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内容简介：

二元一次不等式组与简单的线性规划问题 【三维目标】： 一、知识与技能 用平面区域表示 二元一次不等式组 ； 握简单的二元线性规划问题的解法，培养学生的数学应用意识和解决实际问题的能力 ； 点法”确定二元一次不等式表示的平面区域 二、过程与方法 元一次不等式组的相关概念 ，通过例子说明如何用二元一次不等式（组）来 表示的平面区域 。始终渗透“直 线定界，特殊点定域”的思想，帮助学生用集合的观点和语言来分析和描述结合图形的问题，使问题更清晰和准确。教学中也特别提醒学生注意 0 或 0 )表示区域时不包括边界，而 0(A x B y C 或 0)则包括边界 高数学建模的能力； 三、情感、态度与价值观 1. 通过本节课的学习，体会数学来源与生活，提高数学学习兴趣。 2. 培养学生数形结合、化归、集合的数 学思想 【教学重点与难点】： 重点： 用二元一次不等式表示平面区域； 难点： 二元一次不等式表示的平面区域的确定，即如何确定不等式 0 或 0 )表示0A x B y C 的哪一侧区域 【学法与教学用具】： 1. 学法： 启发学生观察图象，循序渐进地理解掌握相关概念。以学生探究为主，老师点拨为辅。学生之间分组讨论，交流心得，分享成果，进行思维碰撞。同时可借助计算机等媒体工具来进行演示。 2. 教学用具 ： 直角板、投影仪（多媒体教室） 【授课类型】：新授课 【课时安排】： 1 课时 【教学思路】： 一、创设情景，揭示课题 下表给出了 ,种食物的维生素含量及成本： 维生素 A （单位 / 维生素 B （单位 / 成 本 （元） X 300 700 5 Y 500 100 4 Z 300 300 3 某人欲将这三种食物混合成 100食品，要使混合食品中至少含 35000 单位的维生素 A 及 40000 单位的维生素 B ，设 X、 Y 这两种食物各取 x y 么 , 解答： X、 Y 这两种食物分别为 x y 食物 Z 为 100 有 3 0 0 5 0 0 3 0 0 ( 1 0 0 ) 3 5 0 0 07 0 0 1 0 0 3 0 0 ( 1 0 0 ) 4 0 0 0 0x y x yx y x y ，即252 50 ， 又 ,0，252 500, 0100 （介绍 二元一次不等式的概念 ）， 如果进一步要求 , 最小呢？ 如何解决该问题 问题转化为在以上不等式组约束下， 求 5 4 3 ( 1 0 0 ) 2 3 0 0W x y x y x y （介绍 目标函数 概念）的最大值问题 要解决以上问题，我们首先要来了解二元一次不等式的几何意义 坐标满足二元一次方程 20 的点组成的图形是一条直线 l 怎样才能快速准确地画出直线 l 呢？（学生答：描两点连成线例如：该直线经过点 (2,0)A 和 (0,2)B ，画出经过 ,教师问：怎样判断点 (1,3) 在不在直线 l 上呢？ 结论： 点的坐标满足直线的方程，则点在直线上；点的坐标不满足直线方程，则点不在直线上 坐标满足不等式 20 的点是否在直线 l 上呢？这些点在哪 儿呢？与直线 l 的位置有什么关系呢？ 二、研探新知 通过代特殊点的方法检验满足不等式 20 的点的位置， 并猜 想出结论：坐标满足不等式 20 的点在直线 20 的上方 如图，在直线 20 上方任取一点 ( , )Px y ，过 P 作平行于 y 轴的直线交直线 20 于点 ( , 2)A x x ，点 P 在直线上方， 点 P 在点 A 上方， 2 ，即 20 ，点 P 为直线 20 上方的任意一点，所以，直线 20 上方任意点 ( , )都有 2 ，即 20 ；同理，对于直线 20 左下方任意点 ( , )都有 2 ，即 20 又平面上 任意一点不在直线上即在直线上方或直线下方因此，满足不等式 20 的点在直线的上方，我们称不等式 20 表示的是直线20 上方的平面区域；同样，不等式 20 表示的是直线 20 下方的平面区域 20 2 2 x y O ( , )P x y 学生练习： 判断不等式 2 3 0 表示的是直线 2 3 0 上方还是下方的平面区域？（下方） 结论： 一般地 , 在直角坐标系中 ,二元一次不等式 0 示 0 侧所有点组成的平面区域 表示区域不包括边界 示区域时则包括边界 ,把边界画成实线 . 一般地，直线 y kx b把平面分成两个区域（如图）： y kx b表示直线上方的平面区域； y kx b表示直线下方的平面区域 说明： （ 1） y kx b表示直线及直线上方的平面区域； y kx b表示直线及直线下方的平面区域 （ 2）对 于不含边界的区域，要将边界画成虚线 三、质疑答辩，排难解惑，发展思维 例 1（教材 73P 例 1）画出下列不等式所表示的平面区域：（ 1） 21 ；（ 2） 20 解：（ 1）（ 2）两个不等式所表示的平面区 域如下图所示： 例 2 判断下列不等式所表示的平面区域在相应直线的哪个区域？（用“上方”或“下方”填空） （ 1）不等式 32 表示直线 32 的平面区域； （ 2）不等式 2 3 0 表示直线 2 3 0 的平面区域； （ 3）不等式 20表示直线 20 的平面区域； （ 4）不 等式 0表示直线 0 的平面区域 说明：二元一次不等式 0A x B y C 在平面直角坐标系中表示 0A x B y C 某一侧所有点组成的平面区域可以用“选点法”确定具体区域：任选一个不在直线上的点，检验它的坐标是否满足所给的不等式若适合，则该点所在的一侧即为不等式所表示的平面区域；否则，直线的另一侧为所求的平面区域 例 3（ 1）若点 ( 2, )t 在直线 2 3 6 0 下方区域，则实数 t 的取值范围为 x y O 下半平面 y kx b 上半平面 y kx b y kx b （ 2）若点 (0,0) 在直线 3 2 0x y a 的上方区域，则点 (1,3) 在此直线的下方还是上方区域？ 解：（ 1）直线 2 3 6 0 下方的点的 坐标满足 2 23， 22( 2 ) 233t （ 2）直线 3 2 0x y a 的上方区域的点的坐标满足 322，点 (0,0) 在直线 3 2 0x y a 的上方区域， 02a ， 0a 又 33 1 3 022 ，点 (1,3) 在此直线的上方区域 例 4（教材 74P 例 2） 将下列各图中的平面区域（阴影部分）用不等式表示出来（其中图 （ 1）中区域不包括 y 轴）： 解：（ 1） 0x ；（ 2） 6 5 22；（ 3） 例 5 原点和点 (1,1) 在直线 0x y a的两侧，则实数 a 的取值范围是 提示：将点 (0,0) 和 (1,1) 的坐标代入 x y a 的符号相反，即 (2 ) 0 ， 02a 例 6 用平面区域表示 22 的解集。 分析：不等式组表示的平面区域是各个不等式所表示的平面点集的交集，因而是各个不等式所表示的平面区域的公共部分。 解：不等式 3 12 表示直线 3 12 右下方 的区域， 2表示直线 2右上方的区域，取两区域重叠的部分，如图的阴影部分就表 示原不等式组的解集。 结论： 不等式组表示的平面区域是各个不等式所表示的平面点集的交集，因而是各个不等式所表示的平面区域的公共部分。 变式 1： 画出不等式 04)(12( ）示的平面区域。 变式 2： 画出不等式 3,0,05变式 3： 由直线 02 012 012 成的三角形区域（包括边界）用不等式可表示为 。 四、巩固深化，反馈矫正 五、归纳整理，整体认识 1 二元一次不等式的几何意义； 二元一次不等式表示的平面区域 2二元一次不等式 表示哪个平面区域的判断方法 （二元一次不等式表示的平面区域的确定） 3二元一次不等式组表示的平面区域 4 懂得画出二元一次不等式 )0(0 平面区域中表示的图形 5 注意如何表示边界 六、承上启下，留下悬念 1 由直线 012,012,02 成的三角形区域（包括边界）用不等式可表示为 _ 七、板书设计（略） 八、课后记： 二元一次不等式组与简单的线性规划问题 【三维目标】： 一、知识与技能 问题中的已知条件，找出约束条件； 二、过程与方法 生已经学会了如何画出一元二次不等式 (组 )所表示的平面区域 师要善于引导学生思维 ,调动学习兴趣 ,让他们乐学并巧学 ,真切体会到数学在生活中的妙用 采用多媒 体教学可更好地促进教学双赢 会集合、化归、数形结合的数学思想； 三、情感、态度与价值观 养学生学习数学的兴趣和“用 数学”的意识，激励学生创新。 强学生之间的合作互助精神 ,并从数形结合中得到辨证唯物主义的思想教育 【教学重点与难点】： 重点： 理解二元一次不等式表示平面区域并能把不等式（组）所表示的平面区域画出来； 难点： 把实际问题抽象化，用二元一次不等式（组）表示平面区域。 【学法与教学用 具】： 1. 学法： 通过分组讨论 ,让学生在活动中学会沟通和合作 ,提高分析和处理信息的能力 以学生探究为主 ,教师点拨为辅 ,重在培养创新 2. 教学用具： 直角板、投影仪（多媒体教室） 【授课类型】：新授课 【课时安排】： 1 课时 【教学思路】： 一、创设情景，揭示课题 通过前一课的学习，我们已经知道了二元一次不等式的几何意义那么，二元一次不等式组4 1 0 ( 1 )4 3 2 0 ( 2 ) 的几何意义又如何呢？ 二、研探新知 根据前面的讨论，不等式（ 1）表示直线 10 4 及其下方的平面区域； 不等式（ 2 ）表示直线4 3 2 0 0 及其下方的平面区域因此，同时满足这两个不等式的点 ( , )集合就是这两个平面区域的公共部分（如下图所示） 如果再加上约束条件 0, 0，那么，它们的公共区域为图中的阴影部分 图 图 三、质疑答辩，排难解惑，发展思维 例 1 画出下列不 等式组所表示的平面区 域： （ 1）2124 （ 2）004 3 8 0 解：（ 1）不等式 21表示直线 21及其下方的平面区域；不等式 24表示直线 24上方的平面区域；因此，这两个平面区域的公共部分就是原不等式组所表示的平面区域 （ 2） 原不等式组所表示的平面 区域即为不等式 4 3 8 0 所表示的平面区域位于第一象限内的部分 思考： 如 何寻找满足（ 2）中不等式组的整数解？（要确定不等式组的整数解，可以画网格，然后按顺序找出在不等 式组表示的平面区域内的格点，其坐标即为不等式组的整数解） 例 2 三个顶点坐标为 ( 0 , 4 ) , ( 2 , 0 ) , ( 2 , 0 )A B C ，求 内任一点 ( , )满足的条件 解： 三边所在的直线方程： 2 4 0； 2 4 0 ； 0y 内任意一点都在直线 ,C 下方，且在直线 上方，故 ( , )足的条件为2 4 02 4 00 例 3 满足约束条件202 3 05 3 5 0 的平面区域内有哪些整点？ 解 ：画图可得：共有 (1, 1) 、 (2, 2) 、 (0,0) 、 (0, 1) 四个点 例 4 某人准备投资 1 200 万兴办一所完全中学，对教育市场进行调查后，他得到了下面的数据表格（以班级为单位）： 学段 班级学生人数 配备教师数 硬件建设 /万元 教师年薪 /万元 初中 45 2 26/班 2/人 高中 40 3 54/班 2/人 分别用数学关系式和图形表示上述的限制条件。 解：设开设初中班 x 个，开设高中班 y 个，根据题意，总共招生班数应限制在 3020 之间，所2 0 3 0 ,考虑到所投资金的限制，得到 2 6 5 4 2 2 2 3 1 2 0 0x y x y ,即 2 40 另外，开设的班数不能为负，则 0, 0,把上面的四个不等式合在一起，得到： 2 0 3 02 4 000 用图形表示这个限制条件， 得到如图的平面 区域（阴影部分） 四、巩固深化，反馈矫正 1（ 1） 1 （ 2） ； （ 3） 2画出不等式组 53006 (1) 0)1)( (2) 分析： (1)转化为等价的不等式组； (2)注意到不 等式的传递性，由 ，得 0x ，又用 y 代 y ，不等式仍成立，区域关于 x 轴对称。 解： (1) 10010 10点 ),( 一带形区域内（含边界）。 (2) 由 ，得 0x ；当 0y 时，有 020,( 一条形区域内 (边界 )；当 0y ，由对称性得出。 指出：把非规范形式等价转化为规范不等式组形式便于求解 015530632032分析：不等式组的实数解集为三条直线 032:1 0632:2 01553:3 围成的三角形区域内部 (不含边界 )。设 21 ， 31 ， 32 ，求得区域内点横坐标范围，取出 x 的所有整数值，再代回原不等式组转化为 y 的一元不等式组得出相应的 y 的整数值。 解：设 032:1 0632:2 01553:3 21 ， 31 ，32 ， )43,815(A ， )3,0( B ， )1912,1975( C 。于是看出区域内点的横坐标在 )1975,0( 内，取 x 1，2， 3，当 x 1 时，代入原不等式组有5123411512 y ，得 y 2，区域内有整点 (1,同理可求得另外三