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高三 数学 复习 温习 教案 打包 49

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2014届高三数学总复习教案（打包49套）,高三,数学,复习,温习,教案,打包,49

内容简介：

1 49 一元二次不等式 教材分析 一元二次不等式的解法是高中数学的一个重要内容，它是进一步学习不等式的基础，同时是解决有关实际问题的重要方法之一这节课通过具体例子，借助二次函数的图像求解不等式，进而归纳、总结出一元二次不等式，一元二次方程与二次函数的关系，得到利用二次函数图像求解一元二次不等式的方法最后，说明一元二次不等式可以转化为一元一次不等式组，由此又引出了简单分式不等式的解法这节内容的重点是一元二次不等式的解法，难点是弄清一元二次不等式、一元二次方程与二次函数的关系 教学目标 1. 让学生经历 从实际情境中抽象出一元二次不等式模型的过程 2. 通过函数图像了解一元二次不等式与相应函数、方程的联系，熟练掌握应用二次函数图像解一元二次不等式的方法 3. 通过一元二次不等式转化为一元一次不等式组的解法，让学生体会等价转化的数学思想，培养学生的逻辑推理能力 任务分析 这节课的主要任务是应用二次函数的图像解一元二次不等式首先通过实例抽象出一元二次不等式模型，让学生感受到现实生活中存在大量的一元二次不等式，从而得出本节的主要任务然后通过解决一些具体的一元二次不等式，让学生体会和总结出借助二次函数的图 像解一元二次不等式的方法最后抽象和概括出一元二次不等式与相应函数、方程的关系学习方法是讲练结合，引导学生从具体到一般地总结出一元二次不等式的图像解法 教学设计 一、问题情境 1. 出示问题 （ 1）某产品的总成本（万元）与产量（台）之间满足关系： 3000 20 ，其中 （ 0， 240）， ，若每台产品售价 25 万元，试求生产者不亏本时的最低产量 引导学生建立一元二次不等式模型： 由题意，得销售收入为 25（万元）， 要使生产者不亏本，必须使 2 3000 20 25 ，即 2 50 300000 （ 2）国家为了加强对某特种商品生产的宏观管理，实行征收附加税政策现知每件产品 70元，不加收附加税时，每年大约产销 100 万件，若政府征收附加税，每销售 100 元要征税 税率为 R），则每年的产销量要减少 10R 万件要使每年在此项经营中所收取的附加税税金不少于 112 万元，问 R 应怎样确定 2. 引导学生建立一元二次不等式模型 设产销量为每年 x（万件），则销售收入为每年 70x（万元），从中征收的税金为 70xR （万元），并且 100 10R 由题意，知 70（ 100 10R） R 112 ， 即 10R 160 如何求解以上两个一元二次不等式呢？ 二、建立模型 1. 对于不等式 2 50 300000 ，可以借助二次函数的图像来解决 设二次函数 f（） 2 50 30000，抛物线开口向上，与轴交点的横坐标是相应二次方程 2 50 30000 0 的解此时 1 200， 2 150如图，所谓解不等式 250 300000 ，就相当于求使函数 f（） 0 的的集合考虑图像在轴及其上方的部分，即 f（） 0 ，相应的的集合 200 或 150 就是不等式的解集结合实际，可知生产者不亏本时的最低产量为 150 台 运用完全类似的方法，可以求解不等式 10R 160 的解集为 R 2R8 2. 教师明晰 设 0，解一元二次不等式 0（ 0）， 首先，设（） （ 1）计算 2 4 ，判断抛物线（）与轴交点的情况 3 （ 2）若 ，解一元二次方程 2 0，得两根为 1， 2，（ 1 2） （ 3）结合（ 1）（ 2）画出（）的图像 （ 4）解不等式 2 0，就相当于使（） 0考虑图像在轴上方的部分，即（） 0，相应的的集合就是 2的解集 解不等式 2 0，就相当于使（） 0考虑图像在轴下方的部分，即（） 0，相应的的集合就是 0 的解集 根据上述内容，结合图像写出不等式的解集 思考：对于一元二次不等式的二次项系数，如果 0，上述结论如何？ 三、解释应用 例 题 1. 解不等式 2 2 3 2 0 解： （ 3） 2 42 （ 2） 25 0， 方程 2 2 3 2 0 的两根为 1 ， 2 2， 不等式 2 2 3 2 0 的解集为 或 2 2. 解不等式 2 2 30 3. 已知不等式 2（ 2） 0 的解集为 R，求 的取值范围 解：（ 1）当 0 时，原不等式可化为 2 0，解集不是 R （ 2）当 0 时，抛物线 2（ 2）开口向下，解集也不是 R 4 （ 3）当 0 时，须满足 练 习 1. 解下列不等式 （ 1） 3 2 6 2 （ 2） 4 2 4 1 0 （ 3） 2 3 5 0 （ 4） 6 2 20 4. 以每秒（）的速度从地面垂直向上发射子弹， t（）后，子弹上升的高度可由 确定已知发射后 5，子弹上升的高度为 245，问：子弹保持在 245以上高度有多少秒？ 四、拓展延伸 一元二次不等式（）（） 0（ 0）也可以根据实数运算的符号法则求解，如解不等式（ 4）（） 0 注意到不等式左边是两个的一次式的积，右边是 0，那么它可以根据积的符号法则化为一次不等式组： 5 点 评 这篇案例设计完整，思想清晰案例首先从实际问题情境引入，关注不等式从现实问题中的抽象过程，进而利用从已有知识，即二次方程的根的情况及一元二次函数的图像与一元二次不等式的解的关系归纳出一般结论，体现了用数形结合处理问题的思想方法，培养了学生的类比推理能力例、习题的变形培养了学生灵活运用知识，处理问题的能力，既巩固了所学新知识，又培养了学生灵活解题的能力 “ 拓展延伸 ” 开发了学生的内在潜力，培养了学生的等价转化意识，为将来处理较复杂问题提 供了行之有效的方法 1 43 三角形边和角关系的探索 教材分析 初中已研究过解直角三角形，这节所研究的正、余弦定理是解直角三角形知识的延伸与推广，它们都反映了三角形边、角之间的等量关系，并且应用正、余弦定理和三角形内角和定理，可以解斜三角形正弦定理的推证运用了从特殊到一般的方法，把直角三角形中得到的边角关系式推广到锐角三角形，再推广到钝角三角形，进而得出一般性的结论余弦定理的推证采用向量的数量积做工具，将向量的长度与三角形的边长、向量的夹角与三角形的内角联系起来对于正、余弦定理的推论，除了这节课的证法之外，还有其他的一些推证 方法教材中还要求，在证明了正、余弦定理之后，让学生尝试用文字语言叙述两个定理，以便理解其实质当然，就知识而言，正弦定理有三个等式，可视为三个方程；余弦定理的三个式子也可看成三个方程，每个方程中均有四个量，知道其中任意三个量便可求第四个量 这节课的重点是正、余弦定理的证明，以及用正、余弦定理解斜三角形，难点是发现定理、推证定理以及用定理解决实际问题 任务分析 这节内容是在初中对三角形有了初步认识的基础上，进一步研究三角形的边、角之间的等量关系对正弦定理的推导，教材中采用了从特殊到一般的方法，逐层递进 ，学生易于接受，而余弦定理的证明采用了向量的方法应用两个定理解三角形时，要分清它们的使用条件将正、余弦定理结合起来应用，经常能很好地解决三角形中的有关问题 教学目标 1. 理解正、余弦定理的推证方法，并掌握两个定理 2. 能运用正、余弦定理解斜三角形 3. 理解并初步运用数学建模的思想，结合解三角形的知识，解决生产、生活中的简单问题 教学设计 一、问题情景 1. A， B 两地相距 2558m，从 A， B 两处发出的两束探照灯光照射在上方一架飞机的机身上（如图 43问：飞机离两探照灯的距离分别是多少 ？ 2 2. 如图 43动卸货汽车的车厢采用液压机构，设计时应计算油泵顶杆 长度已知车厢的最大仰角为 60 ，油泵顶点 B 与车厢支点 A 之间的距离为 水平的夹角为 620 ， 为 算 长（精确到 问题：（ 1）图中涉及怎样的三角形？ （ 2）在三角形中已知 什么？求什么？ 二、建立模型 1. 教师引导学生分析讨论 在问题情景（ 1）中，已知在 ， A ， B ， 2558m求 组织学生讨论如何利用已知条件求出 长度（让学生思考，允许有不同的解法） 结论：如图 40 足为 D由三角函数的定义，知 AC AB 由此可得 AC AB 又由 A， B 的度数可求 C 的度数，代入上式即可求出 长度，同理可求 长度 教师明晰： （ 1）当 直角三角形时，由正弦函数的定义，得 3 （ 2）当 锐角三角形时，设 上的高为 据三角函数的定义，得 以 ，同理 . （ 3）当 钝角三角形时 ，结论是否仍然成立？引导学生自己推出（详细给出解答过程） 事实上，当 A 为钝角时，由（ 2）易知 . 设 上的高为 由三角函数的定义，得 180 A） 根据诱导公式，知 180 A） . 正弦定理 在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即 . 正弦定理指出了任意三角形中三条边与它对应角的正弦之间的一个关系式，描述了任意三角形中边、角之间的一种数量关系 思考：正弦定理可以解决有关三角形的哪些问题？ 2. 组织学生讨论问题情景（ 2） 4 这一实际问题可化归为：已知 边 角为 620 ，求 长 组织学生讨论：能用什么方法求出 学生有可能有多种不同的解法） 教师明晰：如 果已知三角形的两边和夹角，这个三角形为确定的三角形，那么怎样去计算它的第三边呢？由于涉及边长及夹角的问题，故可以考虑用平面向量的数量积（也可用两点间的距离公式） 如图，设 a， b， c，则 c a b c 2 cc （ a b） （ a b） 2 2 2 2 2 同理 22 于是得到以下定理： 余弦定理 三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍即 2 2 2 思考：余弦定理可以解决一些怎样的解三角形问题？ 3. 进一步的问题 勾股定理指出了直角三角形 中三边之间的等量关系，余弦定理则指出了一般三角形三边之间的等量关系，那么这两个定理之间存在怎样的关系？如何利用余弦定理来判断三角形是锐角三角形还是钝角三角形？ 5 三、解释应用 例 题 1. （ 1）已知：在 ， A ， B ， 三角形 （ 2）已知：在 ， 20 28A 40 ，解三角形（角精确到 1 ，边长精确到 1 分析：（ 1）本题为给出三角形的两角和一边解三角形问题，可由三角形内角和定理先求出第三个角，再两次利用正弦定理分别求出另两边 （ 2）本题给出了三角形的两边及其中一边的对角，于是可用正弦定理求出 b 边的对角 B 的正弦， 但 0 B ，故角有两个值（如图 43从而 C 角与 c 边的取值也有两种可能学生在解题时容易丢掉一组解，应引导学生从图形上寻找漏掉的解 2. （ 1）已知：在 ，已知 b 60c 34A 41 ，解三角形（角精确到 1 ，边长精确到 1 （ 2）已知：在 ， 三角形（角精确到 1 ） 分析：本例中的（ 1）题，给出了两边及其夹角，可先用余弦定理求出第三边，求其他两角时既可用余弦定理也可用正弦定理（ 2）题给出了三边长，可先用余弦定理求出其中一角，然后同样既可用正弦定理，也可用余弦定理求出其他两角 6 3. 底部 B 不可到达的建筑物， A 为建筑物的最高点设计一种测量建筑物高度 方法 分析：由于建筑物的底部 B 是不可到达的，所以不能直接测量出建筑物的高由解直角三角形的知识，只要能知道一点 C 到建筑物顶部 A 的距离 能测出由点 C 观察 A 的仰角，就可以计算出建筑物的高为了求出 长，可选择一条水平基线 图 43使 H，G， B 三点在同一条直线上在 G， H 两点用测角仪器测得 A 的仰角分别为 ， ，设 ，测角仪器的高为，则在 ，由正弦定理，得 ， ），从而可求得 h h h 练 习 1. 在 ，已知下列条件，解三角形（角精确到 1 ，边长精确到 1 （ 1） A 45 ， C 30 ， 10 （ 2） A 60 ， B 45 ， 20 （ 3） 20 11B 30 （ 4） 54 39 115 2. 在 ，已知下列条件，解三角形（角精确到 ，边长精确到 （ 1） C （ 2） A （ 3） 7 10 6 四、拓展延伸 1. 在 ，有正弦定理 这涉及比值的连等式请探索并研究 是一个什么样的量，并加以证明 2. 在 ，已知三边的长为，如何判定 形状？ 3. 已知：在 ， 60， 50， 38 ，求 B（精确到 1 ） 7 分析： . 0 B 180 ， B31 或 B149 ， 但当 B149 时， A B 187 ，这与 A， B 为三角形内角矛盾，故 B 角只能取 31 由此题与例 1 中的（ 2）题的分析可以发现，在已知三角形两边及其一边对角解三角形时，在某些条件下会出现一解或两解的情形，那么会不会出现无解的情形呢？ （ 1）当 A 为钝角或直角，必须满足才有解（ 无解），并且由 计算 B 时，只能取 锐角，因此，只有一解，如图 43 （ 2）当 A 为锐角时， 若或，则由 计 算 B 时，只能取锐角的值，因此，只有一解，如图 40 若 由 ，得 1，因此，无解如图 43 若 由 ，得 1，即为直角，故只有一解，如图 43 若 1，故 B 可取一个锐角和一个钝角的值，如图 43 8 思考：若已知三角形的两角和一边、三边、两边及其夹角来解三角形时，它们的解会是怎样的？ 点 评 这篇案例设计，思路清晰，突出现实首先通过恰当的问题情景阐述三角形边角关系产生的背景，使学生体会到了数学在解决实际问题中的作用然后通过探究、推导活动，使学生体会到了数学知识的发现和发展的历程例题与练习的配备由浅入深，注重了教学与自然界的关系拓展延伸有深度，为提高学生的思维能力和创造力 提供了良好平台 总之，从现实出发建立正、余弦定理的模型，又在现实应用中升华有关正、余弦定理的理解，是这篇案例的突出特点 1 48 不等式的性质 教材分析 这节的主要内容是不等式的概念、不等式与实数运算的关系和不等式的性质这部分内容是不等式变形、化简、证明的理论依据及基础教材通过具体实例，让学生感受现实生活中存在大量的不等关系在不等式与实数运算的关系基础上，系统归纳和论证了不等式的一系列性质 教学重点是比较两个实数大小的方法和不等式的性质，教学难点是不等式性质的证明及其应用 教学目标 1. 通过具体情境，让学生感受现实世界和日常生活中存在着大量的不等关系，理解不等关系与不等式的联系，会用不等式表示不等关系 2. 理解 并掌握比较两个实数大小的方法 3. 引导学生归纳和总结不等式的性质，并利用比较实数大小的方法论证这些性质，培养学生的合情推理和逻辑论证能力 任务分析 这节内容从实际问题引入不等关系，进而用不等式来表示不等关系，自然引出不等式的基本性质为了研究不等式的性质，首先学习比较两实数大小的方法，这是论证不等式性质的基本出发点，故必须让学生明确在教师的引导下学生基本上可以归纳总结出不等式的一系列性质，但对于这些性质的证明有些学生认为没有必要或对论证过程感到困惑，为此，必须明确论证性质的方法和要点，同时引导学生认 识到数学中的定理、法则等，通常要通过论证才予以认可，培养学生的数学理性精神 教学设计 一、问题情境 教师通过下列三个现实问题创设不等式的情境，并引导学生思考 1. 公路上限速 40h 的路标，指示司机在前方行驶时，应使汽车的速度 v 不超过 40kmh，用不等式表达即为 v40 h 2. 某种杂志以每本 的价格销售，可以售出 8 万本据市场调查，若杂志的单价每提高 ，销售量就可能相应减少 2000 本若把提价后杂志的定价改为 x 元，怎样用不等式表示销售的总收入的不低于 20 万元？ 2 x 80000 2000（ x 25） 200000 3. 某钢铁厂要把长度为 4000钢管截成 500 600种，按照生产的要求， 60000 3 倍，试写出满足上述所有不等关系的不等式 设 600管的数量为 x， 500数量为 y，则 通过上述实例，说明现实世界中，不 等关系是十分丰富的，为了解决这些问题，须要我们学习不等式及基本性质 二、建立模型 1. 教师精讲，分析 我们知道，实数与数轴上的点是一一对应的，在数轴上不同的两点中，右边的点表示的实数比左边的点表示的实数大，用不等式表示为，即减去所得的差是一个大于 0 的数 一般地，设， R，则 0， 0， 0 由此可见，要比较两个实数的大小，只要考查它们的差就 可以了例如，比较（ 3）（ 5）与（ 2）（ 4）的大小就可以作差变形，然后判断符号 2. 通过问题或复习，引导学生归纳和总结不等式的性质 （ 1）对于 “ 甲的年龄大于乙的年龄 ” ，你能换一种不同的叙述方式吗？ （ 2）如果甲的身高比乙高，乙的身高比丙高，你能得出甲与丙哪个高吗？ （ 3）回忆初中已学过的不等式的性质，试用字母把它们表示出来 用数学符号表示出上面的问题，便可得出不等式的一些性质： 定理 1 如果，那么；如果，那么 定理 2 如果，且，那么 3 定理 3 如果，那么 定理 4 如果，且，那么； 如果，且，那么 3. 定理 1 4 的证明 关于定理 1 4 的证明要注意： （ 1）定理为什么要证明？ （ 2）证明定理的主要依据或出发点是什么？ （ 3）定理的证明要规范，每步推理要有根据 （ 4）关于定理 3 的推论，定理 4 的推论 1，可由学生独立完成证明 4. 考虑定理 4 的推论 2： “ 如果，那么 n n（ N，且 0） ” 的逆命题，得出定理 5 定理 5 如果，那么 （ N，且 1） 由于直接证明定理 5 较困难，故可考虑运用反证法 三、解释应用 例 题 1. 已知，求证： 证法 1： ， 0又， 0 （）（）（）（） 0， 证法 2： ， 又， 4 练 习 1. 判断下列命题的真假，并说明理由 （ 1）如果 2 2，那么 （ 2）如果，那么 四、拓展延伸 1. 如果 30 42， 16 24，求， 2及 的取值范围 2. 如果 1 1， 2 2， 3 3， ， n n，那么 1 2 3 n 12 3 什么？ 3. 如果 0，那么 吗？（其中 为正有理数） 点 评 这篇案例从实际问题引入不等关系，由如何求非不等关系引入不等式的求法，进 而点出教学的主题 不等式性质，由学生熟悉的实数性质，及现实生活中的常识，将语言表达转化为数学符号的一般表示，进而得出不等式的常见性质通过对不等式的证明，使学生理解对数学定理证明的必要性，增强学生的逻辑推理能力就整个教学设计的效果看，这种设计是成功的，尤其是由定理的应用，达到了对性质的理解和升华，巩固了教学的重点，效果比较理想此外，这篇案例也十分关注由学生自主探究去开发其潜在能力，培养其发散思维能力 5 总之，这是一篇成功的教学设计案例，美中不足的是，对文初创设的现实情景利用的力度稍欠缺 1 41 两角和与差的余弦 教材分析 这节内容是在掌握了任意角的三角函数的概念、向量的坐标表示以及向量数量积的坐标表示的基础上，进一步研究用单角的三角函数表示的两角和与差的三角函数这些内容在高等数学、电功学、力学、机械设计与制造等方面有着广泛的应用，因此要求学生切实学好，并能熟练的应用，以便为今后的学习打下良好的基础 “ 两角差的余弦公式 ” 在教科书中采用了一种易于教学的推导方法，即先借助于单位圆中的三角函数线，推出 ， ， 均为锐角时成立对于 ， 为任意角的情况，教材运用向量的知识进行了探究同时，补 充了用向量的方法推导过程中的不严谨之处，这样，两角差的余弦公式便具有了一般性 这节课的重点是两角差的余弦公式的推导，难点是把公式中的 ， 角推广到任意角 教学目标 1. 通过对两角差的余弦公式的探究过程，培养学生通过交流，探索，发现和获得新知识的能力 2. 通过两角差的余弦公式的推导，体会知识的发生、发展的过程和初步的应用过程，培养学生科学的思维方法和勇于探索的科学精神 3. 能正确运用两角差的余弦公式进行简单的三角函数式的化简、求值和恒等式证明 任务分析 这节内容以问题情景中的问题作为教学的出发 点，利用单位圆中的三角函数线和平面向量的数量积的概念推导出结论，并不断补充推导过程中的不严谨之处推导过程采用了从特殊到一般逐层递进的思维方法，学生易于接受整个过程始终结合单位圆，以强调其直观性对于公式中的 和 角要强调其任意性数学中要注意运用启发式，切忌把结果直接告诉学生，尽量让学生通过观察、思考和探索，自己发现公式，使学生充分体会到成功的喜悦，进一步激发学生的学习兴趣，调动他们学习的积极性，从而使其自觉主动地学习 教学过程 一、问题情景 我们已经学过诱导公式，如 2 可以这样来认识以上公式：把角 转动 ，则所得角 的正弦、余弦分别等于 把角 转动 ，则所得角 的正弦、余弦分别等于 由此，使我们想到一个一般性的问题：如果把角 的终边转动 （度或弧度），那么所得角 的正弦、余弦如何用 或 的正弦、余弦来表示呢？ 出示一个实际问题： 右图 41架在小河边的一座吊桥的示意图吊桥长 （ m）， A 是支点，在河的左岸点C 在河的右岸，地势比 A 点高 示水平线， ， 为定值 ， 随吊桥的起降而变化在吊桥起降的过程中，如何确定点 B 离开水平线 高度 由图可知 ） 我们的问题是：如何用 和 的三角函数来表示 ）如果 为锐角，你能由 ， 的正弦、余弦求出 ）吗？ 引导 学生分析：事实上，我们在研究三角函数的变形或计算时，经常提出这样的问题：能否用 ， 的三角函数去表示 的三角函数？为了解决这类问题，本节首先来探索 的余弦与 ， 的函数关系式 更一般地说，对于任意角 ， ，能不能用 ， 的三角函数值把 或 的三角函数值表示出来呢？ 二、建立模型 1. 探 究 （ 1）猜想： ） （ 2）引导学生通过特例否定这一猜想 3 例如， 60 ， 30 ，可以发现，左边 60 30 ） ，右边 显然，对任意角 ， ， ） （ 3）再引导学生从道理上否定这一猜想 不妨设 ， ， 均为锐角，则 ，则 ） 又 ，所以 ） 2. 分析讨论 （ 1）如何把 ， ， 角的三角函数值之间建立起关系？要获得相应的表达式需要哪些已学过的知识？ （ 2）由三角函数线的定义可知，这些 角的三角函数值都与单位圆中的某些有向线段有关系，那么，这些有向线段之间是否有关系呢？ 3. 教师明晰 通过学生的讨论，教师引导学生作出以下推理： 设角 的终边与单位圆的交点为 ，则 过点 P 作 x 轴，垂足为 M，那么， 为 角的余弦线，这里要用表示 ， 的正弦、余弦的线段来表示 过点 P 作 足为 A，过点 A 作 x 轴，垂足为 B，再过点 P 作 足为 C，那么 且 ，于是 4. 提出问题，组织学生讨论 （ 1）当 ， ， 为任意角时，上述推导过程还能成立吗？ 若要说明此结果是否对任意角 ， 都成立，还要做不少推广工作，可引导学生独立思考 事实上，根据诱导公式，总可以把 ， 的三角函数化为（ 0， ）内的三角函数，再根据 ） 把 的余弦，化为锐角的余弦因此， 4 三、解释应用 例 题 1. 求 及 的值 分析：本题关键是将 15 角分成 45 与 30 的差或者分解成 60 与 45 的差，再利用两角差的余弦公式即可求解对于 ，可进行类似地 处理， 60 45 ） 2. 已知 ， （ ， ）， ，且 是第三象限的角，求 ）的值 分析：观察公式 与本题已知条件应先计算出 再代入公式求值求 值可借助于同角三角函数的平方关系，并注意 ， 的取值范围来求解 练 习 1. （ 1）求 的值 （ 2） 求 的值 （ 3） 化简 A B） A B） （ 4） 求 的值 分析：对于（ 1），可先用诱导公式化 为 ，再用例题 1 中的结果即可对于（ 2），逆向使用公式 ，即可将原式化为 对于（ 3），可以把 A B 角看成一个整体，去替换 中的 角，用 B 角替换 角 2. （ 1）求证： ） （ 2）已知 ，且 为第二象限角，求 ）的值 5 （ 3）已知 30 ） ， 60 150 ，求 分析：（ 1）和（差）公式可看成诱导公式的推广，诱导公式是和（差）公式的特例 （ 2）在三角函数求值问题中，变角是一种常用的技巧， （ 30 ） 30 ，这样可充 分利用题中已知的三角函数值 3. 化简 36 ） 54 ） 36 ） 54 ） 分析：这里可以把角 36 与 54 均看成单角，进而直接运用公式 ，不必将各式展开后再计算 分析：本题是一道综合题，由于 ） 欲求 ）的值，只须将已知两式平方相加求出 可 四、拓展延伸 1. 由任意角三角函数定义，可知角 ， 的终边与单位圆交点的坐标均可用 ， 的三角函数表示，即 角与 ， 两向量的夹角有关，那么能否用向量的有关知识来推导公式 呢？ 教师引导学生分析：在平面直角坐标系 作单位圆 O，以 始边作角 ， ，它们的终边与单位圆的交点为 A， B，则 （ ， （ 由向量数量积的概念，有 ） ） 由向量的数量积的坐标表示，有 于是，有 ） 6 依据向量数量积的概念，角 必须符合 ，即在此条件下，以上推导才是正确的 由于 ， 都是任意角， 也是任意角，因此，须研究 为任意角时，以上推导是否正确 当 为任意角时，由诱导公式总可以找到一个角 ， 0， 2 ），使 ） 若 0， ，则 ）； 若 ， 2 ，则 2 0， ，且 2 ） ） 于是，对于任意角 ， 都有 2. 教师提出进一步拓展性问题：本节问题情景中，涉及如何用 ）的问题，试探索与研究 ）的表达式 点 评 这篇案例设计完整，思路清晰案例首先通过问题情景阐述了两角和、差、三角函数公式的产生背景，然后通过组织学生分析，讨论，并借助于单位圆中的三角函数线对 ， ， 为锐角时给出证明，进而用向量知识探究任意角的情形 这些均体现了数学中从特殊到一般的思想方法，符合新课改的基本理念同时，例题与练习由浅入深，完整，全面 总之，关注学生的已有基础，充分利用归纳、类比等方法激发学生进一步探究的欲望，建立 模型这种设计思路有利于学生数学思维水平的提高，同时及时巩固，应用，拓展延伸，体现了对传统的中国式数学教学精华的继承如果能在结束时再创设引导学生自我小结、反思的环节，可能会锦上添花 1 42 两角和与差的正弦 教材分析 在这节内容中，公式较多，一旦处理不当，将成为学生学习的一种负担针对这个特点，应充分揭示公式的内在联系，使学生理解公式的形成过程及其使用条件，在公式体系中掌握相关的公式同时，通过练习使学生能够熟练地运用这些公式当然，这些公式的基础是两角和差的余弦公式通过诱导公式 ） ） 为任意角），可以实现正、余弦函数间的转换，也可推广为 ） （ ） ） ， ） （ ） ） + 和 即可推导出公式 和 ， ， 和 四个公式的左边均为两角和与差的正、余弦，右边均为单角 ， 的正、余弦形式不同点为公式 ， 两边的运算符号相同， 与 两边的运算符号相反 与 中右边是两单角异名三角函数的乘积，而 与 的右边是两单角同名三角函数的乘积 任务分析 这节课计划采用启发引导和讲练结合的教学方式，对三角函数中的每一个公式要求学生会推导，会使用，要求不但掌握公式的原形，还应掌握它们的变形公式，会把 “ 类型的三角函数化成一个角的三角函数在课堂教学中，将采用循序渐进的原则，设计有一定梯度的题目，以利于培养学生通过观察、类比的方法去分析问题和解决问题的能力，培养学生良好的思维习惯在教学中，及时提醒学生分析、探索、化归、换元、类比等常用的基本方法在三角变换中的作用这节课的重点是准确、熟练、灵活地运用两角和差的正、余弦公式进行三角函数式的求值、化简和证明，难点是公式的变形使用和逆向使用 教学目标 1. 能用两角差的余弦公式导出两角和的余弦公式，两角和差的正弦公式，并了解各个公式之间的内在联系 2. 能运用两角和差的正、余弦公式进行三角函数式的化简、求值和证明 3. 通过公式的推导过程，培养学生的逻辑思维能力，同时渗透数学中常用的换元、整体代换等思想方法 教学过程 一、问题情景 如图 42了保持在道路拐弯处的电线杆 稳固性 ，要加一根固定钢丝绳，要求钢丝绳与地面成 75 角已知电线杆的高度为 5m，问：至少要准备多长的钢丝绳？ 2 设电线杆与地面接触点为 B，顶端为 O，钢丝绳与地面接触点为 A 在 ， 如果能求出 的值，那么即可求出钢丝绳的长度 75 角可表示成两个特殊角 45 与30 的和，那么 的值能否用这两特殊角的三角函数值来表示呢？ 二、建立模型 1. 探 究 已知 ） 则 ）， ）中的角及函数名与 ）和 ）有何关系？ 通过诱导公式可实现正、余弦函数的转换，即 ）推导以上公式的方法 并不是唯一的，其他推导方法由学生课后自己探索 3. 分析公式的结构特征 与 中两边的加减运算符号相同，右边为 与 角的异名三角函数的乘积应特别注意公式两边符号的差异 三、解释应用 例题一 已知 ，且 为第四象限角，求 ） ）的值 3 分析：本题主要训练公式 与 的使用 由 及 为第四象限角，可求出 ，再代入公式求值 练习一 分析： 1. （ 1）强调公式的直接运用，寻找所求角与已知角之间的关系， （ 30 ） 30 ，再利用已知条件求出 30 ） 2. 应注意三角形的内角之间的关系， C （ A B），再由诱导公式 ）要求 A B） 3. 应注意分析角之间的关系， 2 （ ）（ ），因此，求 应求出 ）和 ）解此题时，先把 与 看成单角，然后把 2用这两个单角来表示 4. 该题是在已有知识的基础上进一步深化，引导学生分三步进行：（ 1）求出 角的某个三角函数值（ 2）确定角的范围（ 3）确定角的值其中，求 的某个三角函数值时，应分清是求 ）还是求 ） 已知向量 （ 3， 4），若将其绕原点旋转 45 到 的位置，求点 P （ x ， y ）的坐标 解：设 ， 5， ， x 5 45 ） 5（ ） ， y 5 45 ） 5（ ） ， 4 P ， 已知向量 （ 4， 3），若将其绕原点旋转 60 ， 135 到 1， 2的位置，求点 例题三 求下列函数的最大值和最小值 （ 1） y （ 2） y 34 （ 3） y （ ） 注： （ 1），（ 2）为一般性问题，是为（ 3）作铺垫，推导时，要关注解题过程，以便让学生充分理解辅助角 满足的条件 （ 3）解：考查以（，）为坐标的点 P（，），设以 终边的一个角为 ，则 练习三 求下列函数的最大值和最小值 （ 1） y （ 2） y x ） 5 （ 3）已知两个电流瞬时值函数式分别是 12t 45 ）， 10t 30 ），求合成的正弦波 I 四、拓展延伸 出示两道延伸性问题，引导学生独立思考，然后师生共同解决 1. 已知三个电流瞬时值的函数式分别为 5 6t 60 ）， 10t 60 ），求它们合成后的电流瞬时值的函数式 I 指出这个函数的振幅、初相和周期 2. 已知点 P（ x， y），与原点的距离保持不变绕原点旋转 角到点 P （ x ， y ）（如图 42求证： 6 点 评 这篇案例设计完整，思路清晰案例首先通过问题情景阐述了两角和、差正弦公式产生的背景，然后引导学生体会公式的形成过程，进一步理解和分析化归、换元、类比等数学常用思想方法在三角变换中的作用例题的设计由浅入深，完整，全面 “ 拓展延伸 ” 的设计有新意，有一定深度，为学生的数学思维能力和创造力的培养提供了平台 整篇案例紧紧围绕 的推导和应用，内容充实，环节紧凑，关注及时 的巩固和深化，同时，注意拓展延伸的难度和思维深度应该说，这是一篇比较成功的教学设计案例值得推敲的是， “ 问题情景 ” 似乎有些牵强 1 10 二 次 函 数 教材分析 二次函数是重要的基本函数之一，由于它存在最值，因此，其单调性在实际问题中有广泛的应用，并且它与前面学过的二次方程有密切联系，又是后面学习解一元二次不等式的基础二次函数在初中学生已学过，主要是定义和解析式，这里，在此基础上，接着学习二次函数的性质与图像，进而使学生对二次函数有一个比较完整的认识本节先研究特殊的二次函数 y a0 ）的图像与 a 值的关系，这可通过 a 在 0 的附近取值画图观察得到然后，通过一个实例，如 y 4x 6，研讨二次函数的性质与图像最后，总结出一般性结论这节内容的重点是二次函数的性质，即顶点坐标、对称轴方程、二次函数的单调性及其图像，难点是用配方法把 y c 的形式转化为 y a（ x h） 2 k 的形式 教学目标 1. 通过一个例子研究二次函数的图像和性质，得到一般性结论，培养学生归纳、抽象能力 2. 掌握二次函数的概念、表达式、图 像与性质会用配方法解决有关问题，能熟练地求二次函数的最值 3. 能初步运用二次函数解决一些实际问题，培养学生分析问题和解决问题的能力 任务分析学习这节内容时要先复习一下学生初中学过的二次函数的有关问题为了得到 y a0 ）的图像与 a 的关系以及二次函数 y c 的性质，这里遵循由特例到一般的原则，充分利用图像的直观性，以便学生接受在这一过程中，应讲明配方法的操作过程 教学设计 一、复习引申 1. 什么是二次函数？ 2. 在同一坐标系中作出下列函数的图像 （ 1） y 3 （ 2） y 2 （ 3） y （ 4） y （ 5） （ 6） y 7） y 2 （ 8） y 3 2 3. 学生讨论：函数 y a 的取值与它的图像形状有何关系？ 4. 教师明晰：在 a 从 3 逐渐变化到 3 的过程中，抛物线开口向下并逐渐变大，当 a 0时， y 0，抛物线变为 x 轴，然后抛物线开口向上，并逐渐变小 二、问题情境 已知二次函数 f（ x） 4x 6 （ 1）求它与 x 轴的交点坐标 （ 2）问：它有没有最值？若有最大（小）值，最大（小）值是多少？试求出此时对应的自变量的值 （ 3）画出它的图像 （ 4）它的图像有没有对称轴？如果有，位置如何？ （ 5）确定函数的单调区间 1. 先让学生独立解答问题 1，然后师生共同确定答案 （ 1）令 y 0，即 4x 6，解得 6， 2 与轴交于两点（ 6， 0），（ 2， 0） （ 2）将原式配方，得 f（ x） 4x 6 （ 8x 12） （ 8x 16 16 12） （ x 4） 2 2 对任意 x R，都有（ x 4） 20 ， 3 f（ x） 2，当且仅当 x 4 时，取 “ ”