2011年高考数学 题型专题冲刺精讲 专题五 解析几何教案（打包2套）
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2011年高考数学 题型专题冲刺精讲 专题五 解析几何教案（打包2套）,年高,数学,题型,专题,冲刺,解析几何,教案,打包
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第页 12011年高考题型专题冲刺精讲（数学） 专题 五 解析几何 【命题特点】 近三年高考解析几何每年出一道满分为 12分的解析几何大题 一是解析几何是中学数学的一个重要组成部分 ,二是同学们在未来学习、发展中的需要所致 感觉如山间的涓涓清泉滋润心田 ,甘甜可口 ,不愿离去 我从其志、探其源、求其真 发现这几年的解析几何大题的命题特点可概括如下 :依纲靠本 ,查基考能 ;朴实取材 ,独具匠心 ;不断创新 ,关注交汇 ;交切中点 ,核是线圆 ;长度面积 ,最值定值 ;平 行垂直 ,向量驾驭 ;求轨探迹 ,运动探究 ;数形结合 ,各领风骚 ;灵气十足 ,回味无穷 ;文理有别 ,意境深远 . 复习建议 步掌握了解决直线与圆锥曲线有关问题的基本技能和基本方法。 2由于直线与圆锥曲线是高考考查的重点内容，选择、填空题灵活多变，思维能力要求较高，解答题背景新颖、综合性强，代数推理能力要求高，因此有必要对直线与圆锥曲线的重点内容、高考的 热点问题作深入的研究。 3在第一轮复习的基础上，再通过纵向深入，横向联系，进一步掌握解决直线与圆锥曲线问题的思想和方法，提高我们 分析问题和解决问题的能力。 加强心理辅导，帮助学生克服惧怕计算的心态。 【试题常见设计形式】 近四年新教材高考对解析几何内容的考查主要集中在如下几个类型： 求曲线方程 (类型确定、类型未定 )； 直线与圆锥曲线的交点问题 (含切线问题 )； 与曲线有关的最 (极 )值问题； 与曲线有关的几何证明 (对称性或求对称曲线、平行、垂直 )； 探求曲线方程中几何量及参数间的数量特征； 解析几何虽然内容庞杂，但基本问题却只有几个 直线与圆锥曲线的方程；求动点的轨迹或轨迹方程 ；求特定对象的值；求变量的取值范围或最值；不等关系的判定与证明；圆锥曲线有关性质的探求与证明等 生应从理论上掌握几种基本方法，使之在实际应用中有法可依，克服解题的盲目性 变量的取值范围”，可指导学生掌握三种方法：几何法（数形结合），函数法和不等式法 . 从宏观上把握解决直线与圆锥曲线问题的解题要点，能帮助学生易于找到解题切入点，优化解题过程，常用的解题策略有：建立适当的平面直角坐标系；设而不求，变式消元；利用韦达定理沟通坐标与参数的关系；发掘平面几何性质，简化代数运算；用 函数与方程思想沟通等与不等的关系；注意对特殊情形的检验和补充；充分利用向量的工具作用；注意运算的可行性分析，等等。运算是解析几何的瓶颈，它严重制约考生得分的高低，甚至形成心理障碍 法，细化运算过程，转化相关条件，回避非必求量，注意整体代换等运算技能，从能力的角度提高对运算的认识，反思运算失误的经验教训，不断提高运算水平 . 【突破方法技巧】 1突出解析几何的基本思想：解析几何的实质是用代数方法研究几何问题，通过曲线的方程研究曲线的性质，因此要掌握求曲线方程的思路和方法，它 是解析几何的核心之一 一类是曲线形状明确，方程形式已知 (如直线、圆、圆锥曲线的标准方程等 )，常用待定系数法求方程 . 另一类是曲线形状不明确或不便于用标准形式表示，一般采用以下方法： （ 1）直译法：将原题中由文字语言明确给出动点所满足的等量关系直接翻译成由动点坐标表示的等 第页 2量关系式 . （ 2）代入法：所求动点与已知动点有着相互关系，可用所求动点坐标（ x,y）表示出已知动点的坐标，然后代入已知的曲线方程 . （ 3）参数法：通过一个（或多个）中间变量的引入，使所求点的坐标之间的关 系更容易确立，消去参数得坐标的直接关系便是普通方程 . （ 4）交轨法：动点是两条动曲线的交点构成的，由 x,y 满足的两个动曲线方程中消去参数，可得所求方程 及圆锥曲线的基本知识 (1)直线和圆 直线的倾斜角及其斜率确定了直线的方向 ( )倾斜角 的范围是： 0 1）的两条直线 都只有一个交点，且12 ,求 来 考点二、 圆锥曲线的几何性质 圆锥曲线中的基本元素：长短轴，焦距，渐近线，离心率等，在自身多处综合 就会演变成中档题，要求熟练掌握其关系，灵活运用图形帮助分析。圆锥曲线第一定义中的限制条件、圆锥曲线第二定义的统一性，都是考试的重点内容，要能够熟练运用；常用的解题技巧要熟记于心 . 【 例 5】 如图（ 21）图， M（ 0）和 N（ 2， 0）是平面上的两点，动点 N（）求点 ）若 2 1 c o P N M P N ,求点 【 例 6】 2010 江西设椭圆1C： 22 1 ( 0 )xy ，抛物线2C： 22x by b. (1) 若21(2) 设 5(0 , ), (3 3 , )4A b Q b，又 为1y 轴上的两个交点，若 的垂心为 3(0, )4 的重心在2椭圆1 考点三、 有关圆锥曲线的定义的问题 利用圆锥曲线的第一、第二定义求解 . 【 例 7】 如图， ： 22 1 0 , 0xy 的右焦点新疆源头学子小屋 特级教师 王新敞疆右支上一点，且位于 x 轴上方， O 为坐标原点新疆源头学子小屋 特级教师 王新敞疆已知四边形 平行四边形， F新疆源头学子小屋 特级教师 王新敞疆（）写出双曲线 C 的离心率 e 与 的关系式；（）当 1 时，经过焦点 F 且品行于 直线交双曲线于 A、 12，求此时的双曲线方程新疆源头学子小屋 特级教师 王新敞疆y 第页 5【 例 8】 设 ,2 1( , 0 )xy 的左、右顶点，椭圆长半轴的长等于焦距，且 4x 为它的右准线 （）求椭圆的方程；（）设 P 为右准线上不同于点（ 4， 0）的任意一点， 若直线 ,别与椭圆相交于异于 ,N、 ，证明：点 B 在以 直径的圆内新疆源头学子小屋 特级教师 王新敞疆考点四、 直线与圆锥曲线位置关系问题 （ 1）求解直线与圆锥曲线的位置关系的基本方法是解方程组，进而转化为一元二次方程后利用判别式，应特别注意数形结合的办法。 （ 2）注意韦达定理的应用。 弦长公式：斜率为 B，若 A、 ( B( 4)(1(212212 （ 3）注意斜率不存在的情况的讨论和焦半径公式的使用。 （ 4）有关中点弦问题 已知直线与圆 锥曲线方程，求弦的中点及与中点有关的问题，常用韦达定理。 有关弦的中点轨迹，中点弦所在直线方程，中点坐标问题，有时采用“差分法”可简化运算。 【 例 9】 已知双曲线 22: 1 ( 0 , 0 )a 的两个焦点为 : ( 2 , 0 ) , : ( 2 , 0 ) , ( 3 , 7 )F F P 点 在曲线 （）求双曲线 （）记 点 Q (0,2)的直线 相交于不同的两点 E、 F，若 2, 求直线 【 例 10】 设点 00,P x , 0 1x m y m m 上，过点 P 作双曲线 221的两条切线 B、 ，切点为，定点 M (0) （ 1） 过点 A 作直线 0的垂线，垂足为 N ，试求 重心 G 所在的曲线方程； （ 2） 求证： A M B、 、 三点共线 A B (4 ,0 ) 第页 6考点五、圆锥曲线综合应用 平面解析几何与平面向量都具有数与形结合的特征，所以这两者多有结合，在它们的知识点交汇处命题，也是高考命题的一大亮点 久不衰的一个考查重点，另外，圆锥曲线中参数的取值范围问题、最值问题、定值问题、对称问题等综合性问题也是高考的常考题型 要 “ 精打细算 ” ，近几年解析几何问题的难度有所降低，但仍是一个综合性较强的问题，对考生的意志品质和数学机智都是一 种考验，是高考试题中区分度较大的一个题目，有可能作为今年高考的一个压轴题出现 . 圆锥曲线的有关最值问题： 圆锥曲线中的有关最值问题，常用代数法和几何法解决。 （ 1）若命题的条件和结论具有明显的几何意义，一般可用图形性质来解决。利用圆锥曲线的定义，把到焦点的距离转化为到准线的距离；（ 2）若命题的条件和结论体现明确的函数关系式，则可建立目标函数（通常利用二次函数，三角函数，均值不等式）求最值。 圆锥曲线的 有关范围问题：设法得到不等式，通过解不等式求出范围，即：“ 求范围，找不等式 ”。或者表示为另一个变量的函数，利 用求函数的值域求出范围； 圆锥曲线中的存在性问题： 存在性问题，其一般解法是先假设命题存在，用待定系数法设出所求的曲线方程或点的坐标，再根据合理的推理，若能推出题设中的系数，则存在性成立，否则，不成立 . 【 例 11】 2010 大纲全国 I、 已知抛物线 2:4C y x 的焦点为 F，过点 ( 1,0)K 的直线 l 与 C 相交于 A 、 A 关于 x 轴的对称点为 D（）证明：点 F 在直线 ；（）设 89B ，求 的内切圆 . . 【 例 12】 2010山东、如图，已知椭圆22221 ( 0 )xy 的离心率为 22 ，以该椭圆上的点和椭圆的左、右焦点12,( 2 1) 曲线的顶 点是该椭圆的焦点，设 P 为该双曲线上异于顶点的任一点，直线1A、 和 . （）求椭圆和双曲线的标准方程；（）设直线1k，证明12 1（）是否存在常数 ，使得 A B C D A B C D 恒成立？若存在，求 的值；若不存在，请说明理由 . 【 例 13】 2010 湖南 、 为了考察冰川的融化状况，一支科考队在某冰川上相距 8， 冰川面为平面形，以过 A， 段 6）在直线 2x 的右侧，考察范围为到点 55直线 2x 的左侧，考察范围为到 A， 5 ）求考察区域边界曲线的方程； 第页 7（ ）如图 6 所示，设线段123考虑其他边界），当冰川融化时，边界线沿与其垂直的方向朝考察区域平行移动，第一年移动 后每年移动的距离为前一年的 2 倍，求冰川边界线移动到考察区域所需的最短时间 【 例 14】 2010 福建、已知中心在坐标原点 经过点 A（ 2， 3），且点 F（ 2， 0）为其右焦点。（ 1）求椭圆 2）是否存在平行于 直线 l ，使得直线 l 与椭圆 直线 l 的距离等于 4？若存在，求出直线 l 的方程；若不存在，请说明理由。 【命题意图】本小题主要考查直线、椭圆等基础知识，考查运算求解能力、推理论证能力，考查函数与方程思想、数形结合思想、化归与转化思想。 【 例 15】 2010 浙江、 已知 m 1，直线 2:02ml x m y ， 椭圆 2 22:1， 1, 2 的左、右焦点 . （ ）当直线 l 过右焦点2直线 l 的方程； （ ）设直线 l 与椭圆 C 交于 ,2 12 在以线段直径的圆内，求实数 m 的取值范围 . 【突破 训练】 1、 如图所示，已知圆 ,0,1(,8)1(: 22 定点 为圆上一动点，点 满足 ,0,2 的轨迹为曲线 E.（ I）求曲线 点 5的直线 于两点 H、 Q，求 | . . . . ( 4,0)A (4,0)B 1( 5 3, 1)P O x y 283( ,6)3P 已 融 化 区 域 冰 川 图 6 . 3(8,6)P x=2 第页 8A y x O B G F 4 2、已知两点 A( 2,0) ， B( 2,0) ，动点 P 在 y 轴上的射影为 Q， 2B 2，（ 1）求动点 P 的轨迹 （ 2）设直线 ，斜率为 k，当 0 k 1时，曲线 E 的上支上有且仅有一点 C 到直线 ，试求 的坐标 . 3、 在直角坐标系中，已知一个圆心在坐标原点，半径为 2的圆，从这个圆上任意一点 P向 ， P 为垂足 .（ 1）求线段 中点 的方程；（ 2）过点 Q( 2,0)作直线 交于 A、B 两点，设 ( ,0)17，且以 )1,0(a 为方向向量的直线上一动点，满足 （ 问是否存在 这样的直线 l，使得四边形 存在，求出直线 不存在，说明文由 . 4、设 0b ，椭圆方程为 2212，抛物线方程为 2 8( )x y b如图 4所示，过点 (0 2) 作 x 轴的平行线，与抛物线在第一象限的交点为G ，已知抛物线在点 G 的切线经过椭圆的右焦点 1F （ 1）求满足条件的椭圆方程和抛物线方程；（ 2）设 分别是椭圆长轴的左、右端点，试探究在抛物线上是否存 在点 P ，使得 为直角三角形？若存在，请指出共有几个这样的点？并说明理由（不必具体求出这些点的坐标） 5、设椭圆 22: 1 ( 0 )a 其相应于焦点 (2,0)F 的准线方程为 4x .（ ）求椭圆 C 的方程； （ ）已知过点1( 2,0)F 倾斜角为 的直线交椭圆 C 于 ,证： 2422 O S ; （ ）过点1( 2,0)F 作两条互相垂直的直线分别交椭圆 C 于 , E 的最小值 6、已知抛物线 2:4C y x ，点 M(m,0)在 相交于 A、 （ ）若 m=1， ，求以 ）若存在直线 |, | |, | |A M O M M 实数 . 第页 92010天津、已知椭圆 221(a b 0)的离心率 32e，连接椭圆的四个顶点得到的菱形的面积为 4。 ( )求椭圆的方程： ( )设直线 l 与椭圆相交于不 同的两点 ,知点 A 的坐标为 ( 0)，点 Q (0，0y)在线段 垂直平分线上，且 4。求0 8、 已知椭圆 14222 焦点分别为 满足 121 过 A、 、 （ 1）求 （ 2）求证直线 3）求 9、 湖北、已知一条曲线 C在 y 轴右边， C 上没一点到点 F(1,0)的距离减去它到 y 轴距离的差是 1.( )求曲线 C 的方程； ( )是否存在正数 m，对于过点 M(m,0)且与曲线 C 有连个交点 A,B 的任一直线，都有0B? 若存在，求出 m 的取值范围；若不存在，请说明理由 . 10、四川省文 k#s 已知定点 A( 1， 0)， F(2， 0)，定直线 l： x 12，不在 x 轴上的动点 P 与点 F 的距离是它到直线 倍 的轨迹为 E，过点 于 B、 线 、 N（）求 ）试判断以线段 ，并说明理 由 . 11、北京文、已知椭圆 C 的左、右焦点坐标分别是 ( 2,0) ， ( 2,0) ，离心率是 63，直线 y=t 椭圆 ， N，以线段 ,圆心为 P。（）求椭圆 ）若圆 P 与 圆心 ）设 Q（ x， y）是圆 12、已知 的面积为 S，且 Q 1，建立如图所示坐标系， （ 1）若 1 |2 ，求直线 方程； （ 2）设 | c(c 2)， 3若以 ， 求当 |取得最小值时的椭圆方程 . 第页 10F 2F 1A 2A 1Q M 题（ 20）图 2l 1l y G E N H O 13如图，1F( 3,0)，2F(3,0)是双曲线 C 的两焦点，直线 4双曲 线 C 的右准线，12A,的两个顶点，点 右支上异于2线1的右准线分别于 M, （ 1）求双曲线 （ 2）求证：12定值 . 14、已知点 H( 3,0) ，点 P在 Q在 满足 M 0，3 ，（ 1）当点 P在 点 ；（ 2）过点 T( 1,0) 作直线 交于 A、 在 x ,0)，使得 为等边三角形，求0 15 2010重庆、 已知以原点 O 为中心， )0,5(F 为右焦点 的双曲线 C 的离心率25e. （）求双曲线 C 的标准 方程及其渐近线方程； （）如题（ 20）图，已知过点 ),( 11 直线 44: 111 过点 ),( 22 其中 12 ）的直线 44: 222 交点 E 在双曲线 C 上，直线 两条渐近线分别交于 两点，求 的面积 . 第页 12011年高考题型专题冲刺精讲（数学） 专题 五 解析几何 【命题特点】 近三年高考解析几何每年出一道满分为 12分的解析几何大题 一是解析几何是中学数学的一个重要组成部分 ,二是同学们在未来学习、发展中的需要所致 感觉如山间的涓涓清泉滋润心田 ,甘甜可口 ,不愿离去 我从其志、探其源、求其真 发现这几年的解析几何大题的命题特点可概括如下 :依纲靠本 ,查基考能 ;朴实取材 ,独具匠心 ;不断创新 ,关注交汇 ;交切中点 ,核是线圆 ;长度面积 ,最值定值 ;平 行垂直 ,向量驾驭 ;求轨探迹 ,运动探究 ;数形结合 ,各领风骚 ;灵气十足 ,回味无穷 ;文理有别 ,意境深远 . 复习建议 步掌握了解决直线与圆锥曲线有关问题的基本技能和基本方法。 2由于直线与圆锥曲线是高考考查的重点内容，选择、填空题灵活多变，思维能力要求较高，解答题背景新颖、综合性强，代数推理能力要求高，因此有必要对直线与圆锥曲线的重点内容、高考的 热点问题作深入的研究。 3在第一轮复习的基础上，再通过纵向深入，横向联系，进一步掌握解决直线与圆锥曲线问题的思想和方法，提高我们 分析问题和解决问题的能力。 加强心理辅导，帮助学生克服惧怕计算的心态。 【试题常见设计形式】 近四年新教材高考对解析几何内容的考查主要集中在如下几个类型： 求曲线方程 (类型确定、类型未定 )； 直线与圆锥曲线的交点问题 (含切线问题 )； 与曲线有关的最 (极 )值问题； 与曲线有关的几何证明 (对称性或求对称曲线、平行、垂直 )； 探求曲线方程中几何量及参数间的数量特征； 解析几何虽然内容庞杂，但基本问题却只有几个 直线与圆锥曲线的方程；求动点的轨迹或轨迹 方程；求特定对象的值；求变量的取值范围或最值；不等关系的判定与证明；圆锥曲线有关性质的探求与证明等 生应从理论上掌握几种基本方法，使之在实际应用中有法可依，克服解题的盲目性 变量的取值范围”，可指导学生掌握三种方法：几何法（数形结合），函数法和不等式法 . 从宏观上把握解决直线与圆锥曲线问题的解题要点，能帮助学生易于找到解题切入点，优化解题过程，常用的解题策略有：建立适当的平面直角坐标系；设而不求，变式消元；利用韦达定理沟通坐标与参数的关系；发掘平面几何性质，简化代数运算； 用函数与方程思想沟通等与不等的关系；注意对特殊情形的检验和补充；充分利用向量的工具作用；注意运算的可行性分析，等等。运算是解析几何的瓶颈 ，它严重制约考生得分的高低，甚至形成心理障碍 法，细化运算过程，转化相关条件，回避非必求量，注意整体代换等运算技能，从能力的角度提高对运算的认识，反思运算失误的经验教训，不断提高运算水平 . 【突破方法技巧】 1突出解析几何的基本思想：解析几何的实质是用代数方法研究几何问题，通过曲线的方程研究曲线的性质，因此要掌握求曲线方程的思路 和方法，它是解析几何的核心之一 一类是曲线形状明确，方程形式已知 (如直线、圆、圆锥曲线的标准方程等 )，常用待定系数法求方程 . 另一类是曲线形状不明确或不便于用标准形式表示，一般采用以下方法： （ 1）直译法：将原题中由文字语言明确给出动点所满足的等量关系直接翻译成由动点坐标表示的等 第页 2量关系式 . （ 2）代入法：所求动点与已知动点有着相互关系，可用所求动点坐标（ x,y）表示出已知动点的坐标，然后代入已知的曲线方程 . （ 3）参数法：通过一个（或多个）中间变量的引入，使所求点的坐 标之间的关系更容易确立，消去参数得坐标的直接关系便是普通方程 . （ 4）交轨法：动点是两条动曲线的交点构成的，由 x,y 满足的两个动曲线方程中消去参数，可得所求方程 及圆锥曲线的基本知识 (1)直线和圆 直线的倾斜角及其斜率确定了直线的方向 ( )倾斜角 的范围是： 0 1）的两条直线 都只有一个交点，且12 ,求 故221 ( 2 )2 ，即 2 2 12x y。 （ 2）设1 :l y kx h，则由12，2 1:l y x 。 第页 7将1 :l y kx h代入 2 2 12x y得 2 2( ) 12x kx h ，即 2 2 2(1 2 ) 4 2 2 0k x k h x h ， 由1只有一个交点知， 2 2 2 21 6 4 (1 2 ) ( 2 2 ) 0k h k h ，即 2212。 同理，由2只有一个交点知， 22112 ，消去 2h 得 221 ，即 2 1k ，从而 221 2 3 ，即 3h 。 考点二、 圆锥曲线的几何性质 圆锥曲线中的基本元素：长短轴，焦距，渐近线，离心率等，在自身多处综合就会演变成中档题，要求熟练掌握其关系，灵活运用图形帮助分析。圆锥曲线第一定义中的限制条件、圆锥曲线第二定义的统一性，都是考试的重点内容，要能够熟练运用；常用的解题技巧要熟记于心 . 【 例 5】 如图（ 21）图， M（ 0）和 N（ 2， 0）是平面上的两点，动点 N（）求点 （）若 21 c o P N M P N,求点 解： ( )由椭圆的定义，点 P 的轨迹是以 M、 N 为焦点，长轴长 2a=6 的椭圆 . 因此半焦距 c=2，长半轴 a=3，从而短半轴 b= 22 5 ， 所以椭圆的方程为 ( )由 2 ,1 c o P N M P N 得 c o s 2 P N M P N P M P N 因为 ,M 不为椭圆长轴顶点，故 P、 M、 在 4, 由 余 弦 定 理 有2 2 2 2 c o s P M P N P M P N M P N 将代入，得 2224 2 ( 2 ) P N P M P N 故点 、 轴长为 23的双曲线 2 2 13x y上 . 第页 8由 ( )知，点 2195，所以 由方程组 22225 9 4 5,3 3 解得33,25 即 3 5 3 3 5 3 3 5 3 3 5( , )2 2 2 2 2 2 2 2、 （ ， - ） 、 （ - ， ） 或 （ ， - ） .【 例 6】 2010 江西设椭圆1C： 22 1 ( 0 )xy ，抛物线2C： 22x by b. (1) 若21(2) 设 5(0 , ), (3 3 , )4A b Q b，又 为1y 轴上的两个交点，若 的 垂心为 3(0, )4 的重心在2椭圆1 解：（ 1）因为抛物线2, 0 ), ( , 0 )F c F c，可得： 22，由 2 2 2 22a b c c 得椭圆12e （ 2）由题设可知 ,y 轴对称，设1 1 1 1 1( , ) , ( , ) , ( 0 )M x y N x y x， 则由 的垂心为 B ，有 0N，所以 21 1 13( ) ( ) 04x y b y b 由于点11( , )N x 有 2211x by b 式代入式并化简得： 22114 3 0y b y b ，解得1 4或1舍去）， 所以152，故 55( , ) , ( , )2 4 2 4b N b ，所以 的重心为 ( 3, )4b ， 因为重心在22 234b b，所以 2b ， 11( 5 , ) , ( 5 , )22 ， 又因为 ,以 2221()( 5 ) 2 14a，得 2 163a y 第页 9所以椭圆122116 43，抛物线 2C 的方程为： 2 24 考点三、 有关圆锥曲线的定义的问题 利用圆锥曲线的第一、第二定义求解 . 【 例 7】 如图， ： 22 1 0 , 0xy 的右焦点新疆源头学子小屋 特级教师 王新敞疆右支上一点，且位于 x 轴上方， O 为坐标原点新疆源头学子小屋 特级教师 王新敞疆已知四边形 平行四边形， F新疆源头学子小屋 特级教师 王新敞疆（）写出双曲线 e 与 的关系式；（）当 1 时，经过焦点 、 12，求此时的双曲线方程新疆源头学子小屋 特级教师 王新敞疆解：四边形 ， | | | |O F PM c，作双曲线的右准线交 H，则 2| | | | 2 P ，又 2222 2 2 2| | | | | 2 222P F O F c c c a ， 2 20 新疆源头学子小屋 特级教师 王新敞疆（）当 1 时， 2e ， 2， 223，双曲线为 22143四边形 菱形，所以直线 ，则直线 方程为 3 ( 2 )y x a，代入到双曲线方程得： 229 4 8 6 0 0x a x a ， 又 12，由 221 2 1 21 ( ) 4A B k x x x x 得： 224 8 6 01 2 2 ( ) 499，解得 2 94a ，则2 274b ，所以2212794为所求新疆源头学子小屋 特级教师 王新敞疆【 例 8】 设 ,2 1( , 0 )xy 的左、右顶点，椭圆长半轴的长等于焦距，且 4x 为它的右准线 （）求椭圆的方程；（）设 P 为右准线上不同于点（ 4， 0）的任意一点， 若直线 ,P 分别与椭圆相交于异于 ,N、 ，证明：点 B 在以 直径的圆内新疆源头学子小屋 特级教师 王新敞疆 第页 10 2 ， 0，则 而 点 N 为直径的圆内新疆源头学子小屋 特级教师 王新敞疆解法 2：由（）得 A（ 2， 0）， B（ 2， 0）新疆源头学子小屋 特级教师 王新敞疆设 M（ N（ 则 2已知直线与圆锥曲线方程，求弦的中点及与中点有关的问题，常用韦达定理。 有关弦的中点轨迹， 中点弦所在直线方程，中点坐标问题，有时采用“差分法”可简化运算。 【 例 9】 已知双曲线 22: 1 ( 0 , 0 )a 的两个焦点为 : ( 2 , 0 ) , : ( 2 , 0 ) , ( 3 , 7 )F F P 点 在曲线 （）求双曲线 （）记 点 Q (0,2)的直线 相交于不同的两点 E、 F，若 2, 求直线 解： ( )依题意，由 a2+，得双曲线方程为 14 2222 0 4），将点（ 3， 7 ）代入上式，得 14 79 22 8（舍去）或 2，故所求双曲线方程为 ( )解：依题意，可设直线 y=，代入双曲线 得 (1 k2)46=0.直线 相交于不同的两点 E、 F, ,33,10)1(64)4(,01222， k ( 1,3 ) (1, 3 ). 设 E(x1,F(x2,则由式得 x1+,1 6,1 4 2212 于是 | 2212221221 )(1()()( =|1|32214)(1222212212 而原点 d212k, .|1|322|1|32211221|21222222 若 22 ，即 ,0222|1|322 2422 得 k= 2 , 第页 12满足 方程分别为 y= 22 x 和 【 例 10】 设点 00,P x , 0 1x m y m m 上，过点 P 作双曲线 221的两条切线B、 ，切点为 ，定点 M (0) （ 1） 过点 的垂线，垂足为 N ，试求 重心 （ 2） 求证： A M B、 、 三点共线 解：（ 1）设 ),( AA ),(NN 线 ，则 1xx ， )2,2( ， 设 ),( 则 得入双曲线方程 122 并整理得 1292)31(9 22 即 1( 22 （ 2）设 ),( 11 ),( 22 k，则切线 )( 11 由1)(2211 yx 消去 y 并整理 得： 01)()(2)1( 2111122 因为直线与双曲线相切，从而 = )1(4)(1(4)(4 221122112 = 0，及 12121 解得11此 方程为： 111 同理 122 ),(0A、 第页 13，1101 ( 11 ,( 22 1y y 上，又 1( ,0) 1y y 上， A、 M、 考点五、圆锥曲线综合应用 平面解析几何与平面向量都具有数与形结合的特征，所以这两者多有结合，在它们的知识点交汇处命题，也是高考命题的一大亮点 新、经久不衰的一个考查重点，另外，圆锥曲线中参数的取值范围问题、最值问题、定值问题、对称问题等综合性问题也是高考的常考题型 要 “ 精打细算 ” ，近几年解析几何问题的难度有所降低，但仍是一个综合性较强的问题，对考生的意志品质和数学机智都是一种考验，是高考试题中区分度较大的一个题目，有可能作为今年高考的一个压轴题出现 . 圆锥曲线的有关最值问题： 圆锥曲线中的有关最值问题，常用代数法和几何法解决。 若命题的条件和结论具有明显的几何意义，一般可用图形性质来解决。利 用圆锥曲线的定义，把到焦点的距离转化为到准线的距离 若命题的条件和结论体现明确的函数关系式，则可建立目标函数（通常利用二次函数，三角函数，均值不等式）求最值。 圆锥曲线的 有关范围问题：设法得到不等式，通过解不等式求出范围，即：“ 求范围，找不等式 ”。或者表示为另一个变量的函数，利用求函数的值域求出范围； 圆锥曲线中的存在性问题： 存在性问题，其一般解法是先假设命题存在，用待定系数法设出所求的曲线方程或点的坐标，再根据合理的推理，若能推出题设中的系数，则存在性成立，否则，不成立 . 【 例 11】 2010 大纲全国 I、 已知抛物线 2:4C y x 的焦点为 F，过点 ( 1,0)K 的直线 l 与 C 相交于 A 、 A 关于 x 轴的 对称点为 D（）证明：点 F 在直线 ；（）设 89B ，求 的内切圆 . 【命题意图】本小题为解析几何与平面向量综合的问题，主要考查抛物线的性质、直线与圆的位置关系，直线与抛物线的位置关系、圆的几何性质与圆的方程的求解、平面向量的数量积等知识 ,考查考生综合运用数学知识进行推理论证的能力、运算能力和解决问题的能力，同时考查了数形结合思想、设而不求思想 . 解： 设11( , )A x y，22( , )B x y，11( , )D x y， l 的方程为 1( 0 )x m y m . 第页 14（ ）由 知， 21 2 1 2( 1 ) ( 1 ) 4 2x x m y m y m 1 2 1 2( 1 ) ( 1 ) 1 .x x y m y 因为 11( 1, ),FA x y2( 1, )FB x y 21 2 1 2 1 2 1 2( 1 ) ( 1 ) ( ) 1 4 8 4F A F B x x y y x x x x m u u r u u r 故 2 8849m，解得 43m所以 l 的方程为 3 4 3 0 , 3 4 3 0x y x y 又由 知 221 4( 4 ) 4 4 73y y m 故直线 斜率21437，因而直线 方程为3 7 3 0 , 3 7 3 0 .x y x y 因为 的平分线，故可设圆心 ( , 0 )( 1 1)M t t ， ( ,0) l 及 1 3 1,54 1 3 154 得 19t ， 或 9t （舍去），故圆 1253的方程为 2214()99 . 【 例 12】 2010山东、如图，已知椭圆22221 ( 0 )xy 的离心率为 22 ，以该椭圆上的点和椭圆的左、右焦点12,( 2 1) 是该椭圆的焦点，设 P 为该双曲线上异于顶点的任一点，直线 第页 151A、 和 . （）求椭圆和双曲线的标准方程；（）设直线1k，证明12 1（）是否存在常数 ，使得 A B C D A B C D 恒成立？若存在，求 的值；若不存在，请说明理由 . 0y）在双曲线上，所以有 2200144，即 22004，所以122020 4=1。 （）假设存在常数 ，使得 A B C D A B C D 恒成立，则由（）知12 1所以设直线 2)y k x，则直线 方程为 1 ( 2)， 由方程组 22( 2)184y k 消 2 2 2 2( 2 1 ) 8 8 8 0k x k x k ，设11( , )A x y，22( , )B x y， 则由韦达定理得： 212 28 ,21k 212 288,21k 所以 | 221 2 1 21 ( ) 4k x x x x = 224 2(1 )21 ，同 理可得 | 2 21 2 1 211 ( ) ( ) 4x x x = 2214 2(1 )121= 224 2(1 )2 ， 又因为 A B C D A B C D ，所以有 11| | | |A B C D = 22214 2(1 )+ 2224 2(1 ) 第页 16= 223 3 3 284 2 (1 )，所以存在常数 328，使得 A B C D A B C D 恒成立。 【 例 13】 2010 湖南 、 为了考察冰川的融化状况，一支科考队在某冰川上相距 8， 冰川面为平面形，以过 A， 段 6）在直线 2x 的右侧，考察范围为到点 55直线 2x 的左侧，考察范围为到 A， 5 ）求考察区域边界曲线的方程； （ ）如图 6 所示，设线段123考虑其他边界），当冰川融化时，边界线沿与其垂直的方向朝考察区域平行移动，第一年移动 后每年移动的距离为前一年的 2 倍，求冰川边界线移动 到考察区域所需的最短时间 解：（） 设边界曲线上点 , ) 当 x 2 时，由题意知22 36( 4 ) 5 ； 当 以考察区域边界到冰川边界线的最短距离为 由题设及等比数列求和公式，得 1) 321n ，所以 n 年 . 【 例 14】 2010 福建、已知中心在坐标原点 经过点 A（ 2， 3），且点 F（ 2， 0）为其右焦点。（ 1）求椭圆 2）是否存在平行于 直线 l ，使得直线 l 与椭圆 直线 l 的距离等于 4？若存在，求出直线 l 的方程；若不存在，请说明理由。 【命题意图】本小题主要考查直线、椭圆等基础知识，考查运算求解能力、推理论证能力，考查函数与方程思想、数形结合思想、化归与转化思想。 【解析】（ 1）依题意，可设椭圆 2 1 ( a 0 ,b 0 )，且可知左焦点为 F（ 0），从而有c = 22 a = |A F |+ |A F |= 3 + 5 = 8，解得 c=2a=4， 又 2 2 2a =b +c ，所以 2b 12 ，故椭圆 2116 12。 （ 2）假设存在符合题意的直线 l ，其方程为 3y= x+ 由223y= x+=116 12得 223 x + 3 t = 0， 第页 18因为直线 l 与椭圆有公共点，所以有 223 t ) - 4 3 ( t - 1 2 ) 0 （ ，解得 4 3 t 4 3 ， 另一方面，由直线 l 的距离 4可得： | t|=4914 ，从而 t= 2 13 ， 由于 2 13 4 3,4 3，所以符合题意的直线 l 不存在。 【 例 15】 2010 浙江、 已知 m 1，直线 2:02ml x m y ， 椭圆 2 22:1， 1, 2 的左、右焦点 . （ ）当直线 l 过右焦点2直线 l 的方程； （ ）设直线 l 与椭圆 C 交于 ,2 12 在以线段直径的圆内，求实数 m 的取值范围 . 解： （）因为直线 :l 2 02mx m y 经过 22 ( 1, 0) 所以 22 12,得 2 2m ，又因为 1m ，所以 2m ， 故直线 l 的方程为 22202 。 （）解：设1 1 2 2( , ), ( , )A x y B x y。 由222221mx ，消去 x 得 222 1 04my m y 则由 2228 ( 1 ) 8 04 ，知 2 8m ， 且有 21 2 1 21,2 8 2y y y 。由于 12( , 0 ), ( , 0 ),F c F c ，故 O 为 12中点， 第页 19由 2 , 2A G G O B H H O，可知 1 1 2 1( , ), ( , ),3 3 3 3x y x 2 1 2( ) ( )99x x y 设 M 是 中点，则 1 2 1 2( , )66x x y ，由题意可知 2,H 即 22221 2 1 2 1 2 1 2( ) ( )4 ( ) ( ) 6 6 9 9x x y y x x y y 即1 2 1 2 0x x y y而 221 2 1 2 1 2 1 2( ) ( )x y y m y m y y y 22 1( 1 ( )82 ） 所以 2 1 082m 即 2 4m 又因为 1m 且 0 所以 12m。所以 m 的取值范围是 (1,2) 。 【突破训练】 1、 如图所示，已知圆 ,0,1(,8)1(: 22 定点 为圆上一动点，点 M 上，点 满足 ,0,2 的轨迹为曲线 E.（ I）求曲线 过点 5 的直线 于两点 H、 Q，求 | 【解】 （ 1） 线， |2 分 又 |,22| 动点 （ 1， 0）， A（ 1， 0）为焦点的椭圆 222 a 焦距 2c=2. ,2 2 5 分 曲线 12 22 6 分 （ 2）直线 l 的斜率 k 直线 l 的方程为 8 分 由 10 分 设 0,34),(),( 21212211 ， 第页 4(24)(1|1| 2212212212 2分 2、已知两点 A( 2,0) ， B( 2,0) ，动点 P 在 y 轴上的射影为 Q， 2B 2，（ 1）求动点 P 的轨迹 （ 2）设直线 ，斜率为 k，当 0 k 1时，曲线 E 的上支上有且仅有一点 C 到直线 ，试求 的坐标 . 解（ 1）设动点 x,y) ，则点 Q(0,y) ， x,0) ， P A ( 2 x , y ) ， P B ( 2 x , y ) ， 22P A P B x 2 y ，因为 2B 2 ，所以 2 2 2x 2 y 2 x ， 即动点 22y x 2； （ 2）设直线 m： y k ( x 2 ) ( 0 k 1 ) ， 依题意，点 与 的直线上， 设此直线为1m : y kx b，由2| 2k b | 2，即 2b 2 2， 把 y kx b代入 22y x 2，整理得： 2 2 2( k 1 ) x 2 k b x ( b 2 ) 0 ， 则 2 2 2 24 k b 4 ( k 1 ) ( b 2 ) 0 ，即 22b 2k 2， 由得： 25 10此时，由方程组222 5 1 0 2 2 , 1 0 )55y x 2 . 3、 在直角坐标系中，已知一个圆心在坐标原点，半径为 2的圆，从这个圆上任意一点 P向 ， P 为垂足 .（ 1）求线段 中点 的方程；（ 2）过点 Q( 2,0)作直线 线 、B 两点，设 ( ,0)17，且以 )1,0(a 为方向向量的直 线上一动点，满足 （ 问是否存在 这样的直线 l，使得四边形 存在，求出直线 不存在，说明文由 . 【 解】 （ 1）设 M(x， y)是所求曲线上的任意一点， P（ 方程 4的圆上的任意一点则 ).,0( 1有 44,2,22 2211111轨迹 1422 （ 1）当直线 椭圆无交点 . 所 以设直线 y = k(x+2)，与椭圆交于 第页 21A y x O B G F 4 A( B(点， N 点所在直线方程为 0444)4()2(14 222222 由 = )44)(4(416 2224 3 323 32 k 1(4,4 4 22212221 , 即 ， 四边形 假设存在矩形 0即 02121 即 04)(2)1( 2212212 于是有 04 416 22 21),( 2221000 由 ， 即点 74x 上 . 存在直线 线 1 0b ，椭圆方程为 2212，抛物线方程为 2 8( )x y b如图 4所示，过点 (0 2)作 x 轴的平行线，与抛物线在第一象限的交点为 G ，已知抛物线在点 G 的切线经过椭圆的右焦点1F（ 1）求满足条件的椭圆方程和抛物线方程；（ 2）设 分别是椭圆长轴的左、右端点，试探究在抛物线上是否存在点 P ，使得 为直角三角形？若存在，请指出共有几个这样的点？并说明理由（不必具体求出这些点的坐标） 【解析】（ 1）由 2 8( )x y b得 218y x b， 当 2 得 4x ， G 点的坐标为 (4, 2)b ， 144| 1 ，过点 2 ) 4y b x 即 2y x b ，令 0y 得2 ， 1F 点的坐标为 (2 ,0)b ，由椭圆方程得 1F 点的坐标为 ( ,0)b ，2 即 1b ，即椭圆和抛物线的方程分别为 2 2 12x y和 2 8( 1)； 第页 22（ 2） 过 A 作 x 轴的垂线与抛物线只有一个交点 P , 以 为直角的 只有一个，同理 以为直角的 只有一个。 若以 为直角，设 P 点坐标为 21( , 1)8 A 、 B 两点的坐标分别为 ( 2,0) 和 ( 2,0) ， 2 2 2 4 21 1 52 ( 1 ) 1 08 6 4 4P A P B x x x x 。 关于 2x 的二次方程有一大于零的解， x 有两解，即以 为直角的 有两个， 因此抛物线上存在四个点使得 为直角三角形。 5、设椭圆 22: 1 ( 0 )a 其相应于焦点 (2,0)F 的准线方程为 4x .（ ）求椭圆 C 的方程； （ ）已知过点1( 2,0)F 倾斜角为 的直线交椭圆 C 于 ,证： 2422 O S ; （ ）过点1( 2,0)F 作两条互相垂直的直线分别交 椭圆 C 于 , E 的最小值 解 ：（ 1）由题意得： 2222 2 22844ba b c 椭圆 C 的方程为 22184(2)由（ 1）知1( 2,0)F 是椭圆 C 的左焦点，离心率 22e设 l 为椭圆的左准线。则 :4 作1 1 1 1,A A l A B B l B于 于， l 与 x 轴交于点 H(如图 ) 点 A A112 ( c o s )2 F H A F 122 c o F 122 c o 同理 122 c o 11 22 2 4 22 c o s2 c o s 2 c o A F B F 。 第页 236、已知抛物线 2:4C y x ，点 M(m,0)在 相交于 A、 （ ） 若 m=1， ，求以 ）若存在直线 |, | |, | |A M O M M 实数 则1 1 2 2( , ) , ( , )A M m x y M B x m y ,所以 21()x m m 1 因为点 A, 上 , 所以221 1 2 24 , 4y x y x=, 2 由 1 2 ，消去 2 1 2,x y y 得 1 . 若此直线 |, | |,
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