2015年高考数学试题分项版解析 专题1-16 理（含解析）（打包16套）
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2015年高考数学试题分项版解析 专题1-16 理（含解析）（打包16套）,年高,数学试题,分项版,解析,专题,16,打包
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专题 01 集合与常用逻辑用语 1.【 2015高考四川，理 1】设集合 | ( 1 ) ( 2 ) 0 A x x x ，集合 | 1 3B x x ，则 （ ） ( ) | 1 3A x x ( ) | 1 1B x x ( ) | 1 2C x x ( ) | 2 3D x x 【答案】 A 【解析】 | 1 2 , | 1 3 , | 1 3 A x x B x x A B x x ，选 A. 【考点定位】集合的基本运算 . 【名师点睛】集合的概念及运算一直是高考的热点，几乎是 每年必考内容，属于容易题 数的定义域值域考查，解题的关键是结合韦恩图或数轴解答 . 2.【 2015高考广东，理 1】 若集合 | ( 4 ) ( 1 ) 0 M x x x= + + =， | ( 4 ) ( 1 ) 0 N x x x= - - =，则 （ ） A B 1, 4 C 0 D 1,4 【答案】 A 【解析】因为 | 4 1 0 4 , 1M x x x ， | 4 1 0 1, 4N x x x ，所以 ，故选 A 【考点定位】一元二次方程的解集，集合的基本运算 . 【名师点睛】本题主要 考查 一元二次方程的解集，有限集合的交集运算和运算求解能力 ，属于容易题 3.【 2015高考新课标 1，理 3】设命题 p ： 2,2 n ，则 p 为 ( ) （ A） 2,2 n （ B） 2,2 n （ C） 2,2 n （ D） 2, = 2 n 【答案】 C 【解析】 p : 2,2 n ，故选 C. 【考点定位】本题主要考查特称命题的否定 【名师点睛】全称命题的否定与特称命题 的否定是高考考查的重点，对特称命题的否定，将存在换成任意，后边变为其否定形式，注意全称命题与特称命题否定的书写，是常规题，很好考查了学生对双基的掌握程度 . 4.【 2015高考陕西，理 1】 设集合 2 | M x x x， | N x x，则 （ ） A 0,1 B (0,1 C 0,1) D ( ,1 【答案】 A 【解析】 2 0 , 1x x x ， l g 0 0 1x x x x ，所以 0,1 ，故选 A 【考点定位】 1、一元二次方程； 2、对数不等式； 3、集合的并集运算 【名师点晴】本题主要考查的是一元二次方程、对数不等式和集合的并集运 算，属于容易题解题时要看清 楚是求“ ”还是求“ ”和要注意对数的真数大于 0 ，否则很容易出现错误 5.【 2015高考湖北，理 5】设12, , , na a a R， 3n . 若 p：12, , , na a q： 2 2 2 2 2 2 21 2 1 2 3 1 2 2 3 1( ) ( ) ( )n n n na a a a a a a a a a a a ，则（ ） A p是 不是 B p是 不是 C p是 D 不是 【答案】 A 【考点定位】等比数列的判定，柯西不等式，充分条件与必要条件 . 【名师 点睛】 判断 p是 要从两方面分析：一是由条件 q，二是由条件 借助集合思想把抽象、复杂问题形象化、直观化外，还可利用原命题和逆否命题、逆命题和否命题的等价性，转化为判断它的等价命题 6.【 2015高考天津，理 4】设 ，则 “ 21x ” 是 “ 2 20 ” 的 ( ) （ A）充分而不必要条件 （ B）必要而不充分条件 （ C）充要条件 （ D）既不充分也不必要 条件 【答案】 A 【解析】 2 1 1 2 1 1 3x x x , 2 2 0 2x x x 或 1x ，所以 “ 21x ” 是 “ 2 20 ” 的充分不必要条件，故选 A. 【考点定位】不等式解法与充分条件、必要条件 . 【名师点睛】本题主要考查不等式的解法、 充分条件与必要条件相关问题， 将含绝对值不等式与一元二次不等式和解法、充分条件、必要条件、充要条件相关的问题联系在起来，体现综合应用数学知识解决问题的能力，是基础题 7.【 2015高考重庆，理 1】已知集合 A= 1,2,3 ,B= 2,3 ，则（ ） A、 A=B B、 A B= C、 D、 【答案】 D 【解析】由于 2 , 2 , 3 , 3 , 1 , 1A B A B A B ，故 A、 B、 D. 【考点定位】本题考查子集的概念，考查学生对基础知识的掌握程度 . 【名师点晴】 考查集合的关系，涉及集合的相等 集等概念，是送分题 . 8.【 2015高考福建，理 1】若集合 234, , ,A i i i i （ i 是虚数单位）， 1, 1B ，则 于 ( ) A 1 B 1 C 1, 1 D 【答案】 C 【解析】由已知得 , 1, ,1A i i ，故 1, 1 ，故选 C 【考点定位】 1、复 数的概念； 2、集合的运算 【名师点睛】本题考查复数的概念和集合的运算，利用 2 1i 和交集的定义求解，属于基础题，要注意运算准确度 9.【 2015高考重庆，理 4】 “ 1x ” 是 “12lo g ( 2 ) 0x ” 的（ ） A、充要条件 B、充分不必要条件 C、必要不充分条件 D、既不充分也不必要条件 【答案】 B 【解析】12l o g ( 2 ) 0 2 1 1x x x ，因此选 B. 【考点定位】充分必要条件 . 【名师点晴】 本题把 充分必要条件与对数不等式结合在一起，既考查了对数函数的性质，又考查了充分必要条件的判断，从本题可知我们可能 用集合的观点看充分条件、必要条件 ： A x|p， B x|q， (1)如果 A B，那么 p 是 q 的充分不必要条件 ； (2)如果 B A，那么 p 是 q 的必要不充分条件 ； (3)如果 A B，那么 p 是 q 的充要条件 ； (4)如果 ，且 ，那么 p 是 q 的既不充分也不必要条件 本题易错点在于解对数不等式时没有考虑对数的定 义域 . 10.【 2015高考新课标 2，理 1】已知集合 2 1, 0 1, 2A ， ， ， ( 1 ) ( 2 0B x x x ,则 （ ） A 1,0A B 0,1 C 1,0,1 D 0,1,2 【答案】 A 【解析】由已知得 21B x x ，故 1, 0 ，故选 A 【考点定位】集合的运算 【名师点睛】本题考查一元二次不等式解法和集合运算，要求运算准确，属于基础题 11.【 2015高考天津，理 1】已知全集 1, 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8U ，集合 2,3,5, 6A ，集合 1, 3, 4, 6, 7B ，则集合( ) （ A） 2,5 （ B） 3,6 （ C） 2,5,6 （ D） 2,3,5,6,8 【答案】 A 【解析】 2,5,8U B ,所以 2 , 5，故选 A. 【考点定位】集合的运算 . 【名师点睛】本题主要考查集合的运算，涉及全集、补集、交集相关概念和求补集、交集的运算 ,是基础题 . 12.【 2015高考安徽，理 3】设 : 1 2 , : 2 1xp x q ，则 p 是 q 成立的（ ） （ A）充分不必要条件 （ B） 必要不充分条件 （ C）充分必要条件 （ D）既不充分也不必要条件 【答案】 A 【考点定位】 【名师点睛】对于指对数运算问题，需要记住常见的等式关系，如 011 2 , 2 2 , 1 l o g , 0 l o g 1 ，进而转化成同底的问题进行计算；充要关系的判断问题，可以分为由“ :1 2 ”推证“ :0”以及由“ :0”推证“ :1 2 ” . 13.【 2015高考山东，理 1】已知集合 2 4 3 0A x x x ， 24B x x ,则 （ ） （ A）（ 1， 3） （ B）（ 1， 4） （ C）（ 2， 3） （ D）（ 2， 4） 【答案】 C 【解析】因为 2 4 3 0 1 3A x x x x x ， 所以 1 3 2 4 2 3A B x x x x x x C. 【考点定位】 1、一元二次不等式； 2、集合的运算 . 【名师点睛】本题考查集合的概念与运算，利用解一元二次不等式的解法化简集合并求两集合的交集，本题属基础题，要求学生最基本的算运求解能力 . 14.【 2015高考浙江，理 4】命题 “ *, ( )n N f n N 且 ()f n n 的否定 形式是（ ） A. *, ( )n N f n N 且 ()f n n B. *, ( )n N f n N 或 ()f n n C. *00, ( )n N f n N 且00()f n nD. *00, ( )n N f n N 或00()f n n【答案】 D. 【解析】根据全称命题的否定是特称命题，可知选 D. 【考点定 位】命题的否定 【名师点睛】本题主要考查了全称命题的否 定等知识点，属于容易题， 全称 (存在性 )命题的否定与一般命题的否定有着一定的区别，全称 (存在性 )命题的否定是将其全称量词改为存在量词 (或把存在量词 改为全称量词 )，并把结论否定；而一般命题的否定则是直接否定结论即可 ，全称量词与特称量词的意义，是今年考试说明中新增的内容，在后续的复习时应予以关注 . 15.【 2015高考浙江，理 1】已知集合 2 2 0P x x x ， 1 2Q x x ，则 ()（ ） A.0,1) B. (0,2 C. (1,2) D. 1,2 【答案】 C. 【解 析】由题意得， )2,0( ( ) (1, 2 )R ，故选 C. 【考点定位】 【名师点睛】本题主要考查了解一元二次不等式，求集合的补集与交集，属于容易 题，在解题过程中要注意在求补集与交集时要考虑端点是否可以取到，这是一个易错点，同时将不等式与集合融合，体现了知识点之间的交汇 . 16.【 2015高考山东，理 12】若 “ 0 , , t a x m ” 是真命题，则实数 m 的最小值为 . 【答案】 1 【考点定位】 1、命题； 2、正切函数的性质 . 【名师点睛】本题涉及到全称命题、正切函数的性质、不等式恒成立问题 等多个知识点，意在考查学生综合利用所学知识 解决问题的能力，注意等价转化的思想的应用，此题属中档题 . 17.【 2015高考 江苏， 1】已知集合 3,2,1A ， 5,4,2B ，则集合 中元素的个数为 _. 【答案】 5 【解析】 1 2 3 2 4 5 1 2 3 4 5 ， ， ， ， ， ， ， ， ，,，则集合 中元素的个数为 5个 . 【考点定位】集合运算 【名师点晴】 研究集合问题，一定要抓住元素，看元素应满足的属性 集合的关系时，关键是将两集合的关系转化为元素间的关系 ，本题实质求满足属于集合 的元素的个数 . 本题需 注意检验集合的元素是否满足互异性 ，否则容易出错 18.【 2015高考湖南，理 2】 ， B 是两个集合，则“ A B A ”是“ ”的（ ） 【答案】 C. 【解析】 试题分析：由题意得， A B A A B ，反之， ，故为充要条件，选 C. 【考点定位】 【名师点睛】本题主要考查了集合的关系与充分必要条件，属于容易题，高考强调集合作为工具与其他知 识点的结合，解题的关键是利用韦恩图或者数轴 求解，充分，必要条件的判断性问题首要分清条件 和结论，然后找出条 件和结论之间的推出或包含关系 . 19.【 2015 高考上海，理 1】 设全集 若集合 1,2,3, 4 ， 23 ，则U 【答案】 1,4 【解析】 因为 | 3 2 x x x 或，所以 4,1 B 【考点定位】 集合运算 【 名师点睛 】研究集合问题，一定要抓住元素，看元素应满足的属性 集合的关系时，关键是将两集合的关系转化为元素间的关系 ，本题实质求满足属于集合 A 或不属于集合 B 的元素的集合 . 本题需 注意 两集合一个是有限集，一个是无限集，按有限集逐一验证为妥 专题 02 函数 1.【 2015高考福建，理 2】下列函数为奇函数的是 ( ) A B C D e e 【答案】 D 【解析】函数 是非奇非偶函数； 和 是偶函数； e e 是奇函数，故选 D 【考点定位】函数的奇偶性 【名师点睛】本题考查函数的奇偶性，除了要掌握奇偶性定义外，还要深刻理解其定义域特征即定义域关于原点对称，否则即使满足定义，但是不具有奇偶性，属于基础题 2.【 2015高考广东，理 3】 下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是 （ ） A BC12 D 21 【答案】 A 【解析】 记 xf x x e ，则 11 ， 111 ，那么 11 ， 11 ，所以 xy x e 既不是奇函数也不是偶函数，依题可知 B 、 C 、 D 依次是奇函数、偶函数、偶函数，故选 A 【 考点定位 】函数的奇偶性判断 【名师点睛】本题主要 考查 函数的奇偶性判断和常见函数性质问题 ， 但既不是奇函数，也不是偶函数的判断可能较不熟悉，容易无从下手，因此可从熟悉的奇偶性函数进行判断排除，依题易知 B 、 C 、 D 是奇偶函数，排除得出答案， 属于容易题 3.【 2015高考湖北，理 6】已知符号函 数 1, 0 ,sg n 0 , 0 ,1, 0 () 上的增函数， ( ) ( ) ( ) ( 1 )g x f x f a x a ，则（ ） A ( ) x x B sg n ( ) sg ng x x C s g n ( ) s g n ( )g x f x D s g n ( ) s g n ( ) g x f x 【答案】 B 【解析】因为 () 上的增函数，令 )( ，所以 1()( ，因为 1a ，所以 )( R 上的减函数，由符号函数 1, 0sg n 0 , 01, 0知， 1 , 0s g n ( ) 0 , 0 s g 0xg x x . 【考点定位】 符号函数，函数的单调性 . 【名师点睛】 构造法数求解高中数学问题常用方法，在选择题、填空题及解答题中都用到，特别是求解在选择题、填空题构造恰当的函数，根据已知能快捷的得到答案 . 4.【 2015高考安徽，理 2】下列函数中，既是偶函数又存在零 点的是（ ） （ A） y （ B） y （ C） y （ D） 2 1 【答 案】 A 【考点定位】 【名师点睛】函数的性质问题以及函数零点问题是高考的高频考点，考生需要对初高中阶段学习的十几种初等函数的单调性、奇偶性、周期性以及对称性非常熟悉；另外， 函数零点的几种等价形式：函数( ) ( )y f x g x有零点 函数 ( ) ( )y f x g x在 x 轴有交点 方程 ( ) ( ) 0f x g x有根 函数()y f x 与 ()y g x 有交点 . 5.【 2015高考四川，理 8】 设 a， 的正数，则 “ 3 3 3” 是 “ 的 （ ） （ A） 充要条件 （ B）充 分不必要条件 （ C）必要不充分条件 （ D）既不充分也不必要条件 【答案】 B 【解析】 若 3 3 3，则 1，从而有 故为充分条件 . 若 一定有 1，比如 . 1 ,33，从而 3 3 3不成立 . 【考点定位】 命题与逻辑 . 【名师点睛】充分性必要性的判断问题，首先是分清条件和结论，然后考察条件推结论，结论推条件是否成立 角、不等式等数学知识结合起来考 . 6.【 2015高考北京，理 7】 如图，函数 则不等式 2lo g 1f x x 的解集是（ ） A BO 22 | 1 0 B | 1 1 C | 1 1 D | 1 2 【答案】 C 【解析】如图所示，把函数2图象向左平移一个单位得到2l o g ( 1)的图象 1x 时两图象相交，不等式的解为11x ，用集合表示解集选 C 【 考点定位 】 本题考查作基本函数图象和函数图象变换及利用函数图象解不等式等有关知识，体现了数形结合思想 . 【名师点睛】本题考查作基本函数图象和函数图象变换及利用函数图象解不等式等有关知识，本题属于基础题，首先是函数图象平移变换，把2 x 轴向左平移 2个单位，得到22)的图象，要求正确画出画出图象，利用数形结合写 出不等式的解集 . 7.【 2015 高考天津，理 7】已知定义在 R 上的函数 21 （ m 为实数）为偶函数，记 0 . 5 2( l o g 3 ) , l o g 5 , 2a f b f c f m ，则 ,大小关系为 ( ) （ A） （ B） a c b （ C） c a b （ D） c b a 【答案】 C 【解析】 因为函数 21为偶函数，所以 0m ，即 21，所以 2 21l o g l o g 330 . 5 21( l o g 3 ) l o g 2 1 2 1 3 1 2 ,3a f f 2l o g 5 02l o g 5 2 1 4 , 2 ( 0 ) 2 1 0b f c f m f 所以 c a b ，故选 C. 【考点定位】 数式的运算 . 【名师点睛】本题主要考查函数的奇偶性与指数、对数的运算问题，先由函数奇偶性知识求出 m 的值，计算出相应的 ,值比较大小即可，是中档题 . 其中计算 a 的值时易错 . 8.【 2015高考浙江，理 7】存在函 数 ()任意 都有（ ） A. ( ) x x B. 2(s )f x x x C. 2( 1) 1f x x D. 2( 2 ) 1f x x x 【答案】 D. 【考点定位】函数的概念 【名师点睛】本题主要考查了函数的概念，以及全称量词与存在量词的意义，属于较难题，全称量词与存在量词是考试说明新增的内容，在后续复习时应予以关注，同时，“存在”，“任意”等一些抽象的用词是高等数学中经常会涉及的，也体现了从高中数学到大学高等数学的过渡，解题过程中需对函数概念的本质理解到位，同时也考查了举反例的数学思想 . 9.【 2015高考安徽，理 9】 函数 2a x 的图象如图所示 ，则下列结论成立的是（ ） （ A） 0a ， 0b ， 0c （ B） 0a ， 0b ， 0c （ C） 0a ， 0b ， 0c （ D） 0a ， 0b ， 0c 【答案】 C 【解析】 由 2a x 及图象可知， ， 0c ，则 0c ；当 0x 时，2(0) 0bf c，所以0b ；当 0y ， 0ax b ，所以 0 ，所以 0a a ， 0b ， 0c ，选 C. 【考点定位】 【名师点睛】函数图象的分析判断主要依据两点：一是根据函数的性质，如函数的奇偶性、单调性、值域、定义域等；二是根据特殊点的函数值，采用排除的方法得出正确的选项 解析式判断其定义域，并在图形中判断出来，另外，根据特殊点的位置能够判断 ,关系 . 10.【 2015高考天津，理 8】已知函数 22 , 2 ,2 , 2 , 函数 2g x b f x ，其中 ，若函数 y f x g x 恰有 4个零点，则 b 的取值范围是 ( ) （ A） 7,4（ B） 7,4（ C） 70,4（ D） 7,24【答案】 D 【解析】 由 22 , 2 ,2 , 2 , 得22 2 , 0( 2 ),0 ， 所以222 , 0( ) ( 2 ) 4 2 , 0 22 2 ( 2 ) , 2x x xy f x f x x x xx x x ， 即222 , 0( ) ( 2 ) 2 , 0 25 8 , 2x x xy f x f x xx x x ( ) ( ) ( ) ( 2 )y f x g x f x f x b ,所以 y f x g x恰有 4个零点等价于方程 ( ) ( 2 ) 0f x f x b 有 4个不同的解，即函数 与函数 ( ) ( 2 )y f x f x 的图象的 4个公共点，由图象可知 7 24 b. 8642246815 10 5 5 10 15【考点定位】 求函数解析、函数与方程思、数形结合 . 【名师点睛】 本题主要考查求函数解 析、函数与方程思、数形结合思想以及学生的作图能力 数零点、方程的解等知识结合在一起，利用等价转换、数形结合思想等方法，体现数学思想与方法，考查学生的运算能力、动手作图能力以及观察能力 11.【 2015高考山东，理 10】设函数 3 1 , 1 ,2 , 1 则满足 2 f a 的 a 取值范围是（ ） （ A） 2,13（ B） 0,1 （ C） 2,3（ D） 1, 【答案】 C 【考点定位】 1、分段函数； 2、指数函数 . 【名师点睛】本题以分段函数为切入点，深入考查了学生对函数概念的理解 与掌握，同时也考查了学生对指数函数性质的理解与运用，渗透着对不等式的考查，是一个多知识点的综合题 . 12.【 2015高考新课标 2，理 10】 如图，长方形 边 2， 1， O 是 中点，点 P 沿着边 动， 记 x 将动 P 到 A 、 B 两点距离之和表示为 x 的函数 ()()y f x 的图像大致为 （ ） (D)(C)(B)(A)23 4223 42423 4223 424案】 B 【解析】由已知得，当点 P 在 上运动时，即 04x 时， 2t a n 4 t a P B x x ；当点 D 边上运动时，即 3 ,4 4 2 时， 2211( 1 ) 1 ( 1 ) 1t a n t a P B ，当2x 时， 22P A P B ；当点 P 在 上运动时，即 34 x 时， 2t a n 4 t a P B x x ，从点 P 的运动过程可以看出，轨迹关于直线2x 对称，且 ( ) ( )42，且轨迹非线型，故 选 B 【考点定位】函数的图象和性质 【名师点睛】本题考查函数的图像与性质，表面看觉得很难，但是如果认真审题，读懂题意，通过点 P 的运动轨迹来判断图像的对称性以及特殊点函数值的比较，也可较容易找到答案，属于中档题 13.【 2015高考新课标 2，理 5】 设函数 211 l o g ( 2 ) , 1 ,()2 , 1 , ,2( 2 ) ( lo g 1 2 ) ( ) A 3 B 6 C 9 D 12 【答案】 C 【解析】由已知得2( 2 ) 1 l o g 4 3f ，又22 1，所以 22l o g 1 2 1 l o g 62( l o g 1 2 ) 2 2 6f ，故2( 2 ) ( l o g 1 2 ) 9 ，故选 C 【考点定位】分段函数 【名师点睛】本题考查分段函数求值，要明确自变量属于哪个区间以及熟练掌握对数运算法则， 属于基础D P C B O A x 题 14.【 2015高考新课标 1，理 13】 若函数 f(x)= 2 )x x a x为偶函数，则 a= 【答案】 1 【 考点定位 】函数的奇偶性 【名师点睛】本题主要考查已知函数奇偶性求参数值问题，常用特值法，如函数是奇函数，在 x=0 处有意义，常用 f(x)=0,求参数，否则用其他特值，利用特值法可以减少运算 . 15.【 2015高考浙江，理 12】若4a ，则 22 【答案】 334. 【解析】 3a ， 3234 33431322 【考点定位】对数的计算 【名师点睛】本题主要考查对数的计算，属于容易题，根据条件中的对数式将其等价 转化为指数式，变形 即可求解，对数是一个相对抽象的概念，在解题时可以转化为相对具体的指数式，利用指数的运算性质求 解 . 13.【 2015高考湖南，理 15】已知 32,(),x x x a ，若存在实数 b ，使函数 ( ) ( )g x f x b有两个零点，则 a 的取值范围 是 . 【答案】 ),1()0,( . 【解析】 试题分析：分析题意可知，问题等价于方程 )(3 与方程 )(2 的根的个数和为 2 ， 若两个方程各有一个根：则可知关于 b 的不等式组 23a b a ，从而 1a ； 若方程 )(3 无解，方程 )(2 有 2个根：则可知关于 b 的不等式组解，从而 0a ，综上，实数 a 的取值范围是 ),1()0,( . 【考点定 位】 【名师点睛】本题主要考查了函数的零点，函数与方程等知识点，属于较难题，表面上是函数的零点问题，实际上是将问题等价转化为不等式组有解的问题，结合函数与方程思想和转化思想求解函数综合问题，将函数的零点问题巧妙的转化为不等式组有解的参数，从而得到关于参数 a 的不等式，此题是创新题，区别于其他函数与方程问题数形结合转化为函数图象交点的解法，从另一个层面将问题进行转化，综合考查学生的逻辑推理能力 . 16.【 2015高考四川，理 15】 已知函数 )( ， 2)( （其中 ） 1,设2121 )()( xx ，2121 )()( xx （ 1）对于任意不相等的实数 21,都有 0m ； （ 2）对于任意的 1,都有 0n ； （ 3）对于任意的 a，存在不相等的实数 21,使得 ； （ 4）对于任意的 a，存在不相等的实数 21,使得 . 其中的真命题有 （写出所有真命题的序号） . 【答案】 【解析】 设1 1 2 2 1 1 2 2( , ( ) ) , ( , ( ) ) , ( , ( ) ) , ( , ( ) )A x f x B x f x C x g x D x g x. 对（ 1），从 2的图象可看出， 0恒成立，故正确 . 对（ 2），直线 斜率可为负，即 0n ，故不正确 . 对（ 3），由 m= 1 2( ) ( ) ( ) ( )f x f x g x g x ，即1 1 2 2( ) ( ) ( ) ( )f x g x f x g x . 令 2( ) ( ) ( ) 2 xh x f x g x x a x ，则 ( ) 2 2xh x x a . 由 ( ) 0 得： 2 2x ，作出 2 , 2xy y x a 的图象知，方程 2 2x 不一定有解，所 以 () 对于任意的 a，不一定存在不相等的实数 21,使得12( ) ( )h x h x，即不 一定存在不相等的实数 21,使得 对（ 4）， 由 m= 2 1( ) ( ) ( ) ( )f x f x g x g x ，即1 1 2 2( ) ( ) ( ) ( )f x g x f x g x . 令 2( ) ( ) ( ) 2 xh x f x g x x a x ，则 ( ) 2 2xh x x a . 由 ( ) 0 得： 2 2x ，作出 2 , 2xy y x a 的图象知，方程 2 2x 必一定有解，所以 () 对于任意的 a，一定存在不相等的实数 21,使得12( ) ( )h x h x，即 一定存在不相等的实数 21,使得 所以（ 1）（ 4） 【考点定位】 函数与不等式的综合应用 . 【名师点睛】四川高考数学 15题历来是一个异彩纷呈的题，个中精彩读者可从解析中慢慢体会 过转化使问题得以解 决 . 17.【 2015 高考浙江，理 10】已知函数22 3 , 1() 1 ) , 1 ，则 ( ( 3) ， () 【答案】 0 ， 3 【考点定位】分段函数 【名师点睛】本题主要考查分段函数以及求函数的最值，属于容易题，在求最小值时，可以求每个分段上 的最小值，再取两个最小值之中较小的一个即可，在求最小值时，要注意等号成立的条件，是否在其分段 上，分段函数常与数形结合，分类讨论等数学思想相结合，在复习时应予以关注 . 18.【 2015高考四川，理 13】 某食品的保鲜时间 y（单位：小时）与储存温度 x（单位： C ）满足函数关系 （ 718.2e 为自然对数的底数， k、 若该食品在 0C 的保鲜时间设计 192小时，在22C 的保鲜时间是 48小时，则该食品在 33C 的保鲜时间是 小时 . 【答案】 24 【解析】 由题意得： 2 2 1 122192 4 8 1 1,1 9 2 4 248 ，所以 33x 时， 3 3 1 1 3 1( ) 1 9 2 2 48k b k by e e e . 【考点定位】 函数及其应用 . 【名师点睛】这是一个函数应用题，利用条件可求出参数 k、 b，但在实际应用中往往是利用整体代换求解（不要总是想把参数求出来） 问题大大简化 . 19.【 2015高考安徽，理 15】设 3 0x a x b ，其中 ,列条件中，使得该三次方程仅有一个实根的是 .（ 写出所有正确条件的编号） 3, 3 ； 3, 2 ； 3, 2 ； 0, 2； 1, 2. 【答案】 【解析】 令 3()f x x a x b ， 求导得 2( ) 3f x x a，当 0a 时， ( ) 0，所以 ()至少存在一个数使 ( ) 0，至少存在一个数使 ( ) 0，所以 3()f x x a x b 必有一个零点，即 方 程 3 0x a x b 仅 有 一 根 ， 故 正 确 ； 当 0a 时 ， 若 3a ，则2 ( ) 3 3 3 ( 1 ) ( 1 )f x x x x ，易知， () , 1), (1, ) 上单调递增，在 1,1 上单调递减，所以 ( ) = ( 1 ) 1 3 2f x f b b 极 大， ( ) = (1 ) 1 3 2f x f b b 极 小，要使方程仅有一根， 则 ( ) = ( 1 ) 1 3 2 0f x f b b 极 大或者 ( ) = (1 ) 1 3 2 0f x f b b 极 小，解得 2b 或 2b ，故正确 根的是 . 【考点定位】 1函数零点与方程的根之间的关系 ； 【名师点睛】高考中若出现 方程问题，通常情况下一定要考虑其对应的函数，了解函数的大致图象特征，便于去分析方程；若出现的是高次函数或非基本初等函数，要利用导数这一工具进行分析其单调性、极值与最值；函数零点问题考查时，要经常性使用零点存在性定理 . 20.【 2015高考福建，理 14】若函数 6 , 2 ,3 l o g , 2 , （ 0a 且 1a ）的值域是 4, ，则实数 a 的取值范围是 【答案】 (1,2 【解析】当 2x ，故 64x ，要使得函数 () 4, ，只需1 ( ) 3 lo g af x x（ 2x ）的值域包含于 4, ，故 1a ，所以1 ( ) 3 lo g 2，所以 3 4a，解得 12a，所以实数a 的取值范围是 (1,2 【考点定位】分段函数求值 域 【名师点睛】本题考查分段函数的值域问题，分段函数是一个函数，其值域是各段函数值取值范围的并集，将分段函数的值域问题转化为集合之间的包含关系，是本题的一个亮点，要注意分类讨论思想的运用，属于中档题 【 2015高考上海，理 10】 设 1为 222x ， 0,2x 的反函数，则 1y f x f x 的最大值为 【答案】 4 【解析】 由题意得： 2( ) 22x 在 0,2 上单调递增 ，值域为 1 ,24，所以 1在 1 ,24上单调递增，因此 1y f x f x 在 1 ,24上单调递增，其最大值为 1( 2 ) ( 2 ) 2 2 4 【考点定位】 反函数性质 【 名师点睛 】 反函数与原函数的对应关系是解决问题的关键，一般有两个处理方法，一是从 原函数出发求其反函数，再求函数最大值，本题求反函数教困难；二是利用反函数定义域对应原函数值域，反函数值域对应原函数定义域，反函数与原函数对偶区间上单调性一致，求出函数最大值 . 【 2015高考上海，理 7】 方程 1122l o g 9 5 l o g 3 2 2 的解为 【答案】 2 【考点定位】 解指对数不等式 【 名师点睛 】 对可化为 b c 0或 b c0( b c0) 的指数方程或不等式，常借助换元法解决求解与指 对 数有关的复合 方程 问题 ，首先要熟知指 对 数 式 的定义域、值域、单调性等相关性质，其次要明确 复合的构成，涉及值域、单调区间、最值等问题时，都要借助 “ 同增异减 ” 这一性质分析判断，最终将问题归结为内层 方程 相关的问题加以解决 21.【 2015高考北京，理 14】 设函数 214 2 1 .x a x a x 若 1a ，则 ； 若 个零点，则实数 a 的取值范围是 【答案】 (1)1， (2)1 12 a或 2a . 【解析】 1a 时， 2 1 14 1 2 1 . x x x ，函数 () ,1) 上为增函数，函数值大于 1，在 31, 2为减函数，在 3 , )2 为增函数，当 32x 时， ()； （ 2）若函数 ( ) 2 xg x a在 1x 时与 x 轴有一个交点，则 0a ，并且当 1x 时，(1) 2 0 ，则 02a，函数 ( ) 4( ) ( 2 )h x x a x a 与 x 轴有一个交点，所以21且 1 12 a； 若 函数 ( ) 2 xg x a与 x 轴有无交点，则函数 ( ) 4( ) ( 2 )h x x a x a 与 x 轴有两个交点，当 0a 时 () x 轴有无交点， ( ) 4( ) ( 2 )h x x a x a 在 1x 与 x 轴有无交点，不合题意；当 (1) 2 0 时， 2a ， () x 轴有两个交点， 和 2，由于 2a ，两交点横坐标均满足 1x ；综上所述 a 的取值范围 1 12 a或 2a . 考点定位：本题考点为函数的有关性质，涉及函数图象、函数的最值，函数的零点、分类讨论思想解 【名师点睛】本题考查函数图象与函数零点的有关知识，本题属于中等题，第一步正确画出图象，利用函数图象研究函数的单调性，求出函数的最值，第二步涉计参数问题，针对参数进行分类讨论，按照题目所给零点的条件，找出符合零点要求的参 数 a ，讨论要全面，注意数形结合 22.【 2015高考 江苏， 13】 已知函数 |( ，1,2|4|10,0)(2 则方程 1|)()(| 根的个数为 【答案】 4 【解析】由题意得：求函数 ()y f x 与 1 ( )y g x 交点个数以及函数 ()y f x 与 1 ( )y g x 交点个数之和，因为 221 , 0 11 ( ) 7 , 21 , 1 2xy g x x ，所以函数 ()y f x 与 1 ( )y g x 有两个交点，又221 , 0 11 ( ) 5 , 23 , 1 2xy g x x ，所以函数 ()y f x 与 1 ( )y g x 有两个交点，因此共有 4个交点 【考点定位】函数与方程 【名师点晴】 一些对数型方程不能直接求出 其 零点 ， 常通过平移、对称变换转
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