2014年高中数学 3.3.1二元一次不等式(组)与平面区域教案+学案+素材+训练（打包7套）新人教A版必修5
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2014年高中数学 3.3.1二元一次不等式(组)与平面区域教案+学案+素材+训练（打包7套）新人教A版必修5,年高,数学,二元,一次,不等式,平面,区域,教案,素材,训练,打包,新人,必修
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1 2014 年高中数学 元一次不等式 (组 )与平面区域备课资料素材 新人教 A 版必修 5 一、备用例题 【例 1】 设实数 x、 y 满足不等式组,322,41点 (x,y)所在的平面区域 . 分析 :必须使学生明确，求点 (x,y)所在的平面区域，关键是确定区域的边界线 解： 已知的不等式组等价于032,232,4122,41 解得点 (x,y) 所在平面区域为下图所示的阴影部分 ( 含边界 ). 其中 y=2C:x+y=4;CD:y=;DA:x+y=1. 【例 2】 某工厂要安排一种产品生产，该产品有 、 、 三种型号，生产这种产品需要两种主要资源：原材料和劳动力，每件 产品所需资源数量以及每件产品出售价格如下表所示： 型号 货源 原材料 (千克 /件 ) 劳动力 (小时 /件 ) 4 3 6 2 4 5 每天可利用的原材料为 120 千克，劳动力为 100 小时，假定该产品只要生产出来即可销售出去，试确定三种型号产品的 日产量，使总产值最大 . 分析 :建立数学模型： (1)用 x 1、 x 2 、 x 3 分别表示 、 、 三种型号的日产量 . (2)明确约束条件：,0,1 0 0542,1 2 0634321321321这样，这个资源利用问题的 数学模型为满 足约束条件0,0,0,1 0 0542,1 2 0634321321321可行域 . 【例 3】 某机械厂的车工分 、 两个等级，各级车工每人每天加工能力，成品合格率如下表所示： 2 级别 加工能力 (个 /人天 ) 成品合格率 (%) 240 97 160 厂要求每天至少加工配件 2 400 个，车工每出一 个废品，工厂要损失 2 元，现有 级车工8 人， 级车工 12 人，且工厂要求至少安排 6 名 级车工，问如何安排工作？ 解： 首先据题意列出线性约束条件和目标函数 、 级车工分别为 x,y 人 . 线性约束条件： 0,2400160%画出线性约束条件的平面区域如图中阴影部分所示 . 据图 知点 A(6， 为既满足题意，又使目标函数最小 点非整数点 上侧作平行直线经过可行域内的整点，且与原点最近 距离，可知 (6， 7)为满足题意的整数解 . 二、阅读材料 二元一次方程组的图象解法 看一个二元一次方程 y 2x x 2 1 y 1 1 3 5 （ 1） 由表中给出的有序实数对 ， ( 3， 3)， ( 2， 1)， ( 1， 1)， (0， 3)， (1， 5)， ，就可以在坐标平面内描点、画图如图（ 1） y 2x 3的图象 ( 3， 3)，就表示方程 y=2 x+3 的一个解 对 比一次函数的图象，不难知道，二元一次方程 y 2x 3 的图象就是一次函数 y 2x 3的图象，它是一条直线 怎样利用图象解二元一次方程组呢？看下面的例子： 533 3 （ 2） 先在同一直角坐标系内分别画出这两个二元一次方程的图象如图（ 2） . 由方程 ，有 过 点 (0， 3)与 (3， 0)画出直线 x y 3. 由方程 ，有 过点 (0， 5)与 (35， 0)画出直线 3x y 5. 两条直线有一个交点，交点的坐标就 表示两个方程的公共解，交点坐标是 (2， 1)，所以原方程组的解是 这与用代入法或加减法解得的结果相同 在解二元一次方程组时，会遇到其中一个方程是 x 3 或 y 2 这种形式 . x 3 或 y 2 的图象是怎样的呢？ 方程 x 3 可以看成 x 0y 3， 它的解列出表来是 x 3 3 3 3 y 1 2 可以看到，无论 y 取什么数值， x 的值都是 3，所有表示方程 x 3 的解的 点组成一条直 线，这条直线过点 (3， 0)，且平行于 y 轴 x 3 的图象，我们把它叫做直线 x 3如图 (3) . 同样，方程 y 2 的图象是过点 (0， 2)，且平行于 x 轴的一条直线，叫做直线 y 2如图 (3) . (3) 1 元一次不等式（组）与简单的线性规划问题 元一次不等式 (组 )与平面区域 教材分析 三维目标 一、知识与技能 ）所表示的平面区域 . 二、过 程与方法 生观察、联想以及作图的能力，渗透集合、化归、数形结合的数学思想； 建模 ”和解决实际问题的能力； 考、尝试、猜想、证明、归纳）来进行，目的是为了分散难点，层层 递进，突出重点，只要学生对旧知识掌握较好，完全有可能由学生主动去探求 新知，得出结论 . 三、情感态度与价值观 数形结合 ”的数学思想，尽管侧重于用 “数 ”研究 “形 ”，但同时也用 “形 ”去研究 “数 ”，培养 学生观察、联想、猜测、归纳等数学能力； 内容，培养学生学习 数学的兴趣和 “用数学 ”的意识，激励学生勇于创新 . 教学重点 会求二元一次不等式（组）表示平面的区域 . 教学难点 如何把实际问题转化为线性规划问题，并给出解答 . 教学建议 本节课先由师生共同分析 日常生活中的实际问题来引 出二元一次不等式（组）的一些基本概念，由一元一次不等式组的解集可以表示为数轴上的区间，引出问题：在直角坐标系内，二元一次不等式（组）的解集表示什么图形？再从一个具体的一元二次不等式入手，分析得出一般的一元二次不等式表示的区域及确定的方法，以此激发学生对科学的探究精神和严肃认真的科学态度 这些例题中设置思考项，让学生探究，层层铺设，以便让学生深刻理解一元二次不等式表示的区域的概念，有利于二元一次不等式（组）与平面区域的教学 元一次不等式（组）与平面区域后，再回归到先前的具体实例，总结一元二次不等式表示的区域的概念和二元一次不等式（组）与平面区域，得出二元一次不等式（组）与平面区域两者之间 的联系，再辅以新的例题巩固 究二元一次不等式（组）的概念，一元二次不等式表示的区域和二元一次不等式（组）与平面区域的联系 ）与平面区域的步骤和过程，并及时加以巩固，同时让学生体验数学的奥秘与数学美，激发学生的学习兴趣 . 导入新课 一 师 在现实和数学中，我们会遇到各种不同的不等关 系，需要用不同的数学模型来刻画和研究它们 不等式及其解法，这里我们将学习另一种不等关系的模型 一家银行的信贷部计划年初投入 25 000 000 元用于企业和个人贷款，希望这笔贷款资金至少可带来 30 000 元的效益，其中从企业贷款中获益 12%，从个人贷款中获益 10%，那么，信贷部应该如何分配资金呢？ 师 这个问题中存在一些不等关系，我们应该用什么不等式模型来刻画它们呢？ 生 设用于企业贷款的资金为 x 元，用于个人贷款的资金为 y 元，由资金总数为 25 000 000 2 元，得到 x+y25 000 000. 师 由于预计企业贷款创收 12%，个人贷款创收 10%0 000 元以上，所以 (12%)x+(10%)y30 000，即 12x+10y3 000 000. 师 最后考虑到用于企业贷款和个人贷款的资金数额都不能是负数，于是 生 x0,y0 . 师 将 合在一起，得到分配资金应该满足的条件： ,3 0 0 0 0 0 01012,2 5 0 0 0 0 0 0我们把含有两个未知数，且未知数的次数是 1 的不等式（组）称为二元一次不等式（ 组） . 满足 二元一次不等式（组）的 x 和 y 的取值构成有序数对 (x,y)，所有这样的有序数对 (x,y)构成的集合称为二元一次不等式（组）的解集 的坐标 元一次不等式（组）的解集就可以看成直角坐标系内的点构成的集合 . 师 我们知道，在平面直角坐标系中，以二元一次方程 x+ 的解为坐标的点的集合(x,y)|x+是经过点（ 0， 1）和（ 1， 0）的一条直线 l，那么，以二元一次不等式（即含有两个未知数，且未知数的最高次数都是 1 的不等式） x+0 的解为坐标的点的集合A=(x,y)|x+0是什么图形呢？ 新课导入 二 （带着问题进入课题） (引导取点，分组讨论，猜想结果 ) （ 揭示课题 ） 一只蚂蚁在地平面上寻找食物，蚂蚁的位置可由坐标（ x， y）确定，现知在直线 L： x + y 1=0 左下方区域某处有一食物，如果蚂蚁运动的坐标始终满足 x + y 10，那么蚂蚁能找到食物吗？ (启发取点，分组讨论，猜想推广 ) x y 10 哈哈，我是蚂蚁！ O 1 元一次不等式（组）与简单的线性规划问题 元一次不等式 (组 )与平面区域 第 1 课时 教学过程 推进新课 合作探究 师 二元一次方程 x y 1 0 有无数组解，每一组解是一对实数，它们在坐标平面上表示一个点，这些点的集 合组成点集 (x， y)|x y 1 0，它在坐标平面上表示一条直线 . 以二元一次不等式 x y 1 0 的解为坐标的点，也拼成一个点集 .如 x 3， y 2 时， x y 1 0，点 (3， 2)的坐标满足不等式 x y 1 0.(3， 2)是二元一次不等式 x y 1 0 的解集中的一个元素 x y 1 0 的解为坐标的点拼成的点集记为 (x，y)|x y 1 0. 请同学们猜想一下，这个点集在坐标平面上表示什么呢？ 生 x y 1 0 表示直线 l： x y 1 0 右上方的所有点拼成的平面区域 . 师 事实上，在平面直角坐标系中，所有的点被直线 x y 1 0 分为三类：在直线 x y 1 0 上；在直线 x y 1 0 右上方的平面区域内；在直线 x y 1 0 左下方的平面区域内 2， 2)点的坐标代入 x y 1 中， x y 1 0， (2， 2)点在直线 x y 1 0 的右上方 .( 1，2)点的坐标代入 x y 1 中， x y 1 0， ( 1， 2)点在直线 x y 1 0 上 .(1， 1)点的坐标代入 x y 1 中， x y 1 0， (1， 在直线 x y 1 0 的左下方 . 因此，我们猜想，对直线 x y 1 0 右上方的点 (x， y)， x y 1 0 成立；对直线 x y1 0 左下方的点 (x， y)， x y 1 0 成立 . 师 下面对这一猜想进行一下推证 . 在直线 l： x y 1 0 上任取一点 P(x 0， y 0)，过点 P 作平行于 x 轴的直线 y 时这条平行线上在 P 点右侧的 任意一点都有 x x 0， y x y x 0 y 0，则 x y 1 1,P 点在直线 x y 1 0 上， y 0 1 0. 所以 x y 1 0. 因为点 P(是直线 x y 1 0 上的任意一点，所以对于直线 x y 1 0 的右上方的任意点 (x， y),x y 1 0 都成立 . 同理，对于直线 x y 1 0 左下方的任意点 (x， y)， x y 1 0 都成立 . 所以点集 (x， y)|x y 1 0是直线 x y 1 0 右上方的平面区域，点集 (x， y)|x y1 0 是 直线 x y 1 0 左下方的平面区域 . 师 一般来讲，二元一次不等式 C 0 在平面直角坐标系中表示直线 C 0的某一侧所有点组成的平面区域 . 由于对在直线 C 0 同一侧的所有点 (x， y)，实数 以只需在此直线的某一侧取一个特殊点 (x 0 ， 由 就可判断 0 表示直线哪一侧的平面区域 0 时，我们常把原点作为这个特殊点去进行判断 把 (0， 0)代入 x y 1 中， x y 1 0. 说明： x y 1 0 表示 直线 x y 1 0 左下方原点所在的区域，就是说不等式所表示的区域与原点在直线 x y 1 0 的同一侧 . 如果 C 0，直 线过原点，原点坐标代入无法进行判断，则可另选一个易计算的点去进行判断 . 师 提醒同学们注意，不等式 C0 所表示的区域，应当理解为 (x， y)|C 0 (x， y)|C 0把边界直线画为实线 . 师 另外同学们还应当明确有关区域的一些称呼 . （ 1） l 右 上方的平面区域 (2)l 左下方的平面区 域 (3)l 左上方的平面区域 (4)D 为直线 l 右下方的平面区域 教师精讲 师 二元一次不等式 ax+by+c 0 和 ax+by+c 0 表示的平面区域 . （ 1）结论：二元一次不等式 ax+by+c 0 在平面直角坐标系中表示直线 ax+by+c=0 某一侧所有 点组成的平面区域 . 把直线画成虚线以表示区域不包括边界直线，若画不等式 ax+by+c0 表示的平面区域时，此区域包括边界直线，则把边界直线画成实线 . （ 2）判断方法：由于对在直线 ax+by+c=0 同一侧的所有点 (x,y)，把 它的坐标 (x,y)代入ax+by+c，所得的 实数的符号都相同，故只需在这条直线的某一侧取一个特殊点 (x0,以ax+by+c 0表示这一直线哪一侧的平面区域，特殊地，当 c0时，常把原点作为此特殊点 . 知识拓展 【例 1】 画 出不等式 2x y 6 0 表示的平面区域 . 3 解 :先画直线 2x y 6 0(虚线 )，把原点 (0， 0)代入 2x y 6，得 0 6 x y 6 0，说明原点不在要求的区域内，不等式 2x y 6 0 表示的平面区域与原点在直线 2x y 6 0 的异侧，即直线 2x y 6 0 的右上部分的平面区域 . 生 学生课堂练习 . (1)x y 1 0. (2)2x 3y 6 0. (3)2x 5y 100. (4)4x 3y12. 【例 2】 画出不等式组02,063示的平面区域 . 4 x 3y 60表示直线上及其右上方的点的集合 . x y 2 0 表示直线左上方一侧不包括边界的点的集合 . 在确定这两个点集的交集时，要特别注意其边界线是实线还是虚线，还有两直线的交点处是实点还是空 点 . 【例 3】 画出不等式组3,0,05示的平面区域 . 师 不等式组表示的平面区域是各个不等式所表示的平面点集的交集，因而是各个不等式所表示的平面区域的公共部分 . 生 解：不等式 0表示直线 =0 右上方的平面区域， x+y0表示直线 x+y=0 右上方的平面区域， x3 左上方的平面区域，所以原不等式表示的平面区域如右图中的阴影部分 . 课堂练习 作出下列二元一次不等式或不等式组表示的平面区域 . （ 1） 0; （ 2） 2x+30; （ 3） 2x+50; （ 4） 40; （ 5）如下图： 合作探究 5 师 由上述讨论及例题，可归纳出如何由二元一次不等式（组）表示平面区域的吗？ 生 归纳如下： 面内的所有点被直线 l:x+ 分成三类： （ 1）直线 l 上： (x,y)|x+； （ 2）直线 l 的上方： (x,y)|x+0； （ 3）直线 l 的下方： (x,y)|x+0. 对于平面内的任意一点 P(x,y)的坐标 ,代入 x+，得到一个实数，此实数或等于 0，或大于 0，或小于 于 0 的点都在直线 l 的右上方，所有小于 0 的点都在直线 l 的左下方，所有等于 0 的点在直线 l 上 . 二元一次不等式 y+C 0 在平面直角坐标系中表示直线 y+C=0 的某一侧的所有的点组成的平面区域 二元一次不等式 y+C0 表示的平面区域是直线 y+C=0 的某一侧的所有的点组成的平面区域 此时常常用 “直线定界，特殊点定位 ”的方 法 .（当直线不过原点时，常常取原点；过原点时取坐标轴上的点） 方法引导 上述过程分为五步（思考、尝试、猜想、证明、归纳）来进行，目的是分散难点，层层递进，突出重点，只要学生对旧知识掌握较好，完全可以由学生主动去探求新知，得出结论 . 课堂小结 面内的所有点被直线 l 分成三类： （ 1）直线 l 上； （ 2）直线 l 的上方； （ 3）直线 l 的下方 . ax+by+c 0 和 ax+by+c 0 表示的平面区域 . 布置作业 0 表示的区域在 =0 的（ ） D. 左下方 x+20 表示的平面区域是（ ） 02,063示的平面区域是（ ） x+2 右上方的平面区域可用不等式 _表示 . 6 0834,0,0示的平面区域内的整点坐标是 _. x+2)0表示的区域 . 答案： 0 5.（ 1， 1） 6. 第 2 课时 教学过程 推进新课 例题剖析 师 【例 1】 画出不等式 x+4y 4 表示的平面区域 . 师 解： 先画直线 x+40(虚 线 )，把原点 (0， 0)代入 x+40 4 0，因为 x+40，说明原点在要求的区域内，不等式 x+40 表示的平面区域与原点在直线 x+4 的一侧，即直线 x+4 的左下部分的平面区域 . 师 在确定这两个点集的交集时，要特别注意其边界线是实线 还是虚线，还有两直线的交点处是实点还是空点 . 师 【例 2】 用平面区域表示不等式组 23 的解集 . 师 分析： 由于所求平面区域的点的坐标要同时满足两个不等式，因此二元一次不等式组表示的平面区域是各个不等式表示的平面区域的交集，即各个不等式表示的平面区域的公共部分 . 生 解： 不等式 y 2 表示直线 y=2 下方的区域；不等式 x 2y 表示直线2方的区域 ，下图中的阴影部分就表示原不等式组 的解集 . 师【例 3】 某人准备投资 1 200 万元兴办一所完全中学 他得到了下 7 面的数据表格： (以班级为单位 ) 学段 班级学生数 配备教师数 硬件建设 /万元 教师年薪 /万元 初中 45 2 26/班 2/人 高中 40 3 54/班 2/人 分别用数学关系式和图形表示上述限制条件 . 师 若设开设初中班 x 个 ,高中班 y 个 ,根据题意 ,总共招生班数应限制在 2030 之间 ,所以应该有什么样的限制 ? 生 20x+y30. 师 考虑到所投资金的限制 ,又应该得到什么 ? 生 26x+54y+22x+23y1 200,即 x+2y开设的班数不能为负 ,则 x0,y得到 ,402,3020用图形表示这 个限制条件 ,请同学完成 . 生 得到图中的平面区域 (阴影部分 ). 师 例 4 一个化肥厂生产甲、乙两种混合肥料，生产 1 车皮甲种肥料的主要原料是磷酸盐 4吨，硝酸盐 18 吨；生产 1 车皮乙种肥料的主要原料是磷酸盐 1 吨，硝酸盐 15 吨 吨，硝酸盐 66 吨 ,在此基础上生产这两种混合肥料 关系式 ,并画出相应的平面区域 . 师 若设 x、 y 分别为计划生产甲、乙两种混合肥料的车皮数 ,则应满足什么样的条件 ? 生 满足以下条件(* ),661518,104在直角坐标系中完成不等式组 (*)所表示的平面区域 . 生 8 生 课堂练习 (1)2, (2)23,2,3方法引导 上述过程分为思考、尝试、猜想、证明、归纳来进行，目的是分散难点，层层递进，突出重点，只要学生对旧知识掌握较好，完全有 可能由学生主动去探求新知，得出正确解答 . 课堂小结 键之处在于从题意中建立约束条件，实际上就是建立数学模型 所有的约束条件罗列出来，弄清约束条件，以理论指导 实际生产需要 . 二元一次不等式组构成了约束条件，确定线性约束条件的可行域的方法，与由二元一次不等式表示平面区域方法相同，即由不等式组表示这些平面区域的公共区域 . 布置作业 课本第 97 页练习 4. 板书设计 第 1 课时 二元一次不等式（组）与平面区域 例 1 课堂小结 例 3 9 例 2 第 2 课时 二元一次不等式 (组 )与平面区域 例 1 例 3 例 4 例 2 1 元一次不等式（组）与平面区域 【 教学过程 】 设置情境，引入新课 一家银行信贷部计划年初投入 25000000 元用于企业和个人贷款，希望这笔资金至少可以带来 30000 元的收益，其中从企业贷款中获益 12%，从个人贷款中获益 10%，那么信贷部如何分配资金呢？ 问题 问题 1建立二元一次不等式模型 把 实际问题 转 化 数学问题 ： （ 1）设用于企业资金贷款的资 金为 x 元，用于个人贷款的资金 y 元， （把 文字语言 转 化 符号语言 ） 由于资金总数为 25000000 元，得到 25 000 00 0 由于预计企业贷款创收 12%，个人贷款创收 10%，共创收 30000 元以上，所以 30000%10%12 3 00 0 00 01012 最后考虑到用于企业贷款和个人贷款的资金数额都不能是负值，于是 0,0 将合在一起，得到分配资金应该满足的条件：003 0 0 0 0 010122 5 0 0 0 0 0 0x 元，用于个人贷款的资金为 y 元。 2二元一次不等式和二元一次不等式组的定义 （ 1）二元一次不等式：含有两个未知数，并且未知数的最高次数是 1 的不等式叫做二元一次不等式。 （ 2）二元 一次不等式组：有几个二元一次不等式组成的不等式组称为二元一次不等式组。 （ 3）二元一次不等式（组）的解集：满足二元一次不等式（组）的 x 和 y 的取值构成有序实数对（ x,y），所有这样的有序实数对（ x,y）构成的集合称为二元一次不等式（组）的解集。 （ 4）二元一次不等式（组）的解集与平面直角坐标系内的点之间的关系： 二元一次不等式（组）的解集是有序实数对，而点的坐标也是有序实数对，因此，有序实数对就可以看成是平面内点的坐标，进而， 二元一次不等式（组）的解集就可以看成是直角坐标系内的点构成的集合 。 次不等式（组）的解集表示的图形 （ 1）回忆、思考 回忆：初中一元一次不等式（组）的解集所表示的图形 数 轴上的区间 2 思考：在直角坐标系内，二元一次不等式（组）的解集表示什么图形？ （ 2）探究 从特殊到一般： 先研究具体的二元一次不等式 示直线 右下方的区域；如图。 直线叫做这两个区域的 边界 由特殊例子推广到一般情况： （ 3）结论： 一般地 , 在直角坐标系中 ,二元一次不等式 0 示 0 侧所有点组成的平面区域 表示区域不包括边界 . 而不等式 0 示区域时则包括边界 ,把边 界画成实线 . 4二元一次不等式表示哪个平面区域的判断方法 由于对在直线 y+C=0 同一侧的所有点 ( )，把它的坐标（ )代入 y+C，所得到实数的符号都相同，所以 只需在此直线的某一侧取一特殊点（ x0,从 的正负即可判断 y+C 0 表示直线哪一侧的平面区域 .（特殊地，当 C0时，常把 原点作为此特殊点） 即 “直线定界，特殊点定域”。 三、 典型例题 例 1 画出 不等式 44表示的平面区域。 解：先画直线 44（画成虚线） . 取原点（ 0， 0），代入 x +4 0+404 0, 3 原点在 44表示的平面区域内，不等式 44表示的区域如图： 归纳 ：画二元一次不等式表示的平面区域常采用 “直线定界，特殊点定域 ”的方法。特殊地，当 0C 时，常把原点作为此特殊点。 变式 1、 画 出不等式 2x +y 6 0 表示的平面区域。 解：先画直线 2x +y 6 0（画成虚线）。 取原点（ 0， 0），代入 2x +y 6， 2 0+0 6 6 0， 原点在 2x +y 6 0 表示的平面区域内，不等式 2x +y 6 0 表示的区域如图： 例 2 用平面区域表示 1 22 的解集。 分析：不等式组表示的平面区域是各个不等式所表示的平面点集的交集，因而是各个不等式所表示的平面区域的公共部分。 解：不 等式 3 12 表示直线 3 12 右下方的区域， 2表示直线 2上方的区域，取两区域重叠的部分，如图的阴影部分就表示原不等式组的解集。 归纳 ：不等式组表示的平面区域是各个不等式所表示的平面点集的交集，因而是各个不等式所表示的平面区域的公共部分。 变式 2、 画出不等式 2x +y 6 0 表示的平面区域。 解：先画直线 2x +y 6 0（画成虚线）。 取原点（ 0， 0），代入 2x +y 6， 2 0+0 6 6 0， 原点在 2x +y 6 0 表示的 平面区域内，不等式 2x +y 6 0 表示的区域如图： 四、 课堂练习 1不等式 062 示的区域在直线 062 （ ） 4 A 右上方 B 右下方 C 左上方 D 左下方 2下 列二元一次不等式组可用来表示图中阴影部分表示的平面区域的是（ ） 102 2 0 102 2 0 102 2 0 1022 03、画出不等式 2x +0 表示的平面区域 . 4、画出不等式组3005示的平面区域。 答案： 1. D； 2. ； 3. 4. 1二元一次不等式表示的平面区域 2二元一次不等式表示哪个平面区域的判断方法 3二元一次不等式组表示的平面区域 5. 作业 课本第 93 页习题 组的第 1 题 元一次不等式（组）与平面区域 【 教学过程 】 复习引入 二元一次不等式 y+C 0 在平面直角坐标系中表示直线 y+C=0 某一侧所有点组成的平面区域 .（虚线表示区域不包括边界直线） 判断方法：由于对在直线 y+C=0 同一 侧的所有点 (x,y)，把它的坐标（ x,y)代入y+C，所得到实数的符号都相同，所以只需在此直线的某一侧取一特殊点（ x0,从 的正负即可判断 y+C 0 表示直线哪一侧的平面区域 .（特殊地，当 C0 时，常把原点作为此特殊点）。 【应用举例】 52 , 52 )C(3,(3,8)x=3x+y=0=0 063 例 3 某人准备投资 1 200 万兴办一所完全中学，对教育市场进行调查后，他得到了下面的数据表格（以班级为单位）： 学段 班级学生人数 配备教师数 硬件建设 /万元 教师年薪 /万元 初中 45 2 26/班 2/人 高中 40 3 54/班 2/人 分别用数学关系式和图形表示上述的限制条件。 解：设开设初中班 x 个，开设高中班 y 个，根据题意，总共招生班数应限制在 20间，所以有 2 0 3 0 考虑到所投资金的限制，得到 2 6 5 4 2 2 2 3 1 2 0 0x y x y 即 2 40 另外，开设的班数不能为负，则 0, 0 把上面的四个不等 式合在一起，得到： 2 0 3 02 4 000 用图形表示这个限制条件，得到如图的平面区域（阴影部分） 变式 3：要将两种大小不同的钢板截成 A、 B、 C 三种规格，每张钢板可同时截得三种规格的小钢板的块数如下表所示： 今需要 A、 B、 C 三种规格的成品分别为 15、 18、 27 块，问各截这两种钢板多少张可 得所需三种规格成品，且使所用钢板 张数量少？ 答案 :：设需截第一种钢板 x 张，第二种钢板 y 张，则 且 x， y 都是整数 例 4 一个化肥厂生产甲、乙两种混合肥料，生产 1 车皮甲种肥料的主要原料是磷酸盐 18t； 6 生产 1 车皮乙种肥料需要的主要原料是磷酸盐 1t,硝酸盐 15t,现库存 磷酸盐 10t、硝酸盐 66t，在此基础上生产两种混合肥料。列出满足生产条件的数学关系式，并画出相应的平面区域。 解：设 x,y 分别为计划生产甲乙两种混合肥料的车皮数，于是满足以下条件： 4 1 01 8 1 5 6 600 在直角坐标系中可表示成如图的平面区域（阴影部分）。 变式 4、 某企业生产 A、 B 两种产品，生产每一吨产品所需的劳动力、煤和电 耗如下表： 产品品种 劳动力（个） 煤（吨） 电（千瓦） A 产品 3 9 4 B 产品 10 4 5 已知生产每吨 A 产品的利润是 7 万元，生产每吨 B 产品的利润是 12 万元，现因条件限制，该企业仅有劳动力 300 个，煤 360 吨， 并且供电局只能供电 200 千瓦，列出满足生产条件的关系式，并画出平面区域。 答案：设生产 A、 B 两种产品各为 x、 y 吨，利润为 z 万元，则 平面区域如图（阴影部分） 补充例题 例 5、画出下列不等式表示的区域 (1) 0)1)( (2) 分析： (1)转化为等价的不等式组； (2)注意到不等式的传递性，由 ，得 0x ，又用y 代 y ，不等式仍成立， 区域关于 x 轴对称。 解： (1) 10010 10盾无解，故点 ),( 一带形区域内（含边界）。 (2) 由 ，得 0x ；当 0y 时，有020 ),( 一条形区域内 (边界 )；当 0y ，由对称性得出。 指出：把非规范形式等价转化为规范不等式组形式便于求解 7 例 6、利用区域求不等式组015530632032整数解 分析：不等式组的实数解集为三条直线 032:1 0632:2 01553:3 围成的三角形区域内部 (不含边界 )。设 21 ， 31 ， 32 ，求得区域内点横坐标范围，取出 x 的所有整数值，再代回原不等式组转化为 y 的整数值。 解：设 032:1 0632:2 01553:3 21 ， 31 ， 32 ， )43,815(A ， )3,0( B ， )1912,1975( C 。于是看出区域内点的横坐标在 )1975,0(内，取 x 1 ， 2 ， 3 ，当 x 1 时，代入原不等式组有5123411512 y，得 y 2， 区域内有整点 (1,同理可求得另外三个整点(2,0)， (2, (3, 指出： 求不等式的整数解即求区域内的整点是教学中的难点，它为线性规划中求最优整数解作铺垫。常有两种处理方法，一种是通过打出网络求整点；另一种是本题解答中所采用的，先确定区域内点的横坐标的范围，确定 x 的所有整数值，再代回原不等式组，得出 y 的一 元一次不等式组，再确定 y 的所有整数值，即先固定 x ，再用 x 制约 y 。 02 ， ， 表示的平面区域是一个三角形，则 a 的取值范围是（ C ） 5a 7a 57a 5a 或 7a 2 画出下列不等式组表示的平面区域： （ 1） 1 （ 2） ； （ 3） 8 3 画出下列不等式组表示的平面区域： 2 1 010 2 2 02 1 030 解：如图所示 如图所示 3课本第 86 页的练习 4 进一步熟悉用不等式（组）的解集表示 的平面区域。 5. 作业 1、课本第 93 页习题 组的第 1、 2 题 1 元一次不等式 (组 )与简单的线性规划问题 特 色 训练 一、二元一次不等式 (组 )表示的平面区域 例 1 画出下列不等式 (组 )表示的平面区域 (1)2x y 6 0； (2) x y 5 0，x y 0，x 3.变式训练 1 画出不等式组 此 2x y 6 0 表示直线右下方的区域(包含边界 )； 图 1 图 2 (2)先画出直线 x y 5 0(画成实线 )，如图 2 取原点 O(0， 0)，代入 x y 5，因为 0 0 5 50，所以原点在 x y 50 表示的平面区域内，即 x y 5 0 表示直线 x y 5 0 上及其右下方的点的集合，同理可得， x y 0 表示直线 x y 0 上及其右上方的点的集合， x 3 表示直线 x 3 上及其左方的点的集合 变式训练 1 解 3 不等式 9=0 右下方点的集合综上可得，不等式组表示的平面区域是如图所示的阴影部分 二、平面区域的面积问题 例 2 解析 记 ,x y m x y n 则 ,22m n m 1220,0,m n m 即 1, 0,0 作出可行域可知面积为 1. 答案 B 变式训练 2 答案 74解析 如 图所示，区域 A 表示的平面区域 为 部及其边界 组成的图形，当 a 从 续变化到 1 时扫过的区域为四边形 围成的区域 又 D(0,1)， B(0,2)， E 13,22， C( 2,0) S 四边形 S 例 3 解 把 x=3 代入 6x+7y 50，得 y 447，又 y 2，整点有： (3,2)(3,3)(3,4)； 把 x=4 代入 6x+7y 50，得 y 537， 整点有： (4,2)(4,3) 把 x=5 代入 6x+7y 50，得 y 627， 整点 有： (5, 2)； 把 x=6 代入 6x+7y 50，得 y 2，整点有 (6,2)； 把 x=7 代入 6x+7y 50，得 y 87，与 y 2 不符 4 整数解共有 7 个为 (3,2)， (3,3)， (3,4)， (4,2)， (4,3)， (5,2)， (6,2) 变式训练 3 解 由于 2y 3 2 3 ,3,平面区域如图所示： 而其中的正整数解 为 (1,1)、 (1,2)、 (1,3)、 (2,2)、 (2,3)，共 5 组 1 3 3 1 二元一次不等式 (组 )与平面区域 学习目标 1了解二元一次不等式的几何意义； 2会用二元一次不等式组表示平面区域。 要点精讲 1直线分平面问题 在平面直角坐标系中，平面内所有的点被直线 0y C 分成三类： （ 1）在直线 0y C 上的点； （ 2）在直线 0y C 上方区域内的点； （ 3）在直线 0y C 下方区域内的点。 其中，在同一区域内的点 1 1 1,P x y， 2 2 2,P x y，把其坐标分别代入 y C，所得结果符号相同。 2二元一次不等式表示的平面区域的判断方法：代点法。 在平面直角坐标系中，二元一次不等式 0y C 表示直线 0y C 某一侧所有点组成的平面区域，因为在同一侧的所有点的坐标 ,入 y C所得结果符号相同，所以只需在此直线的某一侧取一特殊点（ x0,从 的正负即可判断y+C 0 表示直线哪一侧的平面区域 .（特 殊地，当 C 0 时，常把原点作为此特殊点）。 3不等式组表示的平面区域 不等式组表示的平面区域是各个不等式表示的平面区域的公共部分。 范例分析 例 1画出不等式 2x +0 表示的平面区域 . 引申：己知点 0,31)1,1()0,0( 、 ,则在 0123 示的平面区域内的点是 ( ) A. B. D. 例 2画出不等式组3005示的平面区域 .。 引申：在直角坐标系中，满足不等式 0 的点（ x, y）的集合的阴影部分是（ ） 2 例 3（ 1）若不等式组 502 ， ， 表示的平面区域是一个三角形，则 a 的取值范围是（ ） 5a 7a 57a 5a 或 7a （ 2） 设集合 A (x， y)|x， y， 1 x y 是三角形的三边长 ，则 A 所表示的平面区域 (不含边界的阴影部分 )是 ( ) 例 4（ 1）在平面直角坐标系中，不等式组 20202 表示的平面区域的面积是（ ） (A) 24 (B)4 (C) 22 (D)2 （ 2）在平面直角坐标系 已知平面 区域 ( , ) | 1 ,A x y x y 且 0, 0，则平面区域 ( , ) | ( , ) B x y x y x y A 的面积为（ ） A 2 B 1 C 12D 14规律总结 1二元一次不等式表示哪个平面区 域的判断除代点法外还有系数判别法。 系数判别法 表示直线 0y C 上方区域的不等式等价于 ( ) 0B A x B y C ； 3 表示直线 0y C 下方区域的不等式等价于 ( ) 0B A x B y C 。 其中，不等式 0y C 表示的区域不包括边界，直线 0y C 画成虚线；不等式 0y C 表示的区域包括边界， 直线 0y C 画成实线。 2二元不等式 y kx b表示直线 y kx b的上方区域；二元不等式 y kx b表示直线y kx b的下方区域。同理，二元不等式 y a x b c 表示折线 y a x b c 的上方区域；二元不等式 2 ( 0 )y a x b x c a 表示抛物线 2 ( 0 )y a x b x c a 的上方区域。 基础训练 一、选择题 1己知直线 01 若 01 示区域如下 ,其正确的区域为 ( ) A B C D 2如图所示 ,不等式 0)42)( 示的区域是 ( ) (A) (B) (C) (D) 3已知点 P（ 0， 0）， Q（ 1， 0）， R（ 2， 0）， S（ 3， 0），则在不等式 063 示的平面区域内的点是 （ ） A P、 Q B Q、 R C R、 S D S、 P 4 设直线 l 的方程为： 01 则下列说法 不 正确的 是 （ ） A点集 01|),( 的图形与 x 轴、 y 轴围成的三角形的面积是定值 B点集 01|),(
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