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高三 数学 二轮 复习 温习 专题 能力 提升 晋升 训练 打包 25

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2013届高三数学二轮复习专题能力提升训练 理（打包25套）,高三,数学,二轮,复习,温习,专题,能力,提升,晋升,训练,打包,25

内容简介：

1 训练 1 函数、基本初等函数的图象和性质 (时间： 45 分钟 满分： 75 分 ) 一、选择题 (每小题 5 分，共 25 分 ) 1函数 f(x) 11 x x)的定义域是 ( ) A ( ， 1) B (1， ) C ( 1,1) (1， ) D ( ， ) 2如果 x y 0，那么 ( ) A y x 1 B x y 1 C 1 x y D 1 y x 3 (2012 山东省实验中学一诊 )下列四个函数中，是奇函数且在区间 ( 1,0)上为减函数的是 ( ) A y 12 |x| B y x 42 x C y x| D y 4已知函数 f(x) 1， g(x) 4x f(a) g(b)，则 b 的取值范围为 ( ) A 2 2， 2 2 B (2 2， 2 2) C 1,3 D D (1,3) 5已知函数 y f(x)的周期为 2，当 x 1,1时 f(x) 么函数 y f(x)的图象与函数 y |lg x|的图象的交点共有 ( ) A 10 个 B 9 个 C 8 个 D 1 个 二、填空题 (每小题 5 分，共 15 分 ) 6设函数 f(x) x 1，若 f(a) 11，则 f( a) _. 7 f(x)为定义在 R 上的以 3 为周期的奇函数，若 f(1) 0， f(2) (a 1)(2a 3)，则 a 的取值范围是 _ 8 (2012 西南大学附属中学第二次月考 )函数 y f(x)是定义在 R 上的奇函数，且满足 f(x 2) f(x)对一切 x R 都成立，又当 x 1,1时， f(x) 下列四个命题： 函数 y f(x)是以 4 为周期的周期函数； 2 当 x 1,3时， f(x) (2 x)3； 函数 y f(x)的图象关于 x 1 对称； 函数 y f(x)的图象关于点 (2,0)对称 其中正确命题的序号是 _ 三、解答题 (本题共 3 小题，共 35 分 ) 9 (11 分 )已知 a R 且 a1 ，求函数 f(x) 1x 1 在 1,4上的最值 10 (12 分 )(2012 洛阳模拟 )已知二次函数 f(x) 1(a 0)， F(x) f x ， x 0， f x ， x 0. 若 f( 1) 0，且对任意实数 x 均有 f(x)0 成立 (1)求 F(x)的表达式； (2)当 x 2,2时， g(x) f(x) 单调函数，求 k 的取值范围 11 (12 分 )(2012 镇江模拟 )已知 f(x)是定义在区间 1,1上的奇函数，且 f(1) 1，若m， n 1,1， m n0 时，有 f m f n 0. (1)解 不等式 f x 12 f(1 x)； (2)若 f(x) 21 对所有 x 1,1， a 1,1恒成立，求实数 t 的取值范围 参考答案 训练 1 函数、基本初等函数的图象和性质 1 C 要使函数有意义当且仅当 1 x0 ，1 x 0， 解得 x 1 且 x1 ，从而定义域为 ( 1,1) (1， ) ，故选 C. 2 D 因为 y (0， ) 上的减函数，所以 x y 1. 3 D 选项 A， y 12 |x|为偶函数，因此排除；选项 B， y x 42 x x 4x 2 1 2x 2 1 2x 2对称中心为 (2， 1)，在 (2， ) 和 ( ， 2)递减，不符合题意，排除；选项 C， y x|是偶函数，因此不符合 题意，排除 . 4 B f(a) 1， g(b) 1， 4b 3 1， 4b 2 0， 2 2 b 2 . 5 A 根据 f(x)的性质及 f(x)在 1,1上的解析式可作图如下 3 可验证当 x 10 时， y |0| 1； 0 x 10 时， |lg x| 1； x 10 时， |lg x| y f(x)与 y |lg x|的图象交点共有 10 个 6解析 令 g(x) x，则 f(x) g(x) 1 且 g(x)为奇函数，所以 g( a) g(a)由f(a) 11 得， g(a) 1 11，所以 g(a) 10. f( a) g( a) 1 g(a) 1 10 1 9. 答案 9 7解析 f(x)是周期为 3 的奇函数， f(2) f(2 3) f( 1) f(1) 0. (a 1)(2a 3) 1 a 32. 答案 1， 32 8解析 因为函数 y f(x)是奇函数，故有 f( x) f(x)，由 f(x 2) f(x)可知，函数是最小正周期为 4 的函数，故命题 正确 f( x) f(x)和 f(x 2) f(x)结合得到 f(x 2) f( x)，故函数关于 x 1 对称， 而 x 1,3， x 2 1,1， f(x 2) (x 2)3 f(x)， f(x) (x 2)3 (2 x)3，故命题 正确， 由上可作图，推知命题 正确 答案 9解 任取 1,4，且 f( f( 11 11 a 0， (1)(1) 0，又 a R，且 a1. 当 a 1 0，即 a 1 时， f( f( 0. 即 f( f( 函数 f(x)在 1,4上是增函数， f(x)f(4) 4a 15 ， f(x)f(1) a 12 . 当 a 1 0，即 a 1 时， f( f( 0， 即 f( f( 函数 f(x)在 1,4上是减函数， 4 f(x)f(1) a 12 ， f(x)f(4) 4a 15 . 10解 (1) f( 1) 0， a b 1 0， b a 1， f(x) (a 1)x 1. f(x)0 恒成立， a 0， a 2 4a0 ， a 0，a 20. a 1，从而 b 2， f(x) 2x 1， F(x) 2x 1 x ， 2x 1 x (2)g(x) 2x 1 (2 k)x 1. g(x)在 2,2上是单调函数， k 22 2，或 k 22 2 ，解得 k 2，或 k6. 所以 k 的取值范围为 ( ， 2 6， ) . 11解 (1)任取 1,1，且 f( f( f( f( f f ( 0， f( f( f(x)是增函数 f x 12 f(1 x) 1 x 121 ， 11 x1 ， 0 x 14，x 12 1 x，即不等式 f x 12 f(1 x)的解集为 0， 14 . (2)由于 f(x)为增函数， f(x)的最大值为 f(1) 1， f(x) 21 对 a 1,1、 x 1,1恒成立 211 对任意 a 1,1恒成立 2 对任意 a 1,1恒成立 把 y 2作 a 的函数， 由 a 1,1知其图象是一条线段， 2 对任意 a 1,1恒成立 5 t021 t0 2t02t0 t 2或 t0t0 或 t2 t 2，或 t 0，或 t2. 1 训练 10 数列求和 (时间： 45 分钟 满分： 75 分 ) 一、选择题 (每小题 5 分，共 25 分 ) 1 (2012 山东省实验中学一诊 )已知 等差数列，其公差为 2，且 前 n 项和， n N*，则 ( ) A 110 B 90 C 90 D 110 2 (2012 宝鸡二模 )已知等差数列 前三项依次为 a 1， a 1， 2a 3，则此数列的通项公式 ( ) A 2n 3 B 2n 1 C 2n 5 D 2n 3 3数列 112， 314， 518， 7 116， 的前 n 项和 ( ) A 1 12n 1 B 2 12n C 1 12n D 2 12n 1 4已知数列 通项公式是 1n n 1，若前 n 项和为 10，则项数 n 为 ( ) A 11 B 99 C 120 D 121 5 (2012 福州一模 )已知 足 1，且 1 1(n N*)，则数列 通项公式为 ( ) A 13n 2 B 2 C 3n 2 D 1， n 113n 3， n2二、填空题 (每小题 5 分，共 15 分 ) 6 (2012 枣庄一检 )若数列 前 n 项和 10n，则此数列的通项公式为 _ 2 7若 1 3 5 x112 123 1x x 110(x N*)，则 x _. 8 (2011 北京 )在等比数列 ，若 12， 4，则公比 q _； | | | _. 三、解答题 (本题共 3 小题，共 35 分 ) 9 (11 分 )(2012 泰安二模 )已知等差数列 公差 d0 ，它的前 n 项和为 35，且 比数列 . (1)求数列 通项公式； (2)设数列 1n 项和为 10 (12 分 )(2012 济宁一模 )已知等差数列 前 n 项和为 满足 6， 3；数列 前 n 项和为 满足 21(n N*) (1)求数列 通项公式 (2)设 数列 前 n 项和 11 (12 分 )设数列 前 n 项和为 任意的正整数 n，都有 51 成立，记 4 an(n N*) (1)求数列 通项公式； (2)记 1(n N*)，设数列 前 n 项和为 证：对任意正整数 n 都有32； (3)设数列 前 n 项和为 满足：对任意正整数 n， n 恒成立，求 的最小值 参考答案 训练 10 数列求和 1 D 差为 2，所以 以 (8)(4)，所以 8，所以 20，所以 1020 10 92( 2) . 2 A 由题意知： 2(a 1) (a 1) 2a 3，解得： a 0， 1， d 2， 1 2(n 1) 2n 3. 3 C 112 314 518 7116 (2n 1)12n 3 4 C 1n n 1 n 1 n， ( 2 1) ( 3 2) ( n 1 n) n 1 1.令 n 1 1 10，得 n 120. 5 A 由题可知， 1 1(n N*)，两边取倒数可得， 11 3113，即 11 13，所以数列 1，公差为 3 的等差数列，其通项公式为 13n 2，所以数列 通项公式为 13n 2. 6解析 当 n 1 时， 1 10 9；当 n2 时， 1 10n (n 1)2 10(n 1) 2n 9 也适合上式综上， 2n 11. 答案 2n 11 7解析 原式分子为 1 3 5 (2x 1) 2x 原式分母为： 112 123 1x x 1 12 12 13 1x 1x 1 1， 故原式为： 1 x 110，解得 x 10. 答案 10 8解析 等比数列，且 12， 4， 8， q 2， 12( 2)n 1， | 2n 2， | | | |12 22 12(2n 1) 2n 1 12. 答案 2 2n 1 12 9解 (1) 数列 等差数列， 4 由 5542 d 35. 2d 7. 由 (6d)2 (d)(21d)(d0) ， 23d 0. 解 得： 3， d 2， 2n 1. (2)由 (1)知， 3n n n2 2 2n. 112n 1n n 12（ 1n 1n 2） . 10解 (1) 63， 963， 7. 由 6，得 1， d 2. 2n 3. 21， 1 21 1(n2) ， 由 得 221， 21(n2) 又 21， 1. 数列 首项为 1，公比为 2 的等比数列， 1 2n 1. (2)(2n 3)2 n 1， 11 12 32 2 52 3 (2n 5)2 n 2 (2n 3)2 n 1， 2 12 12 2 32 3 52 4 (2n 5)2 n 1 (2n 3)2 n， 两式相减得 1 22 22 2 22 3 22 n 1 (2n 3)2 n 12(2 22 23 2n 1) (2n 3)2 n 1 2 2 1 2n 11 2 (2n 3)2n (5 2n)2 n 5. (2n 5)2 n 5. 5 11 (1)解 当 n 1 时， 51， 14， 又 51， 1 51 1， 1 51，即 1 14 数列 等比数列，其首项 14， 公比 q 14， 14n， . (2)证明 由 (1)知 4 5 n 1， 1 542n 1 542n 1 1 2516n 2516 316 n 42516 2516n， 又 3， 133 ， 43. 当 n 1 时， 32； 当 n2 时， 43 25 （ 1162 1163 116n） 43 25 43 2511621 116 6948 32. (3)解 由 (1)知 4 5 n 1. 一方面，已知 n 恒成立，取 n 为大于 1 的奇数时， 设 n 2k 1(k N*)，则 1 4n 5 ( 141 1 142 1 143 1 142k 1 1) 4n 5 141 1 ( 142 1 143 1） ( 142k 1 142k 1 1) 4n 1. 6 n 4n 1，即 ( 4)n 1 对一切大于 1 的奇数 n 恒成立 4 ，否则，( 4)n 1 只对满足 n 14 的正奇数 n 成立，矛盾 另一方面，当 4 时，对一切的正整数 n 都有 n 恒成立事实 上，对任意的正整数 k，有 1 8 5 2k 1 1 5 2k 1 8 516k 1 2016k 4 8 1516k 40k k 8. 当 n 为偶数时，设 n 2m(m N*)， 则 ( ( (1 8m 4n； 当 n 为奇数时，设 n 2m 1(m N*)， 则 ( ( (3 2) 1 8(m 1) 4 8m 4 4n. 对一切的正整数 n，都有 n. 综上所述，正实数 的最小值为 4. 1 训练 11 数列的综合应用问题 (时间： 45 分钟 满分： 75 分 ) 一、选择题 (每小题 5 分，共 25 分 ) 1 (2012 镇海模拟 )设 等比数列，则 “ 的 ( ) A充分而不必要条件 B必要而不充分条件 C充分必要条件 D既不充分也不必要条件 2在等差数列 ，若 11为方程 10x 16 0 的两根，则 06 10 ( ) A 10 B 15 C 20 D 40 3 (2012 汕头质量测评 )已知正项组成 的等差数列 前 20 项的和为 100，那么 ( ) A 25 B 50 C 100 D不存在 4 (2012 运城教学检测 )已知数列 前 n 项和为 点 P(n， Q(n 1， 1)(n N*)的直线的斜率为 3n 2，则 ( ) A 52 B 40 C 26 D 20 5 (2012 杭州二模 )已知各项都是正数的等比数列 ，存在两项 an(m， n N*)使得4 2 1m 4( ) 、填空题 (每小题 5 分，共 15 分 ) 6为了解某校高三学生的视力情况，随机地抽查了该校 200 名高三学生的视力情况，得到频率分布直方图，如图由于不慎将部分数据丢失，但知道前 4 组的频数成等比数列，后 6 组的频数成等差数列，设最大频率为 a，视力在 间的学生数为 b，则 a，b 的值分别为 _ 2 7 (2012 福州质检 )在等比数列 ，首项 23， 14(1 2x)公比 q 为 _ 8 (2012 东北三校二模 )已知数列 ， 1，且 P(1)(n N*)在直线 x y 10 上，若函数 f(n) 1n 1n 1n 1n an(n N*，且 n2) ，函数 f(n)的最小 值是 _ 三、解答题 (本题共 3 小题，共 35 分 ) 9 (11 分 )(2012 泰安一模 )已知数列 等差数列，满足 5， 前 n，且 3. (1)求数列 数列 通项公式； (2)若 比较 1的大小 10 (12 分 )首项为正数的数列 足 1 14(3)， n N*. (1)证明：若 对一切 n2 ， (2)若对一切 n N*都有 1 11 (12 分 )(2011 山东 )等比数列 ， 、三行中的某一个数，且 第一列 第二列 第三列 第一行 3 2 10 第二行 6 4 14 第三行 9 8 18 (1)求数列 通项公式； (2)若数列 足： ( 1)数列 前 n 项和 参考答案 训练 11 数列的综合应用问题 1 C “ “ 数列 递增数列 ” 2 B 由题意，知 11 10 206 10，所以 06 10 15，故选 B. 3 3 A 10( 100，故 10， （ 2 25. 4 B 由题意得， 1 n 3n 2， 1 3n 2，即 1 3n 2， 3n 5，因此数列 等差数列， 10，而 2( 440，故选 B. 5 A 记等比数列 公比为 q(q 0)，依题意有 2 ，得 q 2 0，解得 q 2， 又 ( m 1)( n 1) 16 即 2m n 2 24， m n 2 4， m n 6， 1m 4n 16（ 1m 4n） (m n) 165 （ 4 16(5 4)32. 6解析 第一组的频数为： 00 2， 第二组的频数为： 00 6， 故第三组的频数为： 18，第四组的频数为： 54. a 54200 200 80 120. 又后六组成等差数列，所以第七组的频数为 24，第五、六组的频数共为 78，故 b 54 78 132. 答案 32 7解析 14 (4 42) (1 12) 18， q 3 27，q 3. 答案 3 8解析 由题意知， 1 1 0，即 1 1，数列 等差数列，公差 d 1， n，当 n2 时， f(n) 1n 1 1n 2 1n 3 1n n， f(n 1) f(n) 1n 1 11n 1 21n 1 3 1n 1 n 1 （1n 11n 21n 3 1n n） 12n 112n 2 1n 1 12n 1 12n 2 0， f(2) f(3) ， f(n)f(2) 12 1 12 2 712. 答案 712 9解 (1) 5， 13， 2d，即 13 5 2d. d 4， 1， 4n 3. 4 又 3， 1 1 3， 21 0，即 1 12 3， 32， 数列 首项是 32，公比是 12的等比数列， 32（ 12） n 1 32n. (2)2n ， 1 2n 1 ， 1 2n 1 2n 4n2n 1 . 当 n 1 时， 1 0， 1 当 n2( n N*)时， 1 0， 1 10 (1)证明 已知 设 2m 1 是奇数，其中 m 为正整数，则由递推关系得1 34 m(m 1) 1 是奇数 根据数学归纳法，对任何 n N*， (2)解 法一 由 1 14(1)( 3)知， 1 1 或 3. 另一方面，若 0 1，则 0 1 1 34 1； 若 3，则 1 32 34 3. 根据数学归纳法， 0 10 1， n N*， 33， n N*. 综上所述，对一切 n N*都有 1 1 或 3. 法二 由 34 43 0，于是 0 1 或 1 an34 1 34 1 14 ， 因为 0， 1 34 ，所以所有的 ，因此 1 1同号 根据数学归纳法， n N*， 1 因此，对一切 n N*都有 1 1 或 3. 11解 (1)当 3 时，不合题意； 当 2 时，当且仅当 6， 18 时，符合题意； 当 10 时，不合题意 5 因此 2， 6， 18. 所以公比 q 3.故 23 n 1. (2)因为 ( 1)23 n 1 ( 1)3 n 1) 23 n 1 ( 1)n (n 1) 23 n 1 ( 1)n( ) ( 1)， 所以 2(1 3 3n 1) 1 1 1 ( 1)n( ) 1 2 3 ( 1)nn. 所以当 n 为偶数时， 2 1 33 3n 1； 当 n 为奇数时， 2 1 33 ( ) n 12 n 3n n 12 1. 综上所述， 3n 1， n n 12 1， 1 训练 12 三视图及空间几何体的计算问题 (时间： 45 分钟 满分： 75 分 ) 一、选择题 (每小题 5 分，共 25 分 ) 1 (2012 石家庄质检 )将长方体截去一个四棱锥后，得到的几何体的直观图如下图所示，则该几何体的俯视图为 ( ) 2如图，某几何体的正 (主 )视图与侧 (左 )视图都是边长为 1 的正方形，且体积为 12，则该几何体的俯视图可以是 ( ) 3一空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为 ( ) 2 A 2 2 3 B 4 2 3 C 2 2 33 D 4 2 33 4 (2012 唐山一模 )点 A、 B、 C、 D 均在同一球面上 ， 其中 正三角形 ， 平面 D 26， 则该球的体积为 ( ) A 32 3 B 48 C 64 3 D 16 3 5 (2011 辽宁 )已知球的直径 4， A， B 是该球球面上的两点， 3， 30 ，则棱锥 体积为 ( ) A 3 3 B 2 3 C. 3 D 1 二、填空题 (每小题 5 分，共 15 分 ) 6 (2012 泉州模拟 )一个三棱锥的正 (主 )视图和侧 (左 )视图及其尺寸如图所示，则该三棱锥俯视图的面积为 _ 7 (2012 青岛一模 )已知某棱锥的三视图如下图所示，则该棱锥的体积为 _ 8 (2012 郑州一质测 )在三棱锥 ， 6， 5，则该三棱锥的外接球的表面积为 _ 三、 解答题 (本题共 3 小题，共 35 分 ) 9 (11 分 )(2012 揭阳一模 )已知一四棱锥 三视图 如右，求四棱锥 体积 10 (12 分 )半径为 R 的球有一个内接圆柱，这个圆柱的底面 3 半径为何值时，它的侧面积最大？最大值是多少？ 11 (12 分 )如图，已知正四棱锥的底面边长为 a，侧棱长为 (1)它的外接球的体积； (2)它的内切球的表面积 参考答案 训练 12 三视图及空间几何体的计算问题 1 C 如图，当俯视时， P 与 B， Q 与 C， R 与 D 重合，故选 C. 2 C 因为体积为 12，而高为 1，所以底面为一个直角三角形故选 C. 3 C 由几何体的三视图可知，该几何体是由一个底面直径和高都是 2 的圆柱和一个底面边长为 2，侧棱长为 2 的正四棱锥叠放而成故该几何体的体积为 V 1 22 13( 2)2 3 2 2 33 ，故选 C. 4 A 如图所示， 外心，过 O 做 面 33 3， E 为 中点， 面 3， 2 3， 4 R 2 3， V 43(2 3)3 32 3. 5 C 如图，由 设 中点为 M，则 面 故 13S 在 ， 可求 2 3， 2， 3 52 . 由 得 32 522 3，可得 55 ， 故 1 55 ， 13S 13 3 124 3 52 55 3， 故选 C. 6 解析 该三棱锥俯视图为直角三角形，两直角边分别为 1,2，其面积为 1212 1. 答案 1 7解析 由三视图可知该几何体为四棱锥，底面为直角梯形其面积为 12(2 1)2 3，高为2，所以 V 1332 2. 答案 2 8解析 该三棱锥在一个长方体内，设长方体的长、宽、高分别为 a， b， c，则有 a c，25，36， 18，7. 外接球的半径为 12 12 43， S 4 12 432 43. 答案 43 5 9解 由该四棱锥的三视图可知，该四棱锥 底面是边长为 1 的正方形，侧棱 面 2，所以 13S 四边形 23. 10解 取圆柱的一个轴截面 O 为球的一个大圆设圆柱的半径为 r，高为 h，侧面积为 S. 连接 H. 在 ，有 h 2 所以 S 2 2 r2 4 r 所以 16 22 16 2( 16 2因为这是一个关于 所以，当 16216 2 即 r 22 R 时， S 有最大值， 最大值为 4 22 R 22 2 故当这个圆柱的底面半径为 22 R 时，它的侧面积最大，最大值是 2 11解 (1)设外接球的半径为 R，球心为 O，则 以 O 为 外心，即 外接圆半径就是球的半径 因为 a，所以 2a. 所以 正三角形 由正弦定理得， 2R 20 2 63 a， 因此 R 63 a，则 V 外接球 43 8 627 (2)设内切球 的半径为 r. 作 底面于 E，作 F，连接 则有 2a 2 72 a， 所以 S 1212a 72 a 74 所以 S 棱锥全 4S S 底 ( 7 1)又 72 62 a， 6 所以 V 棱锥 13S 底 h 1362 a 66 所以 r 33 66 2 612 a， 所以 S 球 4 4 73 1 训练 13 空间线面位置关系的推理与证明 (时间： 45 分钟 满分： 75 分 ) 一、选择题 (每小题 5 分，共 25 分 ) 1 下列命题正确的是 ( ) A l3 l3 l3D 2 (2012 荆门等八市联考 )设 l， m， n 表示不同的直线， 、 、 表示不同的平面，给出下列四个命题： 若 m l，且 m ，则 l ； 若 m l，且 m ，则 l ； 若 l， m， n，则 l m n； 若 m， l， n，且 n ，则l m. 其中正确命题的个数是 ( ) A 1 B 2 C 3 D 4 3 (2012 潍坊一模 )在空间中， l、 m、 n 是三条不同的直线， 、 、 是三个不同的平面，则下列结论错误的是 ( ) A若 ， ，则 B若 l ， l ， m，则 l m C ， ， l，则 l D若 m， l， n， l m， l n，则 m n 4 (2012 泉州模拟 )下列四个条件： x， y， z 均为直线； x， y 是直线， z 是平面； x 是直线， y， z 是平面； x， y， 其中，能使命题 “ x y， y zx z” 成立的有 ( ) A 1 个 B 2 个 C 3 个 D 4 个 5如图，在正四棱柱 E， F 分别是 以下结论中不成立的是 ( ) 2 A B 直 C 面 D 二、填空题 (每小题 5 分，共 15 分 ) 6如图所示，在边长 为 4 的正方形纸片 ， 交于 O，剪去 剩余部分沿 叠，使 合，则以 A、 B、 C、 D、 O 为顶点的四面体的体积为 _ 7 (2012 石家庄模拟 )如图， 圆 O 的直径，点 C 在圆周上 (异于点 A， B)，直线 直于圆 O 所在的平面，点 M 为线段 中点有以下四个命题： 平面 平面 平面 平面 平面 其中正确的命题是 _(填上所有正确命题的序号 ) 8如图，在长方形 ， 2， 1， E 为 中点， F 为线段 点除外 )上一动点现将 起，使平面 平面 过点 D 作 t，则 t 的取值范围是 _ 3 三、解答题 (本题共 3 小题，共 35 分 ) 9 (11 分 )如图所示，在四棱锥 P ，底面 边长为 a 的正方形， E、 F 分别为中点，侧面 底面 22 (1)求证： 平面 (2)求证：平面 平面 10.(12 分 )(2011 江西 )如图，在 ， B 2 ， 2， P 为 上一动点， 点 D，现将 折至 ，使平面 平面 (1)当棱锥 A 体积最大时，求 长； (2)若点 P 为 中点， E 为 A C 的中点，求证： A B 11 (12 分 )如图 (1)所示，在直角梯形 ， 2，E， F， G 分别为线段 中点，现将 起，使平面 平面 图(2) (1)求证： 平面 (2)在线段 确定一点 Q，使 平面 给出证明 参考答案 训练 13 空间线面位置关系的推理与证明 1 B 对于 A，直线 于 C，直线 于 D，直线 以选 B. 4 2 B 正确； 错误，没有明确 l 与 的具体关系； 错误，以墙角为例即可说明 ； 正确，可以以三棱柱为例说明 3 D 4 C 能使命题 “ x y， y zx z” 成立 5 D 6解析 折叠后的四面体如图所示 两相互垂直，且 2 2，体积 V 13S 13 12(2 2)3 8 23 . 答案 8 23 7解析 错误， 面 正确； 错误，否则，有 与 盾； 正确，因为 平面 答案 8解析 如图，过 D 作 足为 G，连接 平面 平面 平面 平面 容易得到，当 F 接近 E 点时， K 接近 中点，当 F 接近 C 点时， K 接近 四等分点 t 的取值范围是 12， 1. 答案 12， 1 9证明 (1)连接 F 是 中点， E 为 中点，故在 ， 又 面 面 平面 (2) 平面 平面 平面 平面 又 平面 5 又 22 等腰直角三角形，且 2 ， 即 D， 平面 又 面 平面 平面 10 (1)解 令 x(0 x 2)，则 A P x， 2 x. 因为 A P 平面 A 平面 故 A P 平面 所以 1316(2 x)(2 x)x 16(4x 令 f(x) 16(4x 由 f( x) 16(4 3 0，得 x 23 3(负值舍去 ) 当 x 0， 23 3 时， f( x) 0， f(x)单调递增； 当 x 23 3， 2 时， f( x) 0， f(x)单调递减 所以当 x 23 3时， f(x)取得最大值 故当 2 33 . (2)证明 设 F 为 A B 的中点， 如图所示，连接 则有 12 12所以 所以四边形 平行四边形 所以 又 A P 以 A B，故 A B. 11 (1)证 明 E、 F 分别是 中点， F平面 面 平面 同理： 平面 平面 平面 6 又 面 平面 (2)解 取 中点 Q，连接 平面 证明如下： 连接 E、 Q 分别是 中点， 平面 平面 平面 平面 在 ， E 是 中点 平面 平面 1 训练 14 用空间向量法解决立体几何问题 (时间： 45 分钟 满分： 75 分 ) 一、选择题 (每小题 5 分，共 25 分 ) 1如图所示，正方体 a， M、 N 分别为 的点， 2则 平面 位置关系是 ( ) A相交 B平行 C垂直 D不能确定 2 (2012 广州调研 )在长方体 2， 1，则 成角的正弦值为 ( ) A. 63 5 C. 155 D. 105 3 (2012 金华模拟 )已知正三棱柱 ( ) A. 64 B. 104 C. 22 D. 32 4 (2012 临沂模拟 )过正方形 顶点 A，引 平面 A 平面 成的二面角的大小是 ( ) A 30 B 45 C 60 D 90 5 (2012 潍坊模拟 )如图所示，正方体 ，线段 ， 2 F 且 22 ，则下列结论中错误的是 ( ) A 平面 三棱锥 体积为定值 D异面直线 成的角为定值 二、填空题 (每小题 5 分，共 15 分 ) 6在空间四边形 ， a 2c， 5a 6b 8c，对角线 中点分别为 P、Q，则 _. 7 (2012 武汉调研 )到正方体 三条棱 在直线的距离相等的点： 有且只有 1 个； 有且只有 2 个； 有且只有 3 个； 有无数个其中正确答案的序号是 _ 8已知 ( )2 32； ( ) 0； 向量 与向量 的夹角是 60 ； 正方体 |_ 三、解答题 (本题共 3 小题，共 35 分 ) 9 (11 分 )(2012 浙江 )如图，在四棱锥 ，底面是边长为 2 3的菱形， 120 ，且 平面 2 6， M， N 分别为 中点 3 (1)证明： 平面 (2)过点 A 作 足为点 Q，求二面角 平面角的余弦 值 10 (12 分 )(2012 东北四校一模 )如图，已知斜三棱柱 面 60 ， M 是 (1)求证： 平面 (2)求二面角 余弦值 11 (12 分 )(2012 唐山二模 )如图，在四棱锥 ， 底面 直角梯形，22 中点 (1)求证：平面 平面 (2)若二面角 余弦值为 63 ，求直线 平面 成角的正弦值 参考答案 训练 14 用空间向量法解决立体几何问题 1 B 23 23 23( ) 23( ) 23 23， 又 是平面 一 个法向量， 且 23 23 0， 4 ，又 平面 2 D 连 1 点，再连 面 成角 2， 5， 25 105 . 3 A 如图所示建立空间直角坐标系，设正三棱柱的棱长为 2， A(0， 1,0)， 3， 0,2)，则 ( 3， 1,2)， O(0,0,0)， B( 3， 0,0)， 则 ( 3， 0,0)为侧面 | | 64 . 4 B 建立如图所示的空间直角坐标系，不难求出平面 平面 法向量 0,1,0)， (0,1,1)，故平面 平面 成二面角 (锐角 )的余弦值为 |22 ，故所求的二面角的大小是 45. 5 D 平面 又 面 A 正确 5 平面 E、 F 在直线 平面 B 正确 C 中由于点 B 到直线 面积为定值，又点 A 到平面 距离为 22 ，故 当点 E 在 F 为 建立空间直角坐标系，如图所示， 可得 A(1,1,0)， B(0,1,0)， E(1,0,1)， 12， 1， (0， 1,1)， 12， 12， 1， 32. 又 | 2， | 62 ， ， | |322 62 32 . 此时异面直线 30 角 当点 E 为 点 F 在 时 12， 1， F(0,1,1)， 12， 12， 1， (0,0,1)， 1， | 122 122 12 62 ， ， | | 11 62 63 32 ，故选 D. 6解析 如图 6 ， 2 ( ) ( ) 0 0 a 2c 5a 6b 8c 6a 6b 10c， 3a 3b 5c. 答案 3a 3b 5c 7解析 注意到正方体 1D 上的每一点到直线 此到 三条棱 在直线距离相等的点有无数个，其中正确答案的序号是 . 答案 8解析 设正方体的棱长为 1， 中 ( )2 3()2 3，故 正确； 中 ，由于 正确； 中 0 ，但 的夹角为 120 ，故 不正确； 中 | | 也不正确 答案 9 (1)证明 因为 M， N 分别是 中点，所以 中位线，所以 又因为 面 以 平面 (2)解 连接 为原点， 在直线为 x， y 轴，建 立空间直角坐标系 图所示 在菱形 ， 120 ，得 2 3， 36. 又因为 平面 所以 在直角三角形 ， 2 3， 2 6， 2， 4. 由此知各点坐标如下， A( 3， 0,0)， B(0， 3,0)， C( 3， 0,0)， D(0,3,0)， P( 3， 0,2 6)， M 32 ， 32， 6 ， 7 N 32 ， 32， 6 ， Q 33 ， 0， 2 63 . 设 m (x， y， z)为平面 法向量 由 32 ， 32， 6 ， 32 ， 32， 6 知， 32 x 32y 6z 0，32 x32y 6z 0.取 z 1，得 m (2 2， 0， 1) 设 n (x， y， z)为平面 法向量 由 5 36 ， 32， 63 ， 5 36 ， 32， 63 知， 5 36 x 32y 63 z 0， 5 36 x 32y 63 z 0.取 z 5，得 n (2 2， 0,5) 于是 m， n m n|m| n| 3333 . 所以二面角 平面角的余弦值为 3333 . 10 (1)证明 侧面 60 ， 又 点 M 为 已知 平面 (2)解 如图建立空间直角坐标系，设菱形 ， 得 ， 1， 3)， A(0,2,0)， C( 3， 1,0)， ,1， 3) 则 (0,1， 3)， (0,2,0)， (0， 1， 3)， ( 3， 1,0) 设面 ( 由 ， 得， 8 20，30， 令 1，得 (1,0,0) 设面 法向量 (由 ， 得 30，30.令 3，得 ( 1， 3， 1)， 得 n2| 11 5 55 . 又二面角 锐角，所以所求二面角的余弦值为 55 . 11 (1)证明 平面 面 2， 1， 2， 又 C， 平面 面 平面 平面 (2)解 如图，以 C 为原点， 、 、 分别为 x 轴、 y 轴、 z 轴正向，建立空间直角坐标系，则 C(0,0,0)， A(1,1,0)， B(1， 1,0) 设 P(0,0， a)(a 0)， 则 12， (1,1,0)， (0,0， a)， 12， 12， 取 m (1， 1,0)，则 m m 0， m 为面 法向量 设 n (x， y， z)为面 法向量，则 n n 0， 即 x y 0，x y 0， 取 x a， y a， z 2， 则 n (a， a， 2)， 依题意， |m， n | |m n|m|n| 2 63 ，则 a 2. 于是 n (2， 2， 2)， (1,1， 2) 设直线 平面 成角为 ， 9 则 |， n | | n|n| 23 ， 即直线 平面 成角的正弦值为 23 . 1 训练 15 直线、圆及其交汇问题 (时间： 45 分钟 满分： 75 分 ) 一、选择题 (每小题 5 分，共 25 分 ) 1 (2012 东北三校一模 )直线 x 1 0 与直线 (a 1)x 2y 3 0 互相垂直，则 a 的值为 ( ) A 2 B 1 C 1 D 2 2若直线 3x y a 0 过圆 2x 4y 0 的圆心，则 a 的值为 ( ) A 1 B 1 C 3 D 3 3 (2012 济南一模 )由直线 y x 2 上的点向圆 (x 4)2 (y 2)2 1 引切线，则切 线长的最小值为 ( ) A. 30 B. 31 C 4 2 D. 33 4 (2012 皖南八校联考 (二 )已知点 M 是直线 3x 4y 2 0 上的动点，点 N 为圆 (x 1)2 (y 1)2 1 上的动点，则 |最小值是 ( ) B 1 若曲线 2x 0 与曲线 y(y m) 0 有 四个不同的交点，则实数 m 的取值范围是 ( ) A. 33 ， 33 B. 33 ， 0 0， 33 C. 33 ， 33 D. ， 33 33 ， 二、填空题 (每小题 5 分，共 15 分 ) 6已知圆 C 经过 A(5,1)， B(1,3)两点，圆心在 x 轴上，则 C 的方程为 _ 7已知圆 24y 5 0 与圆 2x 23 0，若圆 2相外切，则实数 m _. 8 (2012 山东 )如图，在平 面直角坐标系 ，一单位圆的圆心的初始位置在 (0,1)，此时圆上一点 P 的位置在 (0,0)，圆在 x 轴上沿正向滚动当圆滚动到圆心位于 (2,1)时， 坐标为 _ 2 三、解答题 (本题共 3 小题，共 35 分 ) 9 (11 分 )已知圆 x 6y m 0 和直线 x 2y 3 0 交于 P、 Q 两点，且 为坐标原点 )，求该圆的圆心坐标和半径 10 (12 分 )已知圆 C： 2x 4y 3 0. (1)若圆 C 的切线在 x 轴和 y 轴上的截距相等，求此切 线的方程； (2)从圆 C 外一点 P(该圆引一条切线，切点为 M， O 为坐标原点，且有 | |求使得 |得最小值的点 P 的坐标 11 (12 分 )(2012 东莞二模 )如图，已知 边 在直线的方程为 x 3y 6 0，M(2,0)满足 ，点 T( 1,1)在 所在直线上且满足 0.