2014年高中数学 2.2等差数列教案+学案+素材+训练（打包7套）新人教A版必修5
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2014年高中数学 2.2等差数列教案+学案+素材+训练（打包7套）新人教A版必修5,年高,数学,等差数列,教案,素材,训练,打包,新人,必修
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1 第二章 数列 2 2 等差数列（第 1 课时） 学习目标 1理解等差数列的概念，理解等差中项的意义； 2掌握等差数列的通项公式 ； 3能根据等差数列的定义判断或证明一个数列为等差数列 要点精讲 1如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用 d 表示 2在数列 对任意 ，有1a d( 1)n，则称数列 数列 3由三个数 ,a 成的等 差 数列可以看成最简单的等 差 数列这时， A 叫做 a 与 b 的等 差 中项 A 为 a 与 b 的等 差 中项 ,a 成等 差 数列 24设等差数列 差是 d ，则通项公式1 ( 1)na a n d 公式推导方法为归纳法对于任意 ,n m N ，有 ()a n m d ，公差 () 范例分析 例 1 （ 1） 在等差数列 知1 5 4 51 0 , 9 0，求60a； （ 2） 在等差数列 知1 5 62 1 , 3 , 2na a a a ，求 n 例 2已知数列 ，其中 p 、 q 是常数，那么这个数列是否一定是等差数列？若是，首项与公差分别是什么？ 2 例 3 已知 2 2 2,证： 1 1 1,b c c a a b 也成等差数列 例 4 （ 1）在无穷等差数列 已知 首项是1a，公差是 d 如果取出所有序号为 7 的倍数的项，组成一个 新的数列，这个数列是等差数列吗？如果是，它的 首项 和 公差 分别是多少？ （ 2）在等差数列 415, 2 ，若在该数列的每相邻两项间插入一个数，使之仍成等差数列，求新的等差数列的一个 通项公式 （ 3） 两个 等差数列 5,8,11, 和 3,7,11, 都有 100项，它们有 个共同项，把共同项从小到大排列成数列 通项公式 （ 4） 某资料室在计算机使用中，出现下表所示以一定规则排列的编码，且从左至右以及从上到下都是无限的 1 1 1 1 1 1 1 2 3 4 5 6 1 3 5 7 9 11 1 4 7 10 13 16 1 5 9 13 17 21 1 6 11 16 21 26 此表中，主对角线上数列 1， 2， 5， 10， 17， 的通项公式为 ; 编码 100 共出现 次 3 规律总结 1 可以把 等差数列 d 的问题； 2 ,a 等差数列 A 为 a 与 b 的等差中项 2； 3 判定一个数列是不是 等差数列 ，就是看1 ( 1)n是不是一个与 n 无关的常数 4 在等差数列 0d ，则 数列 0d ，则 数列 0d ，则 数列 基础训练 一、选择题 1 等差数列 , 1, 2 3x x x ，则这个数列的 通项公式 为 （ ） A、 21B、 21C、 23D、 252在 x 和 y 两数之间插入 n 个数，使它们与 ,该数列的公差为（ ） A. . 1C 3 等差数列 ，已知5121 , 4 , 3 33 na a a a ，则 n 为 （ ） A 48 B 49 C 50 D 51 4已知无穷数列 各项均为正数的等差数列，则有 （ ） A6468 B 6468 C 6468 D 6468 5已知 l g l g 2 , l g 2 l g 3 , l g 3 l ga b b c c a 都是 等差数列 ，则 : ） A、 9:6:4 B、 3:2:1 C、 4:6:9 D、 1:2:3 二、填空题 6 在等差数 列 7,12 = . 7 已知数列 )(32,14 *11 ，则使 02 nn n 的值是 8 已知 (1) 2f ， 1( 1 ) ( ) ( )2f n f n n N ， 则 (101)f 4 三、解答题 9已知数列 关于 n 的一次函数，且1 2a ，17 66a ，求 10 在 中，角 ,等差数列， 222s i n , s i n , s i 判断这个三角形的形状； 能力提高 11 已知 等差数列 的首项为 31，若此数列从第 16项开始小于 1 ，则公差 d 的取值范围是（ ） A 2d B 15 27 d C 2d D 15 27 d 12 1934 年，东印度（今孟加拉国）学者森德拉姆 (现了 “ 正方形筛子 ” ： 4 7 10 13 16 7 12 17 22 27 10 17 24 31 38 13 22 31 40 49 16 27 38 49 60 （ 1） 这个 “ 正方形筛子 ” 的每一行有什么特点？每一列呢？ （ 2） 正方形筛子 ”中位于第 100 行的第 100 个数是多少？ 5 等差数列（第 1 课时） 答案 例 1分析： 求出 等差数列 个基本量1a和 d ，代入 通项公式 解决问题 解：（ 1）因为公差 ，所以 45 1545 15 60 1560 15 ，解得60 130a ； （ 2）由562得 2d ，由1 ( 1)na a n d ，得 10n 评注： 在1 ( 1)na a n d 中有四个量：1, , ,na a n d，可知三求一 例 2 解：当 2n 时 ， )1()(1 )( 为常数 项 1 ，公差为 p 。 例 3分析：利用等差中项的意义 ：“ A 为 a 与 b 的等差中项 2”解题 证明： 2 2 2, 2 2 22b a c 而2221 1 2 2 2 2( ) ( )2a b c a b c a b c a b b c a b a b b a c c b c aa b a c c b 所以 1 1 1,b c c a a b 成等差数列 评注： 证明三个数成等差数列，一般用上述方法 例 4分析：能根据等差数列的 定义 解题 解： （ 1） 这个数列是等差数列，设新的等差数列为 首项1716b a a d ，公差 7 （ 2）由1415, 2 ，得 1532d ， 32d，设新的等差数列为 等差数列 的 公差 34d ，115 ， 所以 新的等差数列的一个 通项公式 为 3 3 2 35 ( 1 )4 4 4nb n n （ 3） 25 ， 12 1， 1, 2 , 3, , 2 5n （ 4） 2 22na n n n N ; 6 提示： 主对角线上数列 1， 2， 5， 10， 17， 的 第 n 行、第 n 列的数，第 n 行的数依次成等差数列， 首项为 1 ，公差为 1n ，所以21 ( 1 ) ( 1 ) 2 2na n n n n ； 6 1 ( 1) 1 0 0 ， ( 1) 99， 99的正约数有 1, 3, 9 ,1 1, 3 3, 9 9共 6 个 评注： 对原数列添项或从原数列抽取项是构造新数列的两种方式构造新数列后，原数列的项的序号随之改变 基础训练 1 C 提示： 0x 2 B 解： ,、第 2n 项，该数列的公差 2 1 1y x y xd 3 C 提示 ：1 231 ,34 B解： 2 2 24 8 6 6 6 62 2 4 0a a a a d a d a d ，又 0，故6468 5 A 提示：由 l g l g 2 , l g 2 l g 3 , l g 3 l ga b b c c a 是 等差数列 得 23由 差数列 得 2b ，所以 : : 9 : 6 : 4 6 17 解： 4 1 6 4 1 4 6 9 42 ( ) 2 , 5 1 7a a a a a a a d a a d 则 7 21 解： 23d， 1 21 2 23na a n d n ， 2 2 203，由 02 nn 0 22n ，又 ，故 21n 8 52 提示： (1) 2f ， 1( 1 ) ( )2f n f n ， ()以 2 为首项， 12为公差的等差数列， 13()22f n n， (101) 52f . 9数列 2 16 66d， 4d ， 2 ( 1 ) 4 4 2na n n 10 因为角 ,等差数列，所以3B ， 又 222s i n , s i n , s i 2222由 2 2 2c o c bB ，得 2 2 2a c b a c ，把 2222代入， 得 2( ) 0， 所以 ， 又因为3B ，所以这个三角形为等边三角形。 能力提高 7 11 B 提示： 15161112 （ 1）每一行与每一列都成等差数列 （ 2） 第 100 行的第 1 个数是1 0 0 ,1 4 9 9 3 = 3 0 1a ， 第 100 行的 数成等差数列，公差 3 9 9 2 2 0 1d 所以 第 100 行的第 100 个数 是1 0 0 , 1 0 0 3 0 1 9 9 2 0 1 2 0 2 0 0a 第二章 数列 2 2 等差数列（第 2 课时） 学习目标 1 了解 等差数列的 性质，会用性质解决 等差数列的 简单问题 ； 2能 进 一步 根据等差数列的定义判断或证明一个数列为等差数列 要点精讲 1等差数列的 性质 （ 1）在 等差数列 m n p q ，则m n p qa a a a ( , , , )m n p q N （ 2）在 等差数列 2n n na a a ； 2n k n k na a a( , , )n k n n k N （ 3）在 等差数列 , , , , ,m m k m k m n ka a a a 也成 等差数列 2数列 差数列 的证明方法 （ 1）若1常数对任意的整数 1n 成立，则 数列 差数列 （ 2）若112n n na a a对任意的整数 1n 成立，则 数列 差数列 范例分析 例 1 在等差数列 （ 1）若3 4 5 6 450a a a a ，则18； （ 2）若1 2 3 5a a a ，4 5 6 10a a a ，则7 8 9a a a 8 例 2 （ 1） 已知 三个数成等差数列，其和为 15，首末两数的积为 9 ，求此数列； （ 2）成等差数列的四个数之和为 26 ，第二个数与第三个数之积为 40 ，求此数列 （ 3）一个直角 三角形三边的长组成等差数列，求这个直角三角形三边长的比 例 3已知数列 2l o g ( 1 ) ( )na n N 为等差数列，且133, 9求 数列 例 4已知数列 n 项和满足 12 0 2 ,n n S n n N ，1 12a ， （ ）求证： 1是等差数列； （ ）求 规律总结 1 利用 等差数列的 性质解题能够简化运算； 2 在 等差数列 号成 等差数列 的项构成一个新的 等差数列 ； 3 判定或证明一个数列 ( )差数列 ， 要把 ()() 1n 项为1() 9 基础训练 一、选择题 1 在等差数列 ,若 1 2 01210864 12102 的值为 （ ） A、 20 B、 22 C、 24 D、 28 2 关于 等差数列 ，有下列四个命题： 若有两项是有理数，则其余各项都是有理数； 若有两项是无理数，则其余各项都是无理数； 若 数列 等差数列 ，则 数列 差数列 ； 若 数列 差数列 ，则 数列 2差数列 其中是真命题的个数为 （ ） A 1 B 2 C 3 D 4 3已知数列 a ，7 1a ， 又 数列 11为等差数列，则11 ） A、 0 B、21C、37D、 1 4 若 ,差数列 ，则二次函数 2( ) 2f x a x b x c 的零点个数是 （ ） A 0 个 B 1 个 C 2 个 D 不确定 5已知方程 222 2 0x x m x x n 的四个根组成一个 首项为 14的等差数列，则等 于（ ） A、 1 B、 34 C、 12 D、 38 二、填空题 6 在 中，三个内角 , 等差数列 ， 则 t a n t a n 3 t a n t a 2 2A C A C 7 在等差数列 475，566则 通项公式 8 如图（ 1）是一个三角形，分别连结这个三角形三边的中点，将原三角形剖分成 4 个三角形（如图（ 2），再分别连结图（ 2）中间的小三角形三边的中点，又可将原三角形剖分成7 个三角形（如图（ 3）依此类推，第 n 个图中原三角形被剖分为数列 ；第 100 个图中原三角形被剖分为 个三角形？ 10 三、解答题 9 已知数列 9 17a ，1 31nn a （ 1）求证： 数列 1为等差数列； （ 2） 求 10 如图，三个正方形的边 ,C 长组成等差数列，且 21这三个正方形的面积之和是 179 2 （ 1）求 ,C 长； （ 2）以 ,C 长为等差数列的前三项，以第 10 项为边长的正方形的面积是多少？ 能力提 高 11 若 差数列，则1 2 3a a a，4 5 6a a a，7 8 9a a a， ，3 2 3 1 3n n na a a（ ） A、 一定不是等差数列 B、 一定是递增数列 C、 一定是等差数列 D、 一定是递减数列 11 12 已知数列 a，1 2 2 1 ( )a n N ， （ 1）求证：数列 12n 为等差数列； （ 2）求数列 等差数列（第 2 课时） 答案 例 1 （ 1）3 4 5 6 3 6 4 5 1 8( ) ( ) 2 ( ) 4 5 0a a a a a a a a a a ，18225； （ 2）235a ，53 10a ，23a，53a，833 15a 例 2 （ 1）设三个数分别为 ,a d a a d，则 ( ) ( ) 1 5( ) ( ) 9a d a a da d a d ， 54， 所求数列为 1,5,9 或 9,5,1 （ 2）法 1：设四个数分别为 3 , , , 3a d a d a d a d ， 则 ( 3 ) ( ) ( ) ( 3 ) 2 6( ) ( ) 4 0a d a d a d a da d a d ，解得 , 得所求数列为 2,5,8,11 或 11,8,5,2 法 2：设四个数分别为1 2 3 4, , ,a a a a，则 1 2 3 4342640a a a ， 23342 ( ) 2 640， 得所求数列为 2,5,8,11 或 11,8,5,2 （ 3）设三边长分别为 ,a d a a d( 0)d ，则 2 2 2( ) ( )a d a a d ， 所以 4，所以 ( ) : : ( ) 3 : 4 : 5a d a a d 例 3 等差数列 2l o g ( 1 ) ( )na n N 的第 1 项是21lo g ( 1) 1a ， 12 第 3 项是23lo g ( 1) 3a ，故该等差数列的公差是 2 3 2 1l o g ( 1 ) l o g ( 1 ) 12 ， 所以2l o g ( 1 ) 1 ( 1 ) 1na n n ，所以 21例 4 分析：判定一个数列是不是 等差数列 ，可以利用 等差数列的定义 ，也就是看1 ( 1)n是不是一个与 n 无关的常数 （ ） 由120n n S ，得1120n n n S S ，112n n n S S而11111 2n n S S ， 1是等差数列 ， 首项11112，公差 2d （ ）111 ( 1 ) 2 2 ， 12nS n ， 1 ,121 ,22 ( 1 ) 基础训练 1 C 解：因为4 6 8 1 0 1 2 85 1 2 0a a a a a a ，所以8 24a ， 故 1 0 1 2 1 0 1 0 1 0 8 822a a a d a a a a 2 B 提示： 正确 3 B 提示：因为7311 411 ，所以 d 124 ，1 1 31 1 281 1 3 ， 所以11 12a 4 D 提示： 2a c b ， 2( ) ( ) ( ) ( 1 ) 0f x a x a c x c a x c x ， 1x 或 ，当 时，有 1 个零点，当 时，有 2 个零点， 5 C 解：设四个根组成的等差数列的公比为 d ，则四根之和 1 6 4d，得 12d， 所以四个根依次为 1 3 5 7,4444， , 15,16 16，故 12 6 3 提示：3B ，原式 t a n ( ) ( 1 t a n t a n ) 3 t a n t a n 32 2 2 2 2 2A C A C A C 7 3或 4提示：5 6 4 7 5a a a a ， 5623或 5632 13 8 23 298 9 （ 1）1311 ，1113 ，1113 故数列 1为等差数列； （ 2）911 ( 9 ) 7 ( 9 ) 3 3 2 0nn d n ，所以 13 20na n 。 10 （ 1）设公差为 ( 0)， BC x x，则 ,A B x d C D x d 由题意得 1 7 9)()(21)()(222 解得4747舍去） 3（ ， 7（ ， 11（ 。 （ 2）正方形的边长组成首项是 3 ，公差是 4 的等差数列 以 10 3 (1 0 1 ) 4 3 9a ， 2210 3 9 1 5 2 1a （ 2。 所求正方形的面积为 1521 2 能力提高 11 C 提示：成 等差数列，公差为 9d 12 解：（ 1） 1111 1 ( 2 2 1 ) 1 2 ( 1 ) 12 2 2 2nn n n nn n na a a a 为常数， 所以数列 12n 为等差数列。 （ 2）此时， 11 1 112 2 2n na a n ，所以 11 1 2 1 差数列 教材分析 三维目标 一、知识与技能 了解 通项公式 的 推导过程； 通项公式 . 二、过程与方法 三、情感态度与价值观 通过等差数列概念的归纳概括，培养学生的观察、分析资料的能力，积极思维，追求新知的创新意识 . 教学重点 理解等差数列的概念，探索并掌握等差数列的通项公式，会用公式解决一些简单的问题 教学难点 (1)等差数列的性质，等差数列 “等差 ”特点的理解、把握和应用 (2)概括通项公式推导过程中体现的数学思想方法，以及从函数、方程的观点看通项公式 . 教学建议 本节课先在具体例子的基础上引出等差数列的概念，接着用不完全归纳法归纳出等差数列的通项公式，并能通过通项公式与图象认识等差数列的性质 纳猜想、应用能力 采用指导自主学习方法，即学生主动观察 分析概括 师生互动，形成概念 启发引 导，演绎结论 拓展开放，巩固提高 导学生 去联想、探索，同时鼓励学生大胆质疑，学会探究 在教学过程中，遵循学生的认知规律，充分调动学生的积极性，尽可能让学生经历知识的形成和发展过程，激发他们的学习兴趣，发挥他们的主观能动性及其在教学过程中的主体地位 起学生学习兴趣，激发他们的求知欲，培养学生由特殊到一般的认知能力 样数学也是离不开生活的 决数学问题，使数学生活化 ，生活数学化 . 新课导入一 师 上两节课我们学习了数列的定义以及给出数列和表示 数列的几种方法 列举法、通 项公式、递推公式、图象法 下面我们看这样一些数列的例子： (课本 的 4 个例子 (1)0， 5， 10， 15， 20， 25， (2)48， 53， 58， 63， (3)18， 13， 8， (4)10 072， 10 144， 10 216， 10 288， 10 366， 请你们来写出上述四个数列的第 7 项 生 第一个数列的第 7 项为 30，第二个数列的第 7 项为 78，第三个数列的第 7 项为 3，第四个数列的第 7 项为 师 我来问一下，你依据什么写出了这四个数列的第 7 项呢 ?以第二个数列为例来说一说 生 这是由第 二个数列的后一项总比前一项多 5，依据这个规律性我得到了这个数列的第 7项为 师 说得很有道 理 !我再请同学们仔细观察一下，看看以上四个数列有什么共同特征？我说的是共同特征 2 生 1 每相邻两项的差相等，都等于同一个常数 师 作差是否有顺序，谁与谁相减？ 生 1 作差的顺序是后项减前项，不能颠倒 师 以上四个数列的共同特征：从第 二项起，每一项 与它前面一项的差等于同一个常数 (即等差 )；我们给具有这 种特征的数列起一个名字叫 等差数列 这就是我们这节课要研究的内容 新课导入二 上两节课我们学习了数列的定义及给出数列和表示的 数列的 几种方法 列举法、 通项公式、递推公式 、图象法 的特点。下面我们看这样一些例子。 课本 的 4 个例子： 0， 5， 10， 15， 20， 25， 48， 53， 58， 63 18， 13， 8， 10072， 10144， 10216， 10288， 10366 观察：请同学们仔细观察一下，看看以上四个数列有什么共同特征？ 共同特征：从第二项起，每一项与它前面一项的差等于同一个常数（即等差）；（误：每相邻两项的差相等 应指明作差的顺序是后项减前项），我们给具有这 种特征的数列一个名字 等差数列 1 差数列 教学过程 第一课时 推进新课 等差数列的定义：一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的差等于同一个常数，这个数列就叫做等差数列，这个常数就叫做等差数列的公差 (常用字母 “d”表示 （ 1）公差 不能用前项减后项来求； （ 2）对于数列 若 d(与 n 无关的数或字母 )， n2， n N*，则此数列是等差数列， 师 定义中的关键字是什么 ?(学生在学习中经常遇到一些概念，能否抓住定义中的关键字，是能否正确地、深入的理 解和掌握概念的重要条件，更是学好数学及其他学科的重要一环 培养学生分析问题、认识问题的能力 生 从 “第二项起 ”和 “同一个常数 师 很好！ 师 请同学们思考：数列 (1)、 (2)、 (3)、 (4)的通项公式存在吗？如果存在，分别是什么？ 生 数列 (1)通项公式为 5列 (2)通项公式为 5n+43，数 列 (3)通项公式为 . 师 好，这位同学用上节课学到的知识求出了这几个数列的通项公式，实质上这几个通项公式有共同的特点，无论是在求 解方法上，还是在所求的结果方面都存在许多共性，下面我们来共同思考 合作探究 等差数列的通项公式 师 等差数列定义是由一数列相邻两项之间关系而得到的，若一个等差数列 首项是 差是 d，则据其定义可得什么 生 d,即 a2=a1+d 师 对，继续说下去 生 d,即 a3=a2+d=d d,即 a4=a3+d=d; 师 好！规律性的东西让你找出来了，你能由此归纳出等差数列的通项公式吗 生 由上述各式可以归纳出等差数 列的通项公式是 an=d 师 很好 !这样说来，若已知一数列为等差数列，则只要知其首项 d，便可求得其通项 需要说明的是：此公式只是等差数列通项公式的猜想，你能证明它吗 生 前面已学过一种方法叫迭加法，我认为可以用 因为 d,d,d, an=d 师 太好了 !真是活学活用啊 !这样一来我们通过证明就可以放心使用这个通项公式了 教师精讲 由上述关系还可 得： am=d 即 a1=d 则 an=d=d+(d=d 即等差数列的第二通项公式 an=d.(这是变通的通项公式 由此我们还可以得到nm 例题剖析 2 【例 1】 （ 1）求等 差数列 8， 5， 2, 的第 20 项 （ 2） 不是等差数列 的项？如果是，是第几项？ 分析（ 1） 师 这个等差数列的首项和公差分别是什么 ?你能求出它 的第 20 项吗 生 1 这题太简单了 !首项和公差分别是 ,d=5n=20，所以由等差数列的通项公式，得 +(20(- 师 好 !下面我们来看看第（ 2）小题怎么做 分析（ 2） 生 2 由 5,d=5)=数列通项公式为 5-4(由题意可知，本题是要回答是否存在正整数 n，使得 5-4(立 ,解之 ,得 n=100，即 00 项 师 刚才两个同学将问题解决得很好，我们做本例 的目的是为了熟悉公式，实质上通项公式就是 an,a1,d,独立的量有三个 说明 :(1)强调当数列 项数 n 已知时，下标应是确切的数字； (2)实际上是求一个方程的正整数解的问题 较少，可向学生着重点出本问题的实质：要判断不是数列的项，关键是求出数列的通项公式 断是否存在正整数 n，使得 401成立 【例 2】 已知数列 通项公式 an=pn+q，其中 p、 q 是常数，那么这个数列是否一定是等差数列？若是，首项与公差分别是什么？ 例题分析： 师 由等差数列的定义，要判定 不是等差数列，只要根据什么 生 只要看差 n2)是不是一个与 师 说得对，请你来求解 生 当 n2时，取数列 的任意相邻两项 an(n2) )- p(q =pn+q-(q)=p 为常数 所以我们说 等差数列，首项 a1=p+q，公差为 师 这里要重点说明的是： (1)若 p=0，则 公差为 0 的等差数列，即为常数列 q， q， q， (2)若 p0，则 图象上看，表示数列的各点 (n， 在一次函数 y=px+次项的系数是公差 p，直线在 y 轴上的截距为 (3)数列 等差数列的充要条件是其通项 an=pn+q(p、 q 是常数 )，称其为第 3 通项公式 (1)求等差数列 3， 7， 11， 的第 4 项与第 10 项 分析：根据所给数列的前 3 项求得首项和公差，写出该数列的通项公式，从而求出所 求项 . 解： 根据题意可知 ， d=7. 该数列的通项公式为 +(4，即 n1，n N*). 45， a 10=410- 评述： 关键是求出通项公式 (2)求等差数列 10， 8， 6， 的第 20 项 解： 根据题意可知 0， d=8 所以该数列的通项公式为 0+(即 2n+12，所以 220+12=- 评述： 要求学生注意解题步骤的规范性与准确性 (3)100 是不是等差数列 2， 9， 16， 的项？如果是，是第几项？如果不是，请说明理由 分析： 要想判断一个数是否为某一个数列的 其中一项，其关键是要看是否存在一个正整数 得 3 解： 根据题意可得 ， d=9+(7=7令 700，解得 n=00 是这个数列的第 15 项 (4)不是等差数列 0， 213， 的项？如果是，是第几项？如果不是，请说明理由 解： 由题意可知 ，213d,因而此数列的通项公式为2727 02727 n，解得74702727 以 是这个数列的项 课堂小结 师 （ 1）本节课你们学了什么？（ 2）要注意什么？（ 3）在生活中能否运用？ (让学生反思、归纳、总结 ,这样来培养学生的概括能力、表达能力 生 通过本课时的学习，首先要理解和掌握等差数列的定义及数学表达式 a d(n2);其次要会推导等差数列的通项公式 an=d(n 师 本课时的重点是通项公式的灵活应用，知道 d， 用方程的思想，可以求出另外一个 要注意一重要关系式 an=d 和 an=pn+q(p、 q 是常数 )的理解与应用 布置作业 课本第 45 页习题 组第 1 题， 题 板书设计 等差数列的概念、等差数列的通项公式 1.(略 例 2.(略 ) 练习 第二课时 推进新课 我们来给出等差中项的概念：若 a， A， 么 a与 根据我们前面的探究不难发现，在一个等差数列中，从第 2 项起，每一项 (有穷数列的末项除外 )都是它的前一项与后一项的等差中项 如数列： 1， 3， 5， 7， 9， 11， 13 中 5 是 3 与 7 的等差中项，也是 1 和 9 的等差中项 9 是 7 和 11 的等差中项，也是 5 和 13 的等差中项 方法引 导 等差中项及其应用问题的解法关键在于抓住 a， A， b 成等差数列 A=a+b，以促成将等差数列转化为目标量间的等量关系或直接由 a， A， b 间的关系证得 a， A， b 成等差 数列 合作探究 师 在等差数列 ， m,n,p,q N*且 m+n=p+q，那么这些项与项之间有何种等量关系呢？ 生 我得到了一种关系 am+an=ap+师 能把你的发现过程说一下吗？ 生 受等差中项的启发，我发现 a2+a4=a1+a5,a4+a6=a3+ 4 从而可得在一等差数列中，若 m+n=p+q，则 am+an=ap+师 你所得的这关系是归纳出来的，归纳有利于发现，这很好 ，但归纳不能算是证明！我们是否可以对这归纳的结论加以证明呢？ 生 我能给出证明，只要运用通项公式加以转化即可 am+an=d+d=2m+d, ap+aq=d+d=2p+d 因为我们有 m+n=p+q,所以上面两式的右边相等，所以 am+an=ap+师 好极了！由此我们的一个重要结论得到了证明：在等差数列 各项中，与首末两项等距离的两项的和等于首末两项的和 等差数列 中，若 m+n=p+q,则上面两式的右边相等，所以 am+an=ap+同样地，我们还有：若 m+n=2p,则 am+师 注意：由 am+an=ap+m+n=p+q，同学们可举例说明吗 生 我举常数列就可以说明了 师 举得好 !这说明在等差数列中， am+an=ap+m+n=p+q 成立的必要不充分条件 . 例题剖析 【例 1】 在等差数列 ，若 a1+， ，求 师 在等差数列中通常如何求一个数列的某项？ 生 1 在通常情况下是先求其通项公式，再根据通项公式来求这一项 生 2 而要求通项公式，必须知道这个数列中的至少一项和公差，或者知道这个数列的任意两项 (知道任意两项就知道公差，这在前面已研究过了 生 3 本题中，只已 知一项和另一个双项关系式，想到从这双项关系式入手 师 好，我们下面来解，请一个同学来解一解，谁来解？ 生 4 因为 等差数列，所以 a1+a6=a4+a3 - 所以可得 d=- 又因为 a9=9-4)d=7+55=32，所以我们求出了 ， 【例 2】 某市出租车的计价标准为 /步价为 10 元，即最初的 4 千米 (不含 4 千米 )计费 10 元 4 的目的地，且一路畅通，等候时间为 0，需要支付多少元的车费 师 本题是一道实际应用题，它所涉及到的是什么知识方面的数学问题？ 生 这个实际应用题可化归为等差数列问题来解决 师 为什么？ 生 根据题意，当该市出租车的行程大于或等于 4 ，每增加 1 客需要支付 所以，我们可以建立一个等差数列来进行计算 车费 师 这个等差数列的首项和公差分别是多少 生 分别是 师 好，大家计算一下本题的结果是多少 生 需要支付车费 (教师按课本例题的解答示范格式 评述： 本例是等差数列用于解决实际问题的一个简单应用，做此题的目的是让大家学会从实际问题中抽象出等差数列的模型，用等差数列知识 解决实际问题 课堂练习 ， (1)若 a5=a,b,求 解： 由等差数列 2a5+ 2b=a+以 5 (2)若 a3+a8=m,求 a5+解： 等差数列 ， a5+a6=a3+(3)若 ,5,求 解： 由等差数列 a8=8-5)d,即 15=6+3d,所以 d 从而 14-5)d (4)已知 a1+ 0,a6+ 0， 求 + 解： 等差数列 ，因为 6+6=1 所以 2a6=a1+a7=a2+ 从而 (+ (a1+ 2(a6+ 因此有 (+ 2(a6+ (a1+ =280- 45练习 教师对学生的完成情况作出小结与评价 方法引导 此类问题的解题的关键在于灵活地运用等差数列的性质，因此，首先要熟练掌握等差数列的 性质，其次要注意各基本量之间的关系及其它们的取值范围 课堂小结 师 通过今天的学习， 你学到了什么知识 ?有何体会？ 生 通过今天的学习 ,明确等差中项的概念 ;进一步熟练掌握等差数列的通项公式及其性质 . (让学生自己来总结，将所学的知识 ,结合获取知识的过程与方法，进行回顾与反思，从而达到三维目标的整合 ,培养学生的概括能力和语言表达能力 布置作业 课本第 45 页习题 组第 4、 5 题 预习内容：课本 预习提纲： 等差数列的前 等差数列前 板书设计 等差数列通项公式 等差中项 例题 在等差数列 若 m、 n、 p、 q N*且 m+n 则 am+an=ap+aq 1 差数列 (第一课时 ) 讲授新课 1等差数列 ：一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的差等于同一个常数，这个数列就叫做等差数列，这个常数就叫做等差数列的公差 （常用字母“ d”表示）。 公差 d 一定是由后项减前项所得，而不能用前项减后项来求； 对于数列 若na=d (与 ， n 2， n N ，则此数列是等差数列， d 为公差。 思考： 数列、的通项公式存在吗？如果存在，分别是什么？ 2等差数列的通项公式： 1(1 【或 na m )( 】 等差数列定义是由一数列相邻两项之间关系而得若一等差数列 a ，公差是 d，则据其定义可得： 12 即： 12 23 即： 123 34 即： 134 由此归纳等差数列的通项公式可得： 1(1 已知一数列为等差数列，则只要知其首项 1a 和公差 d，便可求得其通项 由上述关系还可得： 1(1 即： 1(1 则： na 1(1 = ( m - 1 ) d + ( n - 1 ) d = a + ( n - m ) na m )( d 例讲解 例 1求等差数 列 8， 5， 2的第 20 项 不是等差数列 项？如果是，是第几项？ 解：由 35285,81 n=20，得 49)3()120(820 a由 4)5(9,51 得数列通项公式为： )1(45 题是要回答是否存在正整数 n，使得 )1(45401 n=100， 2 即 00 项 例 2 某市出租车 的计价标准为 /步价为 10 元，即最初的 4含 4费为 10 元，如果某人乘坐该市的出租车去往 14的目的地，且一路畅通，等候时间为 0，需要支付多少车费？ 解：可以抽象为等差数列的数学模型。 4的车费记为： a 公差 2.1d 当出租车行至目的地即 14时， n=11 求 11a 所以： 11(a 差数列与一 次函 数的关系 引导学生动手画图研究完成以下探究： 在直角坐标系中，画出通项公式为 53 个图象有什么特点？ 在同一个直角坐标系中，画出函数 y=3图象，你发现了什么？据此说一说等差数列 与一次函数 y=px+ 分析： n 为正整数，当 n 取 1， 2， 3，时，对应的过描点知道该图象是均匀分布的一群孤立点； 画出 函数 y=3图象一条直线后发现数列的图象（点）在直线上，数列的图象是改一次函数当 x 在正整数范围内取值时相应的点的集合。于是可以得出结论：等差数列 的图象是一次函数 y=px+ y=px+ 如果一个数列的通项公式是关于正整数 么这个数列必定是等差数列。 例 3 已知数列 通项公式 ，其中 p 、 q 是常数，那 么这个数列是否一定是等差数列？若是，首项与公差分别是什么？ 分析：由等差数列的定义，要判定 要看1 nn n 2）是不是一个与 n 无关的常数。 解：当 n 2 时 , （取数列 n 2） 求差得 )1()(1 )(， 它是一个与 等差数列，首项 1 ，公差为 p。 注：若 p=0，则 公差为 0 的等差数列，即为常数列 q， q， q， 课本 、 2、 3、 4 补充练习 3 1.（ 1）求等差数列 3， 7， 11，的第 4 项与第 10 项 . 分析：根据所给数列的前 3 项求得首项和公差，写出该数列的通项公式，从而求出所求项 . 解：根据题意可知： 1a =3,d=7 3=4.该数列的通项公式为：+（ n 1） 4,即n 1（ n 1,n N*） 4a =4 4 1=15, 10a=4 10 1=39. 评述：关键是求出通项公式 . （ 2） 求等差数列 10， 8， 6，的第 20 项 . 解：根据题意可知： 1a =10,d=8 10= 2. 该数列的通项公式为：0+（ n 1）（ 2） ,即： 2n+12,20a= 2 20+12= 28. 评述：要注意解题步骤的规范性与准确性 . （ 3） 100 是不是等差数列 2， 9， 16，的项？如果是，是第几项？如果不是，说明理由 . 分析 ：要想判断一数是否为某一数列的其中一项 ，则关键是要看是否存在一正整数 得 解：根据题意可得： 1a =2,d=9 2=7. 此数列通项公式为：+（ n 1） 7=7n 5. 令 7n 5=100,解得： n=15, 100 是这个数列的第 15 项 . （ 4） 20 是不是等差数列 0， 321， 7，的项？如果是， 是第几项？如果不是，说明理由 . 解：由题意可知： 1a =0,d= 321此数列的通项公式为：27n+27, 令27n+27= 20,解得 n=747因为27n+2
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