 i 1 i. 【 名师点评 】 在进行复数的代数运算时，记住以下结论，可提高计算速度 课堂互动讲练 ( 1 ) ( 1 i) 2 2i ； ( 2 ) ( 1 i) 2 2i ； ( 3 )1 i i ； ( 4 )1 i i ； ( 5 ) b a i i( a b i) 因为复平面内的点与平面向量是一一对应的，所以复数加减法及其几何意义与向量的加减法及其几何意义类似，可以利用三角形法则与平行四边形法则解决 课堂互动讲练 考点四 复数加减法的几何意义 课堂互动讲练 例 4 (解题示范 )(本题满分 12分 ) 如图，平行四边形 点O、 A、 ,3 2i， 2 4i，试求： ( 1 ) 表示的复数 ， 表示的复数 ； ( 2 ) 对角线 所表示的复数 课堂互动讲练 【 思路点拨 】 求某个向量对应的复数，只要求出向量的起点和终点对应的复数即可 课堂互动讲练 课堂互动讲练 【解】 ( 1 ) 示的复数为 3 2 i . 4 分 表示的复数为 3 2 i . 6 分 ( 2 ) 表示的复数为 (3 2 i ) ( 2 4 i ) 5 2 i . 12 分 【 名师点评 】 解决这类题是利用复数 a bi(a， b R)与复平面内以原点为起点的向量之间一一对应的关系，相等的向量表示同一复数，然后借助于向量运算的平行四边形法则和三角形法则进行求解 课堂互动讲练 课堂互动讲练 高考检阅 ( 本题满分 10 分 ) 复平面内三点 A 、 B 、C ， A 点对应的复数为 2 i ， 应的复数为 1 2i ， 应的复数为 3 i ， 求 对应的复数 课堂互动讲练 解： 应的复数为 1 2i ， 应的复数为 3 i ， 4 分 应的复数为 (3 i) (1 2 i ) 2 3i ，又 点 C 对应的复数为 (2 i) (2 3 i ) 4 2i ，由中点坐标公式得点 M 对应的复数为 3 12i. 10 分 1对于复数 z a bi(a， b R)必须强调 a， 可得出实部为 a，虚部为 b. 2复数 z a bi(a， b R)是由它们的实部和虚部唯一确定的，两个复数相等的充要条件是把复数问题转化为实数问题的主要方法对于一个复数 z abi(a， b R)，既要从整体的角度去认识它，把复数看成一个整体，又要从实部、虚部的角度分解成两部分去认识 规律方法总结 3对于两个复数，若不全是实数，则不能比较大小，在复数集里一般没有大小之分，但却有相等与不等之分 4数系扩充后，数的概念由实数集扩充到复数集，实数集中的一些运算性质、概念、关系就不一定适用了，如绝对值的性质、绝对值的定义、偶次方非负等 规律方法总结 随堂即时巩固 点击进入 课时活页训练 点击进入 第十五章 推理与证明 （选修 2 2011高考导航 考纲解读 (1)了解合情推理的含义，能利用归纳和类比等进行简单的推理，了解合情推理在数学发现中的作用 (2)了解演绎推理的重要性，掌握演绎推理的基本模式，并能运用它们进行一些简单推理 (3)了解合情推理和演绎推理之间的联系和差异 2011高考导航 考纲解读 2直接证明与间接证明 (1)了解直接证明的两种基本方法 分析法和综合法；了解分析法和综合法的思考过程、特点 (2)了解间接证明的一种基本方法 反证法，了解反证法的思考过程、特点 . (1)了解数学归纳法的原理 (2)能用数学归纳法证明一些简单的数学命题 2011高考导航 命题探究 高考必考内容，纵观近几年高考，对本考点以考查演绎推理为主，涉及选择，填空，解答各个题型，同时合情推理在选择、填空或解答中也多有涉及，估计明年高考将加大对合情推理的考查力度 2011高考导航 命题探究 2在直接证明和间接证明中，以考查直接证明中的综合法为主，在 2011年高考中仍会出现 (以考查立体几何或解析几何为主 ) 3为考查学生分析问题和解决问题的能力，归纳 猜想 证明仍是 2011年高考命题的热点，数学归纳法一般与数列相联系，综合考查函数、方程、不等式等知识 第 1课时 合情推理与演绎推理 基础知识梳理 推理 合情推理 演绎推理 基础知识梳理 不完全归纳 部分到整体 个别到一般 另一类对象 也具有这些特征 特殊到特殊 基础知识梳理 特殊情况 一般原理 一般特殊 特殊情况 基础知识梳理 归纳推理和类比推理的特点与区别是什么？ 【 思考 提示 】 两种推理的特点与区别：类比推理和归纳推理的结论都是有待于证明的归纳推理是由特殊到一般的推理，类比推理是由特殊到特殊的推理 1下列说法中正确的是 ( ) A合情推理就是正确的推理 B归纳推理是从一般到特殊的推理 C合情推理就是归纳推理 D类比推理是从特殊到特殊的推理 答案： D 三基能力强化 2数列 1,2,4,8,16,32的一个通项公式是 ( ) A 2n B 2n 1 C 2n D 2n 1 答案 ： B 三基能力强化 3 (教材习题改编 )下面几种推理是合情推理的是 ( ) 由圆的性质类比出球的有关性质； 由直角三角形、等腰三角形、等边三角形的内角和是 180 ，归纳出所有三角形的内角和都是 180 ； 三基能力强化 张军某次考试成绩是 100分，由此推出全班同学的成绩都是 100分； 三角形内角和是 180 ，四边形内角和是 360 ，五边形内角和是540 ，由此得凸 n2)180 A B C D 答案： C 三基能力强化 4对于平面几何中的命题： “夹在两条平行线之间的平行线段相等 ”，在立体几何中，类比上述命题，可以得到命题：“_”，这个类比命题的真假性是 _ 答案： 夹在两个平行平面间的平行线段相等 真命题 三基能力强化 5 a (1,0)， b (0， 1)， ab (1,0)(0， 1) 1 0 0 (1) 0. a b. 大前提：_； 小前提：_； 结论： _. 答案： 若两个向量数量积为零，则这两个向量垂直 ab 0 a b 三基能力强化 归纳推理的一般步骤： (1)通过观察个别情况发现某些相同的性质； (2)从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般性命题 (猜想)如果归纳的个别情况越多，越具有代表性，那么推广的一般性命题就越可靠 课堂互动讲练 考点一 归纳推理 课堂互动讲练 例 1 在数列 ， 1， 1 2 a a n ， n N* ， 猜想这个数列的通项公式 【 思路点拨 】 根据已知条件和递推关系，先求出数列的前几项，然后总结归纳其中的规律，写出其通项公式 课堂互动讲练 课堂互动讲练 【解】 法一 ： a n 中， a 1 1 ， a 2 2 a 12 a 123， a 3 2 a 22 a 21224， a 4 2 a 32 a 325， 猜想 a n 的通项公式为 a n 2n 1. 课堂互动讲练 法二： 1 ， 12 1 12 2. 1 112. 即数列 1是以11 为首项，公差为12的等差数列 11 ( n 1 ) 1212n 12. 通项公式 n 1. 【 规律小结 】 归纳推理的特点： (1)归纳是依据特殊现象推断出一般现象，因而由归纳所得的结论超越了前提所包含的范围 (2)归纳的前提是特殊的情况，所以归纳是立足于观察、经验或试验的基础之上的 课堂互动讲练 (1)找出两类事物之间的相似性或一致性； (2)用一类事物的性质去推测另一类事物的性质，得出一个明确的命题 (猜想 ) 2由类比推理得到的猜想是否正确有待证明 课堂互动讲练 考点二 类比推理 课堂互动讲练 例 2 (2008年高考全国卷 )平面内的一个四边形为平行四边形的充要条件有多个，如两组对边分别平行，类似地，写出空间中的一个四棱柱为平行六面体的两个充要条件： 充要条件 _； 充要条件 _. (写出你认为正确的两个充要条件 ) 【 思路点拨 】 利用类比推理中 “线与面 ”类比，再进行验证其正确性 【 解析 】 四棱柱为平行六面体时其底面四边形应是平行四边形，因此只要保证底面是平行四边形即可 课堂互动讲练 【 答案 】 两组相对侧面分别平行； 一组相对侧面平行且全等； 对角线交于一点且互相平分； 底面是平行四边形等 (任选两个即可 ) 课堂互动讲练 三段论推理中包含三个判断：第一个判断称为大前提，它提供了一个一般的原理；第二个判断叫小前提，它指出了一个特殊情况；这两个判断联合起来，揭示了一般原理和特殊情况的内在联系，从而产生了第三个判断：结论 课堂互动讲练 考点三 演绎推理 课堂互动讲练 例 3 (2)求 f( 2) f( 1) f(0) f(1) f(2) f(3)的值 ( 解题示范 ) ( 本题满分 12 分 ) 已知函数 f ( x ) a( a 0 且 a 1) ， ( 1 ) 证明 ： 函数 y f ( x ) 的图象关于点 (12，12)对称 ； 【 思路点拨 】 证明本题依据的大前提是中心对称的定义，函数 y f(x)的图象上的任一点关于对称中心的对称点仍在图象 课堂互动讲练 上 小前提是 f ( x ) a( a 0 且 a 1)的图象关于点 (12，12) 对称 【 解 】 (1)证明：函数 f(x)的定义域为全体实数，任取一点 (x， y)， 课堂互动讲练 它关于点 (12，12) 对称的点的坐标为 (1 x ， 1 y ). 1 分 由已知得 y a，则 课堂互动讲练 1 y 1 aa， 3 分 f (1 x ) x a aa a a， 1 y f (1 x ). 6 分 即函数 y f ( x ) 的图象关于点 (12，12) 对称 . 7 分 (2)由 (1)有 1 f(x) f(1 x)， 即 f(x) f(1 x) 1. 9分 f( 2) f(3) 1， f( 1)f(2) 1， f(0) f(1) 1， 则 f( 2) f( 1) f(0) f(1)f(2) f(3) 3. 12分 课堂互动讲练 【 名师点评 】 演绎推理在数学命题的证明中是常用的方法，证明题中要注意灵活运用 演绎推理是一种必然性推理演绎推理的前提与结论之间有蕴涵关系，因而，只要前提是真实的，推理的形式是正确的，那么结论必定是真实的，但错误的前提可能导致错误的结论 课堂互动讲练 (本题满分 12分 )用三段论证明函数y 2 ， 1上是增函数 证明：任取 ( ， 1，且 因为 x1，所以 20. 因此， f( f(0，即f(f( 10分 于是根据 “三段论 ”，得 f(x) 2 ， 1上是增函数 . 12分 课堂互动讲练 1合情推理 (1)归纳推理是从个别事实中概括出一般原理的一种推理模式具有以下几个特点： 归纳是依据特殊现象推断一般现象，因而，由归纳所得的结论超越了前提所包容的范围； 规律方法总结 归纳是依据若干已知的、没有穷尽的现象推断尚属未知的现象，因而结论具有猜测的性质； 归纳的前提是特殊的情况，所以归纳是立足于观察、经验或实验的基础上的 规律方法总结 (2)类比推理是在两类不同的事物之间进行对比，找出若干相同或相似点之后，推测在其他方面也可以存在相同或相似之处的一种推理模式其一般步骤为： 找出两类对象之间可以确切表述的相似性 (或一致性 )； 用一类对象的性质去推测另一类对象的性质，从而得出一个猜想；最后，检验这个猜想 规律方法总结 2演绎推理 (1)演绎推理是由一般性的命题推出特殊性命题的一种推理模式，是一种必然性推理演绎推理的前提与结论之间有蕴含关系，因而，只要前提是真实的，推理的形式是正确的，那么结论必定是真实的，但是错误的前提可能导致错误的结论 规律方法总结 (2)演绎推理的主要形式，就是由大前提、小前提推出结论的三段论式推理 规律方法总结 随堂即时巩固 点击进入 课时活页训练 点击进入 第 3课时 数学归纳法 证明一个与正整数 按下列步骤进行： (1)(归纳奠基 )证明当 N*)时命题成立； (2)(归纳递推 )假设 n k(kk N*)时命题成立，证明当 n k 1时命题也成立 只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从 基础知识梳理 上述证明方法叫做数学归纳法用框图表示就是： 基础知识梳理 1数学归纳法适用于证明_类型的命题 ( ) A已知 结论 B结论 已知 C直接证明比较困难 D与正整数有关 答案 ： D 三基能力强化 A 1 B 2 C 3 D 0 答案 ： C 三基能力强化 2 在应用数学归纳法证明凸 n 3) 条时 ， 第一步检验第一个值 n 0 等于 ( ) 三基能力强化 3 已知 f ( n ) 1n1n 11n 2 1 则 ( ) A f ( n ) 中共有 n 项 ， 当 n 2 时 ， f ( 2 )1213B f ( n ) 中共有 n 1 项 ， 当 n 2 时 ，f ( 2 ) 121314答案 ： D 三基能力强化 C f ( n ) 中共有 n 项 ， 当 n 2 时 ， f ( 2 ) 1213D f ( n ) 中共有 n 1 项 ， 当n 2 时 ， f ( 2 ) 121314答案 ： 2k 三基能力强化 4 用数学归纳法证明： “ 1 1213 12n 11 ) ” 时，由 n k ( k 1 ) 不等式成立，推理 n k 1 时，左边应增加的项数是 _ _ _ _ _ _ _ _ 5记凸 f(k)，则凸 k 1边形的内角和 f(k 1) f(k) _. 答案 ： 三基能力强化 用数学归纳法证明恒等式的关键是在证明 n k 1时命题成立，要从 n k 1时待证的目标恒等式的一端 “拼凑 ”出归纳假设的恒等式的一端，再运用归纳假设即可同时，还要注意待证的目标恒等式的另一端的变化，即用 “k 1”替换恒等式中的所有 “n” 课堂互动讲练 考点一 用数学归纳法证明恒等式 课堂互动讲练 例 1 用数学归纳法证明对于任意正整数 n ， ( 1) 2( 22) n ( n 1 ) ( n 1 )4. 【 思路点拨 】 证明等式是数学归纳法的应用之一，证明时，较为困难的是第二步，首先要弄清等式两边的构成规律，然后证明当 n 1时命题成立，再证如果 n 么 n k 1时命题也成立 课堂互动讲练 课堂互动讲练 【证明】 ( 1 ) 当 n 1 时，左式12 1 0 ，右式12( 1 1 ) ( 1 1 )4 0 ， 等式成立 ( 2 ) 假设 n k ( k N*) 时等式成立，即 ( 1) 2( 22) k ( k 1 ) ( k 1 )4. 那么 (k 1)2 1 2(k 1)2 22 k(k 1)2 (k 1)(k 1)2 (k 1)2 (1) 2(22) k( (2k 1)(1 2 k) 课堂互动讲练 k 1 ) ( k 1 )4 (2 k 1)k ( k 1 )214k ( k 1) k ( k 1) 2 ( 2 k 1 ) 当 n k 1时等式成立 由 (1)(2)知，对任意 n N*等式成立 课堂互动讲练 14k ( k 1 ) ( 3 k 2) ( k 1 )2 ( k 1 ) 1 ( k 1 ) 1 4， 【 误区警示 】 当 n k 1时易错写成 (1) 2(22) (k 1)(k 1)2 (k 1)2 整除问题是常见数学问题，除了在二项式定理中利用二项式定理证明整除外，有些还可用数学归纳法，应用数学归纳法证明整除性问题时，关键是 “凑项 ”，采用增项、减项、拆项和因式分解等方法也可以说将式子 “硬提公因式 ”，即将 n n k 1时的项中 “硬提出来 ”，构成 n 面的式子相对变形，使之与 n k 1时的项相同，从而达到利用假设的目的 课堂互动讲练 考点二 用数学归纳法证明整除 课堂互动讲练 例 2 已知 f(n) (2n 7)3n 9(n N*)，用数学归纳法证明 f(n)能被36整除 【 思路点拨 】 用数学归纳法能证明整除问题，在由 k 1时常用 “配凑 ”的办法，要有目的地去 “配凑 ”36的倍数式子和假设 n 课堂互动讲练 【 证明 】 (1)当 n 1时， f(1) 36，能被 36整除 (2)假设 n k(k N*)时， f(k)能被 36整除， 即 f(k) (2k 7)3k 9能被 36整除； 当 n k 1时， 2(k 1) 73k 1 9 (2k 7)3k 1 27 27 23k 1 9 3(2k 7)3k 9 18(3k 1 1)， 由于 3k 1 1是 2的倍数，故18(3k 1 1)能被 36整除，这就是说，当 n k 1时， f(n)也能被 36整除 由 (1)(2)可知对一切正整数 f(n) (2n 7)3n 9能被 36整除 课堂互动讲练 【 名师点评 】 用数学归纳法证明整除问题的关键是 “配凑 ”采用增项、减项、拆项和因式分解等手段，凑出归纳假设和倍数式子，从而由部分的整除性得出整体的整除性 课堂互动讲练 在几何问题中，常有与 中有交点个数、内角和、将平面分成若干部分等问题这些问题可用数学归纳法证明，利用数学归纳法证明这些问题时，关键是 “找项 ”，即几何元素从 k 1个时，所证的几何量将增加多少，这需 课堂互动讲练 考点三 用数学归纳法证明几何问题 用到几何知识或借助于几何图形来分析，在实在分析不出来的情况下，将n k 1和 n 后作差，即可求出增加量，然后只需稍加说明即可，这也是用数学归纳法证明几何命题的一大技巧 课堂互动讲练 课堂互动讲练 例 3 用数学归纳法证明平面内有 中每两个圆都相交于两点，且每三个圆都不相交于同一点则这 n 2个部分 课堂互动讲练 【 思路点拨 】 本题中找到第 k 1个圆被原来的 每一条弧把它所在部分分成了两块，此时共增加了 2题就得到了解决 【 证明 】 (1)当 n 1时，即一个圆把平面分成 2个部分， f(1) 2，又 n 1时， n 2 2，所以命题成立 (2)假设 n k(k1且 k N*)时，命题成立，即 f(k) k 2个部分 那么当 n k 1时，记第 k 1个圆为 2 每条弧把原区域分成 2部分，因此这个平面被圆分成的部分就增加了 2： 课堂互动讲练 f(k 1) f(k) 2k k 2 2k (k 1)2 (k 1) 2， 也即 n k 1时命题成立 由 (1)(2)可知，对任意 n N*命题均成立 【 思维总结 】 用数学归纳法证明与正整数有关的几何问题，由 k 1时常利用几何图形来分析前后的变化情况，并用严谨的文字给予说明 课堂互动讲练 用数学归纳法证明与 是直接给出不等式，按要求进行证明；二是给出两个式子，按要求比较它们的大小对第二类形式，往往要先对 免出现判断失误，再猜出从某个 后用数学归纳法证明 课堂互动讲练 考点四 用数学归纳法证明不等式 课堂互动讲练 例 4 用数学归纳法证明 ： 1 1 1213 12n 12n ( n N*) 课堂互动讲练 【证明】 ( 1 ) 当 n 1 时，左式 112，右式12 1 ， 32 1 1232，即命题成立 ( 2 ) 假设当 n k ( k N*且 k 2) 时命题成立，即 1 1 1213 12k 12 k ， 则当 n k 1 时， 课堂互动讲练 1 1213 12k 12k 112k 2 12k 2k 1 2k12k 1 1 k 12. 又 1 1213 12k 12k 112k 2 12k 2k 3 ， 9. d 33 2 ， 1 . 2 分 1 123， 当 n 2 时， 1 1 12 1， 课堂互动讲练 1 1 12(1 12 1) ， 4 分 化简，得 3 1， 是首项为23，公比为13的等比数列， 即 3(13)n 123n ， 2 n 1 ，
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