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高中数学第2章 数列学案全套苏教版必修5【精品打包】,高中数学,数列,全套,苏教版,必修,精品,打包

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h h ? & P 媃 l 媃 ? 听课随笔 第 2 课时 【 学习导航 】 知识网络 学习要求 理解等比数列的概念， 2. 掌握等比数列的通项公式 ,并能运用公式解决一些简单的实际问题 . 【自学评价】 1 如果 0，且 2= 对任意的 n N*都成立，则数列 _. 2 等比数列的递增和递减性 . 在等比数列 (1)若 0， q 1 或 0， 0 q 1 则数列递 增 ， (2)若 0,0 q 1,或 0， q 1 ,则数列递 减 ； (3)若 q=1，则数列为 _； (4)若 q 0，则数列为 _. 3对于 k、 l、 m、 n N*，若 m n p q ，则 _； 【选修延伸】 【例 1】（）在等比数列 ，是否有（）？ （）如果数列 ，对于任意的正整数（），都有 ，那么， 定是等比数列吗？ 【解】 【例 2】如图，一个边长为的正三角形，将每边三等分，以中间一段为边向形外作正三角形，并擦去中间一段，得图（），如此继续下去，得图（）试求第个图形的边长和周长 【 解 】 追踪训练一 三个数成等比数列，它们的积等于，它们的平方和等于，求这三个数 如图，在边长为的等边三角形中，连结各边中点得 ，再连结 各边中点得 如此继续下去，试证明数列 ， ， ，是 等比数列 3在等比数列 ，如果 ,，那么 于 ( ) 公比为 2，则432122 aa 的值为 ( ) 课随笔 【 选修延伸 】 【例 3】 数列 a，1 21求证 1是等比数列； 求 数列 【解】 【例 4】 在等比数列 ， 已知 512， 124， 且公比为整数，求 【解】 【点评】 充分地利用等比数列的性质，灵活地使用等比数列的通项公式，能使解题的过程简捷明快 . 追踪训练二 1已知等比数列中 4,4, 则 _. 2将 20， 50， 100 这三个数加上相同的常数，使它们成为等比数列，则其公比是 _ 3在等比数列 各项都是正数，1， ,则 a4+_. 4在n+1 之间插入 n 个正数，使这 n+2个数依次成等比数列，求所插入的 n 个数之积 . 5已知各项都为正数的等比数列 ，26， 00，求数列的通项公式 . 【师生互动】 学生质疑 教师释疑 听课随笔 第 3 课时 【 学习导航 】 知识网络 学习要求 1灵活应用等比数列的定义及通项公式； 2熟悉等比数列的有关性质，并系统了解判断数列是否成等比数列的方法； 3灵活应用等比数列定义、通项公式、性质解决一些相关问题 . 【自学评价】 1. 等比数列的性质： （ 1） a q （ ,m n N ）； (2）对于 k、 l、 m、 n N*，若 m n p q ，则 （ 3）每隔 k 项（ ）取出一项，按原来顺序排列，所得的新数列为 _； 4）在等比数列中，从第二项起，每一项都是与它等距离的前后两项的等比中项。 2. (1) 若 等比数列，公比为 q，则 是 _，公比为 _. (2) 若 等比数列，公比为 q(q 1),则 1+是 _，公比 为 _. (3) 若 等比数列，则 是 _. (4) 三个数 a、 b、 c 成等比数列的，则 _ 【精典范例】 【例 1】 已知四个数前 3 个成等差，后三个成等比，中间两数之积为 16，前后两数之积为 128，求这四个数 . 【解】 【例 2】 若 a、 b、 c 成等比数列， 试证明： 成等比数列 . 【证明】 【点评】 证明数列成等比数列，可利用等比数列的定义，如证明三个数 a， b， c 成等比数列 ，可证明 注意说明 a、 b、c 全不为零 . 追踪训练一 1在等比数列 ， 1,q=2,则 等比中项是 ( ) A. 4 C.41D. 412在等比数列 ，已知 2,则这个数列的前 9 项的乘积等于 ( ) B. 512 D. 256 3 2， x,y,z,162 是成等比数列的五个正整数，则 z 的值等于 ( ) 4已知 等比数列，且 0，5,那么 a3+值等于 ( ) 5已知等差数列 公差 d 0,且 a1，等比数列，则1042931 的值为_. 【选修延伸】 【例 3】 在 23,111 nn 求 】 【例 4】 在 ,1 11 n nn 试求 】 听课随笔 【例 5】 在 1132，1 5,6a 求通项】 追踪训练二 1在等比数列 ，若 6,a315，则公比 q 值的可能个数为 ( ) 2在各项都为正数的等比数列 ，若 9，则 +于 ( ) 3已知一个直角三角形三边的长成等比数列，则 ( ) 4 5 3 3 554公差不为 0 的等差数列第二、三、六项构成等比数列，则公比为 ( ) 5 已知数列满足 7,且 =211,n N* (1)求证 2是等比数列 . (2)求数列 通项公式 . 【解】 【师生互动】 学生质疑 教师释疑 听课随笔 第 4 课时 【 学习导航 】 知识网络 学习要求 1掌握用“错位相减”的方法推导等比数列的前 n 项和公式，掌握等比数列的前n 项和公式 2会用等比数列的前 n 项和公式解决有关等比数列的一些简单问题 【自学评价】 前 n 项和为 1q 时， _ 或 _ 当 q=1 时， _ 当已知 1a , q, n 时用公式； 当已知 1a , q, 公式 . 前 n 项和 p(1 且p 0， q 1，则数列 _. 【精典范例】 【例 1】在等比数列 中， （）已知 1a 4， q 12，求 10S ； （）已知 1a ， 243， q 3，求 【解】 【例 2】在等比数列 中，263,27 63 【解】 点评 :等比数列中五个基本量 q、 n、三可求二 . 追踪训练一 1某厂去年的产值记为，计划在今后五年内每年的产值比上年 增长，则从今年起到第五年，这个厂的总产值为（ ） )1 5 )0 6 2求下列等比数列的各项和： （）， 2187； （），21，41，81，5121. 3等比数列 各项都是正数，若 81， 16，则它的前 5 项和是（ ） 若等比数列 前 n 项和 n+a,则 a 等于（ ） D. 1 5已知等比数列的公比为 2，若前 4 项和等于 1，则前 8 项之和等于（ ） 选修延伸】 【 例 3】 n 项和，数列32 , （ 是否仍成 等比数列？ 【解】 听课随笔 追踪训练二 ， 示前 n 项和，若 1， ,则公比 ） B. 3 C. 1 ， ,前 3 项 之和 1, 则公比 q 的值为（ ） B.21D. 1 ，已知18， 12，那么 于（ ） 4 与87之间插入 n 个数，使这 n+2 个数组成等比数列，若各项的和为877,则此数列的项数为（ ） 5. 在 等 比 数 列 中 ， 公 比q=2, +5, 则a1+ +_. 6. 已知等比数列 各项均为正数， 80， 6560，且在前 n 项中最大项为54，求此数列的公比 q 和项数 n. 项为 1，项数为偶数，其奇数项之和为 85，偶数项之和为 170，求这个数列的公比及项数 . 【师生互动】 学生质疑 教师释疑 听课随笔 第 13 课时 等比数列的 前 n 项和 (2) 【 学习导航 】 知识网络 学习要求 1. 进一步熟练掌握等比数列的通项公式和前 2. 了解杂数列求和基本思想，解决简单的杂数列求和问题。 【 自学评价 】 1 常见的数列的前 （） n321 =_ 即 _ （ 2）6 )12)(1(1 2 3） 213 2 )1( 有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，即能分别求和，然后再合并这种方法叫做 _ 3错位相减法：适用于 na 前 n 项和，其中 4裂项法：求 n 项和时，若能将111 5倒序相加法 项数为偶数 2n 时，S 奇 ；项数为奇数 21n 时，1S a q S奇 偶【精典范例】 【例 1】求 数列211，412，813，的前 n 项和 . 分析： 这个数列的每一项都是一个等差数列与一个等比数列的对应项的和，因此可以分组求和 法 【解】 【例 2】 设数列 31, 2 , 3 , 4x x x , , 1 0x 求此数列前 n 项的和 . 分析：这个数列的每一项都是一个等差数列与一个等比数列的对应项的积 ，因此可以 用错项相减法 【解】 追踪训练一 1 求和 101)23(2求和132 )12(7531 nn 3 若数列 ，则前 n 项和为 ( ) 11 2 121 C. nn 11 2 121 听课随笔 4 数列 1，211，321 1，n 21 1的前 n 项和为 ( ) 121求和 1 2+3 4+5 6+ +( 1)n+1n. 【解】 【选修延伸】 【例 3】 已知数列 ， 1 2n， 3，求 【解】 点评 :利用数列的求和 ,可求出一些递推关系为 1 f(n)的数列的通项公式 . 【例 4】 已知 等比数列，且nS=a，b，（ 0），求【解】 追踪训练 二 1等比数 列 首项为 1，公比为 q,前 n 项和为 S，则数列的前 n 项之和为（ ） C.1 D. 12在等比数列 ，已知 5,前三项的和 15,则公比 q 的值为 _. 3在等比数列 ， 20， a340，则 _ _. 4 定义“等和数列”：在一个数列中，如果每一项与它的后一项的和都为同一常数，那么这个数列叫做等和数列，这个常数叫做该数列的公和。已知数列 1 2a ，公和为 5，求18n 项和【解】 【师生互动】 学生质疑 教师释疑 学习札记 第 6课时 【 学习导航 】 知识网络 学习要求 1进一步熟练掌握等比数列的通项公式和前 n 项和公式； 2提高分析、解决问题能力，能用等比数列的知识解决某些实际问题。 【自学评价】 1 对于分期付款，银行有如下规定： （）分期付款为 _计息，每期付款数 _，且在期末付款； （）到最后一次付款时， _ _等于商品售价的本利之和 2 若 且公比 1q ，则数列2 3 2,n n n n S S S，是 _; 当 1q ，且 n 为偶数时，数列 2 3 2,n n n n S S S，是常数数列 0，它不是等比数列 . 3. 当 1q 时， 11 11 ，这里0 ，但 0, 0，这是等比数列前 n 项和公式特征，据此判断数列 【精典范例】 【例 1】 水土流失是我国西部大开发中最突出的生态问题全国 9100 万亩的坡耕地需要退耕还林，其中西部地区占国家确定 2000 年西部地区退耕土地面积为 515万亩，以后每年退耕土地面积递增，那么从 2000 年起到 2005 年 底，西部地区退耕还林的面积共有多少万亩（精确到万亩）？ 【解】 【例 2】某人 2004 年初向银行申请个人住房公积金贷款 20 万元购买住房，月利率 按复利计算，每月等额还贷一次，并从贷款后的次月初开始还贷如果 10 年还清，那么每月应还贷多少元？ 分析：对于分期付款，银行有如下规定： （）分期付款为复利计息，每期付款数相同，且在期末付款； （）到最后一次付款时，各期所付的款额的本利之和等于商品售价的本利之和 为解决上述问题，我们先考察一般情形设某商品一次性付款的金额为元， 以分期付款的形式等额地分成次付清，每期期末所付款是元，则分期付款方式可表示为： 从而有 运用等比数列求和公式，化简得 这就是分期付款的数学模型 【解】 追踪训练一 学习札记 1 回答我国古代用诗歌形式提出的一个数列问题： 远望巍巍塔七层，红灯向下成倍增， 共灯三百八十一，试问塔顶几盏灯？ 2我国 1980 年底人口以十亿计算 （）若我国人口年增长率为 则到2005 年底我国约有多少人口？ （）要使我国到 2010 年底人口不超过 14亿，那么人口的年 平均增长率最高是多少？ 3 顾客采用分期付款的方式购买一件5000 元的商品，在购买一个月后第一次付款，且每月等额付款一次，在购买后的第 12个月将货款全部付清，月利率 按复利计算，该顾客每月应付款多少元？ 4 某企业年初有资金 1000 万元，如果该企业经过生产经营能使年资金平均增长率达到 50%，但每年底都要扣除消费基金 下资金投入再生产，为实现经过 5 年资金达到 2000 万元（扣除消费基金后），那么每年应扣除消费基金多少万元（精确到万元）？ 【解】 【选修延伸】 【例 3】 设数列 ,前 n 项的和 足关系式 3(2t+3)1=3t(t 为常数 ,且 t0, n=2,3,4,) 。 (1)求证：数列 (2)设 f(t)，作数列 得 ,bn=f(11(n=2,3,4,) ，求 (3)求和： + 1 【解】 【例 4】 在数列 )(3)(12为偶数为奇数 n. 分析：要分成偶数项和奇数项之和分别求解。 【解】 学习札记 追踪训练二 1已知等比数列 ，前 n 项和4,0,则 于（ ） ， 1+2,1+2+22， (1+2+22+ +2n 1)，前 n 项和等于（ ） n n 2 n 3等比数列 2n 项，其和为 240，且奇数项的和比偶数项的和大 80，则公比q=_ _. 【师生互动】 学生质疑 教师释疑 学习札记 第 15、 16 课时 数列复习课 (2 课时 ) 【学习导航】 知识网络 【自学评价】 （一）数列的概念 数列的定义（一般定义，数列与函数）、数列的表示法。 数列的通项公式。 求数列通项公式的一个重要方法： 对于任一数列 通项 )2()1(11 ）等差数列和等比数列的概念、有关公式和性质 (1)定义 (2)通项公式1a +（ ） d= ）d= 1a 3)求和公式 (22)1(2)(1211(4)中项公式 A=2广： 2 (5)性质 若 m+n=p+ 若 中 ）则 32 , 成 数列。 1 _( )1m (1)定义 (2)通项公式 (3)求和公式 )1(11)1()1(111qq )中项公式 2 。 推广： (5)性质 若 m+n=p+q，则 若 （其中 ），则 等比数列。 32 , 11 _ )( 3. 判断和证明数列是等差（等比）数列常有三种方法： (1)定义法 : (2)通项公式法。 (3)中项公式法 : 4. 在等差数列 有关 最值问题： (1)当 1a 0,足100的项数 。 在解含绝对值的数列最值问题时 ,注意转化思想的应用。 （三）、数列求和的常用方法： 公式法，倒序相加法，错位相减法，拆项法，裂项法，累加法，等价转化等。 1. 公式法 :适用于等差、等比数列或可转化为等差、等比数列的数列。 2. :适用于1中 各项不为 0的等差数列， 比数列等差数列表示方法图像与函数的关系前 n 项和通项定义数列正整数集上函数及性质数列知识结构学习札记 部分无理数列、含阶乘的数列等。 3. :适用于 等差数列， 各项不为 0 的等比数列。 类似于等差数列前 1） 1+2+3+.+n = _ 2） 1+3+5+.+(2= 3） _n 3 3 312 4） _n 2 2 2 21 2 3 5） _()1 1( _ _ _ _ _ _ _ )()11226） ( _ _ _ _ _ _ ) ( )q q p11【精典范例】 一 函数方程思想在研究数列问题中的运用 【 例 1】（ 1）首项为正数的等差数列 其中 11 ，问此数列前几项和最大？ （ 2）等差数列 ， 00， 00，求 （ 3 ）等差数列的公差不为 0 ，5,a5,等比数列，求 【 解 】 二 求数列的通项公式 1. 观察法 观察法就是观察数列特征，横向看各项之间的关系结构，纵向看各项与项数 而归纳出数列的通项公式。 【 例 2】写出下面各数列的一个通项公式 （ 1）21，,1716,109,54； （ 2） 1，,311,151,71,31 ； （ 3）,3231,1615,87,43； （ 4） 21， 203， 2005， 20007，； （ 5） ； （ 6） 1， 0， 1， 0，； （ 7） 1， ,67,51,45,31,23 【 解 】 学习札记 【 例 3】已知下列各数列 的前 通项公式。 （ 1） 0n 1；（ 2） 0n +1； 【 解 】 评析 已知 前 n求 (1)应重视分类类讨论的应用，要先分 n=1和 n 2 两种情况讨论，特别注意由 1n= n 2。 (2)由 S1n= 得的 n=1时， 适合“ 则需统一“合写”。 (3)由 S1n= n=1时，适合“ 则数列的通项应分段表示（“分号”），即 11,1,2n n 如本例中（ 2），（ 3）。请观察本例中（ 1）与（ 2）的差异及联系。 2. 累差法 若数列 足 a1n an=f(n)(n ),其中 f(n)是易求和数列，那么可用累差法求 【 例 4】求数列 1， 3， 7， 13， 21，的一个通项公式。 【 解 】 3. 累商法 若数列 足f(n)( n ),其中数列 f(n)前 可用累商法求 【 例 5】在数列 ， 2， a1n=通项 【 解 】 4. 构造法 直接求通项 以通过整理变形等，从中构造 出一个等差或等比数列，从而将问题转化为较易求解的问题，进一步求出通项 【 例 6】各项非零的数列 首项 1,且 2an,n 2,求数列的通项 【 解 】 三 数列求和 数列求和是数列部分的重要内容，求和问题也是很常见的试题，对于等差数列，等比数列的求和主要是运用公式；某些既不是等差数，也不是等比数列的求和问题，一般学习札记 有以下四种常用求和技巧和方法。 能直接应用等差数列或等比数列的求和公式以及正整数平方和，立方和公式寻求和的方法。 【 例 7】数列 通项 an= n，求前 n。 【 解 】 【 例 8】求和 1+43+85+ +2 。 请你独立完成，相信你会有更深的体会。 【 例 9】在数列 ， 0n +2n 1,求 解 】 【 例 10】已知数列 1 1，211， 321 1， 11 2 3 n ，求它的前 n 项和。 【 解 】 四、等差、等比数列的综合问题 【 例 11】已知数列 n 项和1(n N )， 1. (1)设证：数列 (2)设 Cn=求证： 等差数列 . 【 解 】 【 例 12】在等比数列 0 0,60,36 4231 求 n 的范围 . 【 解 】 学习札记 【 例 13】设 , 都是等差数列，它们的前 已知123585解 】 【追踪训练】 1一等差数列共有 9项，第 1项等于 1，各项之和等于 369，一等比数列也有 9 项，并且它的第 1项和最末一项与已知的等差数列的对应项相等，求等比数列的第 7项。 2已知 1a , 3a, , 构成一等差数列，其前 设nb 记 的前 为 (1) 求数列通项公式； (2) 证明：. 3已知等差数列 前 nb 且 3a 3b 21 , 3S 5S 21, (1) 求数列 通项公式； (2) 求证： 1b 2b3b. 学习札记 4已知数列 1 2 ( 1 )a k ，1 1,a（ 1）求通项公式 （ 2）若求数列 （ 3）数列 n 项和为数列| 项的和 5等差数列 11a ， 2d ，依次抽出这个数列的第 132 3,3,3,3,1 n 项，组成数列 数列 n 项 和公式 【师生互动】 学生质疑 教师释疑 学习札记 第 2 章 数列 【 知识结构 】 【 重点难点 】 重点：数列及其通项公式的定义；数列的前 n 项和与通项公式的关系及其求法； 难点：正确运用数列的递推公式求数列的通项公式；对用递推公式求出的数列的讨论；等差等比数列的应用和性质。 第 1 课 数列的概念及其通项公式【 学习导航 】 知识网络 学习要求 1理解数列概念，了解数列的分类； 2理解数列和函数之间的关系，会用列表法和图象法表示数列； 3理解数列的通项公式的概念，并会用通项 公式写出数列的前几项，会根据简单数列的前几项写出它的一个通项公式； 4提高观察、抽象的能力 【自学评价】 1 数列的定义 ： _叫做数列 (of 【 注意 】 数列的数是按一定次序排列的，因此，如果组成两个数列的数相同而排列次序不同，那么它们就是不同的数列； 定义中并没有规定数列中的数必须不同，因此，同一个数在数列中可以重复出现 . 思考 :简述数列与数集的区别 . _. 2 数列的项 ： _都叫做这个数列的 项 ( 各项依次叫做这个数列的第 1 项（或首项），第 2 项，第 n 项， . 3 数列的分类： 按项分类：有穷数列（项数有限）；无穷数列（项数无限） . 4 数列的通项公式 ： 如果数列 n 项与 之间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数 列的 通项公式 （ of . 注意 ：并不是所有数列都能写出其通项公 式，如数 列 1， ； 一个数列的通项公式有时是不唯一的，如数列： 1， 0， 1， 0， 1， 0，它的通项公式可以是 2 )1(11 也可以是 |2 1 na n； 数列通项公式的作用： 求数列中任意一项； 检验某数是否是该数列中的一项 . 5. 数列的图像都是一群孤立的点 . 从映射、函数的观点来看，数列 可以看作是一个定义域为正整数集 N*（或它的有限子集 1， 2， 3， n）的函数，当自变量从小到大依次取值时对应的一列函数值，数列的通项公式就是相应函数的解析式，因此，数列也可根据其通项公式画出其对应图象 6 数列的表示形式： _ _. 【精典范例】 项数 数列 数列定义 项 数列有关概念 数列与函数的关系 数列通项公式 通项 数 列 定 义 应 用 通项公式 数列求和 等差数列 等比数列 定义 通项公式 等差（比）数列 前 n 项和公式 性质 学习札 记 【例 1】 已知数列的第项 ，写出这个数列的首项、第项和第项 【解】 【 例 2】根据下面数列 出它的前 5 项，并作出它的图象： ( 1 ) ; ( 2 ) ( 1 )1 a . 【解】 【 例 3】写出下面数列的一个通项公式，使它的前 4 项分别是下列各数： （ 1）211， 431， （ 2） 0, 2, 0, 2 分析 ：写出数列的通项公式，就是寻找n 的对应关系 na f n【解】 点评 :(1)将数列的整数部分和分数部分进行分别处理 ,然后再整体合并 ; (2) 将数列进行整体变形以便能呈现出与序号 n 相关且便于表达的关系 . 【追踪训练一】 1下列解析式中 不 是数列 1， 1， 1，的通项公式的是 （ ） A. ( 1)B. 1( 1)C. 1( 1)D. 11n na n ， 为 奇 数， 为 偶 数2数列 2 5 2 2 1 1， ， ， ，的一个通项公式是 （ ） A. 33B. 31C. 31D. 333数列 1 5 2 4 3 5 4 8 6 3, , , , , ,2 5 1 0 1 7 2 6的一个通项公式为 _. 【选修延伸】 【 例 3】在数列 ， ,6，通项公式是项数 n 的一次函数 . (1)求数列 (2)88 是否是数列 的项 . 【解】 思维点拔 :已知数列的通项，怎样判断一个含有参数的代数式是否为数列中的项？ 例如 ：已知数列 7，判断 2 7 ( )m m N是否为数列中的项？ 提示： 可把 2 7 ( )m m N化成通项公式的形式，即 2 7 2 ( 7 ) 7 ， 因 为，所以 7 满足 通项公式的意义，所以 27m 是数列中的第 7m 项 【追踪训练二】 1 已知数列 1 ()( 2 )na n ，那么 1120是这个数列的第 （ ）项 . A. 9 B. 10 C. 11 D. 12 2 数列 ()na f n是一个函数，则它的定义域为 （ ） A. 非负整数集 B. 正 整数集 C. 正整数集或其子集 D. 正整数集或 1, 2, 3, 4, , n 学习札记 3已知数列 85 , 1 1na k n a 且 ， 则17a . 【师生互动】 学生质疑 教师释疑 听课随笔 第 2 课时 【 学习导航 】 知识网络 学习要求 1进一步理解数列概念，了解数列的分类； 2理解数列和函数之间的关系，会用列表法和图象法表示数列； 3了解递推数列的概念； 【自学评价】 1数列的一般形式 ： _，或简记为 _，其中_项。 2数列的分类： 按 （ 1） _： 任意 ，总有1； （ 2） _： 任意 ，总有1； (3)_ 任 意 k, ， 有1，也有1， 例如 1, 2 , 4 , 6 , 8 , ； （ 4） _： 任意 ，1； （ 5） _：存在正整数 M 使|； （ 6） _：对任意正整数 M 总存在| 3 递推数列 ：如果已知数列 前几项），且任意一项或前几项）间的关系可以用一个公式来表示，则这个数列叫递推数列，这个公式叫这个数列的递推公式递推公式是给出数列的一种重要方式 【精典范例】 【 例 1】写出下面数列的一个通项公式，使它的前 4 项分别是下列各数： （ 1） ;5 15;4 14,3 13;2 122222 544,433,322,211)2(（ 3） 9， 99， 999， 9999 【解】 【例 2】 已知数列 递推公式是 2 31 2 1， 3，求数列的前 5 项，并推测数列 通项公式 . 【解】 【 例 3】设12a a a ，其中n 项和，已知数列 n 项和251，求该数列的通项公式。 分 析 ： 由于 系 是11,1,2n n 因而已知 用 的 解 题 策 略 是先求1表示，但由于只能求出数列的第二项及以后各项，故特别要注意验证 1n 的情形是否满足，若满足，则n 的一个式子，否则写成分段函数的形式 【解】 项数 数列 数列定义 项 数列有关概念 数列与函数的关系 数列通项公式 通项 听课随笔 【追踪训练一】 1已知 =，则数列 （ ） B. D. 2已知数列 足 0，且 =21数列 （ ） B. D. 3数列 1， 3， 6， 10， 15，的递推公式是（ ） A. *,111 2*,111 2*,),1(111 *),1(111 凸 n 边形的对角线条数为 f(n),则f(3)=_;f(n+1)=_用 f(n)表示 . 【选修延伸】 【 例 4】 已知数列 2 54na n n ,问 : (1) (2)何值时 ,求此最小值 分析： 数列的通项公式 2 54na n n 可看成 2*( ) 5 4 , ( )f n n n n N ，利用二次函数的性质解决问题 【解】 点评 :数列的项与项数之间构成特殊的函数关系， 用函数的有关知识解决问题时，要考虑定义域为正整数这一约束条件 【追踪训练二】 首项 ,且 1+1(n 2),则 （ ） 29n+3中最大项的值是（ ） 足 1,11na,n 2，n N*,则 于（ ） 1 4. 已 知 数 列 的 递 推 公 式 为 12111n N*,那么数列 通项公式为 _. 【师生互动】 学生质疑 教师释疑 听课随笔 差数列 第 1 课时 【 学习导航 】 知识网络 学习要求 1、 体会等差数列是用来刻画一类离散现象的重要数学模型，理解等差数列的概念； 2、 掌握“叠加法”求等差数列通项公式的方法，掌握等差数列的通项公式，并能用公式解决一些简单的问题； 【自学评价】 1等差数列：一般地，如果一个数列从_，每一项与它前一项的差等于_，这个数列就叫做等差数列 （ 这个常数就叫做 _（ 常用字母“ d”表示。 公差 d 一定是由 _，而不能用前项减后项来求； 对于数列 若na=d (与 ， n 2， n N ，则此数列是等差数列， d 为公差 奎屯王新敞 新疆 2等差数列的通项公式 _； 3如果 a,A， b 成 等差数列，那么 A 叫做 a与 b 的 _； 且 A _. 【精典范例】 【 例 1】 根据等差数列的概念，判断下列数列是否是等差数列； （ 1） 1， 1， 1， 1， 1， 1 （ 2） 4， 7， 10， 13， 16 （ 3） 0， 1， 2， 3 【解】 思考： 如果一个数列 ，其中 都 是常数，那么这个数列一定是等差数列吗？ _ 【 例 2】求出下列等差数列中的未知项： （），； （）， 【解】 【 例 3】 （ 1）求等差数列 8， 5， 2的第 20 项？ （ 2） 401 是不是等差数列 5， 9， 13，的项？如果是，是第几项？ 【解】 【追踪训练一】： 判断下列数列是否为等差数列： （），； （），； （），； （），； （）， 目前男子举重比赛共有个级别，除108 公斤以上级外，其余的个级别从小到大依次为（单位：） 54， 59， 64， 70，76， 83， 91， 99， 108，这个数列是等差数列吗？ 已知下列数列是等差数列，试在括号 内填上适当的数： （）（ ），； （）， 2 ，（ ）； （），（ ），（ ）， 4已知数列 8, , 2, , , 7a b c 是等差数列，求未知项 , 【解】 听课随笔 【选修延伸】 【 例 4】 在等差数列 知 105 a，3112 a ，求 20 分析： 先根据两个独立的条件解出两个量 d，进而再写出 几个独立的条件就可以解出几个未知量，这是方程组的重要应用 . 【 解法一 】 ： 思考 ：在此题中，有12 5 7a a d，思考，能否不求首项 1a ，而将 【 解法二 】 ： 思维点拔： 等差数列的通项公式涉及到四个量n、 d，用方程的观点知三求一。 列方程组求基本量是解决等差数列问题的常用方法， 注意通项公式更一般的形式：( 【 例 5】若 2( ) 4 ( ) ( ) 0z x x y y z ，则 ,等差数列。 【证明】 思维点拔： 当已知 a、 b、 c 成等差数列时，通常采用2b=a+c 作为解决问题的出发点 . 【追踪训练二】： 通项公式 2n 5，则此数列（ ） 的等差数列 的等差数列 项为 5 n ， 5,d=3，则 ） A. 9 B. 8 C. 7 D. 4 前 3 项依次为 a1,a+1,2a+3，则此数列的通项 ） 5 3 1 ，若 0,0，则_. 1 和 8 之间插入两个数 a,b，使这四个数成等差数列，则 a=_,b=_. 6. 已知数列 中 , ，又数列11等差数列，则 于（ ） 1 【师生互动】 学生质疑 教师释疑 听课随笔 第 2 课时 【 学习导航 】 知识网络 学习要求 1、 体会等差数列是用来刻画一类离散现象的重要数学模型，理解等差数列的概念； 2、 掌握“叠加法”求等差数列通项公式的方法，掌握等差数列的通项公式，并能用公式解决一些简单的问题； 【自学评价】 1等差数列的通项公式： 普通式：1 ( 1)na a n d ； 推广式： _； 变式：1 ( 1)na a n d ； 11n ； ； 注： 等差数列通项公式的特征：等差数列的通项公式为关于项数 n+B(若 常数列时 ,A=0). 2等差数列的单调性：由等差数列的定义知 an=d, 当 d 0 时， _递增数列； 当 d=0 时， _常数列； 当 d 0 时， _递减数列 . 注： 等差数列不会是摆动数列 . 【精典范例】 【 例 1】 第 一届现代奥运会于 1986 年在希腊雅典举行，此后每年举行一次奥运会如因故不能举行，届数照算 （）试写出由举行奥运会的年份构成的数列的通项公式； （） 2008 年北京奥运会是第几届？ 2050年举行奥运会吗？ 【解】 【 例 2】在等差数列 中， 已知 ， ，求 【解】 【 例 3】某滑轮组由直径成等差数列的个滑轮组成已知最小和最大的滑轮的直径分别为和，求中间四个滑轮的直径 【解】 【追踪训练一】： 1已知 等差数列， a7+0，则a9+ ） 6 37等差中项为 7 ，则 _. 诺沃尔（）在年发现了一颗彗星，并推算出在年、年、年人们都可以看到这颗彗星，即彗星每隔年出现一次 （）从发现那次算起，彗星第次出现是在哪一年？ （）你认为这颗彗星在年会出现吗？为什么？ 【解】 全国统一鞋号中，成年男鞋有种尺码，其中最小的尺码是，各相邻两个尺码都相差，其中最大的尺码是多少？ 听课随笔 一个等差数列的第项等于第项与第项的和，且公差是，试求首项和第项 【选修延伸】 【 例 4】等差数列 ， 3，公差 ,. （ 1）求公差 d 的值 ; （ 2）求通项 【解】 【 例 5】 甲、乙两人连续 6 年对某县农村养鸡业规模进行调查，提供两个不同的信息图如图所示甲调查表明 :从第 1 年每个养鸡场出产 1万只鸡上升到第 6年平均每个鸡场出产 2 万只鸡乙调查表明 :由第 1 年养鸡场个数 30 个减少到第 6 年 10 个 请您根据提供的信息说明： 第 2年养鸡场的个数及全县出产鸡的总只数； 到第 6年这个县的养鸡业比第 1年是扩大了还是 缩小了 ？请说明理由； 哪一年的规模最大？请说明理由 【解】 【追踪训练二】： 24 的等差数列，从第 10 项起开始为正数，则公差 d ） 3 C. 38 d 3 d 3 ，若a3+a4+a5+a6+50，则 a2+于（ ） 第 5 项为 5，第 10 项为 5，那么此数列的第一个负数项是第_项 . 0 项为 23，第 25 项为 22，则此数列的通项公式为 _. 足 2=，且 ,0，求 6.若 x y，两个数列： x， y 和 x，y 都是等差数列，求2412 bb 的值 . 【师生互动】 学生质 疑 教师释疑 学习札记 第 3 课时 【 学习导航 】 知识网络 学习要求 1 体会等差数列与一次函数的关系； 2初步通过数列的下标研究数列。 【自学评价】 1 等差数列 _. 2已知 等差数列，若 ，则 _. 【精典范例】 【 例 1】已 知等差数列 的通项公式为 ，求首项 和公差，并画出图象。 【解】 2,11 等差数列的通项公式 是关于的一次式，从图象上看，表示这个数列的各点（， ）均在直线上。 【 例 2】（）在等差数列 中，是否有2 11 ）？ （）在数列 中，如果对于任意的正整数（），都有2 11 么数列 一定是等差数列吗？ 【解】 【 例 3】如图，三个正方形的边，的长组成等差数列，且 21，这三个正方形的面积之和是 179 （）求，的长； （）以，的长为等差数列的前三项，以第项为边长的正方形的面积是多少？ 【解】 【追踪训练一】： 1已知等差数列的通项公式为 11，求它的首项和公差，并画出它的图象 2. 已知 ， ， ， ， ， 是公差为的等差数列 （） ， ， ， 也成等差数列吗？如果是，公差是多少？ （） ， ， ， 也成等差数列吗？如果是，公差是多少？ 已知等差数列 的首项为 ，公差为 （）将数列 中的每一项都乘以