2015届高考数学二轮总复习 试题（打包8套）
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2015届高考数学二轮总复习 试题（打包8套）,高考,数学,二轮,复习,温习,试题,打包
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- 1 - 不等式与线性规划 1 (2014 四川高考 )若 ab0， 解析】 解决本题时可采用特值法判断：令 a 2， b 1， c 2， d 1， 易知 A， B，C 均错误故选 D. 【答案】 D 2 (2014 北京高考 )若 x， y 满足 y1 ，x y 10 ，x y 10 ，则 z 3x y 的最小值为 _. 【解析】 根据题意画出可行域如图 ， 由于 z 3x y 对应的直线斜率为 3， 且 z 与x 正相关 ， 结合图形可知 ， 当直线过点 A(0,1)时 ， z 取得最小值 1. 【答案】 1 3 (2014 福建高考 )要制作一个容积为 4 高为 1 m 的无盖长方体容器 已知该容器的底面造价是每平方米 20 元 ， 侧面造价是每平方米 10 元 ， 则该容器的最低总造价是_(单位：元 ) 【解析】 设底面长 x m， 宽 y m， 则 x y1 4， 4， 设选价为 z， z 20102( x y) 80 20(x y) 80 202 80 202 4 160(元 ) 当且仅当 x y 时 ， 等号成立 【答案】 160 4 (2014 江苏高考 )已知函数 f(x) 1， 若对于任意 x m， m 1， 都有 f(x)0成立 ， 则实数 m 的取值范围是 _ 【解析】 对于任意 x m， m 1， f(x)0 恒成立 由 f m 10f m m 2 m m 10 ， 解得 22 m0. 【答案】 22 ， 0 5 (2014 湖南高考 )若变量 x， y 满足约束条件 y x，x y4 ，y1 ，则 z 2x y 的最大值为_ 【解析】 如图 - 2 - 过 (3,1)时有最大值 7. 【答案】 7 从近三年高 考来看 ， 该部分的高考命题的热点考向为： 1 不等式的性质与解法 不等式的性质是解不等式的基础 ， 从不等式的性质出发 ， 重点考查学生对不等式性质的理解和应用对不等式解法的考查形式多种多样 ， 重点考查一元二次不等式 ， 指数 、 对数不等式 不等式的性质多以选择题 、 填空题的形式出现 ， 属中档题；而不等式的解法可以以小题形式出现 ， 或隐含在解答题中 ， 也大都是中档题目 2 线性规划问题 高考对线性规划问题的考查主要是在不等式约束条件下 ， 求线性目标函数的最值 ， 有时也会以最值为载体求解含参数值的问题 ， 求解此类问题应根据不等式 组准确作出不等式组表示的平面区域 预计 2015 年高考对本讲内容的考查仍将以对目标函数的最值或取值范围的求解为主 ，题型以选择题 、 填空题的形式出现 ， 难度不大 ， 分值约为 5 分 3 基本不等式及其应用 基本不等式及其应用一直是高考命题的热点 ， 在选择题 、 填空题 、 解答题中都有可能出现 ， 它的应用范围涉及高中数学的很多章节 ， 且常考常新 高考复习时应予以重视 预测 2015 年高考仍将以求函数的最值为主要考点，重点考查学生的运算能力和逻辑推理能力 - 1 - 2015 届高考数学二轮总复习 不等式与线性规划全新解题 建议用时 实际用时 错题档案 45 分钟 一 、 选择题 1 (2014 陕西宝鸡一模 )下列三个不等式： x 1x2( x0) ； c0)； a mab(a， b， m0 且 abc0 得 1 成立 ， 故 恒成立 ， 所以选 B. 【答案】 B 2 (2014 湖南张家界二模 )已知 f(x) x c， 不等式 f(x)0 的解集为 x| 21， 综合知 成立 ， 1 4( a 1)0 时 ， f(x) 4x， 则不等式 f(x)x 的解集用区间表示为 _ 【解析】 先求出函数 f(x)在 R 上的解析式 ， 然后分段求解不等式 f(x)x， 即得不等式的解集 设 于是 f( x) ( x)2 4( x) 4x， 由于 f(x)是 R 上的奇函数 ，所以 f(x) 4x， 即 f(x) 4x， 且 f(0) 0， 于是 f(x) 4x， x0，0， x 0， 4x， ， 由 4xx 得 x5；当 5g(3)， g(x)173. (x 8x) 3 83， a 83， 故 a 的取值范围是 83， ) 【答案】 83， ) 15 (创新题 )设 a， b 为正实数现有下列命题： 若 1， 则 a b 1； 若 1b 1a 1， 则 a b 1； 若 | a b| 1， 则 |a b| 1； 若 | 1， 则 |a b| 1. 其中的真命题有 _ (写出所有真命题的编号 ) 【解析】 中 ， (a b)(a b) 1， a， b 为正实数 ， 若 a b1 ， 则必有 a b 1， 不合题意 ， 故 正确 中 ， 1b 1a a 1， 只需 a b 可如取 a 2， b 23满足上式 ， 但 a b 43 1，故 错 中 ， a， b 为正实数 ， 所以 a b | a b| 1， 且 |a b| |( a b)( a b)| | a b| 1， 故 错 中 ， | |(a b)( |a b|( 1. 若 |a b|1 ， 不妨取 a b 1， 则必有 1， 不合题意 ， 故 正确 【答案】 - 1 - 不等式恒成立问题的解题策略 策略诠释 1 主要类型：不等式恒成立问题中 ， 求参数的取值范围 2 解题思路：往往采用分离变量或适当变形 ， 或变换主元 ， 或构造函数 ， 再利用函数的单调性或基本不等式进行求解；最值问题常常转化为利用基本不等式求解 3 注意事项： (1)在不等式的转化过程中要注意不等号的方向 (2)利用基本不等式时要注意 “ 一正 、 二定 、 三相等 ” 【典例】 (12 分 )已知不等式 10. (1)若不等式对于一切 x (0,2恒成立 ， 则 a 的取值范围为 _； (2)若不等式对一切 x 2,2恒成立 ， 则 a 的取值范围为 _； (3)若不等式对一切 a 2,2恒成立 ， 则 x 的取值范围为 _ 审题：分析信息 ， 形成思路 (1)切入点：分离参数求解； 关注点：注意应用基本不等式 (2)切入点：转化为恒成立问题求解； 关注点：注意对 x 分类讨论 (3)切入点：利用函数求解； 关注点：注意自变量 解题：规范步骤 ， 水到渠成 (1)原不等式可化为 a 1x ， 而1x 2 2， 当且仅当 x 1 时等号成立 ， 所以 a 的取值范围是 ( ， 2 (3 分 ) (2)因为 x 2,2， 当 x 0 时 ， 原式为 02 a0 10 恒成立 ， 此时 a R； (5 分 ) 当 x0 时 ， 则当 x (0,2时 ， 由 (1)知 a ( ， 2， 所以当 x 2,0)时 ， 可得 a 1x ， 令 f(x) 1x x1x， 由函数的单调性可知 ， f(x)f( 1) 2.(8 分 ) 所以 a 2， ) ， 综上可知 ， a 的取值范围是 2,2 (9 分 ) (3)因为 a 2,2， 则可把原式看作关于 a 的函数 ， 即 g(a) 10 ， 由题意可知 ， g 2x 10 ，g x 2x 10 ， 解之得 x R， 所以 x 的取值范围是 ( ， ) (12 分 ) 【答案】 (1)( ， 2 (2) 2,2 (3)( ， ) 变题 1 (2014 武汉市武昌区联考 )已知 ab， 不等式 2x b0 对一切实数 x 恒成立又 R， 使 2b 0 成立 ， 则 b 的最小值为 ( ) A 1 B. 2 C 2 D 2 2 【解析】 由题知 a0 且 4 40， 因此 1， b a b 2 2b a b 2a b2 2， 当且仅当 (a b)2 2 时等号成立 - 2 - 【答案】 D 2 (2014 贵州六校联考 )若不等式 9 a t 2 t (0,2上恒成立 ， 则 a 的取值范围是 ( ) A 16， 1 B 16， 2 2 C 16， 413 D 213， 1 【解析】 9 1t 9t， 而 y t 90,2上单调递减 ， 故 t 9t2 92 132 ， 9 1t 9t 213(当且仅当 t 2 时等号成立 )， t 2 1t 22(1t 14)2 t 12， 所以 t 2 1t 2(1t 14)2 181( 当且仅当 t 2 时等号成立 )， 故 a 的取值范围为 213， 1 【答案】 D - 1 - 2015 届高考数学二轮总复习 不等式的性质与解法 【例 1】 (1)(2013 北京高考 )设 a， b， c R， 且 ab， 则 ( ) A ac D a32)(2014 全国大纲高考 )不等式组 x x 0，|x| 1 的解集为 ( ) A x| 2 x 1 B x| 1 x 0 C x|0 x 1 D x|x 1 【解析】 (1)利用作差比较法或取特殊值排除法 A 项 ， c0 时 ， 由 ab 不能得到 ac故不正确； B 项 ， 当 a0， 能得到 1知当 a 故不正确； D 项 ， (a b)( (a b)( a 34 因为 (a 34， 所以可由 ab 知 ， 即 a3故正确 (2) x x 0|x| 1 x 0或 x 2 1 x 1 0 x 1. 故选 C. 【答案】 (1)D (2)C 【规律方法】 (1)要弄清每一个不等式性质的条件和结论 ， 注意条件的放宽对结论的影响 (2)判断不等式是否成立时 ， 常利用不等式的性质 、 基本不等式 、 函数的单调性等知识和特殊值法 2 几类不等式的解题指导思想： (1)求解一元二次不等式的基本思路：先化为一般形式 c 0(a 0)， 再求相应一元二次方程 c 0(a 0)的根 ， 最后根据相应二次函数图象与 x 轴的位置关系 ， 确定一元二次不等式的解集 (2)解简单的分式 、 指数 、 对数 不等式的基本思想是利用相关知识转化为整式不等式 (一般为一元二次不等式 )求解 (3)解含 “ f” 的不等式 ， 首先要确定 f(x)的单调性 ， 然后根据单调性转化为不等式求解 (4)解含参数不等式的难点在于对参数的恰当分类 ， 关键是找到对参数进行讨论的原因确定好分类标准 ， 层次清晰地求解 创新预测 1 (1)(2013 重庆高考 )关于 x 的不等式 28解集为 ( 且 15， 则 a ( ) 解析】 由 28 不等式 28， 则f(10x)0 的解集为 ( ) A x|x B x| 1 D x|解集为 x| 10， 110x12， 解得 x 即 x . 【答案】 D - 1 - 2015 届高考数学二轮总复习 基本不等式及其应用 【例 3】 (1)(2013 天津高考 )设 a b 2， b0， 则 12|a| |a|b 的最小值为 _ (2)(2014 湖北高考 )某项研究表明：在考虑行车安全的情况下 ， 某路段车流量 F(单位时间内经过测量点的车辆数 ， 单位：辆 /小时 )与车流速度 v(假设车辆以相同速度 v 行驶 ， 单位：米 /秒 )、 平均车长 l(单位：米 )的值有关 ， 其公式为 F 76 000 18 20l. 如果不限定车 型 ， l 则最大车流量为 _辆 /小时； 如果限定车型 ， l 5， 则最大车流量比 (1)中的最大车流量增加 _辆 /小时 【解析】 (1)分 a0 和 ， 12|a| |a|b 12a a 14 ( 54； 当 则 1x 12y 1z t 1212(当且仅当 t 1 时等号成立 )故选 D. - 2 - 【答案】 D (2)(2014 潍坊联考 )已知不等式 x 2x 10， 则 2m 1 ) A 4 2 B 8 C 9 D 12 【解析】 易知不等式 x 2x 10 的解集为 ( 2， 1)， 所以 a 2， b 1， 则 2m n 1，2m1n (2m n)(2m1n) 5225 4 9(当且仅当 m n13时取等号 )， 所以2m1. 【答案】 C 总结提升 通过本节课的学习 ， 需掌握如下三点： 失分盲点 1 (1)不等式变形时 ， 不等号的方向易出错 (2)二次项的系数中含有参数时 ， 该不等式不一定是二次不等式 (3)同向不等式可以相加 ， 但 能否相乘是有条件的 2 (1)不等式 (组 )表示的区域确定错误 (2)线性目标函数的斜率与可行域的边界斜率大小分不清 (3)y 导致平移时上下方向错误 3 利用基本不等式求最值时 ， 一定要注意基本不等式的适用条件 ， 否则容易出错 答题指导 1 (1)看到不等式需要变形 ， 想到用性质有根有据进行 (2)看到解含参数的不等式 ， 想到参数对求解过程的影响 (3)看到求不等式中的参数 ， 想到数形结合 (画数轴或画函数图象 ) 2 (1)看到不 等式组的表示区域 ， 想到 “ 直线定界 ， 特殊点定域 ” (2)看到求线性目标函数最值 ， 想到平移目标函数等直线进行观察 (3)看到求约束条件或目标函数中的参数 ， 想到由目标函数的最值列方程 (组 )求解 3 (1)看到和为定值 ， 想到积是否有最值 (2)看到积为定值 ， 想到和是否有最值 方法规律 一元二次不等式的解法 ， 分离参数法解决不等式恒成立问题 ， 利用 “ 穿根法 ” 求解高次不等式 . 运算的合理性与转化思想的体现 运算能力不仅要求会根据法则 、 公式进行正确运算 、 变形和数据处理 ， 还要求能根据问题的条件寻找合理的简捷的运算途径 ， 这也是在实施运算过程中遇到障碍而调整运算能力的具体表现 【例 1】 设实数 x、 y 满足 x y 20 ，x 2y 50 ，y 20 ，则 u 取值范围是 _ 【解析】 画出的可行域为点 (1,2)， (3,1)， (4,2)形成的三角形 ， u xyy 0x 0， 设 k 则 k 13， 2 ， 所以 u k 1k在 k 13， 2 时 ， 2， 3 13 103 u取值范围是 2， 103 . - 3 - 【答案】 2， 103 【规律感悟】 形如 u 式子在可行域确定的前提下需要进行适当转化 ， 化为具有几何意义的算式 ， 如直线的斜率 、 点到直线的距离等 ， 从而求得相应的取值范围 【例 2】 (2014 浙江高考 )已知实数 a， b， c 满足 a b c 0， 1， 则 a 的最大值是 _ 【解析】 利用不等式求解 因为 a b c 0， 所以 b c a. 因为 1， 所以 1 (b c)2 22 所以 21 21 所以 3 ， 所以 23， 所以 63 a 63 . 所以 63 . 【答案】 63 【规律感悟】 形如本题已知含有两个条件和三个变量的 问题，要想求某个变量的取值范围，一般采用消元法本题还可消 b 或 c 后利用方程求 a 的最大值 (把 c (a b)代入1 得 2221 0，由 0 得 3 ，所以 63 .) - 1 - 平面向量 、 复数 、 算法 、 推理与证明 1 (2014 山东高考 )已知向量 a (1， 3)， b (3， m)， 若向量 a， b 的夹角为 6 ， 则实数 m ( ) A 2 3 B. 3 C 0 D 3 【解析】 a b a b|a|b|， |a| 2， |b| 9 3 39 32 . 解得 m 3， 故选 B. 【答案】 B 2 (2014 全国新课标 高考 ) 3 2 ( ) A 1 i B 1 i C 1 i D 1 i 【解析】 3 2 2 2 1 i， 故选 D. 【答案】 D 3 (2014 安徽高考 )如图所示 ， 程序框图 (算法流程图 )的输出结果是 ( ) A 34 B 55 C 78 D 89 【解析】 由题中程序框图知： x 1， y 1， z 2； x 1， y 2， z 3； x 2， y 3， z 5； x 3， y 5， z 8； x 5， y 8， z 13； x 8， y 13， z 21； x 13， y 21， z 34；x 21， y 34， y 55， 跳出循环故输出结果是 55. 【答案】 B 4 (2014 陕西高考 )观察分析下表中 的数据： 多面体 面数 (F) 顶点数 (V) 棱数 (E) 三棱柱 5 6 9 五棱锥 6 6 10 立方体 6 8 12 猜想一般凸多面体中 F， V， E 所满足的等式是 _ 【解析】 5 6 9 2； 6 6 10 2； 6 8 12 2， 归纳： F V E 2. 【答案】 F V E 2 5 (2014 山东高考 )用反证法证明命题 “ 设 a， b 为实数 ， 则方程 b 0 至少有一个实根 ” 时 ， 要做的假设是 ( ) A 方程 b 0 没有实根 - 2 - B 方程 b 0 至多有一个实根 C 方程 b 0 至多有两个实根 D 方程 b 0 恰好有两个实根 【解析】 “ 至少一个实根 ” 的对立事件为 “ 一个实根也没有 ” ， 故选 A. 【答案】 A 从近三年高考来看 ， 该部分高考命题的热点考向为： 1 向量的有关概念及运算 该考向在近几年的高考中年年都会出现该类问题多数是单独命题 ， 考查向量的有关概念及基本运算；有时作 为一种数学工具 ， 在解答题中与其他知识交汇在一起考查 多以选择 、 填空题的形式出现 ， 有时会渗透在解答题中 ， 一般难度不大 ， 出现的频率较高 2 复数的概念及运算 复数的基本概念 、 复数相等的充要条件以及复数的代数运算是高考的热点 ， 每套高考试卷都有一个小题 ， 并且一般在前两题的位置上 ， 主要考查对复数概念的理解以及复数的加减乘除四则运算 预测 2015 年高考以复数的基本概念以及复数的代数运算为主要考点 ， 重点考查运算能力及转化与化归思想 、 方程思想 3 程序框图 循环结构与条件结构是高考考查的热点 ， 题型以选择题 、 填空题为主 ， 属容易题高考试题分两种形式考查：一种是给出框图与初始数据 ， 求输出结果 ， 本类题目相对简单；一种是给出框图与输出结果 ， 推理输入的数据 ， 本类题目难度相对较高 预测 2015 年高考对本章内容的考查形式和难度都不会发生大的变化 4 合情推理 近几年高考题主要以考查归纳推理为主 ， 考查学生的观察 、 归纳和类比能力 题型主要以选择题或填空题的形式呈现 ， 属中档题 - 3 - 向量的有关概念及运算 【例 1】 (1)(2014 全国新课标 高考 )已知 A， B， C 为圆 O 上的三点 ， 若 12( )，则 与 的夹角为 _ (2)(2014 重庆高考 )已知向量 a (k,3)， b (1,4)， c (2,1)， 且 (2a 3b) c， 则实数 k ( ) A 92 B 0 C 3 3)(2014 天津高考 )已知菱形 边长为 2， 120 ， 点 E， F 分别在边 C 上 ， 若 1， 23， 则 ( ) 解析】 (1)由已知条件 ， 12( )得 O 为线段 中点 ， 故 O 的直径 90 ， 与 的夹角为 90. (2)因为 2a 3b (2k 3， 6)， (2a 3b) c， 所以 (2a 3b) c 2(2k 3) 6 0， 解得 k 3， 选 C. (3)如图 ， ， 同理 ： ， ( )( ) 1， 又 |20 2， 整理得 4( ) 2 3 ， 又 ( 1) ( 1)， ( 1) ( 1)， ( 1)( 1) 23， 整理得 ( ) 23 解 得 56， 故选 C. 【答案】 (1)90 (2)C (3)C 【 规律方法】 (1)三角形法则和平行四边形法则的运用条件 (2)证明三点共线问题 ， 可用向量共线来解决 ， 但应注意向量共线与三点共线的区别与联 - 4 - 系 ， 当两向量共线且有公共点时 ， 才能得出三点共线 (3) ( ， 为实数 )， 若 A、 B、 C 三点共线 ， 则 1. 2 求平面向量的数量积的方法 (1)定义法： a b |a|b| ， 其中 为 向量 a， b 的夹角； (2)坐标法：当 a ( b ( ， a b 创新预测 1 (1)(2014 全国大纲高考 )已知 a、 其夹角为 60 ， 则 (2a b) b ( ) A 1 B 0 C 1 D 2 【解析】 (2a b) b 2a b 2|a| b|0 |b|2 211 12 12 0. 【答案】 B (2)(2014 武汉调研 )如图所示的方格纸中有定点 O， P， Q， E， F， G， H， 则 ( ) 【解析】 以 F 为坐标原点 ， 在直线为 x 轴 ， y 轴建系 ， 假设一个方格长为单位长度 ， 则 F(0,0)， O(3,2)， P(5,0)， Q(4,6)， 则 (2， 2)， (1,4)， 所以 (3,2)， 而 (3,2)， 故 . 【答案】 D 复数的概念及运算 【例 2】 (1)(2013 安徽高考 )设 i 是虚数单位 ， 若复数 a 103 i(a R)是纯虚数 ， 则 ) A 3 B 1 C 1 D 3 (2)(2014 重庆高考 )复平面内表示复数 i(1 2i)的点位于 ( ) A 第一象限 B第二象限 C 第三象限 D第四象限 (3)已知 a， b R， i 是虚数单位 ， 若 a i 与 2 为共轭复数 ， 则 (a ( ) A 5 4i B 5 4i C 3 4i D 3 4i 【解析】 (1)先利用复数的运算法则将复数化为 x yi(x， y R)的形式 ， 再由纯虚数的定义求 a. 因为 a 103 i a a 10 (a 3) i， 由纯虚数的定义 ，知 a 3 0， 所以 a 3. (2)i(1 2i) i 22 i，对应点 (2,1) (3) a i 与 2 为共轭复数 ， a 2， b 1. (a (2 i)2 3 4i， 故选 D. 【答案】 (1)D (2)A (3)D 【规律方法】 复数的概念与运算问题的解题思路： (1)与复数的相关概念和复数的几何意义有关的问题 ， 一般是先变形 ， 把 复数的非代数形 - 5 - 式化为代数形式 ， 然后再根据条件 ， 列方程 (组 )求解 (2)与复数 z 的模 |z|和共轭复数 z 有关的问题 ， 一般都要先设出复数 z 的代数形式 z a bi(a， b R)， 代入条件 ， 用待定系数法解决 (3)在有关复数 z 的等式中 ， 可设出 z a bi(a， b R)， 用待定系数法求解 ， 也可把 创新预测 2 (1)(2014 广东高考 )已知复数 z 满足 (3 4i)z 25， 则 z ( ) A 3 4i B 3 4i C 3 4i D 3 4i 【解析】 z 253 4i 25 3 4i， 故选 D. 【答案】 D (2)(2014 山东济宁二模 )复数 z 为纯虚数 ， 若 (2 i)z a i(i 为虚数单位 )， 则实数 ) A 12 B 2 C 2 解析】 由 (2 i)z a i 得 z a i， z 2a 15 a 25 i. z 为纯虚数 ， 2a 15 0 且 a 25 0 ， a 【答案】 D 程序框图 【例 3】 (1)(2014 福建高考 )阅读右图所示的程序框图 ， 运行相应的程序 ， 输出的 ) A 18 B 20 C 21 D 40 (2)(2014 重庆高考 )执行如图所示的程序框图 ， 若输出 k 的值为 6， 则判断框内可填入的条件是 ( ) A s12 B s35 C s710 D s45 【解析】 (1)第 1 次循环 ： S 0 21 1， 此时 S 315； 终止循环 ， 故选 B. (2)执行程序： k 2， s 0； s 2， k 3； s 5， k 5； s 10， k 9； s 19， k 17，此时不满足条件 k 10， 终止循环 ， 输出结果为 s . 【答案】 (1)B (2)C 【规律方法】 (1)弄清 程序框图的三种基本结构 ， 按指向执行直至结束 (2)关注输出的是哪个量 ， 何时结束 (3)解答循环结构问题时 ， 要写出每一次的结果 ， 防止运行程序不彻底 ， 造成失误 2 循环结构的两点注意： (1)注意区分计数变量与循环变量 (2)注意哪一步结束循环 创新预测 3 (1)(2014 湖北高考 )阅读如图所示的程序框图 ， 运行相应的程序 ， 若输入 n 的值为 9，则输出 S 的值为 _ 【解析】 由题意知 ， s 1 21 2 22 3 23 9 29 1 067. 【答案】 1 067 (2)(2014 河南三市调研 )如图给出的是计算 12 14 1100的值的一个程序框图 ， 则图中判断框内 (1)处和执行框中的 (2)处应填的语句是 ( ) A i100 ， n n 1 B i100， n n 2 C i50， n n 2 D i50 ， n n 2 【解析】 因为 12， 14， ， 1100共 50 个数 ， 所以算法框图应运行 50 次 ， 所以变量 i 应满足 i50， 因为是求偶数的和 ， 所以应使变量 n 满足 n n 2， 故选 C. 【答案】 C 合情推理 - 7 - 【例 4】 (1)(2014 陕西高考 )已知 f(x) x， x0 ， 若 f1(x) f(x)， 1(x)f(fn(x)， n N ， 则 14(x)的表达式为 _ (2)(2014 全国新课标 高考 )甲 、 乙 、 丙三位同学被问到是否去过 A， B， C 三个城市时 ， 甲说：我去过的城市比乙多 ， 但没去过 B 城市； 乙说：我没去过 C 城市； 丙说：我们三人去过同一城市 由此可判断乙去过的城市为 _ 【解析】 (1)f1(x) x； f2(x) f( x)x 2x； f3(x) f( 2x)22x 3x； 猜想： 14(x) 2 014x. (2)由丙可知乙至少去过一个城市 ， 由甲可知甲去过 A、 C 城市 ， 且比乙多 ， 故乙去过一个城市 ， 且没去过 C 城市故乙去过 A 城市 【答案】 (1) 2 014x (2)A 【规律方法】 解决合情推理问题时应注意： (1)运用归纳推理得出一般结论时 ， 要注意从等式 、 不等式的项数 、 次数 、 系数等多个方面进行综合分析 ， 归纳发现其一般结论 (2)若已给出的式子较少 ， 规律不明显时 ， 可多写出几个式子 ， 发现其中的一般结论 (3)进行类比推理时 ， 要充分考虑已知对象性质的推理过程 ， 然后类比推导类比对象的性质 (4)推理关键是找规律 ， 类比推理关键是看共性 创新预测 4 (1)(2014 西安五校联考 )已知 “ 整数对 ” 按如下规律排成一列： (1,1)， (1,2)， (2,1)，(1,3)， (2,2)， (3,1)， (1,4)， (2,3)， (3,2)， (4,1)， ， 则第 60 个 “ 整数对 ” 是 ( ) A (7,5) B (5,7) C (2,10) D (10,1) 【解析】 依题意 ， 把 “ 整数对 ” 的和相同的分为一组 ， 不难得知第 n 组中每个 “ 整数对 ” 的和均为 n 1， 且第 n 组共有 n 个 “ 整数对 ” ， 这样的前 n 组一共有 n n2 个 “ 整数对 ” ， 注意到 2 0， 且 a1 ， 下面正确的运算公式是 ( ) S(x y) S(x)C(y) C(x)S(y)； S(x y) S(x)C(y) C(x)S(y)； 2S(x y) S(x)C(y) C(x)S(y)； - 8 - 2S(x y) S(x)C(y) C(x)S(y) A B C D 【解析】 经验证易知 错误 依题意 ， 注意到 2S(x y) 2(y a x y)， S(x)C(y) C(x)S(y) 2(y a x y)， 因此有 2S(x y) S(x)C(y) C(x)S(y)； 同理 有 2S(x y)S(x)C(y) C(x)S(y) 综上所述 ， 选 B. 【答案】 B 总结提升 通过本节课的学习 ， 需掌握如下三点： 失分盲点 1 (1)向量加减法的三角形法则易混淆 (2)向量减法中 ， 差向量的方向易错 (3)向量数量积的运算法则 、 性质与实数积的性质易混 (4)向量的数量积为正与两向量夹角为锐角不等价 (5)坐标形式下两向量平行与垂直的条件易混 2 (1)遇到 忘记应化为 1. (2)虚数与纯虚数的条件不要弄混 ， 当 b0 时 ， 复数 z a 做虚数；当 a 0 且 b0时 ， z 做纯虚数 (3)要注意 i 的周期性 ， 不要记错 3 识别程序框图有误： 读不懂程序框图的逻辑顺序 ， 混淆处理框与输入框的区别 ， 不能准确把握判断框中的条件 ， 对条件结构中的流向确定不准确 答题指导 1 (1)看到向量的线性运算 ， 想到化归为基向量进行 (2)看到向量的数量积运算 ， 想到求两向量的模和夹角 (3)看到图形中有两条垂直线段 ， 想到建系 ， 利用坐标处理 2 (1)看到复数的分类 ， 想到其实部 、 虚部所满足的条件 (2)看到复数的几何表示 ， 想到其实部 、 虚部分别对应点的横坐标 、 纵坐标 (3)看到复数的运 算 ， 想到复数的加减乘除的运算法则 3 (1)看到循环问题 ， 想到是当型循环还是直到型循环 ， 弄清楚循环的变量和次数 (2)看到循环结构求输出的值 ， 想到把变量值输入 ， 依次计算 方法规律 1 (1)平面向量模的两种求法： 已知坐标和不知道坐标的求法： 设 a ( |a| 或 |a| a a. (2)两种基本方法： 基向量法：利用向量关系式求参数或计算向量的数量积 ， 要先选定基向量 ， 把其他向量都用基向量表示 ， 再进行求 解； 坐标法：当题目条件适宜建系时 ， 可用坐标表示各向量 ， 以简化运算 2 (1)求复数的模：复数的模的求法和向量的模的求法是一样的 (2)复数的乘法：复数的乘法和多项式的乘法是一样的 (3)复数的除法：分子分母同乘以分母的共轭复数 ， 把分母化为实数 (4)i 的周期性： 1 i， 2 1， 3 i， 1. 3 识别 、 运行和完善程序框图的思路： (1)要明确程序框图的顺序结构 、 条件结构 、 循环结构 (2)要识别 、 运行程序框图 ， 理解程序框图所解决的实际问题 (3)按照题目的要求 完成解答并验证 中学数学的推理论证能力是根据已知的事实和已获得的正确数学命题 ， 论证某一数学命题真实性的初步的推理能力一般运用合情推理进行猜想 ， 再运用演绎推理进行证明类比 - 9 - 推理对推理论证能力的提升具有积极意义 ， 尤其对平面到空间的类比而言 ， 一般分为三步：(1)找出两类对象之间可以确切表达的一致性； (2)用 一类对象的性质去推断另一类对象的性质； (3)验证猜想 【典例】 在平面内 ， 三角形的面积为 S， 周长为 C， 则它的内切圆的半径为 r 三棱锥的体积为 V， 表面积为 S， 利用类比推理的方法 ， 可得三棱锥的内切球 (球面与三棱锥的各个面均相切 )的半径 R _. 【解析】 r 2 R 3【答案】 3规律感悟】 本题从三角形的面积关系入手来类比三棱锥 (四面体 )的体积运算 ， 由二维平面类比到三维空 间 ， 必然出现 “ 类比点 ” ：三角形的面积 四面体的体积 、 三角形的周长 四面体的表面积 、 三角形的内切圆 四面体的内切球等 ， 进而类比出结果 ， 由于具有猜测性 ， 需验证其正确性 . 建议用时 实际用时 错题档案 45 分钟 一 、 选择题 1 (2014 江西高考 )z 是 z 的共轭复数 ， 若 z z 2， (z z )i 2(i 为虚数单位 )，则 z ( ) A 1 i B 1 i C 1 i D 1 i 【解析】 设 z a bi(a， b R)由 z z 2， a 1， (z z )i 2， 2b 2， b 1， z 1 i， 故选 D. 【答案】 D 2 (2014 全国新课标 高考 )设向量 a， b 满足 |a b| 10， |a b| 6， 则 a b( ) A 1 B 2 C 3 D 5 【解析】 |a b| 10， |a b| 6， 2a b 10， 2a b 6， 两式相减得： 4a b 4， a b . 【答案】 A 3 (2014 北京高考 )当 m 7， n 3 时 ， 执行如图所示的程序框图 ， 输出的 S 值为 ( ) A 7 B 42 C 210 D 840 【解析】 第一步 ： m n 1 7 3 1 5， S 7， k 6； - 10 - 第二步 ： m n 1 5， S 42， k 5； 第三步 ： m n 1 5， S 210， k 4， 此时 40ab” 类比推出 “ 若 a， b C， 则 a b0ab” 其中类比结论正确的个数是 ( ) A 0 B 1 C 2 D 3 【解析】 正确 ， 错误因为两个复数如果不全是实数 ， 不能比较大小 【答案】 C 7 (2014 大庆质检 )若两个非零向量 a， b 满足 |a b| |a b| 2|a|， 则向量 a b 与a b 的夹角为 ( ) 【解析】 由题意作图 ， 设 b， a， 结合向量的几何意义可知 6 ，故向量 a b 与 a b 的夹角为 与 的夹角 ， 为 23 ， 选 D. 【答案】 D 8. (2013 山东高考 )执行两次如图所示的程序框图 ， 若第一次输入的 a 的值为 - 11 - 第 二次输入的 a 的值为 则第一次 ， 第 二次输出的 a 的值分 别为 ( ) A B C D 解析】 根据输入的 a 的值的不同而执行不同的程序 由题中 程序框图可知：当 a ， 跳出循环故输出结果是 55. 【答案】 55 13 (创新题 )对于命题：若 O 是线段 一点 ， 则有 | | 0. 将它类 比到平面的情形是： 若 O 是 一点 ， 则有 S S S 0， 将它类比到空间的情形应该是：若 O 是四面体 一点 ， 则有 _ 【解析】 将平面中的相关结论类比到空间 ， 通常是将平面中的图形的面积类比为空间中的几何体的体积 ， 因此依题意可知：若 O 为四面体 一点 ， 则有 0. 【答案】 0. 14 若复数 z 1 (a 1)i(a R)是纯虚数 ， 则 1z _ 【解析】 由题意得 1 0，a 10 ， 所以 a 1， 所以1z a11 2i1 2i 1525i， 根据虚部的概念 ， 可得1z 5. 【答案】 25 - 13 - 15 (预测题 )设函数 f(x) 2(x0)， 观察： f1(x) f(x) 2， f2(x) ff1(x) 4， f3(x) ff2(x) 8， f4(x) ff3
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