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学年 高中数学 平面 向量 同步 训练 打包 13 苏教

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2013-2014学年高中数学 第2章 平面向量同步训练（打包13套）苏教,学年,高中数学,平面,向量,同步,训练,打包,13,苏教

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- 1 - 第 2 章 平面向量 量的概念及表示 一、填空题 1下列物理量： 质量； 速度； 位移； 力； 加速度； 路程； 密度； 功其中是向量的有 _ (填相应序号 ) 2在四边形 ， 且 | |，则四边形的形状为 _ 3下列各种情况中，向量的终点在平面内各构成什么图形 把所有单位向量移到同一起点； 把平行于某一直线的所有单位向量移到同一起点； 把平行于某一直线的一切向量移到同一起点 _ ； _ ； _. 4下列各命题中，正确的命题的序号是 _ 两个有共同起点且共线的向量，其终点必相同； 模为 0 的向量与任一向量平行； 向量就是有向线段； | a| |b|a b. 5下列说法正确的有 _ (填相应的序号 ) 方向相同的向量叫相等向量； 零向量的长度为 0； 共线向量是在同一条直线上的向量； 零向量是没有方向 的向量； 共线向量不一定相等； 平行向量方向相同 6下列结论中，正确的是 _ (填相应的序号 ) 向量 ， 共线与向量 同义； 若向量 ，则向量 与 共线； 若向量 ，则向量 ； 只要向量 a， b 满足 |a| |b|，就有 a b. 7下列说法正确的是 _ (填相应的序号 ) 向量 就是 所在的直线平行于 所在的直线； 长度相等的 向量叫做相等向量； 零向量长度等于 0； 共线向量是在一条直线上的向量 8给出以下 5 个条件： a b； | a| |b|； a 与 b 的方向相反； | a| 0 或 |b| 0； a 与 b 都是单位向量其中能使 a b 成立的是 _ (填相应的序号 ) - 2 - 二、解答题 9. 一辆消防车从 A 地去 B 地执行任务，先从 A 地向北偏东 30 方向行驶 2 千米到 D 地，然后从 D 地沿北偏东 60 方向行驶 6 千米到达 C 地，从 C 地又向南偏西 30 方向行驶 2 千米才到达 B 地 (1)画出 ， ， ， ； (2)求 B 地相对于 A 地的位置向量 10. 如图所示， O 是正六边形 中心，且 a， b， c. (1)与 a 的模相等的向量有多少个？ (2)与 a 的长度相等，方向相反的向量有哪些？ (3)与 a 共线的向量有哪些？ (4)请一一列出与 a， b， c 相等的向量 11. 如图平面图形中，已知 (1) A B C ； (2) A B ， A C . 三、探究与拓展 12. 在矩形 ， 22， M、 N 分别为 中点，在以 A、 B、 C、 D、 M、 N 为起点和终点的所有向量中，回答下列问题： (1)与向量 相等的向量有哪些？向量 的相反向量有哪些？ (2)与向量 相等的向量有哪些？向量 的相反向量有哪些？ (3)在模为 2的向量中，相等的向量有几对？ (4)在模为 1 的向量中，相等的向量有几对？ - 3 - 答案 1 3单位圆 相距为 2 的两个点 一条直线 4 5. 6. 7 8 9解 (1)向量 ， ， ， 如图所示 (2)由题意知 ， 四边形 平行四边形， ，则 B 地相对于 A 地的位置向量为 “ 北偏东 60 ， 6 千米 ” 10解 (1)与 a 的模相等的向量有 23 个 (2)与 a 的长度相等且方向相反的向量有 ， ， ， . (3)与 a 共线的向量有 ， ， ， ， ， ， ， ， . (4)与 a 相等的向量有 ， ， ；与 b 相等的向量有 ， ， ；与 c 相等的向量有 ， . 11证明 (1) ， | | | |，且 . 又 A 不在 上， 四边形 B B 是平行四边形 | | |A B |. 同理 | |A C |， | |B C |. A B C. (2) 四边形 B B 是平行四边形， A B ，且 | |A B |. A B C A C . 12解 (1)与 相等的向量有： ， ； 与向量 相反的向量有： ， ， . (2)与 相等的向量 有： ， ， ； 与向量 相反的向量有： ， ， ， . (3)在模为 2的向量中，相等的向量有： 与 ， 与 ， 与 ， 与 ， 共 4 对 (4)在模为 1 的向量中，相等的向量有 18 对其中与 同向的有 3 对，与 反向的有 3 对，与 同向 的有 6 对，与 反向的有 6 对，共 18 对 - 1 - 量的线性运算 量的加法 一、填空题 1已知向量 a 表示 “ 向东航行 1 ，向量 b 表示 “ 向南航行 1 ，则 a b 表示 _ 向东南航行 2 向东南航行 2 向东北航行 2 向东北航行 2 在平行四边形 ， _. 3. 如图所示，在平行四边形 ， _. 4在四边形中，若 ，则四边形 定是 _ 5. 如图所示，在正六边形 ，若 1，则 | | _. 6如图在平行四边形 ， O 是对角线的交点，下列结论正确的有 _ ， 7已知 |a| 3， |b| 5，则向量 a b 模长的最大值是 _ 8已知点 G 是 重心，则 _. 二、解答题 9. 如图：平行四边形 ，对角线 于 O 点， P 为平面内任意一点 求证： 4. 10一艘船以 5 km/h 的速度向垂直于对岸方向行驶，航船实际航行方向与水流方向成 30 角，求水流速度和船实际速度 11. 如图所示，在平行四边形 对角线 延长线和反向延长线上取点 F， E，使 求证：四边形 平行四边形 - 2 - 三、探究与拓展 12在日本 311 大地震后，一架救援直升飞机从 A 地沿北偏东 60 方向飞行了 40 由 B 地沿正北方向飞行 40 达 C 地，求此时直升飞机与 A 地的相对位置 - 3 - 答案 1 . 6 7 8 8 0 9证明 4 ( ) 4 ( ) ( ) 4 0 0 4. 4. 10解 如图所示， 表示水流速度， 表示船垂直于对岸的方向行驶的速度， 表示船实际航行的速度， 30 ， | 5. 四边形 矩形， | | |0 5 3， | |0 10， 水流速度大小为 5 3 km/h，船实际速度为 10 km/h. 11证明 ， ，因为四边形 平行四边形，所以 ， 因为 与 的方向相同，所以 ， 所 以 ，即 行且相等， 所以四边形 平行四边形 12解 如图所示，设 、 分别是直升飞机两次位移，则 表示两次位移的合位移，即 ， 在 ， | 20 | 20 3 在 ， | |2 |2 40 3 60 ，即此时直升飞机位于 A 地北偏东 30 ，且距离 A 地 40 3 - 1 - 量的减法 一、填空题 1化简 的结果等于 _ 2. 如图所示，在梯形 点，则 _. 3化简 ( ) ( )的结果是 _ 4若 O， E， F 是不共线的任意三点，则以下各式中成立的是 _ 5如图， D、 E、 F 分别是 边 中点，则 _ 0； 0； 0； 0. 6在平行四边形 ， | | | |，则有 _ | | | 0 或 0 矩形 菱形 7若 | 5， | 8，则 |的取值范围是 _ 8边长为 1 的正三角形 ， | |的值为 _ 二、解答题 9已知 O 为平行四边形 一点， a， b， c，用 a， b， c 表示 . 10若 a0 ， b0 ，且 |a| |b| |a b|，则 a 与 a b 所在直线的夹角是 _ 11已知 |a| 8， |b| 6，且 |a b| |a b|，求 |a b|. 三、探究与拓展 O 为 外心， H 为垂心，求证： . 答案 - 2 - . 5. 6. 7 3,13 8. 3 9. 解 O D O A A B B C C D O A B C (A B C D ) O A 0 ( ) a ( b c) a b c. 10 30 11解 设 a， b，以 邻边作平行四边形 下图所示： 则 a b， a b， 所以 | |. 又因为四边形 平行四边形， 所以四边形 矩形，故 在 ， | 8， | 6，由勾股定理得 | |2 |2 82 62 10. 所以 |a b| 10. 12证明 作直径 结 ， 故四边形 平行四边形 ， 又 ， . - 1 - 量的数乘 一、填空题 1若 2 y 13a 12(c b 3y) b 0，其中 a、 b、 c 为已知向量，则未知向量 y _. 2设 向量 m k R)与向量 n 2 k _. 3设 D， E 分别是 边 的点， 12E 1 2( 1， 2为实数 )，则 1 2的值为 _ 4已知向量 a、 b，且 a 2b， 5a 6b， 7a 2b，则一定共线的三点是 _ 5已知 三个顶点 A， B， C 及平面内一点 P，且 ，则 _ P 在 部 P 在 部 P 在 上或其延长线上 P 在 上 6在 ，点 D 在直线 延长线上，且 4 ，则 r s _. 7已知 点 M 满足 m 使得 成立，则 m 的值为_ 8已知 O 是平面内一定点， A、 B、 C 是平面上不共线的三个点，动点 P 满足 | |( 0 ， ) ，则点 P 的轨迹一定通过 _ 外心 内心 重心 垂心 二、解答题 9. 如图， 一个四边形， E、 F、 G、 H 分别为 中点，求证：四边形平行四边形 10. 如图所示，在 ， a， b， 3， M 为 中点，试用 a， b 表示 . 11两个非零向量 a、 b 不共线 (1)若 a b， 2a 8b， 3(a b)，求证： A、 B、 D 三点共线； (2)求实数 k 使 b 与 2a 线 三、探究与拓展 - 2 - 12. 如图所示，在平行四边形 ，点 M 是 中点，点 N 在 ，且 13求证： M、 N、 C 三点共线 . 答案 - 3 - 17b 17c 4 A、 B、 D 5. 9证明 F、 G 分别是 中点 12. 同理， 12. . 四边形 平行四边形 10解 12b a 34 12b a 34(a b) 14(b a) 11 (1)证明 a b 2a 8b 3a 3b 6a 6b 6， A、 B、 (2)解 b 与 2a 线， b (2a ( k 2 )a (1 k )b 0， k 2 0，1 k 0 k 2. 12证明 设 a， b，则由向量减法的三角形法则可知： 12 12ab. 又 N 在 且 3 13 13( ) 13(a b)， 13(a b) b 13a 23b 23 12a b ， 23，又 与 的公共点为 C， M、 N、 C 三点共线 - 1 - 量的坐标表示 面向量基本定理 一、填空题 1若 下列四组向量能作为平面向量的基底的是 _ 2 22 34 下面三种说法中，正确的是 _ 一个平面内只有一对不共线向量可作为表示该平面所有向量的基底； 一个平面内有无数多对不共线向量可作为该平面所有向量的基底； 零向量不可作为基底中的向量 3设向量 m 2a 3b， n 4a 2b， p 3a 2b，若用 m， n 表示 p，则 p _. 4若 a， b， ( 1)，则 _. 5 M 为 重心，点 D， E， F 分别为三边 中点，则 _. 6在 ， c， 满足 2，则 _. 7. 如图，在平行四边形 ， E 和 F 分别是边 中点，若 ，其中 、 R，则 _. 8如图，在 ， 上的中线， F 是 的一点，且 15，连结 延长交 E，则 _. 二、解答题 9. 如图，在 ， a， b， E、 F 分别是 中点， G 点使 13，试以 a，b 为基底表示向量 与 . 10如图， ， a， b， 13 交 于 1411. 如图所示，在 ，点 M 是 中点，点 N 在边 ，且 2 交于点 P，求证： 41. - 2 - 三、探究与拓展 12. 如图， ， 三角形 上的中线且 2 G，求 答案 - 3 - 1 2. 3. 74m 138n 4. 11 a 1 b 5 0 13c 解 12 12 a 12b. 12 13 12a b 13a 16a b. 10证明 设 . 则 ( ) (1 ) a (1 )b. 13a b. O、 E、 D 三点共线， 与 共线， 13 1 1 ， E 1411证明 设 b， c， 则 12b 12c， 23， 23c b. ， ， 存在 ， R，使得 ， ， 又 ， ， 由 12b 12c 23c b b 得 12 b 12 23 c b. 又 b 与 c 不共线 12 1，12 23 45， P 45，即 41. - 4 - 12解 设 ， . ，即 ， 12( ) 又 ( )， 1 . 又 ，即 ( )， (1 ) ， 11 1 . 又 23， 11 2 . ， 不共线， 11 ， 2 4， 32. 4， 32. - 1 - 面向量的坐标运算 (一 ) 一、填空题 1已知平面向量 a (1,1)， b (1， 1)，则向量 12a 32b _. 2已知 a 12b (1,2)， a b (4， 10)，则 a _. 3已知 M(3， 2)， N( 5， 1)且 12，则点 P 的坐标为 _ 4已知 A( 1， 2)， B(2,3)， C( 2,0)， D(x， y)，且 2，则 x y _. 5已知向量 a (1,2)， b (2,3)， c (3,4)，且 c 1a 2b，则 1， 2的值分别为 1 _， 2 _. 6在平行四边形 ， 一条对角线若 (2,4)， (1,3)，则 _. 7已知四边形 平行四边形，其中 A(5， 1)， B( 1， 7)， C(1,2)，则顶点 D 的坐标为 _ 8向量 (7， 5)，将 按向量 a (3,6)平移后得向量 A B ，则 A B 的坐标形式为_ 二、解答题 9设向量 a (1， 3)， b ( 2,4)， c ( 1， 2)若表示向量 4a,4b 2c,2(a c)， 向量 d. 10已知 a (2,1)， b ( 1,3)， c (1,2)，求 p 2a 3b c，并用基底 a、 b 表示 p. 11已知点 A(2,3)， B(5,4)， C(7,10)若 ( R) (1)试求 为何值时，点 P 在第一、三象限的角平分线上？ (2)试求 为何值时，点 P 在第三象限内？ 三、探究与拓展 12. 在直角坐标系 ，向量 a， b， c 的方向和长度如图所示， |a| 2， |b| 3， |c| 4，分别求它们的坐标 - 2 - 答案 1 ( 1,2) 2.(2， 2) 3. 1， 32 . 1 2 6.( 3， 5) 7 (7， 6) 8 (7， 5) 9解 4 a,4b 2c,2(a c)， d 能首尾相接构成四边形， 4 a (4b 2c) 2(a c) d 0， 6 a 4b 4c d 0， d 6a 4b 4c 6(1， 3) 4( 2,4) 4( 1， 2) ( 2， 6) 10解 p 2a 3b c 2(2,1) 3( 1,3) (1,2) (4,2) ( 3,9) (1,2) (2,13) 设 p 有 2x y 2x 3y 13 ，解得 x 197y 247. p 197a 247b. 11解 ， (5,4) (5,7) (5 5 ， 4 7 ) (1)由 5 5 4 7 解得 12，所以当 12时，点 P 在第一、三象限的角平分线上 (2)由 5 5 04 7 0 ， 解得 1 47 ， 1. 所以当 1 时，点 P 在第三象 限内 12解 设 a ( b ( c (则 |a|5 2 22 2， |a|5 2 22 2； |b|20 3 12 32， |b|20 3 32 3 32 ； - 3 - |c| 30) 4 32 2 3， |c| 30) 4 12 2. 因此 a ( 2， 2)， b 32， 3 32 ， c (2 3， 2) - 1 - 面向量的坐标运算 (二 ) 一、填空题 1已知三点 A( 1,1)， B(0,2)， C(2,0)，若 和 是相反向量，则 D 点坐标是 _ 2若 a (2 ， 1)， b ( ， 1)，且 a b，则 _. 3已知向量 a (2x 1,4)， b (2 x,3)，若 a b，则实数 x 的值等于 _ 4若三点 P(1,1)， A(2， 4)， B(x， 9)共线，则 x 的值为 _ 5设向量 a (1,2)， b (2,3)若向量 a b 与向量 c ( 4， 7)共线，则 _. 6已知向量 a (1,2)， b (0,1)，设 u a v 2a b，若 u v，则实数 k 的值为 _ 7已知 a 是以点 A(3， 1)为起点，且与向量 b ( 3,4)平行的单位向量，则向量 a 的终点坐标是 _ 8已知 A、 B、 C 三点在一条直线上，且 A(3， 6)， B( 5,2)，若 C 点的横坐标为 6，则 _ 二、解答题 9已 知两点 A(3， 4)， B( 9,2)在直线 ，求一点 P 使 | 13|. 10已知 A、 B、 C 三点的坐标分别为 ( 1,0)、 (3， 1)、 (1,2)， 13， 13. 求证： . 11. 如图所示，在四边形 ，已知 A(2,6)、 B(6,4)、 C(5,0)、 D(1,0)，求直线 的坐标 三、探究与拓展 12. 如图所示，已知 ， A(0,5)， O(0,0)， B(4,3)， 14， 12， 交于点 M，求点 M 的坐标 - 2 - 答案 1 (1， 1) 6 12 7. 125 ， 15 或 185 ， 95 8 9 9解 设点 P 的坐标为 (x， y)， 若点 P 在线段 ，则 12， ( x 3， y 4) 12( 9 x,2 y) 解得 x 1， y 2， P( 1， 2) 若点 P 在线段 延长线上， 则 14， ( x 3， y 4) 14( 9 x,2 y) 解得 x 7， y 6， P(7， 6) 综上可得点 P 的坐标为 ( 1， 2)或 (7， 6) 10证明 (1,2) ( 1,0) (2,2)， 13 23， 23 . (1,2) (3， 1) ( 2,3)， 13 23， 1 . 又 (3， 1) ( 1,0) (4， 1)， 83， 23 23(4， 1) 23. . 11解 设 P(x， y)，则 (x 1， y)， (5,4)， ( 3,6)， (4,0) 由 B， P， D 三点共线可得 (5 ， 4 ) 又 (5 4,4 )， 由于 与 共线得， (5 4)6 12 0. 解之得 47， - 3 - 47 207 ， 167 ， P 的坐标为 277 ， 167 . 12解 14 14(0,5) 0， 54 ， C(0， 54) 12 12(4,3) 2， 32 ， D 2， 32 . 设 M(x， y)，则 (x， y 5)， 2 0， 32 5 2， 72 . ， 72x 2(y 5) 0，即 7x 4y 20. 又 x， y 54 ， 4， 74 ， ， 74x 4 y 54 0，即 7x 16y 20. 联立 解得 x 127 ， y 2，故点 M 的坐标为 127 ， 2 . - 1 - 量的数量积 (一 ) 一、填空题 1已知 |a| 3， |b| 4，且 a 与 b 的夹角 150 ，则 a b _. 2已知 |a| 9， |b| 6 2， a b 54，则 a 与 b 的夹角 为 _ 3 |a| 2， |b| 4，向量 a 与向量 b 的夹角为 120 ，则向量 a 在向量 b 方向上的投影等于_ 4已知 ab ， |a| 2， |b| 3，且 3a 2b 与 a b 垂直，则 _. 5已知向量 a， b 满足 a b 0， |a| 1， |b| 2，则 |2a b| _. 6已知 |a| 2， |b| 10， a， b 120 ，则向量 b 在向量 a 方向上的投影是 _，向量 a 在向量 b 方向上的投影是 _ 7已知向量 a 与 b 的夹角为 120 ，且 |a| |b| 4，那么 b(2 a b)的值为 _ 8设非零向量 a、 b、 c 满足 |a| |b| |c|， a b c，则 a， b _. 二、解答题 9已知向量 a， b 满足 |a| 12， |b| 15， |a b| 25，求 |a b|. 10已知 a 是平面内的单位向量，若向 量 b 满足 b (a b) 0，求 |b|的取值范围 11在 ，已知 | 5， | 4， | 3，求： ； 在 方向上的投影； 在 方向上的投影 12已知 |a| 4， |b| 3， (2a 3b)(2 a b) 61. (1)求 a 与 b 的夹角 ； (2)求 |a b|； (3)若 a， b，求 面积 三、探究与拓展 13已知正方形 边长为 2， P 为 一动点，则 的最大值为 _ - 2 - 答案 1 6 3 3. 1 6 5 1 9解 | a b|2 2a b 122 152 2a b 252， 2 a b 256.| a b|2 2a b 122 152 256 113. | a b| 113. 10解 b (a b) ab |b|2 |a|b| |b|2 0， | b| |a| ( 为 a 与 b 的夹角 )， 0 ， ， 0| b|1. 11解 | | 5， | 4， | 3. 直角三角形，且 C 90. 35， 45. 54 45 16； | | ， |53 355 95； | | ， | | 54 454 4. 12解 (1)(2 a 3b)(2 a b) 61， 4| a|2 4ab 3|b|2 61. 又 |a| 4， |b| 3， 64 4ab 27 61， ab 6. ab|a|b| 643 12. 又 0 ， 23 . (2)可先平方转化为向量的数量积 |a b|2 (a b)2 |a|2 2ab |b|2 42 2( 6) 32 13， | a b| 13. (3) 与 的夹角 23 ， 23 3. 又 | |a| 4， | |b| 3， S 12|1243 32 3 3. 13 2 - 1 - 量的数量积 (三 ) 一、填空题 1已知向量 a (2,1)， b ( 1， k)， a(2 a b) 0，则 k _. 2已知 a ( 3,2)， b ( 1,0)，向量 a b 与 a 2b 垂直，则实数 的值为 _ 3平面向量 a 与 b 的夹角为 60 ， a (2,0)， |b| 1，则 |a 2b| _. 4已知向量 a (1,2)， b (2， 3)若向量 c 满足 (c a) b， c( a b)，则 c _. 5若向量 a (1,2)， b (1， 1)，则 2a b 与 a b 的夹角等于 _ 6若平面向量 a (1， 2)与 b 的夹角是 180 ，且 |b| 4 5，则 b _. 7已知向量 a (2,1)， a b 10， |a b| 5 2，则 |b| _. 8若 a (2,3)， b ( 4,7)，则 a 在 b 方向上的投影为 _ 二、解答题 9已知 a (4,3)， b ( 1,2) (1)求 a 与 b 的夹角的余弦值； (2)若 (a b)(2 a b)，求实数 的值 10在 ， (2,3)， (1， k)，若 直角三角形，求 k 的值 11设 a (1,2)， b ( 2， 3)，又 c 2a b， d a c 与 d 的夹角为 45 ，求实数 m 的值 三、探究与拓展 12已知三个点 A(2,1)， B(3,2)， D( 1,4)， (1)求证： (2)要使四边形 矩形，求点 C 的坐标并求矩形 对角线所成的锐角的余弦值 答案 - 2 - 1 12 2. 17 4. 79， 73 6 ( 4,8) . 655 9解 (1) a b 4( 1) 32 2， |a| 42 32 5， |b| 2 22 5， a， b a b|a|b| 25 5 2 525 . (2) a b (4 ， 3 2 )， 2a b (7,8)， 又 (a b)(2 a b)， ( a b)(2 a b) 7(4 ) 8(3 2 ) 0， 529. 10解 (2,3)， (1， k)， ( 1， k 3) 若 A 90 ，则 21 3 k 0， k 23； 若 B 90 ，则 2( 1) 3(k 3) 0， k 113 ； 若 C 90 ，则 1( 1) k(k 3) 0， k 3 132 . 故所求 k 的值为 23或 113 或 3 132 . 11解 a (1,2)， b ( 2， 3)， c 2a b 2(1,2) ( 2， 3) (0,1)， d a (1,2) m( 2， 3) (1 2m,2 3m)， c d 0(1 2m) 1(2 3m) 2 3m. 又 | c| 1， |d| 2m 2 3m 2， 5 c d|c|d| 2 3m 2m 2 3m 2 22 . 化简得 58m 3 0， 解得 m 1 或 m 35. 12 (1)证明 A(2,1)， B(3,2)， D( 1,4)， (1,1)， ( 3,3)， 又 1( 3) 13 0， ，即 - 3 - (2)解 ，四边形 矩形， . 设 C 点坐标为 (x， y)，则 (1,1)， (x 1， y 4)， x 1 1，y 4 1， 得 x 0，y 5. C 点坐标为 (0,5) 由于 ( 2,4)， ( 4,2)， 所以 8 8 160， | 2 5， | 2 5. 设 与 的夹角为 ，则 | | 1620 450， 解得矩形的两条对角线所成的锐角的余弦值为 45. - 1 - 量的数量积 (二 ) 一、填空题 1设 |a| 3， |b| 5，且 a b 与 a b 垂直，则 _. 2若 |a| 1， |b| 2， c a b，且 ca ，则向量 a 与 b 的夹角为 _ 3已知向量 a， b 的夹角为 120 ， |a| 1， |b| 5，则 |3a b| _. 4在边长为 1 的等边 ，设 a， b， c，则 ab bc ca _. 5在 ， M 是 中点， 1，点 P 在 且满足 2，则 ( ) _. 6若向量 a 与 b 不共线， a b0 ，且 c a a b b，则向量 a 与 c 的夹角为 _ 7 已知向量 a e， |e| 1，对任意 t R，恒有 |a | a e|，则 _ a e a( a e) e( a e) ( a e)( a e) 8. 在 ， O 为中线 的一个动点，若 2，则 ( )的最小值是 _ 二、解答题 9已知非零向量 a， b，满足 |a| 1， (a b) (a b) 12，且 a b 12. (1)求向量 a， b 的夹角； (2)求 |a b|. 10设 n 和 m 是两个单位向量，其夹角是 60 ，求向量 a 2m n 与 b 2n 3m 的夹角 11已知平面上三个向量 a、 b、 c 的模均为 1，它们相互之间的夹角均为 120. (1)求证： (a b) c； (2)若 |b c|1 (k R)，求 k 的取值范围 三、探究与拓展 12已知非零向量 a， b，且 a 3b 与 7a 5b 垂直， a 4b 与 7a 2b 垂直，求 a 与 b 的夹角 答案 - 2 - 1 35 . 32 5. 49 或 (90) 7 8 2 9解 (1)( a b)( a b) 12， 12，即 |a|2 |b|2 12； 又 |a| 1， | b| 22 . a b 12， | a| b| 12， 22 ， 向量 a， b 的夹角为 45. (2)| a b|2 (a b)2 |a|2 2|a|b| |b|2 12， | a b| 22 . 10 解 | n| |m| 1 且 m 与 n 的夹角是 60 ， mn |m|n|0 11 12 12. |a| |2m n| m n 2 41 1 4mn 41 1 4 12 7， |b| |2n 3m| n 3m 2 41 91 12mn 41 91 12 12 7， ab (2m n)(2 n 3m) mn 62 12 61 21 72. 设 a 与 b 的夹角为 ，则 ab|a|b| 727 712. 又 0 ， ， 23 ，故 a 与 b 的夹角为 23 . 11 (1)证明 因为 |a| |b| |c| 1，且 a、 b、 c 之间的夹角均为 120 ，所以 (a b) c ac bc |a|c|20 |b|c|20 0， 所以 (a b) c. (2)解 因为 |b c|1，所以 (b c)21， - 3 - 即 2kab 2kac 2bc 1， 所以 1 1 220 220 2201. 所以 2k0，解得 所以实数 k 的取值范围为 12解 由向量垂直得 a 3b a 5b 0a 4b a 2b 0 ， 即 716a b 1530a b 8 化简得 a b 12|b|2|a| |b|， a， b a b|a| b|12|b|2|b|2 12， a 与 b 的夹角为 3 . - 1 - 量的应用 (一 ) 一、填空题 1在 ，已知 A(4,1)、 B(7,5)、 C( 4,7)，则 的中线 长是 _ 2过点 (1,2)且与直线 3x y 1 0 垂直的直线的方程是 _ 3已知直线 3x 4y 12 0， 7x y 28 0，则直线 _ 4已知平面上三点 A、 B、 C 满足 | 3， | 4， | B _. 5点 O 是三角形 在平面内的一点，满足 ，则点 O 是 _ 6已知点 A( 3， 1)， B(0,0)， C( 3， 0)，设 平分线 交于 E，那么有 ，其中 _. 7已知非零向量 与 满足| | 0 且 | | 12，则 形状是_三角形 8在直角坐标系 ，已知点 A(0,1)和点 B( 3,4)，若点 C 在 平分线上且 | 2，则 _. 二、解答题 9如图所示，若 平行四边形， 交于点 N， 交于点 M. 求证： 10求证： 三条高线交于一点 11三角形 等腰直角三角形， B 90 ， D 是 的中点， 长 F，连结 三、探究与拓展 12. 如图所示，正三角形 ， D、 E 分别是 的一个三等分点，且分别靠近点 A、点 B，且 于点 答案 - 2 - 3y 7 0 4. 25 5重心 6. 3 7等边 8. 105 ， 3 105 9证明 设 ( 1) ，则 ， ( 1)， 同理，由 ，可得 ( 1)， ( 1)， 1 ，令 1， ， 10证明 如图所示，已知 三条高 设 于 H 点， 令 b， c， h， 则 h b， h c， c b. ， ， ( h b) c 0， (h c) b 0， 即 (h b) c (h c) b 整理得 h (c b) 0， 0， 与 共线 交于一点 H. 11证明 如图所示，建立直角坐标系，设 A(2,0)， C(0,2)，则 D(0,1)， 于是 ( 2,1)， ( 2,2)， 设 F(x， y)，由 ， 得 0， 即 (x， y)( 2,1) 0， - 3 - 2x y 0. 又 F 点在 ，则 ， 而 ( x,2 y)， 因此 2( x) ( 2)(2 y) 0， 即 x y 2. 由 、 式解得 x 23， y 43， F 23， 43 ， 23， 13 ， (0,1)， 13， 又 | 53 ， 55 ，即 55 ， 又 | 15 55 ， 故 12证明 设 C D ，并设 边长为 a，则有 C D 13 (23 ) 13 13(2 1) B C ，又 13. ， 13(2 1) 13. 于是有： 13 k， 17. 17. 17 47 23 . 从而 (17B C 47)( 23 ) 8211710210 0. - 4 - . - 1 - 量的应用 (二 ) 一、填空题 1一质点受到平面上的三个力 位：牛顿 )的作用而处于平衡状态，已知 0 角，且 和 4，则 _牛顿 2用力 s m，设 ，则对物体所做的功为 _ 3两个大小相等的共点力 它们夹角为 90 时，合力大小为 20 N，则当它们的夹角为 120 时，合力大小为 _ 4共点力 (， )， (， )作用在物体 M 上，产生位移 s (2,1)，则共点力对物体做的功 W _. 5已知作用在点 A 的三个力 (3,4)， (2， 5)， (3,1)且 A(1,1)，则合力 f _ 6质点 P 在平面上作匀速直线运动，速度向量 (4， 3)(即点 P 的运动方向与 相同，且每秒移动的距离为 | |个单位 )设开始时点 P 的坐标为 ( 10,10)，则 5 秒后点 P 的坐标为 _ 7一个重 20 N 的物体从倾斜角为 ，斜面长 1 m 的光滑斜面顶端下滑 到底端，若重力做的功是 10 J，则 _. 8. 如图所示，小船被绳索拉向岸边，船在水中运动时设水的阻力大小不变，那么小船匀速靠岸过程中，下列说法中正确的是 _(写出正确的所有序号 ) 绳子的拉力不断增大； 绳子的拉力不断变小； 船的浮力不断变小； 船的浮力保 持不变 二、解答题 9在水流速度为 4 千米 /小时的河流中，有一艘船沿与水流垂直的方向以 8 千米 /小时的速度航行，求船实际航行的速度的大小 10. 如图所示，两根绳子 把重 1 吊在水平杆子 150 ， 120 ，求 A 和 B 处所受力的大小 (绳子的重量忽略不计， g 10 N/ 11质量 m 2.0 木块，在平行于斜面向上的拉力 F 10 N 的作用下，沿倾斜角 30的光滑斜面向上滑行 |s| 2.0 m 的距离 (1)分别求物体所受各力对物体所做的功； (2)在这个过程中，物体所受各力对物体做功的代数和是多少？ - 2 - 三、探究与拓展 12已知 (1,0)， (0,1)，今有动点 P 从 1,2)开始，沿着与向量 度大小为 |另一动点 Q 从 2， 1)开始，沿着与向量32度大小为 |32设 P、 Q 在 t 0 s 时分别在 当 时所需的时间 t 为多少？ - 3 - 答案 1 2 5 2.|F| s 4 2 5.(9,1) 6 (10， 5) 7 30 8 9. 解 如图用 则 | 4， | 8， 解直角三角形 | 42 82 4 5. 故船实际航行的速度为 4 5千米 /小时 10解 设 A、 B 处所受的力分别为 10 N 的重力用 f 表示，则 f，以重力的作用点 C 为 f 的始点 ，作右图，使 f，则 180 150 30 ， 180 120 60. | | |0 10 32 5 3. | |0 10 12 5. 在 A 处受力为 5 3 N，在 B 处受力为 5 N. 11. 解 (1)木块受三个力的作用，重力 G，拉力 F 和支持力 图所示拉力 F 与位移 以拉力对木块所做的功为： F s |F|s| 20(J) 支持力 做功， 所以 s 0. 重力 G 对物体所做的功为： G s |G|s|0 ) ) (2)物体所受各力对物体做功的代数和为： W ) 12解 (1,1)， | 2，其单位向量为 ( 22 ， 22 )； 32(3,2)， |3 13，其单位向量为 ( 313， 213)，如图 依题意，得 | 2t， | 13t， |( 22 ， 22 ) (t， t)， |( 313， 213) (3t,2t)， - 4 - 由 1,2)， 2， 1)， 得 P(t 1， t 2)， Q(3t 2,2t 1)， ( 1， 3)， (2t 1， t 3)， ， 0， 即 2t 1 3t 9 0，解得 t 2. 当 时所需的时间为 2 s. - 1 - 2013年高中数学同步训练：第 2 章 平面向量 章末检测 （苏教版必修 4） 一、填空题 1与向量 a (1， 3)的夹角为 30 的单位向量是 _ 2已知三个力 ( 2， 1)， ( 3,2)， (4， 3)同时作用于某物体上一点，为使物体保持平衡，现加上一个力 _. 3已知正方形 边长为 1， a， b， c，则 a b c 的模等于 _ 4若 a 与 b 满足 |a| |b| 1， a， b 60 ，则 a a a b _. 5若向量 a (1,1)， b (1， 1)， c ( 1,2)，则 c _. 6若向量 a (1,1)， b (2,5)， c (3， x)，满足条件 (8a b) c 30，则 x _. 7设点 A(1,2)、 B(3,5)，将向量 按向量 a ( 1， 1)平移后得到 A B 为 _ 8已知向量 a (2， 1)， b ( 1， m)， c ( 1,2)，若 (a b) c，则 m _. 9已知非零向量 a， b，若 |a| |b| 1，且 a b，又知 (2a 3b)( 4b)，则实数 k 的值为 _ 10若 a ( ， 2)， b ( 3