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2012江苏高考数学考前每天必看（1-7天）（打包7套）,江苏,高考,数学,考前,每天,天天,打包

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用心 爱心 专心 - 1 - 2012年江苏高考数学考前每天必看系列材料之一 亲爱的同学们， 2012 年江苏高考在即，我们给大家精心整理了 2012年江苏高考数学考前每天必看系列材料，每一天的材料由三个部分组成，分别为基本知识、思想方法和易题重现，这些内容紧密结合 2012年的数学考试大纲，真正体现狠抓双基、突出能力、回归课本、强调思想方法、讲究考试答题技术，引领你们充满自信，笑傲高考请每天抽出40分钟读和写边读边回想曾经学习过的知识，边读边思考可能的命题方向，边读边整理纷繁复杂的知识体系等非常有必要！衷心祝愿各位考生在高 考中都取得满意的成绩！ 一、基本知识（必做题部分） （一）集合 （必修 1 第一章） 1、集合及其表示（ A） 2、子集（ B） 3、交集、并集、补集（ B） （ 1）含 n 个元素的集合的子集个数为 2n ，真子集（非空子集）个数为 21n ； （ 2） ; 注意：讨论的时候不要遗忘了 A 的情况； （ 3） ( ) , ( )I I I I I B C A C B C A B C A C B 注： 理解集合中元素的意义是解决集合问题的关键：元素是函数关系中自变量的取值？还是因变 量的取值？还是曲线上的点？；如： 与 及 ,( 数形结合是解集合问题的常用方法：解题时要尽可能地借助数轴、直角坐标系或韦恩图等工具， 将抽象的代数问题具体化、形象化、直观化，然后利用数形结合的思想方法解决，特别是在集合的交、并、补的运算之中注 意 是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集注意补集思想的应用（反证法，对立事件，排除法等） （二）函数概念与基本初等函数 （必修 1 第二章） 1、函数的概念（ B）： 注意 第一个集合中的元素必须有象；一对一，或多对一 判断对应是否为映射时，抓住两点：（ 1） A 中元素必须都有象且唯一；（ 2） B 中元素不一定都有 原象，并且 A 中不同元素在 B 中可以有相同的象 2、函数的基本性质（ B） 函数定义域的求法： 函数解析式有意义；符合实际意义； 定义域优先原则！ 复合函数的定义域：若已知 () , 其复合函数 ( )f g x 的定义域由不等式 ()a g x b解出即可；若已知 ( )f g x 的定义域为 , 求 ()当于当 , x a b 时，求 () () 函数解析式的求法： 代入法，凑配法，换元法，待定系数法，函数方程法 函数值域的求法： （ 1）配方法二次函数（二次函数在给出区间上的最值有两类：一是求闭区间 , 的最值；二是求区间定 （动），对称轴动（定）的最值问题求二次函数的最值问题，勿忘数用心 爱心 专心 - 2 - 形结合，注意“两看”：一看开口方向；二看对称轴与所给区间的相对位置关系） 如：求 2 23y x x ， , 2x a a的最大值与最小值（ 最大值分两类；最小值分三类 ） （ 2）换元法通过换元把一个较复杂的函数变为简单易求值域的函数，其函数特征是函数解析式含有根式或三角函数公式模型 如：求 ( ) s i n c o s s i n c o sf x x x x x 的值域 （ 3）函数有界性法 直接求函数的值域困难时，可以利用已学过函数的有界性，来确定所求函数的值域，最常用的就是三角函数的有界性 （ 4）单调性法利用一次函数，反比例函数，指数函数，对数函数等函数的单调性 如：函数 ()2x 在上 ( 2, ) 单调递减，求 a 的取值范围 （ 5）数形结合法函数解析式具有明显的某种几何意义，如两点的距离、直线斜率、绝对值的意义等，注意：求两点距离之和时，要将函数式变形 ，使两定点在 x 轴的两侧，而求两点距离之差时，则要使两定点在 x 轴的同侧 如：求函数 22( ) ( 1 ) 4 ( 2 ) 9f x x x 的最小值（距离之和或向量法） （ 6）判别式法对分式函数（分子或分母中有一个是二次）都可通用，但这类题型有时也可以用其它方法进行求解，不必拘泥在判别式法上，也可先通过部分分式后，再利用均值不等式常见题型：2by 型，可直接用不等式性质 ，如：21 4y x ；2x m x n 型，先化简，再用均值不等式，如：224 2 5xy ( 0)x ；22x m x ny x m x n 型，通常用判别式法（或分离常数化为型）； 2x m x ny m x n 型，可县化简为 by ax ( 0, 0)用均值不等式法或函数的单 调性解决 （ 7）不等式法利用基本不等式 2 ( , )a b a b a b R 求函数的最值，其题型特征解析式是和式时要求积为定值，解析式是积时要求和为定值，不过有时须要用到拆项、添项和两边平方等技巧 如： 0, 0，且 13x y x y ，求 的最大值 又如：求2214() 1 1 0fx ， 1 10x 的最小值 （ 8）导数 法一般适用于高次多项式函数 如：求 ( ) x x x ， 0x 的极小值 提醒：（ 1）求函数的定义域、值域时，你按要求写成集合形式了吗？ （ 2）函数的最值与值域之间有何关系？ 分段函数： 值域（最值）、单调性、图象等问题，先分段解决，再下结论 如：已知函数 ( 3 7 ) 2 , 1()l o g , 1aa x 单调递减，求 a 的取值范围 复合函数的有关问题 : （ 1）复合函数定义域求法：若已知 () , 其复合函数 ( )f g x 的定用心 爱心 专心 - 3 - 义域由不等式 ()a g x b解出即可；若已知 ( )f g x 的定义域为 , 求 ()当于当 , x a b 时，求 () () （ 2）复合函数单调性的判定：首先将原函数 )( 分解为基本函数：内函数 )(与外函数 )(；分别研究内、外函数在各自定义域内的单调性；根据“同增异减”来判断原函数在其定义域内的单调性 注意：外函数 )(的定义域是内函数 )(的值域 函数的奇偶性 函数的定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的 必要条件 ； )(奇函数 1)( )(0)()()()( xf ( ) 0) )(偶函数 ()( ) ( ) ( | | ) ( ) ( ) 0 1()x f x f x f x f x ( ( ) 0)； 奇函数 )( 原点有定义，则 0)0( f （可用于求参数）； 在关于原点对称的单调区间内：奇函数有相同的单调性，偶函数有相反的单调性； 若所给函数的解析式较为复杂，应先化简，等价变形，再判断其奇偶性 如： 2( ) 1 )f x x x 是 函数 函数的单调性 单调性的定义： )(区间 M 上是增（减）函数 , 21 当 21 时，)0(0)()( 21 0(0)()()( 2121 0(0)()(2121 xx 单调性的判定 :定义法：注意：一般要将式子 )()( 21 化为几个因式作积或作商的形式，以利于判断符号；导数法（见导数部分）；复合函数法（同增异减）；图像法 注：证明单调性要用定义法或导数法；求单调区间，先求定义域；多个单调区间之间不能用“并集”、“或”；单调区间不能用集合或不 等式表示 函数的周期性 周期性的定义：对定义域内的任意 x ，若有 )()( （其中 T 为非零常数），则称函数 )(周期函数， T 为它的一个周期所有正周期中最小的称为函数的最小正周 期如没有特别说明，遇到的周期都指最小正周期 函数周期的判定：定义法（试值）； 图像法； 公式法 （利用中的结论） 与周期有关的结论： )()( 或 )0)()2( )(周期为 ()y f x 对 时， ( ) ( )f x a f x （或 1()()f x a ），则 ()y f x 是周期为 2a 的周期函数； 若 ()y f x 是偶函数，其图像又关于直线 对称，则 ()a 的周期函数； 用心 爱心 专心 - 4 - 若 ()y f x 是奇函数，其图像又关于直线 对称，则 ()a 的周期函数 3、指数与对数（ B） (1) l o g ( 0 , 1 , 0 ) b N a a N ； (2) l o gl o g ( 0 , 1 , 0 )l o g a b a b 、 、 4、指数函数的图象与性质（ B） （要对 01a以及 1a 展开讨论） 5、对数函数的图象与性质（ B） （要对 01a以及 1a 展开讨论） 注： 同底的对数函数和指数函数 关于对称（如 2与2 如：方程 2 3 0x x 与2lo g 3 0 的根之和为 6、 幂函数（ A） 在考查学生对幂函 数性质的掌握和运用函数性质解决问题时，涉及的幂函数 ()f x x中的 常在集合 111 2 , 1 , , , , 1 , 2 , 3 232 中取值 7、 函数与方程（ A） 8、 函数模型及其应用（ B） 补充： 1、基本初等函数的图像与性质 幂函数： （ )R ； 指数函数： )1,0( x ； 对数函数 : )1,0(lo g 正弦函数 : xy ； 余弦函数： xy ； 正切函数： xy ； 一 元 二 次 函 数 ：2 ( 0 )y a x b x c a ； 其它常用函数： 正比例函数： )0( 反比例函数： )0( 特别的 函 数)0( 函数 1 ( 0)x 掌握函数 ( 0)ay x 的图象和性质： 函 数 0( 定义域 ),0()0,( 值 域 ),22,( 奇偶性 奇函数 单调性 在 ),( 单调递增 在 ,0(),0, 上单调递减 图 象 y 用心 爱心 专心 - 5 - （如右图） 关注基本初等函数间图像的关系： 如： 与 ( 1)a 相切， 则 a ； 变： ( 1)a 的定义域、值域均为 , 0)，则 a 2y ( 0)a 与 相切，则 a 研究函数 ( ) x x x ( 0)x ； ( 0)x的性质及应用 2、二次函数： 解析式： ( 0)a 一般式： 2)( ； 顶点式： 2)()( ， ),( 顶点； 零点式： )()( 21 二次函数问题解决需考虑的因素：开口方向；对称轴；端点值；与坐标轴交点；判别式；两根符号 二次函数问题解决方法：数形结合；分类讨论（二次函数在闭区间上必有最值，求最值问题用“两看法”：一看开口方向；二看对称轴与所给区间的相对位置关系） 3、函数图象 图象作法 ：描点法（注意三角函数的五点作图）图象变换法导数法 图象变换： 平移变换： )()( ， )0( a 左“ +”右“ -”； ( ) ( )y f x y f x k ， ( 0)k 上“ +”下“ -”； 伸缩变换： )()( ， （ )0 纵坐标不变，横坐标伸长为原来的1倍； )()( ， （ )0A 横坐标不变，纵坐标伸长为原来的 A 倍； 对称变换： )( )0,0( )( ； )( 0y )( ； )( 0x )( ； )( (； 翻转变换： |)(|)( 右不动，右向左翻（ )( y 左侧图象去掉）； |)(|)( 上不动，下向上翻（ | )(在 x 下面无图象）； 函数图象（曲线）对称性的证明： 证明函数 )(图像的对称性，即证明图像上任意点关于对称中心（对称轴）用心 爱心 专心 - 6 - 的对称点仍在图像上； 证明函数 )(与 )(图象 的对称性，即证明 )(图象 上任意点关于对称中心（对称轴）的对称点在 )(的图象 上，反之亦然； 注： 曲线1 : ( , ) 0C f x y 关于点 ( , )对称曲线2( 2 , 2 ) 0f a x b y 曲线1 : ( , ) 0C f x y 关于直线 的对称曲线2(2 , ) 0f a x y； 曲线1 : ( , ) 0C f x y 关于 y x a (或 y x a )的对称曲线2, ) 0f y a x a (或 ( , ) 0f y a x a )； ( ) ( )f a x f b x () ()y f x 图像关于直线2对称； 特别地： ( ) ( )f a x f a x () ()y f x 图像关于直线 对称； 函数 ()y f x a与 ()y f b x的图像关于直线2对称； 4、函数零点的求法： 直接法（求 0)( 根）；图象法；二分法 . 5、 方程 ()k f x 有解 (D 为 ()； 6、 恒成立问题的处理方法： 分离参数法： ()a f x 恒成立 ( )a f x ； ()a f x恒成立 ( )a f x； 注意：“ , ( )x R a f x ”与“ , ( )x R a f x ”的区别！ 转化为一元二次方程的根的分布，列不等式（组）求解 7、 实系数一元二次方程 2( ) 0 ( 0 )f x a x b x c a 的两根 21,分布问题： 根的情况 21 12m x x n 21 等价命题 在 ),( k 上有两根 在 ( , )有两根 在 ),( k 和 ),( k 上各有一根 充要条件 0( ) 020( ) 0( ) 02 ( ) 0 注意：若在闭区间 , 论方程 0)( 实数解的情况，可先利用在开区间 ),( 实根分布的情况，得出结果，在令 和 检查端点的情况 二、思想方法 （一）函数方程思想 函数方程思想就是用函数、方程的观点和方法处理变量或未知数之间的关系，从而解决问题的一种思维方式，是很重要的数学思想 1、函数思想：把某变化过程中的一些相互制约的变量用函数关系表达出来，并研究这些量间的相互制约关系，最后解决问题，这就是函数思想； 2、应用函数思想解题，确立变量之间的函数关系是一关键步骤，大体可分 为下面两个步骤：（ 1）根据题意建立变量之间的函数关系式，把问题转化为相应的函数问题；（ 2）根据需要构造函数，利用函数的相关知识解决问题；（ 3）方程思想：在某变化过程中，往往需要根据一些要求，确定某些变量的值，这时常常列出这些变量的方程或（方程组），通过解方程（或用心 爱心 专心 - 7 - 方程组）求出它们，这就是方程思想； 3、函数与方程是两个有着密切联系的数学概念，它们之间相互渗透，很多方程的问题需要用函数的知识和方法解决，很多函数的问题也需要用方程的方法的支援，函数与方程之间的辩证关系，形成了函数方程思想 三、易题重现 1、 2x + 1 = 0至少有一个负实根的充要条件是 2、命题 p：“ a、 是命题 q：“ x 2 + b = 0 有且仅有整数解”的 条件 3、设 A = 6x ， B = 3x ，则 A B = 4、不等式 3x 132 x 1的解集是 5、已知 A = x | x a |3 ，且 A B = R，则 6、已知 x + x 1 = 3，则 23x + 23x 的值为 7、下列函数中不是奇函数的是 (A) y = ( 1)1 (B) y = a (C) y = | x |x (D) y = a 1 + x 8、下列四个函数中，不满足 f( ) f(+ f( 的是 (A) f(x) = b (B) f(x) = b (C) f(x) = 1x (D) f(x) = 、函数 y = 1 的定义域是 _ _；值域是 10、函数 y = 1 ( 12 )x 的定义域是 _ _；值域是 11、已知集合 A= x p+2)x+1=0, p R ,若 A R+= 。则实数 12、已 知集合 A=x| 2 x 7 , B=x|m+1 x 2m 1，若 A B=A，则函数 13、函数 y=34 72 实数 _ 14、判断函数 f(x)=(x 1)11 的奇偶性为 _ 15、方程 195x ) 132x ) 2=0的解集为 _ 16、已知函数 f(x) = x (a0, a 1) (1)求 f(x)的定义域； (2)解不等式 f(x)0 17、已知函数 f(x)= 1 112 a R)，若对于任意的 X N*， f(x) 3恒成立，则 _。 用心 爱心 专心 - 1 - 2012年江苏高考数学考前每天必看系列材料之二 一、基本知识（必做题部分） （三）基本初等函数（三角函数 （必修 4第一章） ）、三角恒等变换 （必修 4第三章） 1、三角函数的概念（ B） 象限角的概念：如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何象限 弧长公式： | ，扇形面积公式： 211|22S ， 1弧度 (1. 任意角的三角函数的定义： 设 是任意一个角， P( , ) 的终边上的任意一点（异于原点）， 它与原点的距离是 220r x y ，那么 s i n , c o ， t a n , 0y ， 三角函数符号规律记忆口诀：一全正，二正弦，三是切，四余弦 三角函数线的特征是：正弦线 在 x 轴上 (起点在 x 轴上 )”、余弦线 在 x 轴上 (起点是原点 )”、正切线 在点 (1,0)A 处 (起点是 A )” 常见三角不等式： (1)若 (0, )2x ，则 ta nx x x ； (2) 若 (0, )2x ，则 1 s i n c o s 2 ； 证明思路：一、三角函数线； 二、构造函数用导数解决 (3) | s i n | | c o s | 1 特殊角的三角函数值： 30 45 60 0 90 180 270 15 75 21 22 23 0 1 0 1 624 624 33 1 3 0 0 2- 3 2+ 3 性质 图像 定义域 用心 爱心 专心 - 2 - 2、同角三角函数的基本关系式（ B） 平方关系： 22s i n c o s 1； 商数关系： =3、正弦函数、余弦函数的诱导公式（ B） (1)负角变正角，再写成 2k ,02 ； (2)转化为锐角三角函数 . 212( 1 ) s i n ,s i n ( )2 ( 1 ) s ,o n 为 偶 数为 奇 数212( 1 ) s ,s ( )2 ( 1 ) s i n ,o 为 偶 数为 奇 数可用“奇变偶不变，符号看象限”概括 4、正弦函数、余弦函数、正切函数的图象与性质（ B） 5、函数 s i n ( )y A x的图象与性质（ A） （ 1）几个物理量 ： A 振幅； 1频率（周期的倒数）； x 相位； 初相； （ 2）函数 s i n ( )y A x表达式的确定 ： A 由最值确定； 由周期确定； 由图象上的特殊点确定； （ 3）函数 s i n ( )y A x图象的画法 ：“五点法”设 ，令 0X ，3, , , 222求出相应的 x 值，计算得出五点的坐标，描点后得出图象；图象变换法：这是作函数简图常用方法 . （ 4）研究函数 s i n ( )y A x性质的方法： 类比于研究 的性质，只需将s i n ( )y A x中的 x 看成 中的 x ，但在求 s i n ( )y A x的单调区间时，要特别注意 A 和 的符号，通过诱导公式先将 化正 . （ 5） 函数 )y A x、 c o s ( )y A x， ( ,A 为常数，且 0A ， 0 )的周 期 2T ；函数 )y A x，2 ( ,A 为常数，且 0A ， 0 )的周期 T . 值域 周期 单调性及 递增递减区间 奇偶性 对称轴 对称中心 最值（给定区间的最值） 用心 爱心 专心 - 3 - 6、两角和（差）的正弦、余弦及正切（ C） s i n ( ) s i n c o s c o s s i n ； c o s ( ) c o s c o s s i n s i n ； t a n t a nt a n ( ) 1 t a n t a n . 22s i n ( ) s i n ( ) s i n s i n (正弦平方差公式 )； 22c o s ( ) c o s ( ) c o s s i n . 7、二倍角的正弦、余弦及正切（ B） s i n 2 s i n c o s . 2 2 2 2c o s 2 c o s s i n 2 c o s 1 1 2 s i n 22 t a nt a n 2 1 t a n . 注： 三角函数的恒等变形的基本思路：一角二名三结构 意角的一些常用变式，角的变换是三角函数变换的核心！第二看函数名称之间的关系，通常“切化弦”；第三观察代数式的结构特点 (1)巧变角 (配角 )； (2)三角函数名互化 (切化弦 )； (3)公式变形使用； (4)三角函数次数的降升； (5)式子结构转化 (对角、函数名、式子结构化同 )； (6)常值变换主要指“ 1”的变换； (7)正余弦“三兄妹 s i n c o s s i n c o sx x x x 、 ”的内在联系“知一求二” . 辅助角公式中辅助角的确定： 22s i n c o s s i na x b x a b x (其中 角所在的象限由 , 角的值由 确定 )，在求最值、化简时起着重要作用 . 求角的方法：先确定角的范围，再求出关于此角的某一个三角函数（要注意选择，其标准有二：一是此三角函数在角的范围内具有单调性；二是根据条件 易求出此三角函数值） . （四）解三角形 （必修 5第一章） 1、正弦定理、余弦定理及其应用（ B） 正弦定理 s （ 外接圆直径） 如何用向量法证明？ 注： s in:s in:s ； s s s ；s . 余弦定理： 2 2 2 2 c o sa b c b c A bc co 2 2 2 2 c o sb c a c a B 2 2 2 2 c o sc a b a b C 熟知正弦、余弦、正切的和、差、倍公式，正余弦定理，处理三角形内的三角函数问题勿忘三内角和等于 180 ，一般用正余弦定理实施边角互化 . 用心 爱心 专心 - 4 - 三角形中的其他结论： （ 1） 1 1 12 2 2a b cS a h b h c h （a b ch h h、 、分别表示 ,的高）； 1 s i a b C . （ 2）三角形内切圆半径 2 ； 特殊的，直角三角形内切圆的半径： ；2a b （角 90C ） . （ 3）三角形的外接圆直径 2s i n s i n s i na b B C . 已知 , 时三角形解的个数的判定： 二、思想方法 （二）数形结合思想 数形结合是中学数学中四种重要思想方法之一，对于所研究的代数问题，有时可研究其对应几何的性质使问题得以解决（以形助数）；或者对于所研究的几何问题，可借助于对应图形的数量关系使问题得以解决（以数助形），这种解决问题的方法称之为数形结合 挥数的思路的规范性与严密性，两者相辅相成，扬长避短 数学是研究现实世界的量的关系与空间形式的科学”。 这就是说：数形结合是数学的本质特征，宇宙间万事万物无不是数和形的和谐的统一。因此，数学学习中突出数形结合思想正是充分把握住了数学的精髓和灵魂 何图形的性质反映了数量关系，数量关系决定了几何图形的性质 数缺形时少直观，形少数时难入微；数形结合百般好，隔裂分家万事非”数形结合作为一种数学思想方法的应用大致分为两种情形：或借助于数的精确性来阐明形的某些属性，或者借助于形的几何直观性来阐明数之间的某种关系 年高 考的解答题都有关于这个方面的考查（即用代数方法研究几何问题）而以形为手段的数形结合在高考客观题中体现 (1) 对于研究距离、角或面积的问题，可直接从几何图形入手进行求解即可； (2) 对于研究函数、方程或不等式（最值）的问题，可通过函数的图象求解（函数的零点，顶点是关键点），作好知识的迁移与综合运用； (3) 对于以下类型的问题需要注意：C A h 中 b A A 为锐角时： 时，无解； 时，一解（直角）； h a b时，两解（一锐角，一钝角）； 时，一解（一锐角） A 为直角或钝角时： 时，无解； 时，一解（锐角） 用心 爱心 专心 - 5 - ;)3(;)2(;)()()1( 22 ;)5();s c o s)4( 22 可分别通过构造距离函数、斜率 函数、截距函数、单位圆 221上的点 ) 及余弦定理进行转化达到解题目的 三、易题重现 1、 若一个 6000的角的终边上有一点 P( 4 , a)，则 . 2、 . 3、 1 + = . 4、 + 3 = . 5、 3 . 6、 (1 + 1 + = _； (1 + 1 + = _； (1 + 1 + = _； (1 + )(1 + ) = _ (其中 + = 45 0). 7、化简 + 3 . 8、已知 = 12 ， 则 + = _. 9、求证 (1)1 + =2 2 ； (2) 1 =2 2 ； (3) 1 + = (2 + 2 )2 ； (4) 1 = (2 2 )2 ； (5) 1 1 + = 2 . (以上结论可直接当公式使用，主要用来进行代数式的配方化简 )。 10、 k + 13 + ) + k 13 )(其中 k Z) = _. 11、已知 4 + x) = 35 ， 1712 3 3 2 的解集 . 24、已知函数 y = x + )， x R (其中 A0， 0)的图象在 函数取最大值的点 )为 M(2,2 2 )，与 x 轴在原点右侧的第一个交点为 N(6,0)，求这个函数的解析式 . 用心 爱心 专心 - 1 - 2012年江苏高考数学考前每天必看系列材料之三 一、基本知识（必做题部分） （五）平面向量 （必修 4第二章） 1、平面向量的概念（ B） （ 1） 向量的概念： 向量常用有向线段来表示，注意 不能说向量就是有向线段 ，为什么？（向量可以平移） （ 2） 零向量 ：长度为 0的向量叫零向量，记作： 0 ，注意 零向量的方向是任意的 （ 3） 单位向量 ：长度为一个单位长度的向量 (与 线的单位向量是| （ 4） 相等向量 ：长度相等且方向相同的两个向量叫相等向量， 相等向量有传递性 （ 5） 平行向量（也叫共线向量） ：方向相同或相反的非零向量 a 、 b 叫做平行向量，记作： a b ， 规定零向量和任何向量平行 提醒 ：相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定相等；两个向量平行与与两条直线平行是不同的两个概念：两个向量平行 包含两个向量共 线 , 但两条直线平行 不包含两条直线重合 ； 平行向量无传递性 ！（因为有 0 )； 三点 A B C、 共线 C、 共线 （ 6） 相反向量 ：长度相等方向相反的向量叫做相反向量 a 的相反向量是 a 2、平面向量的加法、减法及数乘运算（ B） 实数与向量的积的运算律 ： 设、为实数 (1)结合律： ( ) ( ) ； (2)第一分配律： ()a a a ； (3)第二分配律： ()a b a b . 注：实数 与向量 a 的积是一个向量，记作 a ，它的长度和方向规定如下： (1) ；(2)当 0时， a 的方向与 a 的方向相同，当 0 时， a 的方向与 a 的方向相反，当 0时， 0a ， 注意 ： 0a . 3、平面向量的坐标表示（ B） 向量的表示方法 ： 几何表示法：用带箭头的有向线段表示，如 注意起点在前，终点在后； 符号表示法：用一个小写的英文字母来表示，如 a ， b ， c 等； 坐标表示法：在平面内建立直角坐标系，以与 x 轴、 y 轴方向相同的两个单位向量 i ， 平面内的任一向量 a 可表示为 ,a xi yj x y ，称 ,a 的坐标， a ,a 的坐标表示如果 向量的起点在 原点 ，那么向量的坐标与向量的终点坐标相同 平面向量的坐标运算： (1)设 a =11( , )xy,b =22( , ) a +b =1 2 1 2( , )x x y y. (2)设 a =11( , )xy,b =22( , ) a 1 2 1 2( , )x x y y. (3)设11( , )A x y，22( , )B x y,则2 1 2 1( , )A B O B O A x x y y . (4)设 a =( , ),x y R ，则 a =( , ) . (5)设 a =11( , )xy,b =22( , ) a b =1 2 1 2x x y y. 平面向量基本定理： 如果1e、2么对于这一平面内的任一向量，有且只有一对实数1、2，使得1 1 2 2a e e 不共线的向量1e、2底 4、平面向量的数量积（ C） 两个向量的夹角：对于非零向量 a ， b ，作 ,O A a O B b， 0 称为向用心 爱心 专心 - 2 - 量 a ， b 的夹角，当 0时， a ， b 同向，当 时， a ， b 反向，当 2时， a ， b 垂直 为锐角时， a b 0， 且 不同向， 0 是 为锐角的必要非充分条件 ；当 为钝角时， a b 0， 且 不反向， 0 是 为钝角的必要非充分条件 . 向量的数量积的运算律： (1) a b = b a （交换 律）； (2)（ a ） b = （ a b ） = a b = a （ b ）； (3)（ a +b ） c = a c +b c . 平面向量数量积的坐标表示： （ 1）若11( , )a x y ， 22( , )b x y ，则1 2 1 2a b x x y y ； 221 2 1 2( ) ( )A B x x y y ； （ 2）若 a =(x,y)，则 a 2=a a =x2+22 ； 1 2 1 22 2 2 21 1 2 2c o sx x y yx y x y (a =11( , )xy,b =22( , ) , ), ),|B 222 1 2 1( ) ( )x x y y 5、平面向量的平行与垂直（ B） 两个向量平行的充要条件：设 a =(x1, b =(x2, 为实数 .向量式： a b (b 0 ) a = b ；坐标式： a b (b 0 ) . 两个向量垂直的充要条件：设 a =(x1, b =(x2, 向量式： a b (b 0 ) a b =0; 坐标式： a b . 6、平面向量的应用（ A） 重要结论： 三角形的重心坐标公式： 个顶点的坐标分别为11A(x ,y )、22B(x ,y )、33C(x ,y ),则 2 3 1 2 3( , )33x x x y y . 设 A（ x1,、 B(x2,则 S 22121 . 点的平移公式 ： x x h x x hy y k y y k O P O P P P . 注 :图形 F 上的任意一点 P(x， y)在平移后图形 F 上的对应点为 ( , ) 坐标为( , ) “按向量平移”的几个结论： 点 ( , )向量 a =( , )移后得到点 ( , )P x h y k. 函数 ()y f x 的图象 C 按向量 a =( , )移后得到图象 C ,则 C 的函数解析式为 ()y f x h k . 图象 C 按向量 a =( , )移后得到图象 C ,若 C 的解析式 ()y f x ,则 C 的函数解析式为()y f x h k . 线 C : ( , ) 0f x y 按向量 a = ( , ) 移 后 得 到 图 象 C , 则 C 的方程为( , ) 0f x h y k . 用心 爱心 专心 - 3 - 量 m =( , )向量 a =( , )移后得到的向量仍然为 m =( , ) 注意 ： （ 1） 函数按向量平移与平常“左加右减”有何联系？ （ 2） 向量平移具有坐标不变性，可别忘了啊！ 三角形五“心”向量形式的充要条件： 设 O 为 所在平面上一点 ，角 ,对边长分别为 , O 为 的外心 2 2 2O A O B O C . O 为 的重心 0O A O B O C . O 为 的垂心 O A O B O B O C O C O A . 二、思想方法 （三）向量法 向量法是运用向量知识解决问题的一种方法，解题常用下列知识： （ 1）向量的几何表示，两个向量共线的充要条件； （ 2）平面向量基本定理及其理论； （ 3）利用向量的数量积处理有关长度、角度和垂直的问题 . 三、易题重现 1、和向量 a = (6,8)共线的单位向量是 _. 2、已知向量 m =(a,b)，向量 m n 且 , 则 n 的坐标可能的一个为 _. 3、将函数 y=x+2的图象按 a =(6, 2)平移后，得到的新图象的解析为 _. 4、若 O 为平行四边形 中心， 4e 1, 2 2 16 , 3 2B C e e e等于 _. 5、若 )2,1(),7,5( ，且（ ） b ，则实数 的值为 _. 6、已知 方程 | z | 的解是 _. 7、已知复数 z = (4 3i)2 ( 1 + 3 i)10(1 i)12 ，则 | z | =_. 8、已知 a = (1,2)， b = ( 3,2)，当 (1)b 与 a 3b 垂直？ (2) +b 与 a 3b 平行？平行时它们是同向还是反向？ 9、 已知 | a| 1， |b| 2。 （ I）若 a/b，求 a b；（ a， 角为 135，求 | a b| 用心 爱心 专心 - 1 - 2012年江苏高考数学考前每天必看系列材料之五 一、基本知识（必做题部分） （七）不等式 （必修 5 第三章） 1、基本不等式（ C） （ 1） , 222a b (当且仅当 时取“ =”号 ) （ 2） 均值定理： ,a b R 2ab (当且仅当 时取“ =”号 ) “一正二定三相等”；均值不等式的一些变形，如2222 )2(;)2(2 已知 都是正数，则有： 若积 定值 p ，则当 时和 有最小值 若和 是定值 s ，则当 时积 最大值 241s. 四个平均数： 22 22 2 1 1a b a b ab (根据目标不等式左右的运算结构选用 ) 你能用几何图形解释几个平均数之间的关系吗？ 如： ,0且 13x y x y ，求 的最大值 2、一元二次不等式（ C） 一元二次不等式 2 0 ( 0 )a x b x c 或 2( 0 , 4 0 )a b a c ， 如果 a 与 2ax bx c同号，则其解集在两根之外；如果 a 与 2ax bx c异号，则其解集在两根之间 号两根之外，异号两根之间 . 1 2 1 2 1 2( ) ( ) 0 ( )x x x x x x x x x ； 1 2 1 2 1 2, ( ) ( ) 0 ( )x x x x x x x x x x 或. 3、线性规划（ A） 二元一次不等式表示的平面区域： 在平面直角坐标系中，设有直线 0 ）及点 ),(00 若 B0， 000 点 P 在直线的上方，此时不等式 0 示直线 0 上方的区域； 若 B0， 000 点 P 在直线的下方，此时不等式 0 示直线 0 下方的区域；（注：若 可先将其变为正） 线性规划： 求线性目标函数在约束条件下的最值问题，统称为线性规划问题； 可行解：指满足线性约束条件的解（ x,y）； 可行域：指由所有可行解组成的集合； 注 : 准确确定二元一次不等式表示的平面区域，正确解答简单的线性规划问题；解线性规划时应先确定可行域； 注意不等式中 ()与 ()对可行域的影响；还要注意目标函数 中 0b 和 0b 在求解时的区别 . 整点问题（方格法） 不等式中其他常见结论： 1、不等式的性质 ： （ 1） 同向不等式可以相加；异向不等式可以相减 ：若 ,a b c d，则 a c b d （若,a b c d，则 a c b d ），但异向不等式不可以相加；同向不等式不可以相减 （ 2） 左右同正不等式：同向的不等式可以相乘 ， 但不能相除 ：若 0 , 0a b c d ，则用心 爱心 专心 - 2 - ac （ 3） 左右同正不等式：两边可以同时乘方或开方 ：若 0 ，则 或 （ 4） 倒数法则 ：若 0 ， ，则 11（若出现负数先化为正数再用倒数法则） 2、不等式大小比较的常用方法 ：（ 1）作差：作差后通过分解因式、配方等手段判断差的符号得出结果；（ 2）作商（常用于分数指数幂的代数式）；（ 3）分析法；（ 4）平方法；（ 5）分子（或分母）有理化；（ 6）利用函数的单调性；（ 7）寻找中间量或放缩法 ；（ 8）图象法 其中比较法（作差、作商）是最 基本的方法 3、利用重要不等式求函数最值 时，你是否注意到：“ 一正二定三相等，和定积最大，积定和最小 ”这 17字方针 4、其他常用不等式 ： （ 1） a、 b、 c R， 2 2 2a b c a b b c c a （当且仅当 时，取等号） （ 2）若 0, 0a b m ，则 b b ma a m （糖水的浓度问题） （ 3） 3 3 3 3 ( 0 , 0 , 0 )a b c a b c a b c 5、绝对值不等式 ： 含有绝对值的不等式 当 a 0时，有 22x a x a a x a . 22x a x a x a 或 . 性质： （ 1） 同号或有 0 | | | | | |a b a b | | | | | |a b a b （ 2） 异号或有 0 | | | | | |a b a b | | | | | |a b a b . 绝对值不等式的解法 ： （ 1）分段讨论（零点分区间）法：（ 最后结果应取各段的并集 ） （ 2）利用绝对值的定义； （ 3）数形结合 6、证明不等式 的方法 ：比较法、分析法、综合法和放缩法 (比较法的步骤是：作差（商）后通过分解因式、配方、通分等手段变形判断符号或与 1的大小，然后作出结论 ) 常用的放缩技巧有：21 1 1 1 1 1 11 ( 1 ) ( 1 ) 1n n n n n n n n n ； 221 1 1 1