2015高中数学 第3章 导数及其应用课件（打包9套）新人教A版选修1-1
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2015高中数学 第3章 导数及其应用课件（打包9套）新人教A版选修1-1,高中数学,导数,及其,应用,利用,运用,课件,打包,新人,选修
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问题 1：气球膨胀率 很多人都吹过气球，回忆一下吹气球的过程。 随着气球内空气容量的增加，气球的半径增加的越来越慢。 从数学的角度，如何描述这种现象呢？ 发现： 3343( ) ( )34VV r r r V 当空气容量从增加时，半径增加了 r(1) r(0) 气球的 平均膨胀率 为： 100 . 6 2 /10m L气球的体积 V（单位： L）与半径 r（单位： 间的函数关系是： 类似地： 当空气容量从加时，半径增加了 r( ) r( ) 气球的 平均膨胀率 为： 210 . 1 6 /21m L可以看出： 随着气球体积逐渐变大，它的平均膨胀率逐渐变小。 思考？ 当空气容量从 2时，气球的平均膨胀率是多少？ 2121( ) ( )r V r 问题 2：高台跳水 在高台跳水运动中，运动员相对于水面的高度h(单位：米 )与起跳后的时间 t（单位： s）存在函数关系 h(t)= - 4.9 10. 如果我们用运动员在某段时间内的平均速度 描述其运动状态，那么： 秒到 2秒时间段内呢？ 田亮在 0秒到 ( 0 . 5 ) ( 0 )4 . 0 5 ( / )0 . 5 0m s( 2 ) ( 1 )8 . 2 ( / )21m s 探究？ 计算：运动员在 这段时间内的平均速度，并思考下面的问题： 65049t（ 1）运动员在这段时间里是静止的吗？ （ 2）你认为用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题吗？ 平均速度不能反映他在这段时间里运动状态， 需要用瞬时速度描述运动状态。 气球的平均膨胀率是一个特殊的情况，我们把这一思路延伸到函数上，归纳一下得出函数的平均变化率 2 1 2 12 1 2 1( ) ( ) ( ) ( )r V r V f x f x x探究活动 从以上的二个例子中，我们可以了解到，平均变化率是指在某个区间内数值的平均变化量 . 如果上述两个问题中的函数关系用 表示，那么问题中的变化率可用式子： 表示。 () 2121f x f 12()f x x 从 到 的 平均变化率平均变化率 ： 2121f x f 21x x 上 ： 用 表 示 - ，即：21x x x 是一个整体符号 而不是 与， 相乘。112;x x可把 看作是相对于 的一个增量，可用 代替“增量”： 21x x x 令“增量” 2121x x xf f x f x 2 1 1 121f x f x f x x f x x x 于是：平均变化率可以表示为： 天才就是百分之一的灵感，百分之九十九的汗水！ 思考？ 观察函数 f(x)的图象 : 平均变化率 ： 2121f x f x x表示什么？ 21( ) ( )y f x f xo 1x 2)y f x平均变化率的 几何意义 就是 两点间的斜率 。 第三章 导数及其应用 导数的概念 自由落体运动中，物体在不同时刻的 速度是不一样的。 平均速度不一定能反映物体在某一时刻 的运动情况。 物体在某一时刻的速度称为瞬时速度。 例 1、自由落体运动的运动方程为 s= 计算 段时间 内的平均速度（位移的单位为 m）。 1 2 解：设在 3， 的平均速度为 .1(s) s1=s(s(3)= 32 =m) )/(0 0 0 3 0 0 0 )/( 所以 )/( 0 0 同理 例 1是计算了 3， 3+ t当t=0.1,t=t= 上面是计算了 t0时的情况 下面再来计算 v 竖直上抛 运动的物体， h(t)=求物体在时刻 1 2 20002000 21)(21)( 200 21)( 2100000 t 时当所以 物体在时刻 由导数的定义可知 ,求函数 y=f(x)在 点 00 00 00)求平均变化率 (3)取极限 ,得导数 (1)求函数的增量 练习 2、质点按规律 s(t)=做直线运动 (位移单位： m , 时间单位： s)t=2时的瞬时速度为 8m/s,求常数 a=2 由导数的定义可知 ,求函数 y=f(x)在 点 (1)求函数的增量 (2)求平均变化率 (3)取极限 ,得导数 小 结 : 函数 y=f(x)在 x=时变化率 的定义。 第三章 导数及其应用 P 相交 再来一次 直线 0000)()(T 00, y=f(x)在点 P( x0,f()处的切线 方程为： 函数 y=f(x)在点 就是 000 曲线 y=f(x)在点 P(x0,f(处的切线的斜率 例 1、如图，它表示跳水运动中高度随时间变化的函数 h(t)=0的图象。根据图象，请描述、比较曲线 h(t)在 t0,t1, 们用曲线 h(t)在 t0,t1, 刻画曲线 h(t)在上述三个时刻附近的 变化情况。 (1) 当 t=曲线 h(t)在 于 所以 ,在 t= 几乎没有下降 . (2) 当 t=曲线 h(t)在 h(0. 所以 ,在 t= 即函数 h(t)在 t= (3) 当 t=曲线 h(t)在 h(0. 所以 ,在 t= 即函数 h(t)在 t= 与 曲线在 例 2、如图，它表示人体血管中药物浓度c=f(t)(单位： mg/时间 t(单位： 化的函数图象。根据图象，估计 t= 管中药物浓度的瞬时变化率(精确到 0 .8 t(c(mg/解：血管中某一时刻药物浓度的瞬时变化 率，就是药物浓度 f(t)在此时刻的导数。 作 t=它的斜率约为 0 0) 作 t=它的斜率约为 因此在 t=变化率分别为 0和 求函数 y=f(x)在点 00 00 00)求平均变化率 (3)取极限 ,得导数 (1)求函数的增量 例 3、 某物体的运动方程为 s(t)=5位移单位： m，时间单位： s） 求它在 t 2s 时的速度 . 解 : 因为 222 52025)2(5 520从而 20)520(00例 4、 已知曲线 上一点 求：点 点 331 38,2 点 在 x=2处的导数 . 331323124 33 231)2(31 23124 从而 4)3124( 200点 点 . )2(438 练习 1、求曲线 在点 M(3,3)处的 切线的斜率及倾斜角 率为 斜角为 135 练习 2、判断曲线 在（ 1， -）处 是否有切线，如果有， 求出切线的方程 . 221 1 2 有 ,切线的方程为 21 学了导数的运算后 , 此类题有更简单的解法 . 处的导数在是求函数 00 )()( 如果将 x,则求得的是 )( 被称为函数 y=f(x)的 导函数 . )( 如果函数 y=f(x)在开区间 (a,b)内的每点处都有导数，此时对于每一个 x (a,b)，都对应着一个确定的导数 ，从而构成了一个新的函数 。称这个函数 为函数 y=f(x)在开区间内的 导函数 ，简称 导数 ，也可记作 ，即 )(/ (/ )(/ y )()(l i ml i 小 结 : 相应的 , y=f(x)在点 P( x0,f()处的切线 方程为： 函数 y=f(x)在点 就是 000 曲线 y=f(x)在点 P(x0,f(处的切线的斜率 第三章 导数及其应用 处的导数在是求函数 00 )()( 如果将 x,则求得的是 )( 被称为函数 y=f(x)的 导函数 . )( 如果函数 y=f(x)在开区间 (a,b)内的每点处都有导数，此时对于每一个 x (a,b)，都对应着一个确定的导数 ，从而构成了一个新的函数 。称这个函数 为函数 y=f(x)在开区间内的 导函数 ，简称 导数 ，也可记作 ，即 )(/ (/ )(/ y )()(l i ml i 例 1：已知函数 y = (1)求 y (2)求函数 y = 在 x = 2 处的导数 y x x x 解：函数改变量 算比值 10011l i m l i x x x x 取极限 所以 42)2(| 2 fy 、求函数 y=f(x)= 0)()( 00 xx 1)()( 11 xx 练习 2、求函数 y=f(x)= 22)()()(因为 (l i ml i 所以 练习 3、求函数 y=f(x)=2)(2222你能不能求出函数 y=f(x)= 由函数 y=x ， y= y=1， 2x， 3x2 y =3猜测 y = x n 导数是什么 ? y =11)()(因为 22001)1(所以 练习 4、求函数 y = f(x) =- 的导数 1 x 21)()(例 2、 y=|x|(x R)有没有导函数，试求之。 解 : (1)当 x0时， y=x, 则 y =1 (2)当 值为 1，从而极限为 1 当 x0时，比值为 而极限为 而当 x=0时，极限不存在。 故 y=|x|(x R)没有导函数。 试自己推导教材 、公式 4。 你还能推导教材 小 结 : 求一个函数的导函数的方法。 第三章 导数及其应用 11 . ( ) , ( ) 0 ;2 . ( ) , ( ) ;3 . ( ) s i n , ( ) c o s ;4 . ( ) c o s , ( ) s i n ;5 . ( ) , ( ) l n ( 0 ) ;6 . ( ) , ( ) ;17 . ( ) l o g , ( ) ( 0 , 1 ) ;x c f xf x x f x n xf x x f x xf x x f x xf x a f x a a af x e f x ef x x f x a 公 式 若 则公 式 若 则公 式 若 则公 式 若 则公 式 若 则公 式 若 则公 式 若 则 且公 式 若1( ) l n , ( ) ;f x x f 则基本初等函数的导数公式 练习 1、求下列函数的导数。 (1) y= 5 (2) y= x 4 (3) y= x 4) y= 2 x (5) y=333 22 2)2(41)1(思考如何求下列函数的导数： 解 :根据 基本初等函数导数公式表 ,有 )/(0( 10 年元)51()(0 因此 ,在第 10个年头 ,这种商品的价格 约以 年的速度上涨 . 导数的运算法则 :(和差积商的导数 ) ( ) ( ) ( ) ( )f x g x f x g x 轮流求导之和 上导乘下 ,下导乘上 ,差比下方 2( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ( ) 0 )() ()f x f x g x f x g )()()()()()( 如果上式中 f(x)=c,则公式变为： )()( )()()()()()( 例 2 根据基本初等函数的导数公式和导数 运算法则，求函数 y=的导数。 解：因为 )32( 3 ()2()( 3 数 y=的导数是 )2)(1()3( o s x s i n)1( 3 、求下列函数的导数。 (2 )1 2 2c o i ( 1 ) 2 s i nc o 32 c o s 解：净化费用的瞬时变化率就是净化费用 函数的导数。 2)1 0 0(11)1 0 0(05 2 8 4 0 0()1 0 0(1)1 0 0(15 2 8 4 0 05 2 8 4()( 00(5284x)1001(5 2 8 4 0 090(5 2 8 4)90(2c(1)因为 ，所以， 纯净度为 90%时，费用的瞬时变化率 为 吨。 1321)10098(5284)98(2c(2)因为 ，所以， 纯净度为 98%时，费用的瞬时变化率 为 1321元 /吨。 练习 3、求下列函数的导数。 222212(1 ) ;( 2 ) ;1( 3 ) t a n ;( 4 ) ( 2 3 ) 1 ;x x 222212(1 ) ;( 2 ) ;1( 3 ) t a n ;( 4 ) ( 2 3 ) 1 ;x x ;41)1(32 ;)1(1)2(222222212(1 ) ;( 2 ) ;1( 3 ) t a n ;( 4 ) ( 2 3 ) 1 ;y x x ;c o ( 2本题可先将 再利用导数的运算法则 (3)来计算。 我们再回顾一下 “ 导数的几何意义 ” 中的两个练习题。 练习 1、求曲线 在点 M(3,3)处的 切线的斜率及倾斜角 率为 斜角为 135 29第二种解法： 1x=3,得 练习 2、判断曲线 在（ 1， -）处 是否有切线，如果有， 求出切线的方程 . 221 1 2 有 ,切线的方程为 21 11 . ( ) , ( ) 0 ;2 . ( ) , ( ) ;3 . ( ) s i n , ( ) c o s ;4 . ( ) c o s , ( ) s i n ;5 . ( ) , ( ) l n ( 0 ) ;6 . ( ) , ( ) ;17 . ( ) l o g , ( ) ( 0 , 1 ) ;x c f xf x x f x n xf x x f x xf x x f x xf x a f x a a af x e f x ef x x f x a 公 式 若 则公 式 若 则公 式 若 则公 式 若 则公 式 若 则公 式 若 则公 式 若 则 且公 式 若1( ) l n , ( ) ;f x x f 则基本初等函数的导数公式 导数的运算法则 :(和差积商的导数 ) ( ) ( ) ( ) ( )f x g x f x g x 轮流求导之和 上导乘下 ,下导乘上 ,差比下方 2( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ( ) 0 )() ()f x f x g x f x g )()()()()()( 第三章 导数及其应用 函数的单调性与导数 并求单调区间相应的导数 . 图象是单调上升的 . 01 在 x (-,0)内 图象是单调上升的 . 在 x ( 0,+)内 图象是单调上升的 . )0(03 2 时当 在 x (-,0)内 图象是单调下降的 . 在 x ( 0,+)内 函数的单调性与其导函数正负的关系 : 当函数 y=f (x)在某个区间内可导时， 如果 , 则 f (x)为增函数； 如果 , 则 f (x)为减函数。 0)( 、已知导函数 的下列信息： 当14,或 ( 从而函数 f(x)=x 在 x 见右图。 )(32 ) f(x)=; 解： =2(0 )( 图象见右图。 当 0，即 x1时，函数单调递增； )( 当 0 )( 当 0， 即 时， 函数单调递增； )( 21712171 当 1时，函数单调递增。 数单调递减， 故 f(x)的递增区间是 (1,+); 由 解得 -1x1, 故 f(x)的递减区间是 (). ( ) 010求函数的单调区间的一般步骤 : (1) 求出函数 f(x)的定义域 A； (2) 求出函 f(x)数的导数 ； )( (3)不等式组 的解集为 f(x)的单调增区间； ( ) 0 (4)不等式组 的解集为 f(x)的单调减区间； ( ) 0 例 3、如图，水以常速 (即单位时间内注入水的体积相同 )注入下面四种底面积相同的容器中，请分别找出与各容器对应的水的高度 练习 4 如图，直线 c，当 l从 匀速旋转 (旋转角度不超过90o)时，它扫过的圆内阴影部分的面积 的图象大致是（ ）。 求函数的单调区间的一般步骤 小 结 : 函数的单调性与其导函数正负的关系 函数的极值与导数 跳水运动中 ,运动员相对于水面的高度h(单位：米 )与起跳后的时间 t(单位：秒 )存在函数关系 h(t)=+0 其图象如右 . 0)( e 函数 y=f(x)在点 x=f(d)比在其附 近其他点的函数值都小， =0 。 )(在点 x=d 附近的左侧 0 )( )( 我们把点 y=f(x)的 极小值点 ， f(d)叫做函数 y=f(x)的 极小值 。 e x=e 附近的左侧 0 在点 x=e 附近的右侧 0即 x2,或 所以 f(x)的单调增区间为 (-, (1,+) )( )( 由 0,得 -2x1, 所以 f(x)的单调减区间为 () 导数值为 0的点一定是函数的极值点吗？ 3)( 例如0)0(,3)( 2 而可知但 x=0不是函数的极值点 导数为零的点是 该点为极值点的必要条件 , 而不是充分条件 . 一般地 ,求函数的极值的方法是 : 解方程 = =0时 . 如果在 右侧 那么 ,f(极大值 ; 如果在 右侧 那么 ,f(极小值 . )( )( 0)( )( 顶” 即“谷底” 函数的最值与导数 极值反映的是函数在某一点附近的局部 性质 ,而不是函数在整个定义域内的性质。 但是我们往往更关心函数在某个区间上 哪个值最大，哪个值最小。 观察区间 a,b上函数 y=f (x)的图象， 你能找出它的 极大值点 ， 极小值点 吗？ e ， c e db 大值点 和 最小值点 吗？ 最大值点 ： a ， 最小值点： d o 最小值是 f (b). 单调函数的最大值和最小值容易被找到。 函数 y=f(x)在区间 a,b上 最大值是 f (a), 图 1 o 5f ( 图 2 函数 y=f (x)在区间 a,b上 最小值是 f ( 一般地，如果在区间 a,b上函数 y=f (x) 的图象是 一条连续不断的曲线 ，那么 它必有最大值和最小值。 怎样求函数 y=f (x)在区间 a ,b内的最大值 和最小值？ 只要把函数 y=f (x)的所有极值连同端点 的函数值进行比较即可。 例 1、求函数 f(x)=2在 0, 3上的 最大值，最小值。 x (-, () 2 (2,+) + 0 - 0 + f(x) 单调递增 28 单调递减 调递增 )( 3 2例 1、求函数 f(x)=2在 0,3上的 最大值，最小值。 解：由上节课的例 1知，在 0,3上， 当 x=2时， f(x)=2有极小值， 并且极小值为 f (2)=又由于 f (0)=12,f (3)=3, 因此，函数 f(x)=2在 0, 3上的 最大值为 12，最小值为 求函数 y=f(x)在 (a,b)内的极值 (极大值与极小值 ); 将函数 y=f(x)的各极值与 f(a)、 f(b)（即端点的函数值）作比较 ,其中最大的一个为最大值 ,最小的一个为最小值 . 求函数 y=f(x)在 a,b上的最大值与最小值的步骤如下 练习 1、求函数 y=5上的最大值与最小值。 因为 f(57, f(f(2)=以函数的最大值为 57，最小值为 ： =x+12(2x2+)( 令 =0,解得 2 , ( 练习 2、求函数 f(x)=上的最值。 解： =3=3() )( 因为 在 内恒大于 0, )( 所以 f(x)在 上是增函数， 故当 x=f(x)取得最小值 当 x=1时， f(x)取得最大值 2。 例 2、已知函数 f(x)=x+a; (1)求 f(x)的单调递减区间； (2)若 f(x)在区间 上的最大值为 20， 求它在该区间上的最小值。 令 3 )( 解 : (1) =x+9 )( 函数 f(x)的单调递减区间为 (-, (3,+) o 3 93)( 23(2) f(8+12a=2+a f(2)=2+18+a=22+a f(2)f(于是有 22+a=20,解得 a= f(x)= f(x)在 上单调递增 在 ()上 0, )( 又由于 f(x)在 1上单调递减， 即函数 f(x)在区间 上的最小值为 f(2)和 f(别是 f(x)在区间 上的 最大值和最小值。 f(1+37, 例 3、证明：当 x0时， x+x) 01111)(,0 当解：设 f(x)=+x). 即 x+x). 又因为 f(x)在 x=0处连续， 所以 f(x)在 x0上单调递增， 从而当 x0时，有 f(x)=+x)f(0)=0 练习 3:当 x1时 ,证明不等式 : 证 :设 ,132)()11)( 2显然 f(x)在 1,+)上连续 ,且 f(1)=0. 显然 ,当 x1时 , ,故 f(x)是 1,+)上的增函数 . 0)( x1时 ,f(x)f(1)=0,即当 x1时 , 例 4、求证 22 )1(2)1(1 1(321)1(211ln )0()1(321)1(211 32 )1(211)1( 2 1(2)1(11)( 1(21)1( 22 2()1( 22 2321)1(在 x=1附近 由负到正 )( 令 =0,解得 x=1, )( 当 x=1时， f(x)有极小值，这里也是最小值 所以当 x0时， f(x) f(1)=0 32 )1(321)1(211ln 从而 小 结 : 求函数 y=f(x)在 (a,b)内的极值 (极大值与极小值 ); 将函数 y=f(x)的各极值与 f(a)、 f(b)（即端点的函数值）作比较 ,其中最大的一个为最大值 ,最小的一个为最小值 . 求函数 y=f(x)在 a,b上的最大值与最小值的步骤如下 活中的优化问题举例 生活中经常遇到求利润最大、用料最省、 效率最高等问题，这些问题通常被称为 优化问题 。 例 1、汽油的使用效率何时最高 汽油的消耗量 w（单位： L）与汽车的速度 v（单位：
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