2015年高考数学真题分类汇编 专题01-16 理（打包16套）
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2015年高考数学真题分类汇编 专题01-16 理（打包16套）,年高,数学,分类,汇编,专题,01,16,打包
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- 1 - 专题一 集合与常用逻辑用语 1.【 2015高考四川，理 1】设集合 | ( 1)( 2) 0A x x x ，集合 |1 3B x x ，则 ） ( ) | 3A x ( ) | 1 x x ( ) |1 2C x x| 2 3D x【答案】 A 【解析】 | 1 2 , | 1 3 , | 1 3 A x x B x x A B x x ，选 A. 【考点定位】集合的基本运算 . 【名师点睛】集合的概念及运算一直是高考的热点，几乎是每年必考内容，属于容易题 数的定义域值域考查，解题的关键是结合韦恩图或数轴解答 . 2.【 2015 高考广东，理 1】 若集合 | ( 4) ( 1) 0M x x x= + + =， | ( 4) ( 1) 0N x x x= - - =，则 ） A B 1, 4C0D 1,4【答案】 A 【解析】因为 | 4 1 0 4 , 1M x x x ， 4 1 0 1 , 4N x x x ，所以，故选 A 【考点定位】一元二次方程的解集，集合的基本运算 . 【名师点睛】本题主要 考查 一元二次方程的解集，有限集合的交集运算和运算求解能力 ，属于容易题 3.【 2015高考新课标 1，理 3】设命题p：2,2 n ，则p为 ( ) （ A）2 n （ B）2 n（ C）2 n（ D）2, =2nn n【答案】 C 【解析】p:2 n ，故选 C. 【考点定位】本题主要考查特称命题的否定 【名师点睛】全称命题的否定与特称命题的否定是高考考查的重点，对特称命题的否定，将存在换成任意，后边变为其否定形式，注意全称命题与特称命题否定的书写 ，是常规题，很好考查了学生对双基的掌握程度 . 4.【 2015高考陕西，理 1】 设集合2 | M x x x， | N x x，则 ） - 2 - A0,1B(0,1C0,1)D( ,1【答案】 A 【解析】 2 0,1x x x ， 0 1x x x x ，所以 0,1 ，故选 A 【考点定位】 1、一元二次方程； 2、对数不等式； 3、集合的并集运算 【名师点晴】本题主要考查的是一元二次方程、对数不等式和集合的并集运算，属于容易题解题时要看清楚是求“ ”还是求“ ”和要注意对数的真数大于0，否则很容易出现错误 5.【 2015高考湖北，理 5】设 12, , , na a a R，3n. 若 p： 12, , na a q：2 2 2 2 2 2 21 2 1 2 3 1 2 2 3 1( ) ( ) ( )n n n na a a a a a a a a a a ，则（ ） A p是 不是 B p是 但不是 C p是 D 不是 【答案】 A 【考点定位】等比数列的判定，柯西不等式，充分条件与必要条件 . 【名师点睛】 判断 p是 要从两方面分析：一是由条件 q，二是由条件 q 能否推得条件 借助集合思想把抽象、复杂问题形象化、直观化外，还可利用原命题和逆否命题、逆命题和否命题的等价性，转化为判断它的等价命题 6.【 2015高考天 津，理 4】设则 “21x” 是 “2 20 ” 的 ( ) （ A）充分而不必要条件 （ B）必要而不充分条件 （ C）充要条件 （ D）既不充分也不必要条件 - 3 - 【答案】 A 【解析】2 1 1 2 1 1 3x x x ,2 2 0 2x x x 或1x，所以 “21x” 是 “2 20 ” 的充分不必要条件，故选 A. 【考点定位】不等式解法与充分条件、必要条件 . 【名师点睛】本题主要考查不等式的解法、 充分条件与必要条件相关问题， 将含绝对值不等式与一元二次不等式和解法、充分条件、必要条件、充要条件相关的问题联系在起来，体现综合应用数学知识解决问题的能力，是基础题 7.【 2015高考重庆，理 1】已知集合 A= 1,2,3,B= 2,3，则（ ） A、 A=B B、 AB=C、 D、 案】 D 【解析】由于2 , 2 , 3 , 3 ,1 ,1A B A B A B ，故 A、 B、 D. 【考点定位】本题考查子集的概念，考查学生对基础知识的掌握程度 . 【名师点晴】 考查集合的关系，涉及集合的相等 集等概念，是送分题 . 8.【 2015高考福建，理 1】若集合 234, , ,i i i i（1 1B，则( ) AB1C 1, 1D【答案】 C 【解析】由已知得 , 1, ,1A i i ，故 1, 1，故选 C 【考点定位】 1、复数的概念； 2、集合的运算 【名师点睛】本题考查复数的概念和集合的运算，利用2 1i 和交集的定义求解，属于基础题，要注意运算准确度 9.【 2015高考重庆，理 4】 “1x” 是 “12 2) 0x” 的（ ） A、充要条件 B、充分不必要条件 C、必要不充分条件 D、既不充分也不必要条件 【答案】 B 【解析】12 2) 0 2 1 1x x x ，因此选 B. - 4 - 【考点定位】充分必要条件 . 【名师点晴】 本题把充分必要条件与对数不等式结合在一起，既考查了对数函数的性质，又考查了充分必要条件的判断，从本题可知我们可能 用集合的观点看充分条件、必要条件 ： Ax|p， B x|q， (1)如果 AB，那么 p是 (2)如果 BA，那么 p是 (3)如果 A B，那么 p是 (4)如果，且那么 p是 本题易错点在于解对数不等式时没有考虑对数的定义域 . 10.【 2015高考新课标 2，理 1】已知集合2 1,0 1, 2 ， ， ， ( 1)( 2 0B x x x ,则（ ） A 1,0AB 0,1C 10,D 01,2【答案】 A 【解析】由已知得 21x x ，故 1,0，故选 A 【考点定位】集合的运算 【名师点睛】本题考查一元二次不等式解法和集合运算，要求运算准确，属于基础题 11.【 2015 高考天津，理 1】已知全集 1, 2,3, 4,5, 6, 7, 8U ，集合 2,3 5,6A，集合1,3,4,6,7B ，则集合U ( ) （ A） 2,5（ B） 3,6（ C） 2,5,6（ D） 2,3,5,6,8【答案】 A 【解析】2,5,8,所以2,5，故选 A. 【考点定位】集合的运算 . 【名师点睛】本题主要考查集合的运算，涉及全集、补集、交集相关概念和求补集、交集的运算 ,是基础题 . 12.【 2015高考安徽，理 3】设:1 2, : 2 1xp x q ，则 是 ） （ A）充分不必要条件 （ B）必要不充分条件 （ C）充分必要条件 （ D）既不充分也不必要条件 【答案】 A - 5 - 【考点定位】 【 名 师 点 睛 】 对 于 指 对 数 运 算 问 题 ， 需 要 记 住 常 见 的 等 式 关 系 ， 如011 2 , 2 2 ,1 0 ，进而转化成同底的问题进行计算；充要关系的判断问题，可以分为由“:1 2”推证“:0以及由“”推证“:1 2” . 13.【 2015高考山东，理 1】已知集合 2 4 3 0A x x x ， 24B x x ,则 ） （ A）（ 1， 3） （ B）（ 1， 4） （ C）（ 2， 3） （ D）（ 2， 4） 【答案】 C 【解析】因为 2 4 3 0 1 3A x x x x x ， 所以 1 3 2 4 2 3B x x x x x x C. 【考点定位】 1、一元二次不等式； 2、集合的运算 . 【名师点睛】本题考查集合的概念与运算，利用解一元二次不等式的解法化简集合并求两集合的交集，本题属基础题，要求学生最基本的算运求解能力 . 14.【 2015高考浙江，理 4】命题 “*, ( )n N f n N 且()f n的否定形式是（ ） A. , ( )n N f n N 且()f nB. , ( )n N f n nC. 00, )f N 且n nD. , ( )N f n N 或00n n【答案】 D. 【解析】根据全称命题的否定是特称命题，可知选 D. 【考点定位】命题的否定 【名师点睛】本题主要考查了全称命题的否定等知识点，属于容易题， 全称 (存在性 )命题的否定与一般命题的否定有着一定的区别，全称 (存在性 )命题的否定是将其全称量词改为存在量词 (或把存在量词改为全称量词 )，并把结论否定；而一般命题的否定则是直接否定结论即可 ，全称量词与特称量词的意义，是今年考试说明中新增的内容，在后续的复习时应予以关注 . - 6 - 15.【 2015高考浙江，理 1】已知集合2 2 0P x x x ，1 2Q x ，则()（ ） A.0,)B. (0,2C. (1,2)D. 1,2【答案】 C. 【解析】由题意得，)2,0( ) (1,2)R ，故选 C. 【考点定位】 【名师点睛】本题主要考查了解一元二次不等式，求集合的补集与交集，属于容易题 ，在解题过程中要注意在求补集与交集时要考虑端点是否可以取到，这是一个易错点，同时将不等式与集合融合，体现了知识点之间的交汇 . 16.【 2015 高考山东，理 12】若 “0, , x m ” 是真命题，则实数 . 【答案】 1 【考点定位】 1、命题； 2、正切函数的性质 . 【名师点睛】本题涉及到全称命题、正切函数的性质、不等式恒成立问题等多个知识点，意在考查学生综合利用所学知识解决问题的能力，注意 等价转化的思想的应用，此题属中档题 . 17.【 2015高考江苏， 1】已知集合 3,2,1A， 5,4,B，则集合元素的个数为_. 【答案】 5 【解析】1 2 3 2 4 5 1 2 3 4 5 ， ， ， ， ， ， ， ， ，,，则集合元素的个数为 5个 . 【考点定位】集合运算 【名师点晴】 研究集合问题，一定要抓住元素，看元素应满足的属性 集合的关系时， - 7 - 关 键是将两集合的关系转化为元素间的关系 ，本题实质求满足属于集合 的元素的个数 . 本题需 注意检验集合的元素是否满足互异性 ，否则容易出错 18.【 2015高考湖南，理 2】 ， “B A”是“的（ ） 【答案】 C. 【解析】 试题分析：由题意得，A B A A B ，反之， ，故为充要条件，选 C. 【考点定位】 【名师点睛】本题主要考查了集合的关系与充分必要条件，属于容易题，高考强调集合作为工具与其他知 识点的结合，解题的关键是利用韦恩图或者数轴求解，充分，必要条件的判断性问题首要分清条件 和结论，然后找出条件和结论之间的推出或包含关系 . 19.【 2015 高考上海，理 1】 设全集若集合 1,2,3,4， 23 ，则U 【答案】 ,4【解析】 因为 | 3 2 x x x 或，所以4,1 B【考点定位】 集合运算 【 名师点睛 】研究集合问题，一定要抓住元素，看元素应 满足的属性 集合的关系时，关键是将两集合的关系转化为元素间的关系 ，本题实质求满足属于集合 A 或不属于集合 B 的元素的集合 . 本题需 注意 两集合一个是有限集，一个是无限集，按有限集逐一验证为妥。 - 1 - 专题二 函数 1.【 2015高考福建，理 2】下列函数为奇函数的是 ( ) Ae e【答案】 D 【解析】函数是非奇非偶函数；偶函数；y e e是奇函数，故选 D 【考点定位】函数的奇偶性 【名师点睛】本题考查函数的奇偶性，除了要掌握奇偶性定义外，还要深刻理解其定义域特征即定义域关于原点对称，否则即使满足定义，但是不具有奇偶性，属于基础题 2.【 2015高考广东，理 3】 下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是 （ ） AB C12 D21 【答案】 A 【解析】 记 xf x x e，则 11 111 ，那么 ， ，所以xy x e既不是奇函数也不是偶函数，依题可知 B、 C、 函数、偶函数，故选 A 【 考点定位 】函数的奇偶性判断 【名师点睛】本题主要 考查 函数的奇偶性判断和常见函数性质问题 ， 但既不是奇函数，也不是偶函数的判断可能较不熟悉，容易无从下手，因此可从熟 悉的奇偶性函数进行判断排除，依题易知 B、 C、 除得出答案， 属于容易题 3.【 2015 高考湖北，理 6】已知符号函数1, 0, 0,1, ()上的增函数，( ) ( ) ( ) ( 1)g x f x f ax a ，则（ ） A( ) x xB( ) x xC( ) ( )g x f xD( ) ( )g x f x【答案】 B 【解析】因为()上的增函数，令)(，所以1()( ，因为1a，所以) 2 - 是 符号函数1, 0, 01, 0知，1, 0( ) 0 , 0 0xg x x . 【考点定位】 符号函数，函数的单调性 . 【名师点睛】 构造法数求解高中数学问题常用方法，在选择题、填空题及解答题中都用到，特别是求解在选择题、填空题构造恰当的函数，根 据已知能快捷的得到答案 . 4.【 2015高考安徽，理 2】下列函数中，既是偶函数又存在零点的是（ ） （ A）y B）y C）y l（ D）2 1【答案】 A 【考点定位】 【名师点睛】函数的性质问题以及函数零点问题是高考的高频考点，考生需要对初高中阶段学习的十几 种初等函数的单调性、奇偶性、周期性以及对称性非常熟悉；另外，函数零点的几种等价形式：函数( ) ( )y f x g x有零点函数( ) ( )y f x g 程( ) ( ) 0f x g x有根 函数()f x与y g有交点 . 5.【 2015高考四川，理 8】 设 a， 的正数，则 “3 3 3” 是 “ 的 （ ） （ A） 充要条件 （ B）充分不必要条件 （ C）必要不充分条件 （ D）既不充分也不必要条件 【答案】 B 【解析】 若3 3 3，则1，从而有 ，故为充分条件 . 若 不一定有1，比如 ，从而3 3 3不成立 . 【考点定位】 命题与逻辑 . 【名师点睛】充分性必要性的判断问题，首先是分清条件和结论，然后考察条件推结论，结论推条件是否成立 角、不等式等数学知识结合起来考 . 6.【 2015高考北京，理 7】 如图，函 数不等式 2f x x - 3 - 的解集是（ ） A BO 22 | 1 0B | 1 1 C| 1D| 2【答案】 C 【解析】如图所示，把函数2图象向左平移一个单位得到 2 1)的图象 1x时两图象相交，不等式的解为11x ，用集合表示解集选 C 【考点定位】本题考查作基本函数图象和函数图象变换及利用函数图象解不等式等有关知识，体现了数形结合思想 . 【名师点睛】本题考查作基本函数图象和函数图象变换及利用 函数图象解不等式等有关知识，本题属于基础题，首先是函数图象平移变换，把2 个单位，得到22)的图象，要求正确画出画出图象，利用数形结合写出不等式的解集 . 7.【 2015高考天津，理 7】已知定义在 R 上的函数 21（偶函数，记 0. 5 2( lo g 3 ) , lo g 5 , 2a f b f c f m ，则, ) （ A）（ B）a c b（ C）c a b（ D）c b a【答案】 C 【解析】 因为函数 为偶函数，所以0m，即 以 2 21l o g l o g 1( lo g 3 ) lo g 2 1 2 1 3 1 2 ,3f f 2l o g 5 02lo g 5 2 1 4 , 2 ( 0) 2 1 0b f c f m f - 4 - 所以c a b，故选 C. 【考点定位】 数式的运算 . 【名师点睛】本题主要考查函数的奇偶性与指数、对数的运算问题，先由函数奇偶性知识求出算出相应的,中档题 . 其中计算 8.【 2015高考浙江，理 7】存在函数()任意有（ ） A. ( ) x xB. 2( )f x x xC. 2( 1 1f x D. 2 1x x 【答案】 D. 【考点定位】函数的概念 【名师点睛】本题主要考查了函数的概念，以及全称量词与存在量词的意义，属于较难题，全称量词与存在量词是考试说明新增的内容，在后续复习时应予以关注，同时，“存在”，“任意”等一些抽象的用词是高等数学中经常会涉及的，也体现了从高中数学到大学高等数学的过渡，解题过程中需对函数概念的本质理解到位，同时也考查了举反例的数学思想 . 9.【 2015高考安徽，理 9】 函数 2ax 的图象如图所示，则下列结论成立的是（ ） （ A）0a，b，0c（ B）0a，b，0c（ C）， ， （ D） ， ， - 5 - 【答案】 C 【解析】 由 2ax 及图象可知，0c，则0；当x时，2(0) 0bf c，所以0b；当0y，0ax b，所以0bx a ，所以ab，0c，选 C. 【考点定位】 【名师点睛】函数图象的分析判断主要依据两点：一是根据函数的性质，如函数的奇偶性、单调性、值域、定义域等；二是根据特殊点的函数值，采用排除的方法得出正确的选项 在图形中判断出来，另外，根据特殊点的位置能够判断, 10.【 2015高考天津，理 8】已知函数 22 , 2 ,2 , 2 , 函数 2g x b f x ，其中若函数 y f x g x恰有 4个零点，则 ) （ A）7,4（ B）7,4（ C）70,4（ D）,2【答案】 D 【解析】 由 22 , 2 ,2 , 2 , 得22 2 , 0( 2 ),0 ， 所以222 , 0( ) ( 2 ) 4 2 , 0 22 2 ( 2 ) , 2x x xy f x f x x x xx x x ， - 6 - 即222 , 0( ) ( 2 ) 2 , 0 25 8 , 2x x xy f x f x xx x x ( ) ( ) ( ) ( 2 )y f x g x f x f x b ,所以 y f x g x恰有 4个零点等价于方程 ( ) (2 ) 0f x f x b 有 4 个不同的解，即函数函数( ) (2 )y f x f x的图象的 4个公共点，由图象可知7 2b. 8642246815 10 5 5 10 15【考点定位】 求函数解析、函数与方程思、数形结合 . 【名师点睛】 本题主要考查求函数解析、函数与方程思、数形结合思想以及学生的作图能力 数零点、方程的解等知识结合在一起，利用等价转换、数形结合思想等方法，体现数学思想与方法，考查学生的运算能力、动手作图能力以及观察能力 11.【 2015 高 考山东，理 10】设函数 3 1, 1,2 , 1x 错误 !未找到引用源。 则满足 2 f a 的 ） （ A）2,13（ B） 0,1（ C）2,3（ D） 1,【答案】 C 【考点定位】 1、分段函数； 2、指数函数 . - 7 - 【名师点睛】本题以分段函数为切入点，深入考查了学生对函数概念的理解与掌握，同时也考查了学生对指数函数性质的理解与运用，渗透着对不等式的考查，是一个多知识点的综合题 . 12.【 2015 高考新课标 2，理 10】 如图，长方形1是 记x 将动 、 和表示为()y f x的图像大致为 （ ） (D )(C )(B )(A )23 4223 42423 4223 424案】 B 【 解 析 】 由 已 知 得 ， 当 点 运 动 时 ， 即0 4x 时，2ta n 4 ta B x x ；当点 在3 ,4 4 2 时，2211( 1 ) 1 ( 1 ) 1t a n t a B ，当2x时，22B；当点 34 x 时，2ta n 4 ta B x x ，从点 迹关于直线2x 对称，且( ) ( )42，且轨迹非线型，故选 B 【考点定位】函数的图象和性质 【名师点睛】本题考查函数的图像与性质，表面看觉得很难，但是如果认真审题，读懂题意，通过点 P 的运动轨迹来判断图像的对称性以及特殊点函数值的比较，也可较容易找到答案，属于中档 题 D P C B O A x - 8 - 13. 【 2015 高 考 新 课 标 2 ，理 5 】 设函数211 2 ) , 1 ,()2 , 1, ,2( 2) (2) ( ) A 3 B 6 C 9 D 12 【答案】 C 【解析】由已知得2( 2) 1 3f ，又2，所以222 1 2(2) 2 2 6f ，故2( 2) (2) 9 ，故选 C 【考点定位】分段函 数 【名师点睛】本题考查分段函数求值，要明确自变量属于哪个区间以及熟练掌握对数运算法则，属于基础题 14.【 2015高考新课标 1，理 13】 若函数 f(x)=2)x x a x为偶函数，则 a= 【答案】 1 【 考点定位 】函数的奇偶性 【名师点睛】本题主要考查已知函数奇偶性求参数值问题，常用特值法，如函数是奇函数，在 x=0处有意义，常用 f(x)=0,求参数，否则用其他特值，利用特值法可以减少运算 . 15.【 2015高考浙江，理 12】若4则22 【答案】334. 【解析】3a，3234 33431322 【考点定位】对数的计算 【名师点睛】本题主要考查对数的计算，属于容易题，根据条件中的对数式将其等价转化为指数式，变形 即可求解，对数是一个相对抽象的概念，在解题时可以转化为相对具体的指数式，利用指数的运 算性质求 解 . - 9 - 13.【 2015高考湖南，理 15】已知32,(),x x x a ，若存在实数b，使函数( ) ( )g x f x b有两个零点，则是 . 【答案】),1()0,( . 【解析】 试题分析：分析题意可知，问题等价于方程)(3 与方程)(2 的根的个数和为 2， 若两个方程各有一个根：则可知关于23a b a，从而1a； 若方程)(3 无解，方程)(2 有 2个根：则可知关于组而 0a，综上，实数1()0,( . 【考点定位】 【名师点睛】本题主要考查了函数的零点，函数与方程等知识点，属于较难题，表面上是函数的零点问题，实际上是将问题等价转化为不等式组有解的问题，结合函数与方程思想和转化思想求解函数综合问题，将函数的零点问题巧妙的转化为不等式组有解的参数，从而得 到关于参数题是创新题，区别于其他函数与方程问题数形结合转化为函数图象交点的解法，从另一个层面将问题进行转化，综合考查学生的逻辑推理能力 . 16.【 2015高考四川，理 15】 已知函数)( ， 2)(（其中 2121 )( xx ，2121 )()( xx （ 1）对于任意不相等的实数21,x，都有0m； （ 2）对于任意的 有n； - 10 - （ 3）对于任意的 a，存在不相等的实数21,得 （ 4）对于任意的 a，存在不相等的实数,，使得n. 其中的真命题有 （写出所有真命题的序号） . 【答案】 【解析】 设1 1 2 2 1 1 2 2( , ( ) ) , ( , ( ) ) , ( , ( ) ) , ( , ( ) )A x f x B x f x C x g x D x g x. 对（ 1），从2图象可看出，0恒成立，故正确 . 对（ 2），直线 斜率可为负，即0n，故不正确 . 对（ 3），由 m= 1 2( ) ( ) ( ) ( )f x f x g x g x ，即1 1 2 2( ) ( ) ( ) ( )f x g x f x g x . 令2( ) ( ) ( ) 2 xh x f g x x ，则( 2 2xh x a . 由( ) 0得：2 2x ，作出2 ,xy y x a 的图象知，方程2 2x 不一定有解，所以()不一定有极值点，即 对于任 意的 a，不一定存在不相等的实数21,x，使得12( ) ( )h x h x，即不 一定存在不相等的实数21,x，使得故不正确 . 对（ 4）， 由 m= 2 1( ) ( ) ( ) ( )f x f x g x g x ，即1 1 2 2( ) ( ) ( ) ( )f x g x f x g x . 令2( ) ( ) ( ) 2 xh x f g x x ，则( 2 2xh x x a . 由( ) 0得：2 2x ，作出2 , 2xy y x a 的图象知，方程2 2x 必一定有解，所以() 对于任意的 a，一定存在不相等的实数21,x，使得( ) ( )h x h x，即 一定存在不相等的实数21,x，使得 所以（ 1）（ 4） 【考点定位】 函数与不等式的综合应用 . 【名师点睛】四川高考数学 15题历来是一个异彩纷呈的题，个中精彩读者可从解析中慢慢体会 过转化使问题得以解决 . 17.【 2015高考浙江，理 10】已知函数2 3, 1()1), 1 ，则( ( 3)，() 【答案】0，3 - 11 - 【考点定位】分段函数 【名师点睛】本题主要考查分段函数以及求函数的最值，属于容易题，在求最小值时，可以求每个分段上 的最小值，再取两个最小值之中较小的一个即可，在求最小值时，要注意等号成立的条件，是否在其分段 上，分段函数常与数形结合，分类讨论等数学思想相结合，在复习时应予以关注 . 18.【 2015高考四川，理 13】 某食品的保鲜时间 y（单位：小时）与储存温度 x（单位：C）满足函数关系（718.2k、 若该食品在 0的保鲜时间设计 192小时，在 22C的保鲜时间是 48 小时，则该食品在 33C的保鲜时间是 小时 . 【答案】 24 【解析】 由题意得：22 1122192 48 1 1,192 4 248 ，所以33x时，33 11 3 1( ) 192 248k b k by e e e . 【考点定位】 函数及其应用 . 【名师点睛】这是一个函数应用题，利用条件可求出参数 k、 b，但在实际应用中往往是利用整体代换求解（不要总是想把参数求出来） 问题大大简化 . 19.【 2015高考安徽，理 15】设3 0x ax b ，其中,列条件中，使得该三次方程仅有一个实根的是 .（写出所有正确条件的 编号） 3, 3 ；2；3, 2 ；0 2；1,. 【答案】 【解析】 令3()f x x ax b ，求导得2( ) 3f x x a，当0a时， ) 0所以()单调递增，且至少存在一个数使( ) 0至少存在一个数使( ) 0，所以3f x x ax b 必有一个零点，即方程3 0x ax b 仅有一根，故正确；当0a - 12 - 时，若3a，则2( ) 3 3 3 ( 1 )( 1 )f x x x x ，易知，(), 1 ,(1, ) 上单调递增，在1,1上单调递减，所以) = ( 1 ) 1 3 2f f b b 极 大， ( ) = (1 ) 3 2f x f b b 极 小， 要 使 方 程 仅 有 一 根 ， 则( ) = ( 1 ) 1 3 2 0f x f b b 极 大或者 ( ) = (1 ) 1 3 2 0f x f b b 极 小，解得2b或2，故正确 根的是 . 【考点定位】 1函数零点与方程的根之间的关系 ； 【名师点睛】高考中若出现方程问题，通常情况下一定要考虑其对应的函数，了解函数的大致图象特征，便于去分析方程；若出现的是高次函数或非基本初等函数，要利用导数这一工具进行分析其单调性、极值与最值；函数零点问题考查时，要经常性使用零点存在性定理 . 20.【 2015 高考福建，理 14】若函数 6 , 2 ,3 2 , （0a且1a）的值域是 4,，则实数 【答案】(1,2【解析】当2x，故64x ，要使得函数()4,，只需1( ) 3 af x x（x）的值域包含于 4,，故1a，所以1( ) 3 ，所以3 4a，解得12a，所以实数,2 【考点定位】分段函数求值域 【名师点睛】本题考查分段函数的值域问题，分段函数是一个函数，其值域是各段函数值取值范围的并集，将分段函数的值域问题转化为集合之间的包含关系，是本题的一个亮点，要注意分类讨论思想的运用，属于中档题 【 2015 高考上海，理 10】 设 1为 22 2x x， 0,2x的反函数，则 1y f x f x的最大值为 【答案】 4 - 13 - 【解析】 由题意得：2( ) 2 2x 在0,2上单调递增，值域为1 ,24，所以 11 ,24上 单 调 递 增 ， 因 此 1y f x f x在1 ,24上 单 调 递 增 ， 其 最 大 值 为1(2) (2) 2 2 【考点定位】 反函数性质 【 名师点睛 】 反函数与原函数的对应关系是解决问题的关键，一般有两个处理方法，一是从原函数出发求其反函数，再求函数最大值，本题求反函数教困难；二是利用反函数定义域对应原函数值域，反函数值域对应原函数定义域，反函数与原函数对偶区间上单调性一致，求出函数最大值 . 【 2015高考上海， 理 7】 方程 1122 5 2 2 的解为 【答案】 2 【考点定位】 解指对数不等式 【 名师点睛 】 对可化为 b c 0或 b c0( b c0) 的指数方程或不等式，常借助换元法解决求解与指 对 数有关的复合 方程 问题，首先要熟知指 对 数 式 的定义域、值域、单调性等相关性质，其次要明确复合的构成，涉及值域、单调区间、最值等问题时，都要借助 “ 同增异减 ” 这一性质分析判断，最终将问题归结 为内层 方程 相关的问题加以解决 21.【 2015高考北京，理 14】 设函数 214 2 1.x x a x a x 若1a，则 ； 若恰有 2个零点，则实数 【答案】 (1)1， (2)1 12 a或 2. 【解析】 1a时， 2 1 14 1 2 1. x x x x ，函数(),1)上为增函 - 14 - 数，函数值大于 1，在31,2为减函数，在 , )为增函数，当32x时，()； （ 2）若函数( ) 2xg x a在 1x时与 0a，并且当 1时，(1) 20，则 02a，函数( ) 4( )( 2 )h x x a x a 与 以21且 1 1 12 a； 若函数( ) 2xg x a与 函数( ) 4( )( 2 )h x x a x a 与 0a时()有无交点， 在 1与 合题意；当(1) 2 0 时， 2a，() 2，由于 a，两交点横坐标均满足 1x；综上所述 2 a. 考点定位：本题考点为函数的有关性质，涉及函数图象、函数 的最值，函数的零点、分类讨论思想解 【名师点睛】本题考查函数图象与函数零点的有关知识，本题属于中等题，第一步正确画出图象，利用函数图象研究函数的单调性，求出函数的最值，第二步涉计参数问题，针对参数进行分类讨论，按照题目所给零点的条件，找出符合零点要求的参数a，讨论要全面，注意数形结合 22.【 2015高考江苏， 13】 已知函数|( ，1,2|4|10,0)(2 方程 1|)()(| 【答案】 4 【解析】由题意得：求函数()y f x与1 ( )y g x交点个数以及函数()y f x与1 ( )y g x 交点个数之和，因为221, 0 11 ( ) 7 , 21,1 2xy g x x ，所以函数y f x与1 ( )y g x有两个交 - 15 - 点，又221, 0 11 ( ) 5 , 23 ,1 2xy g x x ，所以函数()y f x与1 ( )y g x 有两个交点，因此共有 4个交点 【考点定位】函数与方程 【名师点晴】 一些对数型方程不能直接求出 其 零点 ， 常通过平移、对称变换转化为相应的函数图像问题，利用数形结合法 将方程根的个数转化为对应 函数零点个数 ，而 函数零点个数的判断通常转化为两函数图像交点的个数 这时函数图像是解题关键，不仅要研究其走势（单调性，极值点、渐近线等），而且要明确其变化速度快慢 . 22.【 2015高考浙江，理 18】已知函数2( ) ( , )f x x ax b a b R ，记( , )|,1上的最大值 . （ 1） 证明：当| | 2a时，( , ) 2M a b ； （ 2）当a，, )，求| | | |最大值 . 【答案】（ 1）详见解析；（ 2）3. 试题分析：（ 1）分析题意可知(),1上单调，从而可知 ( , ) m a x | (1 ) |, | ( 1 ) |M a b f f，分类讨论；（ 2）分析题意可知 | |, 0| | | | |, 0a b b ，再由( , ) 2M a b 可得|1 | | (1) | 2f ， |1 | | ( 1) | 2a b f ，即可得证 . - 16 - 【考点定位】 【名师点睛】本题主要考查了二次函数的性质以及分类讨论的数学思想，属于中档题，以二次函数或指对 函数为背景的函数综合题是今年数学考试说明调整之后的热点题型，创新题，亮点问题常源于此，通常会 结合函数与方程，不等式，化归 ，分类讨论的数学思想，数形结合的数学思想等知识点，综合考查学生的 逻辑推理能力与运算求解能力，在复习时应予以关注 . 22.【 2015高考湖南，理 5】设函数( ) 1 ) 1 )f x x x ，则() ） 在(0,1)上是增函数 B. 奇函数，且在(0,1)上是减函数 C. 偶函数，且在(,)上是增函数 D. 偶函数，且在(,)上是减函数 【答案】 A. 【解析】 试 题 分 析 ： 显 然 ，)( 域 为)1,1， 关 于 原 点 对 称 ， 又 )()11( ，)(然，)(上单调递增，故选 A. 【考点定位】函数的性质 . - 17 - 【名师点 睛】本题主要考查了以对数函数为背景的单调性与奇偶性，属于中档题，首先根据函数奇偶性的 判定可知其为奇函数，判定时需首先考虑定义域关于原点对称是函数为奇函数的必要条件，再结合复合函 数单调性的判断，即可求解 . 【 2015高考上海，理 20】如图， ， ，千米，千米，千米 两警员同时从 地出发匀速前往 地，经过们之间的距离为位：千米） ，速度为5千米 /小时，乙的路线是C，速度为8千米 /小时 地后原地等待 乙到达 （ 1）求11的值； （ 2）已知警员的对讲机的有效通话距离是3千米 时，求判断1,1说明理由 . 【答案】 （ 1）1 38t， 1 3 418 2）187,558783,184225)(2超过3. 【解析】 解：（ 1）1 38t 记乙到，则15D 8千米 在中，2 2 2C D C D 2 C D c ， 所以 1 3C D 418（千米） . （ 2）甲到达 用时 1小时；乙到达 到 总用时78小时 当1 3788 时， - 18 - 【考点定位】 余弦定理 【 名师点睛 】解三角形时，有时可用正弦定理，有时也可用余 弦定理，应注意用哪一个定理更方便、简捷如果式子中含有角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理；如果遇到的式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到 - 1 - 专题三 导数 1.【 2015高考福建，理 10】若定义在 01f ，其导函数足 1f x k ，则下列结论中一定错误的是（ ） A11f B1f C11f D 1 11【答案】 C 【解析】由已知条件，构造函数( ) ( )g x f x ( ) ( ) 0g x f x k ，故函数()上单调递增，且1 01k ，故1( ) (0)1，所以1( ) 1 ，()11f ，所以结论中一定错误的是 C，选项 造函数( ) ( )h x f x x，则( ) ( ) 1 0h x f x ，所以函数()上单调递增，且1 0k，所以1( ) (0)，即11( ) 1f ，( 1f ，选项 A,选 C 【考点定位】函数与导数 【名师点睛】联系已知条件和结论，构造辅助函数是高中数学中一种常用的方法，解题中若遇到有关不等式、方程及最值之类问题，设法建立起目标函数，并确定变量的限制条件，通过研究函数的单调性、最值等问题，常可使问题变得明了，属于难题 2.【 2015高考陕西，理 12】 对二次函数2()f x ax bx c （四位同学分别给出下列结论，其中有且仅有一个结论是错误的，则错误的结论是 （ ） A 1是() B 1是()C 3是 的极值 D. 点(2,8)在曲 线()y f x上 【答案】 A 【解析】若选项 项 B、 C、 2f x ax b ，因为 1是是以 1013，即203 ，解得：23，因为点 2,8在曲线 y f x上，所以4 2 8a b c ，即 4 2 2 3 8a a a ，解得：5a，所以10b，8c，所以 25 10 8f x x x ，因为 - 2 - 21 5 1 10 1 8 23 0f ，所以 1不是以选项 项 B、 C、 故选 A 【考点定位】 1、函数的零点； 2、利用导数研究函数的极值 【名师点晴】本题主要考查的是函数的零点和利用导数研究函数的极值，属于难题解题时一定要抓住重要字眼“有且仅有一个”和“错误”，否则很容易出现错误解推断结论的试题时一定要万分小心，除了作理论方面的推导论证外，利用特 殊值进行检验，也可作必要的合情推理 3.【 2015高考新课标 2，理 12】 设函数()( )f x x R的导函数，( 1) 0f ，当0x时， ( ( ) 0xf x f x，则使得( ) 0成立的 ） A( , 1) (0,1) B( 1,0) (1, ) C( , 1) ( 1, 0) D(0, ) (1, )【答案】 A 【考点定位】导数的应用、函数的图象与性质 【名师点睛】联系已知条件和结论，构造辅助函数是高中数学中一种常用的方法，解题中若遇到有关不等式、方程及最值之类问题，设法建立起目标函数，并确定变量的限制条件，通过研究函数的单调性 、最值等问题，常可使问题变得明了，属于难题 4.【 2015 高考新课标 1，理 12】设函数()2 1)xe x ax a ,其中 a 1，若存在唯一的整数0x，使得0() ） (A)1） (B)未找到引用源。 ，34错误 !未找到引用源。 ） (C)错误 !未找到引用源。 ， 错误 !未找到引用源。 ） (D)错误 !未找到引用源。 ， 1） 【答案】 D - 3 - 【解析】设()2 1)y ax a，由题知存在唯一的整数0x，使得0()ax 因为( ) (2 1)xg x e x ，所以当12x时， 0，当12x时 ， 0，所以当12x时，( )2当0x时，(0)g=1) 3 0，直线y 1,0）斜率且a，故(0) 1 ，且1( 1) 3g e a a ，解得32ea 1，故选 D. 【 考点定位 】本题主要通过利用导数研究函数的图像与性质解决不等式成立问题 【名师点睛】对存在性问题有三种思路，思路 1：参变分离，转化为参数小于某个函数（或参数大于某个函数），则参数该于该函数的最大值（大于该函数的最小值）；思路 2：数形结合，利用导数先研究函数的图像与性质，再画出该函数的草图，结合图像确定参数范围，若原函数图像不易做，常化为一个函数存在一点在另一个函数上方，用图像解；思路 3：分类讨论，本题用的就是思路 2. 5.【 2015高考陕西，理 16】 如图，一横截面为等腰梯形 的水渠，因泥沙沉积，导致水渠截面边界呈抛物线型（图中虚线表示），则原始的最大流量与当前最大流量的比值为 【答案】析】建立空间直角坐标系，如图所示： - 4 - 原始的最大流量是 1 10 10 2 2 2 162 ，设抛物线的方程为2 2x 0p），因为该抛物线过点 5,，所以22 5p，解得254p，所以2 252即2225以当前最大流量是 5 32 3 5 355 2 2 2 2 402 2 2 5 5 2 5 525 75 75 75 3x dx x x ，故原始的最大流量与当前最大流量的比值是16 所以答案应填： 【考点定位】 1、定积分； 2、抛物线的方程； 3、定积分的几何意义 【名师点晴】本题主要考查的是定积分、抛物线的方程和定积分的几何意义，属于难题解题时一定要抓住重要字眼“原始”和“当前”，否则很容易出现错误解本题需要掌握的知识点是定积分的几何意义，即由直线y和曲线 y f x所围成的曲边梯形的面积是 ba f x 6.【 2015 高考天津，理 11】曲线2围成的封闭图形的面积为 . 【答案】6 5 - 【考点定位】 定积分几何意义与定积分运算 . 【名师点睛】本题主要考查 定积分几何意义与运算能力 考查微积分的基本思想又考查了学生的作图、识图能力以及运算能力 . 【 2015高 考湖南，理 11】20( 1)x . 【答案】0. 【解析】 试题分析：0)21()1( 2220 0 【考点定位】定积分的计算 . 【名师点睛】本题主要考查定积分的计算，意在考查学生的运算求解能力，属于容易题，定积分的计算通常有两类基本方法：一是利用牛顿 是利用定积分的几何意义求解 . 7.【 2015高考新课标 2，理 21】 （本题满分 12 分） 设函数2() x e x () 证明：(),0)单调递减，在(0 )单调递增； （ ）若对于任意, 1,1， 都有12( ) ( ) 1f x f x e ， 求 - 6 - 【答案】 () 详见解析； （ ）1,1 【解析】 () ( ) ( 1) 2x m e x 若0m，则当( ,0)x时，10， ) 0当(0, )x 时，10，( ) 0 若0m，则当( ,0)x时， ) 0；当(0, )x 时，( ) 0 所以，(),0)单调递减，在(0 )单调递增 （ ） 由 () 知，对任意的m，()1,0单调递减，在01单调递增，故()取得最小值所以对于任意12, 1,1，12( ) ( ) 1f x f x e 的充要条件是 ：(1) (0) 1,( 1 0) 1,f f ef e 即1,1,m ee m e ， 设 函 数( ) 1tg t e t e ，则( ) 1tg t e当0t时，( 0当0t时，( ) 0故()在( ,0)单调递减，在(0, )单调递增 又(1) 0g ，1( 1) 2 0g e e ，故当 1, t时，) 0当 1,1m时，( ) 0( ) 0， 即式成立当1m时，由()的单调性，( ) 0即1me m e ；当时，( )，即1e m e 综上，1,1 【考点定位】导数的综合应用 【名师点睛】 () 先求导函数 ( ) ( 1) 2x m e x ，根据,0)和(0, )的符号即可； （ ）12( ( ) 1f x f x e 恒成立，等价于m a x( ) ( ) 1f x f x e 由12,个独立的变量，故可求研究() () 可得最小值为(0) 1f ，最大值可能是( 1)f 或1)f，故只需(1) (0) 1,( 1) (0) 1,f f ef f e ，从而得关于不易解出，故利用导数研究其单调性和符号，从而得解 8.【 2015高考江苏， 19】 （本小题满分 16 分） - 7 - 已知函数),()( 23 . （ 1）试讨论)( （ 2）若（实数 c是 当函数)(a 的取值范围恰好是),23()23,1()3,( ，求 【答案】（ 1）当0a时， ,上单调递增； 当0a时， 在2, 3a，0,上单调递增，在2 ,03a上单调递减； 当0a时， 在 ,0，2 ,3a 上单调递增，在20, 3a上单调递减 （ 2）0a时， 2, 0 ,3 时， 0，20, 3时， 0， 所以函数,0，2 ,3a 上单调递增，在20, 3a上单调递减 （ 2）由（ 1）知，函数的两个极值为 03243 27af a b ，则函数有三个 零点等价于 324003 27af f b a b ，从而304 027 或 - 8 - 304027 又b c a，所以当0a时，34 027 a a c或当0a时，34 027 a a c 设 3427g a a a c ，因为函数的取值范围恰好是 33, 3 1 , ,22 ，则在 ,3上 0且在331, ,22 上 0恒成立， 从而 3 1 0 ，且3 102 ，因此1c 此时， 3 2 21 1 1 1f x x ax a x x a x a ， 因函数有三个零点，则 2 1 1 0x a x a 有两个异于 1的不等实根， 所以 2 21 4 1 2 3 0a a a a ，且 21 1 0 ， 解得 33, 3 1 , ,22a 综上1c 【考点定位】利用导数求函数单调性、极值、函数零点 【名师点 晴】 求函数的单调区间的 步骤： 确定函数 y f(x)的定义域； 求导数 y f(x) ，令 f(x) 0，解此方程，求出在定义区间内的一切实根； 把函数 f(x)的间断点 (即 f(x)的无定义点 )的横坐标和上面的各实数根按由小到大的顺序排列起来，然后用这些点把函数f(x)的定义区间分成若干个小区间； 确定 f(x) 在各个区间内的符号，根据符号判定函数在每个相应区间内的单调性 已知函数的零点个数 问题处理方法为： 利用函数的 单调性、极值画出函数的大致图像，数形结合求解 已知不等式解集求参数方法：利用不等式解集与对应方程根的关系找等量关系或不等关系 . 9.【 2015高考福建，理 20】已知函数f( ) )，( ) , (k ),g x =?( )证明：当0x x x,使得对0(0 ), ， 恒 有f( ) ( )x g x ； - 9 - ( )确定 得存在0t，对任意的(0 ), f ) ( ) |x g x ) (0) 0,F x F时， (2)令G ( ) f ( ) ( ) l n( 1 ) , ( 0 , ) ,x x g x x k x x= - = + - ? ?则有(1 k)() 1 + 1 +x - = - =当0kG( ) 0x ,所以), )+?上单调递增 , G( ) (0) 0(3)当1k时，由（ 1）知，对于(0, ),x 违 +( ) f( )g x x x ，故( ) f( )g ， | f ( ) ( ) | ( ) ( ) k l n( 1 )x g x g x f x x - = - +， 令2M( ) k l n( 1 ) , 0 )x x x x x= - + - 违 ， +，则有21 - 2 +( ) 1M ( ) k 2 = ,11 x x - = - -+故当22 ( k 2) 8 ( k 1 )4 + - + ，时，M( ) 0x ,M() k 2) 8 ( k 1 ) 0 )4k - + - + -，上单调递增，故M( ) M (0) 0x =,即2| f( ( ) |g x 所以满足题意的 当1k,使得对任意的任意的0(0 ),恒有f( ) (x g x - 10 - 此时| f ( ) ( ) | f ( ) ( ) l n( 1 ) kx g x x g x x - = + -, 令2N ( ) l n( 1 ) k , 0 )x x x x x= + - - 违 ， +，则有2 1 - 2 - ( k+2) 1( ) 2 = ,11 x x kN x k += - -+故当2( + 2 ( k + 2) 8 ( 1 k )0)4 + + （ ，时，N( ) 0x ,M()在2( 2) ( k 2) 8 (1 k) 0 )4 + + + -，上单调递增，故( ) (0) 0,即2f( ) ( )x g x 记02) ( k 2) 8 (1 k)4 + + 则当21( 0 ) | f ( ) ( ) |x x x g x x?， 时 ， 恒 有，故满足题意的 当=1k，由（ 1）知，(0, ),| f ) ( ) | ( ) ( ) l n( 1 )x g x g x f x x - = - +， 令2H ( ) l n( 1 ) , 0 )x x x x x= - + - 违 ， +，则有21 - 2H ( ) 1 2 = , = - ，( ) 0x 时，由 （ 1）知，对于(0, ),x 违 +( ) f( )g x x x ， 故| f ( ) ( ) | ( ) ( ) k l n( 1 ) k ( k 1 )x g x g x f x x x x x - = - + - = -， 令2( k 1 ) , 0 1x x 时，(0, 1) 于恒有2| f( ) ( ) |x g x 所以满足题意的 当k,使得0(0 ), ， 恒 有1f( ) ( )x k x kx g x =. 此时1 1| f ( ) ( ) | f ( ) ( ) ( k) 2 kx g x x g x k x - - =, - 11 - 令21 k 1 k,022x x x , 记0的为1x，则当21( 0 ) | f ( ) ( ) |x x x g x x?， 时 ， 恒 有， 【考点定位】导数的综合应用 【名师点睛】 在解函数的综合应用问题时 ,我们常常借助导数 ,将题中千变万化的隐藏信息进行转化，探究这类问题的根本，从本质入手 ,进而求解，利用导数研究函数的单调性，再用单调性来证明不等式是函数、导数、不等式综合中的一个难点，解题技巧是构造辅助函数，把不等式的证明转化为利用导数研究函数的单调性或最值，从而证得不等式，注意( ) ( )f x g x与) ( )f x g x不等价，) ( )f x g x只是( ) ( )f g x的特例，但是也可以利用它来证明，在 2014 年全国卷理科高考 21 题中，就是使用该种方法证明不等式；导数的强大功能就是通过研究函数极值、最值、单调区间来判断函数大致图象，这是利用研究基本初等函数方法所不具备的，而是其延续 10.【 2015江苏高考， 17】（本小题满分 14 分） 某山区外围有两条相互垂直的直线型公路，为进一步改善山 区的交通现状，计划修建 一条连接两条公路的山区边界的直线型公路，记两条相互垂直的公路为12山区边 界曲线为 C，计划修建的公路为 l，如图所示， M， 的两个端点，测得点 距离分别为 5千米和 40千米，点 距离分别为 20千米和 ，所在的直线分别为 x， 立平面直角坐标系 设曲线 函数2ay （其中 a， 型 . （ 1）求 a， M N l1 y C P l - 12 - （ 2）设公路 相切于 t. 请写出公路 写出其定义域； 当 路 出最短长度 . 【答案】（ 1）1000, 0;（ 2）6 249 10 9( ) ,4f t 定义域为5,20， m , ( ) 15 3t f 【解析】 （ 1）由题意知，点 ，的坐标分别为 5,40， 20, 将其分别代入2ay ， ， 解得10000 （ 2） 由（ 1）知，21000y x（5 20），则点 的坐标为21000,t t， 设在点 处的切线， 点，32000y x， 则231000 2000y x ，由此得3 ,02t，230000, t 故 22 62243 3000 3 4 1022tf t ， 5,20t 设 62 44 10g t t t，则 6516 102g t t t 令 0，解得102t 当 5, 2t时， 0，是减函数； 当 10 ,20 ，是增函数 从而，当102t时，函数有极小值，也是最小值，所以 00， 此时 5 3 - 13 - 答：当102t时，公路短长度为153千米 【考点定位】利用导数求函数最值，导数几何意义 【名师点晴】 解决实际应用问题 首先要 弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择数学模型 ，然后 将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用数学知识，建立相应的数学模型； 本题已直接给出模型，只需确定其待定参数即可 出数学结论 ，这一步骤在应用题中要求不高，难度 中等偏下，本题是一个简单的利用导数求最值的问题 数的几何意义是切点处切线的斜率， 然后再利用导数求极值与最值 . 11.【 2015高考山东，理 21】设函数 2f x x a x x ，其中 （）讨论函数说明理由； （）若 0, 0x f x 成立，求 . 【答案】（ I）：当0a时，函数在 1, 上有唯一极值点； 当80 9a时，函数在 1, 上无极值点； 当89a时，函数1,上有两个极值点； （ II）0,1. （ 2）当0a时， 2 8 1 9 8a a a a a 当80 9a时，0， 0以， 函数在 1, 上单调递增无极值； - 14 - 当89a时，0设方程22 1 0ax ax a 的两根为1 2 1 2, ( ),x x x x因为1212所以，11,44 由 1 1 0g 可得：1 11,4x 所以，当 11,时， , 0g x f x，函数 当 12,x x x时， 0, 0f x，函数单调递减； 当 2,时， ,g x f ，函数单调递增； 因此函数 （ 3）当0a时，0由 1 1 0g 可得：1 1,x当 21,时， , 0g x f x，函数 当 2, 时， 0, f ，函数单调递减； 因此函数 综上： 当0a时，函数在 1, 上有唯一极值点； 当80 9a时，函数在 1,上无极值点； 当89a时，函数1, 上有两个极值点； （ （ I）知， （ 1）当80 9数在 0,上单调递增， 因为 00f 所以， 0,x 时， 0符合题意； （ 2）当8 19 a时，由 g ，得2 0x - 15 - 所以，函数0,上单调递增， 又 00f ，所以， 0,x 时， 0符合题意； （ 3）当1a时，由 g ，可得2 0x所以 20,，函数单调递减； 又 f 所以，当 20,时， 0符合题意； （ 4）当0a时，设 h x x x 因为 0,x 时， 11011 当11x a时， 2 10ax a x 此时， 0,合题意 . 综上所述，0,1【考点定位】 1、导数在研究函数性质中的应用； 2、分类讨论的思想 . 【名师点睛】本题考查了导数在研究函数性质中的应用，着重考查了分类讨论、 数形结合、转化的思想方法，意在考查学生结合所学知识分析问题、解决问题的能力，其中最后一问所构造的函数体现了学生对不同函数增长模型的深刻理解 . 12.【 2015高考安徽，理 21】 设函数2()f x x ax b . （）讨论函数(在( , )22内的单调性并判断有无极值，有极值时求出极值； （）记20 0 0f x x a x b ，求函数0(si n ) (si n )f x f x在22 ,上的最大值 D； - 16 - （）在（）中，取000，求24满足 的最大值 . 【答案】 （）极小值为24（）00| | | |D a a b b ； （） 1. 【解析】 （）2( si n ) si n si n si n ( si n )f x x a x b x x a b ，22x . ( si n ) ( 2 si n ) c x x a x，x . 因为x ，所以c , 2 2 si n 2 . 当2,a b R 时，函数(极值 . 当2,b R时，函数 单调递减，无极值 . 当22a ，在( , )22内存在唯一的0x，使得02 02 时，函数(单调递减；0 2时 ，函数(单调递增 . 因此，a ，函数(在0si n ) ( )24x f b . （）x 时， 0 0 0 0 0| ( si n ) ( si n ) | | ( ) si n | | | | |f x f x a a x b b a a b b ， 当00( )( ) 0a a b b 时，取2x ，等号成立， 当时，取2，等号成立， 由此可知，函数0(si n ) (si n )f x f x在22 ,上的最大值为00| | | |D a a b b . （） 即| | | | 1，此时20 1, 1 1 ，从而2 14 . 取0, 1，则| | | |，并且2 14a . 由此可知，24满足条件 的最大值为 1. 【考点定位】 值与最值 ； - 17 - 【名师点睛】函数、导数解答题中贯穿始终的是数学思想方法，在含有参数的试题中，分类与整合思想是必要的，由于是函数问题，所以函数思想、数形结合思想也是必要的，把不等式问题转化为函数最值问题、把方程的根转化为函数零点问题等，转化与化归思想也起着同样的作用，解决函数、导数的解答题要充分注意数学思想方法的应用 . 13.【 2015 高考天津，理 20（本小题满分 14 分）已知函数( ) n ,nf x x x x R ，其中*n ,n 2N. (I)讨论() (曲线()y f x=与，曲线在点 y 求证：对于任意的正实数 ，都有( ) ( )f x g x； (关于)=a (a ) 实 数有两个正实根12求证： 21| - | 21 n,故 为增函数； 当2时，g() 0x ,故 为减函数； - 20 - 由(), )上为减函数，知226 36 36 ，解得92a故 , )2 . 【考点定位】复合函数的导数，函数的极值，切线，单调性考查综合运用数学思想方法分析与解决问题的能力 【名师点晴】 导数及其应用通常围绕四个点进行命题第一个点是围绕导数的几何意义展开，设计求曲线的切线方程，根据切线方程求参数值等问题，这类试题在考查导数的几何意义的同时也考查导数的运算、函数等知识，试题的难度不大；第二个点是围绕利用导数研究函数的单调性、极值 (最值 )展开，设计求函数的单调区间、极值、最值，已知单调区间求参数或者参数范围等问题，在考查导数研究函数性质的同时考查分类与整合思想、化归与转化思想等数学思想方法；第三个点是围绕导数研究不等式、方程展开，涉及不等式的证明、不等式的恒成 立、讨论方程根等问题，主要考查通过转化使用导数研究函数性质并把函数性质用来分析不等式和方程等问题的能力，该点和第二个点一般是解答题中的两个设问，考查的核心是导数研究函数性质的方法和函数性质的应用；第四个点是围 数性质并把函数性质用来分析不等式和方程等问题的能力，该点和第二个点一般是解答题中的两个设问，考查的核心是导数研究函数性质的方法和函数性质的应用； 本题涉及第一个点和第二个点，主要注意问题的转化，转化为不等式恒成立，转化为二次函数的性质 15.【 2015高考四川，理 21】 已知函数22( ) 2( ) l n 2 2f x x a x x ax a a ，其中0a. （ 1）设()论() （ 2）证明：存在(0,1)a，使得( ) 0区间(1,+内恒成立，且( ) 0(1,+)内有唯一解 . 【答案】 （ 1）当10 4a时，()在区间1 1 4 1 1 4( 0 , ) , ( , )22 上单调递增， 在区间1 1 4 1 1 4( , )22 上单调递减；当14a时，(), )上单调递增 .（ 2）详见解析 . 【解析】 （ 1）由已知，函数(), )， ( ) ( ) 2 2 2 l n 2( 1 )ag x f x x a x x ， 所以222112( ) 2( )22 24( ) 2 x x . - 21 - 当10 4a时，() 4 1 1 4( 0 , ) , ( , )22 上单调递增， 在区间1 1 4 1 1 4( , )22 上单调递减； 当14a时，()在区间(0, )上单调递增 . （ 2）由( ) 2 2 2 l n 2( 1 ) 0af x x a x x ，解得11 x . 令221 1 1 11 l n 1 l n 1 l n 1 l n( ) 2( ) l n 2( ) 2( )1 1 1 1x x x x x x x xx x x x xx x x x . 则211( 2) 2( 1 ) 1 0 , ( ) ) 2( ) 011e e ee ， . 故存在0 (1, )使得0( ) 0x . 令000 101 l n , ( ) 1 l n ( 1 )1u x x x ， . 由1) 1 0ux x 知，函数(), )上单调递增 . 所以0 01 1 10()( 1 ) ( ) 2011 1 1 1 1u e e e . 即0 (0,1)a . 【考点定位】 本题考查导数的运算、导数在研究函数中的应用、函数的零点等基础知 识，考查推理论证能力、运算求解能力、创新意识，考查函数与方程、数形结合、分类与整合，化归与转化等数学思想 . 【考点定位】 本题考查导数的运算、导数在研究函数中的应用、函数的零点等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、创新意识，考查函数与方程、数形结合、分类与整合，化归与转化等数学思想 . 【名师点睛】本题作为压轴题，难度系数应在 导数与微积分作为大学重要内容，在 - 22 - 中学要求学生掌握其基础知识，在高考题中也必有体现 要掌握了课本知识，是完全可以解决第（ 1）题的，所以对难度最大的最后一个题，任何 人都不能完全放弃，这里还有不少的分是志在必得的 系图形大胆猜想 . 在本题中，结合待证结论，可以想象出()要使得( ) 0区间(1,+)内恒成立，且( ) 0(1,+)内有唯一解 ，则这个解0极小值为 0，当 0(1, )，()的图象递减 ；当0( , )时， 的图象单调递增，顺着这个思想，便可找到解决方法 . 16.【 2015高考湖北，理 22】已知数列(1 ) ( )n a N， （）求函数( ) 1 x x 的单调区间，并比较1( ) （）计算112122 31 2 3此推测计算1212ba 给出证明； （）令112 nc a a a，数列和分别记为 , 证明：nn 【答案】（）(),0)，单调递减区间为(0, ). 1(1 ) ；（）详见解析；（）详见解析 . 【解析】（） 的定义域为( , )， 1)(. 当) 0 ，即0x时，()单调递 增； 当(，即时， 故()的单调递增区间为,0)，单调递减区间为(0, ). 当0x时，) (0) 0f x f，即1. 令1x n，得11 ，即 )11. （）11111 (1 ) 1 1 21 ；2 2 21 2 1 21 2 1 212 2( 1 ) ( 2 1 ) 32b b b ba a a a ； 2 3 3 31 2 3 3121 2 3 1 2 313 3 ( 1 ) ( 3 1 ) 43b b b a a a a a . 由此推测： 1212( 1) b b na a a 下面用数学归纳法证明 . （ 1）当1n时，左边 右边 2，成立 . - 23 - （ 2）假设当，成立，即1212( 1)b b ka a a . 当1时，1111( 1 ) (1 )1 k ， 由归纳假设可得111 2 1 1 2 11 2 1 1 2 11( 1 ) ( 1 ) ( 1 ) ( 2)1k k kk k k kk k k kb b b b b b b b k k ka a a a a a a a k . 所以当1时，也成立 . 根据（ 1）（ 2），可知对一切正整数 （）由 ，算术 1 2 3c c c c 1111 3121 1 2 1 2 3 1 2( ) ( ) ( ) ( ) a a a a a
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