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第十课时 点到直线的距离 （） 【 学习导航 】 知识网络 学习要求 1 掌握点到直线的距离公式，并能熟练运用这一公式 解决一些简单问题 ； 2 会通过方程的思想，根据已知若干点到直线的距离大小（或关系）求点的坐标或直线的方程 ； 3 掌握 两 条 平行直线之间的距离 求法 自学评价 1 点00( , )P x l ： 0 _ 注意： （ 1） 公式中的直线方程必须化为一般式； （ 2） 分子带绝对值，分母是根式 22； 思考：当 0A 或 0B 时 公式成立吗 ？ 答： _ 2. 两条平行直线 1l ： 01 2l ：02 21 ）之间的距离为d ，则 _ 注意： 两条平行直线 1l 与 2l 的形式必须是一般式，同时 x 和 y 前面的系数 必须化为一致 【 精典范例 】 例 1： 求点 )2,1(P 到下列直线的距离： （ 1） 0102 （ 2） 23 x 【 解 】 例 2： 求过点 )2,1(P ，且与原点的距离等于22的直线方程 【 解 】 例 3： 求 两条 平行线 043 0962 间 的距离 分析 ： 两 条 平行直线 之间的距离只要在其中一条上任意取一个点，算出该点到另一直线的距离即可，从而 将 平行直线之间的距离 转化为点到直线的距离 【 解 】 例 4:若直线 1l 与直线 2l 3 4 2 0 0 平行且距离为 3 ，求直线 1l 的方程 【 解 】 点到直线的距离 点到直线的距离公式 两 条 平行直线之间 的距离公式 听课随笔 思维点拔： 点00( , )P x l ： 0 A ， B 不同时为 0 ） 的距离 ：0022|A x B y 使用该公式时应该注意： 公式中的直线方程必须化为一般式； 若点00( , )P x l 上，则 P 到直线 l 的距离为 0 ，此时公式仍适用；特别 地，点00( , )P x y到 x 轴的距离为0|y，到 y 轴的距离为0|x 两条平行直线 1l ： 01 2l ：02 21 ）之间的距离 ：1222|使用该公式时应该注意： 两条平行直线 1l 与 2l 的形式必须是一般式，同时 x 和 y 前面的系数必须化为一致 追踪训练一 在直线 2 4 0 上， O 为原点，则 最小值 为 _； 2. 直线 l 过点 (5,10)P ，且与原点的距离等于 5 ，则直线 l 的 方程 为 _； 3. 1l ： 2 3 4 0 ,2l ： 4 6 5 0 之间的距离为 _ 已知平行线 0332 0932 求与它们等距离的平行线的方程 学生质疑 教师释疑 听课随笔 听课随笔 第十一课时 点到直线的距离（） 【 学习导航 】 知识网络 学习要求 1巩固点到直线的距离公式及两平行直线间的距离公式； 2掌握点、直线关于点成中心对称（或关于直线成轴对称）的点、直线的求解方法 ； 3能运用点到直线的距离公式及两平行直线间的距离公式灵活解决一些问题 【课堂互动】 自学评价 0( , )Q x , )Qx y 关于点 ( , ) 则 02_ , 02_ 2. 若0 0 0( , )Q x , )Qx y 关于直线 0 称 , 则0 0 0( , )Q x , )Qx y 的中点落 在 _上 , 且0 的连线与 0 _. 【精典范例】 例 1： 在直线 30上找一点 ,使它到原点和直线 3 2 0 的距离相等 【 解 】 例 2： 求直线 2 1 1 1 6 0 关于点 (0,1)P 对称的直线方程 【 解 】 例 3： 已知直线 1l ： 01 2l ： 032 求直线 2l 关于直线 1l 对称的直线 l 的方程 【 解 】 例 4： 建立适当的直角坐标系，证明：等腰三角形底边上任意一点到两腰的距离之和等于一腰上的高 【 证明 】 点到直线的距离公式 两 条 平行直线之间 的距离公式 直接运用公式求值 对称问题的运用 平面几何中的运用 听课随笔 追踪训练一 点 P 在 x 轴上 ,若它到直线 4 3 3 0 的距离等于 1 ，则 P 的坐标是 _ 直线 43 于点 )1,2( P 对称的直线的方程为 3. 光线沿直线 l 1： 032 射到直线l 2： 40 上后反射，求反射线所在直线3 求证：等腰三角形底边延长线上任一点到两腰（所在直线）的距离的差的绝对值等于一腰上的高 【解】 【 选修延伸 】 一、数列 与函数 例 :分别过 )3,0(),0,4( 点作两条平行线，求满足下列条件的两条直线方程： （ 1）两平行线间的距离为 4 ；（ 2）这两条直线各自绕 A 、 B 旋转，使它们之间的距离取最大值 【 解 】 思维点拔：对称问题 在遇到对称问题时关键 是分析出是属于什么对称情况，这里大致可以分为：点关与点对称，点关于直线对称，直线关于点对称，直线关于直线对称这四种情况，一旦确定为哪种情况后对应本节课的四种基本方法进行求解 追踪训练二 1两平行直线 1l ， 2l 分别过 (1,0)A ， (0,5)B （） 1l ， 2l 之间的距离为，求两直线方 程； （）若 1l ， 2l 之间的距离为 d ，求 d 的取值范围 【 解 】 学生质疑 教师释疑 A C B E D P O x y 听课随笔 听课随笔 第一节 圆的方程（ 1） 【 学习导航 】 知识网络 学习要求 1认识圆的标准方程并掌握推导圆的方程的思想方法； 2掌握圆的标准方程，并能根据方程写出圆心的坐标和圆的半径 ； 3能根据所给条件，通过求半径和圆心的方法求圆的标准方程 【课堂互动】 自学评价 1. 以 ( , )圆心， r 为半径的圆的标准方程： _ 2. 圆心在原点 (0,0) ，半径为 r 时，圆的方程则为： _； 3. 单位圆： _；其方程为： _ 注意：交代一个圆时要同时交代其圆心与半径 【精典范例】 例 1： 分别说出下列圆方程所表示圆的圆心与半径： 22( 2 ) ( 3 ) 7 ； 22( 5 ) ( 4 ) 1 8 22( 1) 3 22144 22( 4 ) 4 【 解 】 例 2： （）写出圆心为 (2, 3)A ，半径长为 5的 圆 的 方 程 ， 并 判 断 点 (5, 7)M ，( 5 , 1)N 是否在这个圆上； （）求圆心是 (2, 3)C ，且经过原点的圆的方程 【 解 】 例 3： （）求以点 (1,2)A 为圆心，并且和 x 轴相切的圆的方程； （）已知两点 (4,9)P ， (6,3)Q ，求以线段直径的圆的方程 【 解 】 圆的标准方程 概念 单位圆 圆的标准方程的简单运用 听课随笔 听课随笔 例： 已知隧道的截面是半径为 4 m 的圆的半圆，车辆只能在道路中心线的一侧行驶，车辆宽度为 3m ，高为 货车能不能驶入这个隧道？ 【 解 】 思考：假设货车的最大的宽度为 那么货车要驶入高隧道，限高为多少？ 追踪训练一 （）圆心在原点，半径为 6 ； （）经过点 (6,3)P ，圆心为 (2, 2)C 求以点 ( 1, 5)C 为圆心，并且和 y 轴相切的圆的方程 . 圆的内接正方形相对的两个顶点为(5,6)A ， (3, 4)C ，求该圆的方程 求过两点 (0,4)A ， (4,6)B ，且圆心在 直线 2 2 0 上的圆的标准方程 思维点拔： 由圆的标准方程即可写出由圆心坐标及圆的半径，反之，由圆心坐标及圆的半径即可写出圆的标 准方程在解具体的题目时，要灵活运用平面几何及前面所学直线的有关知识 学生质疑 教师释疑 第二节 圆的方程（ 2） 【 学习导航 】 知识网络 学习要求 1掌握圆的一般方程并由圆的一般方程化成圆的标准方程； 2能分析题目的条件选择圆的一般方程或标准方程解题 ； 3解题过程中能分析和运用圆的几何性质 自学评价 1以 ( , )圆心， r 为半径的圆的标准方程： _ 2 2( ) ( )x a y b r 展开得： _ 2 0x y D x E y F 的都表 示圆吗？ _ （）当 2240D E F 时，方程表 示以 _为圆心， _为半径的圆； （ 2）当 2240D E F 时，方程表示 _； （ 3）当 2240D E F 时， _； 圆 的 一 般 方 程 ：_ 注意：对于圆的一般方程 （） 2x 和 2y 的系数相等，且都不为 0（通常都化为 1 ）； （）没有 样的二次项； （）表示圆的前提条件： 2240D E F ， 通常情况下先配方配成22( ) ( )x a y b m ，通过观察 m 与 0 的关系，观察方程是否为圆的标准方程，而不要死记条件 2240D E F 【精典范例】 例： 求过三点 12( 0 , 0 ) , ( 1 , 1 ) , ( 4 , 2 )O M 【 解 】： 例 2： 已知线段 端点 B 的坐标是 (4,3) ，端点 A 在圆 22( 1) 4 上运动，求线段 点 M 的坐标 ( , ) ,说明该关系表示什么曲线？ 【 解 】 例 3： 某圆拱桥的示意图如右图，该圆拱的跨度 36 米，拱高 6 米，在建造时，每隔 3 米需用一个支柱支撑，求支柱 22确到 ） 【 解 】 圆的一般方程 22 0x y D x E y F 表示圆的条件 圆的一般方程的简单运用 2 追踪训练一 （） 2240x y x ； （） 22 4 2 5 0x y x y ； （） 211 圆 22 6 8 0x y y 的圆心为：_，半径为： _ . 求过三点 ( 4 , 1 ) , ( 6 , 3 ) , ( 3 , 0 )A B C 的圆的方程 2 2 2 1 0x y x y 关于直线30 对称的图形的方程 思维点拔： 在确定圆的方程时，应根据已知条件与圆的标准方程和圆的一般方程的各自特点，灵活选用圆方程的形式在解题时注意运用平面几何知识及数形结合的 思想 学生质疑 教师释疑 听课随笔 第二章 平面解析几何初步 第二节 圆与方程 第 13 课时 直线与圆的位置关系 【 学习导航 】 知识网络 学习要求 1依据直线和圆的方程，能熟练求出它们的交点坐标 ； 2能通过比较圆心到直线的距离和半径之间的大小关系判断直线和圆的位置关系； 3 理解直线和圆的三种位置关系与相应的直线和圆的方程所组成的二元二次方程组的解的对应关系； 4 会处理直线与圆相交时所得的弦长有关的问题； 5 灵活处理与圆相交的问题 自学评价 1直线与圆有一个交点称为 相切 ，有两个交点称为 ，没有 交点称为 d ，圆半径为 r ， 当 时，直线与圆相离， 当 时，直线与圆相切， 当 时，直线与圆相交 l 与圆 C 的方程联立方程组，若方程组无解，则直线与圆 ，若方程组仅有一组解，则直线与圆 ，若方程组有两组不同的解，则直 线与圆 【精典范例】 例 1 ： 求 直 线 4 3 40 和圆22100 的公共点坐标，并判断它们的位置关系 【 解 】 例 2： 自点 ( 1,4)A 作圆 22( 2 ) ( 3 ) 1 的切线 l ,求切线 l 的方程 【 解 】 例 3 ： 求直线 3 2 3 0 被圆224截得的弦长 【 解 】 追踪训练一 24上一点 (1, 3) 的圆的切线方程 2. 自点 (2,2)A 作圆 22( 2 ) ( 3 ) 1 的听课随笔 直线与圆的位置关系 相离 相切 相交 切线 l ,求切线 l 的方程 2( 1 ) ( 1 ) 1 外一点 (2,3)切线长 【 选修延伸 】 一、圆、切线、截距 例 4: 已知圆 22( 2 ) ( 3 ) 1 ，求该圆与 x 轴和 y 轴的截距相等的切线 l 的方程 . 【 解 】 例 5：若直线 y x b与 24恰有一个公共点，求实数 b 的取值范围 . 【 解 】 思维点拔： 在解决直线与圆的位置关系的问题时，我们通常采用“几何法”例如，求与圆相切的直线方程时，先用待定系数法设出直线方程，然后根据即可求得这种数形结合的思想贯穿了整个章节 追踪训练二 1已知圆 222，求该圆与 x 轴和 y 轴的截距的绝对值相等的切线 l 的方程 2若直线 y x b与 24有两个不同的交点，求实数 b 的取值范围 学生质疑 教师释疑 听课随笔 第二章 平面解析几何初步 第二节 圆与方程 第 14 课时 圆与圆的位置关系 【 学习导航 】 知识网络 学习要求 1掌握圆与圆的位置关系的代数与几何判别方法 ； 2了解用代数法研究圆的关系的优点 ； 3了解算法思想 自学评价 1圆与圆之间有 ， ， ， ， 五种位置关系 2,心距为 d ， 当 时， 两圆外离， 当 时，两圆外切， 当 时，两圆相交， 当 时，两圆内切， 当 时，两圆内含 代数方法，通过联立方程组，用判别式法可以判断两个圆的位置关系吗？为什么？ 【精典范例】 例 1： 判断下列两圆的位置关系： 2 2 2 2( 1 ) ( 2 ) ( 2 ) 1 ( 2 ) ( 5 ) 1 6x y x y 与 2 2 2 22 6 7 0 6 2 7 0x y x x y y （ ） 与 【 解 】 例 2： 求过点 (0,6)A 且与圆 22: 1 0 1 0 0C x y x y 切于原点的圆的方程 【 解 】 追踪训练一 2 2 2 2( 1 ) ( 3 ) ( 2 ) 1 ( 7 ) ( 1 ) 3 6x y x y 与； 2 2 2 2( 2 ) 2 2 3 2 0 3 0x y x y x y x y 与3 2. 若圆 22x y m与圆 2268x y x y 11 0相交， 求实数 m 的取值范围 听课随笔 圆与圆的位置关系 外切 相交 内切 外离 内含 【 选修延伸 】 例 3: 已知圆 221 : 2 6 1 0C x y x y ，圆222 : 4 2 1 1 0C x y x y ，求两圆的公共弦所在的直线方程及公共弦长 【 解 】 例 5 ： 求 过 两 圆 22 6 4 0x y x 和 22 6 2 8 0x y y 的交点，且圆心在直线 40 上 的圆的方程 【解】 思维点拔： 解题时要充分利用两圆位置关系的几何性质 追踪训练二 1一个圆经过圆 221 : 8 9 0C x y x 和圆 222 : 8 1 5 0C x y y 的两个交点，且圆心在直线 2 1 0 上，求该圆的方程 2已知一个圆经过直线 2 4 0 与圆22 2 4 1 0x y x y 的两个交点， 并且有最小面积，求此圆的方程 学生质疑 教师释疑 听课随笔 第二章 平面解析几何初步 第三节 空间直角坐标系 第 15 课时 空间直角坐标系 【 学习导航 】 知识网络 学习要求 1感受建立空间直角坐标系的必要性 ； 2了解空间直角坐标系，会用空间直角坐标系刻画点的位置； 3感受类比思想在探索新知识过程中的作用 自学评价 1空间直角坐标系 从空间某一个 定点 O 引 三条互相垂直 且有相同的单位长度的数轴，这样 就建立 了一个 空 间 直 角 坐 标 系 . 点 O 叫做 ， x 轴、 y 轴、 z 轴 叫做 ，这三条坐标轴中每两条确定一个坐标平面，分别称为 平面、 平面和 平面 2空间右手直角坐标系的画法 通常，将空间直角坐标系画在纸上时， x 轴与 y 轴、 x 轴与 z 轴均成 ，而 z 轴垂直于 y 轴 y 轴和 z 轴的单位长度 ， x 轴上的单位长度为 y 轴（或 z 轴）的单位长度的 3. 空间点的坐标表示 对于空间任意一点 A ，作点 A 在三条坐标轴上的射影，即经过点 A 作 三个平面分别垂直于 x 轴与 y 轴与 z 轴，它们与 x 轴与 y 轴和z 轴分别交与 , 点 , 在相应数轴上的坐标依次为 x ， y ， z ，我们把有序实数对 ( , , )做点 A 的 ，记为 【精典范例】 例 1： 在空间直角坐标系中，作出点(5,4,6)P 【 解 】 例 2： 如上图，已知长方体 的边长为5,8,12 以这个长方体的顶点 A 为坐标原点，射线 , 分别为 x 轴、 y 轴、 z 轴 的正半轴，建立空间直角坐标系，求长方体各个顶点的坐标 【 解 】 例 3： （ 1）在空间直角坐标系 中，画出不共线的 3 个点 , ，使得这 3 个点的坐标都满足 3z ，并画出图形； （ 2）写出由这三个点确定的平面内的点的坐标应满足的条件 【 解 】 追踪训练一 听课随笔 空间直角坐标系 坐标轴 坐标平面 点的坐标 坐标原点 右手直角坐标系 出下列各点： ( 0 , 0 , 3 ) , (1, 2 , 3 ). 已知长方体 的边长为 6 , 4 , 7A B A D A A 以这个长方体的顶点 B 为坐标原点，射线 ,C 分别为 x 轴、 y 轴、 z 轴 的正半轴，建立空间直角坐标系，求长方体各个顶点的坐标 3 写出坐标平面 的点的坐标应满足的条件 【 选修延伸 】 一、对称点 例 4: 求点 (2, 3, 1)A 关于 面，面及原点的对称点 【 解 】 追踪训练二 1 写出分别在坐标轴、坐标平面上的点( , , )A x y z 的坐标所满足的条件 学 生质疑 教师释疑 第二章 平面解析几何初步 第三节 空间直角坐标系 第 16 课时 空间两点间的距离 【 学习导航 】 知识网络 学习要求 1掌握空间两点间的距离公式及中点坐标公式 ； 2理解推导公式的方法 自学评价 1空间两点间距离公式 2 空间中点坐标公式 连接空间两点 1 1 1 1( , , )P x y z 、 2 2 2 2( , , )P x y 段 12中点 M 的坐标为 【精典范例】 例 1：求空间两点 )1,0,6(),5,2,3( 21 的距离 21 【 解 】 例 2： 平面上到坐标原点的距离为 1 的点的轨迹是单位圆，其方程为 122 在空间中，到坐标原点的距离为 1 的点的轨迹是什么？试写出它的方程 【 解 】 例 3： 已知三点 (1,3,2)A 、 ( 2, 0, 4)B 、( 8, 6,8)C ，证明： , 三点在同一直线上 【 解 】 追踪训练一 ( ,2,3) 2 (5, 4,7)P 的距离为 6 ，求 x 的值 2已知 (2,5,6)A ，在 y 轴上求一点 P ，使7 3已知空间三点 ( 1 , 0 , 1 ) , ( 2 , 4 , 3 )，(5,8,5)C ，求证： ,同一直线上 【 选修延伸 】 一、球面方程 例 4: 讨论方程 2 2 2( 2 ) ( 6 ) ( 1 )x y z 16 的几何意义 【 解 】 听课随笔 平面两点间距离公式 空间两点间距离公式 类比 空间中点坐标公式 思维点拔： 注意类比在解决一些空间问题中的应用 追踪训练二 1. 试解释方程 2 2 2( 1 2 ) ( 3 ) ( 5 )x y z 36 的几何意义 已知三角形的三个顶点（，），（，） ，（ 0， 2),求： （）的中点的坐标；（）三角形的中线的长度 学生质疑 教师释疑 第课时直线与圆复习课（ 1） 【 学习导航 】 知识网络 一、知识结构 学习要求 1掌握 直线的几种形式与应用； 直线 直线方程的一般式 两直线位置关系 1l ： 11y k x b 2l ： 22y k x b 平行于坐标轴的直线方程 平行于 x 轴 平行于 y 轴 直线方程的几种形式 点斜式 斜截式 两点式 截距式 垂直 行 k1=相交 求交点 点到直线的距离公式 听课随笔 圆的方程 标准方程： 2 2 2( ) ( )x a y b r 一般方程： 22 0x y D x E y F 22( 4 0 )D E F 直线与圆的位置关系 圆与圆的位置关系 相交、相切、相离 相离、相交、外切、内切、内含 空间直角坐标系 空间直角坐标系中点的坐标表示 空间两点间的距离公式 2掌握圆以及直线与圆的位置关系 自学评价 x2+y2= x2+x 4y+4=0 有公共点则 ( ) +1 C.|r 5 |1 D.|r 5 | 1 x2+2x+4y 20=0截直线 5x 12y+c=0 所得的弦长为 8，则 【精典范例】 例题 2， 1)并与两坐标轴都相切的圆的方程是 例 2： . 与圆 (+ 外切，且和直线 x+1=0 相切 的轨迹 E 的方程 【解】 例 3： 已知圆 C： x2+2x+4y 4=0,是否存在斜率为 1 的直线 l,使 l 被圆 C 截得的弦 直径的圆过原点 出直线 l 的方程 ;若不存在，说明理由 【解】 【选修延伸】 例 4： 设圆满足 (1)y 轴截圆所得弦长为 2.(2)被 x 轴分成两段弧，其弧长之比为3 1，在满足 (1)、 (2)的所有圆中，求圆心到直线 l:x 2y=0 的距离最小的圆的方程 【解】 听课随笔 思维点拔： 在解决直线与圆的位置关系的问题时，我们 通常采用“几何法”例如，求与圆相切的直线方程时，先用待定系数法设出直线方程，然后根据 即可求得这种数形结合的思想贯穿了整个章节 追踪训练 1、如果实数 满足等式 22( 2 ) 3 ，那么 （ ） A、 12B、 33C、 32D、 3 1、 曲线 0), ( 于直线 02 称的直线方程为 （ ） A、 0), 2( B、 0), 2( C、 )2, 2( D、 0)2, 2( 3、设圆 05422 弦 中点为 )1,3(P ，则直线 方程是 4、 过 A（ 3， 0）， B（ 3， 0）两点的所有圆中面积最小的圆方程是 _ 5、已知 x、 y 满足 2 5 012 3 0 ，则 6、自点 A( 3， 3)发出的光线 l 经 x 轴反射，其反射光线与圆 (+(=1 相切，求光线l 所在的直线方程。 听课随笔 第 9 课时直线与圆复习课（ 2 ） 【 学习导航 】 知识网络 一、知识结构 学习要求 1 进一步 掌握 直线的几种形式的 应用； 2 熟练 掌握圆以及直线与圆的位置关系 的 有关应用 自学评价 . 使圆 x 4 y +4=0 有公共点则 ( ) A. r 5+1 C .| r 5| 1 D .| r 5| 1 2 x +4 y 20=0 截直线 5 x 12 y + c =0 所得的弦长为 8 ，则 c 的值是 【精典范例】 例题 . 过点 (2 ， 1) 并与两坐标轴都相切的圆的方程是 例 2 ： . 若动圆 C 与圆 (x - 2)2+ 外切，且和直线 x+1=0 相切 . 求动圆圆心 C 的轨迹 E 的方程 【解】 听课随笔 圆的方程 标准方程：2 2 2( ) ( )x a y b r 一般方程：220x y D x E y F 22( 4 0 )D E F 直线与圆的位置关系 圆与圆的位置关系 相交、相切、相离 相离、相交、外切、内切、内含 空间直角坐标系 空间直角坐标系中点的坐标表示 空间两点间的距离公式 第一课时 第二章 平面解析几何初步 一、知识结构 二、重点难点 重点 ： 直线的斜率和倾斜角的概念，过两点的直线的斜率的计算公式；直线的方程的几种形式，会根据已知条件选择恰当的形式表示直线；两点间的距离公式，点到直线的距离公式，会求两条平行线间的距离；根据斜率判定两直线的平行或垂直关系，会求两直线的交点坐标； 圆的标准方程与一般方程的概念，会根据条件选择恰当的形式求圆的方程；能根据给定直线与圆的方程，判断直线与圆、圆与圆的位置关系； 会用 空间直角坐标系刻画点的位置，会用距离公式求空间两点间的距离 难点 ： 几种形式的直线方程的推导；圆的标准方程的推导；直线与圆、圆与圆的位置关系中有关问题的探索 听课随笔 直线 直线方程的一般式 两直线位置关系 1l ： 11y k x b 2l ： 22y k x b 平行于坐标轴的直线方程 平行于 x 轴 平行于 y 轴 直线方程的几种形式 点斜式 斜截式 两点式 截距式 垂直 行 k1=相交 求交点 点到直线的距离公式 圆的方程 标准方程： 2 2 2( ) ( )x a y b r 一般方程： 22 0x y D x E y F 22( 4 0 )D E F 直线与圆的位置关系 圆与圆的位置关系 相交、相切、相离 相离、相交、外切、内切、内含 空间直角坐标系 空间直角坐标系中点的坐标表示 空间两点间的距离公式 第 1 课 直线的斜率（ 1） 【 学习导航 】 知识网络 学习要求 1 理解直线的斜率的概念； 2掌握 过两点的直线斜率的计算公式 自学评价 1直线的斜率：已知两点 1 1 2 2( , ) , ( , )P x y Q x y，如果 么，直线 斜率为k ；此时，斜率也可看成是 【精典范例】 例 1： 如图，直线1 2 3,l l 3,2)P ，又1 2 3,l l 2( 2 , 1 ) , ( 4 , 2 ) ，3( 3,2)Q ，试计算直线1 2 3,l l 【解】 例 2 ： 已 知 直 线 l 经 过 点 ( ,2)2(1, 2)，求直线 l 的斜率 【解】 例 3： 经过点 (3,2) 画直线，使直线的斜率分别为：（ 1） 34；（ 2） 45 【解】 【选修延伸】 一、直线斜率与三点共线 例 4： 已知三点 ( , 2 ) , ( 3 , 7 ) , ( 2 , 9 )A a B C a在一条直线上，求实数 a 的值 【解】 思维点拔： 任何直线都有倾斜角和斜率吗？ 根据直线倾斜角和斜率的概念，任何直线都有倾斜角特别地，当直线与 x 轴平行或重 合时，倾斜角为 0 ；当直线与 x 轴垂直时，倾斜角为90 ，此时直线斜率不存在因此，除倾斜角为90 的直线外，其他直线都有斜率 直线的斜率 计算公式 概念 听课随笔 追踪训练 1. 的三个顶点 ( 3 , 2 ) , ( 4 ,1)，(0, 1)C ，写出 三边所在直线的斜率： ， 2. 求证： (1 , 5 ) , ( 0 , 2 ) , ( 2 , 8 )A B 1,2 )m ， ( , 3)的直线 ，则实数 m 的值为 . 4、 设点（，），（ x， 2） ,C(-2,y)为直线 l 上三点，已知直线的 斜率k=2,则 x= . 学生质疑 教师释疑 听课随笔 第 2 课 直线的斜率（ 2） 【 学习导航 】 知识网络 学习要求 1掌握直线的倾斜角的概念，了解直线倾斜角的范围； 2理解直线的斜率与倾斜角之间的关系，能根据直线的倾斜角求出直线的斜率； 3 通过操作体会直线的倾斜角变化时，直线斜率的变化规律 自学评价 1直线的倾斜角：在平面直角坐标系中，对于一条与 x 轴相交的直线，把 绕着交点按 （顺、逆）时针旋转到和直线重合时所转过的 称为这条直线的倾斜角， 并规定：与 x 轴平行或重合的直线的倾斜角为 直线的倾斜角不等于 时，直线的斜率 k 与倾斜角 之间满足关系 . 【精典范例】 例 1： 直线1 2 3,l l 1 2 3,l l 3,k k ，倾斜角1 2 3, 的大小关系为 例 2： （ 1）经过两点 ( 2, 3), (1, 4 ) ，倾斜角为 ； （ 2）经过两点 ( 4 , 2 1 ) , ( 2 , 3 )A y B的直线的倾斜角为 120 ，则 y 例 3： 已知直线 1l 的倾斜角 1 15 ，直线 1l 和 2 ，直线 1l 绕点 A 按顺时针方向旋转到与直线 2l 重合时所转的最小正角为 60 ，求直线2l 的斜率 k 例 4： 已知 ( 2 3 , ) , ( 2 , 1 )M m m N m， （ 1）当 m 为何值时，直线 倾斜角为锐角？ （ 2）当 m 为何值时，直线 倾斜角为钝角？ （ 3）当 m 为何值时，直线 倾斜角为直角？ 分析： 当斜率大于 0 时，倾斜角为锐角；当斜率小于 0 时，倾斜角为钝角；当直线垂直于 x 轴时直线倾斜角为直角 训练一 1. 直线 2 2 3 0 的倾斜角为 l 的倾斜角为 ，直线 2l 与 1l 关于 直线 2l 的倾斜角为 3. 已知直线 l 的 倾 斜 角 的 变 化 范 围 为倾斜角和斜率的关系 直线的倾斜角 范围 概念 1l 2l 3l , )63 ，则该直线斜率的变化范围是 【选修延伸】 一、直线与已知线段相交，求直线斜率的取值范围 例 5: 若 过 原 点 O 的直线 l 与连结( 2 , 2 ) , ( 6 , 2 3 )线段相交，求直线 l 的倾斜角和斜率的取值范围 分析 ：结合图形可知（图略）， 直线 l 介于直线 ,间，即可得倾斜角范围；再根据倾斜角变化时，斜率变化规律可得斜率范围 追踪训练二 1已知 ( 1 , 3 ) , ( 3 , 3 )，则直线 和斜率 k 分别为（ ） ()A 3 0 , 3k ()B 1 2 0 , 3k ()C 1 5 0 , 3k ()D 6 0 , 3k 2设点 ( 2 , 3 ) , ( 3 , 2 ) ，直线 l 过点(1,2)P ，且与线段 交，求直线 l 的斜率的取值范围 学生质疑 教师释疑 第 3 课 直线的方程（ 1） 【 学习导航 】 知识网络 学习要求 握直线的点斜式方程；了解直线方程的斜截式是点斜式的特例 ； 线上的一个点的坐标11( , )斜率 k ，或者直线的斜率 k 及在y 轴上的截距 b ）求直线方程； 1 自学评价 1求直线的方程，其实就是研究直线上任意一点 ( , )Px y 的 之间的关系 l 经过点 1 1 1( , )P x y ，当直线斜率不存在时，直线方程为 ；当斜率为 k 时，直线方程为 ，该方程叫做直线的点斜式方程 . 叫做直线的斜截式方程，其中 叫做直线在 上的截距 【精典范例】 例 1： 已知 一条直线 经过点 1( 2,3)P ，斜率为 2 ，求这条直线的方程 【解】 例 2： 直线 l 斜率为 k ，与 y 轴的交点是(0, )直线 l 的方程 【解】 例 3： （ 1）求直线 3 ( 2 ) 的倾斜角 ； （ 2）求直线 3 ( 2 ) 绕点 (2,0) 按顺时针方向旋转 30 所得的直线方程 【 解 】 例 4： 在同一坐标作出下列两组直线 ，分别说出这两组直线有什么共同特征？ （ 1 ） 2y ， 2 ， 2 ，32， 32 ； （ 2 ） 2， 21， 21，24， 24 【解】 【选修延伸】 例 ：等腰三角形的顶点为（，），又的斜率为3，点（，），求直线，及的平分线所在直线的方程 直线的方程 点斜式方程 斜截式方程 截距式方程 两点式方程 一般式 方程 听课随笔 追踪训练 1. 写出下列直线的点斜式方程： （ 1）经过点 (2, 1)A ，斜率为 2 ； （ 2）经过点 ( 2, 2)B ，倾斜角为 30 ； （ 3）经过点 (0,3)C ，倾斜角是 0 ； （ 4）经过点 ( 4, 2)D ，倾斜角是 120 2写出下列 直线的斜截式方程： （ 1）斜率是 52，在 y 轴上的截距是 3 ； （ 2）斜率是 3 ，与 x 轴交点坐标为 (2,0) 3. 方程 ( 2)y k x表示（ ） ()A 通过点 ( 2,0) 的所有直线 ()B 通过点 (2,0) 的所有直线 ()C 通过点 (2,0) 且不垂直于 x 轴的直线 ()D 通过点 (2,0) 且除去 x 轴的直线 直线 l 经过点（，），且与直线 y=x+6在 y 轴上有相同的截距，求直线的方程 学生质疑 教师释疑 听课随笔 第 4 课 直线的方程（ 2） 【 学习导航 】 学习要求 （ 1）掌握直线方程的两点式、截距式，了解截距式是两点式的特殊情况 ； （ 2） 能够根据条件熟练地求出直线的方程 自学评价 1经过 两点 1 1 1( , )P x y ， 2 2 2( , )P x y 12()直线的两点式 方程为 2. 直线的截距式方程 1( 0)， a 称为直线在 上的截距， b 称为直线在 上的截距 【精典范例】 例 1： 已知直线 l 与 x 轴的交点 ( ,0)a ，与 y 轴的交点 (0, )b ，其中 0, 0，求直线 l 的方程 【解】 例 2： 三角形的顶点是 ( 5,0)A 、 (3, 3)B 、(0,2)C ，求这个三角形三边所在直线方程 【解】 追踪训练一 2 4的截距式方程为 （ ） ()A 3 142 ()B 11132 ()C 14 23()D 3 1422根据下列条件，求直线的方程： （ 1）过点 (3,4)A 和 (3, 2)B ； （ 2）在 x 轴上、 y 轴上的截距分别是 2， 3 ； （ 3）过点 ( 1,4)A ，且在 x 轴上的截距为 3 3, 4) 且在两坐标轴上截距相等的直线方程是（ ） ()A 10 ()B 10 ()C 4 3 0 ()D 4 3 0或 10 例 3：求经过点 (4, 3) 且在两坐标轴上的截距绝对值相等的直线方程 【选修延伸】 例 4：直线 l 与两坐标轴在第一象限围成的三角形面积为 2，两截距之差为 3，求直线 l 的方程 【解】 思维点拔： 过两点 1 1 2 2( , ) , ( , )P x y Q x 12且 12，如果没有这个条件，就必须分类讨论，这点容易被忽略；只有当直线在坐标轴上的截距都不为零时，才可以用直线方程的截距式 追踪训练二 1求过点 (2, 1)P ，在 x 轴和 y 轴上的截距分别为 ,满足 3的直线方程 学生质疑 教师释疑 第 3 课 直线的方程（ 3） 【 学习导航 】 学习要求 （ 1 ） 掌握直线方程的一般式0 , ）， 理解直线方程的一般式包含的两方面的含义：直线的方程是都是关于 ,关于 , （ 2） 掌握直 线方程的各种形式之间的互相转化 自学评价 1直线方程的一般式 0 ，, ，当 0A ，0B 时，方程表示垂直于 的直线，当 0B ， 0A 时，方程表示垂直于 的直线 【精典范例】 例 1： 已知直线过点 (6, 4)A ，斜率为 43，求该直线的点斜式和一般式方程及截距式方程 【解】 例 2： 求直线 : 3 5 1 5 0l x y 的斜率及 y 轴上的截距，并作图 【解】 例 3： 设直线 2: ( 2 3 )l m m x 2(2 1)m m y 2 6 0m ( 1)m 根据下列条件分别确定 1）直线 l 在 x 轴上的