高中数学 正弦定理课件（打包2套）苏教版必修5
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高中数学 正弦定理课件（打包2套）苏教版必修5,高中数学,正弦,定理,课件,打包,苏教版,必修
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正弦定理、余弦定理的应用 2006年 10月 12日，中国宣布了自己的探月计划：中国将在 2007年把 “ 嫦娥一号 ” 绕月卫星送入太空，2012年实现发射软着陆器登陆月球路透社报道：中国将在 2024年把人送上月球 登陆月球如此困难，除了存在很多科学难题外还因为月球与地球相距很远，有 38万公里很久以前，数学家们就测量计算出了这个距离你知道他们是如何计算的吗？这就要利用解斜三角形的知识 1 (1)仰角和俯角：在视线和水平线所成的角中，把视线在水平线上方的角称为仰角，视线在水平线下方的角称为俯角，如图 1. (2)方位角：从指北方向线按顺时针转到目标方向线所成的水平角，如方位角是 45 ，指北偏东 45 ，即东北方向 (3)方向角：从指定方向到目标方向线所成的水平角，如南偏西 60 ，即以正南方向为始边，顺时针方向向西旋转 60 ，如图 2所示 (4)李强出校门向东，前进 200米，再向北走 200米便回到家中，李强家在学校的哪个方向？ 答案： 东偏北 45度方向 200米处 2地面上三个点 A、 B、 C，若 正北方向上， 北偏东 20方向上， 东偏北 25 方向上，则 东偏北 70 方向上， 5 方向上， 西偏南 70 方向上， 西偏南 25 方向上， 南偏西 65 方向上 3 (1)山下 点仰角为 30 ，则山上 点俯角为30 . (2)方位角是指从正北方向顺时针旋转到达目标方向的水平角若水平面上点 的方位角是 120 ，则点 东偏南 30 方向上 4 (1)、 (2)在 A 105 ， B 30 ，则 、 5 . 5 (1)坡度是指斜坡所在平面与 水平面 的夹角 (2)沿坡度为 30 的斜坡直线向上行走 100米，实际升高了50米 6东北方向是指东偏北 45 的方向 7 ( 1 ) 三角形面积 ： A 中用 a 和 上的高 h 表示 ，三角形面积的公式为 S 12 ( 2 ) A 中 ， 已知 5 ， 6 ， 则 A 面积为 12 . 解析： 由已知易得出 上的高为 4 ， 所以 S 12 6 4 1 2 . 8 ( 1 ) A 用 a 、 b 和角 C 表示三角形面积的公式为 S 12 ab s i n C . (2 ) A ，已知 A 3 0 ， b 4 ， c 3 ，则 A 面积为 3 . 解析： 由三角形面积公式知 S 12 bc s i n A 3. 9 A ， A 与 B C 互补，B 余，所以 s i n (B C) s i n _ A ， co s (B C) c o s _ A ， co s 2 . 10设 a， b，则它的内切圆半径 r(a b ) 11设 p，内切圆半径为 r，则 12 S . 解斜三角形应用题的步骤 (1)准确理解题意，分清已知与所求，准确理解应用题中的有关名称、术语，如坡度、仰角、俯角、视角、象限角、方位角、方向角等 (2)根据题意画出图形 (3)将要求解的问题归结到一个或几个三角形中，通过合理运用正弦定理、余弦定理等有关知识建立数学模型，然后正确求解，演算过程要算法简练、计算准确，最后作答 在实际应用中的有关名称、术语 实际应用问题中有关的名称、术语 (1)仰角和俯角：与目标视线在同一铅直平面内的水平视线和目标视线的夹角，目标视线在水平视线上方时叫仰角，目标视线在水平视线下方时叫俯角 (2)方向角：从指定方向线到目标方向线的水平角 (3)方位角：从指北方向线顺时针到目标方向线的水平角 (4)坡度：坡面与水平面所成的二面角的度数 三角形中有关公式 P a b c ( P 为三角形的周长 ) ； S 12ah a ( h a 表示 a 边上的高 ) ； S 12ab si n C 12ac si n B 12bc si n A ； S ( 可用正弦定理推得 ， R 为外接圆半径 ) ； S 12r ( a b c )( r 为内切圆半径 ) 还需要熟悉两角和与差的正弦、余弦、正切及二倍角的正弦、余弦、正切公式 需注意问题 (1)会在各种应用题中，抽象或构造出三角形，标出已知量、未知量，确定解三角形的方法，灵活选用正、余弦定理解之 (2)搞清利用解斜三角形可解决的各类应用问题的基本图形和相等关系 (3)理解各种应用问题中的有关名词、术语，如坡角、俯角、仰角、方向角、方位角等 (4)会利用经纬仪器及皮尺等测量工具进行实地测量，会按照要求写实习报告，会用计算器计算测量结果，提高动手操作能力及数学语言表达能力 求不可到达两点间距离 隔河有两目标 但不能到达，在岸边选取相距 、 时，测得 75 ， 45 ， 30 ， 45 (A， B， C，求两目标 A， 分析 ： 由题意作出平面示意图(如右图所示 )，在四边形 由已知条件求出 图形可知，在 用正弦定理可求得 C，然后在 余弦定理可求出 解析 ： 在 ， 30 ， 120 ， C A D 30 ， 3 . 在 中 ， 1 8 0 45 75 60 ， 由正弦定理 ， 可得 3 si n 75si n 606 22. 在 中 ， 由余弦定理 ， 可得 2 ( 3 )26 222 2 3 6 2275 5 ， 5 ( 即两目标 A 、 B 间的距离为 5 名师点评 ：如果涉及解多个三角形的问题，在解题中就应注意解题过程的优化如求 可选择在 此时必须求出 然求 外，本题没有要求取近似值，故不应将写成 变式迁移 在某海滨城市附近海面上有一台风，据监测，当前台风中心位于城市 角方向 300 处，并以 20 km/5 方向移动，台风侵袭的半径为 60 以 10 km/几小时后该城市开始受到台风的侵袭？ 解析： 设在时刻 t ( h ) 时台风中心为 Q ，此时台风侵袭的圆形区域半径为 1 0 t 60 ( ，若在时刻 t，城市 O 受到台风的侵袭，则 1 0 t 6 0 . 由余弦定理知， 2 PO co s 300 ， 20t ， co s co s ( 45 ) co s co s 45 45 21022 1 21022245， ( 20t )2 3002 2 2 0 t 3 0 0 45 4 0 0 9 600t 90 0 0 0 . 由 4009 6 0 0 t 90 0 0 0 ( 1 0 t 60 )2，得 36t 2 8 8 0 ，解得 t 12 或 t 24 ( 舍去 ) 因此 12 小时后该城市开始受到台风的侵袭 正、余弦定理在追击问题中的应用 分析 ： 在解题前必须画出示意图，但应该明确以下几个概念：其一是方位角；其二是沿什么方向追，即按什么方位角航行；其三是最快追上，即应理解为按直线航行，且两船所用时间相等在此基础上，通过解三角形，即可求出 到 在海岸 现北偏东 45 方向，距 1) 处有一艘走私船在 5 方向，距 处的缉私船奉命以 10 km/时走私船正以 10 km/处向北偏东 30 方向逃窜，问缉私船沿什么方向能最快追上走私船，并求出所需要的时间 3 3 解析 ： 如右图，设缉私船追上走私船需 t h ， 则 10 3 t， 10 t . 在 中，由余弦定理知 2 AC c B ( 3 1 )2 22 2 ( 3 1 ) 2 c 120 6. 故 6 . C B D 120 ， 在 C B D 中，应用正弦定理有 si n B C D si n 0 t si n 12010 3 t12. 30 ， B D C 30 ， 6 . 即 10 t 6 ， t610( h ) 故缉私船沿北偏东 6 0 方向，只需610h 便能追上走私船 名师点评 ：解题时应明确，方位角是相对每一点而言的，因此，从这个意义上来说，方位角是一个动态角，在理解题意时，应把方位角看活，否则在理解题意上将可能产生失误 变式训练 缉私艇 在 5 方向， 距离 12 n 私船 0 n 沿东偏南 15 方向逃窜 缉私艇的速度为 14 n h，若要在最短的时间内追上该走私船，缉私艇应沿北偏东 45 的方向去追，求追及所需的时间和 角的正弦值 解析 ： 设经过 x 小时后在 B 处追上，则有 14 x ， 10 x ， 1 20 ， ( 14 x )2 122 ( 10 x )2 2 12 10 x c 120 ， x 2 ， 28 ， 20 ， s i n 20s i n 120285 314， 所以，所需时间 2 小时， s i n 5 314. 正、余弦定理的综合运用 如图所示，在斜度一定的山坡上的一点 对于山坡的斜度为 15 ，向山顶前进 100 从 5 ，设建筑物的高为 50 m，求此山对于地平面的斜度的倾斜角.(提示： 1) 3 分析 ： 设山对于地平面的斜度的倾斜角 ，这样可在 C；再在 用正弦定理得到关于 的三角函数等式，进而解出 角 解析 ： 在 A ， 1 5 ， C 180 45 13 5 ， 1 00 m ， 3 0 . 根据正弦定理有100si n 30n 15， 100si n 15si n 30. 又在 ， 50 ， 100si n 15si n 30， C 45 ， C D B 90 ， 根据正弦定理有：50si n 45100si n 15si n 30si n 90 . 解得 c 3 1 ， 4 2. 94 . 山对于地平面的斜度的倾斜角为 4 . 名师点评 ：解应用题，首先要增强应用数学的意识解应用题可分两步：第一步，先分析问题，抓住实际问题中的数量关系，将其转化成一般数学问题；第二步，利用所学知识和方法解决这个数学问题，其中的关键在于如何将实际问题数学化，也就是说如何将实际问题等价转化成一个数学问题 变式训练 货轮在 在货轮的北偏东75 ，距离为 12 n 在货轮北偏西30 ，距离为 8 n 轮由 处时，再看灯塔 20 ，求： (1)处的距离； (2)灯塔 处的距离 3 6 解析 ： ( 1 ) 在 A ， 60 ， B 45 ， 由正弦定理得 AB si n n A D B12 6 2232 24 ( n m i l e ) ( 2 ) 在 A D C 中，由余弦定理得 2 AC 30 . 解得 8 3 ( n m i l e ) 即 A 处与 D 处的距离为 24 n m i l e ， 灯塔 C 与 D 处的距离为 8 3 n m i l e. 1 在某测量中，设点 A 在点 B 的南偏东 3 4 2 7 ，则点B 在点 A 的 ( ) A 北偏西 3 4 2 7 B 北偏东 5 5 3 3 C 北偏西 5 5 3 3 D 南偏西 5 5 3 3 解析 ： 方向角主要注意方向问题，两点的相对位置确定说明以一点为基点时另一点的位置就被确定，若反过来，则只需改变相对方向即可 ( 如 A 在 B 的北面，则 B 在 A 的南面，其他亦如此 ) 答案 ： A 2 在 200 m 高的山顶上，测得山下一塔底、塔顶的俯角分别为 30 、 60 ，则塔高为 ( A ) A B 3m C D 3m 解析 ： 60 3060 400 3 m . 正弦定理 在 各角与其对边的关系 : s in s 不难得到 : b C C B A a b c 在非直角三角形 A c b a C B 正弦定理 : 在一个三角形中 ,各边和它所对角的 正弦的比相等 . i ns i ns i n即 (1) 若直角三角形 ,已证得结论成立 . B s i n,s i D=即 ,s i ns i n 同理可得 ,s i ns i n i ns i ns i n即：D A c b C B 图 1 过点 D , 此时有 证法 1: (2)若三角形是锐角三角形 , 如图 1, 由 (1)(2)(3)知，结论成立 CC s i ns i n ）（ 且 i ns i ns i n仿 (2)可得 D (3) 若三角形是钝角三角形 ,且角 角 如图 2, 此时也有 s i , 过点 D C A c b B 图 2 （ 2 2R 思考 求证 : 证明： O C/ c b a C B A i i ns i n,90i ns i ns i i n,2s i n同理作外接圆 O, 过 C/,连 A c b C B D a 向量法 证法 2: 利用向量的数量积，产生边的长与内角的三角函数的关系来证明 . 证明： BC s i i i B A C D a b c C 1而 a s i ns i n BC s i i 同理 BC s i i i B C s i 证法 3: 剖析定理、加深理解 正弦定理可以解决三角形中哪类问题： 已知 两角和一边 ，求其他角和 边 . 已知 两边和其中一边的对角 ，求另一边 的对角，进而可求其他的边和角 . i ns i ns i n定理的应用 例 1 在 ，已知 c = 10,A = 45。 , C = 30。 求 a , b (精确到 . 解： 且 1 0 5C)( 0 B b = 30s 求其他两边和一角 i ns i n a = 21030s i i B A C b c )26(5 a 在 知 A=75 ， B= 45 ， c= 求 a ， b. 23在 知 A=30 ， B=120 ， b=12 求 a ， c. a= ,c= 34 34 3233 例 2 已知 a=16， b= ， A=30 . 求角 B， c 已知两边和其中一边 的对角 ,求其他边和角 解：由正弦定理 i ns i n得 231630s i i ns i n 60 , 或 120 当 时 60 C=90 0 120 时 B 16 300 A B C 16 3 16 变式 : a=30, b=26, A=30 求角 B， c 300 A B C 26 30 解：由正弦定理 i ns i n得 30133030s i i ns i n 或 1800 于 3001800 故 （如图） C=i ns i n a=30, b=26, A=30 求角 B， c 300 A B C 26 30 解：由正弦定理 i ns i n得 30133030s i i ns i n C=i ns i n a b A B , 三角形中大边对大角 已知两边和其中一边的对角 ,求其他边和角 (1)b=13， a=26， B=30 . B=90 ， C=60 ， c= 313(2) b=40， c=20， C=45 . 练习 注：三角形中角的正弦值小于时，角可能有两解 无解 课堂小结 （ 1）三角形常用公式： （ 2）正弦定理应用范围： 已知两角和任意边，求其他两边和一角 已知两边和其中一边的对角，求另一边 的对角。 (注意解的情况 ) 正弦定理： A B C 1 1 1s i n s i n s i 2a b C b c A a c B s i n s i n s i na b C 2R 已知两边和其中一边的对角 ,求其他边和角时 ,三角形 什么情况下有一解 ,二解 ,无解 ? 课后思考 A C a b 一解 正弦定理的综合应用 221 . t a n t a n , C a B b 在 中 ， 已 知试 判 断 的 形 状1 . 3 , 3 3 , 3 0 , C b c 在 中 ， 已 知试 判 断 的 形 状 21 . ( c o s ) c o s 0,.x b A x a Ba b A B a 已 知 方 程 的 两 根之 积 等 于 两 根 之 和 ， 且 为 的 边 ， 为 的 对 角 ，试 判 断 的 形 状1 . , , ,s i n s i n s i C a b c A B C aa b 在 中 ， 为 边 长 ， ， ， 为所 对 的 角 ， 若试 判 断 的 形 状2 2 2 2 2 22.0.c o s c o s c o s c o s c o s c o b b c c B C C A 在 中 ，求 证 ：2.( s i n s i n ) ( s i n s i n ) ( s i n s i n ) 0 C b C A c A B 在 中 ， 求 证 ：3 . 1 2 0 5 7 , C A A B B C S 在 中 ， 若 ， ，求 的 面 积3.s i n ( ) s i n s i C C A B A P P B P A 一 条 直 线 上 有 三 点 ， ， ， 点 在 ，之 间 , 点 是 直 线 之 外 一 点 ， 设 ， 求 证 ：C B A P 3 . , 3 ,3. 4 3 s i n ( ) 3 . 4 3 s i n ( ) 336. 6 s i n ( ) 3 . 6 s i n ( ) 336A B C A B C A B B D B 中 ， 则 的 周 长 为4. C A D B A B D C在 中 ， 是 的 平 分 线 ，用 正 弦 定 理 证 明 ：A C B D 1.(1 ) s i n s i n .( 2 ) s i n s i C A B A B 判 断 正 误 ：若 ， 则 ； 反 之 也 成 立在 中 ， 若 ， 则 ；反 之 也 成 立352 . s i n c o s ,5 1 3s i n C A 在 中 ， 已 知 ，s i n (s i o s,s i ns i ns i ns i n,53s i i n),0(,135c o s知由正弦定理又解： .s i n,1312s i n,54c 中，已知变：在 i s i n (s i o s)2(s i n (s i o s)1(o s,s i ns i n,1312s i i n),0(,54c o ，角，可以为锐角也可以为钝又解： 3 . , , , 2 c o s ( 6 0 ) C A B Ca b c b c a C A 在 中 ， 设 所 对 的 边 分 别 为， 若 ， 0s i n (1c o ss i i ns i ns i n)c o ss i n3(c o ss i o ss i ns i ns i nc o sc o ss i n)s i n (s i n)s i i nc o c o ss i i ns i 又即略解：由正弦定理得2214 . ( ) C S b c A B C 已 知 的 面 积 ， 试 确 定 的 形 i s i 1,0)(410)s i 1)(41s i 412222为等腰直角三角形且解：A B 实际问题 例 1、如图，要测底部不能到达的烟囱的高 与烟囱底部在 同一水平直线上的 C、 得烟囱的仰角分别是 和 45 60， 烟囱的高。 图中给出了怎样的一个 几何图形？已知什么， 求什么？ 想一想 实例讲解 A C D 1 分析： 如图，因为 1B，又 已知 以只要求出 解： 15s i i i ns i ns i ns i n:,154560,111111111111 答：烟囱的高为 A B C D
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