v山东省高中数学《平面向量的背景及其基本概念》课件（打包3套） 新人教A版必修4
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v山东省高中数学《平面向量的背景及其基本概念》课件（打包3套） 新人教A版必修4,山东省,高中数学,平面,向量,背景,及其,基本概念,课件,打包,新人,必修
- 内容简介：
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2 1 平面向量的实际背景及基本概念 2 1 平面向量的实际背景及基本概念 2 量的物理背景与概念 2 量的几何表示 2 等向量与共线向量 【课标要求】 1 了解向量的实际背景，从位移、力等物理背景中抽象出向量 2 理解向量的概念，相等向量的概念及向量的几何表示 3 掌握向量的概念及共线向量的概念 【核心扫描】 1 向量的概念，相等向量的概念，向量的几何表 示 ( 重点 ) 2 共线向量的概念 ( 难点 ) 3 向量的平行、共线与平面几何中直线、线段的平行和共线的联系 ( 易混点 ) 自学导引 1 向量 即有 ，又有 的量叫向量 想一想 ： 两个向量能否比较大小？ 提示 不能虽然长度可以比较，但方向不能比较大小 大小 方向 2 向量的几何表示 ( 1) 有向线段 带有 的线段，叫做有向线段，它包含三个要素：起点、方向、长度线段 长度叫做有向线段 长度，记作 | . ( 2) 向量的几何表示法 以 A 为 ，以 B 为 的有向线段记作 如果有向线段 示一个向量，通常我们就说向量 方向 起点 终点 ( 3) 用字母表示向量 通常在印刷时，用黑体小写字母 a ， b ， c 表示向量，在手写时用带箭头的小写字母 a ， b ， c ， 表示向量 也可用表示向量的有向线段的起点和终点字母表示，如 3 与向量有关的概念 ( 1) 零向量：长度为 的向量叫做零向量，记作 . ( 2) 单位向量：长度为 的向量叫做单位向量 ( 3) 相等向量： 且 的向量叫做相等向量 ( 4) 平行向量 ( 共线向量 ) ：方向 的非零向量叫做平行向量，也叫共线向量 记法：向量 a 平行于 b ，记作 a b . 规定：零向量与 平行 0 1 长度相等 方向相同 相同或相反 任一向量 0 名师点睛 1 注意以下几组量 ( 1) 向量与有向线段的关系 如果有向线段 示一个向量，通常我们就说向量 但有向线段只是向量的表示，并不是说向量就是有向线段 ( 2) 向量与数量的区别 向量被赋予了几何意义，即向量是具有方向的，而数量是一个代数量，没有方向 数量可以比较大小，而向量无法比较大小，即使 |a | | b |也不能说 a b ，特殊地，若向量 a ， b 是相等向量，记作 a b . 0 与 0 不同，虽然 | 0 | 0 ，但 0 是向量，而 0 是数量 提醒 初学者要特别注意零向量 0 与实数 0 书写的区别，对 0不能漏掉 “” 2 共线向量 (1) 共线向量也就是平行向量，其要求是几个非零向量的方向相同或相反，当然向量所在的直线可以平行，也可以重合，其中“ 共线 ” 的含义不同于平面 几何中 “ 共线 ” 的含义 (2) 共线向量有四种情况：方向相同且模相等，方向相同且模不等，方向相反且模相等，方向相反且模不等这样，也就找到了共线向量与相等向量的关系，即共线向量不一定是相等向量，而相等向量一定是共线向量 (3) 如果两个向量所在的直线平行或重合，则这两个向量是平行向量 【特别提示】 判断两个向量的关系： 一要判断大小，二要判断方向，如遇上零向量，必须注意其方向的任意性 题型一 向量的概念 【例 1 】 给出下列命题： ( 1) 若 | a | | b |，则 a b 或 a b ； ( 2) 向量的模一定是正数； ( 3) 起点不同，但方向相同且模相等的几个向量是相等向量； ( 4) 向量 共线向量，则 A 、 B 、 C 、 D 四点必在同一直线上 其中正确命题的序号是 _ 思路探索 利用向量的有关概念进行判断 解析 ( 1) 错误由 |a | | b |仅说明 a 与 b 模相等，但不能说明它们方向的关系 ( 2) 错误 模 | 0 | 0. ( 3) 正确对于一个向量只要不改变其大小和方向，是可以任意移动的 ( 4) 错误共线向量即平行向量，只要求方向 相同或相反即可，并不要求两个向量 须在同一直线上 答案 ( 3) 规律方法 要充分理解与向量有关的概念，明白它们各自所表示的含义，搞清它们之间的区别是解决与向量概念有关问题的关键 【变式 1 】 下列说法正确的是 ( ) A 数量可以比较大小，向量也可以比较大小 B 方向不同的向量不能比较大小，但同向的可以比较大小 C 向量的大小与方向有关 D 向量的模可以比较大小 解析 A 中不管向量的方向如何，它们都不能比较大小， 确；由 A 的过程分析可知方向相同的向量也不能比较大小， B 不正确； C 中向量的大小即向量的模，指的是有向线段的长度，与方向无关， C 不正确； D 中向量的模是一个数量，可以比较大小， D 正确 答案 D 题型二 向量的表示 【例 2 】 在如图的方格纸上，已知向量 a ， 每个小正方形的边长为 1. ( 1) 试以 B 为终点画一个向量 b ，使 b a ； ( 2) 在图中画一个以 A 为起点的向量 c ，使 | c | 5 ， 并说出向量 c 的终点的轨迹是什么？ 思路探索 用有向线段表示向量时，要注意有向线段的起点和终点位置 解 (1) 根据相等向量的定义，所作向量与向量 a 平行同向，且长度相等 ( 作图略 ) (2) 由平面几何知识可知所有这样的向量 c 的终点的轨迹是以 A 为圆心，半径为 5 的圆 ( 作图略 ) 规律方法 (1) 在画图时，向量是用有向线段来表示的，用有向线段的长度表示向量的大小，用箭头所指的方向表示向量的方向 (2) 用有向线段来表示向量，显示了图形的直观性，为以后学习向量提供了几何方法，这也体现了数形结合的数学思想应该注意的是有向线段是向量的表示，并不是说向量就是有向线段 【变式 2 】 一辆汽车从 A 点出发向西行驶了 100 k m 到达 B 点，然后又改变方向向北偏西 40 走了 200 k m 到达 C 点，最后又改变方向，向东行驶了 100 k m 到达 D 点 ( 1) 作出向量 ( 2) 求 |. 解 ( 1) 向量 图所示： ( 2) 由题意，易知 向相反， 故 线，又 | |， 在四边形 A B C D 中， 四边形 A B C D 为平行四边形 | | 200 k m. 题型三 相等向量与共线向量 【例 3 】 如图所示， O 是正六边形 中心，且 a ， b ， c . ( 1) 与 a 的模相等的向量有多少个？ ( 2) 与 a 的长度相等，方向相反的向量有哪些？ ( 3) 与 a 共线的向量有哪些？ ( 4) 请一一列出与 a ， b ， c 相等的向量 审题指导 借助几何图形的性质及向量相关概念进行判断 规范解答 ( 1) 与 a 的模相等的向量有 23 个 (3 分 ) ( 2) 与 a 的长度相等且方向相反的向量有 (6 分 ) ( 3) 与 a 共线的向量有 (9 分 ) ( 4) 与 a 相等的向量有 与 b 相等的向量有 与 c 相等的向 量有 ( 1 2 分 ) 【题后反思】 1. 向量的平行与直线平行的关系 两条直线平行时，直线上的有向线段平行，两向量平行时，表示向量的有向线段所在的直线不一定平行，也可能重合若直线 m ， n ， l， m n ， n l，则 m l；若向量 a ， b ， c ， a b ， b c ，而 a ， c 不一定平行 2 向量的相关概念性质与几何知识交汇，要注意联系几何图形的相关性质，使向量与几何图形有机地结合起来 【变式 3 】 如图所示， 三边均不相等， E 、 F 、 D 分别是 中点 (1) 写出与 线的向量； (2) 写出与 模相等的向量； (3) 写出与 等的向量 解 E 、 F 分别是 中点 12 又 D 是 中点，所以 ( 1) 与 线的向量有： ( 2) 与 模相等的向量有： ( 3) 与 等的向量： 误区警示 对向量的有关概念理解不清而出现错误 【示例】 下列说法正确的个数是 ( ) 向量 a ， b 共线，向量 b ， c 共线，则 a 与 c 也共线； 任意两个相等的非零向量的起点与终点都分别重合； 向量 a 与 a 与 b 都是非零向量； 有相同起点的两个非零向量不平行 A 1 B 2 C 3 D 4 错解 D 对共线向量的概念理解不清，零向量与任一向量都是共线向量，共线向量也是平行向量，它与平面几何中的共线和平行不同 正解 事实上，对于 ，由于零向量与任意向量都共线，因此 不正确；对于 ，由于向量都是自由向量，则两个相等向量的始点和终点不一定重合，故 不正确；对于 ，向量的平行只与方向有关，而与起点是否相同无关，故 不正确；向量 a与 b 不共线，则 a 与 b 都是非零向量，否则，不妨设 a 为零向量，则 a 与 b 共线，与 a 与 b 不共线矛盾从而 正确选 A. 答案 A 对考查有关向量概念的题，由于对概念的理解不清而出现错误如 a 与 a ， | a |与 a ， a b 与 a b ， a b 与 |a | | b |的区别等 第二章 平面向量 量的物理背景与概念 量的几何表示 问题提出 移与距离是同一个概念吗？为什么？ 年龄、身高、体重、力、速度、面积、体积、温度等，在数学上，为了正确理解、区分这些量，我们引进向量的概念 . 探究（一）： 向量的物理背景与概念 思考 1： 在物理中，怎样区分作用于同一点的两个力？ 力的大小和力的方向 思考 2： 物体受到的重力、物体在液体中受到的浮力的方向分别如何？受力的大小分别与哪些因素有关？ G F 思考 3： 在如图所示的弹簧中，被拉长或压缩的弹簧的弹力方向如何？在弹性限度内，弹力的大小与什么因素有关？ 思考 4： 力既有大小，又有方向，在物理学中称为 矢量， 你还能指出哪些物理量是矢量吗？ 思考 5： 数学中，把既有大小，又有方向的量叫做 向量 ，把只有大小，没有方向的量称为 数量 高、体重、面积、体积、温度、时间、路程、数轴等是向量吗？ 探究（二）： 向量的几何表示 思考 1： 一条小船从 西北方向航行 15地，可以用什么方式表示小船的位移？ B A 东 北 思考 2： 对于一个实数，可以用数轴上的点表示；对于一个角的正弦、余弦和正切，可以用三角函数线表示；对于一个二次函数，可以用一条抛物线表示 . 数学中有许多量都可以用几何方式表示，你认为如何用几何方式表示向量最合适？ 思考 3： 如图，以 ，一条有向线段由哪几个基本要素所确定？ 起点 ） B（ 终点 ） 思考 4： 用有向线段 表示向量，向量的大小和方向是如何反映出来的？ 度、方向 思考 5： 有向线段 的长度就是指线段称为向量 的长度或模，它表示向量 的大小，记作 | |，两个不同的向量可以比较大小吗？ ： 如果表示向量的有向线段没有标注起点和终点字母，向量也可以用黑体字母 a， b， c， ，或 表示，如图 . 此时向量的模怎样表示？ a , , ,a b ： 向量的模可以为 0吗？可以为 1吗？可以为负数吗？ 思考 8： 模为 0的向量叫做 零向量 ，记作 ；模为 1个单位的向量叫做 单位向量 样理解向 量 ？ |例 1 已知飞机从 0 方向飞行 2000地，再从 0 方向飞行 2000地，再从 000 地 . （ 1）画图表示向量 ； （ 2）求飞机从 地的位移所对应的向量的模和方向 . , 东 北 C D 例 2 如图，四边形 以图中各点为起点和终点，写出与向量 模相等的所有向量 . C D E , , , , , , , ,B A B E E B A D D A B C C B C D D Cu u ur u u ur u u u ur u u ur u u ur u u ur u u ur u u u 画既有大小，又有方向的量而产生的，物理中有许多相关背景材料，数学中的向量是物理中矢量的提升和拓展，它有一系列的理论和方法，是沟通代数、几何、三角的一种工具，有着广泛的实际应用 . 以向量可以用有向线段表示，但向量不是有向线段，二者只是一种对应关系 . 模为 0，方向是不确定的 须注意： . 00r 作业： 1， 2， 3. 1， 2. 等向量与共线向量 问题提出 向量有哪几种表示？ 联系： 向量与数量都是有大小的量； 区别： 向量有方向且不能比较大小，数 量无方向且能比较大小 . 向量可以用有向线段表示，也可以用字母符号表示 . 向量和单位向量分别是什么概念？ 向量的模： 表示向量的有向线段的长度 . 零向量： 模为 0的向量 . 单位向量： 模为 1个单位长度的向量 . 们就要建立相关的理论体系，为了研究的需要，我们必须对向量中的某些现象作出合理的约定或解释，特别是两个向量的相互关系 们将作些研究 . 探究（一）： 相等向量与相反向量 思考 1： 向量由其模和方向所确定 a、 b，就其模等与不等，方向同与不同而言，有哪几种可能情形？ 模相等，方向相同； 模相等，方向不相同； 模不相等，方向相同； 模不相等，方向不相同； 思考 2： 两个向量不能比较大小，只有“相等”与“不相等”的区别，你认为如何规定两个向量相等？ 长度相等且方向相同的向量叫做相等向量 . 向量 a与 a=b. 思考 3： 用有向线段表示非零向量 和 ，如果 ，那么 A、 B、 C、 A B C D=u u ur u u C D A B C D 思考 4： 对于非零向量 和 ，如果 ，通过平移使起点 重合，那么终点 的位置关系如何？ A B C D=u u ur u u 思考 5： 非零向量 与 称为相反向量，一般地，如何定义相反向量？ B A 思考 6： 如果非零向量 与 是相反向量，通过平移使起点 重合，那么终点 的位置关系如何？ B A 探究（二）： 平行向量与共线向量 思考 1： 如果两个向量所在的直线互相平行，那么这两个向量的方向有什么关系？ 思考 2： 方向相同或相反 的非零向量叫做平行向量 ，向量 a与 a/b，那么平行向量所在的直线一定互相平行 吗？ 方向相同或相反 思考 3： 零向量 0与向量 规定：零向量与任一向量平行 . 思考 4： 将向量平移，不会改变其长度和方向 a、 b、 作一条与向量 l，在 ，分别作 =a， =b， =c，那么点 A、 B、 C O l a b c 思考 5： 上述分析表明，任一组平行向量都可以移动到同一直
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