2013届高考数学总复习导学 第八篇 理 （打包9套）新人教A版
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2013届高考数学总复习导学 第八篇 理 （打包9套）新人教A版,高考,数学,复习,温习,第八,打包,新人
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- 1 - 专题四 高考立体几何命题动向 高考命题分析 立体几何主要包括柱、锥、台、球及其简单组合体的结构特征、三视图，点、直线、平面的位置关系等 . 高考对空间想象能力的考查集中体现在立体几何试题上，着重考查空间中点、线、面位置关系的判断及空间角等几何量的计算，既有以选择题、填空题形式出现的试题，也有以解答题形式出现的试题一般来说，选择题、填空题大多考查概念辨析，位置关系探究，空间几何量的简单计算求解等，考查画图、识图、用图的能力；解答题多以简单几何体为载体，考查直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系，综合考 查空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力试题在突出对空间想象能力考查的同时，关注对平行、垂直的探究，关注对条件和结论不完备情形下开放性问题的探究 高考命题特点 立体几何在高考中占据重要的地位，通过分析近几年的高考情况，可以发现对立体几何问题的考查已经突破了传统的框架，在命题风格上，正逐步由封闭性向灵活性、开放性转变因此，如何进一步把握复习的重点，提高复习效率，从而快速地突破立体几何难点是高考复习过程中必须认真考虑的问题近几年高考对立体几何的考查特点主要表现在以下几个方面： (1)从命题形式来看，涉 及立体几何内容的命题形式最为多变：除保留传统的 “ 四选一 ” 的选择题型外，还尝试开发了 “ 多选填空 ” 、 “ 完型填空 ” 等题型，并且这种命题形式正在不断完善和翻新；解答题则设计成几个小问题，此类考题往往以多面体为依托，第一小问考查线线、线面、面面的位置关系，后面几问考查空间角、空间距离、面积、体积等知识，其解题思路也都是 “ 作证 求 ” ，强调作图、证明和计算相结合 (2)从内容上来看，主要考查： 直线和平面的各种位置关系的判定和性质，这类试题一般难度不大，多为选择题和填空题； 计算角的问题，试题中常见的是异面直线所成的 角，直线与平面所成的角； 求距离，试题中常见的是点与点之间的距离，点到直线的距离，点到平面的距离，直线与直线的距离，直线到平面的距离，要特别注意解决此类问题的转化方法； 求简单几何体的侧面积和表面积问题，解此类问题时除套用特殊几何体的侧面积和表面积公式外，还可将侧面展开，转化为求平面图形的面积问题； 体积问题，要注意解题技巧，如等积变换、割补思想的应用； 三视图，要能辨认空间几何体的三视图，高考中三视图常与表面积、体积相结合 (3)从能力上来看，着重考查空间想象能力，即对空间几何体的观察分析和抽象的能力， 要求“ 四会 ” ： 会画图 根据题设条件画出适合题意的图形或画出自己想作的辅助线 (面 )，作出的图形要直观、虚实分明； 会识图 根据题目给出的图形，想象出立体的形状和有关线面的位置关系； 会析图 对图形进行必要的分解、组合； 会用图 对图形或其某部分进行平移、翻折、旋转、展开或实行割补术 - 2 - 高考动向透视 空间几何体的结构、三视图、直观图 本部分在新课标高考中的考查重点是以三视图为命题背景来研究空间几何体的结构特点和求解几何体的表面积和体积备考中，要熟悉一些典型的几何体 (如三棱柱、长 (正 )方体、三棱锥等 )的三视图近年的新课标高考的命题重点和热点依然是以选择题、填空题的方式考查以下两个方面： 几何体的三视图与直观图的认识； 通过三视图和几何体的结合，考查几何体的表面积和体积 【示例 1】 (2010 广东 ) 如图， 正三角形， ， 平面 3 32 多面体 B C 的正视图 (也称主视图 )是 ( ) 解析 画三视图时，由内到外 为虚线，且虚线所在直线应垂直平分 选 D. 答案 D 三视图和直观图是空间几何体的不同的表现形式，空间几何体的三视图可以使我们很好地把握空间几何体的性质由空间几何体可以画出它的三视图，同样由三视图可以想象出空间几何体的形状，两者之间可以相互转化 空间几何体的计算问题 本部分是新课标高考考查的重点内容，常以几何体的表面积和体积的计算以及几何体的外接球、内切球的知识为主要命题点进行考查在备考中要牢记一些典型 几何体的表面积和体积的计算公式，以及几何体的棱长与它的内切球、外接球的半径之间的转换关系 【示例 2】 (2011 辽宁 )已知球的直径 4， A， B 是该球球面上的两点， 3， 30 ，则棱锥 体积为 ( ) A 3 3 B 2 3 C. 3 D 1 解析 由题可知 定在与直径 直的小圆面上，作过 小圆交直径 D，设 x，则 4 x，此时所求棱锥即分割成两个棱锥 ，由 - 3 - 已知条件可得 33 x，又因为 直径，所以 90 ，所以 60 ，在 ， 3(4 x)，所以 33 x 3(4 x)，所以 x 3， 3，所以 正三角形，所以 V 13S . 答案 C 本题考查空间想象能力、逻辑推理能力和运算能力本题的难点在于对三棱锥 中的体积分割法是求解体积问题时经常使用的方法 【训练】 (2011 陕西 )如图，在 ， 45 ， 90 ， 的高，沿 起，使 90. (1)证明：平面 平面 (2)若 1，求三棱锥 表面积 (1)证明 折起前 上的高， 当 起后， D， 平面 平面 平面 平面 (2)解 由 (1)知， 1， 2， 从而 S S S 1211 12， S 12 2 20 32 ， 三棱锥 表面积 S 123 32 3 32 . 空间的线面位置关系 对于直线与平面的位置关系，高考中主要考查平面的基本性质，考查空间的线线、线面和面面的平行关系与垂直关系的判定并运用平行、垂直的判定定理与性质进行推理论证，一般会以选择题或解答题的形式进行考查解题的策略：结合图形进行平行与垂直的推理证明，由线线平行或垂直推证出线面平行或垂直，再由线面平行或垂直证明面面平行或垂直如果是选择题还可以依据条件举出反例否定 【示例 3】 (2011 扬州模拟 )在四棱锥 ， 平面 4 - 22， M 为 中点 (1)求证： 平面 (2)平面 是否存在一点 N，使 平面 存在，确定点 N 的位置；若不存在，请说明理由 (1)证明 如图，取 点 E，连接 12 12 四边形 平行四边形 面 面 平面 (2)解 平面 B A， 平面 E 是 中点， A. 平面 作 点 N. 平面 易知 M 2， 121， 由 1222 ， 2 . 即点 N 为 中点 在立体几何的平行关系问题中， “ 中点 ” 是经常使用的一个特殊点，通过找 “ 中点 ” ，连 “ 中点 ” ，即可出现平行线，而线线平行是平行关系的根本在垂直关系的证明中，线线垂直是问题的核心，可以根据已知图形通过计算证明线线垂直，也可以根据已知的垂直关系证明线线垂直，其中要特别重视平面与平面垂直 的性质定理 空间角的计算 高考中立体几何的计算主要有两个方面，即空间几何体的表面积、体积的计算，空间角与距离的计算，其中空间角的计算是高考考查考生逻辑推理能力、空间想象能力和运算求解能力 - 5 - 的重点这类试题如果是在选择题或者填空题中出现，则考查简单的空间角的计算，如果是在解答题中出现，则往往是试题的一个组成部分 【示例 4】 (2011 湖南 ) 如图，在圆锥 ，已知 2， O 的直径 2，点 C 在 ，且 30 ， D 为中点 (1)证明： 平面 (2)求直线 平面 成角的正弦值 (1)证明 如图，因为 D 是 中点，所以 又 底面 O， 底面 O，所以 D， 平面 的两条相交直线，所以平面 (2)解 由 (1)知， 平面 面 以平面 平面 ，如图，过 O 作 H，则 平面 H，则 平面 的射影，所以 直线 平面 成的角 在 ， OA0 12. 在 ， 122 14 23 . 在 ， 23 . 故直线 平面 成角的正弦值为 23 . 本题考查垂直关系的证明，线面角的求解及逻辑推理能力、空间想象能力和运算求解能力试题的难点是第二问的线面角，其中作出线面角是解题的关键，作线面角就是找直线上的点在平面内的射影，一个根本的方法就是通过两个平面互相垂直的性质定理得出点在平面上的射影 空间距离的计算 - 6 - 高考试题中直接考查距离求解的不多，但距离是立体几何的重要内容之一，在计算空间几何体的体积、空间角时，往往需要计算距离距离问题的关键是 “ 垂直 ” ，通过作垂线把 求解的距离问题纳入到一个具体的平面图形中进行计算距离问题也与逻辑推理、空间想象密不可分，是立体几何考查逻辑推理能力和空间想象能力的深化 【示例 5】 (2011 重庆 )高为 2的四棱锥 底面是边长为 1 的正方形，点 S、 A、 B、 C、D 均在半径为 1 的同一球面上，则底面 中心与顶点 S 之间的距离为 ( ) A. 102 B. 2 32 D. 2 解析 设题中的 球的球心为 O，球心 O 与顶点 S 在底面 的射影分别是 E，连接 B， 有 1，点 中心， 12 22 2 22 ， ，作 点 F，则四边形 矩形， 22 ， 2 22 22 t ， 1 22 2 12，即 22 t ， 22 2 2 2102 ，选 A. 答案 A 本小题主要考查了考生的空间想象能力以及如何有效地利用已知条件恰当地将空间问题平面化，从而借助于平面几何知识解决相关问题 【训练】 (2011 北京 ) 如图，在四面体 ， D， E， F， G 分别是棱 中点 (1)求证： 平面 (2)求证：四边形 矩形； (3)是否存在点 Q，到四面体 条棱的中点的距离相等？说明理由 - 7 - (1)证明 因为 D， E 分别为 中点，所以 E平面 以 平面 (2)证明 因为 D， E， F， G 分别为 中点， 所以 所以四边形 平行四边形 又因为 以 所以四边形 矩形 (3)解 存在点 Q 满足条件，理由如下： 如图，连接 Q 为 中点 由 (2)知， Q，且 12分别取 中点 M， N，连接 与 (2)同理，可证四边形 矩形，其对角线交点为 中点 Q，且 12 所以 Q 为满足条件的点 空间向量及其运算 高考对空间向量的考查主要在立体几何的解答题中进行，试题的一般设计模式是先进行一个线面位置关系的证明，再设计一个求解空间角或距离的问题，第一个问题的意图是考查考生使用综合几何 法进行逻辑推理的能力，对于空间角或距离的求解，虽然也可以使用综合几何法解决，但命题者的意图显然不是如此，其真正的意图是考查考生使用空间向量的方法解决立体几何问题的能力 【示例 6】 (2011 湖北高考 )如图，已知正三棱柱 ， E 是 中点，动点 F 在侧棱 不与点 C 重合 (1)当 1 时，求证： (2)设二面角 大小为 ，求 的最小值 解 (1)建立如图所示的空间直角坐标系，连接 由已知可得 A(0,0,0)， B(2 3， 2,0)， - 8 - C(0,4,0)， ,0,4)， E( 3， 3,0)， F(0,4,1)， 于是 (0， 4,4)， ( 3， 1,1) 则 (0， 4,4)( 3， 1,1) 0 4 4 0， 故 (2)设 (0 4) ，平面 一个法向量为 m (x， y， z)，则由 (1)得 F(0,4， ) ( 3， 3,0)， (0,4， )，于是由 m ， m 可得 m 0，m 0，即 3x 3y 0，4y z 0. 取 m ( 3 ， ， 4) 又由直三棱柱的性质可取侧面 一个法向量为 n (1,0,0)， 于是由 为锐角可得 |mn |m|n| 32 2 4， 2 162 2 4， 所以 2 163 13163 2. 故 0 4 ，得 1 14，即 13 13 63 . 故当 4，即点 F 与点 取得最小值 63 . 本题考查空间垂直关系的证明和二面角的求解及函数思想 本题的空间几何体便于建立空间直角坐标系，而且对于要证明的线线垂直和要求解的二面角正切的最值，使用空间向量的方法有一定的优势线线垂直就是直线的方向向量的数量积等于零，二面角的大小可以使用两个平面的法向量进行计算，便于建立函数关系式 - 1 - 第 1 讲 空间几何体的结构、三视图和直观图 【 2013 年高考会这样考】 1几何体的展开图、几何体的三视图仍是高考的热点 2三视图和其他的知识点结合在一起命题是新教材中考查学生三视图及几何量计算的趋势 【复习指导】 1备考中，要重点掌握以三视图为命题背景，研究空间几何体的结构特征的题型 2要熟悉一些典型的几何体模型，如三棱柱、长 (正 )方体、三棱锥等几何体的三视图 基础梳理 1多面体的结构特征 (1)棱柱的侧棱都 互相平行 ，上下底面 是 全等 的多边形 (2)棱锥的底面是任意多边形，侧面是有一个 公共顶点 的三角形 (3)棱台可由 平行于底面 的平面截棱锥得到，其上下底面是相似多边形 2旋转体的结构特征 (1)圆柱可以由矩形绕 一边所在直线 旋转一周得到 (2)圆锥可以由直角三角形绕 一条直角边所在直线 旋转一周得到 (3)圆台可以由直角梯形绕 直角腰所在直线 旋转一周或等腰梯形绕 上下底面中心所在直线 旋转半周得到，也可由 平行于 底面的平面截圆锥得到 (4)球可以由半圆面绕 直径 旋转一周或圆面绕直径旋转半周得到 3空间几何体的三视图 空间几何体的三 视图是用平行投影得到，这种投影下，与投影面平行的平面图形留下的影子，与平面图形的形状和大小是全等和相等的，三视图包括 正视图 、 侧视图 、 俯视图 4空间几何体的直观图 空间几何体的直观图常用斜二测画法来画，基本步骤是： (1)画几何体的底面 在已知图形中取互相垂直的 x 轴、 y 轴，两轴相交于点 O，画直观图时，把它们画成对应的 x轴、 y 轴，两轴相交于点 O ，且使 x O y 45 或 135 ，已知图形中平行于 x 轴、y 轴的线段，在直观图中平行于 x 轴、 y 轴已知图形中平行于 x 轴的线段，在直观图中长度 不变 ，平行于 y 轴的线段，长度变为 原来的一半 (2)画几何体的高 在已知图形中过 O 点作 z 轴垂直于 面，在直观图中对应的 z 轴，也垂直于 x O y - 2 - 平面，已知图形中平行于 z 轴的线段，在直观图中仍平行于 z 轴且长度 不变 一个规律 三视图的长度特征： “ 长对正，宽相等，高平齐 ” ，即正视图和侧视图一样高，正视图和俯视图一样长，侧视图和俯视图一样宽若相邻两物体的表面相交，表面的交线是它们的分界线，在三视图中，要注意实、虚线的画法 两个概念 (1)正棱柱：侧 棱垂直于底面的棱柱叫做直棱柱，底面是正多边形的直棱柱叫做正棱柱反之，正棱柱的底面是正多边形，侧棱垂直于底面，侧面是矩形 (2)正棱锥：底面是正多边形，顶点在底面的射影是底面正多边形的中心的棱锥叫做正棱锥特别地，各棱均相等的正三棱锥叫正四面体反过来，正棱锥的底面是正多边形，且顶点在底面的射影是底面正多边形的中心 双基自测 1 (人教 A 版教材习题改编 )下列说法正确的是 ( ) A有两个面平行，其余各面都是四边形的几何体叫棱柱 B有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体叫棱柱 C有一个面是多 边形，其余各面都是三角形的几何体叫棱锥 D棱台各侧棱的延长线交于一点 答案 D 2 (2012 杭州模拟 )用任意一个平面截一个几何体，各个截面都是圆面，则这个几何体一定是 ( ) A圆柱 B圆锥 C球体 D圆柱、圆锥、球体的组合体 解析 当用过高线的平面截圆柱和圆锥时，截面分别为矩形和三角形，只有球满足任意截面都是圆面 答案 C 3 (2011 陕西 )某几何体的三视图如图所示，则它的体积是 ( ) A 8 23 B 8 3 - 3 - C 8 2 解析 圆锥的底面半径为 1，高为 2，该几何体体积为正方体体积减去圆锥体积，即 V 222 131 22 8 23 ，正确选项为 A. 答案 A 4 (2011 浙江 )若某几何体的三视图如图所示，则这个几何体的直观图可以是 ( ) 解析 所给选项 中， A、 C 选项的正视图、俯视图不符合， D 选项的侧视图不符合，只有选项 答案 B 5 (2011 天津 )一个几何体的三视图如图所示 (单位： m)则该几何体的体积为 _解析 由三视图可知该几何体是组合体，下面是长方体，长、宽、高分别为 3、 2、 1，上面是一个圆锥，底面圆半径为 1，高为 3，所以该几何体的体积为 321 133 6 (m 3) 答案 6 考向一 空间几何体的结构特征 【例 1】 (2012 天津质检 )如果四棱锥的四条侧棱都相等，就称它为 “ 等腰四棱锥 ” ，四条侧棱称为它的腰，以下 4 个命题中，假命题是 ( ) A等腰四棱锥的腰与底面所成的角都相等 B等腰四棱锥的侧面与底面所成的二面角都相等或互补 - 4 - C等腰四棱锥的底面四边形必存在外接圆 D等腰四棱锥的各顶点必在同一球面上 审题视点 可借助几何图形进行判断 解析 如图 ，等腰四棱锥的侧棱均相等，其侧棱在底面的射影也相等， 则其腰与底面所成角相等，即 面四边形必有一个外接圆，即 C 正确；在高线上可以找到一个点 O，使得该点到四棱锥各个顶点的距离相等，这个点即为外接球的球心，即 D 正确；但四棱锥的侧面与底面所成角不一定相等或互补 (若为正四棱锥则成立 )故仅命题 B 为假命题选 B. 答案 B 三棱柱、四棱柱、正方体、长方体、三棱锥、四棱锥是常见的空间几何体，也是重要的几何模型，有些问题可用上述几何体举特例解决 【训练 1】 以下命题： 以直角三角形的一边为轴旋转一周所得 的旋转体是圆锥； 以直角梯形的一腰为轴旋转一周所得的旋转体是圆台； 圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆； 一个平面截圆锥，得到一个圆锥和一个圆台 其中正确命题的个数为 ( ) A 0 B 1 C 2 D 3 解析 命题 错，因为这条边若是直角三角形的斜边，则得不到圆锥命题 错，因这条腰必须是垂直于两底的腰命题 对命题 错，必须用平行于圆锥底面的平面截圆锥才行 答案 B 考向二 空间几何体的三视图 【例 2】 (2011 全国新课标 )在一个几何体的三视图中，正视图和俯视图如图所示，则相应的侧视图可以为 ( ) - 5 - 审题视点 由正视图和俯视图想到三棱锥和圆锥 解析 由几何体的正视图和俯视图可知，该几何体应为一个半圆锥和一个有一侧面 (与半圆锥的轴截面为同一三角形 )垂直于底面的三棱锥的组合体，故其侧视图应为 D. 答案 D (1)空间几何体的三视图是该几何体在三个两两 垂直的平面上的正投影，并不是从三个方向看到的该几何体的侧面表示的图形 (2)在画三视图时，重叠的线只画一条，能看见的轮廓线和棱用实线表示，挡住的线要画成虚线 【训练 2】 (2011 浙江 )若某几何体的三视图如图所示，则这个几何体的直观图可以是( ) 解析 A 中正视图，俯视图不对，故 A 错 B 中正视图，侧视图不对，故 B 错 C 中侧视图，俯视图不对，故 C 错，故选 D. 答案 D 考向三 空间几何体的 直观图 【例 3】 已知正三角形 a，那么 A B C 的面积为 ( ) A. 34 B. 38 C. 68 D. 616审题视点 画出正三角形 平面直观图 A B C ，求 A B C 的高即可 解析 如图 所示的实际图形和直观图 - 6 - 由斜二测画 法可知， A B a， O C 1234 a， 在图 中作 C D A B 于 D ， 则 C D 22 O C 68 a. S A B C 12A B C D 12 a 68 a 616答案 D 直接根据水平放置的 平面图形的直观图的斜二测画法规则即可得到平面图形的面积是其直观图面积的 2 2倍，这是一个较常用的重要结论 【训练 3】 如图， 矩形 O A B C 是水平放置的一个平面图形的直观图，其中 O A 6 O C 2 原图形是 ( ) A正方形 B矩形 C菱形 D一般的平行四边形 解析 将直观图还原得 O D 2O C 2 2 ( 2O D 4 2 ( C D O C 2 ( 2 ( 22 4 2 2 6 ( O A 6 ( 故原图形为菱形 答案 C 阅卷报告 9 忽视几何体的放置对三视图的影响致错 【问题诊断】 空间几何体的三视图是该几何体在两两垂直的三个平面上 的正投影 三视图可能不同，有的考生往往忽视这一点 . - 7 - 【防范措施】 应从多角度细心观察 . 【示例】 一个几何体的正视图为一个三角形，则这个几何体可能是下列几何体中的_(填入所有可能的几何体前的编号 ) 三棱锥； 四棱锥； 三棱柱； 四棱柱； 圆锥； 圆柱 错因 忽视几何体的不同放置对三视图的影响，漏选 正解 三棱锥的正视图是三角形； 当四棱锥的底面是四边形放置时，其正视图是三角形； 把三棱柱某一侧面当作底面放置，其底面正对着我们的视线时，它的正视 图是三角形； 对于四棱柱，不论怎样放置，其正视图都不可能是三角形； 当圆锥的底面水平放置时，其正视图是三角形； 圆柱不论怎样放置，其正视图也不可能是三角形 答案 【试一试】 (2011 山东 )右图是 长和宽分别相等的两个矩形给定下列三个命题： 存在三棱柱，其正 (主 )视图、俯视图如右图； 存在四棱柱，其正 (主 )视图、俯视图如右图； 存在圆柱，其正 (主 )视图，俯视图如右图其中真命题的个数是 ( ) A 3 B 2 C 1 D 0 尝试解答 如图 的正 (主 )视图和俯视图都与原题相同，故选 A. 答案 A - 1 - 第 2 讲 空间几何体的表面积与体积 【 2013 年高考会这样考】 考查柱、锥、台、球的体积和表面积，由原来的简单公式套用渐渐变为与三视图及柱、锥与球的接切问题相结合，难度有所增大 【复习指导】 本讲复习时，熟记棱柱、棱锥、圆柱、圆锥的表面积和体积公式，运用这些公式解决一些简单的问题 基础梳理 1柱、锥、台和球的侧面积和体积 面 积 体 积 圆柱 S 侧 2 锥 S 侧 1313 13 r2 台 S 侧 ( r2)l V 13(S 上 S 下 下 )h 13( h 直棱柱 S 侧 棱锥 S 侧 12 V 13棱台 S 侧 12(C C) h V 13(S 上 S 下 下 )h 球 S 球面 4 43 (1)棱柱、棱锥、棱台的表面积就是 各面面积之和 (2)圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图分别是矩形、扇形、扇环形；它们的表面积等于 侧面积与底面面积之和 两种方法 (1)解与球有关的组合体问题的方法，一种是内切，一种是外接解题时要认真分析图形，明确切点和接点的位置，确定有关元素间的数量关系， 并作出合适的截面图，如球内切于正 - 2 - 方体，切点为正方体各个面的中心，正方体的棱长等于球的直径；球外接于正方体，正方体的顶点均在球面上，正方体的体对角线长等于球的直径球与旋转体的组合，通常作它们的轴截面进行解题，球与多面体的组合，通过多面体的一条侧棱和球心或 “ 切点 ” 、 “ 接点 ”作出截面图 (2)等积法：等积法包括等面积法和等体积法等积法的前提是几何图形 (或几何体 )的面积 (或体积 )通过已知条件可以得到，利用等积法可以用来求解几何图形的高或几何体的高，特别是在求三角形的高和三棱锥的高这一方法回避了具体通过作图得 到三角形 (或三棱锥 )的高，而通过直接计算得到高的数值 双基自测 1 (人教 A 版教材习题改编 )圆柱的一个底面积为 S，侧面展开图是一个正方形，那么这个圆柱的侧面积是 ( ) A 4 S B 2 S C S 3 S 解析 设圆柱底面圆的半径为 r，高为 h，则 r 又 h 2 r 2 S， S 圆柱侧 (2 S)2 4 S. 答案 A 2 (2012 东北三校联考 )设长方体的长、宽、高分别为 2a、 a、 a，其顶点都在一个球面上，则该球的表面积为 ( ) A 3 B 6 C 12 D 24 析 由于长方体的长、宽、高分别为 2a、 a、 a，则长方体的体对角线长为 a 2 R 等于长方体的体对角线， 2R 6a. S 球 4 6 答案 B 3 (2011 北京 )某四面体的三视图如图所 示，该四面体四个面的面积中最大的是 ( ) A 8 B 6 2 C 10 D 8 2 解析 由三视图可知，该几何体的四个面都是直角三角形，面积分别为 6,6 2， 8,10，所以 - 3 - 面积最大的是 10，故选择 C. 答案 C 4 (2011 湖南 )设 右图是某几何体的三视图，则该几何体的体积为 ( ) 12 18 C 9 42 D 36 18 解析 该几何体是由一个球与一个长方体组成的组合体，球的直径为 3，长方体的底面是边长为 3 的正方形，高为 2，故所求体积为 23 2 43 32 3 92 18. 答案 B 5若一个球的体积为 4 3 ，则它的表面积为 _ 解析 V 43 4 3 ， R 3， S 4 43 12. 答案 12 考向一 几何体的表面积 【例 1】 (2011 安徽 )一个空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为 ( ) A 48 B 32 8 17 - 4 - C 48 8 17 D 80 审题视点 由三视图还原几何体，把图中的数据转化为几何体的尺寸计算表面积 解析 换个视角 看问题，该几何体可以看成是底面为等腰梯形，高为 4 的直棱柱，且等腰梯形的两底分别为 2,4，高为 4，故腰长为 17，所以该几何体的表面积为 48 8 17. 答案 C 以三视图为载体考查几何体的表面积，关键是能够对给出的三视图进行恰当的分析，从三视图中发现几何体中各元素间的位置关系及数量关系 【训练 1】 若一 个底面是正三角形的三棱柱的正视图如图所示，则其侧面 积等于 ( ) A. 3 B 2 C 2 3 D 6 解析 由正视图可知此三棱柱是一个底面边长为 2 的正三角形、侧棱为 1 的直三棱柱，则此三棱柱的侧面积为 213 6. 答案 D 考向二 几何体的体积 【例 2】 (2011 广东 )如图，某几何体的正视图 (主视图 )是平行四边形，侧视图 (左视图 )和俯视图都是矩形，则该几何体的体积为 ( ) A 18 3 B 12 3 C 9 3 D 6 3 审题视点 根据三视图还原几何体的形状，根据图中的数据和几何体的体积公式求解 解析 该几何体为一个斜棱柱，其直观图如图所示，由题知该几何体的底面是边长为 3 的正方形，高为 3，故 V 33 3 9 3. - 5 - 答案 C 以三视图为载体考查几何体的体积，解题的关 键是根据三视图想象原几何体的形状构成，并从三视图中发现几何体中各元素间的位置关系及数量关系，然后在直观图中求解 【训练 2】 (2012 东莞模拟 )某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积等于 ( ) 8 D 12 解析 由三视图可知，该几何体是底面半径为 2，高为 2 的圆柱和半径为 1 的球的组合体，则该几 何体的体积为 2 22 43 283 . 答案 A 考向三 几何体的展开与折叠 【例 3】 (2012 广州模拟 )如图 1，在直角梯形 ， 90 ， 4， 2，将 起，使平面 平面 到几何体 图 2 所示 (1)求证： 平面 (2)求几何体 体积 审题视点 (1)利用线面垂直的判定定理，证明 直于平面 的两条相交线即可； (2)利用体积公式及等体积法证明 (1)证明 在图中，可得 2 2， 从而 取 中点 O，连接 则 平面 平面 面 平面 平面 而 平面 又 O， 平面 (2)解 由 (1)可知， 三棱锥 高， 2 2， S 2， - 6 - 13S 322 24 23 ， 由等体积性可知，几何体 体积为 4 23 . (1)有关折叠问题，一定要分清折叠前后两图形 (折前的平面图形和折叠后的空间图形 )各元素间的位置和数量关系，哪些变，哪些不变 (2)研究几何体表面上两点的最短距离问题，常选择恰当的母线或棱展开，转化为 平面上两点间的最短距离问题 【训练 3】 已知 在直三棱柱 面为直角三角形， 90 ， 6， 2， P 是 图所示，则 _ 解析 1平面 其铺平后转化为平面上的问题解决计算 40， 2，又 6，故 90 的直角三角形铺平平 面 面 图所示 在 ，由余弦定理得 62 2 2 26 235 50 5 2，故 (5 2. 答案 5 2 难点突破 17 空间几何体的表面积和体积的求解 空间几何体的表面积和 体积计算是高考的一个常见考点，解决这类问题，首先要熟练掌握各类空间几何体的表面积和体积计算公式，其次要掌握一定的技巧，如把不规则几何体分割成几个规则几何体的技巧、把一个空间几何体纳入一个更大的几何体中的补形技巧、对旋转体作其轴截面的技巧、通过方程或方程组求解的技巧等，这是化解空间几何体面积和体积计算难点的关键 【示例 1】 (2010 安徽 )一个几何体的三视图如图，该几何体的表面积为 - 7 - ( ) A 280 B 292 C 360 D 372 【示例 2】 (2011 全国新课标 )已知两个圆锥有公共底面，且两圆锥的顶点和底面的圆周都在同一个球面上若圆锥底面面积是这个球面面积的 316，则这两个圆锥中，体积较小者的高与体积较大者的高的比值为 _ - 8 - - 1 - 第 3 讲 空间点、直线、平面之间的位置关系 【 2013 年高考会这样考】 1本讲以考查点、线、面的位置关系为主，同时考查逻辑推理能力与空间想象能力 2有时考查应用公理、定理证明点共线、线共点、线共面的问题 3能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间图形的位置关系的简单命题 【复习指导】 1掌握平面的基本性质，在充分理解本讲公理、推论的基础上结合图形理解点、线、面的位置关系及等角定理 2异面直线的判定与证明是本部分的难点，定义的理解与运用是关键 基础梳理 1平面的基本性质 (1)公理 1：如果一条直线上的 两点 在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内 (2)公理 2：经过 不在同一条直线上 的三点，有且只有一个平面 (3)公理 3：如果两个平面 (不重合的两个平面 )有 一个 公共点，那么它们还有其他公共点，且所有这些公共点的集合是一条过这个公共点的直线 推论 1：经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面 推论 2：经过两条相交直线，有且只有一个平面 推论 3：经过两条平行直线，有且只有一个平面 2直线与直线的位置关系 (1)位置关系的分类 共面直线 平行相交异面直线：不同在 任何 一个平面内(2)异面直线所成的角 定义：设 a， b 是两条异面直线，经过空间任一点 O 作直线 a a， b b，把 a 与 b所成的 锐角或直角 叫做异面直线 a， b 所成的角 (或夹角 ) 范围： 0， 2 . 3直线与平面的位置关系有 平行 、 相交 、 在平面内 三种 情况 4平面与平面的位置关系有 平行 、 相交 两种情况 5平行公理：平行于同 一条直线 的两条直线互相平行 6等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角 相等或互补 - 2 - 两种方法 异面直线的判定方法： (1)判定定理：平面外一点 A 与平面内一点 B 的连线和平面内不经过该点的直线是异面直线 (2)反证法：证明两线不可能平行、相交或证明两线不可能共面，从而可得两线异面 三个作用 (1)公理 1 的作用： 检验平面； 判断直线在平面内； 由直 线在平面内判断直线上的点在平面内 (2)公理 2 的作用：公理 2 及其推论给出了确定一个平面或判断 “ 直线共面 ” 的方法 (3)公理 3 的作用： 判定两平面相交； 作两平面相交的交线； 证明多点共线 双基自测 1 (人教 A 版教材习题改编 )下列命题是真命题的是 ( ) A空间中不同三点确定一个平面 B空间中两两相交的三条直线确定一个平面 C一条直线和一个点能确定一个平面 D梯形一定是平面图形 解析 空间中不共线的三点确定一个平面， A 错；空间中两两相交不交于一点的三条直线确定一个平面， B 错；经过直线和直线外 一点确定一个平面， C 错；故 D 正确 答案 D 2已知 a， b 是异面直线，直线 c 平行于直线 a，那么 c 与 b( ) A一定是异面直线 B一定是相交直线 C不可能是平行直线 D不可能是相交直线 解析 由已知直线 c 与 b 可能为异面直线也可能为相交直线，但不可能为平行直线，若 b c，则 a b，与已知 a、 b 为异面直线相矛盾 . 答案 C 3 (2011 浙江 )下列命题中错误的是 ( ) A如果平面 平面 ，那么平面 内一定存在直线平行于平面 B如果平面 不垂直于平面 ，那么平面 内一定不存在直 线垂直于平面 C如果平面 平面 ，平面 平面 ， l，那么 l 平面 D如果平面 平面 ，那么平面 内所有直线都垂直于平面 解析 对于 D, 若平面 平面 ，则平面 内的直线可能不垂直于平面 ，甚至可能平行于平面 ，其余选项均是正确的 答案 D 4 (2011 武汉月考 )如果两条异面直线称为 “ 一对 ” ，那么在正方体的十二条棱中共有异面 - 3 - 直线 ( ) A 12 对 B 24 对 C 36 对 D 48 对 解析 如图所示，与 面的直线有 为各棱具有相同的位置且正方体共有 12 条棱，排除两棱的重复计算，共有异面直线 1242 24(对 ) 答案 B 5两个不重合的平面可以把空间分成 _部分 答案 3 或 4 考向一 平面的基本性质 【例 1】 正方体 P、 Q、 R 分别是 么，正方体的过 P、Q、 R 的截面图形是 ( ) A三角 形 B四边形 C五边形 D六边形 审题视点 过正方体棱上的点 P、 Q、 R 的截面要和正方体的每个面有交线 解析 如图所示，作 ，连接 延长与 于 M，连接 ，连接 E 为截面的部分外形 同理连 延长交 N，连接 ，连接 截面为六边形 答案 D 画几何体的截 面，关键是画截面与几何体各面的交线，此交线只需两个公共点即可确定作图时充分利用几何体本身提供的面面平行等条件，可以更快的确定交线的位置 【训练 1】 下列如图所示是正方体和正四面体， P、 Q、 R、 S 分别是所在棱的中点，则四个点 - 4 - 共面的图形是 _ 解析 在 图中，可证 Q 点所在棱与面 行，因此， P、 Q、 R、 S 四点不共面可证 中四边形梯形； 中可证四边形 平行 四边形； 中如图所示取 中点为 M、 平面图形，且 正六边形 答案 考向二 异面直线 【例 2】 如图所示， 正方体 M、 N 分别是 ： (1) 否是异面直线？说明理由； (2) 明理由 审题视点 第 (1)问，连结 面；第 (2)问可采用反证法 解 (1)不是异面直线理由如下： 连接 M、 N 分别是 - 5 - A、 M、 N、 C 在同一平面内，故 是异面直线 (2)是异面直线证明如下： B、 C、 假设 则存在平面 ，使 面 ， 面 ， B、 C、 ， 与 假设不成立，即 证明两直线为异面直线的方法 (1)定义法 (不易操作 ) (2)反证法：先假设两条直线不是异面直线，即两直线平行或相交，由假设的条件出发，经过严密的推理，导出矛盾，从而否定假设，肯定两条直线异面 【训练 2】 在下图中， G、 H、 M、 N 分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点，则表示直线 N 是异面
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