高中数学备课：2.4 幂函数教案苏教版必修1（精品打包）
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高中数学备课：2.4 幂函数教案苏教版必修1（精品打包）,高中数学,备课,函数,教案,苏教版,必修,精品,打包
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用心 爱心 专心 幂函数 教学目标 ： 使学生认识到幂函数同样也是一种重要的函数模型 ，掌握从特殊到一般地去进行类比研究幂函数的性质，并注意与指数函数进行对比学习 . 教学重点 ： 幂函数的定义和图象 .来源 :学科网 教学难点 ： 幂函数的图象 .来源 :学 ,科 ,网 教学过程 ： 来源 :学科网 幂函数的定义 问题 1： 我们知道，分数指数幂可以与根式相互转化把下列各函数先化成根式形式，再指出它的定义域和奇偶性利用计算机画出它们的图象，观察 它们的图象，看有什么共同点？ （ 1） y 21x ；（ 2） y 31x ；（ 3） y 32x ；（ 4） y 34x 思路： 先将各式化为根式形式，函数的定义域就是使这些根式有意义的实数 x 的集合；奇偶性直接利用定义进行判断（ 1）定义域为 0， ），（ 2）（ 3）（ 4）定义域都是 R；其中（ 1）既不是奇函数也不是偶函数，（ 2）是奇函数，（ 3）（ 4）是偶函数它们的图象都经过点（ 0， 0）和（ 1， 1），且在第一象限内函数单调递增 问题 2： 仿照问题 1研究下列函数的定义域和奇偶性，观察它们的图象看有什么共同点？ （ 1） y x 1；（ 2） y x 2；（ 3） y 21x ；（ 4） y 31x 思 路： 先将负指数幂化为正指数幂，再将分数指数幂化为根式，函数的定义域就是使这些分式和根式有意义的实数 x 的集合；（ 1）（ 2）（ 4）的定义域都是 x|x 0，（ 3）的定义域是（ 0， ）；（ 1）（ 4）是奇函数，（ 2）是偶函数，（ 3）既不是奇函数也不是偶函数它们的图象都经过点（ 1， 1），且在第一象限内函数单调递减，并且以两坐标轴为渐近线 来源 :学 网 总结：研究幂函数时，通常先将负指数幂化为正指数幂，再将分数指数幂化为根式（幂指数是负整数时化为分式）；根据得到的分式或根式研究幂函数的性 质函数的定义域就是使这些分式和根式有意义的实数 x 的集合；奇偶性和单调性直接利用定义进行判断问题 1和问题 2 中的这些幂函数我们要记住它们图象的变化趋势，有利于我们进行类比 例 1 讨论函数 y 52x 的定义域、值域、奇偶性、单调性，并画出图象的示意图 来源 :用心 爱心 专心 思路 ： 函数 y 52x 是幂函数 （ 1）要使 y 52x 5 意义， x 可以取任意实数，故函数定义域为 R （ 2） x R， 0 y 0 （ 3） f（ x） 5 （ x） 2 5 f（ x）， 函数 y 52x 是偶函数； （ 4） n 25 0， 幂函数 y 52x 在 0， 上单调递增 来源 :学 *科 *网 由于幂函数 y 52x 是偶函数， 幂函 数 y 52x 在（， 0）上单调递减 （ 5）其图象如右图所示 例 2 比较下列各组 中两个数的大小： （ 1） （ 2） 3）（ 32 ，（ 32 解析： （ 1）考查幂函数 y 53x 的单调性，在第一象限内函数单调递增， （ 2）考查幂函数 y 23x 的单调性，同理 0. 61. 5 来源 :Z （ 3）先将负指数幂化为正指数幂可知它是偶函数， 来源 :（ 32 2 ，（ 32 2 ，又 2 2 来源 :学科网 （ 32 （ 32 点评： 比较幂形式的两个数的大小，一般的思路是： 来源 :学科网 （ 1）若能化为同指数，则用幂函数的 单调性； （ 2）若能化为同底数，则用指数函数的单调性； （ 3）若既不能化为同指数，也不能化为同底数，则需寻找一个恰当的数作为桥梁来比较大小 例 3 求函数 y 52x 2 4（ x 32）值域 解析： 设 t x 32， t 2，则 y 2t 4（ t 1） 2 3 当 t 1 时， 3 用心 爱心 专心 函数 y 52x 2 4（ x 32）的值域为 3，） 点评： 这是复合函数求值域的问题，应用换元法 课本 ， 2 师通 过本节 学习，大家能熟悉 并掌握幂函数的图象，提高数学应用的能力 . 课本 题 1， 2， 3， 4 用心 爱心 专心 新课标高一数学同步测试 一、选择题： 在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的，请 把正确答案的代号填在题后的括号内（每小题 5 分，共 50 分） .来源 :学 _科 _网 1下列函数中既是偶函数又是 ( , ) 0 上是增函数的是 （ ） A y x 43 B y x 32 C y x 2 D y x 14 2函数 2区间 2,21上的最大值是 （ ） A41B 1 C 4 D 4来源 :学 &科 &网 Z&X&X&K3下列所给出的函数中，是幂函数的是 （ ） A 3 B 3C 32 D 13 4函数 34的图象是 （ ） A B C D 5下列命题中正确的是 （ ） A当 0 时函数 的图象是一条直线 B幂函数的图象都经过（ 0， 0）和（ 1， 1）点 来源 :学。科。网 C若幂函数 是奇函数，则 是定义域上的增函数 D幂函数的图象不可能出现在第四象限 6 函数 3和 31图象满足 （ ） A 关于原点对称 B 关于 x 轴对称 C 关于 y 轴对称 D 关 于直线 对称 7 函数 |,| ，满足 （ ） A 是奇函数又是减函数 B 是偶函数又是增函数 C 是奇函数又是增函数 D 是偶函数又是减函数 来源 :Z*xx*用心 爱心 专心 8函数 2422 单调递减区 间是 （ ） A 6,( B ),6 C 1,( D ),1 9 如图 1 9所示，幂函数 在第一象限的图象， 比较 1,04321 的大小（ ） A 102431 B 104321 C1342 10 D1423 10 10 对于幂函数 54)( ，若 210 ，则 )2( 21 ， 2 )()( 21 大小关系是（ ） A )2( 21 2 )()( 21 B )2( 21 2 )()( 21 C )2( 21 2 )()( 21 D 无法确定 二、填空题： 请把答案填在题中横线上（每小题 6 分，共 24 分） . 11函数 y x 32 的定义域是 . 12 幂函数 的图象过点（ ，则f x f x( ) , ) ( )3 274 1的解析式是 .来源 :Z*xx*13 942 偶函数，且在 ),0( 是减函数，则整数 a 的值是 . 14幂 函数 ),*,()1( 互质 图象在一、二象限，不过原点，则 , 的奇偶性为 . 三、解答题： 解答应写出文字说明证明过程或演算步骤 (共 76 分 ) . 15（ 12 分）比较下列各组中两个值大小 （ 1） 0 6 0 7 2 0 88 0 89611 611 53 53. . ( . ) ( . ) （ ） 与 来源 :16（ 12分）已知幂函数 f x x m Z x y ym m( ) ( ) 2 2 3 的图象与 轴， 轴都无交点，且关于 1 34 2 用心 爱心 专心 轴对称，试确定 f x( ) 的解析式 . 来源 :学 _科 _网 来源 :学 _科 _网 17（ 12 分）求证：函数 3在 R 上为奇函数且为增函数 . 18（ 12 分）下面六个幂函数的图象如图所示，试建立函数与图象之间的对应关系 . （）；（）（；）；（）；（）（ （ A） （ B） （ C） （ D） （ E） （ F） 19（ 14分） 由于对某种商品开始收税，使其定价比原定价上涨 上涨率为 10x ），涨价后，商品卖出个数减少 率是新定价的 里 a, a10，设用心 爱心 专心 售货款扣除税款后，剩余 使 20（ 14 分）利用幂函数图象，画出下列函数的图象（写清步骤） .来源 :学 &科 &网 （ 1） y x xx x y x 22532 22 1 2 2 1（ ） ( ) 来源 :Z#xx#用心 爱心 专心 参考答案（ 8） 一、 、 11 ( , )0 ； 12 )0()( 34 13 5； 14 为奇数， n 是偶数； 三、 15 解：（ 1） 0(116 上是增函数且在函数 116116 （ 2）函数 ),0(35 在增函数且 .)53535353535 即 16 解：由 ,13203222.)(1,)(31 40 解析式为时解析式为和来源 :学科网 17解： 显然 )()()( 33 ，奇函数； 令 21 ，则 )()()( 22212121323121 ， 其中，显然 021 222121 = 22221 43)21( ，由于 0)21( 221 043 22 x， 且不能同时为 0，否则 021 故 043)21( 22221 从而 0)()( 21 所以该函数为增函数 . 18解：六个幂函数的定义域，奇偶性，单调性如下： （ 1） 323 定义域 0， ) ，既不是奇函数也不是偶函数，在 0， ) 是增函数 ； 来源 :学 ,科 ,网Z,X,X,K .),0(16),0(15),0(14),03),022133223 232331上减函数函数，在既不是奇函数也不是偶定义域为）（是减函数；是奇函数，在定义域）（是减函数；是偶函数，在定义域）（是增函数；，是偶函数，在定义域为）（是增函数；，是奇函数，在定义域为）（以得出（ 1） （ A），（ 2） （ F），（ 3） （ E），（ 4） （ C） ，（ 5） （ D）， （ 6）（ B） . 用心 爱心 专心 19解：设原定价 卖出 则现在定价为 A(1+10x)， 现在卖出个数为 B(110 现在售货金额为 A(1+10x) B(110+10x)(110 应交税款为 +10x)(11010a， 剩余款为 y= +10x)(110)101( a= 11011 00)(101( 2 所以b 1(5 时 要使 1(5 . 20解：（ 1）1)1( 1112112 22 2222 的图象向左平移 1 个单位， 再向上平移 1 个单位可以得到函数12 2222 xx （ 2） 1)2( 35 图象可以由 35象向右平移 2 个单位，再向下平移 1 个单位而得到 略 我们先看下面几个具体问题： (4) 如果一个正方形场地的面积为 S，那么这个正方 形的边长 _ (1)如果张红买了每千克 1元的蔬菜 那么她需要支付 _ P=W 元 (2)如果正方形的边长为 a,那么正方形的面积 _ (3)如果立方体的边长为 a,那么立方体的体积 _ (5)如果某人 t 么他骑车的平均速度 _ _ p是 S=a S 是 V=a V是 V=t km/s V是 t 的函数 这里 的函数 a=S 21以上问题中的函数有什么共同特征？ （ 1）都是函数； （ 2）均是以自变量为底的幂； （ 3）指数为常数； （ 4）自变量前的系数为 1; （ 5）幂前的系数也为 1。 是形如 y= 的函数。 (1) y=x (2) y=(3) y= (4) y=5) y=般地，函数 y= 叫做 幂函数 ，其中 是常数 . 注意 :幂函数中 的可以为任意实数 . (1) y=21)2(3) y= 21)4( (5) y=2(6) y= 判一判 1)7( ( 解 :设 f(x)= 由题意得 练习： 已知幂函数的图象过点 ,试求出此函数的解析式 . 22 212l o gl o g 21222 21)( 总结 : 理解并掌握形如 y= 的形式就是幂函数的定义 )2,2(xx 在同一平面直角坐标系内作出幂函数 y=x， y=x2，y=y=， y=幂函数的图象及性质 何画板演示 (-,0)减 (-,0减 (1,1) (1,1) (1,1) (1,1) (1,1) 公共点 (0,+)减 增 增 0,+)增 增 单调性 奇 非奇非 偶 奇 偶 奇 奇偶性 y|y0 0,+) R 0,+) R 值域 x|x0 0,+) 定义域 y=y=x3 y=x2 y=x 函数 性质 幂函数的性质 2 1 x y 结合以上特征得幂函数的性质如下 : 所有的幂函数在 都有定义 ,并 且图象都通过点 (1,1) ),0( x0时 , (1)图象都经过点（ 0， 0）和（ 1， 1） (2)图象在第一象限 ,函数是增函数 . 0时，幂函数在第一象限均为增 函数； 正确 1 不正确 不正确 正确 例 比较下列各组数的大小； 5141878725255 3 3918 213 3 1.)()()(.)(和和和利用幂函数的增减性比较两个数的大小 . 当不能直接进行比较时 , 可在两个数中间插入一个中间数 , 间接比较上述两个数的大小 )3()6( )32( )2( 1 . 5 )1(32和和和练习例 证明幂函数 在 0,+)上是增函数 )(证明：任取 x1, 0,+)，且 )()( 2121 )()(,0,0 212121 所以因为)(2121212121 .),0)( 上是增函数在所以幂函数 的值域。求函数 )84( 212 1、学习了幂函数的概念； 2、利用“ 还原根式 ”求幂函数定义域的方 法； 3、利用幂函数在第一象限内的图象特 征，并会根据奇偶性完成整个函数的 图象。 4、利用函数的单调性比较几个“ 同指数不 同底数 ”的幂的大小 . 幂 函 数,问题引入,1、如果张红购买了每千克1元的蔬菜x千克， 则所需的钱数y=_元,2、如果正方形的边长为x，则面积y=_,x,x2,4、如果一个正方形场地的面积为x，边长为那么y=_,5、如果某人x 秒内骑车行进了1公里，骑车的速度为y公里/秒，那么y=_,x3,以上问题中的函数具有什么共同特征,y = x3,y = x,y = x2,共同特征：函数解析式是幂的形式，且指数是常数，底数是自变量,新课,一、幂函数的概念,探究1：你能举几个学过的幂函数的例子吗,一般地，函数 叫做幂函数，其中x是自变量， 是常数,底数,指数,指数,底数,幂值,幂值,探究3：如何判断一个函数是幂函数还是指数函数,看看自变量x是指数
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