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2015届高考数学大一轮复习（2009-2013高考题库）第6章 理（打包7套）新人教A版,高考,数学,一轮,复习,温习,题库,打包,新人

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1 20092013 年高考真题备选题库 第 6 章 不等式、推理与证明 及不等式选讲（选修 4 第 1 节 不等 关系与不等式 考点 不等 关系与不等式 1 （ 2013浙江 ， 5分 ） 若 R，则 “ 0” 是 “ 1，故不能保证. 答案： B 5（ 2010江苏 ， 5分 ） 设 x， y 为实数，满足 3 8,4 9，则_ 解析： 由题设知，实数 x， 条件可化为 22 a， b，则有 a 2b 32a b 2又设 t 343a 4b，令 3a 4b m(a 2b) n(2a b)，解得 m 1， n 2，即 (a 2b) 2(2a b) 4 7. 另解：将 4 9两边 分别平方得， 1681， 又由 3 8可得， 18 113， 由 得， 2 27，即7. 答案： 27 6 (2011安徽 ， 12分 )(1)设 x 1， y 1，证明 x y 11x 1y (2)设 1a b c，证明 解： (1)由于 x 1， y 1，所以 x y 11x 1y xy(x y) 1 y x (. 将上式中的右式减左式，得 y x ( xy(x y) 1 ( 1 xy(x y) (x y) (1)(1) (x y)(1) (1)(x y 1) (1)(x 1)(y 1) 既然 x 1， y 1，所以 (1)(x 1)(y 1) 0， 从而所要证明的不等式成立 (2)设 x， y，由对数的换底公式得 11x， 1y， 3 于是，所要证明的不等式即为 x y 11x 1y 其中 x 1， y 1. 故由 (1)可知所要证明的不等式成立 1 20092013 年高考真题备选题库 第 6 章 不等式、推理与证明及不等式选讲（选修 4第 2 节 一元二次不等式及其解法 考点 一元二次不等式 1 （ 2013 天津 ， 5 分 ） 已知函数 f(x) x(1 a|x|). 设关于 x 的不等式 f(x a) f(x)的解集为 12， 12 A, 则实数 a 的取值范围是 ( ) A. 1 52 ， 0 B. 1 32 ， 0 C. 1 52 ， 0 0， 1 32 D. ， 1 52 解析： 本题考查函数与不等式的综合应用，意在考查考生的数形结合能力由题意可得0 A，即 f(a)0 时无解，所以 以10 时， f(x) 4x，则不等式 f(x)x 的解集用区间表示为 _ 解析： 本题考查奇函数的性质及一元二次不等式的解法，意在考查学生的化归能力及运算能力 由于 f(x)为 R 上的奇函数，所以当 x 0 时， f(0) 0；当 以 f( x) 4x f(x)，即 f(x) 4x，所以 f(x) 4x， x0，0， x 0， 4x， 得 4xx，x0 或 4xx， 5f(2x)的 _ 解析： 由题意有 1 20 ， 解得 10，即 x a2 2x a， (i)当 a 0 时， f( a) 2 由 知 f(x) 2时 g(a) 2( )当 由 知 f(x) 23 若 x a，则 x a 2此时 g(a) 23综上得 g(a) 2 a 0，2 a0.(3) 当 a ( ， 62 22 ， )时， 解集为 (a， )； 当 a 22 ， 22 )时， 解集为 a 3 2 )； 当 a ( 62 ， 22 )时， 解集为 (a， a 3 2 a 3 2 ) 1 20092013 年高考真题备选题库 第 6 章 不等式、推理与证明及不等式选讲（选修 4第 4 节 二元 一 次不等式 （组）及简单的线性规划问题 考点 一 二元一次不等式（组）与平面区域 1 （ 2013山东 ， 5分 ） 在平面直角坐标系 ， M 为不等式组 2x y 2 0，x 2y 1 0，3x y 8 0所表示的区域上一动点，则直线 率的最小值为 ( ) A 2 B 1 C 13 D 12 解析： 本题考查二元一次不等式组所表示的平面区域，考查两点间斜率的几何意义等基础知识，考查数形结合思想，考查运算求解能力已知的不等式组表示的平面区域如图中阴影所示，显然当点 重合时直线 直线方程 x 2y 1 0和 3x y 8 0，解得 A(3， 1)，故 13. 答案 ： C 2 （ 2013安徽 ， 5 分 ） 在平面直角坐标系中， O 是坐标原点，两定点 A， B 满足 | 2，则点集 P| | | 1， ， R所表示的区域的面积是 ( ) A 2 2 B 2 3 C 4 2 D 4 3 解析： 本题考查平面向量运算、线性规划等知识，培养考生对知识的综合应用能力以及数形结合思想由 | | 2，可得 3，又 A， B 是两定点，可设A( 3， 1)， B(0,2)， P(x， y)， 由 可得 x 3，y 2， 33 x， 36 x. 2 因为 | | 1，所以 33 x 36 x 1，当 x 0，3y 3x 03y 3x 6，时，由可行域可得 12 2 3 3，所以由对称性可知点 44 3，故选 D. 答案 ： D 3 （ 2013北京 ， 5分 ） 设关于 x， y 的不等式组 2x y 1 0，x m 0，y m 0表示的平面区域内存在点 P(满足 2m 的取值范围是 ( ) A. ， 43 B. ， 13 C. ， 23 D. ， 53 解析： 本题考查二元一次不等式组所表示的平面区域，考查数形结合思想、等价转化思想以及考生分析问题、解决问题的能力问题等价于直线 x 2y 2与不等式组所表示的平面区域存在公共点，由于点 (m， m)不可能在第一和第三象限，而直线 x 2y 2经过第一、三、四象限，则点 ( m， m)只能在第四象限，可得 m 0，不等式组所表示的平面区域如图中阴影部分所示，要使直线 x 2y 2与阴影部分有公共点，则点 ( m， m)在直线x 2y 2 0的下方，由于坐标原点 使得 x 2y 2 0，故 m 2m 2 0，即 m 23. 答案 ： C 4 （ 2013 山东 ， 4 分 ） 在平面直角坐标系 ， M 为不等式组 2x 3y 6 0，x y 2 0，y 0所表示的区域上一动点，则 |最小值是 _ 解析： 本题主要考查线性规划下的最值求法，考查数形结合思想、图形处理能力和运算能力作出不等式组表示的可行域如图中阴影部分所示，因此 |最小值为点 x y 2 0的距离，所以 |OM| 2|2 2. 答案 ： 2 5 （ 2013北京 ， 5分 ） 设 D 为不等式组 x 0，2x y 0，x y 3 0所表示的平面区域，区域 D 上的 3 点与点 (1,0)之间的距离的最小值为 _ 解析： 本题主要考查线性规划的简单应用，意在考查考生的运算能力、作图能力以及数形结合思想和转化思想作出可行域，如图中阴影部分所示，则根据图形可知，点 B(1,0)到直线 2x y 0的距离最小， d |2 1 0|22 1 2 55 ，故最小距离为 2 55 . 答案： 2 55 6 （ 2010福建 ， 5分 ） 设不等式组 x 1，x 2y 3 0，y x，所表示的平面区域是 1，平面区域2与 1关于直线 3x 4y 9 0 对称对于 1中的任意点 A 与 2中的任意点 B， |最小值等于 ( ) B 4 D 2 解析： 平面区域 1如图中阴影部分所示，由于平面区域 2与 1关于直线 3x 4y 9 0对称， 因此， |最小值即为 1中的点 A 到直线 3x 4y 9 0 的距离的最小值的 2倍 由图可知，当点 (1,1)重合时， 1中的点 x 4y 9 0的距离取到最小值 |3 4 9|5 2， 故 |最小值为 2 2 4. 答案： B 考点二 简单的线性规划问题 1 （ 2013 新课 标全国 ， 5 分 ） 已知 a 0， x， y 满足约束条件 x 1，x y 3，x ax 3.若 z 2x y 的最小值为 1，则 a ( ) 1 D 2 解析： 本题考查线性规划问题，属于基础题由已知约束条 4 件，作出可行域如图中 目标函数 z 2x l： y 2x z 在 y 轴上的截距，知当直线 l 过可行域内的点 B(1， 2a)时，目标函数 z 2x ，则 2 2a 1， a 12，故选 B. 答案 ： B 2 (2013 天津 ， 5 分 )设变量 x, y 满足约束条件 3x y 6 0，x y 2 0，y 3 0，则目标函数 z y 2 ) A 7 B 4 C 1 D 2 解析： 本题考查线性规划，意在考查考生数形结合思想的应用约束条件对应的平面区域是一个三角形区域，当目标函数 y 2x 5,3)时， 7. 答案 ： A 3 (2013湖南 ， 5分 )若变量 x， y 满足约束条件 y 2x，x y 1，y 1，则 x 2y 的最大值是 ( ) A 52 B 0 析： 本小题主要考查线性规划知识及数形结合思想，属中档偏易题求解本小题时一定要先比较直线 x 2y 0与边界直线 x y 1的斜率的大小，然后应用线性规划的知识准确求得最值作出题设约束条件 的平面区域 (图略 )，由 y 2x，x y 1， x 13，y 23，可得 (x 2y)13 2 23 53. 答案 ： C 4 （ 2013广东 ， 5分 ） 给定区域 D： x 4y 4，x y 4，x ( D|Z，( z x y 在 D 上取得最大值或最小值的点 ，则 T 中的点共确定 _条不同的直线 5 解析： 本题考查线性规划、集合、直线方程等知识，考查考生的创新意识及运算能力、数形结合思想的应用解决本题的关键是要读懂数学语言， Z，说明 出图形可知， 围成的区域即为区域 D，其中A(0,1)是 上取得最小值的点， B， C， D， E， F是 上取得最大值的点，则 B， 条不同的直线 答案： 6 5 （ 2013浙江 ， 4分 ） 设 z y，其中实数 x， y 满足 x 2，x 2y 4 0，2x y 4 0.若 z 的最大值为 12，则实数 k _. 解析： 本题主要考查二元一次不等式组的平面区域、线性规划的最优解的问题，意在考查考生的数形结合能力已知不等式组可表示成如图的可行域，当 0 y 8 上的点，由图可知当函数 y 时 由 方程组 x y 11 0，3x y 3 0， 解得 x 2， y 9，即点 A(2,9)，代入函数解析式得 9 a 3，故10， 2x 1， x 0， D 是由 x 轴和曲线 y f(x)及该曲线在点 (1,0)处的切线所围成的封闭区域，则 z x 2y 在D 上的最大值为 _ 解析： 当 x0时，求导得 f (x) 1x，所以曲线在点 (1,0)处的切线的斜率 k 1，切线方程为 y x 1，画图可知区域 个顶点的坐标分别为 ( 12， 0)， (0， 1)， (1,0)，平移直线 x 2y 0，可知在点 (0， 1)处 . 答案： 2 17 （ 2010陕西 ， 5分 ） 铁矿石 A 和 B 的含铁率 a，冶炼每万吨铁矿石的 c 如下表： a b(万吨 ) c(百万元 ) A 50% 1 3 B 70% 某冶炼厂至少要生产 吨 )铁，若要求 (万吨 )，则购买铁矿石的最少费用为 _(百万元 ) 解析： 可设需购买 则根据题意得到约束条件为： x 0y 2， 目标函数为 z 3x 6y，当目标函数经过 (1,2)点时目标函数取最小值，最小值为： 1 6 2 15. 答案： 15 1 20092013 年高考真题备选题库 第 6 章 不等式、推理与证明及不等式选讲（选修 4第 5 节 基本 不等式 与柯西不等式（选修 4考点 一 基本不等式及其应用 1 （ 2013福建 ， 5分 ） 若 2x 2y 1，则 x ) A 0,2 B 2,0 C 2， ) D ( ， 2 解析： 本题主要考查基本不等式，意在考查考生的数形结合能力、转化和化归能力、运算求解能力 2x 2y 2 2x2 y 2 2x y(当且仅当 2x 2y 时等号成立 )， 2x y 12， 2xy 14，得 x y 2，故选 D. 答案 ： D 2 （ 2013山东 ， 5分 ） 设正实数 x， y， 34z x1y2 ) A 0 B 1 D 3 解析： 本题考查基本不等式、二次函数的性质等基础知识，考查等价转化的数学思想方法 ，考查运算求解能力，考查分析问题和解决问题的能力 3413 14 3 1，当且仅当 x 2时 z 22x 1y 2z 12y 1y 1 2 1 1，当且仅当 y 1时 等号成立，故所求的最大值为 1. 答案 ： B 3 （ 2013山东 ， 5分 ） 设正实数 x， y， 34z x 2y ) A 0 2 析： 本题主要考查基本不等式的应用，考查运算求解能力、推理论证能力和转化思想、函数和方程思想 343 2 3 1，当且仅当 x 2此 z 2 4642以 x 2y z 4y 2 2(y 1)2 2 2. 答案 ： C 4 （ 2012福建 ， 5分 ） 下列不等式一定成立的是 ( ) A lg(14) lg x(x 0) B x 1x 2(x k Z) C 1 2|x|(x R) D. 11 1(x R) 解析： 取 x 12，则 lg(14) lg x，故排除 A；取 x 32，则 x 1，故排除 B；取x 0，则 11 1，故排除 D. 答案： C 5 (2009天津 ， 5分 )设 a0， b是 3 1a 1 ) A 8 B 4 C 1 析： 3是 3 ( 3)2 3a3 b. 即 3 3a b， a b 1. 此时 1a 1b a a 2 ( 2 2 4(当且仅当 a b 12取等号 ) 答案： B 6（ 2012山东 ， 4分 ） 若对任意 x0， 3x 1 _ 解析： 若对任意 x0， 3x 1 只需求 得 y 3x 1的最大值即可 因为 x0，所以 y 3x 1 1x 1x 3 12 x1x 3 15，当且仅当 x 1时取等号， 所以 15， ) 答案： 15， ) 考点二 不等式的实际应用 3 1 （ 2010江苏 ， 5分 ） 将边长为 1 m 的正三角形薄铁皮，沿一条平行于某边的直线剪成两块，其中一块是梯形，记 s 梯形的周长 2梯形的面积 ，则 _ 解析： 如图，设 x(00， 故当 x 13时， 2 33 . 答案： 32 33 2 （ 2012江苏 ， 4分 ） 如图，建立平面直角坐标系 位长度为 1 千米，某炮位于坐标原点已知炮弹发射后的轨迹在方程 y 120(1 k2)x2(k 0)表示的曲线上，其中 的射程是指炮弹落地点的横坐标 (1)求炮的最大射程； (2)设在第一象限有一飞行物 (忽略其大小 )，其飞行高度为 米，试问它的横坐标 弹可以击中它？请说明理由 解： (1)令 y 0，得 120(1 k2)0，由实际意义和题设条件知 x 0， k 0， 故 x 2020k 1k 202 10，当且仅当 k 1时取等号 所以炮的最大射程为 10千米 (2)因为 a 0，所以炮弹可击中目标 存在 k 0，使 120(1 k2) 4 关于 2064 0有正根 判别式 ( 20a)2 4a2(64) 0 a 6. 所以当 (千米 )时，可击中目标 1 20092013 年高考真题备选题库 第 6 章 不等式、推理与证明及不等式选讲（选修 4 6 节 合理推理与演绎推理 考点 合理推理与演绎推理 1 （ 2013陕西 ， 5分 ） 观察下列等式 12 1 12 22 3 12 22 32 6 12 22 32 42 10 照此规律，第 _ 解析： 本题考查考生的观察、归纳、推理能力观察规律可知，第 n 个式子为 12 2232 42 ( 1)n 1( 1)n 1nn 12 . 答案： 12 22 32 42 ( 1)n 1( 1)n 1nn 12 2 （ 2013陕西 ， 5分 ） 观察下列等式 (1 1) 2 1 (2 1)(2 2) 22 1 3 (3 1)(3 2)(3 3) 23 1 3 5 照此规律， 第 n 个等式可为 _ 解析： 本题主要考查归纳推理，考查考生的观察、归纳、猜测能力观察规律可知，左边为 小项和最大项依次为 (n 1)， (n n)，右边为连续奇数之积乘以 2n，则第 (n 1)(n 2)(n 3) (n n) 2n 1 3 5 (2n 1) 答案： (n 1)(n 2)(n 3) (n n) 2n 1 3 5 (2n 1) 3 （ 2013湖北 ， 5分 ） 古希腊毕达哥拉斯学派的数学家研究过各种多边形数如三角形数 1,3,6,10， ，第 nn 12 12n个 k 边形数为 N(n， k)(k 3)，以下列出了部分 n 个数的表达式： 三角形数 N(n,3) 1212n， 正方形数 N(n,4) 五边形数 N(n,5) 3212n， 六边形数 N(n,6) 2n， 2 可以推测 N(n， k)的表达式，由此计算 N(10,24) _. 解析： 本题主要考查数列的相关知识，意在考查考生对等差数列的定义、通项公式的掌握程度 N(n， k) k 3)，其中数列 以 12为首项， 12为公差的等差数列；数列 以 12为首项， 12为公差的等差数列；所以 N(n,24) 1110n，当 n 10 时， N(10,24)11 102 10 10 1 000. 答案： 1 000 4 （ 2012 江西 ， 5 分 ） 观察下列各式： a b 1， 3， 4， 7， 11， ，则 ( ) A 28 B 76 C 123 D 199 解析： 记 f(n)，则 f(3) f(1) f(2) 1 3 4； f(4) f(2) f(3) 3 4 7； f(5) f(3) f(4) f(n) f(n 1) f(n 2)(n N*， n 3)，则 f(6) f(4) f(5) 18；f(7) f(5) f(6) 29； f(8) f(6) f(7) 47； f(9) f(7) f(8) 76； f(10) f(8) f(9) 123. 答案： C 5 （ 2012湖北 ， 5分 ） 回文数是指从左到右读与从右到左读都一样的正整数，如 22,121,3 443,94 249 等显然 2 位回文数有 9 个： 11,22,33， ， 回文数有 90 个： 101,111,121， ，191,202， ， (1)4 位回文数有 _个； (2)2n 1(n N )位回文数有 _个 解析： 2 位回文数有 9 个， 4 位回文数有 9 10 90 个， 3 位回文数有 90 个， 5 位回文数有 9 10 10 100 9 个，依次类推可得 2n 1 位有 9 10 答案： 90 9 10n 6 （ 2011陕西 ， 5分 ） 观察下列等式 1 1 2 3 4 9 3 4 5 6 7 25 4 5 6 7 8 9 10 49 照此规律，第五个等式应为 _ 解析： 每行最左侧数分 别为 1、 2、 3、 ，所以第 n；每行数的个数分别为 1、 3、 5、 ，所以第 n 行数依次是 5、 6、 7、 、 13， 3 其和为 5 6 7 13 81. 答案： 5 6 7 13 81 7 （ 2010 浙江 ， 4 分 ） 设 n 2， n N， (2x 12)n (3x 13)n |0 k n)的最小值记为 0， 123 133， 0， 125 135， ， 其中_. 解析： 根据已知条件，总结规律，进而可得 0 当 3n 当 答案： 0 当 3n 当 2010陕西 ， 5分 ） 观察下列等式： 13 23 32,13 23 33 62,13 23 33 43 102， ，根据上述规律，第五个等式为 _ 解析： 观察等式发现等式左边各加数的底数之和等于右边的底数，右边数的指数均为 2，故猜想第五个等式应为 13 23 33 43 53 63 (1 2 3 4 5 6)2 212. 答案： 13 23 33 43 53 63 212 1 20092013 年高考真题备选题库 第 6 章 不等式、推理与证明及不等式选讲（选修 4第 7 节 直接证明和间接证明 考点 直接证明 和 间接证明 (2009广东 ， 14分 )已知曲线 20(n 1,2， )从点 P( 1,0)向曲线 kn(0)的切线 点为 Pn( (1)求数列 通项公式； (2)证明： x1x3 1 1 2解： (1)直线 y kn(x 1)， 0. 代入曲线 (1)2(n x 0. 方程 有等根 4(n 4(1)0 1， n 1n 12 12 1 1. kn(1) 1( 1 1) n 2n 1n 1 . (2)证明 ： 由 (1)知 ， 1， 1 2n 1. 于是所证明的不等式变为 123456 2n 12n 12n 1 21 (a)先证明： 123456 2n 12n 12n 1.(*) 41 4 (2n 1)(2n 1) 4 (2n 1)2(2n 1) 4n 1) 2n 12n 2n 12n 1. 2 123456 2n 12n 13 35 57 2n 12n 1 12n 1. (b)再证明 12n 1 22n 1. 法一： 令 f(x) 22 x：则 f (x) 22 . 当 x 0， 4)时， f (x) 0， 所以 f(x)在 0， 4)上单调递增， 又 12n 1 (0， 4)(n 1)， f( 2n 1 22 12n 1 f(0) 0. 所以 12n 1 22n 1. 故 x1x3 1 1 2法二： 令 f(x) 则 f (x) x 令 g(x) x g (x) 1 1 所以，当 x (0， 4)时， g (x) 0， g(x) g(0) 0. f (x) 0， f(x)在 0， 4上单调减少 x 12n 1 (0， 4)(n 1)， f(x)2n 112n 1 f(4) 2 2 22 ， 所以 12n 1 22n 1. 即 123456 2n 12n 12n 1 22n 1. 故 x1x3 1 1 2 1 20092013 年高考真题备选题库 第 6 章 不等式、推理与证明及不等式选讲（选修 4 第 8 节 数学归纳法 考点 数学归纳法 1 （ 2013江苏 ， 10 分 ） 设数列 1， 2， 2,3,3,3， 4， 4， 4， 4， ， (1)k 1k， ， ( 1)k 1k， ，即当 k 1n kk 12 (k Z*)时， ( 1)k n an(n N*)对于 l N*，定义集合 n|n N*，且 1 n l (1)求集合 (2)求集合 00中元素的个数 解： 本小题主要考查集合、数列的概念和运算、计算原理等基础知识，考查探究能力及运用数学归纳法的推理论证能力 (1)由数列 定义得 1， 2， 2， 3， 3， 3， 4， 4， 4， 4， 5，所以 1， 1， 3， 0， 3， 6，2， 2， 6， 10， 5，从而 0 211 以集合 元素的个数为 5. (2)先证： i 1) i(2i 1)(i N*) 事实上， 当 i 1 时， i 1) 3， i(2i 1) 3，故原等式成立； 假设 i m 时成立，即 m 1) m(2m 1)，则 i m 1 时， S(m 1)(2m 3) m 1) (2m 1)2 (2m 2)2 m(2m 1) 4m 3 (25m 3) (m 1)(2m 3) 综合 可得 i 1) i(2i 1) 于是 S(i 1)(2i 1) i 1) (2i 1)2 i(2i 1) (2i 1)2 (2i 1)(i 1) 由上可知 i 1)是 2i 1 的倍数，而 i 1) j 2i 1(j 1,2， ， 2i 1)，所以 i 1) j i 1) j(2i 1)是 i 1) j(j 1,2， ， 2i 1)的倍数 又 S