2013届高考数学总复习导学 第十二篇 理 （打包9套）新人教A版
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2013届高考数学总复习导学 第十二篇 理 （打包9套）新人教A版,高考,数学,复习,温习,第十二,打包,新人
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- 1 - 方法技巧 4 古典概型 【考情快递】 高考中常将等可能事件、互斥事件综合考查，常考选择题、填空题，难度中等 方法 1：列举法 解题步骤 将所有的基本事件一一列举出来求解 适用情况 适用于基本事件个数较少的问题 . 【例 1】 袋中有 6 个球，其中 4 个白球， 2 个红球，从袋中任意取出 2 个球，求下列事件的概率； (1)A：取出的 2 个球全是白球； (2)B：取出的 2 个球一个是白球，另一个是红球 解 设 4 个白球的编号为 1,2,3,4； 2 个红球的编号为 5,6. 从袋中的 6 个球中任取 2 个球的方法为 (1,2)， (1,3)， (1,4)， (1,5)， (1,6)， (2,3)， (2,4)，(2,5)， (2,6)， (3,4)， (3,5)， (3,6)， (4,5)， (4,6)， (5,6)，共 15 种情况 (1)从袋中的 6 个球中任取 2 个，所取的 2 个球全是白球的总数，共有 6 种情况，即 (1,2)，(1,3)， (1,4)， (2,3)， (2,4)， (3,4) 所以取出的 2 个球全是白球的概率 P(A) 615 25. (2)从袋中的 6 个球中任取 2 个，其中一个为红球，而另一个为白球，其取法包括 (1,5)， (1,6)，(2,5)， (2,6)， (3,5)， (3,6)， (4,5)， (4,6)，共 8 种情况，所以取出的 2 个球一个是白球，另一个是红球的概率 P(B) 815. 方法 2：求和法 解题步骤 分别求事件 A 和 B 的概率 P(A)、 P(B)； 利用 P(A B) P(A) P(B)计算 适用情况 事件互斥时用此法 . 【例 2】 一盒中 装有各色球 12 只，其中 5 个红球、 4 个黑球、 2 个白球、 1 个绿球，求取出一球是红球或黑球或白球的概率 解 取一球为红球的记为事件 A， 取一球为黑球的记 为事件 B， 取一球为白球的记为事件 C， 取一球为绿球的记为事件 D， 那么取出一球是红球或黑球或白球，即为事件 A B C， 由于事件 A、事件 B、事件 C 彼此互斥 - 2 - 所以 P(A B C) P(A) P(B) P(C) 512 412 212 1112. 方法 3：正难则反法 解题步骤 先求其对立事件的概率； 通过对立事件求该事件的概率 适用情况 复杂的古典概型问题直接求有困难用此法 . 【例 3】 甲、乙、丙三台机床各自独立地加 工同一种零件，已知甲机床加工的零件是一等品而乙机床加工的零件不是一等品的概率为 14，乙机床加工的零件是一等品而丙机床加工的零件不是一等品的 概率为 112，甲、丙两台机床加工的零件都是一等品的概率为 29. (1)分别求甲、乙、丙三台机床各自加工零件是一等品的概率； (2)从甲、乙、丙加工的零件中各取一个检验，求至少有一个是一等品的概率 解 (1)设 A、 B、 C 分别为 “ 甲、乙、丙三台机床各自加工的零件是一等品 ” 的事件 由题设条件，知 P A P B 14，P B P C 112，P A P C 29，解之得 P A 13，P B 14，P C 、丙三台机床各自加工的零件是一等品的概率分别是 13， 14， 23. (2)记 D 为 “ 从甲、 乙、丙加工的零件中各取一个检验，至少有一个是一等品 ” 的事件， 则 P(D) 1 P( D ) 1 1 P(A)1 P(B)1 P(C) 1 23 34 13 56， - 3 - 故从甲、乙、丙加工的零件中各取一个检验，至少有一个是一等品的概率为 56. 方法运用训练 4 1已知函数 y x 1，令 x 4， 3， 2， 1,0,1,2,3,4，可得函数图象上的九个点，在这 九个点 中随机取出两个点 ) 析 所有基本事件的总数为 36； 其中 (2,1)， ( 1， 2)在反比例函数 y 2 (3,2)， ( 2， 3)在反比例函数 y 6 (4,3)， ( 3， 4)在反比例函数 y 12x 的图象上； 因此，概率为 P 336 112. 答案 D 2在区间 0,4上随机取两个整数 m， n，求关于 x 的一元二次方程 m 0 有实数根的概率 ( ) 析 因为方程 m 0 有实数根， n 4m0 ， 由于 m， n 0,4且 m， n 是整数， 因此， m， n 的可取值共有 25 组，又满足 n 4m0 的分别为 m 0，n 0， m 0，n 1， m 0，n 2， m 0，n 3， m 0，n 4， m 1，n 4 共六组 ，因此有实数根的概率为 P(A)625. 答案 D 3如果从不包括大小王的 52 张扑克牌中随机抽取一张，那么取到红心 (事件 A)的概率为 14，取到方片 (事件 B)的概率为 14，求取到红色牌的概率 解 设取到红色牌记为事件 C，由于事件 A 与事件 B 是互斥的且 C A B， 由 P(C) P(A B) P(A) P(B) 14 14 12. 4同时抛掷两枚骰子，求点数之和超过 5 的概率 - 4 - 解 同时抛掷两枚骰子，可能出现的结果如下表： 1 2 3 4 5 6 1 (1,1) (1,2) (1,3) (1,4) (1,5) (1,6) 2 (2,1) (2,2) (2,3) (2,4) (2,5) (2,6) 3 (3,1) (3,2) (3,3) (3,4) (3,5) (3,6) 4 (4,1) (4,2) (4,3) (4,4) (4,5) (4,6) 5 (5,1) (5,2) (5,3) (5,4) (5,5) (5,6) 6 (6,1) (6,2) (6,3) (6,4) (6,5) (6,6) 从表中可以看出，同时抛掷两枚骰子共有 36 个结果，其中点数之和小于或等于 5 的结果共有10 个，即点数之和不超过 5 的概率为 P 1036 518， 那 么点数之和超过 5 的概率为 1 P 1 518 1318. - 1 - 方法技巧 5 离散型随机变量的应用 【考情快递】 主要考查离散型随机变量的分布列、期望与方差的应用，常以解答题形式出现 方法 1：公式法 解题步骤 直接用公式计算离散型随机变量的 分布列、期望与方差 适用情况 适用于可直接用公式求解的问题 . 【例 1】 (2012 黄冈中学月考 )某社区举办 2010 年上海世博会知识宣传活动，并进行现场抽奖，抽奖规则是：盒中装有 10 张大小相同的精美卡片，卡片上分别印有 “ 世博会会徽 ” 或 “ 海宝 ”( 世博会吉祥物 )图案，参加者每次从盒中抽取两张卡片，若抽到两张都是 “ 海宝 ” 卡即可获奖 (1)活动开始后，一位参加者问：盒中有几张 “ 海宝 ” 卡？主持人笑说：我只知道若从盒中抽两张 都不是 “ 海宝 ” 卡的概率是 (2)现有甲、乙、丙、丁四个人依次抽奖，抽后放回，另一个人再抽，用 表示获奖的人数，求 的分布列及 E( )， D( ) 解 (1)设 “ 世博会会徽 ” 卡有 n 张， 由 3，得 n 6，故 “ 海宝 ” 卡有 4 张， 抽奖者获奖的概率为 15. (2)由题意知，符合二项分布，且 B 4， 215 ，故 的分布列为 P( k) 215 k 1315 4 k(k 0,1,2,3,4)或 0 1 2 3 4 P 1315 4 15 1315 3 215 2 1315 2 215 3 1315 215 4 由 的分布列知， E( ) 4 215 815， D( ) 4 215 1 215 104225. 方法 2：方程法 解题步骤 利用题干条件列方程； 利用方程计算概率问题 适用情况 适用于基本事件的个数可以用集合理论来说明的问题 . - 2 - 【例 2】 某工厂在试验阶段生产出了一种零件，该零件有 A、 B 两项技术指标需要检测，设各项技术指标达标与否互不 影响若有且仅有一项技术指标达标的概率为 512，至少一项技术指标达标的概率为 项技术指标都达标的零件为合格品 (1)求一个零件经过检测，为合格品的概率是多少？ (2)依次任意抽出 5 个零件进行检测，求其中至多 3 个零件是合格品的概率是多少？ (3)依次任意抽取该零件 4 个，设 表示其中合格品的个数，求 解 (1) 设 A 、 B 两 项 技 术 指 标 达 标 的 概 率 分 别 为 由 题 意 得 ： 512，1 1112解得 34，23，或 23，34，所以 P 12， 即一个零 件经过检测，为合格品的概率为 12. (2)任意抽出 5 个零件进行检测，其中至 多 3 个零件是合格品的 概率为 1 12 5 12 5 1316. (3)依题意知 B 4， 12 ， 故 E( ) 4 12 2， D( ) 4 12 12 1. 方法运用训练 5 1 (2011 雅礼中学英特班质检 )A、 B 两位同学各有五张卡片，现以投掷均匀硬币的形式进行游戏，当出现正面朝上时 A 赢得 B 一张卡 片，否则 B 赢得 A 一张卡片规定掷硬币的次数达 9次时，或在此前某人已赢得所有卡片时游戏终止设 X 表示游戏终止时掷硬 币的次数 (1)求 X 的取值范围； (2)求 X 的数学期望 E(X) 解 (1)设正面出现的次数为 m，反面出现的次数为 n， 则 |m n| 5，m n X，1 X9 ，可得： 当 m 5， n 0 或 m 0， n 5 时， x 5. - 3 - 当 m 6， n 1 或 m 1， n 6 时， X 7. 当 m 7， n 2 或 m 2， n 7 时， X 9. 所以 X 的所有可能取值为： 5,7,9. (2)P(X 5) 2 12 5 232 116； P(X 7) 2 12 7 564； P(X 9) 1 116 564 5564； E(X) 5 116 7 564 9 5564 27532. 2甲、乙、丙三人按下面的规则进行乒乓球比赛：第一局由甲、乙参加而丙轮空，以后每一局由前一局的获胜者与轮空者进行比赛，而前一局的失败者轮空，比赛按这种规则一直进行到其中一人连胜两局或打满 6 局时停止，设在每局中参赛 者胜负的概率均为 12，且各局胜负相互独立，求： (1)打满 3 局比赛还未停止的概率； (2)比赛停止时已打局数 的分布列与期望 E( ) 解 令 、丙在第 k 局中获胜 (1)由独立事件同时发生与互斥事件至少有一个发生的概率公式知， 打满 3 局比赛还未停止的概率为 P( P( 123 123 14. (2) 的所有可能值为 2,3,4,5,6，且 P( 2) P( P( 122 122 12， P( 3) P( P( 123 123 14， P( 4) P( P( 124 124 18， P( 5) P( P( 125 125 116， P( 6) P( P( 125 125 116， - 4 - 故有分布列 2 3 4 5 6 P 12 14 18 116 116 从而 E( ) 2 12 3 14 4 18 5 116 6 116 4716(局 ) 3在某校组织的一次篮球定点投篮训练中，规定每人最多投 3 次；在 分，在 B 处每投进一球得 2 分；如果前两次得分之和超过 3 分即停止投篮，否则投第三次，某同学在 A 处的命中率 B 处的命中率为 同学选择先在 A 处投一球，以后都在B 处投，用 表示该同学投篮训练结束后所得的总分，其分布列为 0 2 3 4 5 P 1 3 1)求 (2)求随机变量 的数学期望 E( )； (3)试比较该同学选择都在 B 处投篮得分超过 3 分与选择上述方式投篮得分超过 3 分的概率的大小 解 (1)设该同学在 A 处投中为事件 A， 在 B 处投中为事件 B，则事件 A， B 相互独立， 且 P(A) P( A ) P(B) P( B ) 1 根据分布列知 0 时， P( A B B ) P( A )P( B )P( B ) 以 1 (2)当 2 时， P( A B B A B B) P( A B B ) P( A B B) P( A )P(B)P( B ) P( A )P( B )P(B) 2 当 3 时， P(A B B ) P(A)P( B )P( B ) 当 4 时， P( A P( A )P(B)P(B) 当 5 时， P(A B B P(A B B) P( P(A)P( B )P(B) P(A)P(B) - 5 - 所以随机变量 的分布列为 0 2 3 4 5 P 机变量 的数学期望 E( ) 0 2 3 4 5 (3)该同学选择都在 B 处投篮得分超过 3 分的概率 为 P( B B B B P( B P(B B B) P( 2(1 q2) 该同学选择 (1)中方式投篮得分超过 3 分的概率为 由此看来该同学选择都在 B 处投篮得分超过 3 分的概率大 4 (2011 效实中学 1 次月考 )一个袋中装有若干个大小相同的黑球，白球和红球已知从袋中任意摸出 1 个 球，得到黑球的概率是 25；从袋中任意摸出 2 个球，至少得到 1 个白球的概率是 79. (1)若袋中共有 10 个球， 求白球的个数； 从袋中任意摸出 3 个球，记得到白球的个数为 ，求随机变量 的数学期望 E( ) (2)求证：从袋中任意摸出 2 个球，至少得到 1 个黑球的概率不大于 (1)解 记 “ 从袋中任意摸出两个球，至少得到一个白球 ” 为事件 A，设 袋中白球的个数为x， 则 P(A) 1 79，得到 x 个 随机变量 的取值为 0,1,2,3， 由于 P( 0) 12， P( 1)512， P( 2) 512， P( 3)112， 的分布列是 0 1 2 3 P 112 512 512 112 的数学期望 E( ) 1120 5121 5122 1123 32. (2)证明 设袋中有 n 个球，其中 y 个黑球， - 6 - 由题意得 y 25n，由 2y n,2y n 1，所以 1 12. 记 “ 从袋中任意摸出两个球，至少有 1 个黑球 ” 为事件 B，则 P(B) 25352125351253512710. 所以白球的个数比黑球多，白球个数多于 25n，红球的个数少于 - 1 - 第 1 讲 随机事件的概率 【 2013 年高考会这样考】 1随机事件的概率在高考中多以选择题、填空题的形式考查，也时常 在解答题中出现，应用题也是常考题型，并且常与统计知识放在一块考查 2借助古典概型考查互斥事件、对立事件的概率求法 【复习指 导】 随机事件的概率常与古典概型、互斥、对立事件、统计等相结合进行综合考查，对事件类型的准确判断和对概率运算公式的熟练掌握是解题的基础，因此，复习时要通过练习不断强化对事件类型的理解和公式的掌握，弄清各事件类型的特点与本质区别，准确判断事件的类型是解题的关键 基础梳理 1随机事件和确定事件 (1)在条件 S 下，一定会发生的事件叫做相对于条件 S 的 必然事件 (2)在条件 S 下，一定不会发生的事件叫做相对于条件 S 的 不可能事件 (3)必然事件与不可能事件 统称为确定事件 (4)在条件 S 下可能发生也可能不发生 的事件，叫做随机事件 (5)确定事件 和 随机事件 统称为事件，一般用大写字母 A， B， C 表示 2频率与概率 (1)在相同的条件 S 下重复 n 次试验，观察某一事件 A 是否出现，称 n 次试验中事件 A 出现的次数 A 出现的频数，称事件 A 出现的比例 ) 出现的频率 (2)对于给定的随机事件 A，如果随着试验次数的增加，事件 A 发生的 频率 )稳定在某个 常数 上，把这个 常数 记作 P(A)，称为事件 A 的概率，简称为 A 的概率 3互斥事件与对立事件 (1)互斥事件：若 A B 为不可能事件 (A B )，则称事件 A 与事件 B 互斥，其含义是：事件A 与事件 B 在任何一次试验中不会同时发生 (2)对立事件：若 A B 为不可能事件，而 A B 为必然事件，那么事件 A 与事件 B 互为对立事件，其含义是：事件 A 与事件 B 在任何一次试验中有且仅有一个发生 4概率的几个基本性质 (1)概率的取值范围： 0 P(A)1 . (2)必然事件的概率： P(A) 1. - 2 - (3)不可能事件的概率： P(A) 0. (4)互斥事件的概率加法公式： P(A B) P(A) P(B)(A， B 互斥 ) P( P( P( P( ， (5)对立事件的概率： P( A ) 1 P(A) 一条规律 互斥事件与对立事件都是两个事件的关系，互斥事件是不可能同时发生的两个事件，而对立事件除要求这两个事件不同时发生外，还要求二者之一必须有一个发生，因此，对立事件是互斥事件的特殊情况，而互斥事件未必是对立事件 两种 方法 求复杂的互斥事件的概率一般有两种方法： (1)直接法：将所 求事件的概率分解为一些彼此互斥的事件的概率的和，运用互斥事件的求和公式计算； (2)间接法：先求此事件的对立事件的概率，再用公式 P(A) 1 P( A )，即运用逆向思维 (正难则反 )，特别是 “ 至多 ” 、 “ 至少 ” 型题目，用间接法就显得比较简便 双基自测 1 (人教 A 版教材习题改编 )将一枚硬币向上抛掷 10 次，其中 “ 正面向上恰有 5 次 ” 是 ( ) A必然事件 B随机事件 C不可能事件 D无法确定 答案 B 2在 n 次重复进行的试验中，事件 n 很大时， P(A)与 ) A P(A) B P(A) P(A) D P(A) 析 事件 A 发生的概率近似等于该频率的稳定值 答案 A 3 (2012 兰州月考 )从装有 5 个红球和 3 个白球的口袋内任取 3 个球，那么互斥而不对立的事件是 ( ) A至少有一个红球与都是红球 B至少有一个红球与都是白球 C至少有一个红球与至少有一个白球 - 3 - D恰有一个红球与恰有二个红球 解析 对于 A 中的两个事件不互斥，对于 B 中两个事件互斥且对立，对于 C 中两个事件不互斥，对于 D 中的两个互斥而不对立 答案 D 4 (2011 陕西 )甲乙两人一起去游 “2011 西安世园会 ” ，他们 约定，各自独立地从 1 到 6 号景点中任选 4 个进行游览，每个景点参观 1 小时，则最后一小时他们同在一个景点的概率是( ) 析 若用 1,2,3,4,5,6代表 6 处景点，显然甲、乙两人选择结果为 1,1、 1,2、 1,3、 、6,6，共 36 种；其中满足题意的 “ 同一景点相遇 ” 包括 1,1、 2,2、 3,3、 、 6,6，共 6 个基本事件，所以所求的概率值为 16. 答案 D 5 (2011 湖北 )在 30 瓶饮料中，有 3 瓶已过了保质期从这 30 瓶饮料中任取 2 瓶，则至少取到 1 瓶已过保质期饮料的概率为 _(结果用最简分数表示 ) 解析 所取的 2 瓶中都是不过期的饮料的概率为 P 17145，则至少有 1 瓶为已过保质期饮料的概率 P 1 P 28145. 答案 28145 考向一 互斥事件与对立事件的判定 【例 1】 判断下列给出的每对事件，是否为互斥事件，是否为对立事件，并说明理由从 40张扑克牌 (红桃、黑桃、方块、梅花点数从 1 10 各 10 张 )中，任取一张 (1)“ 抽出红桃 ” 与 “ 抽出黑桃 ” ； (2)“ 抽出红色牌 ” 与 “ 抽出黑色牌 ” ； (3)“ 抽出的牌点数为 5 的倍数 ” 与 “ 抽出的牌点数大于 9” 审题视点 可用集合的观点判断 解 (1)是互斥事件，不是对立事件 原 因是：从 40 张扑克牌中任意抽取 1 张， “ 抽出红桃 ” 与 “ 抽出黑桃 ” 是不可能同时发生的，所以是互斥事件，但是，不能保证其中必有一个发生，这是由于还有可能抽出 “ 方块 ” 或者“ 梅花 ” ，因此，二者不是对立事件 - 4 - (2)既是互斥事件，又是对立事件 原因是：从 40 张扑克牌中，任意抽取 1 张 “ 抽出红色牌 ” 与 “ 抽出黑色牌 ” 两个事件不可能同时发生，但其中必有一个发生，所以它们既是互斥事件，又是对立事件 (3)不是互斥事件，也不是对立事件 原因是：从 40 张扑克牌中任意抽取 1 张 “ 抽出的牌点数为 5 的倍数 ” 与 “ 抽出的牌点数大于 9” 这两个事件可能同时发生，如抽得点数为 10，因此，二者不是互斥事件，当然不可能是对立事件 对互斥事件要把握住不能同时发生，而对于对立事件除不能同时发生外，其并事件应为必然事件，这些也可类比集合进行理解，具体应用时，可把所有试验结果写出来，看所求事件包含哪几个试验结果，从而断定所给事件的关系 【训练 1】 一个均匀的正方体的玩具的各个面上分别标以数字 1,2,3,4,5, 次，设事件 A 表示向上的一面出现奇数点，事件 B 表示向上的一面 出现的点数不超过 3，事件 C 表示向上的一面出现的点数不小于 4，则 ( ) A A 与 B 是互斥而非对立事件 B A 与 B 是对立事件 C B 与 C 是互斥而非对立事件 D B 与 C 是对立事件 解析 根据互 斥事件与对立事件的意义作答， A B 出现点数 1 或 3，事件 A， B 不互斥更不对立； B C ， B C ，故事件 B， C 是对立事件 答案 D 考向二 随机事件的概率与频率 【例 2】 (2011 湖南 )某河流上的一座水力发电站，每年六月份的发电量 Y(单位：万千瓦时 )与该河上游在六月份的降雨量 X(单位：毫米 )有关据统计， 当 X 70 时， Y 460； X 每增加10 ， Y 增加 5. 已 知 近 20 年 X 的值为：140,110,160,70,200,160,140,160,220,200,110,160,160,200,140,110,160,220,140,160. (1)完成如下的频率分布表： 近 20 年六月份降雨量频率分布表 降雨量 70 110 140 160 200 220 频率 120 420 220 (2)假定今年六月份的降雨量与近 20 年六月份降雨量的分布规律相同，并将频率视为概率，求今年六月份该水力发电站的发电量低于 490(万千瓦时 )或超过 530(万千瓦时 )的概率 审题视点 第一问中的统计表是降雨量的统计表，只要根据给出的数据进行统计 计算即可；第二问中根据给出的 X， Y 的函数关系，求出 Y 490 或者 Y 530 对应的 X 的范围，结合第一 - 5 - 问的概率分布情况求解，或者求解其对立事件的概率 解 (1)在所给数据中，降雨量为 110 毫米的有 3 个，为 160 毫米的有 7 个，为 200 毫米的有3 个故近 20 年六月份降雨 量频率分布表为 降雨量 70 110 140 160 200 220 频率 120 320 420 720 320 220 (2)由已知得 Y 425，故 P(“ 发电量低于 490 万千瓦时或超过 530 万千瓦时 ”) P(Y 490或 Y 530) P(X 130 或 X 210) P(X 70) P(X 110) P(X 220) 120 320 220 310. 故今年六月份该水力发电站的发电量低于 490(万千瓦时 )或超过 530(万千瓦时 )的概率为 310. 概率可看成频率在理论上的稳定值，它从数 量上反映了随机事件 发生的可能性的大小，它是频率的科学抽象，当试验次数越来越多时频率向概率靠近，只要次数足够多，所得频率就近似地当作随机事件的概率 【训练 2】 某市统计的 2008 2011 年新生婴儿 数及其中男婴数 (单位：人 )见下表： 时间 2008 年 2009 年 2010 年 2011 年 新生婴儿数 21 840 23 070 20 094 19 982 男婴数 11 453 12 031 10 297 10 242 (1)试计算男婴各年的出生频率 (精确到 (2)该市男婴出生的概率约是多少？ 解 (1)2008 年男婴出生的频率为 ) 11 45321 840 同理可求得 2009 年、 2010 年和 2011 年男婴出生的 频率分别约为 (2)由以上计算可知，各年男婴出生的频率在 间，所以该市男婴出生的概率约为 考向三 互斥事件、对立事件的概率 【例 3】 据统计，某食品企业在一个月内被消费者投 诉次数为 0,1,2 (1)求该企业在一个月内被消费者投诉不超过 1 次的概率； (2)假设一月份与二月份被消费者投诉的次数互不影响，求该企业在这两个月内共被消费者投诉 2 次的概率 审题视点 (1)根据互斥事件，第 (1)问可转化为求被消费者 投诉 0 次和 1 次的概率和 (2)第 (2)问可转化为求以下三种情形的概率和： 1,2 月份各被投诉 1 次； 1,2 月份各被投诉 0,2 次； 1,2 月份各被投诉 2,0 次 - 6 - 解 法一 (1)设事件 A 表示 “ 一个月内被投诉的次数为 0” ，事件 B 表示 “ 一个月内被投诉的次数为 1” ， P(A B) P(A) P(B) (2)设事件 第 ” ，事件 第 ” ，事件 第 i 个月被投诉的次数为 2” ，事件 D 表示 “ 两个月内共被投诉 2 次 ” P( P( P( 0.1(i 1,2)， 两个月中，一个月被投诉 2 次，另一个月被投诉 0 次的概率为 P( 一、二月份均被投诉 1 次的概率为 P( P(D) P( P( P( P( P( 由事件的独立性得 P(D) 法二 (1)设事件 A 表示 “ 一个月内被投诉 2 次 ” ，事件 B 表示 “ 一个月内被投诉的次数不超过 1 次 ” P(A) P(B) 1 P(A) 1 (2)同法一 本题主要考查随机事件，互斥事件有一个发生的概率及相互独立事件同时发生的概率；实际生活中的概率问题，在阅读理解的基础上，利用互斥事件分类，有时还借助对立事件寻求间接求解问题的捷径，这类问题重在考查学生思维的灵活性和解决实际问题的能力 【训练 3】 某商场有奖销售中，购满 100 元商品得 1 张奖券，多购多得， 1 000 张奖券为一个开奖单位，设特等奖 1 个，一等奖 10 个，二等奖 50 个设 1 张奖券中特等奖 、一等奖、二等奖的事件分别为 A、 B、 C，求： (1)P(A)， P(B)， P(C)； (2)1 张奖券的中奖概率； (3)1 张奖券不中特等奖且不中一等奖的概率 解 (1)P(A) 11 000， P(B) 101 000 1100， P(C) 501 000 120. 故事件 A， B， C 的概率分别为 11 000， 1100， 120. (2)1 张 奖券中奖包含中特等奖、一等奖、二等奖设 “1 张奖券中奖 ” 这个事件为 M，则 MA B C. A、 B、 C 两两互斥， P(M) P(A B C) P(A) P(B) P(C) 1 10 501 000 611 000. 故 1 张奖券的中奖概率为 611 000. (3)设 “1 张奖券不中特等奖且不中一等奖 ” 为事件 N，则事件 N 与 “1 张奖券中特等奖或 中一等奖 ” 为对立事件， - 7 - P(N) 1 P(A B) 1 11 000 1100 9891 000. 故 1 张奖券不中特等奖且不中一等奖的概率为 9891 000. 难点突破 24 事件对立与互斥的辨别问题 对事件的互斥性与对立性的辨别，在解题中要根据问题的具体情况作出准确的判断互斥事件是不可能同时发生的两个事件，其概率满足加法公式，即若 A， B 互斥，则 P(A B) P(A) P(B)；对立事件是必然有一个发生的两个互斥事 件，也就是说对立的两个事件首先必须是互斥的，而且这两个事件之和是一个必然事件，即一个事件 A 与它的对立事件 A 的概率之间有关系式 P(A) P( A ) 1，用好这个关系对解决概率问题是非常有用的，它往往能使复杂的问题简单化 【示例 1】 (2012 苏州模拟 )甲： ： 么 ( ) A甲是乙的充分但不必要条件 B甲是乙的必要但不充分条件 C甲是乙的充要条 件 D甲既不是乙的充分条件，也不是乙的必要条件 【示 例 2】 抛掷一枚均匀的正方体骰子 (各面分别标有数字 1、 2、 3、 4、 5、 6)，事件 A 表示 “ 朝上一面的数是奇数 ” ，事件 B 表示 “ 朝上一面的数不超过 3” ，求 P(A B) - 8 - - 1 - 第 2 讲 古典概型 【 2013 年高考会这样考】 1考查古典概型概率公式的应用，尤其是古典概型与互斥、对立事件的综合问题更是高考的热点 2在解答题中古典概型常与统计相结合进行综合考查，考查学生分析和解决问题的能力，难度以中档 题为主 【复习指导】 1掌握解决古典概型的基本方法，列举基本事件、随机事件，从中找出基本事件的总个数，随机事件所含有的基本事件的个数 2复习时要加强与统计相关的综合题的训练，注重理解、分析、逻辑推理能力的提升 基础梳理 1基本事件的特点 (1)任何两个基本事件是 互斥 的 (2)任何事件 (除不可能事件 )都可以表示成基本事件的和 2古典概型 具有以下两个特点的概率模型称为古典概率模型，简称古典概型 (1)试验中所有可能出现的基本事件 只有有限个 (2)每个基本事件出现的可能性 相等 3古典概型的概率公式 P(A) 本事件的总数 . 一条规律 从集合 的角度去看待概率，在一次试验中，等可能出现的全部结果组 成一个集合 I，基本事件的个数 n 就是集合 I 的元素个数，事件 A 是集合 I 的一个包含 m 个元素的子集故 P(A)两种方法 (1)列举法：适合于较简单的试验 (2)树状图法：适合于较为复杂的问题中的基本事件的探求另外在确定基本事件时， (x， y)可以看成是有序的，如 (1,2)与 (2,1)不同；有时也可以看成是无序的，如 (1,2)与 (2,1)相同 双基自测 - 2 - 1 (人教 A 版教材习题改编 )一枚硬币连掷 2 次，只有一次出现正面的概率为 ( ) 析 一枚硬币连掷 2 次， 基本事件有 (正，正 )， (正，反 )， (反，正 )， (反，反 )，而只有一次出现正面的事件包括 (正，反 )， (反，正 )，故其概率为 24 12. 答案 D 2甲、乙、丙三名同学站成一排，甲站在中间的概率是 ( ) 析 甲共有 3 种站法，故站在中间的概率为 13. 答案 C 3掷一颗骰子，观察掷出的点数，则掷得奇数点的概率为 ( ) 析 掷一颗骰子共有 6 种情况，其中奇数 点的情况有 3 种，故所求概率为： 36 12. 答案 C 4从 1,2,3,4,5中随机选取一个数为 a，从 1,2,3中随机选取一个数为 b，则 b a 的概率是 ( ) 析 基本事件的个数有 53 15(种 )，其中满足 b a 的有 3 种，所以 b a 的概率为 315 15. 答案 D 5 (2012 泰州联考 )三张卡片上分别写上字母 E、 E、 B，将三张卡片随机地排成一行，恰好排成英文单词 概率为 _ 解析 三张卡片排成一排共有 种情况，故恰好排成 概率为 13. 答案 13 考向一 基本事件数的探求 【例 1】 做抛掷两颗骰子的试验：用 (x， y)表示结果，其中 x 表示第一颗骰子出现的点数， y - 3 - 表示第二颗 骰子出现的点数，写出： (1)试验的基本事件； (2)事件 “ 出现点数之和大于 8” ； (3)事件 “ 出现点数相等 ” ； (4)事件 “ 出现点数之和大于 10” 审题视点 用列举法一一列举 解 (1)这个试验的基本事件为： (1,1)， (1,2)， (1,3)， (1,4)， (1,5)， (1,6) (2,1)， (2,2)， (2,3)， (2,4)， (2,5)， (2,6) (3,1)， (3,2)， (3,3)， (3,4)， (3,5)， (3,6) (4,1)， (4,2)， (4,3)， (4,4)， (4,5)， (4,6) (5,1)， (5,2)， (5,3)， (5,4)， (5,5)， (5,6) (6,1)， (6,2)， (6,3)， (6,4)， (6,5)， (6,6) (2)事件 “ 出现点数之和大于 8” 包含以下 10 个基本事件 (3,6)， (4,5)， (4,6)(5,4)， (5,5)，(5,6)， (6,3)， (6,4)， (6,5)， (6,6) (3)事件 “ 出现点数相等 ” 包含以下 6 个基本事件 (1,1)， (2,2)， (3,3)， (4,4)， (5,5)， (6,6) (4)事件 “ 出现点数之和大于 10” 包含以下 3 个基本事件 (5,6)， (6,5)， (6,6) 基本事件数的探求主要有两种方法：列举法和树状 图法 【训练 1】 用红、黄、蓝三种不 同颜色给图中 3 个矩形随机涂色，每个矩形只涂一种颜色，写出： (1)试验的基本事件； (2)事件 “3 个矩形颜色都相同 ” ； (3)事件 “3 个矩形颜色都不同 ” 解 (1)所有可能的基本事件共 27 个 (2)由图可知，事件 “3 个矩形都涂同一颜色 ” 包含以下 3 个基本事件：红红红，黄黄黄，蓝蓝蓝 (3)由图可知，事件 “3 个矩形颜色都不同 ” 包含以下 6 个基本事件：红黄蓝，红蓝黄，黄红蓝，黄蓝红，蓝红黄，蓝黄红 考向二 古典概型 - 4 - 【例 2】 现有 8 名 2012 年伦敦奥运会志愿者，其中志愿者 中选出通晓日语、俄语和韩语的志愿者各 1 名，组成一个小组 (1)求 (2)求 1不全被选中的概率 审题视点 确定基本事件总数，可用排列组合或用列举法，确定某事件所包含的基本事件数，用公式求解 解 (1)从 8 人中选出日语 、俄语和韩语志愿者各 1 名，其一切可能的结果组成的基本事件共有 18 个由于每一个基本事件被抽取的机会均等，因此这些基本事件的发生是等可能的 用 M 表示 “ 这一事件， 事件 M 由 6， 因而 P(M) 618 13. (2)用 N 表示 “ 全被选中 ” 这一事件，则其对立事件 N 表示 “ 被选中 ” 这一事件，由于 N 包含 ( ( ( 个结果，事件 N 有 3 个基本事件组成，所以 P( N ) 318 16，由对立事件的概率公式得 P(N) 1 P( N ) 1 16 56. 古典概 型是基本事件个数有限，每个基本事件发生的概率相等的一种概率模型，其概率等于随机事件所包含的基本事件的个数与基本事件的总个数的比值 【训练 2】 (2011 全国新课标 )有 3 个兴趣小组，甲、乙两位同学各自参加其中一个小组，每位同学参加各个小组的可能性相同，则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为 ( ) 析 甲、乙两人都有 3 种选择， 共有 33 9(种 )情况，甲、乙两人参加 同一兴趣小组共有3 种情况 甲、乙两人参加同一兴趣小组的概率 P 39 13. 答案 A 考向三 古典概型的综合应用 【例 3】 (2011 广东 )在某次测验中，有 6 位同学的平均成绩为 75 分用 n(n 1,2， ， 6)的同学所得成绩，且前 5 位同学的成绩如下： 编号 n 1 2 3 4 5 成绩 0 76 72 70 72 (1)求第 6 位同学的成绩 这 6 位同学成绩的标准差 s； - 5 - (2)从前 5 位同学中，随机地选 2 位同学，求恰有 1 位同学成绩在区间 (68,75)中的概率 审题视点 本题考查平均数、标准差、古典概型概率的 计算 (1)由这 6 位同学的平均成绩为 75 分，建立关于 求得 后求方差，再求标准差； (2)用列举法可得所求古典概型的概率 解 (1) 这 6 位同学的平均成绩为 75 分， 16(70 76 72 70 72 75，解得 90， 这 6 位同学成绩的方差 16(70 75)2 (76 75)2 (72 75)2 (70 75)2 (72 75)2 (90 75)2 49， 标准差 s 7. (2)从前 5 位同学中，随机地选出 2 位同学的成绩有： (70,76)， (70,72)， (70,70)， (70,72)，(76,72)， (76,70)， (76,72)， (72,70)， (72,72)， (70,72)，共 10 种， 恰有 1 位同学成绩在区间 (68,75)中的有： (70,76)， (76,72)， (76,70)， (76,72)，共 4 种，所求的概率为 410 即恰有 1 位同学成绩在区 间 (68,75)中的概率为 有关古典概型与统计结合的题型是高考考查概率的一个重要题型，已成为高考考查的热点，概率与统计结合题，无论是直接描述还是利用频率分布表、分布直方图、茎叶图等给出信息，只需要能够从题中提炼出需要的信息，则此类问题即可解决 【训练 3】 一汽车厂生产 A， B， C 三类轿车，每类轿车均有舒适型和标准型两种型号，某月的产量如下表 (单位：辆 )： 轿车 A 轿车 B 轿车 C 舒适型 100 150 z 标准型 300 450 600 按类用分层抽样的方法在这个月生产的轿车中抽取 50 辆，其中有 A 类轿车 10 辆 (1)求 z 的值； (2)用分层抽样的方法在 C 类轿车中抽取一个容量为 5 的样本将该样本看成一个总体，从中任取 2 辆，求至少有 1 辆舒适型轿车的概率； (3)用随机抽样的方法从 B 类舒适型轿车中抽取 8 辆，经检测它们的得分如下： 9 4,这 8
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