2014高考数学 （知识整合+方法技巧+例题分析）拿分题训练（打包19套）
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2014高考数学 （知识整合+方法技巧+例题分析）拿分题训练（打包19套）,高考,数学,知识,整合,方法,法子,技巧,技能,例题,分析,拿分题,训练,打包,19
- 内容简介：
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- 1 - 2014高考数学“拿分题”训练： 三角 函数 高考试题中的 三角函数题相对比较传统，难度较低，位置靠前，重点突出。因此，在复习过程中既 要注重 三角知识的基础性，突出三角函数的图象、周期性、单调性、奇偶性、对称性等性质。以及化简、求值和最值等重点内容的复习，又要注重三角知 识的工具性，突出三角与代数、几何、向量的综合联系，以及三角知识的应用意识。 一、知识整合 1熟练掌握三角变换的所有公式，理解每个公式的意义，应用特点，常规使用方法等；熟悉三角变换常用的方法 化弦法，降幂法，角的变换法等；并能应用这些方法进行 三角函数式的求值、化简、证明；掌握三角变换公式在三角形中应用的特点，并能结合三角形的公式解决一些实际问题 2熟练掌握正弦函数、余弦函数、正切函数、余切函数的性质，并能用它研究复合函数的性质；熟练掌握正弦函数、余弦函数、正切函数、余切函数图象的形状、特点，并会用五点画出函数)y A x的图象；理解图象平移变换、伸缩变换的意义，并会用这两种变换研究函数图象的变化 二、 高 考考点分析 2004年各地高考中本部分所占分值在 17 22分，主要以选择题和解答题的形式出现 。 主要考 察内容按综合难度分， 我认为有以下几个层次： 第一层次：通过诱导公式和倍角公式的简单运用，解决有关三角函数基本性质的问题。如判断符号、求值、求周期、判断奇偶性等。 第二层次：三角函数公式变形中的某些常用技巧的运用。如辅助角公式、平方公式逆用、切弦互化等。 第三层次：充分利用三角函数作为一种特殊函数的图象及周期性、奇偶性、单调性、有界性等特殊性质，解决较复杂的函数问题。如分段函数值，求复合函数值域等。 三、方法技巧 （ 1）常值代换：特别是用“ 1”的代换，如 1=。 （ 2）项的分拆与角的配凑。如分拆项： +凑角： =（ +）， =等。 （ 3）降次与升次。（ 4）化弦（切）法。 （ 4）引入辅助角。 22 +)，这里辅助角所在象限由 a、b 的符号确定，角的值由 方法。 （ 1）思路：利用三角公式进行化名，化角，改变运算结构，使等式两边化为同一形式。 （ 2）证明方法：综合法、分析法、比较法、代换法、相消法、数学归纳法。 较法、配方法、反证法、分析法，利用函数的单调性，利用正、余弦函数的有界性，利用 单位圆三角函数线及判别法等。 （ 1）发现差异：观察角、函数运算间的差异，即进行所谓的“差异分析”。 （ 2）寻找联系：运用相关公式，找出差异之间的内在联系。 （ 3）合理转化：选择恰当的公式，促使差异的转化。 - 2 - 四、例题分析 例 1已知2，求（ 1） ；（ 2） 22 的值 . 解：（ 1）2232121； (2) 222222. 说明：利用齐次式的结构特点（如果不具备，通过构造的办法得到），进行弦、切互化，就会使解题过程简化。 例 2求函数21 si n c si n c y x x x x 的值域。 解：设si n c si n( ) 2 2 4t x x x ，则原函数可化为 22131 ( )24y t t t ，因为 2 2t ，所以 当2t时，2y ，当12t时，4， 所以，函数的值域为 3 2y，。 例 3已知函数2( ) 4 si n 2 si n 2 2f x x x x R ，。 （ 1）求() （ 2）证明：函数 的图像关于直线8x对称。 解：22( ) 4 si n 2 si n 2 2 2 si n 2( 1 2 si n )f x x x x x 2 si n 2 2 c 2 2 si n( 2 )4x x x (1)所以()，因为 所以，当2242 ，即38时，() (2)证明：欲证明函数 的图像关于直线8x对称，只要证明对任意有( ) ( )88 f x f x 成立， - 3 - 因为( ) 2 2 si n 2( ) 2 2 si n( 2 ) 2 2 c 8 8 4 2 f x x x x ， ( ) si n( 2 ) 2 2 c f x x x ， 所以( ) ( )88 f x f x 成立，从而函数()对称。 例 4 已知函数 y=213 （ x R） , （ 1）当函数 自变量 （ 2）该函数的图像可由 y=x R)的图像经过怎样的平移和伸缩变换得到？ 解：（ 1） y=213=41(21)+ 41+43（ 2+1 =4=2(+5=21x+6)+ 所以 需 2x+ =2+2（ k Z），即 x=6+（ k Z）。 所以当函数 值时，自变量 x|x= +k Z （ 2）将函数 y= （ i）把函数 y=得到函数 y=x+6)的图像； （ 把 得到的图像上各点横坐标缩短到原来的21倍（纵坐标不变），得到函数y=x+6)的图像； （ 得到的图像上各点纵坐标缩短到原来的21倍（横坐标不变），得到函数y=21x+6)的图像； （ 得到的图像向上平移45个单位长度，得到函数 y=21x+6)+45的图像。 综上得到 y=213的图像。 说明：本题是 2000年全国高考试题，属中档偏容易题，主要考查三角函数的图像和性质。这类题一般有两种解法：一是化成关于 幂后最终化成 y=22 x+)+是化成某一个三角函数的二次三项式。本题（ 1）还可以解法如下：当时， y=1；当 0时， y=+1=+1 化简得： 2(y 1)y 3=0 R， =3 8(y 1)(2y 3) 0,解之得：43 y7 - 4 - 7，此时对应自变量 x|x=6,k Z 例 5 2 （）将 f(x)写成) 求其图象对称中心的横坐标； （）如果 a、 b、 b2=边 x，试求 f(x)的值域 . 解：2 3)332 332322 332 ）由)332x=0即 2 13)(32 得即对称中心的横坐标为 ，2 13（）由已知 b2=，231)3321)33295|23|953323301)(31,3( . 综上所述，3,0( x， )(31,3( . 说明：本题综合运用了三角函数、余弦定理、基本不等式等知识，还需要利用数形结合的思想来解决函数值域的问题，有利于培养学生 的运算能力，对知识进行整合的能力。 例 6在a、 b、 、 B、 a ， (1)求 (2)若42b，且 a=c，求 解： (1)由正弦定理及a c，有 si n si si ， 即si n c si n c os si n c A B C B，所以si n( ) 3 si n c B， 又因为A B C ，) A，所以 si n B，因为A，所以1B，又0 B ，所以2 22si n 1 c 。 (2)在余弦定理可得22 2 323a c ，又 所以有4 32 243 ， 即，所以 - 5 - 211si n si n 8 222S a B 。 例 7已知向量2( 2 c os si n ) ( si n c ( 3 )a b x a t b ， 2， =， ， ，y ka b ，且0， (1)求函数()k f (2)若 13t，求() 解： (1)2 4a，2 1b，00， 所以2 2 2 2 2 ( 3 ) ( ) ( 3 ) ( 3 ) 0x y a t b k a b k a t b t k t a b ， 所以31344t t，即313() 44k f t t t ； (2)由 (1)可得，令()，解得1t，列表如下： t 1 ( 1， 1) 1 (1， 3) ()导数 0 0 + 递减 极小值 递增 而1 1 9( 1 ) (1 ) ( 3 )2 2 2f f f ， ， ，所以m a x m ) ( )22f t f t ，。 例 8已知向量25( c os si n ) ( c os si n ) | | 5a b ， ， =， ， (1) 求) 的值； (2) (2)若50 0 si n si 13 ， ， 且 ， 求的值。 解： (1)因为( c os si n ) ( c os si n )a b ， ， =， ，所以( c os c os si n si n ) ， ，又因为25|5，所以22 25( c os c ( si n si n ) 5 ， 即432 2 ) c )55 ，； (2) 0 0 022 ， ， - 6 - 又因为3) 5 ，所以 4)， 53，所以123，所以63si n si n ( ) 65 例 9平面直角坐标系有点4,4),1,( 1） 求向量余弦用 （ 2） 求的最值 . 解：（ 1） 即 )44( x（ 2）xx ， 又 2 23,2 x， 1,322 ， 0， 322x . 说明：三角函数与向量之间的联系很紧密，解题时要时刻注意。 - 1 - 2014高考数学“拿分题”训练： 不等式 不等式这部分知识，渗透在中学数学各个分支中，有着十分广泛的应用因此不等式应用问题体现了一定的综合性、灵活多样性，对数学各部分知识 融会贯通 ，起到了很好的促进作用在解决问题时 ，要依据题设 与结论 的结构特点、内在联系、选择适当的解决方案，最终归结为不等式的求解或证明 不等式的应用范围十分广泛，它始终贯串在整个中学数学之中诸如集合问题，方程 (组 )的解的讨论，函数单调性的研究，函数定义域的确定，三角、数列、复数、立体几何、解析几何中的最大值、最小值问题，无一不与不等式有 着密切的联系，许多问题，最终都可归结为不等式的求解或证明。 一、知识整合 1 解不等式的核心问题是不等式的同解变形，不等式的性质则是不等式变形的理论依据，方程的根、函数的性质和图象都与不等式的解法密切相关，要善于把它们有机地联系起来，互相转化在解不等式中，换元法和图解法是常用的技巧之一通过换元，可将较复杂的不等式化归为较简单的或基本不等式，通过构造函数、数形结合，则可将不等式的解化归为直观、形象的图形关系，对含有参数的不等式，运用图解法可以使得分类标准明晰 2 整式不等式 (主要是一次、二次不等式 )的解法是解不等式的基础，利用不等式的性质及函数的单调性，将分式不等式、绝对值不等式等化归为整式不等式 (组 )是解不等式的基本思想，分类、换元、数形结合是解不等式的常用方法 方程的根、函数的性质和图象都与不等式的解密切相关，要善于把它们有机地联系起来，相互转化和相互变用 3 在不等式的求解中，换元法和图解法是常用的技巧之一，通过换元，可将较复杂的不等式化归为较简单的或基本不等式，通过构造函数，将不等式的解化归为直观、形象的图象关系，对含有参数的不等式，运用图解法，可以使分类标准更加明晰 4证明不等式的方 法灵活多样，但比较法、综合法、分析法仍是证明不等式的最基本方法要依据题设、题断的结构特点、内在联系，选择适当的证明方法，要熟悉各种证法中的推理思维，并掌握相应的步骤，技巧和语言特点比较法的一般步骤是：作差 (商 )变形判断符 号 (值 ) 5 证明不等式的 方法多样，内容丰富、技巧性较强在证明不等式前，要依据题设和待证不等式的结构特点、内在联系，选择适当的证明方法 通过等式或不等式的运算，将待证的不等式化为明显的、熟知的不等式，从而使原不等式得到证明；反之亦可从明显的、熟知的不等式入手，经过一系列的运算 而导出待证的不等 式，前者是“执果索因”，后者是“由因导果”，为沟通联系的途径，证明时往往联合使用分析综合法，两面夹击，相辅相成，达到欲证的目的 6不等式应用问题体现了一定的综合性这类问题大致可以分为两类：一类是建立不等式、解不等式；另一类是建立函数式求最大值或最小值利用平均值不等式求函数的最值时，要特别注意“正数、定值和相等”三个条件缺一不可，有时需要适当拼凑，使之符合这三个 - 2 - 条件利用不等式解应用题的基本步骤： 7通过不等式的基本知识、基本 方法在代数、三角函数、数 列、复数、立体几何、解析几何等各部分知识中的应用，深化数学知识间的融汇贯通，从而提高分析问题解决问题的能力在应用不等式的基本知识、方法、思想解决问题的过程中，提高学生数学素质及创新意识 二、方法技巧 归，一般都转化为最简单的一元一次不等式（组）或一元二次不等式（组）来求解，。 特别注意数形结合思想，函数与方程思想，分类讨论思想的录活运用。 3不等式证明方法有多种，既要注意到各种证法的适用范围，又要注意在掌握常规证法的基 础上，选用一些特殊技巧。如运用放缩法证明不等式时要注意调整放缩的度。 4根据题目结构特点，执果索因，往往是有效的思维方法。 三、例题分析 b) M，且对 c， d)，总有 c a，则 a=_ 分析 ：读懂并能揭示问题中的数 学实质，将是 解决该问题的突破口怎样理解“对 M 中的其它元素 (c， d)，总有 c a”？ 解 ： 依题可知，本题等价于求函数 x=f(y)=(y+3) |(y+3) (2)当 1 y 3时， 所以当 y=1时，4 简评：题设条件中出现集合的形式，因此要认清集合元素的本质属性，然后结合条件，揭示 其 数 学 实 质 即 求 集 合 M 中 的 元 素 满 足 关 系 式 - 3 - 例 2已知非负实数 x， 8 0 且3 2 7 0 ，则的最大值是（ ） A73B83C 2 D 3解：画出图象，由线性规划知识可得，选 D 例 3数列 21,011（ 1）证明：对于 总有,2, （ 2）证明：对于1, nn 有 证明：（ 1）)()(21,0)(210 111 而知及成立时当 n 2（ 2）当2(21),(21,0 11 =成立时 12 , 例 4解关于 092 2 例主要复习含绝对值不等式的解法，分类讨论的思想。本题的关键不是对参数是去绝对值时必须对末知数进行讨论，得到两个不等式组，最后对两个不等式组的解集求并集，得出原不等式的解集。 解：当 029929 222 时，不等式可转化为73 02992)( 222 时不等式可化为当 - 4 - 23,(323故不等式的解集为或。 例 5若二次函数 y=f(x)的图象经过原点，且 1 f( 2， 3 f(1) 4，求 f(范围 分析 ：要求 f(取值范围，只需找到含人 f(不等式 (组 )由于 y=f(x)是二次函数，所以应先将 f(x)的表达形式写出来即可求得 f(表达式，然后依题设条件列出含有 f(不等式 (组 )，即可求解 解 ：因为 y=f(x)的图象经过原点，所以可设 y=f(x)=是 解法一 (利用基本不等式的性质 ) 不等式组 ( )变形得 ( ) 所以 f(取值范围是 6， 10 解法二 (数形结合 ) 建立直角坐标系 出不等式组 ( )所表示的区域，如图 6 中的阴影部分因为f(4以 42)=0 表示斜率为 2 的直线系如图 6，当直线 42)=0过点 A(2， 1)， B(3， 1)时，分别取得 f(最小值 6，最大值 10即 f(取 值范围是：6 f( 10 解法三 (利用方程的思想 ) - 5 - 又 f(4f(f(1)，而 1 f( 2， 3 f(1) 4， 所以 3 3f( 6 +得 4 3f(f(1) 10，即 6 f( 10 简评： (1)在解不等式时，要求作同解变形要避免出现以下一种错解： 2b， 8 4a12， 以 5 f( 11 (2)对这类问题的求解关键一 步是，找到 f(数学结构 ，然后依其数学结构特征，揭示其代数的、几何的本质，利用不等式的基本 性质、数形结合、方程等数学思想方法，从不同角度去解决同一问题若长期这样思考问题，数学的素养一定会迅速提高 例 6设函数 f(x)=bx+y=x， y=x，均不相交 有2 14ax bx c a . 分析 ：因为 x R，故 |f(x)|的最小值若 存在，则最小值由顶点确定，故设 f(x)=a(+f( 证明 ：由题意知， a 0设 f(x)=a(+f(则 又二次方程 bx+c= 1=(b+1)20， 2=(0 所以 (b+1)2+(0，即 20，即 以 | 1 简评： 从上述几个例子可以看出，在证明与二次函数有关的不等式问题时，如果针对题设条件，合理采取二次函数的不同形式，那么 我们就找到了一种有效的证明途径 - 6 - 例 7某城市 2001年末汽车保有量为 30万辆，预计此后每年报废上一年末汽车保有量的6%，并且每年新增汽车数量相同。为了保护城市环境，要求该城市汽车保有量不超过 60 万辆，那么每年新增汽车数量不应超过多少辆？ 解：设 2001 年末的汽车保有量为 1a，以后每年末的汽车保有量依次为., 32 年新增汽车题意得 )1 1xannnxaxxannnnn - 1 - 2014高考数学“拿分题”训练： 函数与方程的思想方法 一、知识整合 函数与方 程是两个不同的 概念，但它们之间有着密切的联系， 方程 f(x) 0的解就是函数 y f(x)的图像与 数 y f(x)也可以看作二元方程 f(x)0通过方程进行研究 。 就中学数学而言，函数思想在解题中的应用主要表现在两个方面：一是借助有关初等函数的性质，解有关求值、解 (证 )不等式、解方程以及讨论参数的取值范围等问题：二是在问题的研究中，通过建立函数关系式或构造中间函数，把所研究的 问题转化为讨论函数的有关性质，达 到化难为易，化繁为简的目的 之，许多函数问题也可以用 方程的方法来解决。函数与方程的思想是中学数学的基本思想，也是历年高考的重点。 1函数的思想，是用运动和变化的观点，分析和研究数学中的数量关系，建立函数关系或构造函数，运用函数的图像和性质去分析问题、转化问题，从而使问题获得解决。函数思想是对函数概念的本质认识，用于指导解 题就是善于利用函数知识或函数观点观察、分析和解决问题。 2方程的思想，就是分析数学问题中变量间的等量关系，建立方程或方程组，或者构造方 程， 通过解方程或方程组，或者运用方程的性质去分析、转化问题，使问题获得解决。方程的数学是对方程概念的本质认识，用于指导解题就是善于利用方程或方程组的观点观察处理问题。 方程思想是动中求静，研究运动中的等量关系 . 3 (1) 函数和方程是密切相关的，对于函数 y f(x)，当 y 0时，就转化为方程 f(x) 0，也可以把函数式 y f(x)看做二元方程 y f(x) 0。函数问题（例如求反函数，求函数的值域等）可以转化 为方程问题来求解，方程问题也可以转化为函数问题来求解，如解方程f(x) 0，就是求函数 y f(x)的零点 。 (2) 函数与不等式也可以相互转化，对于函数 y f(x)，当 y0时，就转化为不等式f(x)0，借助于函数图像与性质解决有关问题，而研究函数的性质，也离不开解不等式。 (3) 数列的通项或前 函数的观点处理数列问题十分重要。 (4) 函数 f(x)( （ n N*）与二项式定理是密切相关的，利用这个函数用赋值法和比较系数法可以解决很多二项式定理的问题。 (5) 解析几何中的许多问题，例如直线和二次曲线的位置关系问题，需要通过解二元方程组才能解决，涉及到二次方程与二次函数的有关理论。 (6) 立体几何中有关线段、角、面积、体积的计算，经常需要运用布列方程或建立函数表达式的方法加以解决。 二、例题解析 - 2 - 运用函数与方程、表达式相互转化的观点解决函数、方程、表达式问题。 例 1 已知155 a a、 b、 c R），则有（ ） (A) 2 (B) (C) 2 (D) 2 解析 法一：依题设有 a 5 b5 c 0 5是实系数一元二次方程02 2 0 2 故选 (B) 法二：去分母，移项，两边平方得： 222 10255 102 5a c 202 故选 (B) 点评解法一通过简单转化 ，敏锐地抓住了数与式的特点，运用方程的思想使问题得到解决；解法二转化为 a、 c 的函数，运用重要不等式，思路清晰，水到渠成。 练习 1 已知关于2x（ 2 m 8） x +2 16 = 0的两个实根 1x、2满足 1x232x，则实数 _。 答案：17 | 22 ； 2 已知函数 32()f x ax bx cx d 的图象如下，则（ ） （ A） ,0b (B)0,1b(C) (1,2)b(D)(2, )b 答案： A. 3 求使不等式)lg(xy2 对大于 1的任意 x、 ：构造函数或方程解决有关问题： 例 2 已知 ， t 2， 8，对于 f(t)值域内的所有实数 m，不等 式 242 恒成立，求 解析 t 2， 8， f(t) 21， 3 原题转 化为：2)2()2( 恒成立，为 里思维的转化很重要） x 2 1 y 0 - 3 - 当 x 2 时，不等式不成立。 x 2。令 g(m)2)2()2( m 21， 3 问题转 化为 g(m)在 m 21， 3上恒对于 0，则：0)3(0)21( 解得： x2或 30 13S2156781 0 724d 3 （ 2）2512(212 )1( 21 d0，n 的二次函数，对称轴方程为： x724d 3 613当 n 6时， 三、强化练习 181()x _. 2已知方程22( 2 )( 2 ) 0x x m x x n 的四个根组成一个首项为14的等差数列 ,则( ) A 1 B 34C 12D 条渐近线为12，则该双曲线的离心率e（ ） A 5 B 5C 52D 4 - 5 - 4已知锐角三 角形 1si n( ) , si n( )55A B A B 。 求 上的高。 5甲、乙、丙三台机床各自独立地加工同一种零件，已知甲机床加工的零件是一等品而乙机床加工的零件不是一等品的概率为14，乙机床加工的零件是一等品而丙机床加工的零件不是一等品的概率为112，甲、丙两台机床加工的零件都是一等品的概率为29。 、丙三台机床各自加工的零件是一等品的概率； 、丙加工的零件中各取一个进行检验 ,求至少有一个是一等品的概率。 6设0a，2()f x ax bx c ，曲线()y f x在点00( , ( )P x f ，则 点到曲线y f x对称轴距离的取值范围是（ ） 1. 0,20,2B a. 0, 2bC 0,2 ：2 22 1( 0)x 与直线:1l x y相交于两个不同的点 A、 B。 的离心率 ，且512B，求 - 1 - 2014高考数学“拿分题”训练： 数问题的题型与方法 三 、 函数的概念 函数有二种定义，一是变量观点下的 定义，一是映射观点下的定义复习中不能仅满足对这两种定义的背诵，而应在判断是否构成函数关系，两个函数关系是否相同等问题中得到深化，更应在有关反函数问题中正确运用 具体要求是： 1深化对函数概念的理解，明确函数三要素的作用，并能以此为指导正确理解函数与其反函数的关系 2系统归纳求函数定义域、值域、解析式、反函数的基本方法在熟练有关技能的同时，注意对换元、待定系数法等数学思想方法的运用 3通过对分 段定义函数，复合函数，抽象函数等的认识，进一步体会函数关系的本质，进一步树立运动变化，相互联系、制约的函数思想，为函数思想的广泛运用打好基础 本部分的难点首先在于克服 “ 函数就是解析式 ” 的片面认识，真正明确不仅函数的对应法则，而且其定义域都包含着对函数关系的制约作用，并真正以此作为处理问题的指导其次在于确定函数三要素、求反函数等课题的综合性，不仅要 用到解方程，解不等式等知识，还要用到换元思想、方程思想等与函数有关概念的结合 深化对函数概念的认识 例 1 下列函数中，不存在反函数的是 （ ） 分析 ： 处理本题有多种思路分别求所给各函数的反函数，看是否存在是不好的，因为过程太繁琐 从概念看，这里应判断对于给出函数值域内的任意值，依据相应的对应法则，是否在其定义域内都只有惟一确定的值与之对应，因此可作出给定函数的图象，用数形结合法作判断，这是常用方法 。 此题作为选择题还可采用估算的方法对于 D， y=3是其值域内一个值，但若 y=3，则可能 x=2(2 1)，也可能 x=1 依据概念，则易得出 是决定本题选 D 说明： 不 论采取什么思路，理解和运用函数与其反函数的关系是这里解决问题的关键 由于函数三要素在函数概念中的重要地位，那么掌握确定函数三要素的基本方法当然成了函数概念复习中的重要课题 例 1（重庆市） 函数)23( D ） A、1, )B、23( , )C、23,1D、23(,1例 2（天津市）函数12 1 x）的反函数是（ D ） A、)31( 31( 131( 131( 例 3（北京市） 函数,(),x x x M 其中 P、 M 为实数集 R 的两个非空子集，又规定 - 2 - f P y y f x x P( ) | ( ), ，f M y y f x x M( ) | ( ), ，给出下列四个判断： 若P M ，则f P f M( ) ( ) 若P M ，则f P f M( ) ( ) 若 R，则( ) ( )f f MR若R，则( ) ( )f f B ） A、 1个 B、 2个 C、 3个 D、 4个 分析：若P M ，则只有0和是正确的 系统小结确定函数三要素的基本类型与常用方法 1求函数定义域的基本类型和常用方法 由给定函数解析式求其定义域这类问题的代表，实际上是求使给定式有意义的 x 的取值范围它依赖于对各种式的认识与解不等式技能的熟练这里的最高层次要求是给出的解析式还含有其他字 例 2 已知函数0， 2)，求下列函数的定义域： 分析 ： f(由 u=f(u)这两个函数复合而成的复合函数，其中 于 f(x)， f(u)是同一个函数，故 (1)为已知 0 u 2，即 0 2求x 的取值范围 解 ： (1)由 0 2， 得 说明： 本例 (1)是求函数定义域的第二种类型，即不给出 f(x)的解析式，由 f(x)的定义域求函数 fg(x)的定义域关键在于理解复合函数的意义，用好换元法 (2)是二种类型的综合 求函数定义域的第三种类型是一些数学问题或实际问题中产生的函数关系，求其定义域 。 2求函数值域的基本类型和常用方法 函数的值域是由其对应法则和定义域共同决定的其类型依解析式的特点分可分三类：(1)求常见函数值域； (2)求由常见 函数复合而成的函数的值域 ； (3)求由常见函数作某些“运算”而得函数的值域 3求函数解析式举例 - 3 - 例 3 已知 0，并且 436由此能否确定一个函数关系 y=f(x)？如果能，求出其解析式、定义域和值域；如果不能，请说明理由 分析 ： 436在解析几何中表示双曲线的方程，仅此当然不能确定一个函数关 系y=f(x)，但加上条件 0呢？ 所以 因此能确定一个函数关系 y=f(x)其定义域为 (-， (3， + )且不难得到其值域为 (-， 0) (0， ) 说明： 本例从某种程度上揭示了函数与解析几何中方程的内在联系任何一个函数的解析式都可看作一个方程，在一定条件下，方程也可转化为表示函数的解析式求函数解析式还有两类问题： (1)求常见函数的解析式由于常见函数 (一次函数，二次函数，幂函数，指数函数，对数函数，三角函数及反三角函数 )的解析式的结构形式是确定的，故可用待定 系数法确定其解析式这里不再举例 (2)从生产、生活中产生的函数关系的确定这要把有关学科知识，生活经验与函数概念结合起来，举例也宜放在函数复习的以后部分 四、 函数的性质 、 图象 (一 )函数的性质 函数的性质是研究初等函数的基石，也是高考考 查 的重点内容在复习中要肯于在对定义的深入理解上下功夫 复习函数的性质，可以从 “ 数 ” 和 “ 形 ” 两个方面，从理解函数的单调性和奇偶性的定义入手，在判断和证明函数的性质的问题中得以巩固，在求复合函数的单调区间、函数的最值及应用问题的过程中得以深化 具体要求是： 1正确理 解函数单调性和奇偶性的定义，能准确判断函数的奇偶性，以及函数在某一区间的单调性，能熟练运用定义证明函数的单调性和奇偶性 2从数形结合的角度认识函数的单调性和奇偶性，深化对函数性质几何特征的理解和运用，归纳总结求函数最大值和最小值的常用方法 3培养学生用运动变化的观点分析问题，提高学生用换元、转化、数形结合等数学思想方法解决问题的能力 - 4 - 这部分内容的重点是对函数单调性和奇偶性定义的深入理解 函数的单调性只能在函数 的定义域内来讨论函数 y=f(x)在给定区间上的单调性，反映了函数在区间上函数值的变化 趋势，是函数在区间上的整体性质，但不一定是函数在定义域上的整体性质函数的单调性是对某个区间而言的，所以要受到区间的限制 对函数奇偶性定义的理解，不能只停留在 f(f(x)和 f(-f(x)这两个等式上，要明确对定义域内任意一个 x，都有 f(f(x)， f(-f(x)的实质是：函数的定义域关于原点对称这是函数具备奇偶性的必要条件稍加推广，可得函数 f(x)的图象关于直线 x=x，都有 f(x+a)=f(立函数的奇偶性是其相应图象的特殊的对 称性的反映 这部分的难点是函数的单调性和奇偶性的综合运用根据已知条件，调动相关知识，选择恰当的方法解决问题，是对学生能力的较高要求 1 对函数单调性和奇偶性定义的理解 例 4 下面四个结论：偶函数的图象一定与 奇函数的图象一定通过原点；偶函数的图象关于 既是奇函数又是偶函数的函数一定是 f(x)=0(x R)，其中正确命题的个数是 （ ） A 1 B 2 C 3 D 4 分析 ： 偶函数的图象关于 不一定相交，因此正确 ，错误 奇函数的图象关于原点对称，但不一定经过原点，因此 不正确 若 y=f(x)既是奇函数，又是偶函数，由定义可得 f(x)=0，但不一定 x R，如例 1中的(3)，故错误，选 A 说明： 既奇又偶函数的充要条件 是定义域关于原点对称且函数值恒为零 2 复合函数的性质 复合函数 y=fg(x)是由函数 u=g(x)和 y=f(u)构成的，因变量 数 u=g(x)的值域是 y=f(u)定义域的子集 复合函数的性质由构成它的函数性质所决定，具备如下规律： (1)单调性规 律 如果函数 u=g(x)在区间 m， n上是单调函数，且函数 y=f(u)在区间 g(m)， g(n) (或g(n)， g(m)上也是单调函数，那么 若 u=g(x)， y=f(u)增减性相同，则复合函数 y=fg(x)为增函数；若 u=g(x)， y= f(u)增减性不同，则 y=fg(x)为减函数 (2)奇偶性规律 - 5 - 若函数 g(x)， f(x)， fg(x)的定义域都是关于原点对称的，则 u=g(x)， y=f(u)都是奇函数时， y=fg(x)是奇函数； u=g(x)， y=f(u)都是偶函数，或者一奇一偶时 ， y= fg(x)是偶函数 例 5 若 y= 0， 1上是 ） A (0， 1) B (1， 2) C (0， 2) D 2， + ) 分析 ： 本题存在多种解法，但不管哪种方法，都必须保证：使 意义，即a 0且 a 1， 20使 0， 1上是 于所给函数可分解为y=u， u=2中 u=2a 0时为减函数，所以必须 a 1； 0， 1必须是y=2义域的子集 解法一 ： 因为 f(x)在 0， 1上是 以 f(0) f(1)， 即 解法二 ： 由对数概念显然有 a 0且 a 1，因此 u=20， 1上是减函数 ， y= a 1， 排除 A， C，再令 故排除 D，选 B 说明： 本题为 1995 年全国高考试题，综合了多个知识点，无论是用直接法，还是用排除法都需要概念清楚，推理正确 3 函数单调性与奇偶性的综合运用 例 6 甲、乙两地相距 车从甲地匀速行驶到乙地，速度不得超过 c h，已知汽车每小时的运输成本 (以元为单位 )由可变部分和固定部分组成：可变部分与速 度 v(h)的平方成正比，比例系数为 b；固定部分为 (1)把全程运输成本 y(元 )表示为速度 v(h)的函数，并指出这个函数的定义域； (2)为了使全程运输成本最小，汽车应以多大速度行驶 分析 ： (1)难度不大，抓住关系式：全程运输成本 =单位时间运输成本全程运输时间，而全程运输时间 =(全程距离 ) (平均速度 )就可以解决 - 6 - 故所求函数及其定义域为 但由于题设条件限制汽车行驶速度不超过 h， 所以 (2)的解决需要 论函数的增减性来解决 由于 0， 0，并且 - 7 - 又 S 0，所以 即 则当 v= 说明： 此题是 1997 年全国高考试题由于限制汽车行驶速度不得超过 c，因而求最值的方法也就不完全是常用的方法，再加上字母的抽象性，使难度有所增大 （二） 函数的图象 1掌握描绘函数图象 的两种基本方法 描点法和图象变换法 2会利用函数图象，进一步研究函数的性质，解决方程、不等式中的问题 3用数形结合的思想、分类讨论的思想和转化变换的思想分析解决数学问题 4掌握知识之间的联系，进一步培养观察、分析、归纳、概括和综合分析能力 以解析式表示的函数作图象的方法有两种，即列表描点法和图象变换法，掌握这两种方法是本节的重点 运用描点法作图象应避免描点前的盲目性，也应避免盲目地连点成线要把表列在关键处，要把线连在恰当处这就要求对所要画图象的存在范围、大致特征、变化趋势等作一个大概的 研究而这个研究要借助于函数性质、方程、不等式等理论和手 段，是一个难点用图象变换法作函数图象要确定以哪一种函数的图象为基础进行变换，以及确定怎样的变换这也是个难点 1 作函数图象的一个基本方法 例 7 作出下列函数的图象 (1)y=|x 1)； (2)y=10| 分析 ： 显然直接用已知函数的解析式列表描点有些困难，除去对其函数性质分析外，我们还应想到对已知解析式进行等价变形 解 ： (1)当 x 2时，即 0时， - 8 - 当 x 2时，即 0时， 这是分段函数，每段函数图象可根据二次函数图象作出 (见图 6) (2)当 x 1时， 0， y=10|10x； 当 0 x 1时， 0， 所以 这是分段函数，每段函数可根据正比例函数或反比例函数作出 (见图 7) 说明： 作不熟悉的函数图象，可以变形成基本函数再作图，但要注意变形过程是否等价，要特别注意 x， 此必须熟记基本函数的图象例如：一次函数、反比例函数、二次函数、指数函数、对数函数，及三角函数、反三角函数的图象 在变换函数解析式中运用了转化变换和分类讨论的思想 2 作函数图象 的另一个基本方法 图象变换法 一个函数图象经过适当的变换 (如平移、伸缩、对称、旋转等 )，得到另一个与之相关的图象，这就是函数的图象变换 在高中，主要学习了三种图象变换：平移变换、伸缩变换、对称变换 - 9 - (1)平移变换 函数 y=f(x+a)(a 0)的图象可以通过把函数 y=f(x)的图象向左 (a 0)或向右 (a 0)平移 |a|个单位而得到； 函数 y=f(x)+b(b 0)的图象可以通过把函数 y=f(x)的图象向上 (b 0)或向下 (b 0)平移 |b|个 单位而得到 (2)伸缩变换 函数 y=Af(x)(A 0， A 1)的图象可以通过把函数 y=f(x)的图象上各点的纵坐标伸长 (A 1)或缩短 (0 A 1)成原来的 坐标不变而得到 函数 y=f( x)( 0， 1)的图象可以通过把函数 y=f(x)的图象上 而得到 (3)对称变换 函数 y=-f(x)的图象可以通过作函数 y=f(x)的图象关于 函数 y=f(图象可以通过作函数 y=f(x)的图象关于 函数 y=x)的图象可以通过作函数 y=f(x)的图象关于原点对称的图形而得到 函数 y=x)的图象可以通过作函数 y=f(x)的图象关于直线 y= 函数 y=f(|x|)的图象可以通过作函数 y=f(x)在 函数 y=|f(x)|的图象可以通过作函数 y=f(x)的图象，然后把在 余部分保持不变而得到 例 8 已知 f(x+199)=44x+3(x R)， 那么函数 f(x)的最小值为 _ 分析 ： 由 f(x 199)的解析式求 f(x)的解析式运算量较大，但这里我们注意到， y=f(x 100)与 y=f(x)，其图象仅是左右平移关系，它们取得 求得 f(x)的最小值即 f(x 199)的最小值是 2 说明： 函数图象与函数性质本身在学习中也是密切联系的，是“互相利用”关系，函数图象在判断函数奇偶性、单调性、周期性及求最值等方面都有重要用途 - 10 - 五、 函数综合应用 函数的综合复习 是在系统复习函数有关知识的基础上进行函数的综合应用 : 1在应用中深化基础知识在复习中基础知识经历一个由分散到系统，由单一到综合的发展过程这个过程不是一次完成的，而是螺旋式上升 的因此要在应用深化基础知识的同时，使基础知识向深度和广度发展 2以数学知识为载体突出数学思想方法数学思想方法是观念性的东西，是解决数学问题的灵魂，同时它又离不开具体的数学知识函数内容最重要的数学思想是函数思想和数形结合的思想此外还应注意在解题中运用的分类讨论、换元等思想方法解较综合的数学问题要进行一系列等价转化或非等价转化因此本课题也十分重视转化的数学思想 3重视综合运用知识分析问题解决问题的能力和推理论证能力的培养函数是数学复习的开始，还不可能在大范围内综合运用知识但从复习开始就让 学生树立综合运用知识解决问题的意识是十分重要的推理论证能力是学生的薄弱环节，近几年高考命题中加强对这方面的考查，尤其是对代数推理论证能力的考查是十分必要的本课题在例题安排上作了这方面的考虑 具体要求是： 1在全面复习函数有关知识的基础上，进一步深刻理解函数的有关概念，全面把握各类函数的特征，提高运用基础知识解决问题的能力 2掌握初等数学研究函数的方法，提高研究函数的能力，重视数形结合数学思想方法的运用和推理论证能力的培养 3初步沟通函数与方程、不等式及解析几何有关知识的横向联系，提高综合运用 知识 解决问题的能力 4树立函数思想，使学生善于用运动变化的观点分析问题 本部分内容的重点是：通过对问题的讲解与分析，使学生能较好的调动函数的基础知识解决问题，并在解决问题中深化对基础知识的理解，深化对函数思想、数形结合思想的理解与运用 难点是 ： 函数思想的理解与运用，推理论证能力、综合运用知识解决问题能力的培养与提高 函数的综合运用主要是指运用函数的知识、思想和方法综合解决问题函数描述了自然界中量的依存关系，是对问题本身的数量本质特征和制约关系的一种刻画，用联系和变化的观点提出数学对象，抽象其数 学特征，建立函数关系因此，运动变化、相互联系、相互制约是函数思想的精髓，掌握有关函数知识是运用函数思想的前提，提高用初等数学思想方法研究函数的能力，树立运用函数思想解决有关数学问题的意识是运用函数思想的关键 1 准确理解、熟练运用，不断深化有关函数的基础知识 在中学阶段函数只限于定义在实数集合上的一元单值函数，其内容可分为两部分第一部分是函数的概念和性质，这部分的重点是能从变量的观点和集合映射的观点理解函数及其有关概念，掌握描述函数性质的单调性、奇偶性 、周期性等概念；第二部分是七类常见函数 (一次函数 、二次函数、指数函数、对数函数、三角函数和反三角函数 )的图象和性质第一部分是理论基础，第二部分是第一部分的运用与发展 例 9 已知函数 f(x)， x F， 那么集合 (x， y)|y=f(x)， x F (x， y)|x=1 中所含元素的个数是 （ ） A 0 B 1 C 0或 1 D 1或 2 分析 ： 这里首先要识别集合语言，并能正确把集合语言转化成熟悉的语言从函数观点看，问题是求函数 y=f(x)， x x=1的交点个数(这是一次数到形的转化 )，不少学生常误认为 交点是 1 个，并说这是根据函数定义中“惟一确定”的规定得到的，这是不正确的，因为函数是由定义域、值域、对应法则三要素组成的这里给出了函数 y=f(x)的定义域是 F，但未明确给出 1 与 F 的关 - 11 - 系，当 1 个交点，当 1 以选 C 2 掌握研究函数的方法，提高研究函数问题的能力 高中数学对函数的研究理论性加强了，对一些典型问题的研究十分重视，如求函数的定义域，确定函数的解析式，判断函数的奇偶性，判断或证明函数在指定区间的单调性等，并形成了研究这 些问题的初等方法，这些方法对分析问题能力，推理论 证能力和综合运用数学知识能力的培养和发展是十分重要的 函数、方程、不等式是相互联系的对于函数 f(x)与 g(x)，令 f(x)=g(x)， f(x) g(x)或 f(x) g(x)则分别构成方程和不等式，因此对于某些方程、不等式的问题用函数观点认识是十分有益的；方程、不等式从另一个侧面为研究函数提供了工具 例 10 方程 x=3的解所在区间为 （ ） A (0， 1) B (1， 2) C (2， 3) D (3， + ) 分析 ： 在同一平面直角坐标系中，画出函数 y=y=的图象 (如图 2)它们的交点横坐标0x，显然在区间 (1， 3)内，由此可排除 A， D至于选 B 还是选 C，由于画图精确性的限制，单凭直观就比较困难了实际上这是要比较0 的大小当 x=2 时， 由于 1，因此0x 2，从而判定0 (2， 3)，故本题应选 C 说明： 本题是通过构造函数用数形结合法求方程 x=3 解所在的区间数形结合，要在结合方面下功夫不仅要通过图象直观估计，而且还要计算0过比较其大小进行判断 例 11 (1)一次函数 f(x)=kx+h(k 0)，若 m n 有 f(m) 0， f(n) 0，则对于任意 x(m， n)都有 f(x) 0，试证明之； (2)试用上面结论证明下面的命题： 若 a， b， c a| 1， |b| 1， |c| 1，则 ab+bc+ 分析 ： 问题 (1)实质上是要证明，一次函数 f(x)=kx+h(k 0)， x (m， n)若区间两个端点的函数值均为正，则对于任意 x (m， n)都有 f(x) 0之所以具有上述性质是由于一次函数是单调的因此本问题的证明要从函数单调性入手 (1)证明： 当 k 0时，函数 f(x)=kx+h 在 x m x n， f(x) f(m) 0； 当 k 0时，函数 f(x)=kx+h 在 x m x n， f(x) f(n) 0 所以对于任意 x (m， n)都有 f(x) 0成立 (2)将 ab+bc+写成 (b+c)a+，构造函数 f(x)=(b+c)x+则 f(a)=(b+c)a+ 当 b+c=0时，即 b= f(a)= 因为 |c| 1，所以 f(a)= 0 当 b+c 0时， f(x)=(b+c)x+ 为 因为 |b| 1， |c| 1， f(1)=b+c+=(1+b)(1+c) 0， f(=(11 0 由问题 (1)对于 |a| 1的一切值 f(a) 0，即 (b+c)a+=ab+ac+ 0 说明： 问题 (2)的关键在于“转化”“构造”把证明 ab+bc+ab+bc+ 0， 由于式子 ab+bc+ 中， a， b， 造函数 f(x)=(b+c)x+，则f(a)=(b+c)a+，问题转化为在 |a| 1， |b| 1， |c| 1的条件下证明 f(a) 0 (也可构造 f(x)=(a+c)x+，证明 f(b) 0)。 - 12 - 例 12 定义在 f(x)满足 f(3)=x， y x+y)=f(x)+f(y) (1)求证 f(x)为奇函数； (2)若 f(k 3x)+f(32) 0对任意 x 实数 分析 ： 欲证 f(x)为奇函数即要证对任意 f(-f(x)成立在式子 f(x+y)=f(x)+f(y)中，令 y=得 f(0)=f(x)+f(是又提出新的问题，求 f(0)的值令 x=y=0 可得f(0)=f(0)+f(0)即 f(0)=0， f(x)是奇函数得到证明 (1)证明： f(x+y)=f(x)+f(y)(x， y R)， 令 x=y=0，代入式，得 f(0+0)=f(0)+f(0)，即 f(0)=0 令 y=入式，得 f(f(x)+f(又 f(0)=0，则有 0=f(x)+f(即 f(-f(x)对任意 x R 成立， 所以 f(x)是奇函数 (2)解 ： f(3)=0，即 f(3) f(0)，又 f(x)在 R 上是单调函数，所以 f(x)在 R 上是增函数，又由 (1)f(x)是奇函数 f(k 3x) 2)=f( +2)， k 3x +2， 32-(1+k) 3 +2 0对任意 x 令 t=3x 0，问题等价于 +k)t+2 0对任意 t 0恒成立 R 恒成立 说明： 问题 (2)的上述解法是根据函数的性质 f(x)是奇函数且在 x R 上是增函数，把问题转化成二次函数 f(t)=+k)t+2对于任意 t 0恒成立对二次函 数 f(t)进行研究求解本题还有更简捷的解法： 分离系数由 k 3x +2得 上述解法是将 后用平均值定理求解，简捷、新颖 六、强化训练 1 对函数 23)(作代换 x=g(t)，则总不改变 f(x)值域的代换是 ( )AB21()( C g(t)=(t 1)2 D g(t)= 方程 f(x,y)=0的曲线如图所示，那么方程 f(2 x,y)=0的曲线是 ( ) - 13 - 3已知命题 p：函数)2(5.0 的值域为 R，命题 q：函数25( 是减函数。若 p或 p且 实数 A a 1 B am(1)对满足 |m| 2的一切实数 16. 设等差数列 a n的前 n，已知 a 3 12， S 120， S 130），则21211 22，解出 x 2，再用万能公式，选 A； 8利用 m，Sp x，则（mp,p）、 (q,q)、 (x， p+q)在同一直线上，由两点斜率相等解得 x 0，则答案： 0； 9设 t， t ，则 a t 1 4,1，所以答案： 54,1； 10设高 h，由体积解出 h 23，答案： 246； 11设长 x，则宽4x，造价 y 4 120 4x 8016x 80 1760，答案： 1760。 12运用条件知：( 1) (1)()fn =2，且 2 2 2 2( 1 ) ( 2) ( 2) ( 4) ( 3 ) ( 6) ( 4) ( 8 )( 1 ) ( 3 ) ( 5 ) ( 7 )f f f f f f f ff f f f =( 2) 2 ( 4) 2 ( 6) 2 ( 8 )(1 ) ( 3 ) ( 5 ) ( 7 )f f f ff f f f =16 P M A H B D C - 15 - 13依题意可知212124000b ，从而可知12, ( 1,0)，所以有 212( 1) 01b a b 2 4b a ，又,1c，则 1a b a b ，所以22 4 4 4a b ac a a ，从而5a，所以2 4 20b ，又5 1 6b ，所以5b，因此有最小值为 11。 下
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