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江苏 各地 高考 数学 考试题 汇编 打包 11 十一 苏教版

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用心 爱心 专心 1 2012年江苏各地高考数学模考试题汇编第 10部分 数列 苏教版 （ 2012 年 南 师 附 中 ） 已 知 数 列 am（ m 为 正 整 数 ），1,23 1 , 当 为 偶 数 时 ，当 为 奇 数 时 。若 44 a ，则 _4或 5或 32_。 析：本题可以逆向推导。由 44 a 可得 3 81a 或 。（ 1）、若 3 8a 则 2 16a 或 73 （舍），则 1 32a 或 5；（ 2）、若 3 1a ，则 2 2a 或 0（舍），则 1 4a （ 2012年泰兴）已知 数列 11 ， 22 a ， 当 整数1 1 11 , 2 ( )n n S S S 时都成立 ，则 5： 5 1 2 4 6 8 2 1S 1 1 1( ) ( ) 2 2n n n S S S 即 1 2（ n 2），数列 从第二项起构成等差数列， 5 1 2 4 6 8 2 1S 注：本题由 2011江苏卷 20 题（ 1） 改变而来。 （ 2012年泰兴）王老师从 2011年 1月 1日开始每年的 1月 1日到银行新存入 年定期），若年利率 每年到期存款及利息均自动转为新的一年定期，到 2018年 1月 1日将所有存款及利息全部取回，他可以取回 元 答案： 8(1 ) (1 )a r a 析 ： 复 利 问 题 ， 本 题 为 等 比 数 列 模 型 。76(1 ) (1 ) (1 )a r a r a r =7(1 ) 1 (1 ) a r =8(1 ) (1 )a r a 用心 爱心 专心 2 （南师附中最后一卷） 已知数列 公差不为 0的等差数列， 等比数列，其中 3，1， 3存在常数 u， v 对任意正整数 n 都有 3v，则 u v_ 答案： 6 （泰州期末） x|2012x Z,x Z 中取三个不同元素排成一列，使其成等比数列，则此等比数列的公比为 . 答案： 2,21 （南京三模） 13如图，将数列 已知表中的第一列1 2 5, , ,a a 的等比数列，从第 2行起，每一行都是一个公差为 d 的等差数列。若4 8 65 , 5 1 8，则 d = 解答：第 2行成公差为 d 的等差数列，可得：24 2 5 2a a d d ， 第 n 行的数的个数为 21n ，从第 1行到第 n 行的所有数的个数总和为 2(1 2 1)2nn n ， 86=92+5，第 10 行的前几个数为：8 2 8 3 8 4 8 5 8 6, , , , ,a a a a a，所以8 2 8 6 4 5 1 8 4a a d d 。 第一列1 2 5 1 0 1 7 2 6 3 7 5 0 6 5 8 2, , , , , , , , , ,a a a a a a a a a 的等比数列， 故有 888 2 2 2 5 1 8 4 ( 5 2 ) 2a a d d ，解得： 。 （南师大信息卷）等比数列 前 n 项和为知1 2 3, 2 , 3S S 等比数列 公比为 13. 提示： 设等比数列 公比为 ( 0)，由2 1 343S S S，得 21 1 1 1 1 14 ( ) 3 ( )a a q a a a q a q ，即 230 ， 13q. 用心 爱心 专心 3 （南师大信息卷）如图是网络工作者经常用来解释网络运作的蛇形模型：数字 1出现在第 1行；数字 2,3 出现在第 2 行；数字 6,5,4（从左至右）出现在第 3 行；数字 7,8,9,10 出现在第 4行；依此类推，则第 63行从左至右的第 5个数应是 2012. 提示 ：由每行的行号数和这一行的数字的个数相同可求出第 63 行最左边的数是6 3 ( 6 3 1 ) 20162 ，所以，从左至右的第 5个数应是 2016012. 136 5 47 8 9 1015 14 13 12 112（南师大信息卷）已知数列 1,2,2,3,3,3,4,4,4,4,5， 的首项是 1，随后两项都是 2，接下来 3项都是 3，再接下来 4项都是 4，以此类推，若1 2 0 , 2 1，则 n = 211 . 提示： 2 0 ( 1 2 0 )1 1 2 3 2 0 2 1 02n ， 211n . （南师大信息卷）各项都为正数的数列 前 n 项的和为211( ) ( 2 ) a n ，若 11，且数列 前 n 项的和为 则24621. 提示：11 S， 211,n S S n a, 11( 2 1 )n n S n a ， 2 1 2 1 2 222 1 2 1 2 1 2 1n n n n n , 2 2 2 2 2 2( 2 ) ( 2 ) ( 2 )1 3 3 5 2 1 2 1nT 22 4 6222 1 2 1 . （南师大信息卷）已知 等比数列，2512, 4，则12 ()a a a n N 的取值范围是 4,8) . 用心 爱心 专心 4 提示： 因为 等比数列，所以可设 11 a q 4，所以 141214 ，解得 1412. 所以1214 1 12 881 212a a a . 因为11022n，所以 48. （苏锡常一模）等差数列 知 158 a， 139 a，则 12a 的取值范围是 . 答案： ( ,7 （苏锡常一模）设 )(示正整数 n 的个位数， )()( 2 ，则数列 012项和等于 . 答案： 2 （南通三模）各项均为正数的等比数列 64 , 8a a a，若函数2 3 1 01 2 3 1 0()f x a x a x a x a x 的导数为 ()，则 1()2f = . 解析：考查等比数列的基本知识、导数的运算。各项为正的等比数列 ,4 671 算 出 2,411 所 以 32 又91021 102)( ，将21 得 11 , 所以)1021(41)21( f 。 答案： 554 用心 爱心 专心 5 （盐城二模）在等比数列 已知1 2 3 5aa a, 7 8 9 40a a a , 则5 6 7a a a . 答案： 20 （南京二模）设3163 76案： 2735 （苏州调研）在等比数列 若3 5 7 8a a a ,则24_. 答案： 4 （南京一模）记等比数列 前 n 项积为 *()nT n N ,已知 11 20m m ma a a,且21128 ,则 m . 答案： 4m (南通一模 )观察下列等式： 311 ， 331 2 9， 3 3 31 2 3 36 ， 3 3 3 31 2 3 4 1 0 0 ， 用心 爱心 专心 6 猜想： 3 3 3 31 2 3 n （ n *N ） . 答案： 2( 1)2解析：法一：先看出等式右边依次为： 12， (1+2)2， (1+2+3)2， (1+2+3+4)2； 再归纳出所 求式子为 2(1 2 )n ；最后用等差数列求和公式即得 . 法二：猜想数列 1， 3， 6， 10，的通项公式 . 由 1 2 2 3 3 4 4 51 3 6 1 02 2 2 2 ， ， ，猜想出 ( 1)2n . 作数列 1， 3， 6， 10，的差分数列，知其为等差数列， （江苏最后 1卷） 13 将 所有的奇数 排列如右表，其中第 i 行第 j 个数表示为如32 9a 若 445，则 13 【解析】本题 主要考查数列的通项 【答案】 34 解答如下： 可以求得通项 2 21i i j ， 所 以 2 2 1 4 4 5i i j 且 1 ，从而22444446，解得 21i ，于是 13j ，故 34 （常州期末）已知等比数列 21 2 4 3 72 3 , 4a a a a a ，则数列 。 答案： 32n 1 3 5 7 9 11 （第 12 题） 用心 爱心 专心 7 （苏北四市）已知等差数列 , 7 4 53 ，且2的值为 【答案】 15 解：设 ( 7 4 5 ) , ( 3 ) , n n T A n n 则可求得 (1 4 3 8 ) , ( 2 2 ) n b A n ， 2(1 4 3 8 ) 1 63( 4 2 ) 2 1 n n n ，当 15n 时，2整数。 说明：此解法学生须知：数列 n 项和 2nS an 。 （南通一模）各项均为正偶数的数列1 2 3 4, , ,a a a 三项依次成公差为 ( 0)的等差数列，后三项依次成公比为 q 的等比数列，若4188，则 q 的所有可能的值构成的集合为 【答案】 58 37，解：设这四个数为1a，11 21 88a，其中1a， d 均为正偶数，则21 1 1( 2 ) ( ) ( 8 8 )a d a d a ，整理得1 4 ( 2 2 ) 03 8 8d ， (注意体会 这里用 “1 0a”而不用“1 2a” 的 好处，实际是一种估算能力 ) 所以 ( 2 2 ) ( 3 8 8 ) 0 ，即 22 883d ， 所以 d 的所有可 能值为 24， 26， 28， 当 24d 时，1 12a， 53q； 当 26d 时，1 2085a （舍去）； 当 28d 时，1 168a ， 87q， 所以 58 37，. （盐城二模）在等差数列 52a ， 216 a，记数列前 n 项和为 若1512 对 成立，则正整数 m 的最小值为 【答案】 5 解：由题设得 43，1512 可化为 1 1 14 1 4 5 8 1 1 5mn n n ， 用心 爱心 专心 8 令 1 1 14 1 4 5 8 1nT n n n ， 则1 1 1 1 1 14 5 4 9 8 1 8 5 8 9nT n n n n n ， 1 1 1 1 1 1 1 08 5 8 9 4 1 8 2 8 2 4 1n n n n n n ， 当 1n 时， 1 145 9 45， 由 1415 45m解得 143m，正整数 m 的最小值为 5。 （百校联考）已知无穷数列 n 项和 （ 1）若数列 对任意正整数 n 都有 3 3立，求数列 （ 2）对任意正整数 n ，从集合12 , , , na a 些数之间经过加减运算后所得数的绝对值为互不相同的正整数，且这些正整数与12, , , na a 至整数组成的集合 （ i）求 12, 数列 解：（ 1） 设 无穷等差数列 d ，则11( 1 )2 2 2nn n d dS n a d n n a ， 所以333 122n n a 且 33 3122n n a 23323 3 21 1 1338 4 2 2 2 2d d d d d dn n a n a n a 因为 3 3于一切正整数 所以用心 爱心 专心 9 32121311,823( ) 0 ,423( ) 0 ,22( ) 4分 因为数列 以 0d 由 ，可得 0d 或 2d 当 0d 时，由 得 1 1a ，且同时满足 当 2d 时，由 得1 12，且同时满足 因此 ， 共 有 2 个 无 穷 等 差 数 列 满 足 条 件 ， 通 项 公 式 为 1或21 6 分 （ 2 ）（ i ）记 1 , 2 , , 显 然111 7分 对于 2 1 2 21S a a a ，有 2 2 2 2 2 1 , 2 , , 1 , , 1 , | 1 | 1 , 2 , 3 , 4 A S a a a 故 214a ，所以23a 9分 （ 题意可知，集合12 , , , na a 产生 10分 而集合1 2 1 , , , , a a a 按上述规则产生的1正整数中，除 1,2, ,有1 1 1, , | |n n na a i a i ( 1, 2, , )共 21个数 所以，1 ( 2 1 ) 3 1n n n S S 12分 又1 113 ( )22 ，所以111 1 1 1( ) 3 32 2 2 2 14分 用心 爱心 专心 10 当 2n 时，111 1 1 1 13 ( 3 ) 32 2 2 2n n nn n S 15 分 而 1 1a 也满足 13所 以 ， 数列 项 公 式 是13 16分 （天一） 已知数列 的等差数列，公差为 d ，n 项和，且满足 2 21 ， n *N 数列 足11 ， 数列 前 （ 1）求数列 （ 2）若对任意的 n *N ， 不等式 8 ( 1) 恒成立，求实数 的取值范围； （ 3）是否存在正整数 , ) ，使得 1, T 成等比数列？若存在，求出所有 ,不存在，请说明理由 1）（法一）在 221中，令 1n ， 2n ， 得,322121 即,33)(,121121 2 分 解得 11 a ， 2d ， 21 又 21时， 2足 221， 21 3 分 11 1 1 1 1()( 2 1 ) ( 2 1 ) 2 2 1 2 1n a a n n n n ， 1 1 1 1 1 1( 1 )2 3 3 5 2 1 2 1 2 1n nT n n n 5 分 （法二） nn 2 121 )12(2 12112 nn ( 2分 由 221，得 nn 12(2 ， 又 0， 21 ，则1 1, 2 3分 ( （ 2）当 n 为偶数时，要使不等式 8 ( 1 ) 恒成立，即需不等式( 8 ) ( 2 1 ) 82 1 7nn 恒成立 6分 用心 爱心 专心 11 828，等号在 2n 时取得 此时 需满足 25 7分 当 n 为奇数时，要使不等式 8 ( 1 ) 恒成立，即需不等式( 8 ) ( 2 1 ) 82 1 5nn 恒成立 8分 82随 n 的增大而增大， 1n时 82得最小值 6 此时 需满足 21 9分 综合、可得 的取值范围是 21 10分 （ 3）1 1 ,3 2 1 2 1 T ， 若1, 2 1( ) ( )2 1 3 2 1， 即 224 4 1 6 3m n 12 分 由 224 4 1 6 3m n ，可得 223 2 4 1 0 ，即 22 4 1 0 ， 661122m 14分 又 mN ，且 1m ，所以 2m ，此时 12n 因此，当且仅当 2m ， 12n 时，数列 16分 另解 ：因为 1136 3 66，故 2214 4 1 6 ，即 22 4 1 0 ， 661122m ，（以下同上） 14分 （南京三模）已 知数列 数项是公差为2n 项和，121, 2 （ 1）若5 4 51 6 ,S a a，求10a； （ 2）已知15 815且对任意 ,有1恒成立，求证：数列 用心 爱心 专心 12 （ 3）若1 2 13 ( 0 )d d d，且存在正整数 m 、 ()n m n ，使得求当1列 （南通三模）已知 ， 是方程 x 1=0的两个根，且 数列 足 ， ， =+bn= an(n N*). （ 1）求 （ 2）证明：数列 等比数列； （ 3）设 ， 1， +=n N*），证明：当 n 3时， -1)n 1（ 解：因为 ， 是方程 x 1=0的两个根，所以 + =1， = 2= +1. （ 1 ）由 a1+ + =2+ 得 . 4 分 （ 2） 因为 + (1 )+an +an an 爱心 专心 13 = ， 8分 又 0， 所以 首项为 ， 公比为 的等比数列 10 分 （ 3）由（ 2）可知 ） n 1 同理， （ 又 ，于是 由， 得 n 1. 13 分 下面我们只要证明： n 3时 ， (n 1（ = n 1 因为 (-1)n( )(-1) = = (1+ ) 2 又 ， 1， ， 则当 n=3时 ， ( ( +2 )=1+ = 2， 所以 (n 1 ( 是以 2为首项， 为公比的等比数列 (n 1 ( 它的第 n 2 项， 所以 (n 1 ( 2 n 3= n 1= 16 分 （苏锡常一模） 数列 11a ， 22 a 1(1 ， .（ 1） 若数列 数列 项和6S； （ 2） 若数列 的等差数列，求数列 （ 3） 若 0122 nn bb，6212 ， 求数列 前 的和 用心 爱心 专心 14 （常州期末）已知各项均为正数的数列 n 项和为足28 4 3 ( )n n nS a a n N ，且 1 2 7,a a a 依次是等比数列 前三项。（ 1）求数列 2）是否存在常数 0a 且 1a ，使得数列 l o g ( )n a na b n N 是常数列？若存在，求出 a 的值；若不存在，说明理由。 用心 爱心 专心 15 （ 2012年南通二模）设数列 各项均为正数 n *N ，存在 k *N ，使得 22n k n n ka a a成立，则称 数列 “ 列 （ 1）若数列 “ 列，且2 8a ，8 1a，求2 （ 2）若数列 是“ 列，又是“ 列，证明：数列 等比数列 . 解： （ 1）由题意，得2a，4a，6a，8a，成等比数列，且公比 138212aq a， 所以 4122 12 a q （ 2）证明：由 “4列，得 1a，5a，9a，13a，17a，21a，成等比数列，设公比为 t . 由 “3数列，得 1a，4a，7a，10a，13a，成等比数列，设公比为1； 2a，5a，8a，11a，14a，成等比数列，设公比为2； 3a，6a，9a，12a，15a，成等比数列，设公比为3； 则4313 11a ， 4317 25a ， 4321 39a 所以1 2 3 ，不妨记1 2 3 ，且 43t 用心 爱心 专心 16 于是 ( 3 2 ) 11 33 2 1 1 a a ， 2 ( 3 1 ) 122 333 1 5 1 1 1 a a t a a ， 1 313 2 3 333 9 1 1 1 a a t a a ， 所以 131 ，故 等比数列 20( 南 京 一 模 ) 已 知 数 列 足*1 ( 0 , )a a a a N , 1 2 1 0a p a *( 0 , 1 , )p p n N . (1)求数列 (2)若对每一个正整数 k ,若将1 2 3,k k ka a a 按从小 到大的顺序排列后 ,此三项均能构成等差数列 , 且公差为求 p 的值及对应的数列 记 k 项和，问是否存在 a ,使得 30对任意正整数 k 恒成立 ?若存在 ,求出 a 的最大值；若不存在 ,请说明理由 解 :( )因为1 2 1 0a a p a ,所以 2n 时 , 1 2 1 0a a p a ,两式相减 ,得1 1 ( 2 )p ,故数列 第二项起是公比为 1的等比数列 3分 又当 n=1 时 ,120a , 解得2, 从而2( 1 )1() ( 2 )na ap 5分 (2)由 (1)得111 2 31 1 1( ) , ( ) , ( )k k kk k ka p a p a pa a ap p p p p p , 1若1等差中项 ,则1 2 32 k k ka a a ,即 1 1或 1 2,解得13p 6分 此时 1123 ( 2 ) , 3 ( 2 )a a a , 所以112| | 9 2 kk k kd a a a 8分 2 若2 等 差 中 项 , 则2 1 32 k k ka a a , 即 1 1, 此时无解 9分 3若3等差中项 ,则3 1 22 k k ka a a ,即 1 1或 112,解得用心 爱心 专心 17 23p , 此时 11133 1 3 1( ) , ( )2 2 2 2 , 所以113 91| | ( )82 kk k k ad a a 11分 综上所述 , 13p, 192或 23p, 191()82kk 12分 1当 13p时 , 9 ( 2 1),则由 30,得 103(2 1) , 当 3k 时 , 10 13(2 1)k ,所以必定有 1a ,所以不存在这样的最大正整数 14分 2当 23p时 , 91(1 ( ) )42kk ,则由 30,得 4013 (1 ( ) )2,因为4 0 4 01 33 (1 ( ) )2k,所以 13a 满足 30恒成立；但当 14a 时 ,存在 5k ,使得4013 (1 ( ) )2即 30, （南京二模） 已知 数列 足： ),0(2. 212321 n 其中常数（ 1）求数列 通项公 式； （ 2）当 =4 时，是否存在互不相同的正整数 r,s,t,使得,成等比数列？若存在，给出 r,s,不存在，说明理由； （ 3）设 前 对任意 都有 2)1( 恒成立，求实数 的取值范围。 解： （ 1）当 n 1时， 3 当 n 2时，由 n 1 2n， 得 1 n 2 (n 1)2 2(n 1) 得： n 1 2n 1， 所以 (2n 1) n 1，（ n 2） 因为 3，所以 (2n 1) n 1 (n N*) 4分 用心 爱心 专心 18 （ 2）当 4时， (2n 1) 4n 1 若存在 (2r 1) 4r 1 (2t 1) 4t 1 (2s 1)2 42s 2 整理得 (2r 1) (2t 1) 4 r t 2s (2s 1)2 6分 由奇偶性知 r t 2s 0 所以 (2r 1) (2t 1) (r t 1)2，即 (r t)2 0 这与 r 不存在这样的正整数 r， s， t，使得 8分 （ 3） 3 5 7 2 (2n 1) n 1 当 1时， 3 5 7 (2n 1) 2n 当 1 时， 3 5 7 2 (2n 1) n 1， S n 3 5 2 (2n 1) n 1 (2n 1) n (1 )3 2( 2 3 n 1) (2n 1) n 3 2 (1 n 1)1 (2n 1)n 10 分 要对任意 n N*， 都有 (1 ) 2 ， 当 1时，左 (1 )a n 2n 1 2，结论显然成立； 当 1时，左 (1 )a n 3 2 (1 n 1)1 (2n 1)n 3 2 (1 n 1)1 3 1 2 因此，对任意 n N*， 都有 3 1 4 21 当 0 1时，只要 3 4 2 意 n N*恒成立 只要有 3 4 2 即可，解得 1或 32 因此，当 0 1时，结论成立 14分 当 2时， 3 1 4 21 任意 n N*恒成立 当 1 2时，只要 3 4 2 n N*恒成立 只要有 3 4 2 即可，解得 1 32 因此当 1 32时，结论成立 用心 爱心 专心 19 综上可得，实数 的取值范围为 (0， 32 16 分 （盐城二模）在数列 1 1a, 且对任意的 *,2 1 2 2 1,k k ka a a成等比数列 , 其公比为(1) 若 *2 ( )kq k N, 求1 3 5 2 1ka a a a ； (2) 若对任意的 *,2 2 1 2 2,k k ka a a成等差数列 , 其公差为设 11k kb q . 求证 : 并指出其公差； 若1 2d , 试求数列 k 项和解 : (1)因为 2,所以21214 ,故 1 3 5 2 1, , , , ka a a a 是首项为 1,公比为 4的等比数列 , 3 5 2 14 1( )3k a a a 4分 (注 : 讲评时可说明 , 此时数列 且公比为 2) (2)因为2 2 1 2 2,k k ka a a成等差数列 ,所以2 1 2 2 22 k k ka a a, 而212 2 2 2 1 1,kk k k a a , 所以11 2, 则111 kk q 7分 得111 1111kk k q q ,所以111 111,即 1 1, 所以 且公差为1 9分 因为1 2d, 所以322, 则由 22 3 212a a a , 解得2 2a或2 1a 10 分 ( )当2 2a 时 , 1 2q,所以1 1b,则 1 ( 1 ) 1kb k k ,即 11k ,得1k kq k ,所以 221221( 1) , 则2 1 2 1 32 1 12 1 2 3 1a a a a 2 2 2 22 2 2( 1 ) 2 1 ( 1 )( 1 ) 1kk 12 分 所以 2212( 1 ) ( 1 )1ka k , 则2 1 2 1k k kd a a k , 故用心 爱心 专心 20 ( 3)2k 14分 ( )当2 1a 时 , 1 1q ,所以1 12b,则 13( 1 ) 122kb k k ,即1312 , 得1232, 所以2 1 2 1 32 1 13 1a a a a 2 2 223 1( ) ( ) ( )12 2 24 ( )3 5 2 , 则212 ( 2 1 ) ( 2 3 )k ,所以 2 1 2 42k k kd a a k ,从而 22. 综 上 所 述 , ( 3)2k 或22 16分 （南师附中最后一卷） 如果无穷数列 足下列条件： 22 1； 存在实数 M，使得 M，其中 n N*，那么我们称数列 数列 (1) 设数列 通项为 5n 2n，且是 数列，求 (2) 设 各项为正数的等比数列， 14， 74，证明：数列 数列； (3) 设数列 各项均为正 整数的数列，求证： 1. 解： b n 1 5 2n， n3 ， 1 0，故数列 调递减； 当 n 1， 2时， 1 0，即 则数列 的最大项是 7，所以 M7. (2) 证明： c n是各项正数的等比数列， 14， 74， 设其公比为 q 0， 74. 整理，得 6q 1 0，解得 q 12， q 13(舍去 ) 1， 12n 1， 2 12n 2， S 2. 对任意的 n N*，有 22 2 12n 12n 2 2 12n 2，且 2， 故 数列 (3) 证明：假设存在正整 数 成立，有数列 各项均为正整数， 可得 1，即 22 ， 所以 2 2(1) 2. 由 2 2 1得 2 ，故 1. 用心 爱心 专心 21 因为 1 32 ，所以 3 2 1 2( 1) 2d k 3， 由此类推，可得 dk+m m(m N*) 又存在 M，使 M， m M，使 dk+m 0，这与数列 各项均为正数矛盾，所以假设不成立，即对任意 n N*，都有 成立 用心 爱心 专心 1 2012年江苏各地高考数学模考试题汇编第 12部分 不等式 苏教版 (苏北四市二模 )已知集合 2 | ( 1 ) , A x x a a x a R, aR ,使得集合 A 中所有整数的元素和为 28,则 _. 答案： 7,8) （ 2012年兴化）不等式 的解集是 答案： 答案： 10 （ 2012年兴化）已知2( ) lo g ( 2 )f x x，若实数 , ) ( 2 ) 3 ,f m f n则 的最小值为 答案： 7 说明：由已知条件可得 )1,2(4)1)(2( 下面有如下几种常见思路： 思路 1（消元）：由 4)1)(2( 214 14 面既可以用函数方法（求导），也可以用不等式方法求解。 思路 2:令 ，则 ，代入 4)1)(2( 用判别式法，求出最值后要注意检验。 思路 3：注意 4)1)(2( 待求式之间的关系，我们有： 73)1)(2(23)1()2( 用心 爱心 专心 2 (第 13题 ) （南师附中最后一卷） 如图，线段 ，端点 E、 的正方形四边上滑动当 E、 F 沿着正方形的四边滑动一周时， 中点 M 的周长为 l，其围成的面积为 S，则 l 大值为 _ 答案： 54 （南师附中最后一卷） 记 F(a， ) 2 22 2，对于任意实数 a、 ， F(a， ) 的最大值与最小值的和是 _ 答案： 4 （苏锡常二模）设实数 6n ，若不等式 08)2(2 任意 2,4x 都成立，则nm 44 的最小值为 . 答案： 803（南京二模）已知变量 x,2目标函数 2 的取值范围是_ 答案： 4， 2 用心 爱心 专心 3 （泰州期末） 0,0( t 为常数，且 最大值为 2 ，则 t = . 答案： 22 （南京三模） 标系 ，记不等式组 302 7 02 6 0 表示的平面区域为 D若指数函数 （ a 0且 1a ）的图象与 a 取值范围是 答案 : 3, ) （苏州 调研）设 , 的自然数 ,函数 ( ) ( s i n ) , ( ) c o sf x a b x g x b x ,若存在实数 m,使得 ( ) ( )f m g m ,则 _. 解析：本题考查三角函数的恒等变形，解不等式，函数 1的性质。 由题设知方程 ( s i n ) c o sa b x b x 有实数根，即方程 2 1 s i n ( )a x b a b 有实数根， 2| | 11b ，整理得 2221211( 1 ) 2 ， 2a ， 2 5b ，又 b 为大于 1的自然数 , 2b ，从而得 2a ， 4 。 （南京一模）设椭圆 22: 1 ( 0 )a 恒过定点 (1,2)A ,则椭圆的中心到准线的距离的最小值 . 解析：本题考查椭圆的几何性质，基本不等式。 由题设知 222 2 21 4 41, 1b a ，椭圆的中心到准线的距离 2ad c ， 用心 爱心 专心 4 由 4 4 4 2 2222 2 2 222( 1 )2 51a a a a a b ， 令 2 5 ( 0 )a t t 得 2 ( 5 ) ( 4 ) 2 0 9 9 4 5 ，（当且仅当 25t 时取等号） 25d 即椭圆的中心到准线的距离的最小值 25 （说明：（ 1）说明 2 50a 不是很容易的；（ 2）需熟知求函数 2a x b x f的最值。） （常州期末）已知 ， 均为正实数，记 11m a x aM b b c ca c a b ， ，则 M 的最小值为 解析：本题考查基本不等式，新背景问题的理解能力。 1 1 1m a x m a b b c c b ca c a b a c b ， ， ， 由 1 1 1( ) ) ( ) ( ) 2 2 4c c b aa c b a c b a + ( +知 1m a x 2c b ， 又显然 1 时， 2M ， M 的最小值为 2。 （镇江） 不等式 228 ( )a b b a b 对于任意的 , 恒成立，则实数 的取值范围为 。 解析：本题考查换元消元的思想方法和二次函数的性质。 当 0b 时， R ； 当 0b 时，原不等式可化为 2( ) ( ) 8 0 ，由 2 4 ( 8 ) 0 解得84 ， 实数 的取值范围为 84 。 （扬州期末）已知 ,x y z R ，且 2 2 21 , 3x y z x y z ，则 最大值是 解析：本题考查多变量问题，一元二次方程，不等式，轮换对称式，导数的运用，最值问题，消元思想，换元法。是一道难度较大的习题。 解法一：（合理猜想）由题设知 2 2 2(1 ) 3x y x y ， 整理得 22 10x x y y x y ， 式与目标式 (1 )xy x y 均为关于 ,可大胆猜想在 时，取得最值。 用心 爱心 专心 5 当 时，由式解得 1或 13 ， 当 1时， 1 1 ( 1 ) 1 ， 当 13 时， 1 1 5 5( ) ( )3 3 3 2 7 。 所以 最大值是 527， 最小值是 1。 解法二：令 ,x a b y a b 对解法一中的式换元变形，整理得 223 2 1 0a b a ， 222 2 3 2( ) ( ) 1 ( ) ( ) ( ) ( 1 2 )( 3 2 1 ) ( 1 2 ) 8 8 1x y z a b a b a b a b a b aa a a a a a ， 令 32( ) 8 8 1f a a a ，则 2( ) 2 4 1 6f a a a ， 由 () 0解得 0a 或 23a， m i n m a x 25( ) ( 0 ) 1 , ( ) ( )3 2 7f a f f a f 。 （徐州四市）已知 的三边长 , 2 2 2 8 4 , 则实数的取值范围是 【答案】 (2 6, 2 7 解 ：不妨设 , ( 0 )a b d c b d d ， 由 2 2 2( ) ( ) 8 4b d b b d 整理得 223422， 再由2()0b d b b 得 227 1686 168，解之得 2 6 2 7b 。 （南师大信息卷）若 ,正实数，则2 2 2xy y z的最大值是 22 . 提示： 2 2 2 211 2222x y y z x y y z . 答案： 3 (南通三模 )已知圆心角为 120o 的扇形 半径为 1， C 为 中点，点 D、 E 分别在半用心 爱心 专心 6 径 2 2 2 269C D C E D E ,则 E 的最大值是 . 解析：考查函数思想、最值问题解法，以及解三角形的知识。 设 , ， （解法一）由余弦定理得 221C D x x ， 221C E y y ， 222 ， 由926222 98)()(2 22 22 )2(398398)()(2 ，解得340 所以32 的最大值为34。 （解法二） 2 2 2 26( ) ( ) ( )9O D O C O E O C O E O D ， 22 82 ( ) ( | | | | ) | | | | 9O D O E O D O E O D O E ， 98)()(2 22 以下同解法一 （解法三，小题小做）以上同，98)()(2 22 时， 最大，即 2 825 2 0 ,93x x x 。 E 最大值是 43。 答案： 43爱心 专心 7 （南师大信息卷）已知关于 ( 22 x .(1)当 2a 时，求此不等式的解集； (2)当 2a 时，求此不等式的解集 . 解： (1) 当 2a 时，不等式可化为 0)2)(1(2 所以不等式的解集为 212| . (2) 当 2a 时 ,不等式可化为 0)(1( 2 x， 当 12 a 时，解集为 | 2 1 ;x x a x 或 当 1a 时，解集为 | 2 1 ;x x x 且1，解集为 | 2 1 .x x x a 或 用心 爱心 专心 1 2012年江苏各地高考数学模考试题汇编第 2 部分 函数 苏教版 (2012年栟茶高级中学高三阶段考试 )若函数 () 上单调函数，且存在区间 a b D， （其中 ），使得当 x a b ， 时， () ，则称函数 () 间 叫做等域区间如果函数 2()g x x m是 0， 上的正函数，则实数 m 的取值范围 答案： 3( 1, )4（ 2012年兴化 ） 已知实数 分别满足 153 23 553 23 则 的值 为 . 答案： 2 说明：由于已知的两个等式结构相似，因此可考虑构造函数。 将已知等式变形为 2)1(2)1(,2)1(2)1( 33 构造函数 )( 3 ，这是一个单调递增的奇函数，因为 2)1(,2)1( 所以 )1()1()1( ，从而有 11 ， 2 （ 2012年泰兴）方程 033 0， 1上有实数根，则 0 ； 析：可考虑 ,与 3 3y x x 在 0， 1上有公共点，数形结合。 3( 1, )4（南师附中最后一卷） 已知函数 f(x) a 0且 a1) ，如果函数 f(x)在用心 爱心 专心 2 区间 12， 0 内单调递增，那么 _ 答案： 34， 1 （泰州期末） 13设实数 1a ，使得不等式 23，对任意的实 数 2,1x 恒成立，则满足条件的实数 a 的范围是 . 解析：本题考查不等式的解法，数形结合。 当 32a时， 不等式 23，对任意的实数 2,1x 恒成立， 当 32a时，将不等式化为 32| ，作出函数32| | , ( 1 2 )ay x a y 的图像，如图， 不等式 23，对任意的实数 2,1x 恒成立的条件是，函数 | |,y x a 的图像全部落在函数 32 (1 2 ) 的图像的上方，由3222312 解得 52a， 综上所述，实数 a 的范围是 351, , )22。 （注：本题关键在于对不等式的合理变形，和由图考出题设成立的条件） （ 泰 州 期 末 ） 14. 集合 )(存 在 实 数 t 使得函数 )(足x y O 1 2 a 用心 爱心 专心 3 )1()()1( ，下列函数 ,( 都是常数）（ 1） )0,0( （ 2） )0(2 （ 3） )10( x ； （ 4） )0( 5） xy ；属于 . (只须填序号 ) 解析：本题考查基本初等函数，解方程。 解法一：对函数（ 1），若 ( 1 ) ( ) ( )k t b k t b k b ，则 0b ，与条件矛盾； 对函数（ 2），若 22( 1 ) ( 1 ) ( ) ( )a t b t c a t b t c a b c ，解得2ct a； 对函数（ 3），若 1a a ，由于函数 ( 0 1)xy a a 为减函数，故不成立； 对函数（ 4），若1，整理得 2 10 ，此方程无实数解； 对函数（ 5），显然 ( 0 1 ) ( 0 ) (1 )f f f 。 综上所述， 属于 2）（ 5）。 解法二： ( 1 ) ( ) (1 )f t f t f 可化为 ( 1 ) ( ) (1 ) 0( 1 ) 1 0f t f t ， 此式表示点 ( 1 , ( 1 ) ) , ( , ( ) ) , ( 1 , ( 1 ) ) , ( 0 , 0 )A t f t B t f t C f D 满足 依次作出五个函数的图像，画出线段 断能否作出弦长为 1 的平行线即可。 （注：解法二不是人人都能学会的，没这个智力的人需对自己合理定位） （南京三模） 22 , 0(),0x x a x x 是奇函数，则满足 ()f x a 的 x 的取值范围是 答案 :( 1 3 , ) 用心 爱心 专心 4 （南通三模）若函数 ( ) | 2 1 |f x x，则函数 ( ) ( ( ) ) l ng x f f x x在 (0,1) 上不同的零点个数为 . 解析： 考查数形结合法的应用、函数图象的作法。 考虑函数 1122)( xy 的图象交 点的个数。 而函数41,142141,144321,3443,341122图象易见结 果为 3 另外，也可按如下步骤做出 1122)( 图象： 先作 1122 图象，再作 1122 图象。 答案： 3 用心 爱心 专心 5 （盐城二模） 若 ()y f x 是定义在 R 上周期为 2 的周期函数 , 且 () 函数 , 当0,1x 时 , ( ) 2 1, 则函数 5( ) ( ) l o g | |g x f x x的 零点 个数为 . 答案： 4 解析：数形结合，作出 y=f(x)与5 | 2个交点，又 2个函数为偶函数，根据对称性有 4个交点 （ 2012年常州 ）对于函数 ( )( )y f x x R，给出下列命题： （ 1）在同一直角坐标系中，函数 (1 )y f x与 ( 1)y f x的图象关于直线 0x 对称； （ 2）若 (1 ) ( 1 )f x f x ，则函数 ()y f x 的图象关于直线 1x 对称； （ 3）若 (1 ) ( 1 )f x f x ，则函数 ()y f x 是周期函数； （ 4）若 (1 ) ( 1 )f x f x ，则函数 ()y f x 的图象关于点（ 0,0）对称。 其中所有正确命题的序号是 。 答案：（ 3） （ 4） （常州期末） 11、设函数 ()y f x 在 R 内有定义，对于给定的正数 k ，定义函数用心 爱心 专心 6 ( ) , ( ) ,(), ( ) x f x f x k ，若函数3( ) lo g | |f x x，则当 13k时，函数 () 。 答案： 3( , 3 （南 通一模） 如图，矩形 、 B、 22 12， 22 的图象上，且矩形 的边分别平行于两坐标轴 . 若点 ，则 点 . 答案： 1124，第 9题 A A Dy x x；A B B C C Dy y x x y y . （天一） 的函数121() 2 a 是奇函数 ，则 a . 答案； 2 （天一） (0 )a b b a 的铁皮的四角切去相同的正方形，然后折成一个无盖的长方体的盒子，若这个长方体的外接球的体积存在最小值，则 . 答案： )45,1(（天一）（天一） kx x仅有一个实根，那么 k 的取值范围是 . 答案： 0k 或 4k （南师大信息卷）函数 () 内可导，若 ( ) ( 2 )f x f x，且当 ( ,1)x 时，( 1) ( ) 0x f x，设 1( 0 ) , ( ) , ( 3 )2a f b f c f ，则 ,知 2 1 6a , ( )当1(6) 1h ,得 | 2 7 | 1a,即 7 42 a时 , () x 1， 6上的最小值为271 (6) 13分 ( )当1(6) 1h 且 6a 时 ,即 46a , () x 1， 6上的最小值为12 ()f a e e 14分 ( )当 6a 时 ,因为12( 6 ) 2 7 5 ( 6 )h a a h ,所以 ()x 1， 6上的最小值 为52 (6) 15分 综 上 所 述 , 函数 () x 1 ， 6 上 的 最 小 值 为2222750017112742466 16分 用心 爱心 专心 12 （天一） 省环保研究所对市中心每天环境放射性污染情况进行调查研究后，发现一天中环境综合放射性污染指数 x （时）的关系为 222 , 0 , 2 413xf x a a ，其中 a 是与气象有关的参数，且 10, 2a，若用每天 记作 （ 1）令2 1xt x ， 0,24x ，求 （ 2）省政府规定，每天的综合放射性污染指数不得超过 2，试问目前市中心的综合放射性 污染指数是否超标？ 17. 解：（ 1）当 0x 时， t 0； 当 0 24x 时， 1 2（当 1x 时取等号）， 2110,112 ， 即 0,2 4 分 （ 2）当 10,2a 时，记 223g t t a a 则 23 , 0321,32t a t a a t 6分 0,a 上单调递减，在 1,2a 上单调递增， 且 2 1 7 1 10 3 , , 0 23 2 6 2 4g a g a g g a 故 11 71,0 ,024 642 1 111 3,0, 3 4 242ga . 12 分 当且仅当 49a时， 2. 故当 409a时不超标，当 4192a时超标 1 4分 用心 爱心 专心 13 （南京三模） 17（本小题满分 14 分） 在某次水下考古 活动中 ,需要潜水员潜入水深为 30 米的水底进行作业 个方面 :下潜时 ,平均速度为 v (米 /单位时间 ),单位时间内用氧量为 2c 为正常数 );在水底作业需 5 个单位时间 ,每个单位时间用氧量为 返回水面时 ,平均速度为2v(米 /单位时间 ), 单位时间用氧量为 总 用氧量为 y . (1)将 y 表示为 v 的函数 ; (2)设 0v 5,试确定下潜速度 v ,使总的用氧量最少 . （南通三模）如图，矩形 ， ，一质点从 上的点0与 的方向射到边 次反射（入射角与反射角相A B C D 0 3 第 18 题） 用心 爱心 专心 14 等）到边 的2P、3P、4 （ 1）若4 的值； （ 2）若4、00 2设 t ，将五边形0 1 2 3 4P 表示为 t