2012年高考数学二轮复习 专题05 平面向量精品资料（打包2套）
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2012年高考数学二轮复习 专题05 平面向量精品资料（打包2套）,年高,数学,二轮,复习,温习,专题,05,平面,向量,精品,资料,打包
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1 2012届高考数学二轮复习资料 专题五 平面向量（学生版） 【 考纲解读 】 1. 理解平面向量的概念与几何表示、两个向量相等的含义 ;掌握向量加减与数乘运算及其意义 ;理解两个向量共线的含义 ,了解向量线性运算的性质及其几何意义 . 2了解平面向量的基本定理及其意义 ;掌握平面向量的正交分解及其坐标表示 ;会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算 ;理解用坐标表示的平面向量共线的条件 . 3理解平面向量数量积的含义及其物理意义 ;了解平面向量数量积与向量投影的关系 ;掌握数量积的坐标表达式 ,会进行平面向量数量积的运算 ;能 运用数量积表示两个向量的夹角 ,会用数量积判断两个平面向量的垂直关系 . 【 考点预测 】 高考对平面向量的考点分为以下两类 : (1)考查平面向量的概念、性质和运算 ,向量概念所含内容较多 ,如单位向量、共线向量、方向向量等基本概念和向量的加、减、数乘、数量积等运算，高考中或直接考查或用以解决有关长度，垂直，夹角，判断多边形的形状等，此类题一般以选择题形式出现，难度不大 . (2)考查平面向量的综合应用 析几何、三角等内容交叉渗透，使数学问题的情境新颖别致，自然流畅，此类题一般以解答题形式出现，综 合性较强 . 【 要点梳理 】 掌握平行四边形法则、三角形法则、多边形法则，加法的运算律 ; 练其含义； 平面向量基本定理、向量共线的坐标表示； 0, ; 熟练定义、性质及运算律，向量的模，两个向量垂直的充要条件 . 【 考点在线 】 考点一 向量概念及运算 例 1.(2011 年高考山东卷理科 12)设1A，2A，3A，41 3 1 2A A A A( R)，1 4 1 2A A A A( R)，且 112,则称3A，4A,已知点 C(c， o),D(d， O) (c， d R)调和分割点 A(0， 0)， B(1， 0)，则下面说法正确的是 ( ) (A) (B)(C)C， B 上 (D) C， 2 练习 1: (2011 年高考广东卷文科 3)已知向量 (1 , 2 ) , (1 , 0 ) , ( 3 , 4 )a b c ，若 为实数，( ) /a b c ，则 = （ ） A 14B 12C 1 D 2 考点 二 平面 向量的数量积 已知向量 )2,( a 与 )( b 互相垂直，其中 )2,0( （ 1）求 值（ 2）若 co co s (5 ， 02,求 值 【 易错专区 】 问题 ： 向量运算 例 . (山东省济宁 市 2011 年 3 月高三第一次模拟理科 )平面上有四个互异的点 A、 B、 C、 D， 满足（ （ 0，则三角形 （ ） A直角三角形 B等腰三角形 C等腰直角三角形 D等边三角形 【 考题回放 】 1.（ 2011 年高考 全国 卷文科 3)设向量 满足 | a |=| b |=1, 1=2,则2( ) （ A） 2 （ B） 3 （ C） 5 （ D） 7 2.（ 2011年高考辽宁卷文科 3)已知向量 a=（ 2,1）， b=（ k）， a（ 2=0，则 k=（ ） （ A） （ B） （ C） 6 （ D） 12 3 3. （ 2011 年高考四川卷文科 7)如图，正六边形 D =( ) (A)0 (B)(C)(D)4 （ 2010年高考全国卷文科 11） 已知圆 O 的半径为 1， A、么 B 的最小值为 ( ) (A) 42 (B) 32 (C) 4 2 2 (D) 3 2 2 5 （ 2010 年高考全国卷文科 10） ，点 D 在边 ， 分 a , b , a = 1 ， b = 2, 则 ( ) （ A） 13a + 23b （ B） 23a +13b （ C） 35a +45b （ D） 45a +35b 6（ 2010年高考 四川 卷文科 6） 设点 M 是线段 中点，点 A 在直线 ， 2 16， A B A C A B A C ，则 ( ) （ A） 8 （ B） 4 （ C） 2 （ D） 1 7（ 2011年高考江西卷文科 11)已知两个单位向量1e，2若向量1 1 22b e e，2 1 234b e e，则12_. 8. （ 2011 年高考福建卷文科 13)若向量 a=（ 1,1）， b（ ），则 ab 等于 _. 9 （ 2011年高考湖南卷文科 13)设向量 , | 2 5 , ( 2 , 1 ) ,且 方向相反，则 a 的坐标为 10.（ 2011 年高考浙江卷文科 15)若平面向量 、 满足 1, 1，且以向量 、 为邻边的平行四边形的面积为 12，则 和 的夹角 取值范围是 . 11. (2011年高考天津卷文科 14)已知直角梯形 90,C 上的动点 ,则 | 3 |B 的最小值为 . 4 (D) 2 2 2 2( ) ( ) | | | |a b a b a b 2 （ 2010年高考天津卷文科 9） 如图，在 B ， 3 1，则 D =( ) （ A） 23 （ B） 32（ C） 33（ D） 3 3 （ 2010年高考福建卷文科 8） 若向量 ( x , 3 ) ( x )，则“ ”是“ | | 5a ”的 4 （ 2010年高考福建卷文科 11） 若点 分别为椭圆 22143的中心和左焦点，点 最大值为 ( ) （ 2010年高考北京 卷理科 6） a、 ”是“函数 ( ) ( ) ( )f x x a b x b a 为一次函数”的 ( ) （ A）充分而不必要条件 （ B）必要不充分条件 （ C）充分必要条件 （ D）既不充分也不必要条件 6 (2010 年高考 安徽 卷文科 3)设向量 (1,0)a , 11( , )22b ,则下列结论中正确的是 ( ) 5 (A) (B) 22C) / (D)与 b 垂直 7 （ 2010年高考 辽宁卷文科 8） 平面上 ,点不共线，设 ,O A a O B b,则 面积等于 ( ) （ A） 22 2()a b a b （ B） 22 2()a b a b （ C） 22 21 ()2 a b a b（ D） 22 21 ()2 a b a b8.(2010年高考宁夏卷文科 2)a， b 为平面向量，已知 a=（ 4， 3）， 2a+b=（ 3， 18），则 a， ) （ A） 865（ B） 865（ C） 1665（ D） 16659 （ 2010 年高考 广东 卷文科 5） 若向量 a =（ 1,1）， b =（ 2,5） ， c =(3,x)满足条件 (8a b ) c =30， 则 x =( ) A 6 B 5 C 4 D 3 10 （ 2010年高考重庆卷文科 3） 若向量 (3, )， (2, 1)b， 0，则实数 m 的值为 ( ) （ A） 32（ B） 32（ C） 2 （ D） 6 11 （ 2010年高考 湖北 卷文科 8） 已知 和点 M 满足 0M A M B M C M A C m A M 成立，则 m =( ) 2 （ 2010年高考 湖南 卷文科 6） 若非零向量 a， b 满足 | | | |, ( 2 ) 0a b a b b ，则 a 与 b 的夹角为 ( ) A. 300 B. 600 C. 1200 D. 1500 二、填空题： 13 (2010年高考 江 西卷文科 13)已知向量 a ， b 满足 2b ， a 与 b 的夹角为 60，则 b 在a 上的投影是 14. (2010 年高考浙江卷文科 13)已知平面向量 , , 1, 2 , ( 2 ) , 则 6 三解答题： 17 （ 2010年高考江苏卷试题 15） 在平面直角坐标系 ，点 A( 1, 2)、 B(2,3)、 C( 2, 1). (1)求以线段 邻边的平行四边形两条对角线的长； (2)设实数 t 满足 ( ) 0，求 t 的值。 18 （ 2010年高考福建卷文科 18） 设平顶向量 （ m , 1） , ( 2 , n )，其中 m， n 1,2,3,4. （ I）请列出有序数组（ m， n ）的所有可能结果； （ “使得（立的（ m， n ）”为事件 A，求事件 A 发生的概率 . 19 （ 2009 年高考湖北 卷理科 第 17 题 ） （本小题满分 12 分） （注意： 在试题卷上作答无效 ） 已知向量 ( c o s , s i n ) , ( c o s , s i n ) , ( 1 , 0 )a a a b c （）求向量 的长度的最 大值； （）设 ，且 ()a b c，求 的值。 20. (山东省烟台市 2011 年 1 月 “十一五”课题调研卷 理科 ) 如图，平面上定点 F 到定直线 l 的距离 |2， P 为该平面上的动点，过 P 作直线 足为 Q，且 ( ) ( ) Q Q （ 1）试建立适当的平面直角坐标系，求动点的方程； （ 2）过点 于 A、 B 两点，交 直 线 l 于点 N ， 已 知1 2 1 2, , :N A A F N B B F 求 证为定值 . 1 2012届高考数学二轮复习资料 专题五 平面向量（教师版） 【 考纲解读 】 1. 理解平面向量的概念与几何表示、两个向量相等的含义 ;掌握向量加减与数乘运算及其意义 ;理解两个向量共线的含义 ,了解向量线性运算的性质及其几何意义 . 2了解平面向量的基本定理及其意义 ;掌握平面向量的正交分解及其坐标表示 ;会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算 ;理解用坐标表示的平面向量共线的条件 . 3理解平面向量数量积的含义及其物理意义 ;了解平面向量数量积与向量投影的关系 ;掌握数量积的坐标表达式 ,会进行平面向量数量积的运算 ;能运 用数量积表示两个向量的夹角 ,会用数量积判断两个平面向量的垂直关系 . 【 考点预测 】 高考对平面向量的考点分为以下两类 : (1)考查平面向量的概念、性质和运算 ,向量概念所含内容较多 ,如单位向量、共线向量、方向向量等基本概念和向量的加、减、数乘、数量积等运算，高考中或直接考查或用以解决有关长度，垂直，夹角，判断多边形的形状等，此类题一般以选择题形式出现，难度不大 . (2)考查平面向量的综合应用 析几何、三角等内容交叉渗透，使数学问题的情境新颖别致，自然流畅，此类题一般以解答题形式出现，综合 性较强 . 【 要点梳理 】 掌握平行四边形法则、三角形法则、多边形法则，加法的运算律 ; 练其含义； 平面向量基本定理、向量共线的坐标表示； 0, ; 熟练定义、性质及运算律，向量的模，两个向量垂直的充要条件 . 【 考点在线 】 考点一 向量概念及运算 例 1.(2011 年高考山东卷理科 12)设1A，2A，3A，41 3 1 2A A A A( R)，1 4 1 2A A A A( R)，且 112,则称3A，4A,已知点 C(c， o),D(d， O) (c， d R)调和分割点 A(0， 0)， B(1， 0)，则下面说法正确的是 ( ) (A) (B)(C)C， B 上 (D) C， 【答案】 D 2 考点 二 平面 向量的数量积 例 2.（ 2011 年高考海南卷文科 13)已知 a 与 b 为两个不共线的单位向量 ,k 为实数 ,若向量与向量 ka b 垂直 ,则 k . 【答案】 1 【解析】 由题意知 ( ) ( ) 0a b k a b ,即 ( 1 ) 1 0k k a b ,所以 ( 1) 1k a b k ,因为a 与 b 不共线 ,所以 10k ,即 k=1. 【名师点睛】 本题考查两个向量垂直的充要条件、向量的数量积 . 【备考提示】： 熟练向量的基础知识 是解答好本题的关键 . 练习 2: (2011年高考安徽 卷 文科 14)已知向量 a， b 满足（ a+2b） （ = 6，且 a ， 2b ，则 a 与 b 的夹角为 . 【答案】 3 【解析】 26a b a b ，则 2226a a b b ，即 221 2 2 6 ，1 ，所以 1c o s ,2 ，所以 , 3 . 3 考点 三 向量与三角函数等知识的综合 例 3. （ 2009 年 高考江苏 卷 第 15 题） 设向量 ( 4 c o s , s i n ) , ( s i n , 4 c o s ) , ( c o s , 4 s i n )a b c （ 1）若 a 与 2垂直，求 ) 的值； （ 2）求 |的最大值 ; （ 3）若 ta n ta n 1 6 ，求证： a b . 【解析】 【名师点睛】 本小题主要考查向量的基本概念，同时考查同角三角函数的基本关系式、二倍角的正弦、两角和的正弦与余弦公式，考查运算和证明得基本能力 . 【备考提示】： 熟练向量的基础知识 是解答好本题的关键 . 练习 3: （ 2009 年高考广东卷 A 文科第 16 题） 已知向量 )2,( a 与 )( b 互相垂直，其中 )2,0( （ 1）求 值（ 2）若 co co s (5 ， 02,求 值 【解析】 （） ab s i n 2 c o s 0 vv g ,即 又 2s in c o s 1, 224 c o s c o s 1,即 2 1 2 4又 25( 0 , ) s i , 5(2) 5 c o s ( ) 5 ( c o s c o s s i n s i n ) 5 c o s 2 5 s i n 3 5 co s , 2 2 2c o s s i n 1 c o s ,即 2 1又 02, 2w 【 易错专区 】 4 1.（ 2011 年高考 全国 卷文科 3)设向量 满足 | a |=| b |=1, 1=2,则2( ) （ A） 2 （ B） 3 （ C） 5 （ D） 7 【答案】 B 【解析】 2 2 22 ( 2 ) 4 4a b a b a a b b 2244a a b b 11 4 ( ) 4 1 32 故选 B 2.（ 2011年高考辽宁卷文科 3)已知向量 a=（ 2,1）， b=（ k）， a（ 2=0，则 k=（ ） （ A） （ B） （ C） 6 （ D） 12 【答案】 D 【解析】 由题意，得 2（ 5， 2 a（ 2=2 5+2，所以 k=12. 3. （ 2011 年高考四川卷文科 7)如图，正六边形 D =( ) (A)0 (B)(C)(D)【答案】 D 5 【解析】 B A C D E F D E C D E F C D D E E F C F . 4 （ 2010年高考全国卷文科 11） 已知圆 O 的半径为 1， A、么 B 的最小值为 ( ) (A) 42 (B) 32 (C) 4 2 2 (D) 3 2 2 【答案】 D 【解析】 如图所示：设 B= x ( 0)x , ,则 2 ， 21 x ，21s x ， | | | | c o s 2P A P B P A P B = 22(1 2 s x = 222( 1)1 = 422 1 ， 令 B y，则 422 1x ，即 42(1 ) 0x y x y ，由 2x 是实数，所以 2 ( 1 ) 4 1 ( ) 0 ， 2 6 1 0 ，解得 3 2 2y 或 3 2 2y i n( ) 3 2 2P A P B 1x . 5 （ 2010 年高考全国卷文科 10） ，点 D 在边 ， 分 a , b , a = 1 ， b = 2, 则 ( ) （ A） 13a + 23b （ B） 23a +13b （ C） 35a +45b （ D） 45a +35b 【答案】 B 【解析】 角平分线， 12C， A B C B C A a b ， 6 2 2 23 3 3A D A B a b ， 2 2 2 13 3 3 3C D C A A D b a b a b 6（ 2010年高考 四川 卷文科 6） 设点 M 是线段 中点，点 A 在直线 ， 2 16， A B A C A B A C ，则 ( ) （ A） 8 （ B） 4 （ C） 2 （ D） 1 【答案】 C 【解析】 由 2 16，得 | 4, A B A C A B A C B C 4 而 A B A C A M ,故 2. 7（ 2011年高考江西卷文科 11)已知两个单位向量1e，2若向量1 1 22b e e，2 1 234b e e，则12_. 【答案】 解析】 要求 1b * 2b ，只需将题目已知条件带入，得： 1b * 2b =（ 1e e） *（ 31e +42e ）= 222121 823 其中 21e =1， 21 60 1*1*21=21， 122 e ，带入，原式 =3*1 2*21 8*1= 6. 8. （ 2011 年高考福建卷文科 13)若向量 a=（ 1,1）， b（ ），则 ab 等于 _. 【答案】 1 【解析】 因为 向量 a=（ 1,1）， b（ ）， 所以 ab 等于 1. 9 （ 2011年高考湖南卷文科 13)设向量 , | 2 5 , ( 2 , 1 ) ,且 方向相反，则 a 的坐标为 【答案】 ( 4, 2) 【解析】 由题 2| | 2 1 5b ，所以 2 ( 4 , 2 ) 10.（ 2011 年高考浙江卷文科 15)若平面向量 、 满足 1, 1，且以向量 、 为邻边的平行四边形的面积为 12，则 和 的夹角 取值范围是 . 【答案】 5 , 66 7 1 2 1 2( 2 ) ( )e e k e e 2 21 1 2 2(1 2 ) 2k e k e e e 2(1 2 ) c o s 23 0,解得54k . 【 高考冲策演练 】 一、选择题： 1.（ 2010 年高考山东卷文科 12） 定义平面向量之间的一种运算“ ”如下：对任意的( , )a m n ， ( , )b p q ，令 a b m q ，下面说法错误的是 ( ) (A)若 a与 0 (B)a b b a (C)对任意的 R ，有 ( ) ( )a b a b (D) 2 2 2 2( ) ( ) | | | |a b a b a b 【答案】 B 【解析】若 a 与 b 共线，则有 a b = m q -n p = 0，故 为 b a p n -q m ，而 a b = m q -n p ，所以有 a b b a ，故选项 选 B。 2 （ 2010年高考天津卷文科 9） 如图，在 B ， 3 1，则 D =( ) 8 （ A） 23 （ B） 32（ C） 33（ D） 3 【答案】 D 【解析】 D = | | | | c o A D D A C | | c o D A C| | s i B A C | | 3 | | s = 3 ，故选 D。 3 （ 2010年高考福建卷文科 8） 若向量 ( x , 3 ) ( x )，则“ ”是“ | | 5a ”的 【答案】 A 【解析】由 得 a (4,3) ，所以 | | 5a ；反之，由 | | 5a 可得 。 4 （ 2010年高考福建卷文科 11） 若点 分别为椭圆 22143的中心和左焦点，点 最大值为 ( ) 答案】 C 【解析】由题意， F（ 0），设点 , )有 2200143,解得 22 00 3 (1 )4 ， 因为00( 1, )FP x y，00( , )OP x y，所以 20 0 0( 1 )O P F P x x y =00( 1 )O P F P x x 203(1 )4x= 200 34x x，此二次函数对应的抛物线的对称轴为0 2x ，因为022x ，所以当0 2x 时， P 取得最大值 22 2 3 64 ，选 C。 5（ 2010年高考北京 卷理科 6） a、 ”是“函数 ( ) ( ) ( )f x x a b x b a 为一次函数”的 ( ) 9 （ A）充分而不必要条件 （ B）必要不充分条件 （ C）充分必要条件 （ D）既不充分也不必要条件 【答案】 B 【解析】若 ，则有 22( ) ( ) ( ) ( | | | | )f x x a b x b a x a b 不一定是一次函数（当| | | |时不是一次函数）；反之，成立，故选 B。 6 (2010 年高考 安徽 卷文科 3)设向量 (1,0)a , 11( , )22b ,则下列结论中正确的是 ( ) (A) (B) 22C) / (D)与 b 垂直 【答案】 D 【解析】 11( , )22a b =， ( ) 0a b b，所以 b 垂直 . 7 （ 2010年高考辽宁卷文科 8） 平面上 ,点不共线，设 ,O A a O B b,则 面积等于 ( ) （ A） 22 2()a b a b （ B） 22 2()a b a b （ C） 22 21 ()2 a b a b（ D） 22 21 ()2 a b a b【答案】 C 【解析】 22221 1 1 ( )| | | | s i n , | | | | 1 c o s , | | | | 12 2 2 | | | |O A a b a b a b a b a 22 21 ()2 a b a b 8.(2010年高考宁夏卷文 科 2)a， b 为平面向量，已知 a=（ 4， 3）， 2a+b=（ 3， 18），则 a， ) （ A） 865（ B） 865（ C） 1665（ D） 1665【答案】 C 解析 ：由已知得 ( 3 , 1 8 ) 2 ( 3 , 1 8 ) ( 8 , 6 ) ( 5 , 1 2 ) ，所以 c o s , 4 ( 5 ) 3 1 2 1 65 1 3 6 5 9 （ 2010 年高考 广东 卷文科 5） 若向量 a =（ 1,1）， b =（ 2,5） ， c =(3,x)满足条件 (8a 10 【解析】 60a b m ，所以 m =6. 11 （ 2010年高考 湖北 卷文科 8） 已知 和点 M 满足 0M A M B M C M A C m A M 成立，则 m =( ) 答案】 B 【解析】由 0M A M B M C 重心，设点 2A M = A D =3 21(32 )C 1 ()3 C所以有 3A B A C A M m =3，选B。 12 （ 2010年高考 湖南 卷文科 6） 若非零向量 a， b 满足 | | | |, ( 2 ) 0a b a b b ，则 a 与 b 的夹角为 ( ) A. 300 B. 600 C. 1200 D. 1500 【答案】 C 二、填空题： 13 (2010年高考 江 西卷文科 13)已知向量 a ， b 满足 2b ， a 与 b 的夹角为 60，则 b 在a 上的投影是 【答案】 1 【解析】 0 1| | c o s 6 0 2 12b 14. (2010 年高考浙江卷文科 13)已知平面向量 , , 1, 2 , ( 2 ) , 则2a 的值是 。 【答案】 10 11 16（ 2010年高考陕西卷理科 11） 已知向量 2,1,1,1,2 若 c ，则 _m . 【答案】 解 析 】 2,1,1,1 由 c 得 101121 三解答题： 17 （ 2010年高考江苏卷试题 15） 在平面直角坐标系 ，点 A( 1, 2)、 B(2,3)、 C( 2, 1). (1)求以线段 邻边的平行四边形两条对角线的长； (2)设实数 t 满足 ( ) 0，求 t 的值。 【解析】 （ 1） （方法一） 由题设知 ( 3 , 5 ) , ( 1 , 1 )A B A C ，则 ( 2 , 6 ) , ( 4 , 4 ) A C A B A C 所以 | | 2 1 0 , | | 4 2 A C A B A C 故所求的两条对角线的长分别为 42、 2 10 . （方法 二 ） 设该平行四边形的第四个顶点为 D，两条对角线的交点为 E，则 : E 为 B、 C 的中点， E（ 0， 1） 12 又 E（ 0， 1）为 A、 D 的中点，所以 D（ 1， 4） 故所求的两条对角线的长分别为 2、 10 ； （ 2）由题设知： ( 2, 1)， ( 3 2 , 5 )A B t O C t t 。 由 ( ) 0，得： ( 3 2 , 5 ) ( 2 , 1 ) 0 ， 从而 5 11,t 所以 115t。 或者： 2 C ， (3, 5),115|A B O C 18 （ 2010年高考福建卷文科 18） 设平顶向量 （ m , 1） , ( 2 , n )，其中 m， n 1,2,3,4. （ I）请列出有序数组（ m， n ）的所有可能 结果； （ “使得（立的（ m， n ）”为事件 A，求事件 A 发生的概率。 19 （ 2009 年高考湖北 卷理科 第 17 题 ） （本小题满分 12 分） （注意： 在试题卷上作答无效 ） 已知向量 ( c o s , s i n ) , ( c o s , s i n ) , ( 1 , 0 )a a a b c （）求向量 的长度的最大值； （）设 ，且 ()a b c，求 的值。 【解析】 （ 1）解法 1： ( c o s 1 , s i n ) ,b c =
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