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高考 数学 一轮 名校 部优 自主 测验 30 打包

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1 2015 届高考数学一轮名校内部优题自主测验 01 一单项选择题。（本部分共 5 道选择题） 1给定函数 y y x 1)， y |x 1|， y 2x 1，其中在区间 (0,1)上单调递减的函数的序号是 ( ) A B C D 解析： y 除 A、 D； y 2x 1为增函数，排除 C，故选 B. 答案： B 2.数列 1， 85， 157 ， 249 ，的一个通项公式是 ( ) A ( 1)n 11(n N ) B ( 1)n 131(n N ) C ( 1)n 121(n N ) D ( 1)n 121(n N ) 解析 观察数列 项，可写成： 1 33 ， 2 45 ， 3 57 ， 4 69 ，故选 D. 答案 D 3与直线 2x y 4 0 平行的抛物线 y ) A 2x y 3 0 B 2x y 3 0 C 2x y 1 0 D 2x y 1 0 2 解析 设切点坐标为 (则切线斜率为 2 由 22 得 1，故切线方程为 y 1 2(x 1)， 即 2x y 1 0. 答案 D 4执行下面的程序框图，如果输入的 N 是 6，那么输出的 p 是 ( ) A 120 B 720 C 1 440 D 5 040 解析 由题意得， p 1 1 1， k 1 6； k 1 1 2， p 1 2 2， k 2 6； k 2 1 3，p 2 3 6， k 3 6； k 3 1 4， p 6 4 24， k 4 6； k 4 1 5， p 24 5 120，k 5 6； k 5 1 6， p 120 6 720， k 6 不小于 6，故输出 p 720. 答案 B 5不等式 x 2y 0 表示的平面区域是 ( ) 解析 将点 (1,0)代入 x 2y 得 1 2 0 1 0. 答案 D 二填空题。（本部分共 2 道填空题） 1三棱锥 ， 面 3，底面 边长为 2 的正三角形，则三棱锥 _ 3 解析 依题意有，三棱锥 体积 V 31S | 31 43 22 3 . 答案 2设函数 f(x) x(1) 21函数 f(x)的单调增区间为 _ 解析：因为 f(x) x(1) 21 所以 f (x) 1 x (1) (x 1) 令 f (x)0，即 (1)(x 1)0，解得 x 1. 所以函数 f(x)的单调增区 间为 ( 1， ) 答案： ( 1， ) 三解答题。（本部分共 1 道解答题） 已知函数 f(x) c，曲线 y f(x)在点 x 1 处的切线为 l： 3x y 1 0，若 x 32时， y f(x)有极值 (1)求 a， b， c 的值； (2)求 y f(x)在 3,1上的最大值和最小值 解析： (1)由 f(x) c， 得 f (x) 32b， 当 x 1 时，切线 l 的斜率为 3，可得 2a b 0. 当 x 32时， y f(x)有极值， 则 f 32 0，可得 4a 3b 4 0. 由解得 a 2， b 4. 由于切点的横坐标为 x 1， f(1) 4， 1 a b c 4， c 5. a 2， b 4， c 5. (2)由 (1)可得 f(x) 24x 5， f (x) 34x 4， 令 f (x) 0，得 2， 32. 当 x 变化时， y、 y的取值及变化如下表： 4 x 3 ( 3， 2) 2 32 32 ， 12 1 y 0 0 y 8 单调递增 13 单调递减 2795 单调递增 4 y f(x)在 3,1上的最大值为 13，最小值为 2795. 1 2015 届高考数学一轮名校内部优题自主测验 10 一。 单项选择题。（本部分共 5 道选择题） 1如图，四棱锥 底面为正方形， 面 下列结论中不正确的是 ( ) A 面 平面 成的角等于 平面 成的角 D 成的角等于 成的角 解析 选项 A 正确，因为 直于平面 平面 ，所以 直于 由 正方形，所以 直于 交，所以， 直于平面 而垂直于 正确，因为 行于 平面 ， 在平面 ，所以 行于平面 正确，设 交点为 O，连接 平面 成的角就是 平面 成的角就是 知这两个角相等选项 D 错误， 成的角等于 成的角是 两个角不相等 答案 D 上的奇函数 满足 ,且在区间 上是增函数 ,则( ) A. B. 2 C. D. 域为 R,所以 ,且函数的图象关于 对称 , 因为函数 在区间 上是增函数 ,所以在 上的函数值非负 ,故 ,所以 , , ,所以 ,故选 D. 答案 D 3已知集合 A (x， y)|x， y 为实数，且 1， B (x， y)|x， y 为实数，且 x y 1，则 A B 的元素个数为 ( ) A 4 B 3 C 2 D 1 解析 法一 (直接法 )集合 A 表示圆，集合 B 表 示一条直线，又圆心 (0,0)到直线 x y 1 的距离 d 21 22 1 r，所以直线与圆相交，故选 C. 法二 (数形结合法 )画图可得，故选 C. 答案 C 4设直线 l 的方程为 x 3 0( R)，则直线 l 的倾斜角 的范围是 ( ) A 0， ) C. 43 43 解析 (直接法或筛选法 )当 0 时，方程变为 x 3 0，其倾斜角为 2 ； 当 0 时，由直线方程可得斜率 k 1 . 3 1,1且 0， k (， 1 1， ) (， 1 1， )， 又 0， )， 2 43 . 综上知，倾斜角的范围是 43 . 答案 C 【点评 】 本题也可以用筛选法取 2 ，即 0 成立，排除 B、 D，再取 0，斜率 1 0 不成立，排除 A. 2， 2,4，共 2 个，所以所求的概率为 31. 答案 B 5设等差数列 前 n 项 和为 11， 6，则当 n 等于( ) A 6 B 7 C 8 D 9 解析 由 11 6，得 5，从而 d 2，所以 11n n(n 1) 12n (n 6)2 36，因此当 n 6. 答案 A 二填空题。（本部分共 2 道填空题） 1. 在锐角 ， a， b， c 分别为角 A， B， C 所对的边，且 a 2，角 C _. 解析 ： 根据正弦定理 ， a c ， 由 a 2， 得 a 3， 23，而角 C 是锐角角 C 3 . 答案： 3 2. 设 a (1,2)， b (2,3)，若向量 a b 与向量 c ( 4， 7)共线，则 _. 解析 a b ( 2,2 3)与 c ( 4， 7)共线， ( 2) ( 7) (2 3) ( 4) 0，解得 2. 答案 2 4 三解答题。（本部分共 1 道解答题） 在数列 ， 1 2n 44(n N*)， 23. (1)求 (2)设 前 n 项和，求 思路分析 由已知条件可推知 n 应分奇数和偶数 解析 (1)由 1 2n 44(n N*)， 2 1 2(n 1) 44. 2 2，又 2 44， 19. 同理得： 21， 17.故 是以 2 为公差的等差数列， a2，是以 2 为公差的等差数列 从而 n 21(n 为偶数 24(n 为奇数 ， (2)当 n 为偶数时， ( ( (1 (2 1 44) (2 3 44) 2 (n 1) 44 21 3 (n 1) 2n 44 222n， 故当 n 22 时， 242. 当 n 为奇数时， ( ( (1 (2 2 44) 2 (n 1) 44 22 4 (n 1) 2n 1 ( 44) 23 2(n 1(n 1 22(n 1) 222n 23. 故当 n 21 或 n 23 时， 243. 综上所述：当 n 为偶数时， 242；当 n 为奇数时， 243. 【点评】 数列中的分类讨论一般有两种：一是对项数 n 的分类；二是对公比 q 的分类，解题时只要细心就可避免失误 . 1 2015届高考数学一轮名校内部优题自主测验 11 一单项选择题。（本部分共 5道选择题） 1若直线 a直线 b，且 a平面，则 ) A一定平行 B不平行 C平行或相交 D平行或在平面内 解析 直线在平 面内的情况不能遗漏，所以正确选项为 D. 答案 D 2若 a 0， b 0，则不等式 b ) A x 0或 0 x B x x x D x x 析 由题意知 a 0， b 0， x 0， (1)当 x 0时， b ax (2)当 x 0时， b ax 综上所述，不等式 b ax x 答案 D 3已知数列 通项公式是 n 11 ，若前 0，则项数 ) A 11 B 99 C 120 D 121 2 解析：通过分母有理化，得出结果为 120,即选择 C 答案为 C 4函数 f(x)的定义域为开区间 (a， b)，导函数 f (x)在 (a， b)内的图象如图所示，则函数f(x)在开区间 (a， b)内有极小值点 ( ) A 1个 B 2个 C 3个 D 4个 答案 A 5已知地铁列车每 10 在车站停车时间 )一班，在车站停 1 乘客到达站台立即乘上车的概率是 ( ) 析 试验的所有结果构成的区域长度为 10 构成事件 故 P(A) 101. 答案 A 二填空 题。（本部分共 2道填空题） 在平行四边形 ， 足为 P，且 = . 答案 18 2. 某学校高一、高二、高三年级的学生人数之比为 ，现用分层抽样的方法从该校高中三个年级的学生中抽取容量为 50 的样本，则应从高二年级抽 取 _名学生 3 解析 根据分层抽样的方法步骤，按照一定比例抽取，样本容量为 ，那么根据题意得：从高三一共可以抽取人数为： 人 . 答案 三解答题。（本部分共 1道解答题） 设 等差数列， 各项都为正数的等比数列，且 1， 21， 13. (1)求 通项公式； (2)求数列 n. 解析 (1)设 公差为 d， 公比为 q，则依题意有 q 0且 1 4d 13，1 2d 21， 解得 q 2， 所以 1 (n 1)d 2n 1， 1 2n 1. (2)2n 12n 1， 1 213 225 2n 22n 3 2n 12n 1， 22 3 25 2n 32n 3 2n 22n 1. ，得 2 2 22 222 2n 22 2n 12n 1 2 2 2n 21 2n 12n 1 2 2 21 2n 12n 1 6 2n 12n 3. 1 2015 届高考数学一轮名校内部优题自主测验 12 一单项选择题。（本部分共 5 道选择题） ） A、若两条直线和同一个平面所成的角相等，则这两条直线平行 B、若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等，则这两个平面平行 C、若一条直线平行于两个相交平面，则这条直线与这两个平面的交线平行 D、若两个平面都垂 直于第三个平面，则这两个平面平行 答案 C 5函数 f(x) 3x 单调递减区间是 ( ) A (， 23 B 23， ) C ( 1， 23 D 23， 4) 解析： 由 4 3x 得，函数 f(x)的定义域是 ( 1， 4)， u(x) 3x 4 (x 23)2 425的减区间为 23， 4)， e1，函数 f(x)的单调减区间为 23， 4) 答案： D 3. 1 与 1 两数的等比中项是 ( ) 2 A 1 B 1 C 1 析：设等比中项为 x， 则 ( 1)( 1) 1，即 x 1. 答案： C 4设 a， b 满足 2a 3b 6， a0， b0，则 ) D 4 解析 由 a0， b0,2a 3b 6 得 3a 2b 1， (3a 2b) 32 23 613 2 613 2 625. 当且 仅当 a 3b 6，即 a b 56时等号成立 即 25. 答案 A 5直线 l： 4x 3y 2 0 关于点 A(1,1)对称的直线方程为 ( ) A 4x 3y 4 0 B 4x 3y 12 0 C 4x 3y 4 0 D 4x 3y 12 0 解析 在对称直线上任取一点 P(x， y)， 则点 P 关于点 A 对称的点 P (x， y )必在直线 l 上 由 y y 2，x x 2， 得 P (2 x,2 y)， 4(2 x) 3(2 y) 2 0，即 4x 3y 12 0. 答案 B 二填空题。（本部分共 2 道填空题） 1. 顶点坐标为 A(1,0)， B(0,2)， O(0,0)， P(x， y)是坐标平面内一点，满足 0， 0，则 _ 3 解析 (x 1， y) (1,0) x 1 0， x 1， x 1， (x， y 2) (0,2) 2(y 2) 0， y 2. (x， y) ( 1,2) 2y x 3. 答案 3 2函数 y _ 解析 本题考查复合函数单调区间的确定；据题意需满足 1 x0 即函数定义域为 ( 1,1)，原函数的递增区间即为函数 u(x) 1 1,1)上的递增区间，由于 u (x) (1 x)(1 u(x) 1 1,1)即为原函数的递增区间 三解答题。（本部分共 1 道解答题） 已知中心在原点，焦点在 x 轴上的椭圆 C 的离心率为 21，且经过点 (1)求椭圆 C 的方程； (2)是否存在过点 P(2,1)的直线 相交于不同的两点 A， B，满足 存在，求出直线 不存在，请说明理 由 解析 (1)设椭圆 C 的方程为 1(a b 0)， 由题意得 解得 4， 3. 故椭圆 C 的方程为 431. (2)假设存在直线 满足条件的方程为 y k1(x 2) 1，代入椭圆C 的方程得， (3 481)x 16168 相交于不同的两点 A， B， 设 A， B 两点的坐标分别为 ( ( 所以 81)2 4(3 416168) 32(63) 0， 所以 21. 又 12， 12， 4 因为 即 (2)(2) (1)(1) 45， 所以 (2) (2)(1 | 45. 即 2( 4(1 45. 所以 42 (1 12 45，解得 21. 因为 21，所以 21. 于是存在直线 方程为 y 21x. 【点评】 解决解析几何中的探索性问题的一般步骤为： ,第一步：假设结论成立 .,第二步：以存在为条件，进行推理求解 .,第三步：明确规范结论，若能推出合理结果，经验证成立即可肯定正确 否定假设 .,第四步：回顾检验本题不能忽略 0 这一隐含条件。 1 2015 届高考数学一轮名校内部优题自主测验 13 一。 单项选择题。（本部分共 5 道选择题） 1设 m、 n 表示不同直线， 、 表示不同平面，则下列结论中正确的是 ( ) A若 m ， m n，则 n B若 m ， n ， m ， n ，则 C若 ， m ， m n，则 n D若 ， m ， n m， n ，则 n 解析 A 选项不正确， n 还有可能在平面 内， B 选项不正确，平面 还有可能与平面 相交，C 选项不正确， n 也有可能在平面 内，选项 D 正确 答案 D 2函数 f(x) x 0， x 3a， a 1)是 R 上的减函数，则 a 的取值范围是 ( ) A (0,1) B 31， 1) C (0， 31 D (0， 32 解析：据单调性定义， f(x)为减函数应满足： 3a a1， 即 31 a1. 答案： B 3若数列 通项公式是 ( 1)n(3n 2)，则 ( ) A 15 B 12 C 12 D 15 2 解析 设 3n 2，则数列 以 1 为首项， 3 为公差的等差数列，所以 ( ( ( ( ( 5 3 15. 答案 A ( ) A. B. C. D. 解析 因为 , 都小于 1 且大于 0,故排除 C,D;又因为 都是以 4 为底的对数 ,真数大 ,函数值也大 ,所以 ,故选 B. 答案 B 5分别以正方形 四条边为直径画半圆，重叠部分如图中阴影区域所示，若向该正方形内随机投一点，则该点落在阴影区域的概率为 ( ) A. 24 B. 2 2 C. 44 D. 4 2 解析 设正方形边长为 2，阴影区域的面积的一半等于半径为 1 的圆减去圆内接正方形的面积，即为 2，则阴影区域的面积为 2 4，所以所求概率为 P 42 4 2 2. 答案 B 二填空题。（本部分共 2 道填空题） 1. 在长为 12线段 任取一点 C. 现作一矩形，邻边长分别等于线段 B 的长，则该矩形面积大于 20_ 解析 设线段 长为 线段 长为 ( )么矩形的面积为 ，解得 。又 ，所以该矩形面积小于 32故选 C. 3 答案 2若等边 边长为 2，平面内一点 M 满足 6132 _. 解析 (构造法 )等边三角形的边长为 2， 如图建立直角坐标系， (， 3)， 2. 答案 2(， 3)， 613225. (0,3) 25 21. 21 21 【点评】 本题构造直角坐标系，通过坐标运算容易理解和运算 三解答题。（本部分共 1 道解答题） 已知向量 m ， 1x ， n 4x. (1)若 m n 1，求 值； (2)记 f(x) m n，在 ，角 A， B， C 的对边分别是 a， b， c，且满足 (2a c) ，求函数 f(A)的取值范围 解析 (1)m n x x x 23x 2 21， m n 1， 21. 1 2 21， 4 21. (2) (2a c) ， 由正弦定理得 (2 ) ， 2 . 2 C) A B C ， C) 0. 21， 0 B ， B 3 ， 0 A 32 . 6 2A 6 2 ， ， 11 . 又 f(x) 21. f(A) 21. 故函数 f(A)的取值范围是 23. 1 2015 届高考数学一轮名校内部优题自主测验 14 一单项选择题。（本部分共 5 道选择题） 1. a、 b、 c 为三条不重合的直线，、为三个不重合的平面，现给出四个命题 c a ca a a 其中正确的命题是 ( ) A B C D 解析 正确错在与可能相交错在 a 可能在内 答案 C 2设函数 y f(x)在 (， )内 有定义，对于给定的正数 K，定义函数 fK(x)K， f(x K，f(x， f(x K， 取函数 f(x) 2 |x|，当 K 21时，函数 fK(x)的单调递增区间为 ( ) A (， 0) B (0， ) C (， 1) D (1， ) 解析 x) 21 x) ， 1 x 2 x)的图象如上图所示，因此 x)的单调递增区间为 (， 1) 答案 C 3设 任意等比数列，它的前 n 项和，前 2n 项和与前 3n 项和分别为 X， Y， Z，则下列等式中恒成立的是 ( ) A X Z 2Y B Y(Y X) Z(Z X) C D Y(Y X) X(Z X) 解析 (特例法 )取等比数列 1,2,4，令 n 1 得 X 1， Y 3， Z 7 代入验算，选 D. 答案 D ba1，则下列不等式成立的是 ( ) A ab B b a0 C 2b2a2 D a2 解析：取 a 21， b 31验证可得 答案： C 5 三个内角成等差数列，且 ( 0，则 定是 ( ) A等腰直角三角形 B非等腰直角三角形 C等边三角形 D钝角三角形 解析 的中线又是 的高，故 等腰三角形，又 A， B， C 成等差数列，故 B 3 . 答案 C 二填空题。（本部分共 2 道填空题） 1在区间 0,1上任取两个数 a， b，则关于 x 的方程 20 有实数根的概率为_ 解析 由题意得 440， 3 a， b 0,1， a b. a b，0 b 1， 画出该不 等式组表示的可行域 (如图中阴影部分所示 )故所求 概率等于三角形面积与正方形面积之比，即所求概率为 21. 答案 21 2如下图，在杨辉三角形中，从上往下数共有 n(n N*)行，在这些数中非 1 的数字之和是_ 1 1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 解析 所有数字之和 20 2 22 2n 1 2n 1， 除掉 1 的和 2n 1 (2n 1) 2n 2n. 答案 2n 2n 三解答题。（本部分共 1 道解答题） 6已知双曲线的中心在原点，焦点 心率为，且过点 (4， ) (1)求双曲线 方程； (2)若点 M(3， m)在双曲线上，求证： 0； (3)求 解析 (1) e，设双曲线方程为 . 又双曲线过 (4， )点， 16 10 6， 双曲线方程为 6. 4 (2)证明 法一 由 (1)知 a b， c 2， 2， 0)， ， 0)， 3m， 3m， 9 12 3又点 (3， m)在双曲线上， 3， 1， 0. 法二 ( 3 2， m)， (2 3， m)， (3 2)(3 2) 3 M 在双曲线上， 9 6， 3， 0. (3) 4，且 |m|， S 21 | |m| 21 4 6. 1 2015 届高考数学一轮名校内部优题自主测验 15 一 单项选择题。（本部分共 5 道选择题） 1设 m， n 是平面 内的两条不同直线； 内的两条相交直线，则 的一个充分而不必要条件是 ( ) A m 且 B m n m 且 n D m 且 n 析 对于选项 A，不合题意；对于选项 B，由于 且由 m 可得 ，同理可得 故可得 ，充分性成立，而由 不一定能得到 m，它们也可以异面，故必要性不成立，故选 B；对于选项 C，由于 m， n 不一定相交，故是必要非充分条件；对于选项 D，由 n n ，同选项 C，故不符合题意，综上选 B. 答案 B f(x)在区间 0， )单调增加，则满足 f(2x 1) x 的取值范围是 ( ) 析 f(x)是偶函数，其图象关于 y 轴对称，又 f(x)在 0， )上递增， f(2x 1) 2x 1| 3131 x . 答案 A 3数列 121， 341， 581， 7161 ，的前 n 项和 ) 2 A 1 2n 11 B 2 2 1 2 D 2 2n 11 解析 由题意知已知数列的通项为 2n 1 2 则 2n(1 2n 1 21 1 2答案 C 4设 实数 x， y 满足不等式组 x 0， y y 70， 若 x， y 为整数，则 3x 4y 的最小值是 ( ) A 14 B 16 C 17 D 19 解析 线性区域边界上的整点为 (3,1)，因此最符合条件的整点可能为 (4,1)或 (3,2)，对于点(4,1)， 3x 4y 3 4 4 1 16；对于点 (3,2)， 3x 4y 3 3 4 2 17，因此 3x 43 子， 豆子落在正方形内切圆的上半圆 (圆中阴影部分 )中的概率是 ( ) D. 8 解析 设正方形的边长为 2，则豆子落在正方形内切圆的上半圆中的概率 为 4 12 8 . 答案 D y 的最小值为 16. 答案 B 二填空题。（本部分共 2 道填空题） 1在平面直角坐标系中，若不等式组 y 1 0x 1 0， (a 为常数 )所表示的平面区域内的面积等于 2，则 a 的值为 _ 解析 等式组 x 1 0x y 1 0， 表示的区域为图中阴影部分 又因为 y 1 0 恒过定点 (0,1)， 当 a 0 时，不等式组 y 1 1 0， 所表示的平面区域的面积为 21，不合题意；当 时所围成的区域为三角形，其面积为 S 21 1 (a 1) 2，解之得 a 3. 3 答案 3 2设函数 f(x) 3x 1(x R)，若对于任意 x 1,1，都有 f(x) 0 成立，则实数a 的值为 _ 解析 (构造法 )若 x 0，则不论 a 取何值， f(x) 0 显然成立； 当 x 0，即 x (0,1时， f(x) 3x 1 0 可化为 a g(x) 则 g(x) 2x， 所以 g(x)在区间 21上单调递增，在区间 ， 11 上单调递减， 因此 g(x)4，从而 a 4. 当 x 0，即 x 1,0)时，同理 a g(x)在区间 1,0)上单调递增， g(x)g( 1) 4，从 而 a 4，综上可知 a 4. 答案 4 三解答题。（本部分共 1 道解答题） 已知：圆 C： 8y 12 0，直线 l： y 2a 0. (1)当 a 为何值时，直线 l 与圆 C 相切； (2)当直线 l 与圆 C 相交于 A、 B 两点，且 2 时，求直线 l 的方程 解析 将圆 C 的方程 8y 12 0 配方得标准方程为 (y 4)2 4，则此圆的圆心为(0,4)，半径为 2. (1)若直线 l 与圆 C 相切，则有 1|4 2a| a 43. (2)过圆心 C 作 根据题意和圆的性质， 得 得 a 7 或 a 1. 故所求直线方程为 7x y 14 0 或 x y 2 0. 成两解 . 1 2015 届高考数学一轮名校内部优题自主测验 16 一单项选择题。（本部分共 5 道选择题） 1. 如图，在底面 M 是 a， b， c 则下列向量中与 相等的向量是 ( ) A 21a 21b c 21b c 21b c D 21a 21b c 解析 21a 21b c. 答案 A 2若 x 0， y 0，且 x 2y 1，那么 2x 3 ) A 2 D 0 解析 由 x 0， y 0 x 1 2y 0 知 0 y 21 t 2x 32 4y 33322 32 在 21上递减，当 y 21时， t 取到最小值， 43. 答案 B 2 f(x)是定义在 R 上的偶函数，并满足 f(x 2) f(当 1 x 2 时， f(x) x 2，则 f( ( ) A B D 析 f(x 2) f( f(x 4) f(x 2) 2 f(x 21 f(x)， f(x)周期为 4， f( f(8) f( f( 2 答案 D 4函数 y f(x)与函数 y g(x)的图象如图 则函数 y f(x) g(x)的图象可能是 ( ) 解析 从 f(x)、 g(x)的图象可知它们分别为偶函数、奇函数，故 f(x) g(x)是奇函数，排除B 项又 g(x)在 x 0 处无意义，故 f(x) g(x)在 x 0 处无意义，排除 C、 D 两项 答案 A 5已知整数按如下规律排成一列： (1,1)， (1,2)， (2,1)， (1,3)， (2,2)， (3,1)， (1,4)，(2,3)， (3,2)， (4,1)，则第 60 个数对是 ( ) A (5,5) B (5,6) C (5,7) D (5,8) 解析 按规律分组 第一组 (1,1) 第二组 (1,2)， (2,1) 第三组 (1,3)， (2,2)， (3,1) 则前 10 组共有 210 11 55 个有序实数对 第 60 项应在第 11 组中即 (1,11)， (2,10)， (3,9)， (4,8)， (5,7)， ， (11,1)因此第 60项为 (5,7) 答案 C 3 二填空题。（本部分共 2 道填空题） 1若关于 x 的不等式 21x (21)n 0 对任意 n N*在 x (， 上恒成立，则实常数 的取值范围是 _ 解析 由题意得 21x (21) 21， x 21或 x 1. 又 x (， ， (， 1 答案 (， 1 2已知 135 ，且 是第二象限的角，则 ) _. 解析 由 是第二象限的角，得 1312， 512，则 ) 512. 答案 512 三解答题。（本部分共 1 道解答题） 已知等差数列 前 n 项和为 5， 225. (1)求数列 通项公式； (2)设 22n，求数列 前 n 项和 解析： (1)设等差数列 首项为 差为 d， 由题意，得 d 225，15 14 解得 d 2，1， 2n 1. (2) 22n 21 4n 2n， 21(4 42 4n) 2(1 2 n) 64n 1 4 n 32 4n n 32. 1 2015届高考数学一轮名校内部优题自主测验 17 一 单项选择题。（本部分共 5道选择题） ， ,则 的前 5 项和 =( ) 解析 . 答案 B 2若函数 y f(x)可导，则“ f (x) 0有实根”是“ f(x)有极值”的 ( ) A必要不充分条件 B充分不必要条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 答案 A 3不等式 x 1x 2 0的解集是 ( ) A (， 1) ( 1,2 B ( 1,2 C (， 1) 2， ) D 1,2 解析 x 1x 2 0 x 1 0(x 1(x 2 0， x 1， 1 x 2， x ( 1,2 答案 B 4设 a， ，为两个平面，则下列结论成立的是 ( ) A若 a， b，且 a b，则 2 B若 a， b，且 a b，则 C若 a， b，则 a b D若 a， b，则 a b 解析 分别在两个相交平面内且和交线平行的两条直线也是平行线，故选项 A 的结论不成立；任意两个相交平面，在一个平面内垂直于交线的直线， 必然垂直于另一个平面内与交线平行的直线，故选项 直线与平面平行时，只有经过这条直线的平面和已知平面的交线及与交线平行的直线与这条直线平行，其余的直线和这条直线不平行，故选项 据直线与平面垂直的性质定理知，选项 确选项D. 答案 D 5若 a， b， c为空间的一组基底，则下列各项中，能构成基底的一组向量是 ( ) A a， a b， a b B b， a b， a b C c， a b， a b D a b， a b， a 2b 解析 若 c、 a b、 a b 共面，则 c (a b) m(a b) ( m)a ( m)b，则 a、 b、c 为共面向量，此与 a， b， c为空间向量的一组基底矛盾，故 c， a b， a b 可构成空间向量的一组基底 答案 C 二填空题。（本部分共 2道填空题） 1有一质地均匀的正四面体，它的四个面上分别标有 1,2,3,4 四个数字现将它连续抛掷3 次，其底面落于桌面，记三次在正四面体底面的数字和为 S，则“ S 恰好为 4”的概率为_ 解析 本题是一道古典概型问题用有序实数对 (a， b， c)来记连续抛掷 3次所得的 3个 数字，总事件中含 4 4 4 64个基本事件，取 S a b c，事件“ ”中包含了 (1,1,2)，(1,2,1)， (2,1,1)三个基本事件，则 P() 643. 答案 643 2设 5161 的左、右焦点， P 为椭圆上一点， M 是 中点， | 3，则 _ 3 解析 由题意知 | 21| 3， | 6. | 2 5 6 4. 答案 4 三解答题。（本部分共 1道解答题） 设椭圆方程为 41，过点 M(0,1)的直线 l 交椭圆于 A， B 两点， O 为坐标原点，点 21(点 1，当直线 旋转时，求： (1)动点 (2)|最大值，最小值 解析 (1)直线 (0,1)，设其斜率为 k，则 l 的方程为 y 1. 设 A( B(由题意知， A、 标满足方程组 消去 4 k2)23 0. 则 412(4 0. 4 4 3 . 设 P(x， y)是 中点，则 21(得 ；4 2去 y 0. 当斜率 满足这个方程， 故 y 0. (2)由 (1)知 4212 41 41 x 41 而 | 212 212 212 41 16 3612 127， 当 x 61时， |得最大值 621， 当 x 41时， |得最小值 41. 1 2015 届高考数学一轮名校内部优题自主测验 18 一单项选择题。（本部分共 5 道选择题） 1若 m、 n 是两条不同的直线， 、 是两个不同的平面，则下列命题 不 正确的是 ( ) A若 ， m ，则 m B若 m n， m ，则 n C若 m ， m ，则 D若 m，且 n 与 、 所成的角相等，则 m n 解析 容易 判定选项 A、 B、 C 都正确，对于选项 D，当直线 m 与 n 平行时，直线 n 与两平面 、 所成的角也相等，均为 0，故 D 不正确 答案 D 则 的定义域为 ( ) A. B. C. D. 解析 答案： C 2 3过圆 1 上一点作圆的切线与 x 轴、 y 轴的正半轴交于 A、 B 两点，则 |最小值为 ( ) A. B. C 2 D 3 解析 设圆上的点为 (其中 ， ，则切线方程为 1. 分别令 x 0， y 0 得 A( 0)， B(0， | 21 0 2. 答案 C 4函数 y 3x与 y 3 ) A x 轴对称 B y 轴对称 C直线 y x 对称 D原点中心对称 解析：由 y 3 y 3 x， (x， y)可知关于原点中 心对称 答案： D 5已知 a 0， b 0， a b 2，则 y ) B 4 D 5 解析 依题意得 21b4(a b) 212129，当且 仅当 b，即 a 32， b 34时取等号，即 9，选 C. 答案 C 二填空题。（本部分共 2 道填空题） 1已知 81，且 4 2 ，则 的值是 _ 解析 ( )2 1 2 43， 又 4 2 ， . 23. 答 案 23 2已知数列 等差数列， n 项和， 4， 21， 9，则 k _. 3 解析： 2d 4， d 2， 10d 21 20 1， k 2k(k 1 2 9.又 k N*，故 k 3. 答案： 3 三解答题。（本部分共 1 道解答题） 已知 f(x) 1. (1)求 f(x)的单调增区间； (2)若 f(x)在定义域 R 内单调递增，求 a 的取值范围 解析： (1) f(x) 1， f (x) a. 令 f (x)0，得 exa， 当 a 0 时，有 f (x)0 在 R 上恒成立； 当 a0 时，有 x ln a. 综上，当 a 0 时， f(x)的单调增区间为 (， )； 当 a0 时， f(x)的单调增区间为 ln a， ) (2)由 (1)知 f (x) a. f(x)在 R 上单调递增， f (x) a 0 恒成立， 即 a x R 恒成立 x R 时， (0， )， a 0. 即 a 的取值范围为 (， 0 1 2015 届高考数学一轮名校内部优题自主测验 19 一单项选择题。（本部分共 5 道选择题） 1下面四个正方体图形中， A， B 为正方体的两个顶点， M， N， P 分别为其所在棱的中点，能得出 面 图形是 ( ) A B C D 解析 由线面平行的判定定理知图可得出 面 答案 A 2在 R 上定义运算： a b 2a b，则满足 x (x 2) 0 的实数 x 的取值范围为 ( ) A (0,2) B ( 2,1) C (， 2) (1， ) D ( 1,2) 解析 根据给出的定义得 x (x 2) x(x 2) 2x (x 2) x 2 (x 2)(x 1)，又x (x 2) 0，则 (x 2)(x 1) 0，故这个不等式的解集是 ( 2,1) 答案 B 3 长方形， 2， 1， O 为 中点，在长方形 随机取一点，取到的点到 O 的距离大于 1 的概率为 ( ) B 1 4 D 1 8 2 解析 如图，要使图中点到 O 的距离大于 1， 则该点需取在图中阴影部分 ，故概率为 P 2 1 4 . 答案 B 图象经过点 (2,4),则 的解析式为 ( ) A. B. C. D. 答案 B 5已知点 P 是抛物线 2x 上的 一个动点，则点 P 到点 (0,2)的距离与 P 到该抛物线准线的距离之和的最小值为 ( ) B 3 C. 析 依题设 P 在抛物线准线的投影为 P，抛物线的焦点为 F，则 F， 01 到该抛物线准线的距离为 | |则点 P 到点 A(0,2)的距离与 P 到该抛物线准线的距离之和 d | | | 2 221 217. 答案 A 二填空题。（本部分共 2 道填空题） 1在等比数列 ，若公比 q 4，且前 3 项之和等于 21，则该数列的通项公式 _. 解析 由题意知 41621，解得 1， 所以数列 通项公式 4n 1. 答案 4n 1 2已知 为第二象限角，则 _. 解析：原式 1 1 0. 答案： 0 三解答