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高三文科数学大题小练 1：三角函数及解三角形（教师版） ) s i n ( ) ( 0 , 0 , 0 )f x A x k A 的最大值是 3 ， 最小值是1 ，且 () ， 并且函数 () （ 1）求 () （ 2）已知 , (0, )2，且 11()25f ， 37()2 13f ， 求 ()2f 的值 【解析】 （ 1） ()最大值是 3 ，最小值是 1 ， 31 ，解得 21()最小正周期为 ， 2 ，即 2 ， ( ) 2 s i n ( 2 ) 1f x x ()偶函数 ， ( ) ( )44 ， 2 s i n ( ) 1 2 s i n ( ) 122 ， ，即 而 0 ，2，故 ( ) 2 s i n ( 2 ) 1 2 c o s 2 12f x x x （ 2） 11()25f ， 112 c o s 15 ，即 337()2 13f ， 372 c o s 1 13 ，即 123 ， (0, )2 ， 234s i n 1 ( )55 ， 21 2 5s i n 1 ( )1 3 1 3 3 1 2 4 5 5 6c o s ( ) c o s c o s s i n s i n 5 1 3 5 1 3 6 5 5 6 1 7 7( ) 2 c o s ( ) 1 2 12 6 5 6 5f 2. 函数 ( ) s i n ( )f x A x( 0 , 0 , 0 )A 的部分图象如图所示， （ 1）求函数 ()y f x 的解析表达式； （ 2）求函 数 ()零点 ； （ 3）若 , 24 2x ，求 函 数 () 【解析】（ 1）由已知，得 3A 函数 ()7()3 1 2 6T 2 ，即 2 由图象，知 7( ) 312f ， 73 s i n ( ) 36 ，即 ) 16 0 ， 62 ，即 3 所以 函数 ()y f x 的解析表达式为 ( ) 3 s i n ( 2 )3f x x （ 2）因为 的递减区间为 3 2 , 2 ( )22k k k Z ，所以 令 32 2 2 ,2 3 2k x k k Z ，得 7 ,1 2 1 2k x k k Z 所以函数 () , ( )1 2 1 2k k k Z 令 ( ) 0，得 s 2 ) 03x ， 2,3x k k Z ，即 1 ,26x k k Z 所以函数 () ()26k k Z （ 3） , 2 4 2x ， 42 , 3 4 3x 当 232x ，即12x 时，m a x( ) 3 s i n 32； 当 4233x ，即2x 时，m i 3( ) 3 s i n 32 3 s i n , 3 ) ， 2 1( c o s , c o s )2b x x， ()f x a b （ 1）求函数 ()最小正周期 ； （ 2）利用“五点法”作图画出函数 ()一个周期内的简图 ； （ 3） 将函数 ()的图象 【解析】（ 1） 2 1( ) 3 s i n c o s 3 ( c o s )2f x x x x 33s i n 2 c o s 2 3 s i n ( 2 )2 2 6 所以，函数 ()最小正周期为 22T （ 2）列表 x 1265122311122 6x 02 322 3 s 2 )6x 03 0 3 0 一个周期内的图象如下 （ 3）由（ 1）得 ( ) 3 s i n ( 2 )6f x x 法 )单位， 得到函数 3 的图象，再将其图象横坐标扩大到原来的 2 倍（纵坐标不变）就得到了 函数 的图象 法 2. 先将函数 ()图象横坐标扩大到原来的 2 倍（纵坐标不变）就得到了 函数3 s i n ( )6，再将其图象向右平移 6 个单位就得到了 函数 的图象 ) 3 s i n ( 2 )6f x x ， 的内角 A 、 B 、 C 的对边分别为 a 、 b 、 c ，23()2 6 3， 5 ( ) ( )2 6 2 1 2 (1)求 证： s c o ； (2) 求 (3)若 2a ，求 的面积 【解析】 (1) 23()2 6 3, 233 s i n 2 ( ) 2 6 6 3A ,即 2 0 A ，得 2 51 c o s i n. 5 ( ) ( )2 6 2 1 2 ， 1 5 s i n 2 ( ) 3 s i n 2 ( ) 2 6 6 2 1 2 6 5 s i n ( ) s i B ，即 5 c o s s i n s i n ( ) s i n c o s c o s s i A C A C A C 525 c o s c o s s i C ,即 s c o ， C (2)由 (1)得， ta n 5 0C ， 得 02C ， C， C 由22s i n 5 c o ss i n c o s 1， 得30 ， 于是 30s i n 5 c o . （ 3） 由 2a 及正弦定理 得 3c . 所以 面积为 1 1 3 0 5s i n 2 32 2 6 2a c B 高三文科数学大题小练 2：统计及其概率（教师版） 1. 根据下面频率分布直方图 (如图所示 )估计样本数据的中位数、众数分别为 A B 13, C 3 D 14,析 中位数是位于中间的数，故中位数是 13，众数是 位数把图形的面积一分为二 答案 B 0 名学生，现要采取系统抽样的方法在这 50 名学生中抽出 10 名学生，将这 50名学生随机编号 1 50 号，并分组，第一组 1 5 号，第二组 6 10 号，第十组 46 50号若在第三组中抽得号码为 12 的学生，则在第八组中抽得号码为 _的学生 解析 由于组距为 5， 所以所抽号码为 (8 3) 5 12 37. 答案 37 “ 优秀、合格、尚待改进 ” 三个等级进行学生互评某校高一年级有男生 500 人，女生 400 人，为了了解性别对该维度测评结果的影响，采用分层抽样方法从高一年级抽取了 45 名学生的测评结果，并作出频数统计表如下： 表 1：男生 表 2：女生 等级 优秀 合格 尚待改进 等级 优秀 合格 尚待改进 频数 15 x 5 频数 15 3 y （ 1）从表二的非优秀学生中随机选取 2 人交谈，求所选 2 人中恰有 1 人测评等级为合格的概率； （ 2）由表中统计数据填写下边 22 列联表， 能否在犯错误的概率不超过 前提下认为 “ 测评结果优秀与性别有关 ” ； 男生 女生 总计 优秀 非优秀 总计 参考数据与公式： 22 ()( ) ( ) ( ) ( )n a d b b c d a c b d ，其中 n a b c d 临界值表： 解析：（ 1）设从高一年级男生中抽出 m 人，则 455 0 0 5 0 0 4 0 0m ， 25m ， 21820,52025 （ 2 分） 表 2 中非优秀学生共 5 人，记测评等级为合格的 3 人为 , ，尚待改进的 2 人为 , 则从这 5 人中任选 2 人的所有可能结果为：( , ) , ( , ) , ( , ) , ( , ) , ( , ) , ( , ) , ( , ) , ( , ) , ( , ) , ( , )a b a c b c A B a A a B b A b B c A c B，共 10 种（ 4 分） 设事件 C 表示 “ 从表二的非优秀学生 5 人中随机选取 2 人，恰有 1 人测评等级为合格 ” ， 则 C 的结果为： ( , ) , ( , ) , ( , ) , ( , ) , ( , ) , ( , )a A a B b A b B c A c B，共 6 种 （ 6 分） 53106)( 故所求概率为53 （ 8 分） （ 2） （ 10 分） 1 ， 2( 2 . 7 0 6 ) 0 . 1 0， 而 7 0 154520251530 )1015515(452222 K， （ 12 分） 所以 在 犯错误的概率不超过 前提下 不能 认为 “ 测评结果优秀与性别有关 ” （ 14分 ） 机抽取 n 个，其重量（单位：克）的频数分布表如下： 分组（重量） 80, 85) 85, 90) 90, 95) 95 ,100) 频数（个） 10 50 x 15 2 0()P K k 男生 女生 总计 优秀 15 15 30 非优秀 10 5 15 总计 25 20 45 分组 频数 频率 20,40 40,60 60,80 2014 年 11 月份 据频率分布 表 20 频率组距 40 0 80 100 120 140 2013 年 11 月份 据频率分布直方图 图 4 2014 年 11 月份 据频率分布直方图 频率组距 已知从 n 个草莓 中随机抽取一个，抽到重量在 90, 95) 的草莓的概率为194。 （ 1） 求出 n ， x 的值； （ 2）用分层抽样的方法从重量在 80, 85) 和 95 ,100) 的草莓中共抽取 5 个， 再从这 5 个草莓中任取 2 个，求重量在 80, 85) 和 95 ,100) 中各有 1 个的概率 。 解： （ 1） 依题意可得，从而得 95,20 .4 分 （ 2）若采用分层抽样的方法从重量在 80, 85) 和 95 ,100) 的草莓中共抽取 5 个，则重量在 80, 85) 的个数为 10 521 0 1 5 ；记 为 x ， y ， . 5 分 在 95 ,100) 的个数为 351510 15 ；记为 a ， b ， c ， . 6 分 从抽出的 5 个草莓中，任取 2 个共有 ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , )( , )， ( , ) ( , ) ( , ) ( , )10 种情况 8 分 其中符合 “ 重量在 80, 85) 和 95 ,100) 中各有一个 ” 的情况共有 ( , ) ( , )( , ) ( , ) ( , ) ( , )6 种 10 分 设事 件 A 表示 “ 抽出的 5 个草莓中，任取 2 个，重量在 80, 85) 和 95 ,100) 中各有一个 ” ，则 63()1 0 5 . 答：从抽出的 5 个草莓中，任取 2 个，重量在 80, 85) 和 95 ,100) 中各有一个的概率为35 . . 5 某地区 “ 腾笼换鸟 ” 的政策促进了区内环境改善和产业转型 ,空气质量也有所改观 ,现从当地天气网站上收集该地区近两年 11月份 (30 天 )的空气质量指数 (单位 : 3g/m )资料如下 : () 请填好 2014 年 11月份 据的 频率分布表 并完成 频率分布直方图 ； 2014 年 11 月份 据 日期 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 9 55 52 87 124 72 65 26 46 48 日期 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 8 36 63 78 89 97 74 78 90 117 日期 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 37 139 77 63 63 77 64 65 55 45 表 1 20 40 0 80 100 120 140 图 5 100 120 频率组距 20 40 0 80 140 2014 年 11 月份 据频率 分 布 直 方图 分组 频数 频率 20,40 2 151 40,60 7 307 60,80 12 52 80,100 5 61 100,120 1 301 120,140 3 101 2014 年 11 月份 据频率分布 表 () 该地区环保部门 2014 年 12 月 1 日发布的 11月份环评报告中声称该地区 “ 比去年同期空气质量的优良率提高了 20 多个百分点 ”( 当 00 时 ,空气质量为优良 ) 【 解析 】 () 频率分布表 (3 分 )；频率分布直方图 (6 分 ) () 支持 ,理由如下 : 2013 年 11月的优良率为 : 1 1 92 0 0 . 0 0 5 0 . 0 0 5 0 . 0 1 5 0 . 0 1 03 3 0 , 8分 2014 年 11月的优良率为 :3026, 9 分 因此 2 6 1 9 7 2 3 . 3 % 2 0 %3 0 3 0 3 0 11 分 所 以 数据 信 息 可支 持 “ 比 去年 同期 空气 质量 的 优良 率提 高了 20 多个百分点 ”.12 分 高三文科数学大题小练 3：含参数函数的单调性的问题 1. 已知函数 3211( ) ( 1 ) ( 2 1 ) 332f x x a x a a x )( 函数)( 【解析】 函数)()， 2( ) ( 1 ) ( 2 1 ) ( 2 1 ) ( )f x x a x a a x a x a 令( 0，得1，2 21（ 1）当 21 ，即 13a时， 21) ( ) 03f ，此时 (), )是增函数； （ 2）当 21 ，即 13a时， 令( ) 0 ，得 21或 ；令( ) 0 ，得 21a x a 所以， () 1, ) 和 ( , )a 上单调递增， ()( ,2 1)上单调递减 ； （ 3）当 21 ，即 13a时， 令( ) 0 ，得 或 21；令( ) 0 ，得 21a x a 所以， (), )和 ( , 2 1)a 上单调递增， ()(2 1, )上单调递减； 综上所述： 当 13a时， () 1,a 和 ( , )a ， 递 减 区间为( ,2 1)； 当13时， ()0( ；当 13a时， (), )a 和 ( , 2 1)a ，递减区间为(2 1, )2. 设函数 3211( ) 232f x x x a x a ，讨函数 ()【解析】由已知，得 () 3211( ) 232f x x x a x a ， 2( ) 2f x x x a ， ( ) 0 的判别式 18a （ 1）当 0 ，即 18a 时， 2211( ) ( ) 042f x x x x ，此时 () , ) 上是增函数； （ 2）当 0 ，即 18a时， 211( ) ( ) 2 024f x x a 恒成立， 此时 () , ) 上是增函数； （ 3）当 0 ，即 18a时， 令 ( ) 0 ，解得11 1 82 ，21 1 82 ，并且 12 ； 令 ( ) 0 ，解得 1 1 82 或 1 1 82 ； 令 ( ) 0 ，解得 1 1 8 1 1 822 . 此时 () 1 8( , )2 a 上是增函数，在 1 1 8 1 1 8( , )22 上是减函数，在 1 1 8( , )2 a 上是增函数 . 综上所述，当 18a时， () , ) 上是增函数；当 18a时， () 8( , )2 a 上是增函数，在 1 1 8 1 1 8( , )22 上是减函数，在1 1 8( , )2 a 上是增函数 . 3. 已知函数 1( ) l n ( )f x a x x a ，讨论 () 【解析】 由已知，得 0x ， ()0, ) 22211( ) 1a x a x x x ，设 2( ) 1g x x a x 则 令 ( ) 0 ，得 ( ) 0，其判别式 2 4 ( 2 ) ( 2 )a a a （ 1）当 0 ，即 2a 时， 22222 1 ( 1 )( ) 0x x ，此时 ()0, )上是增函数； （ 2）当 0 ，即 22a 时， ( ) 0恒成立，此时 ()0, ) 上是增函数； （ 3）当 0 ，即 2a 或 2a 时， 令 ( ) 0，解得， 2142 ， 2242 ； 当 2a 时， 214 02 ， 224 02 ， 0xQ ， ( ) 0，此时 ()0, ) 上是增函数 当 2a 时， 214 02 ， 224 02 ，因为 0x 令 ( ) 0 ，解得 2 42 ；令 ( ) 0，解得 2 402 . 此时 () 4( 0 , )2 上是减函数，在 2 4( , )2 上是增函数 . 综上所述，当 2a 时， () (0, ) 上是增函数；当 2a 时， ()2 4( 0 , )2 上是减函数，在 2 4( , )2 上是增函数 . 4. 已知函数21( ) ( 2 1 ) 1 )2f x a a x x a x )( R求 函数)( 【解析】 函数)， 2 ( 1 ) ( 2 1 ) ( 2 1 ) ( )() x a x a a x a x 令( ) 0 ，得1，2 21由于 0x ，所以 （ 1） 当 即 13a时，21()3( ) 0 ，此时，)(0上单 调递增； （ 2） 当 即 13a时 ， 当02 1 013 即 0a 时 令( ) 0，得 21 ；令( ) 0，得 0 2 1 即 () 1, )a 上单调递增， ()(0,2 1)a上单调递减 . 当02 1 013 即 1 03 a 时 , 令( ) 0 ，得 21或 0 ；令( ) 0 ，得 21a x a 即 () 1, )a 和 (0, )a 上单调递增， ()( ,2 1)上单调递减 (3)当21即 13a时， 当02 1 013 即 12a时 令( ) 0，得 ；令( ) 0，得 0 即 (), )a 上单调递增， ()(0 )a上单调递减 . 当02 1 013 即 1123a 时 , 令( ) 0 ，得 x 或 0 2 1 ；令( ) 0 ，得 21a x a 即 (), ) 和 (0 , 2 1)a 上单调递增， ()(2 1, )上单调递减 综上所述： 当 12a时， (), )a ， 递 减 区间为(0, )a； 当 1123a 时，(), )a 和 (0 , 2 1)a ， 递 减 区间为(2 1, )； 当13a时，()递增区间为),( ； 当 1 03 a 时， ()递增区间为(2 1, )a 和(0, )a ，递减区间为( ,2 1)当 0a 时， (), )a ，递减区间为(0, )a；当0函数)( 1, ) ，单调递减区间为( ,2 1)a. 高三文科数学大题小练 4：立体几何及数列 1. 如图 1，直角梯形 ， 90 ， E、 F 分别为 的点，且 D 224 起成如图 2 的形状，使 (1)求证： 面 (2)求四棱锥 D 体积 解析 (1)证明 F， E， 平面 平面 又 平面 平面 (2)取 中点 H，连接 面 又 平面 2， 3. 平面 则四棱锥 D 体积 V 13 322 4 33 . 2. 如图 5，已知 中， 9 0 , 1B C D B C C D ， 6， 平面 E 、 F 分别是 中点 （ 1）求证：平面 平面 （ 2）设平面 面 l ，求证 /CD l ； （ 3）求四棱锥 体积 V 图 5 解 ： （ 1）证明： 面 平面 D 又 D ， C B ， 平面 又 E、 F 分别是 中点， / D 面 平面 平面 面 （ 2） ， 平面 平面 /面 又 平面 平面 面 l /CD l （ 3）解法 1：由（ 1） 知 1 ,4 14B 3 3 14 4 4B A C D A B C D B C V S A B 1 1 61 1 6 8 解法 2：取 点 G，连结 面 平面 由（ 1）知 面 F E B C F B C V 1133E B C B C F S F G 1 6 1 1 1 6 6113 4 2 3 2 2 8 . 3. 已知n 项和， 3 ( 1 )n a n n （ *），且2 12a （ 1） 求1 （ 2）求 数列 （ 3）求证：121 1 1 13 S （ 4）求和： 1226 6 6 解：（ 1）由2 1 2 22 3 2 ( 2 1 )S a a a 和2 可得1 6a， （ 2）解法 1：当 2n 时，由1n n S 得13 ( 1 ) ( 1 ) 3 ( 1 ) ( 2 )n n na n a n n n a n n ， 1( 1 ) ( 1 ) 6 ( 1 )a n a n 1 6 ( 2 , )a n n N 数列 a，公差为 6 的等差数列，1 6 ( 1 ) 6na a n n （ 3）证明：由（ 2）知 1() 3 ( 1 )2 nn n a aS n n 1 1 1 1 1()3 ( 1 ) 3 1nS n n n n 121 1 1 1 1 1 1 1 1 (1 ) ( ) ( ) 3 2 2 3 1 S n n 1 1 1(1 )3 1 3n （ 4）166 6 6nn n na ，设 1226 6 6 nn ，则 0 1 2 11 2 3 06 6 6 6 1 2 3 11 1 2 3 106 6 6 6 6 6 由 ，得 215 1 1 116 6 6 6 6 4. 已知数列 a，1 3nn a ， 求（ 1）求证： 数列 112是等比数列； （ 2）求数列 （ 3）若数 n 项和为证： 113n 【解析】 （ 1） 1 3nn a ，11131 ， 11 1 1 13 ( )22 ，即1112 3112 数列 112是等比数列，它的首项11 1 322a ，公比为 3q （ 2）由（ 1） 知， 数列 112是等比数列 其中，它的首项11 1 322a ，公比为 3q 11 1 3 332 2 2 ， 11 3 1 3 132 2 2 231n （ 3）由（ 2）得， 223 1 3n 1 2 3a a a a 2321( 1 )2 2 2 2 133 113 3 3 3 313 从而 ，有 113n 高三文科数学大题小练 5：数列及解析几何（教师版） 1. 已知各项均为正数的数列 n 项和满足 1， 6 ( 1 ) ( 2 )n n nS a a （ 1）求1；（ 2） 求 数列 （ 3）求证：1 2 2 3 11 1 1 16a a a a a 【解析】（ 1） 6 ( 1 ) ( 2 )n n nS a a ， * 由1 1 1 16 6 ( 1 ) ( 2 )a S a a ，解得1 1a或1 2a， 111， 1 2a. （ 2）1 1 1 111( 1 ) ( 2 ) ( 1 ) ( 2 )66n n n n n n S a a a a ， 1 3， 或1， 0， 1 3， 2 为首项， 公差为 3 的等差数列， 1 （ 3）11 1 1 1 1()( 3 1 ) ( 3 2 ) 3 3 1 3 2a n n n n 1 2 2 3 11 1 1a a a a a 1 1 1 1 1 1 1 1 1( ) ( ) ( )3 2 5 3 5 8 3 3 1 3 2 1 1 1 1 1 1()3 2 3 2 6 3 ( 3 2 ) 6 从而，有1 2 2 3 11 1 1 16a a a a a 2. 已知数列 1 a ， 21 2n n na a a （ 1）求证：数列 ) 等比数列 ，并求 数 列 （ 2）求证： 2112(1 ) (1 ) (1 ) 3 a a 【解析】（ 1） 21 2n n na a a ， 21 1 ( 1 ) ， 两边取对数得1l g (1 ) 2 l g (1 ) ， 11 ) 21 ) ， ) 以1 ) a为首项，以 2 为公比的等比数列， 112l g (1 ) 2 l g 3 l g 3 ， 1213， 1231. （ 2）由（ 1），得 数列 ) 等 是 以1 ) a为首项，以 2 为公比的等比数 ，所以其前 n 项和为 l g 3 (1 2 ) ( 2 1 ) l g 312n 而1 2 1 2l g ( 1 ) l g ( 1 ) l g ( 1 ) l g ( 1 ) ( 1 ) ( 1 ) n n nS a a a a a a 2112l g ( 1 ) ( 1 ) ( 1 ) ( 2 1 ) l g 3 l g ( 3 )a a 从而，有 2112(1 ) (1 ) (1 ) 3 a a 3. 已知 ( 1, 0)A ， (1,0)B ，直线 交于点 M ，且它们的斜率之积为 2 （ 1）求点 M 的轨迹方程，并判断轨迹的形状 （ 2）若 ( 3 , 0)F ，点 M 到直线