新课标高一数学解题直观感知的培养例探

新课标高一数学解题直观感知的培养例探 林坤成 (福建省东山一中) 摘要 本文主要通过夯实基础、挖掘特征、数形结合、设疑顿悟、题型特例、变式类比等方 面介绍了高一数学解题直观感知培养的尝试做法，强调了直观感知在高一新生新课程数 学解题中的重要性，同时对高一数学教学教育做了适当的总结和分析，有利于进一步教 学，培养学生更好的数学思维能力。 关键词 直观感知、例探 直观感知是新课标数学思维能力的基础性要求，是其它思维能力的发展平台，它不受 逻辑规则的约束，是数学问题的一种迅速的识别和判断。高一年学生的思维的自由度大， 不受框框束缚，由于知识水平的缺陷及逻辑思维力度不够，据调查发现大部分学生都不 适应新课标的高中数学学习，做题束手无策，虽有时能“感觉” 到数学问题的某种关系， 但又说不出或说不清理由。究其原因，多数学生数学解题的直观感知很差，因此，要完 成高中新课标数学学习过程，首先必须培养学生学习数学的直观感知，以便提高数学的 其它思维能力。下面本人就如何培养数学解题直观感知提出几点看法： 1、夯实基础，启迪直感 进入高中，数学能力要求较高，知识内容多，课堂教学容量较大，大部分学生一时 难以适应，如对函数的一些基本概念、基本性质等，很多学生没有掌握好，做起题目来， 常常张冠李戴，一头雾水。 例 1：判定 f(x)=ln( +x)的奇偶性. 误解： x-x， + x0 f(x)的定义域为 R , 又f(-x)=ln( -x)=ln( -x)f(x) f(x)为非奇非偶函数。 剖析：虽然注意到定义域的考察，但演变过程不到位，没有注意到 -x= 这一知识点，导致解题错误。 例 2：已知 A=x|x 2-2x-30，B=x|a-1x2a,若 AB=B 时，求实数 a 的取 值范围。 分析：有很多学生对 “AB=B”这一关键知识点理解为“A B“，导致主要错误。 +x 1 有的学生注意到“B A”这一关键，但又往往遗漏 B 这一特殊情况的知识点。 类似例 1、例 2、这样的题目在高一新教材中有很多，虽然难度不大，但很少学生 做得完美，这体现了学生基础知识的不扎实，因此数学教师在教学过程中，要切实抓好 学生的基础知识，落实于每节课的教学中，让每个同学都意识到基础知识的重要性，使 学生能有效地掌握好基础知识，为培养数学直观感知奠定基础。 2、挖掘特征，培养直觉 每道习题都有一定的数学特征：如数字特征，结构特征，命题特征等等，在解题时， 应引导学生加强注意、观察和利用题目特征，提高解题速度和准确性，从而培养学生的 数学直观感知。 例 3、已知 f(x)=ax5+bx3+cx+8，且有 f(-2)=10,求 f(2)的值. 分析：函数有 a、b、c 三个特定系数，由已知 f(-2)=10，只能列出一个方程，显然 不能确定 a、 b、c 。若注意到 2 是一对相反数，结合函数特点，则有以下解法： 解：由 f(x)=ax5+bx3+cx+8 可行 f(-x)=-ax5-bx5-cx+8 则由+ 得 f(x)+f(-x)=16 f(-2)+f(2)=16 又 f(-2)=10 f(2)=6 例 4：已知 a+lga=3 , b+10b=3,求 a+b 的值。 解法 1：由已知得 a=103-a , 3-b=10b 两式相减得， 3-a-b=10b-103-a (1)若 3-a-b0,则 3-ab,由指数函数的单调性，得 103-a 10b 代入得 0 3-a-b=10b-103-a 0 矛盾 综上得 3-a-b=0,即 a+b=3 解法 2：此题的几何意义是：a 是 ylgx 与 y=3-x 交点 A 的横坐标， b 是 y=10x 与 y=3-x 交点 B 的横坐标，(如图 1)由两互为 反函数图象的对称性，知 A 与 B 关于直线 y=x 对称。 解方程组 可得 C( ， ) 但 C 为 A、B 的中点，故 = ,a+b=3 图（1） y x 1 1 C B A O 3 3 y=3-x y=lgx y=xy=10 x 3 解法 3：已知条件 a+lga=3,10b+b=3, 表明单调函数 f(x)=x+lgx,当 x1=a , x2=10b(其中 lgx2=b)时，函数值相等f(a)=f(10 b) 据单调性，必有自变量相等 a=10b a+b=10b+b=3 评析：解法 1 的本质是利用函数的单调性，解法 2 的本质是利用互为反函数的性质， 解法 3 的本质是法 1 和法 2 的两个性质集中起来的。通过挖掘题目的特征，使解题多样 化，让学生享受到学数学的无穷乐趣，进而培养学生的直觉。 3、数形结合，诱发直感 数形结合是解题的有效途径之一，它的最大优点是简明直观，因此，在解题时，若 能以“形”助“数 ”，由“ 数” 思 “形”，数形转化往往能巧妙地打开解题的突破口，有利于学 生的数学解题感知的培养。 例 5、设函数 f(x)=loga(1-x),g(x)=loga(1+x) (a0,a1),若关于 x 方程 ag(x-x +1)=af(k) -x 有 一实根，求 k 的取值范围。 略解：依题意，可得 aloga(x-x2 +2)=aloga(1-k)-x x2-2x-1=k (-1x2 , k1) 令 y1=x2-2x-1,y2=k,则它们的图象(2)如下所示 由图象可知 当-1k1 或 k=-2 时，方程有一个实根 评析：判断方程根的个数，而不求出方程的根，通常是将方程转化为两个易作图象 的函数，两函数图象交点个数就是原方程的根的个数，在新教材新学案练习中，这 类题目很多，教学中应强化指导学生充分利用数形结合的方法。 4、设疑顿悟，激发直感 问题是数学的灵魂。在教学中，我们要把学习主动权交给学生，培养学生质疑的良 好学习品质，引导学生学会质疑、释疑，激发学生的数学直观感知。 例 6、求方程 2x=x2 的解的个数 很多学生用作图法常常只考虑了 y=2x 与 y=x2 有两个交点，果真如此吗？其实不然。 其原因是学生没有注意到它们的增长速度的不同而漏掉 x =4 这个解。通过顿悟，引发 学生思考，使学生产生了很强的激疑效果，记忆深刻。 2 图 (2) y=k y x O 2 1-1 2 例 7、在进行线面平行的判定定理的教学中，首先请同学们画出表示线面平行的图 甲、图乙。 接着老师画出图丙，问学生直线 a 与平面 平行吗？结果，学生回答多种多样，于 是教师在 内添上直线 b，追问直线 a 与平面 平行吗？这时大多数学生就马上领悟到 图丁中直线 a 与平面 是平行的，因此，若平面 外的一条直线 a 与平面 内的一条直 线 b 平行，则有 a ,这时线面平行的判定定理就活生生地提了出来。这样就使学生为了 “问题”而去找解题办法，主动去思考问题，感悟数学问题的抽象性，把抽象问题具体化、 形象化，诱发了学生的直观感知，提高了学习情趣，从而努力完成学习目标。 5、掌握特例，优化直感。 “题型”就象是街上的一盏盏路灯，在黑暗中照亮着人们。学生通过对题型及特例 的掌握，加深了对题型相关知识的理解，同时强化了相应的数学解题方法，形成直感。 例 8、(1)求函数 y=log0.5(x+ +1) (x1)的值域。 (2)求函数 y= 的值域. (3)已知 x ,求 f(x)= 的最小值. 分析：(1)中 x+ +1=(x-1) + +2 (2)y= = (x+1)+ (3)f(x) = = (x-2)+ 类似这类问题很多，都可视为函数 y=x+ (a0, x0)的应用，这里不详解。 通过证明函数 y=x+ (x0, a0) 性质，可得明确的结论：函数在 (0，a内是单调 递减，函数在a,+) 是单调递增，对该结论的掌握，可大大促进其在解题应用的广泛 性。 例 9、判断下列两个函数f(x)= (a0,a 为参数) f(x)=ax3(a 为参数)的奇偶性。 评析：很多学生都没有对参变量 a 进行讨论，导致大部分同学的答案不完整。其实 中当 a1 时，函数为非奇非偶函数，当 a1 时，函数为奇函数，中当 a0 时， f(x)=ax3 既是奇函数又是偶函数，当 a0 时，f(x) 是奇函数。 以上问题是典型题和易错题，象这类问题应让学生加强注意，认真掌握，同时引导 (甲) (乙) (丙) (丁) a a a a b (甲) (乙) (丙) (丁) a a a a b 5 学生要有科学的学习态度，自觉感悟数学问题。 6、变式类比，促发直感 变式教学，层层类比，步步为营，逐渐深入，使学生在探索和领悟知识的同时，享 受到数学解题中的乐趣，促发解题直感。 例 10、新学案中 P67 第 8 题：方程 3 的解是 思路 1：很多学生将原方程化为 3x二次方程，去掉增根，得 x-， 思路 2：从原方程中的分子提取 3-x,有 =3，马上得解 x-1 评析：思路 1 有“ 小题大做 ”之嫌。 思路 2 做了技巧性的变式处理，使问题简捷、迅速。 例 11、在例 2 中：Ax| x 2-2x-30,B=x |a-1x2a 若 AB=B,求 a 的取值范围(问题) 评析：“AB=B B A”这一“对译”是解题(问题 1)的关键。 若把该条件改为“AB= “ 又如何？(问题 2) 当学生完成问题 2 后，老师又可引导“AB “呢？(问题 3) 这时问题 3 自然就迎刃而解了。 以上两例表明，变式类比，让学生欣赏到数学的奇异性、相似性、和谐性等数学美 感，促发学生对数学问题的直观感知。 总之，针对学生知识结构水平和心理特征，在高一新生数学教育中，在高一新课标 指导下，我们要改变教学理念，对学生加强思维训练和研究性学习的探究，使学生的解 题直观感知能力不断增强，形成数学悟性，从而提高数学解题思维能力。 参考文献 1、郭慧清主编，新教材新学案数学必修(A 版)，