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年高 数学 第二 平面 解析几何 初步 打包 17 苏教版 必修

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2015年高中数学 第二章 平面解析几何初步学案（打包17套）苏教版必修2,年高,数学,第二,平面,解析几何,初步,打包,17,苏教版,必修

内容简介：

1 点到直线的距离 （） 【学习导航】 知识网络 学习要求 1 掌握点到直线的距离公式，并能熟练运用这一公式 解决一些简单问题 ； 2 会通过方程的思想，根据已知若干点到直线的距离大小（或关系）求点的坐标或直线的方程 ； 3 掌握 两 条 平行直线之间的距离 求法 【课堂互动】 自学评价 1 点00( , )P x l ： 0 0022|A x B y 注意： （ 1） 公式中的直线方程必须化为一般式； （ 2） 分子带绝对值，分母是根式 22； 思考：当 0A 或 0B 时 公式成立吗 ？ 答： _成立 _ 2. 两条平行直线 1l ： 01 2l ：02 21 ）之间的距离为d ，则 1222| 注意： 两条平行直线 1l 与 2l 的形式必须是一般式，同时 x 和 y 前面的系数必须化为一致 【 精典范例 】 例 1： 求点 )2,1(P 到下列直线的距离： （ 1） 0102 （ 2） 23 x 分析： 直接利用 点到直线的距离公式 求解 【 解 】 （ 1）由点到直线的距离公式， 得 ：22 12|102)1(2|d 510 52 ； （ 2）因为直线 23 x 平行于 y 轴， 所以 )1(32 d=35 点评 :本题（ 1）直接利用 点到直线的距离 公式即可得到相应的距离（ 2）可以运用公式（ 0B ），亦可利用该直线 平行于 y 轴 的性质求解 例 2： 求过点 )2,1(P ，且与原点的距离等于22的直线方程 分析： 已知直线经过一个点的情况下通 常可以设点斜式，然后利用 点 到直线的距离 公式求出相应的斜率即可 得出相应的直线方程 【 解 】 当 直线 斜率不存在时， 方程为 1x ，不合 题意 ； 当 直线 斜率存在时， 设方程为： 2 ( 1)y k x ， 即 ： 20kx y k ， 由题意：22122 解得 ： 1k 或 7k ， 所以，所求的直线 方程为： 01 057 点评 :本题设直线方程 时一定要先考虑直线的斜率是否存在，体现数学 思维 的严密性与分类的思想 例 3： 求 两条 平行线 043 0962 间 的距离 分析 ： 两 条 平行直线 之间的距离只要在其中一条上任意取一个点，算出该点到另一直线的距离即可，从而 将 平行直线之间的距离 转化为点到直线的距离 【 解 】 在直线 043 任取一点， 例如取 )0,4(P ，则点 )0,4(P 到直线 0962 距离 d 就是两平行线之间的距离， 2010401629064222 d 点评 :本题将所学的点到直线的距离进行了灵活运用，使我们通过点到直线的距离公式算出了平行直线间的距离 通过本题将问题一般化，对于任意两条 平行直线 1l ： 01 2l ： 02 21 ）之间的距离为2221 例 4:若直线 1l 与直线 2l 3 4 2 0 0 平行点到直线的距离 点到直线的距离公式 两 条 平行直线之间 的距离公式 听课随笔 2 且距离为 3 ，求直线 1l 的方程 分析：因为直线 1l 与 2l 平行，所以直线 1l 与 2以设直线 1l 为 3 4 0x y m 【 解 】 设所求直线方程为 3 4 0x y m ， 由题 意可得，22| 2 0 | 334m ， 解得 ： 5m 或者 35m ， 所以，所求的直线方程为： 3 4 5 0 或 3 4 3 5 0 点评 :本题的关键是怎样设 直线 1l ，充分利用了 两条 直线 平行的性质，从而减少未知量，简化解题步骤 追踪训练一 在直 线 2 4 0 上， O 为原点，则 最小值为 455； 2. 直线 l 过点 (5,10)P ，且与原点的距离等于 5 ，则直线 l 的 方程 为 ： 3 4 2 5 0 或 5x 3. 1l ： 2 3 4 0 ,2l ： 4 6 5 0 之间的距离为 132 已知平行线 0332 0932 求与它们等距离的平行线的方程 【 解 】 设所求直线方程为 2 3 0x y m ， 由题意可得，22| 3 |23m 22| 9 |23m，解得6m 所以，所求的直线方程为： 2 3 6 0 思维点拔： 点00( , )P x l ： 0 A ， B 不同时为 0 ） 的距离 ：0022|A x B y 使用该公式时应该注意： （） 公式中的直线方程必须化为一般式；（） 若点00( , )P x l 上，则 P 到直线 l 的距离为 0 ，此时公式仍适用； （） 特别 地，点00( , )P x y到 x 轴的距离为0|y，到 y 轴的距离为0|x 两条平行直线 1l ： 01 2l ：02 21 ）之间的距离 ：1222|使用该公式时应该注意： 两条平行直线 1l 与 2l 的形式必须是一般式，同时 x 和 y 前面的系数必须化为一致 学生质疑 教师释疑 听课随笔 听课随笔 1 二 节 点到直线的距离（） 【学习导航】 知识网络 学习要求 1 巩固 点到直线的距离公式及两平行直线间的距离公式； 2 掌握点、直线关于点成中心对称（或关于直线成轴对称）的点、直线的求解方法 ； 3 能运用 点到直线的距离公式及两平行直线间的距离公式灵活解决一些问题 【课堂互动】 自学评价 0( , )Q x , )Qx y 关于点 ( , ) 则 02a , 02b 2. 若0 0 0( , )Q x , )Qx y 关于直线 0 称 , 则0 0 0( , )Q x , )Qx y 的中点 落 在 直线0 , 且0 的连线与 0 直 . 【 精典范例 】 例 1： 在直线 30上找一点 ,使它到原点和直线 3 2 0 的距离相等 分析： 直线 30与直线 3 2 0 平行， 即 可 算出 它们之间的距离 ，然后利用两点之间的距离公式算出该点的坐标 【 解 】 直线 30与 3 2 0 之间 的距离为 ：22| 2 0 | 10513 设直线 30上的点00( , )P x 0022 2003010()5 ， 解得 003515 或 003515 ， 所求点的坐标为 31( , )55或 31( , )55 点评 :本题主要利用两条平行直线之间的距离公式解决问题，是对上节课所学内容的一个复习与巩固 例 2： 求直线 2 1 1 1 6 0 关于点 (0,1)方程 分析： 解题的关键 是 中心对称的两直线互相平行，并且两直线与对称中心的距离相等 【 解 】 设所求直线的方程为 2 1 1 0x y C ， 由点到直线的距离公式可得 2 2 2 2| 0 1 1 1 6 | | 0 1 1 |2 1 1 2 1 1C ， 16C （舍去）或 38C ， 所以，所求直线的方程为 2 1 1 3 8 0 点评 :本题也可以利用点与点的对称，设直线2 1 1 1 6 0 上任意一点 0 0 0( , )A x y （0 0 0( , )A x 1 1 1 6 0 上，所以002 1 1 1 6 0 ） 与 (0,1)P 对称的点为( , )Ax y 则 0 02 ， 0 12 解得0，0 2，然后将0x，0入002 1 1 1 6 0 求出所求直线，比较而言 ， 此法注重轨迹的推导过程 ，而前面的方法比较简便， 为 求直线关于点对称的直线方程的基本方法 （直线关于点对称的问题） 例 3： 已知直线 1l ： 01 2l ： 032 求直线 2l 关于直线 1l 对称的直线 l 的方程 分析 ： 直线关于直线对称，可以在 2l 上任意取两个点，再分别求出这两个点关于直线 1l 的对称点，最后利用两点式求出所要求的方程 这里可以通过求出交点这个特殊点 以 简化计算 点到直线的距离公式 两 条 平行直线之间 的距离公式 直接运用公式求值 对称问题的运用 平面几何中的运用 听课随笔 2 【 解 】 由03201 解 得 ：3532 l 过点 25( , )33P ， 又显然 )1,1(Q 是直线 2l 上一点，设 Q 关于直线 1l 的对称点为00( , )Q x y， 则000011 10221 ( 1 ) 11 ， 解 得 ： 0002，即 (0,2)Q ， 因为 直线 l 经过点 P 、 Q ， 所以 由两点式得它的方程为 ： 042 点评 : 本题为 求直线关于第三条直线对称的直线方程的基本方法（两条直线关于第三条直 线对称的问题） 注意： 这里有一种特殊情况： 直线 0 于直线 对称的直线方程为 ： 0A y B x C 例 4： 建立适当的直角坐标系，证明：等腰三角形底边上任意一点到两腰的距离之和等于一腰上的高 分析： 要证明的结论中涉及的都是点到直线的距离，故可考虑用点到直线的距离公式计算距离，因此必须建立直角坐标系 . 【 证明】 设 是 等腰三角形，以底边所在直线为 x 轴，过顶点 B 且垂直与 直线为 y 轴，建立直角坐标系（如图） 设)0,( ),0( 0a ， 0b )，则 )0,( 直线 方程： 1 即 ： 0 直线 方程： 1 即 ： 0 设底边 任意一点为 )0,(（ ）， 则 P 到 距离 2222)(| ， P 到 距离 2 2 2 2| | ( )b x a b b a b a b， A 到 距离 22222| 2 2 2 2( ) ( )b a x b a P Fa b a b 222 ab 故原命题得证 点评 :本题主要利用点到直线的距离公式进行简单的几何证明方面的运用 ，运用代数方法研究几何问题 . 追踪训练一 点 P 在 x 轴上 ,若它到直线 4 3 3 0 的距离等于 1 ，则 P 的坐标是(2,0) 或 1( ,0)2 直线 43 于点 )1,2( P 对称的直线的方程为 3 1 0 0 3. 光线沿直线 l 1： 032 射到直线l 2： 40 上后反射，求反射线所在直线 3 【 解 】 由 2 3 040 ，解得： 711， 37, 11)P ， 又显然 (1,1)Q 是直线 1l 上一点，设 Q 关 于直线2l 的对称点为 00( , )Q x y ， 则000011 40221 ( 1 ) 11 ， 解得： 0055，即 ( 5, 5)Q ， 因为 直线 l 经过点 P 、 Q ， 所以 由两点式得它的方程为 2 1 5 0 求证：等腰三角形底边延长线上任一点到两腰（所在直线）的距离的差的绝对值等于一听课随笔 3 腰上的高 分 析：要证明的结论中涉及的都是点到直线的距离，故可考虑用点到直线的距离公式计算距离，因此必须建立直角坐标系 【证明】 设 是等腰三角形，以底边在直线为 x 轴，过顶点 B 且垂直 于直线为 y 轴，建立直角坐标系，如图， 设 ( ,0) (0, )0, 0)， 则 ( ,0)，直线 程为 ： 1，即 ： 0bx ay ， 直线 程为 ： 1， 即 ： 0bx ay ， 设 ( ,0)或 ) 是底边延长线上任意一点， 则 P 到 离为 2 2 2 2| | | ( ) |b x a b b x b a b， P 到 离为 2 2 2 2| | | ( ) |b x a b b x b a b， A 到 离为 2 2 2 2| | 2b a a b a b a b， 当 时， 2 2 2 2( ) ( ) 2| | | | | |b x a b x a a P Ea b a b 222 ab ， 当 时， 2 2 2 2( ) ( ) 2| | | | | |b a x b x a a P Ea b a b 222 ab ， 当 或 时， |E h， 故原命题得证 【 选修延伸 】 一、 数列与函数 例 :分别 过 )3,0(),0,4( 点作两条平行线，求满足下列条件的两条直线方程： （ 1）两平行线间的距离为 4 ；（ 2）这两条直线各自绕 A 、 B 旋转，使它们之间的距离取最大值 分析： （）两条平行直线分别过 ( 4,0)A ， (0, 3)B 两点 ,因此可以设出这两 条直线的方程之间 (注意斜率是否存在 )，再利用两条平行直线之间的距离公式，列出方程，解出所要求的直线的斜率；（）这两条平行直线与 直时，两直线之间距离最大 【 解 】 （ 1）当两直线的斜率不存在时，方程分别为 0,4 满足题意 当两直线的斜率存在时，设方程分别为 )4( 3 即： 04 与 03 由题意： 41342 解得247k， 所以，所求的直线方程分别为： 028247 072247 综上：所求的直线方程分别为： 028247 072247 或 0,4 （ 2） 结合图形，当两直线与 直时，两直线之间距离最大，最大值为 | | 5，同上可求得两直线的方程此时两直线的方程分别为 01634 0934 点评 :（） 设直线方程时一定要先考虑直线的斜率是否存在 ，利用平行直线之间的距离公式列出相应的方程，解出相应的未知数；（）体现了数形结合的思想，通过图形，发现问题的本质 思维点拔： 对称问题 在遇到对称问题时关键是分析出是属于什么对称情况，这里 大致 可以分为：点关与点对称，点关于直线对称，直线关于点对称，直线关于直线对称这四种情况，一旦确定为哪种情况后对应本节课的四种基本方法进行求解 追踪训练 二 1 两平行直线 1l ， 2l 分别过 (1,0)A ， (0,5)B （） 1l ， 2l 之 间的距离为，求两直线方 程； （）若 1l ， 2l 之间的距离为 d ，求 d 的取值范围 【 解 】（ 1）当两直线的斜率不存在时，方程分别为 1x ， 0x ，不满足题意 当两直线的斜率存在时，设方程分别为 A C B E D P O x y 听课随笔 4 ( 1)y k x与 5y ， 即： 0kx y k 与 50kx y ， 由 题 意 ：25 51，解得 0k 或512k ， 所以，所求的直线方程分别为： 1l ： 0y ， 2l ： 5y 或 1l ： 5 1 2 5 0 ， 2l ： 5 1 2 6 0 0 （） (0, 26 d 学生质疑 教师释疑 听课随笔 1 第一 节 圆的 方程 （ 1） 【学习导航】 知识网络 学习要求 1 认识圆的标准方程并掌握推导圆的方程的思想方法 ； 2 掌握圆的标准方程，并能根据方程写出圆心的坐标和圆的半径 ； 3 能根据所给条件，通过求半径和圆心的方法求圆的标准方程 【课堂互动】 自学评价 1. 以 ( , )圆心， r 为半径的圆的标准方程： 2 2 2( ) ( ) ( 0 )x a y b r r . 2. 圆心在原点 (0,0) ，半径为 r 时，圆的方程则为 ： 2 2 2 ( 0 )x y r r ； 3. 单位圆： 圆心在原点且半径为的圆 ；其方程为 ： 221 注意： 交代一个 圆 时 要 同时 交代其圆心与半径 【 精典范例 】 例 1： 分别说出下列圆方程所表示圆的圆心与半径： 22( 2 ) ( 3 ) 7 ； 22( 5 ) ( 4 ) 1 8 22( 1) 3 22144 22( 4 ) 4 【 解 】 （如下表） 方程 圆心 半径 22( 2 ) ( 3 ) 7 (2,3) 7 22( 5 ) ( 4 ) 1 8 ( 5, 4) 32 22( 1) 3 (0, 1) 3 22144 (0,0) 12 22( 4 ) 4 (4,0) 2 点评 ： 本题考察了对圆的标准方程的认识，根据 圆的标准方程 ，可以写 出相应的圆的圆心与半径 例 2： （）写出圆心为 (2, 3)A ，半径长为 5的 圆 的 方 程 ， 并 判 断 点 (5, 7)M ，( 5 , 1)N 是否在这个圆上； （）求圆心是 (2, 3)C ，且经过原点的圆的方程 分析： 通过圆心，半径可以写出圆的标准方程 【 解 】 （）圆心为 (2, 3)A ，半径长为 5 ， 该圆的标准方程为 ： 22( 2 ) ( 3 ) 2 5 把点 (5, 7)M 代入方程的左边 ， 2 2 2 2( 5 2 ) ( 7 3 ) 3 4 2 5 右边 ， 即点 (5, 7)M 的坐标适合方程， 点 (5, 7)M 是这个圆上的点 ； 把点 ( 5 , 1)N 的坐标代入方程的左边 ， 22( 5 2 ) ( 1 3 ) 1 3 4 5 2 5 即点 ( 5 , 1)N 坐标不适合圆的方程， 点 N 不在这个圆上 （） 法一 ：圆 C 的经过坐标原点， 圆 C 的半径为 ： 22( 2 0 ) ( 3 0 )r 222 3 1 3 ， 因此所求的圆的方程为 ： 22( 2 ) ( ( 3 ) ) 1 3 ， 即 22( 2 ) ( 3 ) 1 3 法二 ：圆心为 (2, 3)C ， 设圆的方程为 2 2 2( 2 ) ( 1 )x y r ， 原点在圆上即原点的坐标满足圆方程 即 2 2 2( 0 2 ) ( 0 1 ) r ，所以 2 13r ， 所求圆的标 准方程为： 22( 2 ) ( 3 ) 1 3 点评 ： 本题巩固了对圆的标准方程的认识，第二小题的解题关键在于求出半径，这里提供了两种方法 例 3： （）求以点 (1,2)A 为圆心，并且和 x 轴相切的圆的 方程； （）已知两点 (4,9)P ， (6,3)Q ，求以线段 直径的圆的方程 分析 ： （） 已知与圆心坐标和该圆与 x 轴相切即可求出半径 （）根据 直径可以得到相应的圆心与半径 圆的标准方程 概念 单位圆 圆的标准方程的简单运用 听课随笔 2 【 解 】 （）圆与 x 轴相切 该圆的半径即为圆心 (1,2)A 到 x 轴的距离 2 ； 所以 圆的标准方程为 ： 22( 1 ) ( 2 ) 4 （） 直径 ， 中点 M 为该圆的圆心即 (5,6)M ， 又因为 22| | ( 6 4 ) ( 3 9 ) 4 3 6 2 10 ， 所以 | 102， 圆的标准方程为 ： 22( 5 ) ( 6 ) 1 0 点评 :本题的解题关键在于由已知条件求出相应的圆心与半径对圆的标准方程的 有一个加深认识的作用 例： 已知隧道的截面是半径为 4 m 的圆的半圆，车辆只能在道路中心线的一侧行驶，车辆宽度为 3m ，高为 货车能不能驶入这个隧道？ 分析： 建立直角坐标系， 由图象可以分析， 关键 在于 写 出 半圆的方程， 对应 求出当 3x 时的值， 比较得出结论 【 解 】以某一截面半圆的 圆心为原点，半圆的直径 在的直线为 x 轴， 建立直角坐标系，如图所示，那么半圆的方程为： 22 1 6 ( 0 )x y y 将 3x 代入得 21 6 3 7 9 3 3 . 5y ， 即离中心线 3m 处，隧道的高度低于货车的高度 ， 因此，该货车不能驶入这个隧道 点评：本题的解题关键在于建立直角坐标系， 用解析法研究问题 思考：假设货车的最大的宽度为 那么货车要驶入高隧道，限高为多少 ？ 解： 将 代入得 216， 即限高为 216 a m 追踪训练一 （）圆心在原点，半径为 6 ； （）经过点 (6,3)P ，圆心为 (2, 2)C 【 解 】 （） 2236； （） 22( 2 ) ( 2 ) 4 1 求以点 ( 1, 5)C 为圆心，并且和 y 轴相切的圆的 方程 【 解 】 由题意：半径 1r ， 所以圆的方程为： 22( 1 ) ( 5 ) 1 . 圆的内接正方形相对的两个顶点为(5,6)A ， (3, 4)C ，求 该 圆的方程 【 解 】 由题意可得 直径， 所 以 中点 M 为该圆的圆心即 (4,1)M 又因为 22| | ( 5 3 ) ( 6 4 ) 4 1 0 0 2 26 | 262， 圆的标准方程为： 22( 4 ) ( 1 ) 2 6 求过两点 (0,4)A ， (4,6)B ，且圆心在 直线 2 2 0 上的圆的标准方程 【 解 】 设圆心坐标为 ( , )圆半径为 r ， 则圆方程为 2 2 2( ) ( )x a y b r ， 圆心在直线 2 2 0 上， 2 2 0 又圆过两点 (0,4)A ， (4,6)B ， 2 2 2( 0 ) ( 4 )a b r 且 2 2 2( 4 ) ( 6 )a b r 由、得： 4 , 1, 5a b r ， 圆方程为 22( 4 ) ( 1 ) 2 5 思维点拔： 由圆的标准方程即可写出由圆心坐标及圆的半径，反之，由圆心坐标及圆的半径即可写出圆的标准方程在解具体的题目时 ，要灵活运用平面几何及前面所学直线的有关知识 听课随笔 3 学生质疑 教师释疑 听课随笔 1 第二 节 圆的方程（ 2） 【学习导航】 知识网络 学习要求 1 掌握圆的一般方程并由圆的一般方程化成圆的标准方程； 2 能分析题目的条件选择圆的一般方程或标准方程解题 ； 3 解题过程中能分析和运用圆的几何性质 【课堂互动】 自学评价 1 以 ( , )圆心， r 为半径的圆的标准方程： 2 2 2( ) ( ) ( 0 )x a y b r r 2 2( ) ( )x a y b r 展开得 ： 2 2 2 2 22 2 0x y a x b y a b r 2 0x y D x E y F 的都表 示圆吗？ 不是 （）当 2240D E F 时，方程表 示以 ( , )22为圆心， 2242D E F为半径的圆 ； （ 2）当 2240D E F 时，方程表示 一个点 ( , )22； （ 3）当 2240D E F 时， 方程无实数解，即方程不表示任何图形 ； 圆的一般方程： 22 0x y D x E y F 22( 4 0 )D E F 注意： 对于圆的一般方程 （） 2x 和 2y 的系数相等，且都不为 0 （通常都化为 1 ）； （）没有 样的二次项； （）表示圆的前提条件： 2240D E F ，通常情况下先配方配成22( ) ( )x a y b m ， 通过观察 m 与 0 的关系，观察 方程是否为圆的标准方程 ，而不要死记 条件 2240D E F 【 精典范例 】 例： 求过三点 12( 0 , 0 ) , ( 1 , 1 ) , ( 4 , 2 )O M 分析： 由于 12( 0 , 0 ) , ( 1 , 1 ) , ( 4 , 2 )O M 此经过 12,O M M 三点有唯一的圆 【 解 】 ： 法一 ：设圆的方程为 22 0x y D x E y F ， 12,O M M 三点都在圆上， 12,O M M 三点坐标都满足所设方程，把12( 0 , 0 ) , ( 1 , 1 ) , ( 4 , 2 )O M 得： 0 204 2 2 0 0 F ， 解 得： 860 ， 所以，所求圆的方程为 ： 22 8 6 0x y x y 法二 ：也可以求 1 2垂线的交点即为圆心，圆心到 O 的距离就是半径也可以求的圆的方 程： 22 8 6 0x y x y 点评 :通常在求圆心与半径方便时用标准方程，在已知圆三个点时通常用一般方程求解 例 2： 已知线段 端点 B 的坐标是 (4,3) ，端点 A 在圆 22( 1) 4 上运动，求线段 点 M 的坐标 ( , ) ,说明该关系表示什么曲线？ 分析： 线段 端点 B 静止， A 在圆 22( 1) 4 上运动，因此我们可以设出A 的坐标，从而得到中点 M 的坐标 【 解 】 设点 A 的坐标是00( , )于点 B 的坐标是 (4,3) ，且 M 是 中点，所以0043,22（） 于是，有002 4 , 2 3x x y y 因为点 A 在圆 22( 1) 4 上运动，所以点 A 的坐标满足方程 22( 1) 4 ， 即 ： 2200( 1) 4 （） ， 将（）式代入（），得 ： 圆的一般方程 22 0x y D x E y F 表示圆的条件 圆的一般方程的简单运用 听课 随笔 2 22( 2 4 1 ) ( 2 3 ) 4 ， 整理得 2233( ) ( ) 122 所以 , 足 的 关 系 为 ：2233( ) ( ) 122 ， 其表示的曲线是以 33( , )22为圆心，为半径的圆 点评 : 该圆就是 M 点的运动的轨迹；所求得的方程就是 M 点的轨迹方程：点 M 的轨迹方程就是指点 M 的坐标 ( , )足的关系式 本题的方法为求 轨迹方程的一种 基本方法 ，注意 方法的归纳 总结 例 3： 某圆拱桥的示意图如右图，该圆拱的跨度 36 米，拱高 6 米，在建造时，每隔 3 米需用一个支柱支撑，求支柱22确到 ） 分析：若能够知道该圆拱所在的圆的方程，问题就变的很简单了，所以，我们联想到建立相应的直角坐标系，将问题转化为求圆的方程 【 解 】 以线段 在直线为 x 轴，线段 为坐标原点建立直角坐标系，那么点 ,坐标分别为 ( 1 8 , 0 ) , (1 8 , 0 ) , ( 0 , 6 ) ； 设圆拱所在的圆的 方程为 22 0x y D x E y F ， 点 ,所求的圆上，则坐标代入得： 2221 8 1 8 01 8 1 8 06 6 0 ，解之得 048324 ， 圆拱所在的圆的方程为 ： 22 4 8 3 2 4 0x y y ； 将点 2P 的横坐标 6x 代入圆方程，解得2 4 1 2 6 5 . 3 9y （舍去负值） 答：支柱 22 点评 :本题的关键利用图形建立直角 坐标系，求出圆拱所在圆的方程，用代数的方法研究 几何问题 追踪训练一 （） 2240x y x ； （） 22 4 2 5 0x y x y ； （） 211 【 解 】 （）圆心为 (2,0) ，半径为的圆； （）一个点 (2,1) ； （）一个 圆心为 (1,0) ，半径为 1 的一个 半圆（ 12x）（图略） 圆 22 6 8 0x y y 的圆心为：(0, 3) ，半径为 17 . 求过三点 ( 4 , 1 ) , ( 6 , 3 ) , ( 3 , 0 )A B C 的圆的方程 【 解 】设圆的方程为 22 0x y D x E y F ， A ， B ， C 三点都在圆上， A ， B ， C 三点坐标都满足所设方程，把 ( 4 , 1 ) , ( 6 , 3 ) , ( 3 , 0 )A B C 代入所设方程， 得： 4 1 7 06 3 4 5 03 9 0D E ， 解得： 1912 ， 所以，所求圆的方程为：22 9 1 2 0x y x y 2 2 2 1 0x y x y 关于直线30 对称的图形的方程 【 解 】 22 2 2 1 0x y x y 可化为 22( 1) ( 1) 1 ，圆心 ( 1,1)A 关于直线30 的对称点为 ( 2,2)B ，所以对称的图形的方程为： 22( 2 ) ( 2 ) 1 思维点拔： 在确定圆的方程时，应根据已知条件与圆的标准方程和圆的一般方程的各自特点，灵活选用圆方程的形式在解题时注意运用平面几何知识及数形结合的思想 2 3 学生质疑 教师释疑 听课随笔 1 第二章 平面解析几何初步 第二 节 圆与方程 第 14 课时 直线与圆的位置关系 【学习导航】 知识网络 学习要求 1 依据直线和圆的方程，能熟练求出它们的交点坐标 ； 2 能通过比较圆心到直线的距离和半径之间的大小关系判断直线和圆的位置关系 ； 3 理解直线和圆的三种位置关系与相应的直线和圆的方程所组成的二元二次方程组的解的对应关系 ； 4 会处理直线与圆相交时所得的弦长有关的问题 ； 5 灵活处理与圆相交的问题 【课堂互动】 自学评价 1 直线与 圆有 一个 交点称为 相切 ，有两个交点称为 相交 ，没 有交点称为 相离 d ，圆 半径为 r ， 当 时，直线与圆相离， 当 时，直线与圆相切， 当 时，直线与圆相交 l 与圆 C 的方程联立方程组，若方程组无解，则直线与圆 相离 ，若方程组仅有一组解，则直线与圆 相切 ，若方程组有两组不同的解，则直线与圆 相交 【 精典范例 】 例 1 ： 求 直 线 4 3 40 和圆22100 的公共点坐标，并判断它们的位置关系 分析： 直线方程和圆的方程联立方程组即可 【 解 】 直线 4 3 40和圆 22100的公共点坐标就是方程组224 3 4 0100的解 解这个方程组，得 1110,0,2214, 所以公共点坐标为 1 4 4 8(1 0 , 0 ), ( , )55 直线 4 3 40和圆 22100 有两个公共点，所以直线和圆相交 例 2： 自点 ( 1,4)A 作圆 22( 2 ) ( 3 ) 1 的切线 l ,求切线 l 的方程 分析： 根据点的坐标设出直线方程，再根据直线和圆相切求解 【 解 】 法 1：当直线 l 垂直于 x 轴时，直线:1 与圆相离，不满足条件 当直线 l 不垂直于 x 轴时，可设直线 l 的方程为 4 ( 1),y k x 即 ( 4 ) 0kx y k 如图，因为直线与圆相切， 所以圆心 (2,3) 到直线 l 的距离等于圆的半径， 故22 3 ( 4 ) 11 解得 0k 或34k 因此，所求直线 l 的方程是 4y 或3 4 1 3 0 法 2：当直线 l 垂直于 x 轴时，直线 :1 与圆相离，不满足条件 当直线 l 不垂 直于 x 轴时，可设直线 l 的方程为 4 ( 1),y k x 由于直线 l 与圆相切，所以方程组224 ( 1 ) ,( 2 ) ( 3 ) 1y k 仅有一组解 由方程组消去 y ，得关于 x 的一元二次方程 2 2 2 2( 1 ) ( 2 2 4 ) 2 4 0k x k k x k k ，因为一元二次方程有两个相等实根，所以判别式2 2 22 2 4 ) 4 ( 1 ) ( 2 4 ) 0k k k k 解得 0k 或 34k因此，所求直线 l 的方程是 4y 或 3 4 1 3 0 听课随笔 直线与圆的位置关系 相离 相切 相交 2 点评 :该题 用待定系数法先 设直线方程，应注意直线的斜率是否存在 的问题 本题给出了两种解 法，可以看到用“几何 法 ” 来解题运算量要小的多 例 3 ： 求 直 线 3 2 3 0 被圆224截得的弦长 分析 ： 可利用圆心距、半径、弦长的一半构成直角三角形的性质解题 【 解 】 法 1:如图，设直线3 2 3 0 与圆 224交于 , 中点为M ，则 B （ O 为坐标原点）， 所以220 0 2 3 3,1 ( 3 )所以 2222A B A M O A O M 222 2 ( 3 ) 2 法 2: 直线 3 2 3 0 和圆224的 公 共 点坐 标 就 是方 程组223 2 3 0 ,4 的解 解得 113,1,220,所以公共点坐标为 ( 3 ,1), ( 0 , 2 ), 直线 3 2 3 0 被圆 224 截得的弦长为 22( 3 0 ) ( 1 2 ) 2 追踪训练一 24上一点 (1, 3) 的圆的切线方程 答案： 34 2. 自点 (2,2)A 作圆 22( 2 ) ( 3 ) 1 的切线 l ,求切线 l 的方程 答案： 2y 2( 1 ) ( 1 ) 1 外一点 (2,3)切线长 答案： 2 【 选修延伸 】 一、 圆、切线、截距 例 4: 已知圆 22( 2 ) ( 3 ) 1 ，求该圆与x 轴和 y 轴的截距相等的切线 l 的方程 . 分析： 用待定系数法求解 【 解 】 由题意 设切线 l 与 x 轴和 y 轴的截距为a ， b ，则 0a 时 ，设 l 的方程为 1，即0x y a， 因为直线和圆相切，所以圆心 (2,3) 到直线 l 的距离等于圆的半径，故 23 1,2a 解得 52a 或 52a 所以 l 的方程为 ( 5 2 ) 0 或( 5 2 ) 0 0a 时，设 l 的方程为 y ，即 0kx y 所以22311， 解 得 6 2 33k 或6 2 33k 所以 l 的方程为 ( 6 + 2 3 ) 3 0或( 6 - 2 3 ) 3 0 综上所述： l 的方程为 ( 5 2 ) 0 或( 5 2 ) 0 或 ( 6 + 2 3 ) 3 0或 ( 6 - 2 3 ) 3 0. 点评 :本题较为复杂，要讨论的情况比较多，解题过程 中要注重分析 例 5： 若直线 y x b与 24恰有一个公共点，求实数 b 的取值范围 . 分 析 ： 由 题 意 24 可 化 为224( 0)x 表示一个右半圆，如图所示，对于 y x b 当 b 变化时所得的直线是互相平行的，由图可知 1l 与半圆有一个交点 2l 与半圆正好有两个交点，所以位于 1l 和 2l 之间的直线都与半圆只有一个交点，另外3【 解 】 由 题 意24 可化为听课随笔 3 224( 0)x 表示一个右半圆，如图所示 直线 1l 的方程为： 2 ， 直线 2l 的方程为： 2， 因为直线3 所以 22b ，解得 22b 所以直线322 ， 由图可知位于 1l 和 2l 之间的直线都与半圆只有一个交点，且3 所以实数 b 的取值范围为： 22b 或 22b 点评 :本题 应 用数形结合的方法去解题 思维点拔： 在解决直线与圆的位置关系 的问题 时，我们通常采用 “ 几何法 ” 例如，求与圆相切的直线方程时，先 用待定系数法 设出直线方程，然后根据 即可求得 这种数形 结合的思想贯穿 了 整个章节 追踪训练 二 1 已知圆 222，求 该圆与 x 轴和 y 轴的截距的绝对值相等的切线 l 的方程 答案： 2 或 2 2 若直线 y x b 与 24有 两 个不同的交点 ，求实数 b 的取值范围 答案： 2 2 2b 学生质疑 教师释疑 1 第二章 平面解析几何初步 第二 节 圆与方程 第 15 课时 圆 与圆的位置关系 【学习导航】 知识网络 学习要求 1 掌握圆与圆的位置关系的代数与几何判别方法 ； 2了解用代数法研究圆的关系的优点 ； 3了解算法思想 【课堂互动】 自学评价 1 圆与圆之间有 外离 ， 外切 ， 相交 ， 内切 ， 内含 五种位置关系 圆的半径分别为 12, 心 距为 d ， 当 12d r r 时， 两圆外 离， 当 12d r r 时， 两圆外 切， 当 1 2 1 2|r r d r r 时，两 圆 相交 ， 当12d r r时，两圆内切， 当12d r r时，两圆内含 代数方法，通过联立方程组，用判别式法可以判断两个圆的位置关系吗？为什么？ 【 精典范例 】 例 1： 判断下列两圆的位置关系： 2 2 2 2( 1 ) ( 2 ) ( 2 ) 1 ( 2 ) ( 5 ) 1 6x y x y 与 2 2 2 22 6 7 0 6 2 7 0x y x x y y （ ） 与 【 解 】 （ 1）根据题意得，两圆的半径分别为1214和 ，两圆的圆心距 22 2 ( 2 ) ( 5 2 ) 5 因为 12d r r ，所以两圆外切 （ 2）将两圆的方程化为标准方程，得2 2 2 2( 3 ) 1 6 , ( 3 ) 3 6x y x y 故两圆的半径分别为 1246和 ， 两圆的圆心距 22( 0 3 ) ( 3 0 ) 3 2d 因为 1 2 1 2|r r d r r ，所以两圆相交 点评：判断两圆的位置关系，不仅仅要判断 d 与 12的大小，有时还需要判断 d 与12关系 例 2： 求过点 (0,6)A 且与圆 22: 1 0 1 0 0C x y x y 切于原点的圆的方程 分析： 如图，所求圆经过原点和 (0,6)A ，且圆心应在已知圆的圆心与原点的连线上根据这三个条件可确定圆的方程 【 解 】 将圆 C 化为标准方程，得 22( 5 ) ( 5 ) 5 0 ， 则圆心为 ( 5, 5)C ，半径为 52所以经过此圆心和原点的直线方程为 0 设所求圆的方程为 2 2 2( ) ( )x a y b r 由题意知， (0 , 0 ),