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2015高中数学 第1章 算法初步总结（打包6套）新人教A版必修,高中数学,算法,初步,总结,打包,新人,必修

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1 1 法的概念 （ 结 ） 算法的概念 例 1 下列语句表述为算法的是 ( ) 从济南到巴黎，可以先乘火车到北京，再坐飞机抵达； 利用公式 S 12算底为 1，高为 2 的三角形的面积； 12x 2x 4； 求 M(1,2)与 N( 3， 5)两点连线的方程，可先求 M， N 的斜率， 再利用点斜式方程求得 A B C D 自主解答 算法是解决问题的步骤与过程，这个问题并不仅仅限于数学问题， 都表达了一种算法 答案 C 算法具有如下特点： 确定性：算法中的每一步都应该是确定的，并且能有效地执行得到确定的结果，而不能含糊其辞，含有歧义 (2)有限性：对于一个算法来说，它的操作步骤必须是有限的，必须在有限的步骤之内完成 (3)普遍性：一个算法通常设计成能解决 一类问题，不是仅仅解决一个单独问题 (4)不唯一性：解决一个问题可能有多个算法，但有优劣之分，其中操作简单、步骤少且能解决一类问题的算法称为最优算法 . 1下列关于算法的描述正确的是 ( ) A算法与求解一个问题的方法相同 B算法只能解决一个问题、不能重复使用 C算法的过程要一步一步操作，每步操作必须确切 D有的算法执行完后 ，可能无结果 答案 ： C 算法的设计 例 2 已知长方体的长、宽、高分别为 a、 b、 h 设计算法求其体积 自主解答 算法如下： 2 第一步，输入长方体的长 a、宽 b、高 h. 第二 步：计算 V 第三步：输出 V. 设计一个具体问题的算法 ，通常按以下步骤：认真分析问题，找出解决此题的一般数学方法；借助有关变量或参数对算法加以表述；将解决问题的过程划分为若干步骤；用简练的语言将这个步骤表示出来 . 2解关于 x 的方程 2 0(a R)写出算法 解：第一步：移项得 2， 第二步：当 a0 时 ， x 2a，输出 x， 当 a 0，输出方程无根 非数值性算法的设计 例 3 各种比赛在计算选手最后得分时，要去掉所有评委对该选手所打分数中的最高分和最低分，试设计一个找出最高分的算法 自主解答 算法如下： 第一步，先假定其中一个为 “ 最高分 ” 第二步，将第二个分数与 “ 最高分 ” 比较，如果它比 “ 最高分 ” 还高，就假定这个分数为 “ 最高分 ” ；否则 “ 最高分 ” 不变 第三步，如果还有其他分 数，重复第二步 第四步，一直到没有可比的分数为止，这时假定的 “ 最高分 ” 就是所有评委打分中的最高分 对于非数值性问题，应当首先建立过程模型，根据过程设计步骤，完成算法，在设计算法时应简洁、清晰，要善于分析任何可能出现的情况以体现思维的严谨性 3据中国体育报报道：对参与竞选的 5 个夏季奥林匹克运动会申办城市进行表决的操作程序是：首先进行第一轮投票，如果有一个城市得票数超过总票数的一半，那么该城市将获得举办权；如果所有申办城市得票数都不超过总票数的一半，则将得票最少的城市淘 汰，然后进行第二轮投票；如果第二轮投票仍没选出主办城市，将进行第三轮投票，如此重复投票，直到选出一个主办城市为止，写出投票过程的算 3 法 解：算法如下： 第一步，投票 第二 步，统计票数，如果一个城市得票数 超过总票数的一半，那么该城市就获得主办权，否则淘汰得票数最少的城市转第一步 第三步，宣布主办城市 写出求方程组 3x 2y 14 ，x y 2 的解的算法 解：法一：第一步， ( 13 ) ，得到 ( 23 1)y 2 143 ，即方程组可化为 3x 2y 14， 53y203 ； 第二步，解方程 可得 y 4； 第三步，将 代入 ，可得 x 4 2， x 2； 第四步，输出 2， 4. 算法二：第一步，由 式可以得到 x 2 y . 第二步，把 x 2 y 代入 ，得到 y 4. 第三步，把 y 4 代入 ，得 x 2. 第四步，输出 2， 4. 1算法的有 穷性是指 ( ) A算法的最后必包含输出 B算法中每个操作步骤都是可执行的 C算法 的步骤必须有限 D以上说 法均不正确 答案： C 2在用二分法求方程零点的算法中，下列说法正确的是 ( ) A这个算法可以求所有的零点 B这个算法可以求任何方程的零点 4 C这个算法能求所有零点的近似解 D这 个算法可以求变号零点的近似解 解析：二分法的理论依据是函数的零点存在定理，它解决的是求变号零点的问题，并不能求所有零点的近似值 答案： D 3下列所给问题中，不可以设计一个算法求解的是 ( ) A求 1 2 3 10 的和 B解方程组 x y 5 0x y 3 0 C求半径为 3 的圆的面积 D判断 y 上的单调性 答案： D 4已知一个学生的语文成绩为 89，数学成绩为 96，外语成绩为 第一步，令 A 89， B 96， C 99. 第二步，计算总分 S _ _. 第三步，计算平均分 M _ _. 第四步，输出 S 和 M. 答案： A B C 给出 下面的算法： 第一步，输入 x. 第二步，判断 x 是否小于 0，若是，则输出 x 2，否则执行第三步 第三步，输出 x 1. 当输入的 x 的值分别为 1,0,1 时，输出的结果分别为 _、 _、 _. 解析：该算法实际上是分段函数 f(x) x 1， x0 ，x 2， x 0， f( 1) 1 2 1， f(0) 0 1 1， f(1) 1 1 0. 答案： 1 1 0 6写出一个算法，求底面边长为 4 2，侧棱长为 5 的正四棱锥的体积 解：如图 算法一： a 4 2， l 5； 5 算 R 2 算 h 算 S 算 V 13 出运算结果 V. 算法二： a 4 2， l 5； 算 V 13a2 出运算结果 V. 1 1 1 2 程序框图 例 1 利用梯形的面积公式计算上底为 2，下底为 4，高为 5 的梯形面积，设计出该问题的算法及程序框图 自主解答 算法如下： 第一步， a 2， b 4， h 5. 第二步 ， S 12(a b)h. 第三步，输出 S. 该算法的程序框图如图所示： (1)顺序结构的适用范围：数学中很多问题都可以按顺序结构设计算法，如运用公式进行计算、几何中的作图步骤等 (2)应用顺序结构表示算法的步骤： 仔细审题，理清题意，找到解决问题的方法； 梳理解题步骤； 用数学语言描述算法，明确输入量、计算过程、输出量； 用程序框图表示算法过程 1已知圆的半径 ，设计一个算法求圆的周长和面积的近似值，并用程序框图表示 解：算法步骤如下： 第一步，输入圆的半径 R. 第二步，计算 L 2 R. 顺序结构 2 第三步，计算 S 第四步，输出 L 和 S. 程序框图： 条件结构 例 2 设计一个算法判断由键盘输入的一个整数是不是偶数，并画出程序框图 (提示：看被 2 除的余数是否为零 ) 自主解答 算法分析：第一步，输入整数 x. 第二步，令 y 是 x 除以 2 所得的余数 第三步，判断 y 是否为零，若 y 是零，输出 “ 是偶数 ” ，结束算法；若 y 不是零，输出 “ 不是偶数 ” ，结束算法 程序框图： 决定进行哪一个步骤的问题，在使用程序框图时，必须引 入判断框，应用条件结构，如分段函数求值，数据的大小比较及含 “ 若 ，则 ” 字样的问题等 2解题时应注意：常常先判断条件，再决定程序流向判断框有两个出口，但在最终执行程序时，选择的路线只有一条 2儿童乘坐火车时，若身高不超过 1.2 m，则无需购票；若身高超过 1.2 m，但不超过 1.5 m，可买半票；若超过 1.5 m，应买全票 ，请设计一个算法，并画出程序框图 3 解：根据题意，该题的算法中应用条件结构，首先以身高为标准，分成买票和免费，在买票中再分出半票和全票买票的算法步骤如下： 第一步：测量儿童身高 h. 第二步：如果 h1.2 m ，那么免费乘车，否则若 h1.5 m ，则买半票，否则买全票 程序框图如图所示： 如图所示，是求函数 y |x 3|的函数值的程序框图，则 处应填 _， 处应填 _ 巧思 借助学习过函数 y |x 3| x 3， x3 ，3 x， 结束；否则执行第二步 用循环结构设计算法解决应用问题的步骤审题；建立数学模型；用自然语言表述算法步骤；(4)确定每一个算法步骤所包含的逻辑结构，对于要重复执行的步骤，通常用循环结构来设计，并用相应的程序框图表示，得到表示该步骤的程序框图； (5)将所有步骤的程序框图用流程线连接起来，并加上终端框，得到表示整个算法的程序框图 6 2某商场第一年销售计算机 5 000 台，如果平均每年销售量比上一年增加 10%，那么从第一年起，大约几年可使总销售量达 40 000 台？画出解决此问题的程序框图 解：程序框图如图所示： 画出满足 12 22 32 06的最小正整数 n 的程序框图 错解一 引入计数变量 i 和累加变量 S，利用循环结构，将 后，将 i 加 1，依次循环直到满足条件后输出的 i 就是所求的 . 错解二 引入计数变量 i 和累加变量 S，循环体中的 i 加 1 后，再将 ，直到满足条件时，输出的 i 就是所求的 . 错因 错解一中变量 后 i 再加 1，在检验条件时，满足条件后输出的 i 比实际值多 1，显然是未重视最后一次循环的检验所致；错解二中， i 加 1 后再把 ，由于开始时 i 1，这样导致第 7 一次执行循环体时加的就是 22，漏掉了第 1 项，是由于未重视第一次执行循环时的数据所致故在循环结构框 图中设计算法时，应注意以下三点： 注意各个语句顺序 不同对结果的影响； 注意各个变量初始值不同对结果的影响； 要对循环开始和结束的变量及结束时变量的值认真检验，以免出现多循环或者漏循环 正解 程序框图： 1如图所示的程序框是 ( ) A终端框 B输入框 C处理框 D判 断框 答案： C 2下列问题的算法适宜用条件结构表示的是 ( ) A求点 P( 1,3)到直线 l： 3x 2y 1 0 的距离 B由直角三角形的两直角边求斜边 C解不等式 b 0(a0) D计算 3 个数的平均数 解析：条件结构是先进行逻辑判断，并根据判断结果进行不同处理的结构，只有 C 项中需要判断 余选项都不含逻辑判断 答案： C 3下列关于流程线的说法， 不 正确的是 ( ) A流程线表示算法步骤执行的顺序，用来连接程序框 B流程线只要是上下方向就表示自上向下执行可以不要箭头 C流程线 无论什么方向，总要按箭头的指向执行 8 D流程线是带有箭头的线，它可以画成折线 解析：流程线上必须要有箭头来表示执行方向，故 B 错误 答案： B 4根据指定条件决定是否重复执行一条或多条指令的控制结构称为 ( ) A条件结构 B循环结 构 C递归结构 D顺序结构 答案： B 5下列框图是循环结 构的是 ( ) A B C D 解析： 是顺序结构； 是条件结构 ； 是当型循环结构； 是直到型循环结构 答案： C 6 (2012 广东高考 )执行如图所示的程序框图，若输入 n 的值为 6，则输出 s 的值为 ( ) A 105 B 16 C 15 D 1 解析：按照程序过程，通过反复判断循环条件执行程序执行过程为 s 11 1， i 3； s 13 3， i 5； s 35 15， i 76 ，跳出循环故输出 s 的值为 15. 答案： C 第 3 题图 第 4 题图 9 7如图是求某个函数的函数值的程序框图，则满足该程序的函数的解析式为 _ 解析：当满足 以 k 5. 答案： 5. 11某城市缺水问题比较突出，为了制定节水管理办法，对全市居民某年的月均用水量进行了抽样调查，根据图所示的程 序框图， 若其中 4 位居民的月均用水量 (单位：吨 )分别为 1,，则输出的结果 s 为 _ 解析：第一 (i 1)步： 0 1 1； 第二 (i 2)步： 1 第三 (i 3)步： 4； 第四 (i 4)步： 4 2 6， s 146 32. 答案： 32 12画出计算 1 12 13 110的值的程序框图 解：程序框图： 11 1 1 入语句、输出语句和赋值语句 (结 ) 三种语句的格式 例 1 下列正确的语句个数是 ( ) 输入语句 a 2 赋值语句 x x 5 输出语句 2 A 0 B 1 C 2 D 3 自主解答 中输入语句只能给变量赋值，不能给表达式 a 2 赋值，所以 错误； 中 x x 5表示变量 后再赋给 x，即完成 x x 5后， ，所以 正确； 中不能输出赋值语句，所以 错误 答案 B 1在输入语句中， “ 提示内容 ” 和它后面的分号 “ ； ” 可以省略不写；输入语句要求输入的值只能是具体的数，无计算功能 2输出语句可以输出常量、变量或表 达式的值 (输出语 句有计算功能 )或字符，程序中双引号内的部分将原始呈现。 3 (1)赋值语句的作用是先算出赋值号右边表达式的值，然后把该值赋给赋值号左边的变量，使该变量的值等于表达式的值 (2)赋值号两边的内容不能对调，如 a b与 b 赋值号与 “ 等于 ” 的意义也不同，若把 “ ” 看作等于，则 N N 1不成立，若看作赋值号，则成立 (3)赋值语句只能给一个变量赋值，不能接连出现两个或多个 “ ” ，可给一个变量多次赋值，但只保留最后一次所赋的值 1下列给出的赋值 语句中，正 确的有 ( ) 赋值语句 3 B； 赋值语句 x y 0； 赋值语句 A B 2； 赋值语句 T T*T. A 0个 B 1个 C 2个 D 3个 解析：由赋值格式可知，只有 正确 答案： B 利用输入、输出、赋值语句编写程序 2 例 2 设计一个求底面半径为 R，高为 出程序框图并写出程序 自主解答 程序框图如图： 程序如下： R， H ” ； R， H A 2*H B *R S A 2*B S ” ； S 1根据输入、输出、赋值语句编写程序时，一定要遵守语句的格式和程序语言中运算符号的 书写要求 2牢记以下几种常见的算术运算符号 运算符 作用 乘方运算，如 (ab) *， / 乘法，除法运算，如 (a b a*b) ， 加法，减法运算 2任给三个变量 a， b， 算 35 解：程序如下： a ” ； a b ” ； b c ” ； c S=a*b*b+5*c 3 S 程序框图与算法语句的转化 例 3 以下是一个用基本算法语句编写的程序，根据程序画出其相应的程序框图 x， y=”； x， y x=x/2 y=3*y x,y x=y=x， y 自主解答 程序框图如图所示： 由程序画程序框图的关键是分清程序的结构，使用了哪些基本的算法语句，从而据此判定算法的逻辑结构，然后将语句中的内容填入相应的程序框中即可得到相应的程序框图同样由程序框图设计程序就要看框图中使用了哪些逻辑结构，这些结构使用哪些算法语句，然后把框图中的内容写入算法语句即可 3根据下面程序框图，写出程序 4 解：程序： 已知 f(x) 1，设计一个程序，求 ff(13) 巧思 从函数角度看，求 ff(13)，可先求 f(13)，再求 f(将它们与程序对照 y x3 1” ， f(当于 “ y y3 1” ，其中从左往右看，第二个 “ y” 相当于 妙解 程序如下： x 13y x3 1y y3 1 x， y=”； x， y x=x/8 y=5*y x， y x=x+y y=x+2y x， y 5 1 (2012 洛阳 高一检测 )赋值语 句 n n 1的意思是 ( ) A n 1 B n 1等于 n C将 n 1 D将 n 的值增加 1，再赋给 n，即 答案： D 2下列语句中，正确表示输出语句的是 ( ) A 提示内容 ” ；变量 B 提示内容 ” ；表达式 C 变量 ” ；提示内容 D 表达式 ” ；提示内容 答案： B 3如图，此段程序运行的结果是 ( ) a 1b 2c 3a a； b； 2 2 3 B 3 2 2 C 2 3 2 D 3 3 2 解析：初始： a 1， b 2， c 3， a b，则 a 2， b c，则 b 3， c a，则 c 2. 答案： C 4 (2011 福建高考 )运行如图所示的程序，输出的结果是 _ 解析： a 1， b 2，把 1与 2的和赋给 a，即 a 3，输出的结果是 3. 答案： 3 5下列程序 6 x， x*x x， ,4后则 执行的结果是 _ 解析： x 2， y 4， x x*y 24 8， y 8 4 4. 答案： 8 4 6已知正四棱柱的底面边长和高分别为 a和 h，设计程序求其体积 解：程序： a,h=” ;a,h V=a2*h V=” ;V 1 1 件语句 （ 结 ） 例 1 输入一个实数 x，若它是非负数，就输出它，否则不输出它，画一个程序框图解决这个问题，再写出相应的程序 自主解答 程序为： x ” ； x 0 单支条件语句采用 形式， 条件成立，则执行 条件不成立，则结束条件语句，执行 1画出程序框图并编写程序： 任意输入三个实数，输出最小的数 解： a， b， ab ac 2 例 2 已知函数 y 1， x0 ，25， x 0， 画出程序框图并编写一个程序，对每输入的一个 得到相应的函数值 自主解答 程序框图如下： 程序如下： x=”； x x =0 y=x2y=2*x2“ y=”； y 本例条件改为 y 1， x 0，25， x 0， 则程序如何改？ 解：程序框图如下： 程序如下： 3 x ” ； x IF x0 y x2 1 F x 800 y 0.8*x F x 500 y 0.9*x y x F F y ” ； y 1对于实际应用问题， 应先建立数学模型，再设计算法 2条件语句的嵌套与条件结构的对应： 5 3在编写条件语句的嵌套中的 “ 条件 ” 时，要注意 “与 “F” 的配对，有时可以利用文 字的缩进来表示嵌套的层次， 以帮助对程序的阅读和理解 3某市对出租车的计费统一规定：如果行驶不超过 2 收费 7元 (即起步价 )，若超过 2 超出部分，每 1 不足 1 1 画出计算路费的程序框图并写出程序 解：程序框图： 程序： 6 路程 ” ； x IF x0 y 1 F IF x 0 y 0 F IF x 0 y 1 F y 1程序框图 应用什么语句来表达 ( ) A输入语句 B条件语句 C循环语句 D输出语句 答案： B 2下列关于条件语句的说法正确的是 ( ) A条件语句中必须有 F B条件语句中可以没有 F C条件语句中可以没有 是必须有 F D条件语句中可以没有 F，但 是必须有 案： C 3当 a 1， b 3时，执行完下面一段程序后， ) 8 IF p 10 (x 10) 2 答案： 下面的程序是求一个函数的函数值的程序： 9 x IF ND 解出结果为 3，则有可能 x 1 3，即 x 4， 或 x 3，即 x 3. 答案： 4或 3 6有一个算法如下： 第一步，输入 x； 第二步，判断 x0？是， z 1；否则， z 1； 第三步， z 1 z； 第四步，输出 z. 试写出上述算法的程序语句 解 ：程序如下： x0 1 11 0 1 1 环语句 （结） 句的应用 例 1 编写程序计算 12 32 52 9992，并画出相应的程序框图 自主解答 程序如下： 程序框图如下图： S 0 i 1 S i2 i i 2 i 999 例若将 “1 2 32 52 9992” 改为 “1 2 22 32 42 9992 1 0002” ，则结果又如何呢？ 解： 程序如下： S 0 i 1 S i2 i i 1 i 1 000 序框图如 下图： 2 1直到型循环语句中先执行一次循环体，再判断条件是否满足，以决定 继续循环还是退出循环 2循环次数的控制往往是判断条件，在循环体内要有控制条件的改变，否则会陷入死循环 3控制循环次数的变量要综合考虑初始化时和 初始值为 1，则循环体中累加，若初始值为循环的次数，则循环体中递减 1输入 100 个数，将其中正数的个数输出，写出程序 解：程序： i 0m 0i 1IF x0 m 1i 100句的应用 3 例 2 编写程序求 246100 的值 自主解 答 程序框图： 程序： i 2m 108，试设计一个程序，寻找满足条件的最小整数 n. 错解 采用累加的方法， 1 2 3 ，一个数一个数地向上加，直到加上一个数刚好大于 2 008，这个数就是要找的数 . 程序如下： S 0i 12 008，则累加给 i 就满足了条件，而 i 又加 1，这时输出的 i 是满足条件的数的下一个数本题出错的根本原因在于循环体中语句的先后次序发生变化对程序的影响没有引起重视，另外也没有对结束循环的条件的边界作检验 正解 法一： S 0i 14A 3 B 4 C 5 D 6 解析： i4. 当 i 5 时，循环终止 答案： C 3下面程序运行后的输出结果为 ( ) i 1 n ：由循环语句知：共输入 10 个 x. 由条件语句及计数变量 n 的变化可知： n 记录的是满足 x0 的 x 的个数 故本程序的功能是： 统计 10 个数中负数的个数 1 法案例 （结） 求最大公约数 例 1 用辗转相除法求 80 和 36 的最大公约数，并用更相减损术检验所得结果 自主解答 用辗转相除法： 80 362 8， 36 84 4， 8 42 0. 故 80 和 36 的最大公约数是 4. 用更相减损术检验： 80 36 44， 44 36 8， 36 8 28， 28 8 20， 20 8 12， 12 8 4 8 4 4. 故 80 和 36 的最大公约数是 4. 求两数的最大公约数可用辗转相除法和更相减损术两种方法，一般地，用辗转相除法比用更相减损术运算步骤更简捷、更有效 所谓辗转相除法 ，就是对于给定的两个正整数，用较大的数除以较小的数若余数不为零，则将余数和较小的数构成新的一对数，继续上面的除法，直到大数被小数 除尽，则这时较小的数就是原来两个数的最大公约数 1用两种方法求 378 和 90 的最大公约数 解：法一：辗转相除法： 378 904 18， 90 185 0， 所以 378 与 90 的最大公约数是 18. 法二：更相减损术： 因为 378 与 90 都是偶数 2 所以用 2 约简得 189 和 45. 189 45 144,144 45 99， 99 45 54,54 45 9， 45 9 36,36 9 27， 27 9 18,18 9 9. 所以 378 与 90 的最大公约数为 29 18. 秦九韶算法的应用 例 2 用秦九韶算法求多项式 f(x) 2654x 6 在 x 5 时的值 自主解答 由于 f(x) 2654x 6 (2x 6)x 5)x 4)x 6. 根据秦九韶算法， 我们有： 2， 2x 6 25 6 4， 4x 5 45 5 15， 15x 4 155 4 79， 79x 6 795 6 3 89. 1秦九韶算法的步骤 2应用秦九韶算法计算多项式的值应注意的问题 (1)要正确将多 项式的形式进行改写 计算应由内向外依次计算 要以系数为零的齐次项补充 . 2用秦九韶算法求多项式 f(x) 8532x 1 当 x 2 时的值 解：根据秦九韶算法，把多项式改写成如下形式： f(x) 850 3 0 0 2x 1 (8x 5)x 0)x 3)x 0)x 0)x 2)x 1. 而 x 2，所以有 3 8， 82 5 21， 212 0 42， 422 3 87， 872 0 174， 1742 0 348， 3482 2 698， 6982 1 1 397. 所以当 x 2 时，多项式的值为 1 397. 进位制及其转化 例 3 将八进制数 3 726(8)，化成十进制数 自主解答 3 726(8) 38 3 78 2 28 6 2 006， 3 726(8) 2 006. 将本例改为 “ 化为五进制数 ” 其结果又该如何？ 解： 把上式中各步所得余数从下到上排列得到 2 006 31