关 键 词：

年高 数学 等比数列 教案 素材 训练 打包 新人 必修

资源描述：

2014年高中数学 2.4等比数列等比数列教案+学案+素材+训练（打包8套）新人教A版必修5,年高,数学,等比数列,教案,素材,训练,打包,新人,必修

内容简介：

1 第二章 数列 2 4 等比数列（第 1 课时） 学习目标 1掌握等比数列的定义，理解等比中项的概念； 2掌握等比数列的通项公式及推导思路； 3能根据等比数列的定义判断或证明一个数列为等比数列 要点精讲 1如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母 q 表示 ( 0)q 2在数列 对任意 ，有1 ( 0, 1)，则称数列 等比数列；在数列 对任意 ，有11 ( 1)n ，则数列 等比数列 3由三个数 ,成的等比数列可以看成最简单的等比数列这时， G 叫做 a 与 b 的等比中项 G 为 a 与 b 的等比中项 ,成等比数列 2 ( 0 , 0 )G a b a b G 4设等比数列 比是 q ，则通项公式 11 a q 公式推导方法为归纳法对于任意 ,n m N ，有 a q 范例分析 例 1在等比数列 （ 1）2 18a ，4 8a ，求1a与 q ； （ 2）5115，426，求3a； 例 2 已知 1 是 2a 与 2b 的等比中项，又是 122 的值 2 例 3正项等比数列 且71 ，则 4a ， 4b 的大小关系为（ ） A 4 4 4不确定 例 4 在等差数列 差 0d ， 且2 已知1a，3a， 1 2 3, , , nk k k ka a a 数列1 2 3, , , , nk k k k的通项 规律总结 1可以把等比数列 q 的问题； 2判定一个数列是不是等比数列，就是看1 1)n 是不是一个与 n 无关的常数 3等比数列与指数函数的关系： 3 等比数列 11( 0 )a q a q，它的图象是分布在曲线1 (0q 且 1)q 上的一些孤立的点 当1 0, 1时，等比数列 1 0 , 0 1 时，等比数列 1 0 , 0 1 时，等比数列 当1 0, 1时，等比数列 当 0q 时，等比数列 1q 时，等比数列 基础训练 一、选择题 1在数列 任意 ，都有1 20，则123422 等于（ ） A 14B 13C 12D 1 2 已知等差数列 ， 若431 , 则2a （ ） A 4 B 6 C 8 D 10 3 已知 a b c d， ， ， 成等比数列，且曲线 2 23y x x 的顶点是 ()，则 于（ ） A 2 B 1 C 2 D 3 4在 ， 以 4 为第 3 项 ， 4 为第 7 项的等差数列的公差 ， 以31为第 3 项 ， 9 为第 6 项的等比数列的公比 ， 则该三角形为 ( ) A 锐角三角形 B 直角三角形 C 钝角三角形 D 等腰三角形 5设等差数列 d 不为 0，1 9，则 k （ ） A 2 B 4 C 6 D 8 二、填空题 6 在等比数列 任意 ，都有12n n na a a，则公比 q _ 。 7 已知 2 4 202, 3a a a ，则 8 已知 12 ( )3 ，把数列 1a 2a 35 记 ( , )示第 m 行，第 n 列的项，则 (10,8)A 。 三、解答题 9 若 ,证： 2 2 2 2,a b a b b c b c 也成等比数列。 10已知等差数列 都等于 ( 0, 1)d d d若 11333555求通项na， 能力提高 11在数列 任意 ，都有211 （ k 为常数），则称 “等差比数列 ” 下面对 “等差比数列 ”的判断： k 不可能为 0 ； 等差数列一定是等差比数列； 等比数列一定是等差比数列； 通项公式为 0 , 0 , 1a b c a b 的数列一定是等差比数列， 其中正确的判断为 （ ） A B C D 12 是否存在都大于 2 的一对实数 ,1 ，使得 ,可以按照某一次序排成一个等比数列？若存在，求出所有的实数 对 ；若不存在，说明理由 5 2 2 等比数列（第 1 课时） 14 答案 例 1 （ 1） 1 2723 或 1 2723 ； （ 2） 4113156a q aa q a q ，两式相除，消去1a，得 431 156，则 2 152 ， 解得 12q或 2q 当 12q时，1 16a ， 3 11 6 44a ； 当 2q 时，1 1a， 23 1 2 4a 。 例 2 22 111, 2 ，即 1, 2 ，所以 12或 12 ， 2 2 2 1( ) 2a b a ba b a b a b 或 13 例 3 C解 法 1： 因为71 ，所以 24 1 7 1 7 1 7 1 7 1 7 42 ( ) 2 2 2b b b a a a a a a a a a ， 故 4a 4b 解 法 2： 由题意知， 等比数列 11( 0 )a q a q，它的图象是分 布在曲线1 (0q 且 1)q 上的一些孤立的点 等 差 数列 1)na a n d ，它的图象是分布在 直线1y dx a d 上的一些孤立的点 因为7711 , ，所以两列图像有两个公共点，如图， 6 显然有 4a 4b 当 a 4b 例 4 解：由题意得： 4122 ， 即 )3()( 1121 又 0,d 1 ， 又 ,2131 该数列的公比为 3313 所以 11 3 nk aa n 又11 )1( n ， 13 3 基础训练 1 A 提示：12 2342 1124a q 2 B解：因为 1 2 3 2 4 22 , 2 , 4a a a a a a ，由已知， 22 2 22 2 4a a a ，解得 2 6a 3 C 解：由已知， 1, 2，所以 2ad 4 A 解：易得 A ， B ，所以 t a n t a n 1C A B 5 B 解： 8na n d，因为 212a a，所以 28 9 2 8 ，解得 4k 6 152提示：由12n n na a a得 2n n na a q a q，故 21 ，解之得。 7 3123 或 323 提示：213112203q a q ，两式相除，消去1a， 得 23 1 0 3 0 ，解得 13q或 3q 。 8 8931)(2 解：第 9 行最后一个数为81a，故第 10 行最后一个数为89a 8931)(2 9 由 , 0且 2b ， 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )a b b c a a c a c c a c a c b a c a b b c 显然 22， 22都不等零，且 0ab ， 7 所以 2 2 2 2,a b a b b c b c 成等比数列 。 10由已知得 21142345a d a da d a d，则 21412 ( 3 1 )4 ( 5 1 )d a dd a d ，两式相除得 425 6 1 0 ， 解得 51,5 ，又 0, 1，所以 55d代入的1 5a ，故1 5b ， 所以 5 ( 6 )5， 155 ( )5 能力提高 11 D 提示： 等差数列 公差为零时不 是等差比数列； 等比数列 公比为 1 时不 是等差比数列 。 12解：因为 2 ， 且 1， b a b a b a ， 若四数 , , ,b a b a b a 成等比数列，则 ba b a b a ， 所以 2， 又 2a b a b a b ，解得 77 5 2 , 5 22 2 4 等比数列（第 2 课时） 学习目标 1了解等比数列的性质，会用性质解决等比数列的简单问题； 2能进一步根据等比数列的定义判断或证明一个数列为等比数列 要点精讲 1等比数列的性质 （ 1）在等比数列 m n p q ，则m n p qa a a a 注意：m n m na a a （ 2）在等比数列 211n n na a a； 2n k n k na a a( , , )n k n n k N （ 3）在等比数列 211 2 3 2 1 a a a a ，1 2 3 2 1()nn n na a a a a a （ 4）在等比数列 , , , , ,m m k m k m n ka a a a 也成等比数列，公比为 2数列 （ 1）定义法：若1 常数对任意的整数 1n 成立，则数列 等比数列； （ 2）中项法： 若 211n n na a a对任意的整数 1n 成立，则数列 （ 3）通项公式法：若 an k m ( 0)k，则数列 8 范例分析 例 1（ 1）已知 0，2 4 3 5 4 62 2 5a a a a a a ，求35 （ 2）已知 比 0q ，3734，4664求 例 2三个实数 6,3, 1 排成一行，在 6 和 3 之间插入两个实 数， 3 和 1 之间插入一个实数，使得这六个数中的前三个、后三个分别成等差数列，且插入的三个数本身依次成等比数列，那么所插入的这三个数的和可能是： 74； 3 ； 194； 7 其中正确的序号是 例 3 在数列 2a，1 4 3 1a n ， n *N （ ）证明数列 等比数列； （ ）求数列 项 公式 例 4已知等比数列 64a ，公比 1q ，234,a a 项，第 3 项，第 1 项 （ 1）求 （ 2）设2n 项和，问：从第几项起 0？ 9 规律总结 1若数列 数列 0)k是等比数列； 2若数列 对任意 ， 0，则数列 差是 数列 数列 差是 d； 3若数列 数列 0)k 是等比数列，公比是 4若数列 数列 )等比数列，公比是 5若数列 数列 等比数列 基础训练 一、选择题 1等比数列 0，344则2 1 2 6lo g lo 值为（ ） A 1 B 2 C 3 D 4 2 某单位某年 12 月份产量是同年 1 月份产值的 m 倍，那么该单位此年的月平均增长率是（ ） A11211 1m D 12 1m 3公比不为 1 的 等比数列 332 3 4 1 2 2a a a a ，若 8，则 k 等于 （ ） A 6 B 7 C 8 D 9 4若 , ,等比数列，则 : （ ） A ( 2):1: 4 B 1:2:3 C 2:3:4 D ( 1):1:3 5等比数列 1 0 ( 0 )a a a a ，19 20a a b，则99 100于（ ） A89( C910(0 二、填空题 6已知 01f ，且 1 , 2 , 5f f f 成等比数列，则 (3)f _ 10 7 数列 等比数列，下列四个命题： 2 是等差数列； 1| |是等比数列； ( 0)k 都是等比数列正确的命题是 8若方程 052 0102 四个实数根适当排列后，恰好组成一个首项为 1 的等比数列，则 :_。 解答题 9在等比数列 知47 512，38124，且公比为整数，求10a 10 有四个数，其中前三个成等差数列，后三个成等比数列，且第一个数与第四个数的和为16，第二个数与第三个数的和为 12。求这四个数 。 能 力提高 11 已 知 等比 数列 , 3q ， 则 22122122的最大值是 12 数列 n 项和记为知11 21 , ( 1 , 2 , 3 )a S 证明： （ 1）数列 （ 2） nn 11 2 4 等比数列（第 2 课时） 15 答案 例 1（ 1）因为2 4 3 5 4 62 2 5a a a a a a ，所以 235( ) 2 5，又 0，所以355 （ 2）因为4664所以3764又3734， 所以 37232，或 37322，所以4 7316aq a或 116 ，所以 2q 或 12q 333 2 ( 2 )a q 或 333 13 2 ( )2a q 。 例 2 解析： 设 6 个数为 6, , , 3, , 1x y z ，则2262 1 3 ，解得94321或 421 ， 所以 74x y z 或 7 。 例 3 ）证明：由题设1 4 3 1a n ，得1 ( 1 ) 4 ( )n a n ， n *N 又1 11a ，所以数列 首项为 1 ，且公比为 4 的等比数列 （ ）解：由（ ）可知 14，于是数列 4 12 例 4（ 1） 121316 4 66 4 264q b dq b ， 12q， 72 （ 2）2l o g 7a n ， 13 02， 13n ，从第 14项起 0 基础训练 1 B 解：2 1 2 6 2 1 6 2 3 4l o g l o g l o g ( ) l o g ( ) 2a a a a a a 2 C 提示： 11(1 ) 3 B 解：因为 22 1 2 3 1 1 7a a a a a ，所以 1 1 3 32 3 4 1 2 7 2a a a a a ，故7 8a 4 A 提示： 11,24a c b c 5 A 解： 91 0 9 01 9 2 0 9 9 1 0 09 1 0 9 1 0,a a a a a a a a 6 5 提示：设 ()f x kx b，由题意得 2, 1 7 提示：在 中 0时 中 不 是等比数列 8 4 提示： 1,4 和 2,8 四个根 9 3 8 4 738512124a a a ， 384128，5 833 2 , 2 ， 21 0 8 ( 2 ) 5 1 2 10设四个数依次为 , ,1 2 ,1 6a b b a，则 22 (1 2 )(1 2 ) (1 6 )b a bb b a ，解得 04或 159， 这四个数为 0,4,8,16 或 15,9,3,1 11 75提示： 22 212 2 2 212 1 2 3 722 2 2 5qa a q q 。 12 （ 1） 11n n S，1 2， 1 2n n 整理得 1 21，故 比为 2 13 （ 2）由（ 1）得 114 ( 2 )n ， 11 4 ( 1 ) 41n ( 2)n 又2133，故2 1 2 4S a a ，所以有214 因此，对于任意正整数 1n ，都有1 4 1 比数列 教材分析 三维目标 一、知识与技能 索并掌握等比数列的通项公式 现数列的等比关系，并能用有关的知识解决相应的实际问题 ; 二、过程与方法 考、类比、归纳、探究、得出结论的方法进行教学 的主体作用，作好探究性活动 发学生学习的积极性 三、情感态度与价值观 量实 例，鼓励学生积极思考，激发学生对知识的探究精神和严肃认真的科学态度，培养学生的类比、归纳的能力 ，体现数学与实际生活的密切联系，激发学生学习的 兴趣 教学重点 数列的概念 ； 教学难点 等比 关系 ； 教学建议 本节内容先由师生共同分析日常生活中的实际问题来 引出等比数列的概念，再由教师引导学生与等差数列类比探索等比数列的通项公式，并将等比数列的通项公式与 指数函数进行联系，体会等比数列与指数函数的关系，既让学生感受到等比数列是现实生活中大量存在的数列模型，也让学生经历了从实际问题抽象出数列模型的过程 教学中应充分利用信息和多媒体技术，给学生以较多的感受，激发学生学习的积极性和思维的主动性 准备丰富的阅读材料，为学生提供自主学习的可能，进而达到更好的理解和巩固课堂所学知识的目的 . 导 入新课 一 师 现实生活中，有许多成倍增长的实例 一张报纸对折、对折、再对折、 ，对折了三次，手中的报纸的层数 就成了 8 层，对折了 5 次就成了 32 层 吗？ 生 一粒种子繁殖出第二代 120 粒种子，用第二代的 120 粒种子可以繁殖出第三代 120120粒种子，用第三代的 120120 粒种子可以繁殖出第四代 120120120 粒种子， 师 非常好的一个例子！ 现实生活中，我们会遇到许多这类的事例 教师出示多媒体课件一：某种细胞分裂的模型 2 师 细胞分裂的个数也是与我 们上述提出的问题类似的实例 每次分裂后细胞的个数写成一个数列，你能写出这个数列吗？ 生 通过观察和画草图，发现细胞分裂的规律， 并记录每次分裂所得到的细胞数，从而得到每次细胞分裂所得到的细 胞数组成下面的数列： 1， 2， 4， 8， 教师出示投影胶片 1： “一尺之棰，日取其半，万世不竭 师 这是庄子 天下篇中的一个论述，能解释这个论述的含义吗？ 生 思考、讨论，用现代语言叙述 师 (用现代语言叙述后 )如果把 “一尺之棰 ”看成单位 “1”，那么得到的数列是什么样的呢？ 生 发现等比关系 ，写出一个无穷等比数列： 1，21，41，81，161， 引入课题：板书课题 比数列的概念及通项公式 新课 导入 二 复习：等差数列的定义 ： na=d ，（ n 2， n N ） 等差数列是一类特殊的数列，在现实生活中，除了等差数列，我们还会遇到下面一类特殊的数列。 课本 个例子： 1， 2， 4， 8， 16， 1， 12， 14， 18， 116， 1， 20， 220 ， 320 ， 420 ， 10000 ， 21 0 0 0 0 1 9 8 ， 31 0 0 0 0 1 9 8 ， 41 0 0 0 0 1 9 8 ，51 0 0 0 0 1 9 8 ， 观察：请同学们仔细观察一下，看看以上、四个数列有什么共同特征？ 共同特点：从第二项起， 第一项与前一项的比都等于同一个常数。 1 比数列 第一课时 教学过程 推进新课 合作探究 教师出示投影胶片：计算机病毒传播问题 . 一种计算机病毒，可以查找计算机中的地址簿，通过邮件进行传播 件接收者发送病毒称为第二轮，依此类推 0 台计算机 ,那么在不重复的情况下 ,这种病毒感染的计算机数构成一个什么样的数列呢 ? 师 (读题后 )这种病毒每一轮传播的计算机数构成的数列是怎样的呢？ 引导学生发现 “病毒制造者发送病毒称为第一轮 ”“每一轮感染 20 台计算机 ”中蕴涵的等比关系 . 生 发现等比关系，写出一个无穷等比数列： 1， 20， 20 2， 203， 204， 教师出示多媒体课件二：银行存款利息问题 师 介绍 “复利 ”的背景： “复利 ”是我国现行定期储蓄中的一 种支付利息的方式，即把前一期的利息和本金加在一起算作本金，再计算下一期的利息，也就是通常说的 “利滚利 ”给出计算本利和的公式： 本利和 =本金 (1+本金 )n，这里 n 为存期 生 列出 5 年内各年末的本利和，并说明计算过程 师 生合作讨论得出 “时间 ”“年初本金 ”“年末本利和 ”三个量之间的对应关系，并写出：各年末本利和 (单位：元 )组成了下面数列： 10 000， 10 0009 82， 10 0003， 10 0004， 10 0005. 师 回忆数列的等差关系和等差数列的定义，观察上面的数列 ，说说它们有什么共同特点？ 师 引导学生类比等差关系和等 差数列的概念，发现等比关系 师 从上面的数列 中我们发现了它们的共同特点是：具有等比关系 数列称之为等比数列，那么你能给等比数列下一个什么样的定义呢？ 生 回忆等差数列的定义，并进行类比，说出： 一般地，如果把一个数列，从第 2 项起，每一项与它前一项的比等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列 教师精讲 师 同学们概括得很好，这就是等比数列 定义 我们今后也常用 定义中的这个常数叫做等比数列的公比 ( 公比通常用字母 q 表示 (q0). 请同学们想一想，为什么 q0呢？ 生 独立思考、合作交流、自主探究 师 假设 q=0，数列的第二项就应该是 0，那么作第一项后面的任一项与它的前一项的比时就出现什么了呢？ 生 分母为 0 了 2 师 对了，问题就出在这里了，所以，必须 师 那么，等比数列的首项能不能为 0 呢？ 生 等比数列的首项不能为 师 是的，等比数列的首项和公比都不能为 0，等比数列中的任一项都不会是 合作探究 师 类比等 差中项的概念，请同学们自己给出等比中项的概念 生 如果在 a 与 b 中间插入一个数 G，使 a、 G、 b 成等比数列，那么 G 叫做 a、 b 的等比中项 . 师 想一想，这时 a、 b 的符号有什么特点呢？你能用 a、 b 表示 G 吗？ 生 一起探究 ,a、 b 是同号的 G= G2=师 观察学生所得到的 a、 b、 G 的关系式，并给予肯定 补充练习：与等差数列一样，等比数列也具有一定的对称性，对于等差数列来说，与数列中任一项等距离的两项之和等于该项的 2 倍，即 a a n+k=比数列来说，有什么类似的性质呢？ 生 独立探究，得出：等比数列有类似的性质： a a n+k=合作探究 探究： (1)一个数列 a1,a2, ( )是等差数列，同时还能不能是等比数列呢？ (2)写出两个首项为 1 的等比数列的前 5 项，比较这两个数列是否相同？写出两个公比为 2的等比数列的前 5 项，比较这两个数列是否相同？ (3)任一项 q 相同，则这两个数列相同吗？ (4)任意两项 两个数列相同吗？ (5)若两个等比数列相同，需要什么 条件？ 师 引导学生探究，并给出 (1)的答案，（ 2)(3)(4)可留给学生回答 生 探究并分组讨论上述问题的解答办法，并交流 (1)的解答 教师精讲 概括总结对上述问题的探究，得出： (1)中，既是等差数列又是等比数列的数列是存在的，每一个非零常数列都是公差为 0，公比为 1 的既是等差数列又是等比数列的数列 概括学生对 (2)(3)(4)的解答 (2)中，首项为 1，而公比不同的等比数列是不会相同的；公比为 2，而首项不同的等比数列也是不会相同的 (3)中，是指两个数列中的任一对应项与公比 都相同，可得出这两个数列相同； (4)中，是指两个数列中的任意两个对应项都相同，可以得出这两个数列相同； (5)中，结论是：若两个数列相同，需要 “首项和公比都相同 (探究的目的是为了说明首项和公比是决定一个等比数列的必要条件；为等比数列的通项公式的推导做准备 合作探究 师 回顾等差数列的通项公式的推导过程，你能推导出等比数列的通项公式吗？ 生 推导等比数列的通项公式 方法引导 师 让学生与等差数列的推导过程类比，并引导学生采用不完全归纳法得出等比数列的通项公式 3 具体的， 设等比数列 项为 比为 q，根据等比数列的定义，我们有： a2=a3=, an=a 即 an=师 根据等比数列的定义，我们还可以写出 1342312 .an=a a = 亦得 an=师 观察一下上式，每一道式子里，项的下标与 q 的指数，你能发现有什么共同的特征吗？ 生 把 么，每一道式子里 ，项的下标与 q 的指数的和都是 n 师 非常正确，这里不仅给出了一个由 q 的关系，从而得出通项公式的过程，而且其中还蕴含了等比数列的基本性质，在后面我们研究等比数列的基本性质时将会再提到这组关系式 师 请同学们围绕根据等比数列的定义写出的式子 1342312 .,再思考 如果我们把上面的式子改写成 qa n n 1342312 ,.,那么我们就有了 等式，将这 等式两边分别乘到一起 (叠乘 )，得到的结果是11 nn 是，得 an=师 这不又是一个推导等比数列通项公式的方法吗？ 师 在上述方法中，前两种方法采用的是不完全归纳法，严格的，还需给出证明 一个完美的推导过程，不再需要证明 师 让学生说出公式中首项 q 的限制条件 生 q 都不能为 知识拓展 师 前面实例中也有 “细胞分裂 ”“计算机病毒传播 ”“复利计算 ”的练习和习题，那里是用什么方法解决问题的呢？ 教师出示多媒体课件三：前面实例中关于 “细胞分裂 ”“计算 机病毒传播 ”“复利计算 ”的练习或习题 . 某种储蓄按复利计算成本利息，若本金为 a 元，每期利率为 r，设存期是 x,本利和为 （ 1）写出本利和 y 随存期 x 变化的函数关系式； （ 2）如果存入本金 1 000 元，每期利率为 试计算 5 期后的本利和 . 师 前面实例中关于 “细胞分裂 ”“计算机病毒传播 ”“复利计算 ”的问题是用函数的知识和方法解决问题的 生 比较两种方法，思考它们的异同 教师精讲 4 通过用不同的数学知识解决类似的数学问题，从中发现等比数列和指数函数可以联系起来 . (1)在同一平面直角 坐标系中，画出通项公式为 y=2发现了什么？ (2)在同一平面直角坐标系中，画出通项公式为 1)21( y=(21)又发现了什么？ 生 借助信息技术或用描点作图画出上述两组图象，然后交流、讨论、归纳出二者之间的关系 师 出示多媒体课件四：借助信息技术作出的上述两组图象 观察 它们之间的关系，得出结论：等比数列是特殊的指数函数，等比数列的图象是一些孤立的点 师 请同学们从定义、通项公式、与函数的联系 3 个角度类比等差数列与等比数列，并填充下列表格： 等差数列 等比数列 定 义 从第二项起，每一项与它前一项的差都是同一个常数 从第二项起，每一项与它前一项的比都是同一个常数 首项、公差 (公比 )取值有无限制 没有任何限制 首项、公比都不能为 0 通项公式 an=d an=应图象的特点 直线 y=d 上孤立的点 函数 y=例题剖析 【例 1】 某种放射性物质不断变化为其他物质，每经过一年，剩留的这种物质是原来的 84，这种物质的半衰期为多长 (精确到 1 年 )？ 师 从中能抽象出一个数列的模型，并且该数列具有等比关系 【例 2】 根据右图中的框图，写出所打印数列的前 5 项，并建立数列的递推公式，这个数列是等比数列吗？ 5 师 将打印出来的数依次记为 A)， 可知 ;a2=1;a3=1于是，可得递推公式 )1(21,111此，这个数列是等比数列 生 算出这个数列的各项，求出这个数列的通项公式 练习： 项和第 4 项分别是 12 和 18，求它的第 1 项和第 2 项 师 启发、引导学生列方程求未知量 生 探究、交流、列式、求解 59 页练习第 1、 2 题 课堂小结 本节学习了如下内容： 数列与指数函数的联系 布置作业 课本第 60 页习题 组 第 1、 2 题 板书设计 等比数列的概念及通项公式 例剖析 三个角度类比等差数列表 例 1 练习： 1.(学生板演 ) 例 2 第二课时 教学过程 合作探究 师 出示 投影胶片 1 例题 1 (教材 题 )就任一等差数列 计算 a7+a 10， a8+a 40， 发现了什么一般规律，能把你发现的规律用一般化的推广吗？从等差数列和函数之间的联系的角度来分析这个问题 师 注意题目中 “就任一等差数列 ，你打算用一个什么样的等差数列来计算？ 生 用等差数列 1， 2， 3， 师 很好，这个数列最便于计算，那么发现了什么样的一般规律呢？ 生 在等差数列 ，若 k+s=p+q(k,s,p,q N *)，则 ak+as=ap+师 题目要我们 “从等差数列与函数之间的联系的角度来分析这个问题 ”，如何做？ 6 生 思考、讨论、交流 师 出示多媒体课件一：等差数列与函数之间的联系 教师精讲 师 从等差数列与函数之间的联系的角度来分析这个问题：由等差数列 图象，可以看出 ,根据等式的性质，有 1ak+as=ap+师 在等比数列中会有怎样的类似结论？ 生 猜想对于等比数列 类似的性质为： k+s=p+t(k,s,p,t N*)，则 akas=ap师 让学生给出上述猜想的证明 证明： 设等比数列 比为 q， 则有 aka s=q k+apat=a1 q p+因为 所以有 akas=ap师 指出：经过上述猜想和证明的过程，已经得到了等比数列的一个新的性质 即等比数列 ，若 k+s=p+t(k,s,p,t N*)，则有 akas=ap师 下面有两个结论： (1)与首末两项等距离的两项之积等于首末两项的积 ； (2)与某一项距离相等的两项之积等于这一项的平方 你能将这两个结论与上述性质联系起来吗？ 生 思考、列式、合作交流，得到： 结论 (1)就是上述性质中 1+n=(1+t)+(的情形； 结论 (2)就是上述性质中 k+k=(k+t)+(的情形 师 引导学生思考，得出上述联系，并给予肯定的评价 师 上述性质有着广泛的应用 师 出示投影胶片 2：例题 2 例题 （ 1）在等比数列 ，已知 ,0=100,求 a 18 （ 2）在等比数列 ， ,求该数列前七项之积； （ 3）在等比数列 ， 2,4,求 例题 2 三个小题由师生合作交流完成，充分让学生思考，展示将问题与所学的性质联系到一起的思维过程 7 解答： (1)在等比数列 ，已知 ， 00，求 a 18 解： 8=0， a 18=51001109 )在等比数列 ， ，求该数列前七项之积 解： 前七项之积 (32)33=37 (3)在等比数列 ， 2， 4，求 解： . 542= - 另解 ： a8=545425 1 458. 合作探究 师 判断一个数列是否成等比数列的方法： 1、定义法； 2、中项法； 3、通项公式法 例题 3：已知 两个项数相同的等比数列，仿照 下表中的例子填写表格 明你的结论 an bn an断 an否是等比数列 例 n)32(3 )34(10 n 是 自选 1 自选 2 师 请同学们自己完成上面的表 师 根据这个表格，我们可以得到什么样的结论？如何证明？ 生 得到：如果 两个项数相同的等比数列，那么 an是等比数列 证明如下： 设数列 公比是 p， 比是 q，那么数列 an第 n 1项分别为 为 ba nn 11111111 它是一个与 n 无关的常数，所以 an一个以 公比的等比数列 教师精讲 除了上面的证法外，我们还可以考虑如下证明思路： 证法二： 设数列 公比是 p， 比是 q，那么数列 an第 n 项、第 与第 n 1 项 (n 1,n N *)分别为 为 (=(=(2( (a a n+1)=( 即有 (=(a a n+1)(n 1,n N *), 所以 an一个等比数列 师 根据对等比数列的认识，我们还可以直接对数列的通项公式考察： 证法三：设数列 公比是 p， 比是 q，那么数列 an通项公式为 8 设 cn= 所以 an一个等比数列 课堂小结 本节学习了如下内容： 布置作业 课本第 60 页习题 组第 3 题、 B 组第 1 题 板书设计 等比数列的基本性质及其应用 例 1 例 2 例 3 1 比数列 （第一课时） 教学过程 讲授新课 1等比数列 ：一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列 比通常用字母 q 表示（ q 0），即：1q（ q 0） 1“从第二项起”与“前一项”之比为常数 (q) 等比数列 q（ q 0） 2 隐含：任一项 00 “0”是数列等比数列的必要非充分条件 3 q= 1 时， 常数。 : )0(111 由等比数列的定 义，有： 2 ； 21123 )( ； 312134 )( ； )0( 1111 迭乘法：由等比数列的定义，有： 12； 23； 34； ； 1所以11342312 ，即 )0(111 : )0(11 是等差又是等比数列的数列 ：非零常数列 探究： 课本 等比数列与指数函数的关系 等比数列与指数函数的关系 ： 2 等比数列通项公式 )0(111 的图象是分布在曲线1 q0）上的一些孤 立的点。 当1 0a ， q 1时，等比数列递 增数列； 当1 0a， 01q，等比数列递增数列； 当1 0a ， 01q时，等比数列递减数列； 当1 0a， q 1时，等比数列是递减数列； 当 0q 时，等比数列摆动数列；当 1q 时，等比数列常数列。 范例讲解 例 1 根据图示框图，写出所打印数列的前 5 项，并建立递推公式，这个数列是等比数列吗？ 解：若打印出来的数字一次记为 1 2 3( ) , , . a 由图可知 1213243541112211241128112 1 6?=?=?=?， 于是，可得递推公式： 11112 = 项公式为： 11()2 = . 点评：依次循环程 序框图，得出数列的前几项，然后归纳通项公式 . 例 2一个等比数列的第 3 项与第 4 项分 别是 12 与 18，求它的第 1 项与第 2 项 . 解：23231218 q3212 2132 开始 A=1 n=1 输出 A n=n+1 12AA=n5? 结束 是 否 3 点评：考察等比数列项和通项公式的理解 例 3 求下列各等比数列的通项公式： ;8,2 )1( 31 nn 2,5 )2( 11 且 解：(1) 24213 2()2)(2(22)2( 11 或(2)111 )23(5523 ：点评：求通项时，求首项和公比 例 4教材 的例 1。 例 5 已知无穷数列 ,10,10,10,10 5 1525150 n， 求证：（ 1）这个数列成等比数列； （ 2）这个数列中的任一项是它后面第五项的101； （ 3）这个数列的任意两项的积仍在这个数列中 证：（ 1）5152511101010 数）该数 列成等比数列 （ 2）101101010 154515 即：5101 nn （ 3） 5 25 15 1 101010 , ， 2 11 1 ， 5 1 1010 （第 1） 课本 、 2 补充练习 2.（ 1） 一个等比数列的第 9项是94，公比是31，求它的第 1项（答案： 1a =2916） （ 2）一个等比数列的第 2项是 10，第 3项是 20，求它的第 1项与第 4项（答案： 1a =5, 4a = 3a q=40） . 课堂小结： 4 七、板书设计 课本 题 A 组 1、 2 题 阅读教材第 48 50 页； （第二课时） 教学过程 1等比中项： 如果在 a 与 ，使 a,G， b 成等比数列，那么称这个数G 为 a 与 b 的等