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学年 高中数学 知能 演练 解析 打包 26 新人 选修

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2013-2014学年高中数学知能演练 文（含解析）（打包26套）新人教A版选修2-1,学年,高中数学,知能,演练,解析,打包,26,新人,选修

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1 2013年高中数学 题及其关系 知能演练轻松闯关知能演练 文（含解析）新人教 A 版选修 2 (2013 江阴市一中高一期中试题 )若 1 x， 则 x _. 解析：由 1 x， 则 x 1 或 1， x 1 ，当 x 1 时， x 1，不符合元素的互异性， x 1. 答案： 1 2给出下列关系： 12 R； 2Q； | 5|N*； | 3| _ (填序号 ) 解析： | 5| 5 N*，故 不正确； | 3| 3Q，故 不正确其他两个均正确 答案： 3集合 A x 2,5x， B 周长等于 20 三角形 ， C x|x 3 2， xR， D (x， y)|y x 1，其中用描述法表示集合的有 _ 解析：集合 A 是用列举法描述的 答案： B、 C、 D 4如图，是用 表示的 集合，用列举法表示为 _；用描述法表示为 _ 解析：其中元素为 2， 1,0,1,2,3. 答案： 2， 1,0,1,2,3 x| 30， b0，则 x 2；若 (2)若 A 是单元素集，则 当 a 0 时，此时 A x|2x 1 0， x R 12； 当 a0 时，有 a0 ， 22 4a 0， 即 a 1， 此时 A x|2x 1 0， x R 1 所以综合 得 a 0 或 a 1. (3)若 A 中至多只有一个元素，则 A 为空集或单元素集，所以 a 0 或 a1. 4已知集合 A x|x a 2b， a Z， b Z，试判断下列元素 x 与集合 A 间的关系： (1)x 0； (2)x 12 1； (3)x 中 A， A； (4)x 中 A， A. 解： (1) x 0 0 0 2，取 a b 0,0 Z， x A； (2) x 12 1 2 1 ( 1) 1 2， 1 Z,1 Z. 3 x A； (3) A， A. 有 Z， 使得 22 则 x ( 2( 而 Z， Z， x A； (4)由 (3)， x (22 (2 2( 而 2Z， Z， 故 x A. 1 2013年高中数学 题 知能演练轻松闯关知能演练 文（含解析）新人教 A 版选修 2下列语句中，命题的个数为 ( ) 空集是任何非空集合的真子集； 三角函数是周期函数吗？ 若 x R，则 4x 70； 指数函数的图象真漂亮！ A 1 B 2 C 3 D 0 解析：选 语句是命题，而 不是命题 2若 A、 B 是两个集合，则下列命题中真命题是 ( ) A如果 AB，那么 A B A B如果 A B A，那么 ( B C如果 AB，那么 A B A D如果 A B A，那么 AB 解析：选 B、 C、 D 不正确 3命题 “ 平行四边形的对角线既互相平分，也互相垂直 ” 的结论是 ( ) A这个四边形的对角线互相平分 B这个四边形的对角线互相垂直 C这个四边形的对角线既互相平分，也互相垂直 D这个四边形是平行四边形 解析：选 一个四边形为平行四边形 结论：这个四边形的对角线既互相平分，也互相垂直 4在空间中， 下列命题正确的是 ( ) A平行直线的平行投影重合 B平行于同一直线的两个平面平行 C垂直于同一平面的两个平面平行 D垂直于同一平面的两条直线平行 解析：选 A 项不正确； B 项平行于同一直线的两个平面平行或相交，故 B 项不正确；垂直于同一平面的两个平面有可能相交，故 C 项不正确；D 项正确 5将命题 “ 既不平行，又无公共点的两条直线是异面直线 ” 改写成 “ 若 p，则 q” 的形式是 ( ) A若两条直线不平行且不共线，则这两条直线是异面直线 B若两条直线既不平行又不相交，则这两 条直线是异面直线 C若两条直线是异面直线，则这两条直线既不平行，又不相交 D若两条直线是异面直线，则这两条直线不同在任何一个平面内 解析：选 若 p，则 q” 的形式即：若两条直线既不平行，又不相交，则这两条直线是异面直线，故 B 项正确，其他不正确 6下面语句中，是命题的有 _(写出序号 )，其中真命题为 _(写出序号 ) 有两个内角之和大于 90 的三角形是锐角三角形吗？ 垂直于同一条直线的两条直线平行吗？ ； x y 是有理数，则 x， y 都是有理数； 2 把函数 y 2 解析： 不是命题； 疑问句不是命题； 是命题，且是真命题； 是命题，但是假命题； 祈使句，不是命题 答案： 7命题 “ 奇函数的图象关于原点对称 ” 的条件 p 是 _，结论 q 是 _ 解析：把 “ 奇函数的图象关于原点对称 ” 改写成 “ 若一个函数是奇函数，则这个函数的图象关于原点对称 ” 条件 p：这个函数是奇函数 结论 q：这个函数的图象关于原点对称 答案：这个函数是奇函数 这个函数的 图象关于原点对称 8若 a0， b0， a b 2，则下列不等式对一切满足条件的 a， b 恒成立的是 _(写出所有正确命题的序号 ) ； a b 2； ； 1a 1b2. 解析：若 a0， b0， a b 2， 则 a b 22 . 故 成立 a0， b0， 2 ， a b 2 ， ( a b)22， a b 2. 故 不成立 4 2 2 2. 故 成立 1a1b21 ，故 成立 所以成立的为 . 答案： 9判断下列命题的真假，并说明理由 (1)如果学好了数学，那么就会使用电脑； (2)若 x 3 或 x 7，则 (x 3)(x 7) 0； (3)正方形既是矩形又是菱形； (4)若 a、 b 都是奇数，则 是奇数 解： (1)是假命题，学好数学与会使用电脑不具有因果关系，因而无法推出结论，故为假命题 (2)是真命题， x 3 或 x 7 能得到 (x 3)(x 7) 0. (3)是真命题，由正方形的定义知正方形既是矩形又是菱形 (4)是真命题， 令 a 21， b 21(Z)， 则 2(2 1， 显然 2 故 奇数 10把下列命题改写成 “ 若 p，则 q” 的形式，并判断命题的真假： (1)奇数不能被 2 整除； (2)当 (a 1)2 (b 1)2 0 时， a b 1； (3)两个相似三角形是全等三角形； (4)在空间中，平行于同一个平面的两条直线平行 解： (1)若一个数是奇数，则它不能被 2 整除，是真命题； (2)若 (a 1)2 (b 1)2 0，则 a b 1，是真命题； (3)若两个三角形是相似三角形，则这两个三角形是全等三角形，是假命题； 3 (4)在空间中，若两条直线平行于同一个平面，则这两条直线平行，是假命题 1下列命题，是真命题的是 ( ) A若 0，则 0 B若 ab，则 ac若 M N M，则 NM D若 MN，则 M N M 解析：选 ， a 0， b0 时， 0 不成立； B 中， c0 时不成立； C 中， M N M 说明 M、 B、 C 皆错误 2给出下列命题： “ 若 k0，则方程 2x k 0” 有实数根； 若 ab，则 a cb c； 对角线相等的四边形是矩形 其中真命题的序号是 _ 解析： 中 4 4( k) 4 4k0，故为真命题； 显然为真命题； 也可能是等腰梯形 答案： 3将下列命题改写成 “ 若 p，则 q” 的形式，并判断其真假 (1)正 n(n3) 边形的 n 个内角全相等； (2)末位数字是 0 或 5 的整数，能被 5 整除； (3)方程 x 1 0 有两个实数根 解： (1)若 n(n3) 边形是正多边形，则它的 n 个内角全相等真命题 (2)若一个整数的末位数字是 0 或 5，则它能被 5 整除真命题 (3)若一个方程是 x 1 0，则它有两个实数根假命题 4试判断命题 “ 一次函数 f(x) b(k0) ，若 f(n)0，则对于任意x (m， n)都有 f(x)0” 是真命题还是假命题，并说明理由 解：是真命题理由如下： 当 k0 时， f(x) b 是增函数， 当 x (m， n)时， f(x)f(m)0 总成立； 当 当 x (m， n)时， f(x)f(n)0 总成立 综上所述，当 x (m， n)时， f(x)0 恒成立，即原命题是真命题 1 2013年高中数学 种命题、四种命题间的相互关系知能演练 文（含解析）新人教 A 版选修 2设 a、 b 是向量，命题 “ 若 a b，则 |a| |b|” 的逆命题是 ( ) A若 a b，则 |a| b| B若 a b，则 |a| b| C若 |a| b|，则 a b D若 |a| |b|，则 a b 解析：选 D.“ 若 a b，则 |a| |b|的逆命题 ” 为 “ 若 |a| |b|，则 a b” ，故选D. 2命题 “ 若 f(x)是奇函数，则 f( x)是奇函数 ” 的否命题是 ( ) A若 f(x)是偶函数，则 f( x)是偶函数 B若 f(x)不是奇函数，则 f( x)不是奇函数 C若 f( x)是奇函数，则 f(x)是奇函数 D若 f( x)不是奇函数，则 f(x)不是奇函数 解析：选 函数的否定应为不是奇函数，故选 B. 3命题： “ 若 若 x1 ，或 x 1，则 解析：选 是假命题 解析：选 原命题正确，逆否命题就正确，故 A 正确； B 中矩形的对角线相等，且否命题为若一个四边形不是矩形，则对角线不相等为假命题，故 B 正确； D 中若 x 1， (x 1)2 0，故 D 正确； C 不正确的原因是忽略 m 0. 6 “ 若 a1，则 ” 的逆否命题是_， 为 _(填 “ 真 ” 或 “ 假 ”) 命题 2 解析：若 a1，则 的逆否命题为： “ 若 ，则 a1” 为真命题 答案： “ 若 ，则 a1” 真 7 (2013 临沂高二检测 )命题 “ 若 ab，则 2a2b 1” 的否命题是 _ 解析：否命题是条件和结论都否定 答案：若 a b，则 2a2 b 1 8 (2013 聊城质检 )给出下列命题： 若 f(x) x，则 f(x)为周期函数； “ 若 A B，则 ” 的逆命题； “ 若 0，则 x、 y 中至少有一个为 0” 的否命题 其中真命题的序号是 _ 解析： 是真命题 逆命题： “ 若 ，则 A B” 是假命题 否命题： “ 若 ，则 x、 y 都不为零 ” 是真命题 答案： 9把命题 “ 平行于同一条直线的两条直线平行 ” 改写成 “ 若 p，则 q” 的形式，并写出它的逆命题、否命题和逆否命题，同时判断它们的真假 解： “ 若 p，则 q” 形式： 若两条直线平行于同一条直线，则这两条直线平行 逆命题： “ 若两条直线平行，则这两条直线平行于同一条直线 ” ，真命题； 否命题： “ 若两条直线不平行于同一条直线，则这两条直线不平行 ” ，真命题； 逆否命题： “ 若两条直线不平行，则这两条直线不平行于同一条直线 ” 真命题 10试证命题 “ 对任意非正数 c，若有 a b c 成立，则 a b” 为真命题 证明：原命题的逆否命题为 “ 对任意非正数 c，若 ab，则有 ab c” 因为 ab，由c0 知 b b c， 所以 ab c. 故原命题的逆否命题为真命题，从而原命题为真命题 1若命题 p 的逆命题是 q，命题 p 的逆否命题是 r，则 q 是 r 的 ( ) A逆命题 B否命题 C逆否命题 D以上都不正确 解析：选 p 为 “ 若 m，则 n” ， 命题 q 为若 n，则 m. 命题 r 为若綈 n 则綈 m. 故 q 是 r 的否命题 2命题 “ 230 不成立 ” 是真命题，则实数 a 的取值范围是 _ 解析： 230 不成立是真命题，则 230 也是真命题 当 a 0 时， 30 成立； 当 a0 时，则 以原命题为真命题 又因为原命题与其逆否命题真假性相同，所以逆否命题为真命题 1 2013年高中数学 分条件与必要条件知能演练 文（含解析）新人教 A 版选修 2 (2011 高考福建卷 )若 a R，则 “ a 2” 是 “( a 1)(a 2) 0” 的 ( ) A充分而不必要条件 B必要而不充分条件 C充要条件 D既不充分又不必要条件 解析：选 a 1)(a 2) 0，得 a 1 或 a 2，所以 a 2(a 1)(a 2) a 1)(a 2) 0 不一定推出 a 2，故 “ a 2” 是 “( a 1)(a 2) 0” 的充分而不必要条件 2 (2012 高考北京卷 )设 a， b R， “ a 0” 是 “ 复数 a 纯虚数 ” 的 ( ) A充分而不必要条件 B心要而不充分条件 C充分必要条件 D既不充分也不必要条件 解析：选 “ a 纯虚数 ” “ a 0” ，但 “ a 0” “ 复数 a纯虚数 ” ，因此 “ a 0” 是 “ 复数 a 纯虚数 ” 的必要而不充分条件 3 “ b0 时， b0， ” 是 “ a2的充要条件； “ ab0” 是 “ 1” 是 “ a3的充要条件 则其中正确的命题有 ( ) A 0 个 B 1 个 C 2 个 D 3 个 2 解析：选 A. “ ab0” 是 “ a2的充 分不必要条件； “ ab0” 是 “ 1” 是 “ a3的充分不必要条件， 故 3 个命题都不正确 6在 ， “ ” 是 “ a b” 的 _条件 解析：在 ，由正弦定理可知， a b， “ ” 是 “ a b” 的充要条件 答案：充要 7下列不等式： q： 钝角三角形； (2)p： 两个角相等， q： 正三角形； (3)若 a， b R， p： 0， q： a b 0； (4)p： ， A30 ， q： 12. 解： (1) ， b2 3m0，所以 00， 40，且 3m0. 3 所以方程 2x 3 0 有两个同号且不相等的实根 因此 “04， 之，当 k 40，即图象交 x 轴于正半轴 因此 “ k4， 綈 p 是 綈 q 的充分不必要条件，求 m 的取值范围 解：因为 p： x| 2 x10 ， 所以綈 p： A x| 同理可求得綈 q： B m， m0 因为綈 p 是綈 q 的充分不必要条件， 所以綈 p綈 q 但綈 q 綈 p. 所以 A B. 用数轴表示如图所示， 则 m m m10 ， (两个等号不同时取到 ) 解得 00， 方程一定有两不等实根， 设为 ， 方程的两根异号 即方程 c 0 有一正根和一负根 必要性： (由方程有一正根和一负根推证 ) 方程 c 0 有一正根和一负根，设为 4 则由根与系数的关系得 ， 即 ， 综上可知：一元二次方程 c 0 有一正根和一负根的充要条件是 . 1 2013年高中数学 单的逻辑联结词知能演练 文（含解析）新人教 A 版选修 2有下列命题： 2004 年 10 月 1 日是国庆节，又是中秋节； 10 的倍数一定是 5 的倍数； 梯形不是矩形； 方程 1 的解 x 1 ，其中可使用逻辑联结词的命题有 ( ) A 1 个 B 2 个 C 3 个 D 4 个 解析：选 C. 中可有 “ 且 ” ， 中没， 中可有 “ 非 ” ， 中可有或，故选 C. 2 (2011 高考北京卷 )若 p 是真命题， q 是假命题，则 ( ) A p q 是真命题 B p q 是假命题 C綈 p 是真命题 D綈 q 是真命题 解析：选 D. p 是真命题， q 是假命题， 綈 p 是假命题， p q 假， p q 真，綈 q 是真命题，故选 D. 3 “ 若 7x 120 ，则 x3 ，且 x4” 的否定为 ( ) A若 7x 12 0，则 x 3 或 x 4 B若 7x 12 0，则 x 3，且 x 4 C若 7x 120 ，则 x 3 或 x 4 D若 7x 120 ，则 x 3，且 x4 解析：选 件不变，故选 C. 4 (2012 高考山东卷 )设命题 p：函数 y x 的最小正周期为 2 ；命题 q：函数 y x 的图象关于直线 x 2 对称则下列判断正确的是 ( ) A p 为真 B綈 q 为假 C p q 为假 D p q 为真 解析：选 C. y x 的最小正周期是 ， p 为假，又 y x 的图象关于点 ( 2 ， 0)成中心对称， q 为假， 故 p q 一定为假， p q 也为假故选 C. 5已知命题 p：所有有理数都是实数，命题 q：正数的对数都是负数，则 下列命题中为真命题的是 ( ) A (綈 p) q B p q C (綈 p) (綈 q) D (綈 p) (綈 q) 解析：选 p 为真，綈 p 为假， q 为假，綈 q 为真 只有 D 项中 (綈 p) (綈 q)为真 6 (2013 长沙质检 )下列命题中是 “ p 或 q” 的形式且为真命题的是 _ 3 是 9 的约数或是 21 的约数； 方程 2x 1 0 的两实根符号相同或绝对值相等； 三角形的外角等于与它不相邻的两内角的和或大于与它不相邻的任意内角 解析： 中两根异号且绝对值不相等 2 答案： 7 如果命题綈 p 綈 q 是假命题，对于下列结论： 命题 p q 是真命题； 命题 p q 是假命题； 命题 p q 是真命题； 命题 p q 是假命题 其中正确的是 _(把你认为符合要求的结论序号都填上 ) 解析：由綈 p 綈 q 是假命题知，綈 p，綈 q 均为假命题，即 p， q 均为真命题，因此 正确 答案： 8设有两个命题，命题 p：关于 x 的不等式 (x 2) 3x 20 的解集为 x|x2 ，命题 q：若函数 y 1 的值恒小于 0，则 45 或 当 x0 时， 2x1,00，如果綈 p(1)是真命题， p(2)是真命题，则实数 m 的取值范围是 _ 解析： 綈 p(1)是真命题， p(1)为假命题：即 1 2 m0 ， m3. 又 p(2)为真命题， 22 22 m0， q： 1x 20，求綈 p 和綈 q 对应的 x 值的集合 解：由 p： |3x 4|2，得 p： x2 或 q： x2 或 成立， 故 8(m 2)2 80. 解得 1m3，即 q： 1m3. 由 p q 为真， p q 为假知 p、 q 一真一假 当 p 真 q 假时， 由 m2m3 或 m1 得 m3 ， 当 p 假 q 真时， 由 m21m3 得 1m2. 综上， m 的取值范围是 m|m3 或 1m2 1 2013年高中数学 称量词与存在量词知能演练 文（含解析）新人教 A 版选修 2下列语句不是全称命题的是 ( ) A模相等的向量是相等向量 B共线向量所在直线共线 C在平面向量中，有些向量是共线向量 D每一个向量都有大小 解析：选 A、 B、 D 为全称命题 C，为特称命题 2下列命题是特称命题的是 ( ) A偶函数的图象关于 y 轴对称 B正四棱柱都是平行六面体 C不相交的两条直 线是平行直线 D存在实数大于等于 3 解析：选 、 B、 C 是全称命题， D 是特称命题 3下列命题是真命题的是 ( ) A x R， (x 2)20 B x Q， C Z,3812 D R,34 6析：选 当 x 2时不等式不成立，故不是真命题 B 中当 x 0 时，不等式不成立，故不是真命题 C 中 8123 Z，故也不是真命题 D 中 364 0 中 ( 6)2 1240 ，方程有解，故是真命题 4 “ x R，使 3x2” 的否定是 ( ) A x R，使 3的否定是 ( ) A对任意实数 x，都有 x1 B不存在实数 x，使 x1 C对任意实数 x，都有 x1 D存在实数 x，使 x1 解析：选 选 C. 6命题 “ 有些负数满足不等式 (1 x)(1 9x)0” 用 “ ” 或 “ ” 可表述为_ 答案： 用符号语言写出命题 “ a R， ” 的否定为 _ 解析：全称命题的否定写成特称命题 答案： R， 8命题 “ x R， 10，即 答案： ( ， 2) (2， ) 9判断下列命题的真假 (1) x R，都有 x 112. (2) ， ，使 ) . (3) x， y N，都有 x y N. (4) Z，使得 23. 解： (1)真命题 x 1 12 x 12 (x 12)2 14 140. x 112恒成立 (2)真命题例如 4 ， 2 ，符合题意 (3)假命题例如 x 1， y 5， x y 4N. (4)真命题例如 0， 3 符合题意 10分别写出下列含有一个量词的命题的否定，并判断它们的真假： (1)所有矩形的对角线都相等； (2)有些实数的绝对值不是正数 解： (1)“ 所有矩形的对角线都相等 ” 是全称命题，它是真命题 命题的否定为 “ 有的矩形的对角线不相等 ” ，这是特称命题，且是假命题 (2)“ 有些实数的绝对值不是正数 ” 是特称命题，它是真命题 命题的否定为 “ 任意实数的绝对值都是正数 ” ，这是全称命题，且是假命题 1 (2012 高考辽宁卷 )已知命题 p： R， (f( f(0 ，则綈 ) A R， (f( f(0 B R， (f( f(0 C R， (f( f()， x 1,2， 1,2，使 f( g(则 a 的取值范围是 _ 解析：由于函数 g(x)在定义域 1,2内是任 意取值的，且必存在 1,2使得 g( f(因此问题等价于函数 g(x)的值域是函数 f(x)值域的子集函数 f(x)的值域是 1,3，函数 g(x)的值域是 2 a,2 2a，则有 2 a 1 且 2 2a3 ，即 a 12，又 a0，故 a 的取值范围是 (0， 12 答案： (0， 12 3写出下列命题的否定，并判断真假 3 (1)p：一切分数都是有理数； (2)q：直线 l 垂直于平面 ，则对任意 l ， l l ； (3)r：若 2n 10，则存在 n N，使 实数 x 的取值范围 解：设 f(a) (a 1)x 2a，则有 f(a) (2 x)a x， a 1,1， a 1,1时， y f(a)0 恒成立 ，则 (1)当 x 2 时， f(a) 20 显然成立； (2) 当 x2 时，由 f(a)0 在 a 1,1上恒成立，得 f f ， 即 202x 20， 解之得 x 2或 x 2或 x 2. 1 2013年高中数学 圆及其标准方程知能演练 文（含解析）新人教 A 版选修 2设 1上的点，若 | |于 ( ) A 4 B 5 C 8 D 10 解析：选 | 2a 10. 2设定点 ， 2)， ,2)，动点 P 满足条件 | | m 4m(m0)，则点 P 的轨迹是 ( ) A椭圆 B线段 C不存在 D椭圆或线段 解析：选 D. m0， | | m 4m2 m 4m 4，当 |4 时，点 P 的轨迹是椭圆，当 | | 4 时，点 P 的轨迹是线段 3已知椭圆过点 P(35， 4)和点 Q( 45， 3)，则此椭圆的标准方程是 ( ) A 1 1 1 或 1 D以上都不对 解析：选 1(m0， n0， m n)，由已知，得 35 2m 2n 1 45 2m 32n 1，解得 m 1n 125， 故 所求椭圆的标准方程是 1. 4已知椭圆 1(a5)的两个焦点为 | 8，弦 点 ) A 10 B 20 C 2 41 D 4 41 解析：选 25 16 41， a 41，而 a 4 41. 5已知椭圆 55 的一个 焦点坐标是 (0,2)，那么 k 的值为 ( ) A 1 B 1 C. 5 D 5 解析：选 5 得 1， 2 5k 1 4， k 1. 6 (2013 湛江检测 )已知 A( 3,0)， B(3,0)， | | 6，则点 _ 解析： | 6 | | 点 P 的轨迹就是线段 答案：线段 在平面直角坐标系 ，椭圆上点 P 到焦点 (0， 3)， (0， 3)的距离之和等于 4，则椭圆的标准方程为 _ 解析：由已知得， c 3， a 2，故 1. 故所求的椭圆的标准方程为： 1. 答案： 1 8方程 1 1 表示焦点在 y 轴上的椭圆，则 m 的取值范围是 _ 解析：原方程可化为 m 1. 依题意有： 2m01 m02) 依题意，知 13 2132 1 12 2 1 1515b0) 依题 意，知 13 2132 1 12 2 1 1415. 3 故所求椭圆的标准方程为 1. 10已知 B， C 是 x 轴上的两个定点， | 6，且 周长等于 16，求顶点 A 的轨迹方程 解： 如图，建立平面直角坐标系，可得点 B 的坐标为 ( 3,0)，点 C 的坐标为 (3,0)，由于 | | 16 6 10，且 106，据椭圆的定义知，点 A 的轨迹方程为 1. 由于点 A 在 ( 5,0)， (5,0)时， A， B， C 三点共线，不能构成三角形，因此，顶点 A 的轨迹方程是 1(x5) 1 (2013 德州高二期末 )已知 M 为椭圆 1 上一点， 2， N 为 O 为坐标原点， 为 ( ) A 2 B 4 C 6 D 8 解析：选 2，由定义可知 | 2a | 10 2 8， 12| 128 4. 2已知椭圆的焦点 x 轴上，且 a 2c，过 l 交椭圆于 A， B 两点，且 6，那么椭圆的标准方程为 _ 解析：根据椭圆的焦点在 x 轴上，可设椭圆的标准方程为 1(ab0)，根据 6，得 4a 16， a 4. a 2c， c 2 2，则 16 8 8. 故 椭圆的标准方程为 1. 答案： 1 3. 如图所示， 1 的两个焦点， P 是椭圆上任一点，且 3 ，求 解：设 | m， | n. 4 由椭圆的定义知： | | 2a m n. m n | 2a 2c. 由题意知 100， 64， a 10， 36， c 6. a 2c 32. 在 余弦定理得 2 3 | 122， 即 144. (m n)2 3144， 即 202 3144. 2563 . S 12| 3 12 2563 32 64 33 . 4已知椭圆 1(ab0)上一点 P(3,4)， 焦点， 求椭圆的方程 解：设 c,0)， F2(c,0)， 则 43 c， 43 c. 1， 即 43 c 43 c 1， 解得 c 5， 25. 又椭圆经过点 P(3,4)， 9161. 联立方程组 25961，解得 45， 20. 故所求的椭圆方程为 1. 1 2013年高中数学 1 课时 椭圆的简单几何性质知能演练 文（含解析）新人教 A 版选修 2 (2011 高考课标全国卷 )椭圆 1 的离心率为 ( ) . 33 D. 22 解析：选 D.由 1 得 16， 8， 8， c 2 2. e 2 24 22 . 2椭圆 1 的焦点在 y 轴上，长轴长是短轴长的 2 倍，则 m 等于 ( ) B 2 C 4 析：选 1m 22 ， m 14. 3曲线 1 与曲线kk 1()， 则 2a 2b 189 ，解得 a 5b 4 ， 2 故椭圆的 标准方程为 1. 5已知椭圆的标准方程为 1(ab0)的左焦点为 F，右顶点为 A，点 B 在椭圆上，且 x 轴，直线 y 轴于点 P 2，则椭圆的离心率是 ( ) A. 32 B. 22 析：选 为 2，则 2 a 2c， e 12. 6椭圆 66 的长轴的端点坐标是 _ 解析：由 66，得 1. 故 a 6. 长轴的端点为 (0， 6)和 (0， 6) 答案： (0， 6)、 (0， 6) 7椭圆焦点在 x 轴上， O 为坐标原点， A 是一个顶点， F 是一个焦点，椭圆长轴长为 6，且 23，椭圆的标准方程是 _ 解析： 如图， 椭圆长轴长为 6， | 3， | 23， c 2， 5. 椭圆的标准方程为 1. 答案： 1 8若椭圆的短轴长为 6，焦点到长轴的一个端点的最近距离是 1，则椭圆的离心率为_ 解析：依题意，得 b 3， a c 1. 又 得 a 5， c 4， 椭圆的离心率为 e 45. 答案： 45 3 9求椭圆 491 的长轴长和焦距，焦点坐标，顶点坐标和离心率 解：将椭圆方程变形为 1. a 12， b 13， c 56 . 椭圆的长轴长和焦距分别为 2a 1,2c 53 . 焦点坐标为 56 ， 0 ， 56 ， 0 . 顶点坐标为 12， 0 ， 12， 0 . 0， 13 ， 0， 13 . 离心率 e 53 . 10求适合下列条件的椭圆的标准方程 (1)椭圆过 (3,0)，离心率 e 63 ； (2)在 x 轴上的一个焦点与短轴两个端点的连线互相垂直，且焦距为 8. 解： (1)若焦点在 x 轴上，则 a 3， e 63 ， c 6， 9 6 3. 椭圆的标准方程为 1. 若焦点在 y 轴上，则 b 3， e 1 193 ，解得 27. 椭圆的标准方程为 1. 综上可知，所求椭圆标准方程为 1 或1. (2)设椭圆方程为 1(ab0) 如图所示， 斜边 高 )，且 | c， | 2b， c b 4， 32， 故所求椭圆的标准方程为 1. 4 1若点 O 和点 F 分别为椭圆 1 的中心和左焦点，点 P 为椭圆上的任意一点，则 的最大值为 ( ) A 2 B 3 C 6 D 8 解析：选 F( 1,0)，设点 P(则有 1，所以 3(12 ) ， 因 为 (1， (所以 x0(1) 314(2)2 2. 因为 2 ，所以当 2 时， 取得最大值为 6. 2椭圆 1 1 的焦点在 x 轴上，则它的离心率 e 的取值范围是 _ 解析：由题意知 5a41， 140)的离心率为 12，试求椭圆的长轴长和短轴长，焦点坐标及顶点坐标 解：椭圆方程可化为 1. (1)当 04 时， a m， b 2， c m 4， e m 4m 12，解得 m 163 ， a 4 33 ， c 2 33 ， 椭圆的长轴长和短轴长分别为 8 33 ， 4，焦点坐标为 5 ， 2 33 )， ， 2 33 )，顶点坐标为 ， 4 33 )， ， 4 33 )， 2,0)， ,0) 4设 P 是椭圆 1(ab0)上的一点， 焦点已知 60 ，求椭圆离心率的取值范围 解： 法一：根据椭圆的定义， 有 | | 2a， 在 余弦定理得 0 | | |2|12， 即 | | 4| 式平方得 | | 2| 4 由 得 | 4 由 和 运用基本不等式， 得 |( | | )2，即 4 由 43( 得 e 12. 又因 e1，所以该椭圆离心率的取值范围为 12， 1) 法二：设椭圆与 y 轴交于 则当点 P 位于 2时，点 P 对两个焦点的张角最大， 故 60 ，从而 0. 在 e 0 12. 又因为 e 1， 所以该椭圆的离心率的取值范围为 12， 1) 1 2013年高中数学 2 课时 直线和椭圆的位置关系知能演练 文（含解析）新人教 A 版选修 2椭圆 1 的右焦点到直线 y 3x 的距离是 ( ) B. 32 C 1 D. 3 解析：选 B.由 1 得右焦点为 (1,0)则右焦点到直 线 y 3x 的距离： d| 31 0|3 1 32 . 2过椭圆 1 的右焦点且与椭圆长轴垂直的直线与椭圆相交于 A、 B 两点，则 | ( ) A 4 B 2 3 C 1 D 4 3 解析：选 C. 1 中 4， 1， 3， 右焦点坐标 F( 3， 0)， 将 x 3代入 1 得， y 12， 故 | 1. 3椭圆 1 上的点 P 到上焦点的距离的最值为 ( ) A最大值为 5，最小值为 4 B最大值为 10，最小值为 8 C最大值为 10，最小值为 6 D最大值为 9，最小值为 1 解析：选 5， b 3， c 4. P 到上焦点的距离的最大值为 a c 9，最小值为 a c 1. 4直线 y x 1 被椭圆 1 所截得的弦的中点坐标是 ( ) A (23， 53) B (43， 73) C ( 23， 13) D ( 132 ， 172) 解析：选 y x 124 ，消去 y， 得 34x 2 0， 设弦的两端点坐标为 ( ( 中点坐标为 (x 中 ， y 中 )， 则 43， 2 x 中 23. 从而 y 中 x 中 1 23 1 13， 中点坐标为 ( 23， 13) 5在平面直角坐标系 ，设椭圆 1(ab0)的焦距为 2c，以点 O 为圆心， 过点 P(0)作圆的两条切线互直垂直，则该椭圆的离心率为 ( ) A. 32 B. 22 析：选 B. 如图，切线 相垂直，又 知四边形 正方形， 等腰直角三角形，故 2a，解得 e2 . 6已知椭圆 C 的方程为 1(a2 b0)，则椭圆 C 的离心率的取值范围是 _ 解析：离心率 e 1 a2 b， 0b0)的离心率为32 ，椭圆与直线 x 2y 8 0 相交于 P、 Q 两点，且 | 10，求椭圆方程 解： e 32 ， 32 ， 4， 14 椭圆方程为 4 将 x 2y 8 0 代入 4y 得 216x 64 0， 由 162 42(64 0 得 2， 由弦长公式得 10 5464 2(64 解之得 36， 9， 椭圆方程为 1. 1 (2013 沈阳高二检测 )若点 (x， y)在椭圆 44 上，则 2的最小值为 ( ) A 1 B 1 C 23 3 D以上都不对 解析：选 C. 2表示椭圆上的点 (x， y)与定点 (2,0)连线的斜率不妨设 2 k，则过定点 (2,0)的直线方程为 y k(x 2) 由 y k x44 ，得 (4)444 0. 令 ( 4 4(4)(4 4) 0， 得 k 23 3， 23 3， 即 2的最小值为 23 3. 2已知以 2,0)， ,0)为焦点的椭圆与直线 x 3y 4 0 有且仅有一个公共点，则椭圆的长轴长为 _ 解析：由题意可设椭圆方程为 4 1，联立直线与椭圆方程，由 0 得 a 7. 答案： 2 7 3求椭圆 1 上的点到直线 x y 6 0 的距离的最小值 5 解： 设与直线 x y 6 0 平行且与椭圆 1 相切的直线方程为 x y m 0. 由 1x y m 0，得 4633 0， 3616(33) 0， 解得 m 2 或 m 2，显然与直线 x y 6 0 距离最近的直线为 x y 2 0， 所以所求最小距离为 d |6 2|2 2 2. 4在平面直角坐标系 ， 点 P 到两点 (0， 3)、 (0， 3)的距离之和等于 的轨迹为 C. (1)写出 C 的方程； (2)设直线 y 1 与 C 交于 A、 B 两点， k 为何值时 ？此时 |的值是多少？ 解： (1)设 P(x， y)，由椭圆定义可知，点 P 的轨迹 C 是以 (0， 3)， (0， 3)为焦点，长半轴为 a 2 的椭圆，它的短半轴 b 22 3 2 1， 故曲线 C 的方程为 1. (2)由 1y 1，消去 y 并整理得 (4)23 0，