2013届高考数学总复习导学 第六篇 理 （打包6套）新人教A版
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2013届高考数学总复习导学 第六篇 理 （打包6套）新人教A版,高考,数学,复习,温习,第六,打包,新人
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- 1 - 专题三 高考数列命题动向 高考命题分析 数列是高中数学的重要内容之一，是衔接初等数学与高等数学的桥梁，在高考中的地位举足轻重，近年来的新课标高考都把数列作为核心内容来加以考查，并且创意不断，常考常新了解高考中数列问题的命题规律，掌握高考中关于数列问题的热点题型的解法，针对性地开展数列知识的复习和训练，对于在高考中取得理想的成绩具有十分重要的意义 高考命题特点 在新课标高考中，数列内容的主要考点包括三个方面：一是数列的有关概念；二是等差数列的定义、通项公式与前 n 项和公式；三是等比数列的定义、通项公式与前 n 项和公式其中，数列的有关概念是了解级要求，等差数列和等比数列一般是掌握级要求根据考试说明中 “ 重视数学基本能力和综合能力的考查 ” 的精神，高考对数列的考查呈现出综合性强、立意新、难度大的特点，注重在知识交汇点处设计试题，如常常与函数、方程、不等式、三角变换、解析几何、导数、推理与证明等内容有机地结合在一起，既重视对数列的基础知识的考查，又突出对数学思想方法和数学能力的考查 高考动向透视 等差、等比数列的基本运算 等差、等比数列是一个重要的数列类型，高考命题主要考查等差、等比数列的概念、基本量的运算及 由概念推导出的一些重要性质，灵活运用这些性质解题，可达到避繁就简的目的解决等差、等比数列的问题时，通常考虑两类方法： 基本量法，即运用条件转化成关于 组 )； 巧妙运用等差、等比数列的性质 【示例 1】 (2011 江西 )设 等差数列，公差 d 2， n 项和若 ( ) A 18 B 20 C 22 D 24 解析 由 0， (1 11)d 0 ( 10)( 2) . 答案 B 本小题主要考查等差数列的通项、性质、前 n 项和以及数列的通项和前 n 项和的关系，解题的突破口是由 0. 【训练】 (2011 天津 )已知 等差数列，其公差为 2，且 前 n 项和， n N*，则 ) A 110 B 90 C 90 D 110 解析 因为 以 因为公差为 2，所以 (12)2 (4)(16)，解得 20，通项公式为 20 (n 1)( 2) 22 10 5(20 2) 110，故选 D. - 2 - 答案 D 等差、等比数列的判定 等差、等比数列的判定通常作为解答题的第 1 问来考查，一般用下面的基本方法来判定： 利用定义： 1 数，或 1数； 利用中项的性质： 21 1(n2) 或 11(n2) 【示例 2】 (2011 银川模拟 )已知数列 足 1， 3， 2 31 2an(n N*) (1)证明：数列 1 等比数列； (2)求数列 通项公式 (1)证明 2 31 2 2 1 2(1 1， 3， a n 2 11 2(n N*) 1 以 2 为首项， 2 为公比的等比数列 (2)解 由 (1)得 1 2n(n N*)， (1) (1 2) ( 2n 1 2n 2 2 1 2n 1(n N*) 本题主要考查等比数列的判定及数列求和，同时考查推理论证能力及转化化归能力 有关数列求和的考查 数列的求和是高考重点考查的内容，也是考纲明确提出的知识点，年年在考，年年有变，变的是试题的外壳，即在题设的条件上有变革，有创新，但在变中有不变性，即问题的解答常用的 方法可以归纳为几种因此，考生有效地化归问题是正确解题的前提，合理地构建方法是成功解题的关键，正确的处理过程是制胜的法宝，这部分内容在高考中既有以选择题、填空题形式的简单考查，也有以解答题重点考查的情况出现 数列求和主要是分析通项，然后根据通项选择相应的求和方法 【示例 3】 (2011 新课标全国 )等比数列 各项均为正数，且 231， 9(1)求数列 通项公式； (2)设 数列 1n 项和 解 (1)设数列 公比为 q.由 99以 q 0，故 q 13. 由 231， 得 231， 所以 13. 故数列 通项公式为 13n. (2) - 3 - (1 2 n) n n2 . 故 1 2n n 2 1n 1n 1 . 1 1 2 1 12 1213 1n 1n 1 21. 所以数列 1n 项和为 21. 本题主要考查等比数列的通项公式、数列求和及对数运算考查灵活运用基本知识解决问题的能力、运算求解能力和创新思维能力对于通项公式，可以利用基本量求出首项和公比；对于数列求和，可通过对数运算求出 后利用裂项求和 有关数列与不等式的综合考查 数列与不等式的综合问题是近年来的高考热门问题，与不等式相关的大多是数列的前 n 项和问题，对于这种问题，在解答时需要利用化归的思想将问题转化为我们较熟悉的问题来解决，要掌握常见的解决不等式的方法，以便更好地解决问题主要考查考生的推理论证能力和分析、 解决问题的能力、以及转化化归的思想和数学素养 【示例 4】 (2011 浙江 )已知公差不为 0 的等差数列 首项 a(a R)，且 111 (1)求数列 通项公式； (2)对 n N*，试比较 111 1 解 (1)设等差数列 公差为 d，由题意 可知 11 (d)2 a1(3d)，从而因为 d0 ，所以 d (2)记 11 1为 2 所以 1a 12 122 12n 1a1211212 1a 1 12 n . - 4 - 从而，当 a 0 时， 1 a 0 时， 1本题主要考查等差、等比数列的概念以及通项公式、等比数列的求和等基础知识，同时考查运算求解能力及推理论证能力 【训练】 已知数列 各项均为正数， n 项和，对于任意的 n N*满足关系式 233. (1)求数列 通项公式； (2)设数列 通项公式是 11，前 n 项和为 证：对于任意的正数 n，总有 1. (1)解 由已知得 233，21 31 3 (n2) 故 2(1) 2331，即 31(n2) 故数列 等比数列，且公比 q 3. 又当 n 1 时， 233， 3， 3n. (2)证明 1n n 1n 1n 1. 1 12 12 13 1n 1n 1 1 1n 1 1. 考查数列的综合问题 以等差数列、等比数列为载体，考查函数与方程、等价转化和分类讨论等数学思想方法，是新课标高考数列题的一个重要特点，因试题较为综合，故难度一般较大 【示例 5】 (2011 天 津 )已知数列 足 1 1 ( 2)n 1， n 12 ， n N*，且 2. (1)求 (2)设 1 1， n N*，证明 等比数列； (3)设 前 n 项和，证明 11 n 13(n N*) (1)解 由 3 n 12 ， n N*，可得 2， ， 又 11 ( 2)n 1， - 5 - 当 n 1 时， 2 1，由 2，可得 32； 当 n 2 时， 25，可得 8. (2)证明 对任意 n N*， 1 2 22n 1 1， 21 22n 1. ，得 1 1 32 2n 1， 即 3 22n 1，于是 14. 所以 等比数列 (3)证明 2，由 (2)知，当 k N*且 k2 时， 1 ( ( ( (1 3) 2 3(2 23 25 22k 3) 2 3 4k 11 4 22k 1， 故对任意 k N*， 1 22k 得 22k 1 2 22k 1 1， 所以 12 22k 1， k N*. 因此， ( ( (1 于是， 1 k 12 22k 1. 故 11 k 12 22k 122k 1 22k 1 k 1 221 114kk . 所以，对任意 n N*. 11 2 4 11 1 14112 1 142242 2 1 14nn n 14112 142242 2 14nn n 14112 n13. 本小题主要考查等比数列的定义、数列求和等基础知识，考查运算能力、推理论证能 力、综合分析能力和解决问题的能力及分类讨论的思想方法，难度较大 - 1 - 第 1 讲 数列的概念与简单表示法 【 2013 年高考会这样考】 1以数列的前几项为背景，考查 “ 归纳 推理 ” 思想 2考查已知数列的通项公式或递推关系，求数列的某项 3考查由数列的递推关系式求数列的通项公式，已知 【复习指导】 1本讲复习主要以数列的概念、通项公式的求法为主 2对于归纳通项公式的题目，归纳出通项后要进行验证 3熟练掌握求解数列通项公式的基本方法，尤其是已知递推关系求通项这种基本的方法，另外注意累加法、累积法的灵活应用 基础梳理 1数列的定义 按照 一定顺序 排列着的一列数称为数列数列中的每一个数叫做这个数列的项 2数列的分类 法 数列有三种表示法，它们分别是 列表法 、 图象法 和 解析法 4数列的通项公式 如果数列 第 n 项 n 之间的函数关系可以用一个式子 f(n)来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式 5 分类原则 类型 满足条件 按项数分类 有穷数列 项数 有限 无穷数列 项数 无限 按项与项间的大小关系分类 递增数列 1 中 n N 递减数列 1 数列 1 其他标准分类 有界数列 存在正数 M，使 | M 摆动数列 1， 1,1， 1， - 2 - 已知 n 1，1， n2. 在数列 ，若 1，1. 若 1，1. 一个联系 数列是一种特殊的函数，即数列是一个定义在非零自然数集或其子集上的函数，当自变量依次从小到大取值时所对应的一列函数值，就是数列因此，在研究函数问题时既要注意函数方法的普遍性，又要考虑数列方法的特殊性 两个区别 (1)若组成两个数列的数相同而排列次序不同，那么它们就是不同的两个数列，这有别于集合中元素的无序性 (2)数列中的数可以重复出现， 而集合中的元素不能重复出现 三种方法 由递推式求通项 (1)1 f(n)型，采用叠加法； (2)1f(n)型，采用叠乘法； (3)1 q(p0,1 ， q0) 型，采用待定系数法转化为等比数列解决 双基自测 1 (人教 A 版教材习题改编 )已知数列 前 4 项分别为 2,0,2,0，则下列各式不可以作为数列 通项公式的一项是 ( ) A 1 ( 1)n 1 B 2C 1 D 2， 解析 根据数列的前 4 项验证 答案 B 2在数列 ， 1， 21 1，则 ) A 30 B 31 C 32 D 33 解析 21 2(21) 1 222 1 2322 2 1 2423 22 2 1 31. 答案 B 3已知 1 3 0，则数列 ( ) A递增数列 B递减数列 - 3 - C常数列 D不确定 解析 1 3 0， 1 3 0， 1 故数列 递增数列 答案 A 4设数列 前 n 项和 ) A 15 B 16 C 49 D 64 解析 由于 1. 当 n2 时， 1 (n 1)2 2n 1，又 1 适合上式 2n 1， 28 1 15. 答案 A 5 (2012 泰州月考 )数列 1,1,2,3,5,8,13， x,34,55， 中 x 的值为 _ 解析 观察数列中项的规律，易看出数列从第三项开始每一项都是其前两项的和 答案 21 考向一 由数列的前几项求数列的通项 【例 1】 写出下面各数列的一个通项公式： (1)3,5,7,9， ； (2)12， 34， 78， 1516， 3132， ； (3) 1， 32， 13， 34， 15， 36， ； (4)3,33,333,3 333， . 审题视点 先观察各项的特点，然后归纳出其通项公式，要注意项与项之间的关系，项与前后项之间的关系 解 (1)各项减去 1 后为正偶数，所以 2n 1. (2)每一项的分子比分母少 1，而分母组成数列 21,22,23， 24， ，所以 2n 12n . (3)奇数项为负，偶数项为正，故通项 公式中含因子 ( 1)n；各项绝对值的分母组成数列1,2,3,4， ；而各项绝对值的分子组成的数列中，奇数项为 1，偶数项为 3，即奇数项为 2 1，偶数项为 2 1，所以 ( 1)n 2 也可写为 1n， n， - 4 - (4)将数列各项改写为： 93， 993 ， 9993 ， 9 9993 ， ， 分母都是 3，而分子分别是 10 1,102 1,103 1， 104 1， ，所以 13(10n 1) 根据数列的前几项求通项公式时，需仔细观察分析，抓住以下几方面的特征： (1)分式中分子、分母的特征； (2)相邻项的变化特征； (3)拆项后的特征：把数列的项分成变化的部分和不变的部分； (4)各项符号特征若关系不明显时，应将部分项作适当的变形，统一成相同的形式，让规律凸现出来 【训练 1】 已知数列 前四项 分别为 1,0,1,0，给出下列各式： 1 1 n 12 (n 1)(n 2)其中可以作为数列 通项公式的有 _(填序号 ) 答案 考向二 由 例 2】 已知数列 前 n 项和为 3n 1，则它的通项公式为 _. 审题视点 利用 1(n2) 求解 解析 当 n2 时， 1 3n 1 (3n 1 1) 23 n 1；当 n 1 时， 2 也满足 23 n 1. 故数列 通项公式为 23 n 1. 答案 23 n 1 数列的通项 n 项和 n 1，1， n2. 当 n 1 时， n 1，则 n 1 的情况可并入 n2 时的通项 n 1 时， n 1，则用分段函数的形式表示 【训练 2】 已知数列 前 n 项和 32n 1，则其通项公式为 _ 解析 当 n 1 时， 31 2 21 1 2； 当 n2 时， 1 32n 1 3(n 1)2 2(n 1) 1 6n 5，显然当 n 1 时，不满足上式 故数列的通项公式为 2， n 1，6n 5， n2. 答案 2， n 16n 5， n2 - 5 - 考向三 由数列的递推公式求通项 【例 3】 根据下列条件，确定数列 通项公式 (1)1， 1 32； (2)1， n 1n 1(n2) ； (3)已知数列 足 1 3n 2，且 2，求 审题视点 (1)可用构造等比数列法求解 (2)可转化后利用累乘法求解 (3)可利用累加法求解 解 (1) 1 32， 1 1 3(1)， 1 11 3， 数列 1为等比数列，公比 q 3， 又 1 2， 1 23 n 1， 23 n 1 1. (2) n 1n 1(n2) ， 1 n 2n 12， ， n 1)个式子相乘得 an12 23 n 1n 1n. (3) 1 3n 2， 1 3n 1(n2) ， (1) (1 2) ( n n2 (n2) 当 n 1 时， 12(31 1) 2 符合公式， 32已知数列的递推关系，求数列的通项时，通常用累加、累乘、构造法求解当出现1 m 时，构造等差数列；当出现 1 y 时，构造等比数列；当出现 1 f(n)时，用累加法求解；当出现 1 f(n)时，用累乘法求解 【训练 3】 根据下列各个数列 首项和基本关系式，求其通项公式 (1)1， 1 3n 1(n2) ； (2)2， 1 1 1n . 解 (1) 1 3n 1(n2) ， 1 2 3n 2， 2 3 3n 3， 31， 以上 (n 1)个式子相加得 31 32 3n 1 1 3 32 3n 1 3n 12 . - 6 - (2) 1 1 1n ， 1 1 1n 1n ， 1 ln 1， 1 2 1n 2， 以上 (n 1)个式相加得， ln 1 1n 2 ln n又 2， ln n 2. 考向四 数列性质 的应用 【例 4】 已知数列 通项 (n 1) 1011 n(n N )，试问该数列 没有最大项？若有，求最大项的项数；若没有，说明理由 审题视点 作差： 1 分情况讨论 解 1 (n 2) 1011 n 1 (n 1) 1011 n 1011 当 n 9 时， 1 0，即 1 当 n 9 时， 1 0，即 1 当 n 9 时， 1 0，即 1 故 ，所以数列中有最大项为第 9,10 项 (1)数列可以看作是一类特殊的函数，因此要用函数的知识，函数的思想方法来 解决 (2)数列的单调性是高考常考内容之一，有关数列最大项、最小项、数列有界性问题均可借助数列的单调性来解决，判断单调性时常用 作差法， 作商法， 结合函数图象等方法 【训练 4】 已知数列 前 n 项和 24n(n N*) (1)求 通项公式； (2)当 n 为何值时， 大值是多少？ 解 (1)n 1 时， 23. n2 时， 1 24n (n 1)2 24(n 1) 2n 23 符合 2n 25， 2n 25(n N*) (2)法一 24n， n 12 时， n 144. - 7 - 法二 2n 25， 2n 25 0，有 n 252. 0， 0， 故 大值为 144. 难点突破 13 数列中最值问题的求解 从近几年新课标高考可以看出，对求数列中的最大项是高考的热点，一般难度较大解决这类问题时，要利用函数的单调性研究数列的最值，但要注意数列的单调性与函数的单调 性有所不同，其自变量的取值是不连续的，只能取正整数，所以在求数列中的最大 (小 )项时，应注意数列中的项可以是相同的，故不应漏掉等号 【示例 1】 (2010 辽宁 )已知数列 足 33， 1 2n，则 _ 【示例 2】 (2011 浙江 )若数列 n n 23 n 中的最大项是第 k 项，则 k _. - 8 - - 1 - 第 2 讲 等差数列及其前 n 项和 【 2013 年高考会这样考】 1考查运用基本量法求解等差数列的基本量问题 2考查等差数列的性质、前 n 项和公式及综合应用 【复习指导】 1掌握等差数列的定义与性质、通项公式、前 n 项和公式等 2掌握等差数列的判断方法，等差数列求和的方法 基础梳理 1等差数列的定义 如果一个数列从第 2 项起，每一项与它的前一项的差等于 同一个常数 ，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的 公差 ，通常用字母 d 表示 2 等差数列的通项公式 若等差数列 首项是 差是 d，则其通项公式为 (n 1)d. 3等差中项 如果 A a 那么 A 叫做 a 与 b 的等差中项 4等差数列的常用性质 (1)通项公式的推广： (n m)d(n， m N*) (2)若 等差数列，且 m n p q， 则 aq(m， n， p， q N*) (3)若 等差数列，公差为 d，则 m， 2m， ( k， m N*)是公差为 等差数列 (4)数列 也是等差数列 (5)1 (2n 1)(6)若 n 为偶数，则 S 偶 S 奇 若 n 为奇数，则 S 奇 S 偶 a 中 (中间项 ) 5等差数列的前 n 项和公式 若已知首项 n 或等差数列 首项是 差是 d，则其前n 项和公式为 n n2 d. - 2 - 6等差数列的前 n 项和公式与函数的关系 a1d2 n，数列 等差数列的充要条件是 ， B 为常数 ) 7最值问题 在等差数列 ， 0， d 0，则 大值 ，若 0， d 0，则 小值 一个推导 利用倒序相加法推导等差数列的前 n 项和公式： 1 得： n 两 个技巧 已知三个或四个数组成等差数列的一类问题，要善于设元 (1)若奇数个数成等差数列且和为定值时，可设为 ， a 2d， a d， a， a d， a 2d， . (2)若偶数个数成等差数列且和为定值时，可设为 ， a 3d， a d， a d， a 3d， ，其余各项再依据等差数列的定义进行对称设元 四种方法 等差数列的判断方法 (1)定义法：对于 n2 的任意自然数，验证 1为同一常数； (2)等差中项法：验证 21 2(n3 ， n N*)都成立； (3)通项公式法：验证 q； (4)前 n 项和公式法：验证 注 后两种方法只能用来判断是否为等差数列，而不能用来证明等差数列 双基自测 1 (人教 A 版教材习题改编 )已知 等差数列， 12，则 ) A 4 B 5 C 6 D 7 解析 2 6. 答案 C 2设数列 等差数列，其前 n 项和为 2 且 30，则 ( ) A 31 B 32 C 33 D 34 - 3 - 解析 由已知可得 5d 2，510d 30， 解得 263 ，d 43. 8872 d 32. 答案 B 3 (2011 江西 )已知数列 前 n 项和 m，且 ( ) A 1 B 9 C 10 D 55 解析 由 m，得 1. 答案 A 4 (2012 杭州质检 )设 前 n 项和，已知 3， 11，则 ) A 13 B 35 C 49 D 63 解析 3 11 14， 49. 答案 C 5在等差数列 ， 7， 6，则 _. 解析 设公差为 d. 则 3d 6， 3d 7 6 13. 答案 13 考向一 等差数列基本量的计算 【例 1】 (2011 福建 )在等差数列 ， 1， 3. (1)求数列 通项公式； (2)若数列 前 k 项和 35，求 k 的值 审题视点 第 (1)问，求公差 d； 第 (2)问，由 (1)求 方程可求 k. 解 (1)设等差数列 公差为 d，则 (n 1)d. 由 1， 3 可得 1 2d 3. 解得 d 1 (n 1)( 2) 3 2n. (2)由 (1)可知 3 2n. 所以 n1 2 2n - 4 - 进而由 35 可得 2k 35. 即 2k 35 0，解得 k 7 或 k 5. 又 k N*，故 k 7 为所求 等差数列的通项公式及前 n 项和公式中，共涉及五个量，知三可求二，如果已知两个条件，就可以列出方程组解之如果利用等差数列的性质、几何意义去考虑也可以体现了用方程思想解决问题的方法 【 训练 1】 (2011 湖北 )九章算术 “ 竹九节 ” 问题：现有一根 9 节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面 4 节的容积共 3 升，下面 3 节的容积共 4 升，则第 5 节的容积为_升 解析 设竹子从上到下的容积依次为 ， 题意可得 3， 4，设等差数列 公差为 d，则有 46d 3 ， 321d 4 ，由 可得 d 766，1322，所以 4d 1322 4 766 6766. 答案 6766 考向二 等差数列的判定或证明 【例 2】 已知数列 前 n 项和为 21 0(n2) ， 12. (1)求证： 1 (2)求 审题视点 (1)化简所给式子，然后利用定义证明 (2)根据 (1)证明 1(n2) ，又 21， 1 21， ， 111 2(n2) 由等差数列的定义知 112 为首项，以 2 为公差的等差数列 (2)解 由 (1)知 11(n 1)d 2 (n 1)2 2n， 12n.当 n2 时，有 21 12n n ， 又 12，不适合上式， 12， n 1， 12n n ， n2. - 5 - 等差数列主要的判定方法是定义法和等差中项法，而对于通项公式法和前 n 项和公式法主要适合在选择题中简单判断 【训练 2】 已知数列 前 n 项和 n 的二次函数，且 2， 2， 6. (1)求 (2)证明：数列 等差数列 (1)解 设 C(A0) ，则 2 A B C，0 4A 2B C，6 9A 3B C，解得： A 2， B 4， C 0. 24n. (2)证明 当 n 1 时， 2. 当 n2 时， 1 24n 2(n 1)2 4(n 1) 4n 6. 4n 6(n N*) 当 n 1 时符合上式，故 4n 6， 1 4， 数列 等差数列 考向三 等差数列前 n 项和的最值 【例 3】 设等差数列 足 5， 9. (1)求 通项公式； (2)求 前 n 项和 n 的值 审题视点 第 (1)问：列方程组求 d； 第 (2)问：由 (1)写出前 n 项和公式，利用函数思想解决 解 (1)由 (n 1)d 及 5， 9 得 2d 5，9d 9， 可解得 9，d 2. 数列 通项公式为 11 2n. (2)由 (1)知， n n2 d 10n 因为 (n 5)2 25，所以当 n 5 时， 求等差数列前 n 项和的最值，常用的方法： (1)利用等差数列的单调性或性质，求出其正负转折项，便可求得和的最值 (2)利用等差数列的前 n 项和 、 B 为常数 )为二次函数，根据二次函数的性质求最值 - 6 - 【训练 3】 在等差数列 ，已知 20，前 n 项和为 当 n 取何值时，求出它的最大值 解 法一 20， 1020 1092 d 1520 15142 d， d 53. 20 (n 1) 53 53n 653. n12 时， 0， n14 时， 0. 当 n 12 或 13 时， 最大值为 1220 12112 53 130. 法二 同法一求得 d 53. 20n n n2 53 561256 n 56 n 252 2 3 12524 . n N*， 当 n 12 或 13 时， 且最大值为 130. 法三 同法一得 d 53. 又由 0. 50，即 0. 当 n 12 或 13 时， 且最大值为 130. 考向四 等差数列性质的应用 【例 4】 设等差数列的前 n 项和为 知前 6 项和为 36， 324，最后 6 项的和为 180(n 6)，求数列的项数 n. 审题视点 在等差数列 ，若 m n p q，则 aq(m， n， p， q N*)用此性质可优化解题过程 解 由题意可知 36 1 2 5 180 - 7 - 得 ( (1) (5) 6( 216. n n 324， 18n 324. n 18. 本题的解题关键是将性质 m n p q前 n 项和公式 Snn 合在一起，采用整体思想，简化解题过程 【训练 4】 (1)设数列 首项 7，且满足 1 2(n N )，则 _. (2)等差数列 ， 24， 78，则此数列前 20 项和等于 _ 解析 (1) 1 2， 等差数列 7 (n 1)2 ， 7 162 25， 7 2 153. (2)由已知可得 ( ( 24 78( ( ( 541820 182 20 180. 答案 (1)153 (2)180 阅卷报告 6 忽视 n2 而致误 【问题诊断】 在数列问题中，数列的通项 其前 n 项和 间存在下列关系： b(aal1 n ， ,1 n 这个关系对任意数列都是成立的，但要注意的是这个关系式是分段的，在 n 1 和 n2 时 这个关系式具有完全不同的表现形式，这也是解题中经常出错的一个地方，在使用这个关系式时要牢牢记住其 “ 分段 ” 的特点 . 【防范措施】 由 1求出 定不要忘记验证 n 1 是否适合 【示例】 (2009 安徽改编 )已知数列 前 n 项和 22n，数列 前 n 项和 2 通项公式 错因 求 n 1. 实录 1， 22n 2(n 1)2 2(n 1) 4n. 又 2 1 2 2 1， - 8 - 即 121， 12 n 1 21 n. 正解 当 n2 时， 1 22n 2(n 1)2 2(n 1) 4n， 又 4，故 4n， 当 n2 时，由 1 2 2 1， 得 121， 又 2 1， 12 n 1 21 n. 【试一试】 已知在正整数数列 ，前 n 项和 18(2)2. (1)求证： 等差数列 (2)若 12前 n 项和的最小值 尝试解答 (1)证明：当 n 1 时， 18(2)2， (2)2 0， 2. 当 n2 时， 1 18(2)2 18(1 2)2， 1 4， 等差数列 (2)由 (1)知： (n 1)4 4n 2， 由 1230 2n 310 得 n 312 . 前 15 项之和最小，且最小值为 225. - 1 - 第 3 讲 等比数列及其前 n 项和 【 2013 年高考会这样考】 1以等比数列的定义及等比中项为背景，考查等比数列的判定 2考查通项公式、前 n 项和公式以及性质的应用 【复习指导】 本讲复习时，紧扣等比数列的定义，掌握其通项公式和前 n 项和公式，求和时要注意验证公比 q 是否为 1；对等比数列的性质应用要灵活，运算中要注意方程思想的应用 基础梳理 1等比数列的定义 如果一个数列从第 2 项起，每一项与它的前一项的比等于 同一个 常数，那么这个数列叫做等比数列， 这个常数叫做等比数列的 公比 ，通常用字母 q 表示 2等比数列的通项公式 设等比数列 首项为 比为 q，则它的通项 1. 3等比中项 若 a b() ，那么 G 叫做 a 与 b 的等比中项 4等比数列的常用性质 (1)通项公式的推广： m， (n， m N ) (2)若 等比数列，且 k l m n(k， l， m， n N )，则 (3)若 项数相同 )是等比数列，则 a n( 0) ， 1 (4)公比不为 1 的等比数列 前 n 项和为 公比为 5等比数列的前 n 项和公式 等比数列 公比为 q(q0) ，其前 n 项和为 当 q 1 时， 当 q1 时， q q . 一个推导 利用错位相减法推导等比数列的前 n 项和： 1， - 2 - 同乘 q 得： 两式相减得 (1 q) q (q1) 两个防范 (1)由 1 q0 并不能立即断言 等比数列，还要验证 . (2)在运用等比数列的前 n 项和公式 时，必须注意对 q 1 与 q1 分类讨论，防止因忽略 q 1这一特殊情形导致解题失误 三种方法 等比数列的判断方法有： (1)定义法：若 1q(q 为非零常数 )或 1 q(q 为非零常数且 n2 且 n N*)，则 等比数列 (2)中项公式法：在数列 ， 且 1 2(n N*)，则数列 等比数列 (3)通项公式法：若数列通项公式可写成 c qn(c， q 均是不为 0 的常数， n N*)，则 等比数列 注：前两种方法也可用来证明一个数列为等比数列 双基自测 1 (人教 A 版教材习题改编 )在等比数列 ，如果公比 q 1，那么等比数列 ( ) A递增数列 B递减数列 C常数列 D无法确定数列的增减性 解析 当 0,0 q 1，数列 递减数列， 当 q 0，数列 摆动数列 答案 D 2已知 等比数列， 2， 14，则公比 q 等于 ( ) A 12 B 2 C 2 析 由题意知： 18， q 12. 答案 D 3在等比数列 ， 4，则 ) A 4 B 8 C 16 D 32 解析 由等比数列的性质得： 16. 答案 C 4设 前 n 项和， 80，则 ( ) - 3 - A 11 B 8 C 5 D 11 解析 设等比数列的首项为 比为 0，所以 80. 8 0， q 2， q 1 1 51 4 11. 答案 A 5 (2011 广东 )等差数列 9项的和等于前 4项的和若 1， 0，则 k _. 解析 设 公差为 d，由 1，得 91 982 d 41 432 d，所以 d 16.又 0，所以 1 k 16 1 16 0，即 k 10. 答案 10 考向一 等比数列基本量的计算 【例 1】 (2011 全国 )设等比数列 前 n 项和为 知 6,630.求 n. 审题视点 列方程组求首项 d. 解 设 公比为 q，由题设得 6，630， 解得 3，q 2 或 2，q 3. 当 3， q 2 时， 32 n 1， 3(2 n 1)； 当 2， q 3 时， 23 n 1， 3n 1. 等比数列基本量的运算是等比数列中的一类基本问题，数列中有五个量 n， q， 知三求二 ” ，通过列方程 (组 )可迎刃而解 【训练 1】 等比数列 足： 11， 329 ，且公比 q (0,1) (1)求数列 通项公式； (2)若该数列前 n 项和 21，求 n 的值 解 (1) 329 ， 又 11， - 4 - 故 11x 329 0 的两根 ， 又 q (0,1) 323 ， 13， 132， q 12， 323 12 n 1 13 12 n 6. (2)由 (1)知 643 1 12n 21， 解得 n 6. 考向二 等比数列的判定或证明 【例 2】 (2012 长沙模拟 )已知数列 足 1， 2， 2 12 ， n N*. (1)令 1 明： 等比数列； (2)求 通项公式 审题视点 第 (1)问把 1 1换为 1 理可证；第 (2)问可用叠加法求 (1)证明 1. 当 n2 时， 1 1 12(1) 121， 以 1 为首项， 12为公比的等比数列 (2)解 由 (1)知 1 12 n 1， 当 n2 时， ( ( (1) 1 1 12 12 n 2 11 12 n 11 12 1 23 1 12 n 1 53 23 12 n 1. 当 n 1 时， 53 23 12 1 1 1 53 23 12 n 1(n N*) 证明一个数列为等比数列常用定义法与等比中项法，其他方法只用于选择、填空题中的判定；若证明某数列不是等比数列，则只要证明存在连续 三项不成等比数列即可 - 5 - 【训练 2】 (2011 四川 )设 d 为非零实数， 1n2 (n 1)1n 1 n N*) (1)写出 否为等比数列若是，给出证明；若不是，说明理由； (2)设 n N*)，求数列 前 n 项和 解 (1)由已知可得 d， d(1 d)， d(1 d)2. 当 n2 ， k1 时， 1n 1，因此 111n 1dn 1k 01d(d 1)n 1. 由此可见，当 d 1 时， 以 d 为首项， d 1 为公比的等比数列； 当 d 1 时， 1， 0(n2) ，此时 是等比数列 (2)由 (1)可知， d(d 1)n 1，从而 d 1)n 1 2(d 1) 3(d 1)2 (n 1)(d 1)n 2 n(d 1)n 1 当 d 1 时， 1. 当 d 1 时， 式两边同乘 d 1 得 (d 1)d 1) 2(d 1)2 (n 1)(d 1)n 1 n(d 1)n ， 式相减可得 (d 1) (d 1)2 (d 1)n 1 n(d 1)n dn 1d n dn . 化简即得 (d 1)n(1) 1. 综上， (d 1)n(1) 1. 考向三 等比数列的性质及应用 【例 3】 已知等比数列前 n 项的和为 2，其后 2n 项的和为 12，求再后面 3n 项的和 审题视点 利用等比数列的性质：依次 n 项的和成等比数列 解 2，其后 2n 项为 2 12， 14. 由等比数列的性
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