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年高 数学 一轮 复习 温习 第四 导数 及其 应用 利用 运用 解析 打包

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2015年高考数学一轮复习 第四章 导数及其应用 文（含解析）（打包7套）,年高,数学,一轮,复习,温习,第四,导数,及其,应用,利用,运用,解析,打包

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1 第 22 课 变化率与导数、导数的计算 1导数的概念 ： )( 在0的导数0() 000 ( ) ( )li mx f x x f 导函数 ()0( ) ( )li x x f 【例 1】 若 32( ) 2 1f x x x ， 则0(1 2 ) (1 )l i x （ ） A。 8 B。 4 C。 16 D。 14 【解析】2( ) 6 2f x x x Q ,00( 1 2 ) ( 1 ) ( 1 2 ) ( 1 )l i m 2 l i m 2x f f x 2 (1) 16f ,选 C C (C 为常数 ) () 1()x (x (x () () (x (a x 3. 常用的导数运算法则 )()()()( )()()()()()( )0)()()()()()()()(2 4） ( ) ( )C u x C u x 【例 2】 求下列函数的导数： （ 1）2； （ 2） ( 1)( 2 )y x x x ； （ 3） 1111y 【解析】 （ 1） s ， 1 1 1( s i n ) ( s i n ) 1 c o 2y x x x x x （ 2） 3232y x x x ， 23 6 2y x x （ 3） (1 ) (1 ) 21(1 ) (1 ) ，222 (1 ) 2(1 ) (1 )xy 3导数的 几何意义 函数 )( 在点0( 在点 )(,(00 【例 3】已知曲线 3 1 （ 1）求曲线 在 点 ( 1,0) 处的切线方程 ； （ 2）求曲线 过点 ( 1,0) 的 切线方程 2 【解析】 （ 1） 23 ， 曲线 在 1x 处的 斜率 21 3 ( 1 ) 3 曲线 在 点 ( 1,0) 处的切线方程 为 3( 1)，即 3 3 0 (2) 设过点 ( 1,0) 的切线与曲线相切于点00( , )切线的斜率 为0 203y x， 20 003000 311y ，整理得 32002 3 1 0 ， 200( 1 ) ( 2 1 ) 0 ， 解得 0 1x 或 0 12x . 切线的斜率为 3k 或 34k, 所求的切线方程为 3( 1) 或 9 3 1()8 4 2 , 即 3 3 0 或 3 4 3 0 【变式】 (1) 求 过点 (3,5)P 作曲线 2的切线 l 的方程 【解析】设切点为 00( , )，则切线的斜 率 为0 02y x0002005 23y ，解得 0011或 00525，所以 切线的斜率 为 2k 或 10k 所以切线 l 方程为 5 2( 3) 或 5 1 0 ( 3) 即 2 1 0 或 10 25 0 (2)求 曲线 3 1的斜率为 3 的切线方程 【解析】 设切点为00( , ) 23 ， 切线的斜率 为 2033x ，解得0 1x 而 3001， 切点为 (1,2) 或 ( 1,0) 所以所求的切线方程为 2 3( 1) 或 0 3( 1) 即 3 1 0 或 3 3 0 第 22 课 变化率与导数、导数的计算 ) x x x ，若 0( ) 2则0x（ ） 3 A 2e 【答案】 B 【解析】 ( ) ( f x x x x ， 00( ) 1 f x ，解得0.（ 2013 全国高考） 已知曲线 421y x 在点 ( 1, 2)a处的切线的斜率为 8 ，则 a （ ） A 9 B 6 C 9 D 6 【答案】 D 【解析】 342y x ， 34 ( 1) 2 8a ，解得 6a x 在 2x 处的切线方程为（ ） A. 40 B. 40 C. 0 D. 40 【答案】 B 【解析】由已知，得切点为 ( 2,2) ，22( 1 ) ( 1 ) 1() 1 ( 1 ) ( 1 )x x x x xy x x x ， 切线的斜率为2 21|1( 2 1 ) ，切线方程为 22 ，即 40 4.(2013 惠州一模） 设 P 为曲线 C： 2 23y x x 上的点，且曲线 C 在点 P 处的切线倾 斜角的取值范围为 0, 4，则点 P 横坐标的取值范围为 （ ） A 1 1, 2B 1,0 C 0,1 D 1 ,12【 答案】 A 【解析】 设00( , )P x y，倾斜角为 ， 22，则 0t a n 2 2 0 , 1 ,解得0 1 1, 2x ，在 4t 时的速度为 . 【答案】 48 【解析】 23 ，所以 在 4t 时的速度为 2(4 ) 3 4 8 6. （ 2013 年高考）若曲线 2 ax x在点 1,a 处的切线平行于 x 轴，则 a _ 4 【答案】 12【解析】求导得 12y ，依题意 2 1 0a ， 12a 7 （ 2014 年高考） 曲线 53 在点 0, 2 处的切线方程为 _. 【答案】 5 2 0 . 【解析】 53 ， 5 ， 故所求的 切线的斜率 为 055 ， 故 所求的 切线 的方程为 25 ， 即 52 或 5 2 0 . 在点 3( , ) ( 0)a a a 处切线与 x 轴和直线 所围成的三角形的面积为 16，则实 数 a 的值为 【解析】 23 ， 切线的斜率为 2|3y a，切线方程为 323 ( )y a a x a ，即 233 2 0a x y a ，所以三角形的顶点为 3( , ) 2( ,0)3a、 ( ,0)a ，由已知可得 31 2 1| | |2 3 6a a a，解得 1a 9 求下列函数的导数： （ 1） 2211()y x x ；（ 2） e x ；（ 3） 1 xy x 【解析】 （ 1） 3 1 1 ， 2213 （ 2） ( ) l n ( l n ) l n xx x x ey e x e x e （ 3）2( 1 c o s ) ( 1 s i n ) ( 1 c o s ) ( 1 s i n )( 1 s i n )x x x xy x 2( s i n ) (1 s i n ) (1 c o s ) c o s(1 s i n )x x x 2s in c o s 1(1 s 1433.(1)求曲线在点 (2,4)P 处的切线方程； (2)求曲线过点 (2,4)(3)求满足斜率为 1 的曲线的切线方程 【解析】 (1) 2Q ，在点 (2,4)P 处的切线的斜率 | 2 4.曲线在点(2,4)P 处的切线方程为 () 4 4 2 ，即 4 4 0 . 5 (2)设曲线 31433与过点 (2,4)P 的切线相切于点00( , )A x 0|y x 0. 2000300421433y ，整理得 32003 4 0 ， 200( 2 ) ( 1 ) 0 ， 解得 0 1x 或 0 2x ， 切线的斜率为 1k 或 4k , 所求的切线方程为 ，故所求的切线方程为 4 4 0 或 20 . (3)设切点为00( , )切线的斜率为 2 1，解得 x 0 1，切点为 5(1, )3，( 1,1) 故所求切线方程为 5 13 和 11 ，即 3 3 2 0 和20 . 2( ) 3 3f x x a x b x ，若曲线 ()y f x 与直线 12 1 0 相切于点(1, 11) ，求 ()【解析】 2( ) 3 6 3f x x a x b ，由已知，得 1 3 3 1 1(1 ) 3 6 3 1 2a b 402 5 0 ，解得 13所以 ()2( ) 3 9f x x x x ) bf x ，曲线 ()y f x 在点 (2, (2)f 处的切线方程为 7 4 1 2 0 . (1)求 ()(2)曲线 ()y f x 上任一点处的切线与直线 0x 和直线 所围成的三 角形面积为定值，并求此定值 . 【解析】 (1) () bf x ， 2()bf x a x ， Q 点 (2, (2)f 在 切线方程为 7 4 1 2 0 上 ， 1(2)2f . 1222744 ，解得 13， 3()f x . 6 (2)设00( , )P x 23( ) 1fx x 知曲线在点 00( , )P x y 处的切线方程为 00203(1 ) ( )y y x ，即0020033( ) (1 ) ( )y x x . 令 0x ，得06y x ，从而得切线与直线 0x 的交点坐标为06(0, )x . 令 ，得02y x x，从而得切线与直线 的交点坐标为00(2 ,2 ) 点00( , )P x x ， 所围成的三角形的面积为 0016 262 . 故曲线 ()y f x 上任一点的切线与直线 0x ， 所围成的三角形的面积为定值，且此定值为 6 . 1 第 23 课 利用导数来研究函数的单调性 1函数的单调性： 函数 ()y f x 在某个区间 ( , )可导 若 ( ) 0 ，则 () 函数 ；若 ( ) 0 ，则 () 函数； 若 ( ) 0 恒成立 ，则 ()值 函数； 若 ( ) 0 且 ( ) 0 不恒成立，则 () 函数； 若 ( ) 0 且 ( ) 0 不恒成立，则 () 函数； 若 ()函数， 则 ( ) 0 ； 若 ()函数， 则 ( ) 0 )y f x 的增减性的快慢 （ 1）若 ( ) 0 ，且 ()的值越来越大，则 ()y f x 增加的 越来越 快 ；若 ( ) 0 ，且 ()的值越来越 小 ，则 ()y f x 增加的 越来越 慢 （ 2） 若 ( ) 0 ，且 | ( )|的值越来越大，则 ()y f x 减少的 越来越 快 ；若 ( ) 0 ，且 | ( )|的值越来越小，则 ()y f x 减少的 越来越 慢 求 ()y f x 的 定义域 ；求 ()； 令 ( ) 0 ，得递增区间；令 ( ) 0 ，得递减区间 4恒成立问题 ()a f x 恒成立 a f xa f x恒成立 a f x应用 【例 1】 如果函数 ()y f x 的图象如图 1 所示，那么导函数 ()y f x 的图象可能是 ( ) 第 23 课 利用导数来研究函数的单调性的课后作业 图 1 2 【答案】 A 【变式】（ 2013 广州二模）已知函数 ()y f x 的图象如图 2 所示，则其导函数 ()y f x 的图象可能是（ ） 【答案】 A 【 解析 】 0x 时， ()( ) 0 ，排除 B、 D； 0x 时， ()增， 则 ()为正、负、正，排除 C 应用 【例 2】 已知函数 2 , 0a ， 332()5 ) 03 02x a x x a x x ，求 证 ()f x 在区间( 1,1) 内单调递减 ， 在区间 (1, ) 内单调递增 【证明】 (1)当 x 10 时 ( ) ( )f x a 3 5 ， ()f x x a 235 由于 a 20， ， () ( 2 )f x x a a a 23 5 3 5 0 ， 而 ( 2 )f x a0不恒成立 所以函数 ()区间 (10， 内单调递减 (2) 当 0x 时 323()2af x x x a x ， ( ) ( ) ( )f x x a x a x a x 23 3 3 1 由于 a 20， 所以 当 x01时 ， 0 ；当 x1 时 ， 0 . 从而 函数 区间 )01， 内单调递减 ， 在区间 (),1 内单调递增 综合 (1)(2)， 可知函数 )11， 内单调递减 ， 在区间 ( ),1 内单调递增 【 变式 】 已知 3()f x x （ 1）当 3a 时，判断 () 1,1) 上的的单调性； x y O 图 2 y x O A x O B x O C x O D y y y 3 （ 2）若 ()1, ) 上是单调增函数， 求实数 a 的 取值范围。 【 解析 】（ 1） 当 1a 时， 3( ) 3f x x x， 22( ) 3 3 3 ( 1 )f x x x 当 11x 时， 2 1x ， 2( ) 3 ( 1 ) 0f x x 所以 () 1,1) 上是增函数 （ 2） 2( ) 3 0f x x a 在 1, ) 上恒成立， 23在 1, ) 恒成立， 而 22m 3 ) 3 1 3x ， 3a ，故 实数 a 的 取值范围为 ( ,3 . 应用 【例 3】 已知函数 22 21)( （ 1）当1 函数)( 2）当1时，求 函数)(【解析】 函数)(， 22)( （ 1）当11( ) 2 f x x x x ，22 2 ( 2) ( 1 )( ) 1 x x x xf x xx x x 由于 0x ，所以 令( ) 0，得 1x ；令( ) 0，得 01x 即 当 1x 时，( ) 0 ， (),1)上单调递减；当 01x时，( ) 0， ()( , )上单调递增 函数)(, )，单调递减区间为(0,1)。 （ 2）当1a时，21( ) 2 f x x x x ，22 2 ( 2) ( 1 )( ) 1 x x x xf x xx x x 由于 0x ，所以 令( ) 0，得 2x ；令( ) 0，得 02x 即 当 2x 时，( ) 0 ， (),2)上单调递减；当 02x时，( ) 0， ()( , )上单调递增 函数)(, )，单调递减区间为(0,2)。 【 变式 】 已知函数 2( ) x x a x （ 1）当 2 时，求函数 () （ 2）若函数 ( ) ( ) 2g x f x x在 1,4 上是减函数，求实数 a 的取值范围 4 【解析】 （ 1）函数 )(定义域为 (0, ) 2( ) x x a x ， ( ) 2 af x 当 时， 2( ) 2 x x e x ， 2 2 ( ) ( )( ) 2 e x e x ef x 由于 0x ，所以 令 ( ) 0 ，解得 ；令 ( ) 0 ，解得 0 ()增区间是 ( , )e ；单调 递减区间是 (0, )e （ 2） 2( ) g x x a x x ， ( ) 2 2ag x ， 函数 () 1,4 上是减函数， ( ) 2 2 0ag x 在 1,4 上 恒成立， 222a x x 在 1,4 上 恒成立，设 2211( ) 2 2 2 ( )22x x x x ， () 在 1,4 上为减函数 ， m i n( ) ( 4 ) 2 4x ， 24a a 的取值范围是 ( , 24 第 23 课 利用导数来研究函数的单调性的课后习题 1.（ 2013 广州调研） 已知 e 为自然对数的底数， 函数 xy 的单调递增区间是 （ ） A 1, ) B ( , 1 C 1, ) D ( ,1 【答案】 A【解析】 ( ) (1 )x x x xy x e e x e x e ，令 0y ，解得 1x 2已知 3( ) 2 3f x x a x 在 1, ) 上是单调增函数，则 a 的最大值是 ( ) A 0 B 12C 1 D 32【答案】 D 【 解析 】 2( ) 3 2 0f x x a 在 1, ) 上恒成立， 232 1, ) 恒成立， 而 22m 3( ) 12 2 2x ， 32a，故2a . 3. (2012 高考辽宁卷 )函数 212y x 的单调递减区间为 ( ) A ( 1， 1 B (0， 1 C 1， ) D (0， ) 5 【答案】 B 【 解析 】 选 x 1x 1x （ x 1）（ x 1）x (x 0)令 y0 ， 得 0 x1 ， 函数的单调递减区间为 (0， 1 4 已知函数 y f x 的图象是下列四个图象之一，且其导函数 y f x 的图象如右图所示，则该函数的图象是 ( ) 【答案】 B 【 解析 】 由 y f x 的图象知， y f x 的图象为增函数， 且在区间 ( 1,0)上增长速度越来越快，而在区间 (0,1)上增长速度越来越慢故选 B. )() R 上的可导函数， ()、 ()分别为 ()()导函数，且( ) ( ) ( ) ( ) 0f x g x f x g x，则当 a x b 时，有（ ） A ( ) ( ) ( ) ( )f x g b f b g x B ( ) ( ) ( ) ( )f x g a f a g x C ( ) ( ) ( ) ( )f x g x f b g b D ( ) ( ) ( ) ( )f x g x f a g a 【答案】 C 【解析】设 ( ) ( ) ( )F x f x g x，则 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0F x f x g x f x g x ， () 上是减函数，得 ( ) ( ) ( )F a F x F b， ( ) ( ) ( ) ( )f x g x f b g b )的图象，请完成下列填空 (1) 函数 () ； （ 2）函数 () ； )完成下列填空 （ 1）不等式 ( ) 0 的解集为 : ;（ 2）不等式 ( ) 0 的解集为 : ; （ 3）不等式 ( ) 0 的解为 : ; ( ) ( 0 , )af x x x a 1 2 12 6 （ 1）判断函数 () （ 2）若 ()2, ) 上是增函数，求实数 a 的取值范围 . 【解 析 】 （ 1）当 0a 时， 2()f x x ， 22( ) ( )f x x x ， ( ) ( )f x f x ，所以 () 当 0a 时， ()（ 2）由已知，得2( ) 2af x x x 要使 ()2, ) 上是增函数，只需 ( ) 0 ，即 220ax x ， 32 对于 2 , )x 恒成立 设 3( ) 2 , 2 , )g x x x ，则a g x2( ) 6 0g x x Q ， 3( ) 2g x x在 2, ) 上是增函数， m i n( ) ( 2 ) 1 6g x g 所以 16a ，即实数 a 的取值范围为 ( ,16) 8. 已知函数 2( ) x x a x （ 1）当 2 时，求函数 () （ 2）若函数 ( ) ( ) 2g x f x x在 1,4 上是减函数，求实数 a 的取值范围 【解析】 （ 1）函数 )(定义域为 (0, ) 2( ) x x a x ， ( ) 2 af x 当 时， 2( ) 2 x x e x ， 2 2 ( ) ( )( ) 2 e x e x ef x 由于 0x ，所以 令 ( ) 0 ，解得 ；令 ( ) 0 ，解得 0 ()增区间是 ( , )e ；单调 递减区间是 (0, )e （ 2） 2( ) g x x a x x ， ( ) 2 2ag x ， 函数 () 1,4 上是减函数， ( ) 2 2 0ag x 在 1,4 上 恒成立， 7 222a x x 在 1,4 上 恒成立，设 2211( ) 2 2 2 ( )22x x x x ， () 在 1,4 上为减函数 ， m i n( ) ( 4 ) 2 4x ， 24a a 的取值范围是 ( , 24 9. 已知函数 3 2 213 31f x x m x m x ， mR . (1)当 1m 时 ， 求曲线 ()y f x 在点 (2 )(2)f， 处的切线方程； (2)若 () 23) ， 上是减函数 ， 求 m 的取值范围 【解】 (1)当 1m 时 ， 3 2 213 31f x x m x m x ， 又 2( ) 2 3f x x x ， 所以 (2) 5f. 又 5(2)3f ， 所以所求切线方程为 5 5( 23 ) ， 即 1 5 3 2 5 0 . 所以曲线 ()y f x 在点 (2 )(2)f， 处的切线方程为 1 5 3 2 5 0 . (2)因为 22( ) 2 3f x x m x m ， 令 ( ) 0， 得 3 或 . 当 0m 时 ， 2( ) 0f x x 恒成立 ， 不符合题意 当 0m 时 ， ()3,， 若 () 23) ， 上是减函数 ， 则 323 ， 解得 3m . 当 0m 时 ， ()区间是 ( ,3)， 若 () 23) ， 上是减函数 ， 则 233， 解得 2m 综上所述 ， 实数 m 的取值范围是 ( )2 3 , U， 1 第 24 课 含参数的函数的单调性 1可因式分解型 【例 1】 已知函数 22 21)( 函数)( 【解析】 函数)(0，x )(2(2)(22 令( ) 0，得12 2由于 0x ，所以 当0)( 时，)(0上单调递增， 当时， 02 令( ) 0 ，得 ；令( ) 0，得 0 即 当 时，( ) 0 ， (), )a 上单调递增；当 0 时，( 0， ()(0, ) 当020 令( ) 0 ，得 2 ；令( ) 0 ，得 02 即 当 2 时，( ) 0 ， (),2) 02 时，( ) 0 ，()( 2 , )a 上单调递增 综上所述：当0()0( ；当0(), )，递减区间为(0, )；当0函数)(2 , )a ，单调递减区间为( ,2)a. 【变式 】 设函数 321 1 2( ) 232 af x x x a x a ，讨函数 ()【解析】由已知，得 () 321 1 2( ) 232 af x x x a x a ， 2( ) ( 1 2 ) 2 ( 1 ) ( 2 )f x x a x a x x a 令 ( ) 0 ，解得1 1x ， 2 （ 1）当 21a ，即 12a时， 2( ) ( 1 ) ( 2 ) ( 1 ) 0f x x x a x ，此时 (), ) 上是增函数； 2 （ 2）当 21a ，即 12a时 令 ( ) 0 ，解得 2或 1x ；令 ( ) 0 ，解得 12 此时 () , 1) 上递增，在 ( 1, 2 )a 上递减，在 (2 , )a 上递增 （ 3）当 21a ，即 12a时 令 ( ) 0 ，解得 1x 或 2；令 ( ) 0 ，解得 21 此时 () , 2 )a 上递增，在 (2 , 1)a 上递减，在 ( 1, ) 上递增 综上所述：当 12a时， () , ) 上是增函数；当 12a时， () , 1) 上递增，在 ( 1, 2 )a 上递减，在 (2 , )a 上递增；当 12a时， () , 2 )a 上递增，在 (2 , 1)a 上递减，在 ( 1, ) 上递增 . 反思：如果求 函数)(论如何写？ 【例 3】 设函数 3211( ) 232f x x x a x a ，讨函数 ()【解析】由已知，得 () 3211( ) 232f x x x a x a ， 2( ) 2f x x x a ， ( ) 0 的判别式 18a （ 1）当 0 ，即 18a时， 2211( ) ( ) 042f x x x x ，此时 () , ) 上是增函数； （ 2）当 0 ，即 18a时， ( ) 0恒成立，此时 () , ) 上是增函数； （ 3）当 0 ，即 18a时， 令 ( ) 0 ，解得11 1 82 ，21 1 82 ，并且 12 ； 令 ( ) 0 ，解得 1 1 82 或 1 1 82 ； 令 ( ) 0 ，解得 1 1 8 1 1 822 . 3 此时 () 1 8( , )2 a 上是增函数，在 1 1 8 1 1 8( , )22 上是减函数，在 1 1 8( , )2 a 上是增函数 . 综上所述，当 18a时， () , ) 上是增函数；当 18a时， () 8( , )2 a 上是增函数，在 1 1 8 1 1 8( , )22 上是减函数，在1 1 8( , )2 a 上是增函数 . 第 24 课 含参数的函数的单调性的课后习题 1. 一动圆 P 圆 221 : ( 3 ) 9F x y 与圆 222 : ( 3 ) 1F x y 外切，求动圆圆心 P 的轨迹方程，并说明它是什么样的曲线。 【解析】 221 : ( 3 ) 9F x y ，1(3 , 0)F， 3R 222 : ( 3 ) 1F x y ， 2(3 , 0)F ， 1R ， 12| | 6， 设动圆半径为有 12| | 3| | 1 r由 ，得12| | | | 2P F P F，而1 2 1 2| | | | | |P F P F F F，12| | | |P 以 圆心 P 的轨迹以1F、2实轴长为 2 的双曲线的右支 设其方程为 22 1 ( 0 , 0 )xy ，则 22a ， 26c ， 1a， 3c ， 22 22b c a 所以动圆圆心 P 的轨迹方程为 22 1 ( 1)8 ( ) l n ( )f x x a x a R ，求 ()【解析】 函数 )(定义域为 (0, ) 2( ) x x a x ， 22( ) 2 a x af x 4 由于 0x ，所以 （ 1）当 0a 时， 22( ) 0 ， ()0, ) 上是增函数； （ 2） 当 0a 时， 2222 ( ) ( )2() 令( ) 0 ，得 22 （因 2 02 舍去） 令 ( ) 0 ，解得 22 ；令 ( ) 0 ，解得 202 此时， ()( , )2 a 上是增函数，在 2(0, )2 a上是减函数 综上所述：当 0a 时 ()增区间是 (0, ) ；当 0a 时， ()增区间是 2( , )2 a ；单调 递减区间是 2(0, )2 a （ 2） 2( ) g x x a x x ， ( ) 2 2ag x ， 函数 () 1,4 上是减函数， ( ) 2 2 0ag x 在 1,4 上 恒成立， 222a x x 在 1,4 上 恒成立，设 2211( ) 2 2 2 ( )22x x x x ， () 在 1,4 上为减函数 ， m i n( ) ( 4 ) 2 4x ， 24a a 的取值范围是 ( , 24 3. 已知函数 3 2 22132( ) 1f x x t x t x t ， xR ， 其中 0t ， 讨函数 () 【解 析 】 22( ) 2 ( ) ( 2 )f x x t x t x t x t 令 0 ， 解得 或2因为 0t ， 所以分两种情况讨论： 当2t t，即 0t 时 令 ( ) 0 ，解得 或2令 ( ) 0 ，解得2t 此时 () , )2t上递增，在 ( , )2t t上递减，在 ( , )t 上递增 5 当2t t，即 0t 时 令 ( ) 0 ，解得2 ；令 ( ) 0 ，解得2 此时 () , )t 上递增，在 ( , )2递减，在 ( , )2t 上递增 综上所述：当 0t 时， () , )2t上递增，在 ( , )2t t上递减，在 ( , )t 上递增；当 0t 时， () , )t 上递增，在 ( , )2递减，在 ( , )2t 上递增 4. 设函数 321()3f x x x a x ，讨函数 ()【解析】由已知，得 () 321()3f x x x a x ， 2( ) 2f x x x a ， ( ) 0 的判别式 4(1 )a （ 1）当 0 ，即 1a 时， 22( ) 2 1 ( 1 ) 0f x x x x ，此时 () , ) 上是增函数； （ 2）当 0 ，即 1a 时， ( ) 0恒成立，此时 () , ) 上是增函数； （ 3）当 0 ，即 1a 时， 令 ( ) 0 ，解得1 11 ，2 11 ，并且12 令 ( ) 0 ，解得 11 或 11 ； 令 ( ) 0 ，解得 1 1 1 1a x a . 此时 () , 1 1 )a 上是增函数，在 ( 1 1 , 1 1 ) 上是减函数，在 ( 1 1 , )a 上是增函数 . 综 上 所 述 ， 当 1a 时， () ( , ) 上 是 增 函 数 ； 当 1a 时， ()( , 1 1 )a 上 是 增 函 数 ， 在 ( 1 1 , 1 1 ) 上 是 减 函 数 ， 在( 1 1 , )a 上是增函数 . 5。 已知函数 1( ) l n ( )f x a x x a ，讨论 () 【解析】 由已知，得 0x ， ()0, ) 6 22211( ) 1a x a x x x ，设 2( ) 1g x x a x 则 令 ( ) 0 ，得 ( ) 0，其判别式 2 4 ( 2 ) ( 2 )a a a （ 1）当 0 ，即 2a 时， 22222 1 ( 1 )( ) 0x x ， 此时 ()0, )上是增函数； （ 2）当 0 ，即 22a 时， ( ) 0恒成立，此时 ()0, ) 上是增函数； （ 3）当 0 ，即 2a 或 2a 时， 令 ( ) 0，解得， 2142 ， 2242 ； 当 2a 时， 214 02 ， 224 02 ， 0xQ ， ( ) 0，此时 ()0, ) 上是增函数 当 2a 时， 214 02 ， 224 02 ，因为 0x 令 ( ) 0 ，解得 2 42 ；令 ( ) 0，解得 2 402 . 此时 () 4( 0 , )2 上是减函数，在 2 4( , )2 上是增函数 . 综上所述，当 2a 时， () (0, ) 上是增函数；当 2a 时， ()2 4( 0 , )2 上是减函数，在 2 4( , )2 上是增函数 . 备用： 5 已知函数 21( ) ( 2 ) l n ( 0 )f x x x aa x a ，讨论 () 【解析】由已知，得 ()0, ) 22 2 21 2 1( 2 ) ( 2 ) ( )2 1 1( ) 1 ( 2 ) x x x xa a x a x x x 7 由 ( ) 0 得1 1x a，2 2x （ 1）当 1 2a即 12a时， 22( 2 )( ) 0x ， 此时， ()0, ) 上是增函数； （ 2） 当 1 2a，即 102a时， 令 ( ) 0 ，解得 1 2x ；令 ( ) 0 ，解得 12 此时 () , 2) 上递增，在 1(2, ) 1( , )a 上递增 （ 3） 当 1 2a，即 0a 或 12a时 令 ( ) 0 ，解得 2x 或 1令 ( ) 0 ，解得 1 2此时 ()( , )a上递增，在 1( ,2) (2, ) 上递增 综上所述：当 12a时， ()0, ) 上是增函数 ；当 102a时， () , 2)上递增，在 1(2, ) 1( , )a 上递增；当 0a 或 12a时， ()( , )a上递增，在 1( ,2) (2, ) 上递增 . 7. 1 第 25 课 利用导数研究函数的极值或最值（ 1） 1函数的极值 （ 1） 判断函数 极值 的方法 如果在0 ) 0 ，右侧 ( ) 0 ，那么 )(0大值 如果在0 ) 0 ，右侧 ( ) 0 ， 那么 )(0小值 （ 2）若 ()0( ) 0；反之，若0( ) 0，则 ()得极值。例如： 若 3()f x x ，则 (0) 0f ，而 (0)f 却不是 ()一想？） （ 3）求可导函数极值的步骤 : 求 ()求导数 ()求导数 ( ) 0 的根 列表，判断 ()在方程的根的左右值的符号，确定 )(这个根处是取极大值还是取极小值 【例 1】 已知函数 ( ) 1x x e ( , 为自然对数的底数 ) （ 1） 若曲线 ()点 (1, )(1)f 处的切线平行于 x 轴 ， 求 a 的值； （ 2） 求函数 () 【解 析 】 （ 1） 由 ( ) 1x x e ， 得 ( ) 1e )y f x 在点 (1, )(1)f 处的切线平行于 x 轴 ， 得 (1) 0f ， 即 10， 解得 . （ 2） ( ) 1e ， 当 a0 时 ， ()0 ， () , ) 上的增函数 ， 所以函数 () 当 0a 时 ， 令 ()0 ， 得 x ae ， . ,l() ， ()0 ； ,( ， ()0 ， 所以 () n ),l a 上单调递减 ， 在 (,a 上单调递增 ， 故 () 处取得极小值 ， 且极小值为 ( a a ， 无极大值 综上 所述： 当 a0 时 ， 函数 () 0a 时 ， () 处取得极小值 无极大值 【 变式 】 （ 2013 全国高考） 已知函数2( ) ( ) 4xf x e ax b x x ，曲线()y f x在点 (0, (0) 切线方程为44. （ 1）求, 2）讨论()的单调性，并求()的极 大值 . 【解析】 （ 1） ( ) ( ) 2 4xf x e a x a b x ， 2 (0) 4f ， (0) 4f ， 4, 8b a b ， 4a ， 4b . （ 2）由（ 1）知2( ) 4 ( 1 ) 4xf x e x x x ， 1( ) 4 ( 2 ) 2 4 4 ( 2 ) ( )2x e x x x e ， 令 ( ) 0 ，解得 2x 或 . 当 ( , 2 ) ( l n 2 , )x 时， ( ) 0 ； 当 ( 2, )x 时， ( ) 0 ； () , 2) 上单调递增，在 ( 2, ) 上单调递减，在 ( , ) 上单调递增 . 2x 时，函数 ()大值为 2( 2 ) 4 (1 ) . 2函数的最值：求函数 )( , 的最大值与最小值的步骤： 求出 )( ( , )的极值 再将 )(各极值与 )( )(较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值 【例 2】 已知函数 32()f x x a x b x c ， 曲线 ()y f x 在点 1x 处的切线为3 1 0l x y ： ， 若 23x 时 ， ()y f x 有极值 （ 1） 求 a ， b ， c 的值； （ 2） 求 ()y f x )在 31 ， 上的最大值和最小值 【解】 （ 1） 由 32()f x x a x b x c ， 得 2 2( 3)f x x a x b x 时 ， 切线 l 的斜率为 3， 可得 20 当 23x时 ， ()y f x ， 则 ) 02(3f ， 可得 4 3 4 0 由 ， 解得 2a ， 4b ， 所以 (1) 4f . 所以 14 c . （ 2） 由 （ 1） ， 可得 32( ) 2 4 5f x x x x ， 23( ) 4 4f x x . 令 ( ) 0 ， 解之 ， 得1 2x ，2 23x . 当 x 变化时 ， ()， () x ( 3， 2) 2 ( 2， 23) 23 (23， 1) f( x) 0 0 f(x) 13 9527 所以 ()y f x 在 ( 3 1) ， 上的 极 大 值为 ( 2) 13f ，极 小值为 2 95()3 27f 又 ( 3) 8f ， (1) 4f 3 所以 ()y f x 在 31 ， 上的最大值为 13 ， 最小值为 9527【变式】（ 2012 汕头质检） 已知函数 ( ) x x x （ 1）求 () 2）若对所有 1x 都有 ( ) 1f x ，求实数 a 的取值范围 【解析】（ 1） () 0, ， ( ) 1 x x 令 ( ) 0 ，解得 1令 ( ) 0 ，解得 10 ()(0, ) 1(,e ）单调递增 当 1， ()1() （ 2） 对所有 1x 都有 ( ) 1f x ， x x 对于 1,x 恒成立 ， 1对于 1,x 恒成立 令 1( ) x ， 1,x ，则a g x而21 1 1 1( ) 1gx x x x x （ ） 所以 当 1x 时， 11( ) 1 0gx （ ）， () 1, ) 上的增函数， ()最小值是 (1) 1g ， 1a 即 a 的取值范围是 ,1 第 25 课 利用导数研究函数的极值或最值的课后作业（ 1） 1函数 )(定义域为开区间 ),( 导函数 )(在 ),( 的图象如图，则函数 )(,( 有极值点的个数是 （ ） A 1 个 B 2 个 C 3 个 D 4 个 【答案】 C 2 函数 ( ) x a x x在 1x 处取到极值，则 a 的值为（ ） A 12B 1 C 0 D 12【答案】 B 【解析】 ( ) 1，由 (1) 0f ，得 1a 3 设函数 2( ) x ，则 （ ） A 12x为 () B 12x为 ()C 2x 为 () D 2x 为 () 4 【答案】 D 【解析】221()fx ，令 ( ) 0 ，