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高中数学 教案 打包 12 十二 新人 必修

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用心 爱心 专心 1 2 1 数列的概念与简单表示法 （一） 一 、 教学要求 ： 理解数列及其有关概念；了解数列和函数之间的关系；了解数列的通项公式，并会用通项公式写出数列的任意一项；对于比较简单的数列，会根据其前几项的特征写出它的一个通项公式 . 二、教学重点 、 教学难点 ： 重点： 数列及其有关概念，通项公式及其应用 . 难点 ：根据一些数列的前几项，抽象、归纳出数列的通项公式 . 三、教学过程 ： 导入新课 “有人说，大自然是懂数学的”“树木的， 。”， （一）、复习准备 ： 1. 在必修课本中，我们在讲利用二分法求方程的近似解时，曾跟大家说过这样一句话：“一尺之棰，日取其半，万世不竭”，即如果将初始量看成“ 1”，取其 一半剩“ 12”，再取一半还剩“ 14”，、，如此下去，即得到 1， 12， 14， 18，、 2. 生活中的三 角形数、正方形数 . 阅读教材 提问：这些数有什么规律？与它所表示的图形的序号有什么关系？ （ 二）、讲授新课： 1. 教学数列及其有关概念： （ 1）三角形数： 1， 3， 6， 10， （ 2）正 方形数 ： 1， 4， 9， 16， （ 2） 1， 2， 3， 4 的倒数排列成 的一列数： （ 3） 1 次幂， 2 次幂， 3 次幂， 排列成一列数： 1， 1， 。（ 4）无穷多个 1 排列成的一列数： 1， 1， 1， 1，。 有什么共同特点？ 1. 都是一列数； 2. 都有一定的顺序 数列的概念： 按照一定顺序排列着的一列数称为数列 ，数列 中的每一个数叫做这个数列的项 . 辩析数列的概念： （ 1） “ 1， 2， 3， 4， 5”与“ 5， 4， 3， 2， 1”是同一个数列吗？ 与“ 1， 3， 2， 4， 5”呢？ （ 2） 数列中的数可以重复吗？ （ 3）数列与集合有什么区别？ 集合 讲究：无序性、互异性、确定性，数列讲究：有序性、可重复性、确定性。 数列中 每一个数叫数列的项， 排在第一位的数称为这个 数列的第 1 项（或首项），排在第二位的数称为这个数列的第 2 项、排在第 n 位的数称为这个数列的第 n 项 . 数列的一 般形 式可以写成1 2 3, , , , ,na a a a，简记为 数列的分类 ： (1)按项数分： 有穷数列与无穷数列， (2)按项之间的大小关系： 递增数列、递减数列、常数列与摆动数列 . 数列中的数与它的序号有怎样的关系？ 序号可以看作自变量，数列中的 数可以看作随着变动的量。把数列看作函数 。 即：数列可看作一个定义域是正整数集或它的有限子集的函数，当自变量从小到大依次取值对应的一列函数值。 反过来，对于函数 )( ，如果 、）)( 有意义，可以得到一个数列 ： .)3()2()1( 如果数列 n 项与 项数之间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的通项公式。 ， 4131211用心 爱心 专心 2 函数 数列（特殊的函数） 定义域 R 或 R 的子集 *N 或它的子集 解析式 )( )(图象 点的集合 一些离散的点的集合 2应用举例 例 1、写出 下列数列的一个通项公式，使它的前 4 项分别是下列各数： （ 1） ;41,31,21,1 （ 2） 2， 0， 2， 0 练习：根据下面数列的前几项的值，写出数列的一个通项公式： (1) 3, 5, 7, 9, 11,； (2) 32, 154, 356, 638, 9910, ； (3) 0, 1, 0, 1, 0, 1,； (4) 1, 3, 3, 5, 5, 7, 7, 9, 9, ； (5) 2, 6, 18, 54, 162, . 例 2. 写出数列 .04,73,42,1的一个通项公式，并判断它的增减性。 思考 ：是 不是所有的数列都存在通项公式？根据数列的前几项写出的通项 公式是唯一的吗？ 例 3根据下面数列 出前五项： （ 1）1 2） na )1(例 4 求数列 392 2 的最大项。 例 5已知数列 )3(lo g 22 na n，求 3这个数列的第几项？ 三 . 小结： 数列及其基本概念，数列通项公式及其 应用 . 四 、巩固练习： 1. 练习： 1、 2、题 、 2. 作 业：习案九。 用心 爱心 专心 1 数列的概念与简单表示法（二） 教学要求 ： 了解数列的递推公式，明确递推公式与通项公式的异同；会根据数列的递推公式写出数列的前几项；理解数列的前 n 项和与 教学重点 ： 根据数列的递推公式写出数列的前几项 . 教学难点 ：理解递推公式与通项公式的关系 . 教学过程 ： 一、复习： 1)是数列 )1( 的一项的是 ( A ) ),11,22,5,2 则 24 是该数列的 ( C ) 项 B. 第 10 项 C. 第 11 项 D. 第 12 项 3) ,4 ,3 ,2,1 的一个通项公式为 na )1( 4）、图 的三角形称为希尔宾斯 基（ 角形。在下图 4 个三角形中，着色三角形的个数依次构成一个数列的前 4 项，请写出这个数列的一个 通项公式，并在直角坐标系中画出它的图象。 二、探究新知 （ 一 ） 、 观察以下数列，并写出 其通项公式： ,11,9,7,5,3,1)1( 12 ,8,6,4,2,0)2( )1(2 ,81,27,9,3)3( 思 考： 除了用通项公式外，还有什么办法可以 确定这些数列的每一项？ 2,25,2213,1)1( 123121 nn 2,0)2( 11 nn 11 3,3)3( nn ） 定义：已知数列 前几项），且任一项前几项）间的关系可以用一个公式来表示，这个公式就 叫做这个数列的 递推公式 . 练习 : 运用递推公式确定一个数列的通项： 用心 爱心 专心 2 ,11,8,5,2)1( )2(3,2 11 ,21,13,8,5,3,2,1,1)2( )3(,1,1 2121 1:已知数列 ,以后的各项由公式111nn 出 ,写出这个数列的前五项 解 :58,35,23,2,1 1)( 2)( , 11项之和为的前若记数列练习 : 已知数列 ,1)2(;2)1( 22 例 ,211 nn 解法一 :)1(42)4)(1(2 :,10,6,2,2: 4321 察可得可以写出 观察法 解法二 : )1(42 )1(4: 4 4 4 4 ,4: 112322111法 例 3:已知nn ,2 11 ,求 解法一 : 解法二 : ,222 ,222,2323221观察可得 三、课堂小结： 的通项公式的区别是： (1)通项公式反映的是项与项数之间的关系，而递推公式反映的是相临两项 (或 之间的关系 . (2)对于通项公式 ,只要将公式中的 n 依次取 ,4,3,2,1 即可得到相应的项，而递推公式则要已知 2,2 ,2 1111232211111即由用心 爱心 专心 3 首项（或前 n 项），才可依次求出其他项 . 3用递推公式求通项公式的方法：观察法、累加法、迭 乘法 . 四、作业 30 2. 习案作业十 1 课题 : 差数列的前 n 项和 （第 1课时） 教学目标 知识与技能： 掌握等差数列前 用等差数列的前 过程与方法： 通过公式的推导和公式的运用，使学生体会从特殊到一般，再从一般到特殊的思维规律，初步形成认识问题，解决问题的一般思路和方法；通过公式推导的过程教学，对学生进行思维灵活性与广阔性的训练，发展学生的思维水平 . 情感态度与价值观： 通过公式的推导过程，展现数学中的对称美。 教学重点 等差数列 导及应 教学难点 灵活应用等差数列前 n 项公式解决一些简单的有关问题 教学过程 “ 小故事 ”: 高斯是伟大的数学家，天文学家，高斯十岁时 ,有一次老师出了一道题目 ,老师说 : “ 现在给大家出道题目 : 1+2+ 100=?” 过了两分钟 ,正当大家在： 1+2=3； 3+3=6； 4+6=10算得不亦乐乎时，高斯站起来回答说： “ 1+2+3+ +100=5050。 教师问：“你是如何算出答案的？ 高斯回答说：因为 1+100=101； 2+99=101； 50+51=101，所以 101 50=5050” 这个故事告诉我们 ： （ 1）作为数学王子的高斯从小就善于观察，敢于思考，所以他能从一些简单的事物中发现和寻找出某些规律性的东西。 （ 2）该故事还告诉我们求等差数列前 n 项和的一种很重要的思想方法，这就是下面我们要介绍的“倒序相加”法。 1等差数列的前 n 项和公式 1：2 )( 1 nn 证明： 1321 1221 +： )()()()(223121 23121 )(21 nn 由此得：2 )( 1 nn 从而我们可以验证高斯十岁时计算上述问题的正确性 奎屯王新敞 新疆 2 等差数列的前 n 项和公式 2：2 )1(1 n 用上述公式要求, 1但 1(1 代入公式 1即得： 2 )1(1 n 此公式要求, 1 （有时比较有用） 范例讲解 课本 例 1、例 2、例 3 由例 3得 与 由 n=1时， 1S =1a ；当 n 2时，na= 即 )2()1(11 课本 、 2、 3、 4 本节课学习了以下内容： n 项和公式 1：2 )( 1 nn n 项和公式 2：2 )1(1 n 课本 题 2、 3题 板书设计 授后记 课题 : n 项和 授课类型 ： 新授课 （第课时） 教学目标 知识与技能： 进一步熟练掌握等差数列的通项公式和前 解等差数列的一些性 3 质，并会用它们解决一些相关问题； 会利用等差数列通项公式与前 项和的公式研究 的最值； 过程与方法： 经历公式应用的过程； 情感态度与价值观： 通过有关内容在实际生活中的应用，使学生再一次感受数学源于生活，又服务于生活的实用性，引导学生要善于观察生活，从生活中发现问题，并数学地解决问题。 教学重点 熟练掌握等差数列的求和公式 教学难点 灵活应用求和公式解决问题 教学过程 首先 回忆一下上一节课所学主要内容： n 项和公式 1：2 )( 1 nn n 项和公式 2：2 )1(1 n 探究： 课本 结论：一般地，如果一个数列 ,nS p n q n r ，其中 p、 q、 0p ，那么这个数列一定是等差数列吗？如果是，它的首项与公差分别是多少？ 由 2nS p n q n r ，得11S a p q r 当 2n 时1n n S = 22( ) ( 1 ) ( 1 ) p n q n r p n q n r =2 ( )pn p q 1 2 ( ) 2 ( 1 ) ( ) a a p n p q p n p q =2p 对等差数列的前 n 项和公式 2：2 )1(1 n 可化成式子： n)2da(2n ，当 d 0，是一个常数项为零的二次式 范例讲解 等差数列前项和的最值问题 课本 解略 小结： 对等差数列前项和的最值问题有两 种方法 : （ 1） 利用当， 前 屯王新敞 新疆可由0，且10，求得 屯王新敞 新疆 （ 2） 利用 由 n)2da(2n 利用二次函数配方法求得最值时 1一个等差数列前 4项的和是 24，前 5项的和与前 2项的和的差是 27，求这个等差数列的通项公式。 2差数列 , 4a 15, 公差 d 3, 求数列 前 1前 n 项和为 2nS p n q n r ，其中 p、 q、 r 为常数，且 0p ，一定是等差数列，该数列的 首项是1a p q r 公差是 d=2p 通项公式是 111,12 ( ) , 2n a p q r p n p q n 当 时当 时2差数列前项和的最值问题有两种方法 : （ 1）当， 前 屯王新敞 新疆可由0，且10，求得 （ 2）由 n)2da(2n 利用二次函数配方法求得最值时 课本 A 组 的 5、 6题 板书设计 授后记 用心 爱心 专心 1 ） 教学目标 （一） 知识与技能目标 （二） 过程与能力目标 解决知道1a ， q ， 另一个的问题 教学重点 数列概念的理解与掌握； 教学难点 等差数列等比的理解、把握和 应用 教学过程 一、复习引入： 下面我们来看这样几个数列，看其又有何共同特点 ?（教材上的 1， 2， 4， 8， 16， 263; 1，21，41，81，； 1， 32 20,20,20 ，； . 9 0 9 1 9 2 对于数列，12n ; 1（ n 2）对于数列， 21n；211n 2） 对于数列，120n ; 10（ n 2） 共同特点：从第二项起，第一项与前一项的比都等于同一个常数 二、新课 1等比数列的定义： 一般地，若一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数 ,这个数列就叫做等比数列 用字母 q 0）， 即：1q（ q 0） . 思考： （ 1）等比数列中有为 0的项吗？ （ 2）公比为 1的数列是什么数列？ （ 3）既是等差数列又是等比数列的数列存在吗？（ 4）常数列都是等比数列吗？ (1)“从第二项起”与“前一项”之比为常数 q； 等比数列 q（ q 0） (2) 隐含：任一项 00 (3) q= 1时， 常数 数列 （ 4）既是等差又是等比数列的数列：非零常数列 用心 爱心 专心 2 : )0,(111 均不为观察法：由等比数列的定义，有： 2 ； 21123 )( ； 312134 )( ； )0( 1111 迭乘法：由等比数列的定义，有： 12； 23； 34； 1所以11342312 ，即 )0(111 项公式 2: )0( 三、例题 讲解 例 1 一个等比数列的第 3项与第 4项分别是 12与 18，求它的第 1项与第 2项 . 解：23231218 q3212 2132 例 2求下列各等比 数列的通项公式： ;8,2 )1( 31 nn 2,5 )2( 11 且 解： (1) 24213 2()2)(2(22)2( 11 或(2)111 )23(5523 ：例 3教材 。 例 4已知数列 足 12,111 nn （ 1）求证数列 是等比数列；（ 2）求 练习：教材第 52 页第 1、 2题 三、课堂小结： 数列的定义； 列的通项公式及变形式 四、课外作业 8 50 页； 2.习案作业十五 - 1 - n 项和 (一 )教学目标 1、 知识与技能：掌握等比数列的前 n 项和公式，并用公式解决实际问题 2、 过程与方法：由研究等比数列的结构特点推导出等比数列的前 n 项和公式 3、 情态与价值：从“错位相减法”这种算法中，体会“消除差别”，培养化简的能力 （二）教学重、难点 重点：使学生掌握等比数列的前 n 项和公式，用等比数列的前 n 项和公式解决实际问题 难点：由研究等比数列的结构特点推导出等比数列的前 n 项和公式 （三）学法与教学用具 学法：由等比数列的结构特点推导出前 n 项和公式，从而利用公式解决实际问题 教学用具：投影仪 （四）教学设想 教材开头的问题可以转化成求首项为 1，公比为 2 的等比数列的前 64 项的和 们有必要探讨等比数列的前 n 项和公式。 一般地，对于等比数列 , 它的前 n 项和是 a1+a2+ +等比数列的通项公式 ,上式可以写成 a1+ + 式两边同乘以公比 q 得 + ,的右边有很多相同的项 ,用的两边分别减去的两边 ,得 (1n= 当 时， Sn=n1)1(1 （ q 1） 又 所以上式也可写成 Sn=n11（ q 1） 推导出等比数列的前 n 项和公式，本节开头的问题就可以解决了 相关问题 当 q=1时，等比数列的前 n= 公式可变形为 Sn=n1)1(1 =1)1(1n （思考 q1 和 q1 时分别使用哪个方便） 如果已知 an,q,n,个量中的任意三个就可以求出其余两个 例题分析 例 1 求下列等比数列前 8 项的和 : (1)21,41,81,； - 2 - (2) 7, 431,q0 评注 :第 (2)题已知 7,n=8,还缺少一个已知条件 ,由题意显然可以通过解方程求得公比 q,题设中要求 q0,一方面是为了简化计算 ,另一方面是想提醒学生 q 既可以为正数 ,又可以为负数 . 例 2 某商场今年销售计算机 5000 台 ,如果平均每年的销售量比上一年的销售量增加 10%,那么从今年起 ,大约几年 可使总销售量达到 30000 台 (结果保留到个位 )? 评注 :先根据等比数列的前 n 项和公式列方程 ,再用对数的知识解方程 随堂练习 第 66 页第 课堂小结 (1) 等比数列的前 n 项和公式中要求 q 1;这个公式可以变形成几个等价的式子 (2) 如果已知 an,q,n,个量中的任意三个就可以求出其余两个 (五 )评价设计 (1)课后阅读 :课本 67 页 阅读与思考 (2)课后作业 :第 69 页 1,2,4 题 1 第三章不等式课题 : 等式与不等关系 第 1 课时 授课类型： 新授课 【 教学目标 】 1知识与技能：通过具体情景，感受在现实世界和日常生活中存在着大量的不等关系，理解不等式（组）的实际背景，掌握不等式的基本性质； 2过程与方法：通过解决具体问题，学会依据具体问题的实际背景分析问题、解决问题的方法； 3情态与价值：通过解决具体问题，体会数学在生活中的重要作用，培养严谨的思维习惯。 【 教学重点 】 用不等式（组）表示实际问题的不等关系，并用不等式（组）研究含有不等关系的问题。理解不等式（组）对于刻画不等关系 的意义和价值。 【 教学难点 】 用不等式（组）正确表示出不等关系。 【 教学过程 】 在现实世界和日常生活中，既有相等关系，又存在着大量的不等关系。如两点之间线段最短，三角形两边之和大于第三边，等等。人们还经常用长与短、高与矮、轻与重、胖与瘦、大与小、不超过或不少于等来描述某种客观事物在数量上存在的不等关系。在数学中，我们用不等式来表示不等关系。 下面我们首先来看如何利用不等式来表示不等关系。 1）用不等式表示不等关系 引例 1：限速 40km/h 的路标，指示司机在前方路段行驶时，应使汽 车的速度 v 不超过 40km/h，写成不等式就是： 40v 引例 2：某品牌酸奶的质量检查规定，酸奶中脂肪的含量应不少于 蛋白质的含量 写成不等式组就是 用不等式组来表示 .3%问题 1：设点 A 与平面 的距离为 d,B 为平面 上的任意一点，则 |d 。 问题 2：某种杂志原以每本 的价格销售，可以售出 8 万本。据市场调查，若单价每提高 ，销售量就可能相应减少 2000 本。若把提价后杂志的定价设为 x 元，怎样用不等式表示销售的总收入仍不低于 20 万元呢？ 解：设杂志社的定价为 x 元 ，则销售的总收入为 2 0 0 x万元，那么不等关系“销售的总收入仍不低于 20 万元”可以表示为不等式 2 8 0 2 00 x 问题 3：某钢铁厂要把长度为 4000钢管截成 500 600种。按照生产的要求， 2 600数量不能超过 500管的 3 倍。怎样写出满足所有上述不等关系的不等式呢？ 解：假设截得 500 钢管 x 根，截得 600钢管 y 根。根据题意，应有如下的不等关系： （ 1）截得两种钢管的总长度不超过 4000 （ 2）截得 600管的数量不能超过 500管数量的 3 倍； （ 3）截得两种钢管的数量都不能为负。 要同时 满足上述的三个不等关系，可以用下面的不等式组来表示： 5 0 0 6 0 0 4 0 0 0 ;3;0; 1、试举几个现实生活中与不等式有关的例子。 2、课本 练习 1、 2 用不等式（组）表示实际问题的不等关系，并用不等式（组）研究含有不等关系的问题。 课本 题 组 第 4、 5 题 【 板书设计 】 【 授后记 】 第 2 课时 授课类型： 新授课 【 教学目标 】 1知识与技能 ： 掌握不等式的基本性质，会用不等式的性质证明简单的不等式； 2过程与方法：通过解决具体问题，学会依据具体问题的实际背景分析问题、解 决问题的方法； 3情态与价值：通过讲练结合，培养学生转化的数学思想和逻辑推理能力 . 【 教学重点 】 掌握不等式的性质和利用不等式的性质证明简单的不等式； 【 教学难点 】 利用不等式的性质证明简单的不等式。 【 教学过程 】 在初中，我们已经学习过不等式的一些基本性质。 请同学们回忆初中不等式的的基本性质。 （ 1）不等式的两边同时加上或减去同一个数，不等号的方向不改变； 即若 a b a c b c （ 2）不等式的两边同时乘以或除以同一个 正 数，不等号的方向不改变； 即若 ,0a b c a c b c 3 （ 3）不等式的两边同时乘以或除以同一个 负 数，不等号的方向改变。 即若 ,0a b c a c b c 1、不等式的基本性质： 师：同学们能证明以上的不等式的基本性质吗？ 证明： 1） (a c) (b c) a b 0， a c b c 2） ( ) ( ) 0a c b c a b ， a c b c 实际上，我们还有 ,a b b c a c ，（证明： a b， b c， a b 0， b c 0 根据两个正数的和仍是正数，得 (a b) (b c) 0， 即 a c 0， a c 于是，我们就得到了不等式的基本性质： （ 1） ,a b b c a c （ 2） a b a c b c （ 3） ,0a b c a c b c （ 4） ,0a b c a c b c 2、探索研究 思考，利用上述不等式的性质，证明不 等式的下列性质： （ 1） ,a b c d a c b d ； （ 2） 0 , 0a b c d a c b d ； 4 （ 3） 0 , , 1 ;nn b n N n a b a b 。 证明： 1） a b， a c bc c d， b c bd 由 、 得 a c b d 2） 0,0, 3）反证法）假设 nn ， 则：若 b a ba b a b 这都与 矛盾， nn 范例讲解 ： 例 1、已知 0, 0,a b c 求证 证明：以为 0 ，所以 , 1 0 于是 11 ，即 11 c0 ，得 1、课本 练习 3 2、在以下各题的横线处适当的不等号： (1)（ 3 2 ） 2 2 6 ； （ 2）（ 3 2 ） 2 （ 6 1） 2； 5 （ 3）251561； (4)当 a b 0 时， 案： (1) （ 2） （ 3） （ 4） 补充例题 例 2、比较 (a 3)（ a）与（ a 2）（ a 4）的大小。 分析：此题属于两代数式比较大小，实际上是比较它们的值的大小，可以作差，然 后展开，合并同类项之后，判断差值正负 (注意是指差的符号，至于差的值究竟是多少，在这里无关紧要 )。根据实数运算的符号法则来得出两个代数式的大小。比较两个实数大小的问题转化为实数运算符号问题。 解：由题意可知： （ a 3）（ a）（ a 2）（ a 4） （ 2a 1）（ 2a） 0 （ a 3）（ a）（ a 2）（ a 4） 随堂练习 2 1、 比较大小： （ 1）（ x）（ x）与（ x） 2 （ 2） 225 6 2 5 9x x x x 与 本节课学习了不等式的性质，并用不等式的性质证明了一些简单的不等式，还 研究了如何比较两个实数（代数式）的大小 作差法，其具体解题步骤可归纳为： 第一步：作差并化简，其目标应是 n 个因式之积或完全平方式或常数的形式； 第二步：判断差值与零的大小关系，必要时须进行讨论； 第三步：得出结论 课本 题 组 第 2、 3 题； B 组 第 1 题 【 板书设计 】 课题 : 第 1课时 授课类型： 新授课 【 教学目标 】 1知识与技能：理解一元二次方程、一元二次不等式与二次函数的关系，掌握图象法解一元二次不等式的方法；培养数形结合的能力，培养分类讨论的思想方法，培养抽象概括能力和逻辑思维能力； 2过程与方法：经历从实际情境中抽象出一元二次不等式模型的过程和通过函数图象探究一元二次不等式与相应函数、方程的联系，获得一元二次不等式的解法； 3情态与价值：激发学习数学的热情，培养勇于探索的精神，勇于创新精神，同时体会事物之间普遍联系的辩证思想。 【 教学重点 】 从实际情境中抽象出一元二次不等式模型；一元二次不等式的解法。 【 教学难点 】 理解二次函数、一元二次方程与一元二次不等式解集的关系。 【 教学过程 】 从实际情境中抽象出一元二次不等式模型： 教材 教 师 引 导 学 生 分 析 问 题 、 解 决 问 题 ， 最 后 得 到 一 元 二 次 不 等 式 模 型 ：2 50 (1) 1） 一元二次不等式的定义 象 2 50这样，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是 2 的不等式，称为一元二次不等式 2） 探究一元二次不等式 2 50的解集 怎样求不等式（ 1）的解集呢 ？ 探究： （ 1）二次方程的根与二次函数的零点的关系 容易知道：二次方程的有两个实数根：120, 5二次函数有两个零点：120, 5于是，我们得到：二次方程的根就是二次函数的零点。 （ 2）观察图象，获得解集 画出二次函数 2 5y x x的图象，如图，观察函数图象，可知： 当 数图象位于 时， y0,即 2 50； 当 00与 2 0）与 x 轴的相关位置，分为三种情况，这可以由一元二次方程 2 =0的判别式 2 三种取值情况 ( 0 ， =0 ， 0 分 O， =0 ， 0与 2 0(或 0) 计算判别式 ，分析不等式的解的情况： . 0时，求根 1x 0，所以这辆汽车刹车前的车速至少为 h. 例 4、一个汽车制造厂引进了一条摩托车整车装配流水线，这条流水线生产的摩托车数量 x（辆）与创造的价值 y（元）之间有如下的关系： 22 2 2 0y x x 若这家工厂希望在一个星期内利用这条流水线创收 6000 元以上，那么它在一个星期内大约应该生产多少辆摩托车？ 解：设在一个星期内大约应该生产 据题意，我们得到 22 2 2 0 6 0 0 0 移项整理，得 2 1 1 0 3 0 0 0 0 因为 100 0，所以方程 2 1 1 0 3 0 0 0 0 有两个实数根 125 0, 6 0由二次函数的图象，得不等式的解为 ： 50x60 因为 x 只能取正整数，所以，当这条摩托车整车装配流水线在一周内生产的摩托车数量在51 59 辆之间时，这家工厂能够获得 6000元以上的收益。 3随堂练习 1 课本第 89页练习 2 补充例题 应用一（一元二次不等式与一元二次方程的关系） 例：设不等式 2 10ax 的解集为 13 | 1 ，求 应用二（一元二次不等式与二次函数的关系） 例：设 22 | 4 3 0 , | 2 8 0 A x x x B x x x a ，且 ，求 a 的取值范围 . 改： 设 2 2 8 0x x a 对于一切 (1,3)x 都成立，求 a 的范围 . 改： 若方程 2 2 8 0x x a 有两个实根12,1 3x，2 1x ，求 a 的范围 . 随堂练习 2 1、已知二次不等式 2 0ax bx c 的解集为 1132 | x x x或，求关于 x 的 不等式2 0cx bx a 的解集 . 2、若关于 m 的不等式 2 ( 2 1 ) 1 0m x m x m 的解集为空集，求 m 的取值范围 . 改 1：解集非空 改 2：解集为一切实数 进一步熟练掌握一元二次不等式的解法 一元二次不等式与一元二次方程以及一元二次函数的关系 课本第 89页的习题 组第 3、 5题 【 板书设计 】 1 课题 : 2第 1课时 授课类型： 新授课 【 教学目标 】 1知识与技能：学会推导并掌握基本不等式，理解这个基本不等式的几何意义，并掌握定理中的不等号“”取等号的条件是：当且仅当这两个数相等； 2过程与方法：通过实例探究抽象基本不等式； 3情态与价值：通过本节的学习，体会数学来源于生活，提高学习数学的兴趣 【 教学重点 】 应用数形结合的思想理解不等式，并从不同角度探索不等式2的证明过程； 【 教学难点 】 基本不等式2等号成立条件 【 教学过程 】 基本不等式2的几何背景： 如图 是在北京召开的第 24界国际数学家大会的会标，会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，颜色的明暗使它看上去象一个风车，代表中国人民热情好客。你能在这个图案中找出一些相等关系或不等关系吗？ 教师引导学生从 面积 的关系去找相等关系或不等关系。 1探究图形中的不等关系 将图中的“风车”抽象成如图，在正方形 右个全等的直角三角形。设直角三角形的两条直角边长为 a,b 那么正方形的边长为 22。这样， 4 个直角三角形的面积的和是 2方形的面积为 22。由于 4 个直角三角形的面积小于正方形的面积，我们就得到 了一个不等式： 222a b 。 当直角三角形变为等腰直角三角形，即 a=b 时，正方形 为一个点，这时有222a b 。 2得到结论：一般的，如果 )(2R, 22 号时取当且仅当那么 3思考证明：你能给出它的证明吗？ 证明：因为 222 )(2 当 2 22, ( ) 0 , , ( ) 0 ,a b a b a b a b 时 当 时 所以， 0)( 2 即 22 4 1） 从几何图形的面积关系认识基本不等式2特别的，如果 a0,b0,我们用分别代替 a、 b ，可得 2a b ， 通常我们把上式写作： ( a 0 ,b 0 )22） 从不等式的性质推导基本不等式2用分析法证明： 要证 2ab (1) 只要证 a+b (2) 要证（ 2），只要证 a+ 0 （ 3） 要证（ 3），只要证 （ - ） 2 （ 4） 显然，（ 4）是成立的。当且仅当 a= 4）中的等号成立。 3） 理解基本不等式2的几何意义 探究： 课本第 110页 的“探究” 在右图中， 圆的直径，点 C 是 的一点， AC=a,BC=b。过点 C 作垂直于E，连接 能利用这个图形得出基本不等式2的几何解释吗？ 易证 t t ，那么 A B 即 D 这个圆的半径为2显然，它大于或等于 2，其中当且仅当点 C 与圆心重合，即 a 号成立 . 因此：基本不等式2几何意义是“ 半径不小于半弦 ” 评述： 作是正数 a、 b 的等差中项， 作是正数 a、 b 的等比中项，那么该定理可以叙述为：两个正数的等差中项不小 于它们的等比中项 . 们称2 a、 b 的算术平均数，称 a、 b 的几何平均数 个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数 . 补充例题 例 1 已知 x、 证： 3 (1) 2； (2)（ x y）（ 分析：在运用定理： 2时，注意条件 a、 合不等式的性质 (把握好每条性质成立的条件 )，进行变形 . 解： x， 0，0， 0， 0， 0， 0 (1) 2 2即 2. (2)x y 2 0 2 22 0 2 330 （ x y）（ 2 2 22 2 33 （ x y）（ a、 b、 证 （ a b）（ b c）（ c a） 析：对于此类题目，选择定理： 2（ a 0， b 0）灵活变形，可求得结果 . 解： a， b， a b 2 0 b c 2 0 c a 2 0 （ a b）（ b c）（ c a） 2 2 2 （ a b）（ b c）（ c a） 本节课，我们学习了重要不等式 2正数 a、 b 的算术平均数（2，几何平均数（ 及它们的关系（2 者只要求 a、后者要求 a、 它们既是不等式变形的基本工具，又是求函数最值的重要工具 (下一节我们将学习它们的应用 ) 题： 22 ， 2 2. 课本第 113页习题 A组的第 1题 【 板书设计 】 课题 : 本不等式2第 2课时 授课类型： 新授课 【 教学目标 】 1知识与技能：进一步掌握基本不等式2；会应用此不等式求某些函数的最值；能够解决一些简单的实际问题 2过程与方法： 通过两个例题的研究，进一步掌握 基本不等式2，并会用此定理求某些函数的最大、最小值 。 3情态与价值： 引发学生学习和使用数学知识的兴趣，发展创新精神，培养实事求是、理论与实际相结合的科学态度和科学道德 。 【 教学重点 】 基本不等式2的应用 【 教学难点 】 利用基本不等式2求最大值、最小值。 【 教学过程 】 1重要不等式： 如 果 )(2R, 22 号时取当且仅当那么 2 基本不等式 ：如果 a,么 ).(2 号时取当且仅当 2 为的算术平均数，称 为 的几何平均数 2222 和成立的条件是不同的：前者只要求 a,后者要求 a, 例 1（ 1）用篱笆围成一个面积为 100矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，所用篱笆最短。最短的篱笆是多少？ 5 （ 2） 段长为 36 m 的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，菜园的面积最大，最大面积是多少 ? 解：（ 1）设矩形菜园的长为 x m，宽为 y m，则 00，篱笆的长为 2（ x+y） m。由2xy ， 可得 2 100 ， 2( ) 40。等号当且仅当 x=时 x=y=10. 因此，这个矩形的长、宽都为 10用的篱笆最短，最短的篱笆是 40m. （ 2）解法一：设矩形菜园的宽为 x m，则长为（ 36 2x） m，其中 0 x21，其面积 S x（ 36 2x）21 2x（ 36 2x）21222 3 6 2 3 6()28 当且仅当 2x 36 2x，即 x 9 时菜园面积最大，即菜园长 9m，宽为 9 1 法二：设矩形菜园的长为 x m.,宽为 y m ,则 2(x+y)=36, x+y=18,矩形菜园的面积为由 18 922 ，可得 81 当且仅当 x=y,即 x=y=9时，等号成立。 因此，这个矩形的长、宽都为 9m 时，菜园的面积最大，最大面积是 81归纳： 们的积有最大值，即若 a， b R ，且 a b M， 2M ，等号当且仅当 a 们的和有最小值，即若 a， b R ，且 P， a b 2 P ，等号当且仅当 a 例 2 某工厂要建造一个长方体无盖贮水池，其容积为 4800为 3m，如果池底每 150元，池壁每 120元，问怎样设计水池能使总造价最低，最低总造价是多少元？ 分析：此题首先需要由实际问题向数学问题转化，即建立函数关系式，然后求函数的最值，其中用到了均值不等式定理 。 解：设水池底面一边的长度为 池的总造价为 据题意，得 )16 00(72 024 000 0 6 2 9 7 6 0 04027 2 02 4 0 0 0 01 6 0 027 2 02 4 0 0 0 0 00 0,40,1600 有最小值时即 因此，当水池的底面是边长为 40m 的正方形时，水池的总造价最低，最低总造价是 297600元 评述 ：此题既是不等式性质在实际中的应用，应注意数学语言的应用即函数解析式的建立，又是不等式性质在求最值中的应用，应注意不等式性质的适用条件。 归纳： 用均值 不等式解决此类问题时，应按如下步骤进行： (1)先理解题意，设变量，设变量时一般把要求最大值或最小值的变量定为函数； (2)建立相应的函数关系式，把实际问题抽象为函数的最大值或最小值问题； (3)在定义域内，求出函数的最大值或最小值； (4)正确写出答案 . x 0，当 81x 的值最小 ?最小值是多少 ? 2课本第 113页的练习 1、 2、 3、 4 本节课我们用两个正数的算术平均数与几何平均数的关系顺